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TALLER DE
Razona
PERMUTACIONES
Análisis combinatorio 1 Factorial de "n" . Se define de la siguiente manera: n! = n x (n - 1) x (n - 2)x ... x 3 x 2 x 1 Donde 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 7! = 7 x 6 x 5 x 4 X 3 x 2 X 1= 5040
8.
PERMUTACIONES Se define así a los diferentes ordenamientos que se pueden formar con todos los elementos de un conjunto. Al momento de estudiar las permutaciones veremos tres tipos: Permutación lineal Permutación circular Permutación con elementos repetidos PERMUTACIÓN LINEAL Se origina cuando los elementos (número, letras, personas, animales y objetos) son distintos y se ordenan en línea abierta. En general: Pn = n! Ejemplo:
¿Cuántas palabras diferentes, con o sin significado, se pueden formar con las letras de la palabra "lapicero"? Solución: Para formar nuevas palabras, debemos permutar las letras: 1, a, p, i, c, e, r, o = 8 letras :. Se pueden formar 40320 palabras. PERMUTACIÓN CIRCULAR Se da cuando los elementos son distintos y se ordenan formando una circunferencia (alrededor de un objeto). Para deducir la fórmula, analicemos el siguiente ordenamiento circular. En general: Pc(n) = (n - 1)! PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS Se da cuando los elementos que se van a ordenar se repiten al menos 1 vez. En general
donde a, b, c, ... es el número de veces de los elementos repetitivos: PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1.
¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 6 personas en una banca que tiene capacidad para 6? a.720 b. 120 c.634 d.128 e.250
2.
¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 7 personas en una banca que tiene capacidad para 7 personas, si dos de ellas siempre van juntas? a.240 b. 120 c.1440 d.128 e.250 3.
¿De cuántas maneras distintas se pueden pu eden ubicar en fila 4 varones y 4 mujeres, si se sabe que las personas que pertenecen al mismo género no pueden pararse juntas?
a.2410
b. 1120
c.1234
d.1152
e.250
4.
¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 5 amigos para jugar a la ronda? ronda? a.240 b. 720 c.24 d.128 e.250 5.
¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 8 personas alrededor de una mesa si 3 de ellos tienen que estar siempre juntos? a.240 b. 120 c.234 d.128 e.720 6. Se tiene los siguientes bloques lógicos:
¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar en una hilera? a.1680 b. 1220 c.2534 d.1428 e.2500 7.
¿Cuántos números de 6 cifras cumplen con la condición de que el producto de sus cifras sea 6? a.24 b. 12 c.36 d.18 e.25
Vivian, Cristhian y Melissa van al cine con tres amigos y desean sentarse todos juntos en una misma fila. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse en una fila de seis asientos si Vivian y Melissa desean sentarse juntas a.240 b. 120 c.234 d.128 e.250
9.
¿Cuántas palabras distintas y sin importar si tienen sentido o no, se pueden formar con las letras de la palabra "TERRITORIO"? a.72240 b. 76120 c.72600 d.75600 e.62250 10. Calcula el número de palabras con o sin sentido que se pueden formar con las letras de la palabra "REGLA" a. 48 b.120 c. 240 d. 720 e. 24 11. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 6 personas en una banca de 6 asientos, si dos de ellas tienen que sentarse juntas? a. 40 b. 120 c.240 d. 220 e. 140 12. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 6 personas en una banca de 6 asientos, si se sabe que Jorge y Carlos tienen que sentarse en los extremos? a.48 b. 12 c. 24 d. 364 e.720 13. En un grupo de personas formado por 2 puneños, 3 piuranos y 4 limeños, ¿de cuántas maneras se pueden ubicar en una fila para un concierto, si se sabe que las personas del mismo departamento tienen que sentarse juntas? a. 864 b.1 728 c. 688 d. 892 e. 1 700 14. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 6 lapiceros de diferente color color si el rojo y el rosado no pueden estar juntos? a. 720 b. 120 c. 240 d.480 e. 360 15. ¿Cuántas palabras diferentes con o sin significado se pueden formar con las letras de la palabra "ANÁLISIS"? a.5040 b. 40320 c. 34980 d. 720 e. 1440 16. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 7 sitios en fila si 4 de ellos son de color blanco y los otros 3 son marrones? a. 42 b.35 c. 120 d. 240 e. 48 17. Al lanzar 6 veces una moneda, ¿de cuántas maneras diferentes se puede obtener 2 caras y 4 sellos como resultados? a. 30 b. 18 c.15 d. 24 e. 48 18. ¿Cuántos números de 6 cifras existen en el sistema decimal, de tal manera que el producto de sus cifras sea 35? a. 15 b. 24 c.30 d. 60 e. 48 19. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 6 personas en una mesa redonda de 6 asientos? a. 720 b. 120 c. 240 d. 48 e. 144 20. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 4 niños y 4 niñas para jugar a la ronda, si las personas del mismo género no pueden estar juntas? a. 5040 b. 120 c. 48 d.144 e. 72 21. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 6 personas alrededor de una mesa redonda, si 3 de ellas siempre tienen que estar juntas? a. 144 b. 72 c. 54 d. 18 e.36 22. Alrededor de una mesa de 9 asientos se quiere ubicar a 4 niños y 4 niñas de modo que el asiento vacío esté entre Joaquín y Gabriel. ¿De cuántas maneras diferentes puedo ubicarlos? a. 720 b.1440 c. 480 d. 120 e. 2 160
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23. Cuatro chicas y 2 varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse si las 4 chicas quieren estar siempre juntas?144 a.240 b. 120 c.144 d.128 e.250 24. Manuel, Marcos y Mirco van al cine y encuentran cuatro asientos consecutivos vacíos. ¿De cuántas maneras pueden sentarse? 24 a.240 b. 120 c.234 d.128 e.24 25. ¿De cuántas maneras 6 soldados pueden formar una fila? 720 a.240 b. 120 c.234 d.720 e.250 26. Con las letras de la palabra "padre", ¿cuántos ordenamientos distintos se pueden hacer sin importar si la palabra carece de significado, si la palabra debe comenzar por vocal?48 a.240 b. 120 c.48 d.128 e.250 27. En un estante se van a acomodar 3 libros de RM, 2 de RV, 4 de Álgebra y 1 de Historia. ¿De cuántas maneras se puede ordenar de tal manera que los libros de los mismos cursos vayan juntos?6912 a.6912 b. 120 c.234 d.128 e.250 28. ¿De cuántas maneras se pueden alinear 5 varones y 5 mujeres de tal forma que aparezcan alternados?28800 a.240 b. 120 c.28800 d.128 e.250 29. ¿De cuántas maneras se puede disponer los jugadores de un equipo de fútbol de 11 jugadores? a. 2· lO! b. 11 C. 12! d.11! e. 10!
38. En el hipódromo en la primera carrera corren 8 caballos. Si "Caballo Loco" fue descalificado, ¿de cuántas maneras distintas pudieran llegar los restantes? a. 24 b. 120 c. 720 d.5 040 e. 40320 39. ¿'De cuántas maneras se pueden sentar en una carpeta de 4 asientos en fila 2 hombres y 2 mujeres, de tal forma que las 2 mujeres siempre estén juntas? a. 6 b. 9 c4 d. 8 e .12 40. ¿Cuántas palabras diferentes que terminen en "O" pueden obtenerse con todas las letras de la palabra "PATIÑO" sin que se repita ninguna letra y sin importar las palabras tienen o no sentido? a. 24 b.120 c. 240 d. 720 e. 1440 41. Maritza, Lulú y Débora se van al teatro con Manolito. Si hay exactamente 4 butacas vacías, ¿de cuántas formas diferentes podrán sentarse en estas butacas, si Manolito nunca está junto a Lulú? a. 6 b.12 c. 18 d. 24 e. 20 42. ¿De cuántas formas diferentes se podrían ubicar, en una fila de 7 asientos numerados del 1 al 7, 4 mujeres y 3 varones, si estos deben ocupar los lugares pares? a. 24 b. 48 c. 72 d. 96 e.144 43. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante si 3 de ellos deben estar juntos? a. lO! b. 11! C. 12! d. 3· 10! e.6· lO!
30. ¿Cuántas posibilidades de ubicación tienen 5 alumnos al sentarse en 5 sillas en línea recta? a. 6 b. 12 c. 24 d. 60 o 120
44. En una reunión hay 4 peruanos, 2 chilenos y 3 sudafricanos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten siempre juntos? a. 1 728 c. 1 440 e. 1 024 b. 1 260 d. 2 162
31. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ordenar, en un estante 5 libros distintos? a.120 b. 240 c. 360 d. 480 e. 720
45. ¿De cuántas maneras 8 personas se pueden sentar en una fila con 8 asientos vacíos, si 2 de ellas no pueden estar juntas? a. 40320 b. 30 240 c. 24420 d. 32660 e. 10080
32. ¿De cuántas maneras se puede ordenar la palabra importar su significado? a.120 b.1 720 c. 24 d. 60 33. ¿Cuántas palabras, con significado o sin él, pueden con las letras de la palabra "MUSA"? a. 6 b.24 c. 120 d. 720
"PADRE" sