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UNIVERSIDAD DEL BIO BIO DEPARTAMENTO DE CS BASICAS EJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD PROBABILIDAD 1) Sea X el tiempo de supervivencia en años después de un diagnóstico de leucemia aguda. La fdp para X es f(x) = -x/2 + 1, para 0 < x < 2. a. Comprobar que es una fdp b. Hallar p(X>1) c. Hallar p(X=1) d. Hallar p(X≥1) Ayuda: hacerlo todo gráficamente 2) Determinar el valor de a para el cual la siguiente función de densidad de probabilidad esta bien definida. ⎧⎪ −25 x f ( x) = ⎨ae .....si.....x ≥ 0 ⎪⎩ 0.........si.......x < 0 3) Según el resultado anterior, calcular la probabilidad que 1 < x < 5 4) Según el ejercicio 2), calcular la probabilidad que 2 < x < 7 5) Determinar el valor de K para el cual la siguiente función de densidad de probabilidad esta bien definida. ⎧⎪ −3x f ( x) = ⎨Ke .....si.....x ≥ 0 ⎪⎩0.........si.......x < 0 6) Según el resultado anterior, calcular la probabilidad que 1 < x < 5 7) Según el ejercicio 5), calcular la probabilidad que 2 < x < 7 DISTRIBUCIÓN UNIFORME Y EXPONENCIAL 1) Suponga Y = una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo 10 < Y  < 120. Trace una gráfica de la densidad de Y. y encuentre la probabilidad de que y se encuentre en el intervalo 60 < y < 85. 2) 3) En el ejercicio anterior, encuentre el valor esperado y la desviación estándar de Y. Calcule las siguientes probabilidades para una variable aleatoria uniforme Y, definida sobre el intervalo 0 < Y < 200: a. P( 10 < Y < 50) b. P(Y > 50) c. P(Y  ≤ 120) 4) Una máquina que marca números telefónicos al azar selecciona aleatoriamente los últimos cuatro dígitos entre 0000 y 9999 (incluidos ambos). Trate a la variable Y = número seleccionado como si fuese continua (aun cuando sólo hay 10,000 posibilidades discretas) y uniformemente distribuida. a. Encuentre P(0300 < Y  ≤ 1300). b. Encuentre la varianza de Y. 5) En los días del verano, Y = tiempo de retraso de un tren de enlace suburbano se puede modelar como distribuida uniformemente entre 0 y 20 minutos. a. Encuentre la probabilidad de que el tren llegue por lo menos con 8 minutos de retraso. b. Encuentre la desviación estándar del tiempo de retraso del tren. 6) x Utilice una calculadora que evalúe e para encontrar el valor de la función de densidad exponencial f y(y) para μ = 2.5 y, y = 0, 0.5, 1.0, 1.5 y 2.0. Bosqueje la función de densidad. 7) Calcule las siguientes probabilidades para una variable aleatoria exponencial con μ =2 a. b. c. d. P( y > 2) P(Y > 1) P(1 < Y < 2) P( 1 ≤ Y ≤ 2) (Sugerencia: En el inciso (d), utilice la lógica, no la calculadora.) 8) En un centro rural para la atención de emergencias el tiempo entre llegadas sigue una distribución exponencial con un tiempo medio entre llegadas de 1.25 horas. Encuentre la probabilidad de que el tiempo entre llegadas sea mayor que 1 hora. Encuentre la probabilidad de que el tiempo entre llegadas sea mayor que 2 horas. 10) En el ejercicio anterior, en vez de ocuparse del tiempo entre llegadas al centro de atención de emergencias, concéntrese en las llegadas en un lapso de tiempo dado. Observe que las hipótesis para las distribuciones exponencial y de Poisson son idénticas; observe también que un tiempo medio entre llegadas de 1.25 horas indica un promedio de 1/1.25 = 0.80 llegadas por hora. a. Utilizando las probabilidades de Poisson, encuentre la probabilidad de que no haya llegadas en una hora. b. Encuentre la probabilidad de que no haya llegadas en 2 horas. c. Compare sus respuestas en este ejercicio con las del ejercicio 9. ¿Cuál es la explicación? 11) En una aerolínea, el tiempo para atender a los pasajeros sin billete en el mostrador del aeropuerto sigue una distribución exponencial con una media de 5 minutos. a. Encuentre la probabilidad de un tiempo de atención menor que 2.5 minutos. b. Encuentre la probabilidad de un tiempo de atención mayor que 10 minutos. 12) Considere la situación de atención a los pasajeros del ejercicio anterior. a. ¿Cuál es el número esperado de pasajeros atendidos por minuto? b. Encuentre la probabilidad de que al menos un pasajero sea atendido en menos de 2.5 minutos. c. Encuentre-la probabilidad de que ningún pasajero sea atendido en menos de 10 minutos. 13) En una central nuclear ocurren aleatoriamente a lo largo del tiempo "eventos poco comunes" (problemas menores de operación). El tiempo medio entre dos eventos es 40 días. de a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo para el siguiente "evento poco común" se encuentre entre 20 y 60 días? b. Encuentre la desviación estándar del tiempo para el siguiente "evento poco común". 14) Un análisis de los archivos de la central nuclear del ejercicio anterior muestra que los "eventos poco comunes" suceden con mayor frecuencia los fines de semana. ¿Qué hipótesis-subyacente a sus respuestas en el ejercicio anterior se pone en duda? 15) Un equipo de béisbol de la liga mayor (Estados Unidos) vende boletos (billetes) en una oficina del centro de la ciudad durante las horas de trabajo. Los aficionados llegan a la oficina uno a uno y en forma aleatoria, a una tasa media de 12 por hora; dicha tasa permanece esencialmente constante durante el día. a. Encuentre la probabilidad de que haya más de 5 llegadas en un periodo de 10 minutos (1/6 horas). b. Encuentre la probabilidad de que el siguiente aficionado llegue en los próximos 3 minutos. Observe que el tiempo medio entre llegadas es de 1/12 horas, o 5 minutos. 16) En el ejercicio anterior, encuentre un número k tal que la probabilidad de k o más llegadas en un cuarto de hora sea cercana a 0.10. 17) El tiempo entre "fallas del sistema" de cierta macrocomputadora parece seguir una distribución exponencial. El tiempo medio es de 5 días. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo para la siguiente falla sea al menos de una semana (7 días) b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un periodo de dos semanas sin ninguna falla? 18) En el ejercicio anterior, ¿cuál es la probabilidad de que haya 4 o más fallas del sistema en una semana especifica? DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL 1) Determinar el área bajo la curva normal que se encuentra a la izquierda de los siguientes valores de z. a) -1,15 área = ................... b) -2,19 área =.................... c) 0.33 área =..................... d) 2,04 e) 3,62 f) -2,515 área =..................... g) 1,372 área =..................... 2) Determine el porcentaje de área que se encuentra entre los siguientes valores a) b) c) d) e) f) 1,5 y 1,86 -0,5 y -1,4 0,45 y-2,41 1,56 y1,08 -0,52 y-2,36 -2,65 y-0,25 área =..................... área =..................... z. área = .......... área = ........... área = .......... área = ........... área = ........... área = .......... 3) Determine la probabilidad de que un dato seleccionado aleatoriamente de una población normal de media 400 y desviación estándar 80, se encuentre entre la media y; a) b) c) d) e) 4) 440 310 550 570 528 Rta.= ...................... Rta.= ...................... Rta.= ...................... Rta.= ...................... Rta.= ...................... La media de una población normalmente distribuida es 4,2 y su desviación estándar es 0,8, además el tamaño de la población es 1.432 a) Calcular el número de datos que están sobre; 1) 2) 3) 4) b) 4,2 6,5 2,8 3,5 Rta = .................... Rta = .................... Rta = .................... Rta = .................... Calcular el número de datos que están bajo; 1) 2) 3) 4) c) 4,2 Rta = .................... 6,0 Rta = .................... 3,4 Rta = .................... 5,6 Rta = .................... Entre los datos; 1) 2) 3) d) 4,0 y 6,1 Rta = ............... 4,8 y 5,3 Rta = ............... 3,02 y 5,32 Rta = ............. Calcular: 1) 2) 3) 4) 5) Percentil 34 Rta =.......... Percentil 60 Rta=.......... Percentil 95 Rta = ........ Decil 6 Rta = ............... Cuartil 2 Rta = ............... 5) El sistema de empaque de una compañía de cereales para el desayuno no se ha ajustado para lograr colocar un promedio de μ = 13,0 oz. de cereal por caja. Por supuesto no todas las cajas tienen exactamente 13,0 oz. debido a las fuentes aleatorias de variabilidad. La desviación estándar del peso neto real es σ = 0,1 oz. y se sabe que la distribución de pesos sigue la distribución normal. Determine la probabilidad de que una caja escogida aleatoriamente tenga entre 13,0 y 13,2 oz. de cereal e ilustre la porción de área bajo la curva normal que se asocia con este valor de probabilidad. ( R : 0,4772 ) 6) Par la situación descrita en el problema anterior , ¿Cual es la probabilidad que el peso del cereal exceda de 13,25 oz.?. Ilustre la porción del área bajo la curva normal que corresponde a este caso ( R : 0,0062 ) 7) Del problema 5) ¿ Cual es la probabilidad de que el peso del cereal este entre 12,9 y 13,1 oz. ? Ilustre la proporción de área debajo de la curva normal que es relevante en este caso . ( R : 0,6826 ) Pág. 5/7 8) ¿ Cual es la probabilidad de que el peso del cereal del problema 5) se encuentre entre 12,8 y 13,1 oz.? Ilustre la proporción de área por debajo de la curva normal correspondiente a este caso. ( R : 0,8185 ) 9) De acuerdo con el problema 5) ¿ Cual es la probabilidad de que el peso del cereal este entre 13,1 y 13,2 oz.? Ilustre la porción del área bajo la curva normal correspondiente a este caso. ( R : 0,1359 ) 10) El tiempo necesario para reparar la transmisión de un automóvil en un taller de servicio se distribuye normalmente con media μ = 45 min. y desviación estándar σ  = 8.0min . El mecánico planea comenzar la reparación del auto de un cliente 10 min. después que el vehículo se ha entregado y le comunica al cliente que el auto estará listo en una hora en total . ¿Cuál es la probabilidad de que el mecánico este equivocado? Ilustre la porción del área bajo la curva normal correspondiente a este caso. ( R : 0,2676 ) 11) Con referencia al problema anterior ¿ Cual es la asignación de tiempo requerido de trabajo para que haya un 90 % de posibilidades que la reparación de la transmisión se termine dentro de ese tiempo? Ilustre la porción de área correspondiente. ( R : 55 ,24 min. ) 12) Con referencia al problema 10) ¿ Cual seria el tiempo de trabajo asignado para que hubiera una probabilidad de solo 30 % de que la reparación de la transmisión se terminase durante dicho tiempo? Ilustre la porción del área correspondiente. 13) Los puntajes de un grupo de 560 alumnos se distribuyen en forma normal. Con una media de 64 puntos y una desviación estándar de 7,3 puntos. a) Encontrar el % de alumnos que obtuvo 66 puntos ó más. b) Encontrar el % de alumnos que obtuvo 70 puntos ó menos. c) Encontrar el Nº de alumnos que obtuvo 60 puntos ó menos. d) Encontrar el Nº de alumnos que obtuvo 60 puntos ó más. e) Encontrar el Nº de alumnos que obtuvo entre 60 y 75 puntos. f) ¿Sobre qué puntaje se encuentra el 25% mejor del grupo? g) ¿Bajo qué puntaje se encuentra el 30% más bajo del grupo? DISTRIBUCION T DE STUDENT Y DISTRIBUCION JI CUADRADO 1) 2) 3) Determinar el valor de t tal que el área a su izquierda sea de 0.99, con 23 grados de libertad. Determinar el valor de t tal que el área a su izquierda sea de 0.90, con 15 grados de libertad. Determinar el valor de t tal que el área a su derecha sea de 0.95, con 19 grados de libertad. Pág. 6/7 4) 5) Determinar el valor de t tal que el área a su derecha sea de 0.9, con 7 grados de libertad. Determinar los valores de t tales que el área entre ± t sea de 0.9, con 21 grados de libertad. ±t 6) Determinar los valores de t tales que el área entre libertad. 7) Determinar los valores de t tales que la suma del área a la izquierda de –t y el área a la derecha de t sea de 0.05, con 14 grados de libertad. 8) Determinar los valores de t tales que la suma del área a la izquierda de –t y el área a la derecha de t sea de 0.1, con 24 grados de libertad. 9) Determinar el valor de sea de 0.99. χ  10) Determinar el valor de sea de 0.90. χ  11) Determinar el valor de sea de 0.99. χ  12) Determinar el valor de sea de 0.9. χ  13) Determinar el valor de sea de 0.1. χ  14) Determinar el valor de izquierda de 15) 2 χ 1 2 , tal que , con 22 grados de libertad, el área a su izquierda 2 , tal que , con 26 grados de libertad, el área a su izquierda 2 , tal que , con 28 grados de libertad, el área a su derecha 2 , tal que , con 12 grados de libertad, el área a su derecha 2 , tal que , con 22 grados de libertad, el área a su izquierda 2 χ 1 y 2 χ 2 , tal que , con 45 grados de libertad, el área a la sea de 0.05 y el área a la derecha de Determinar el valor de ellos se de 0.95. sea de 0.95, con 9 grados de 2 χ 1 y 2 χ 2 2 χ 2 sea de 0.01. , tal que , con 58 grados de libertad, el área entre Pág. 7/7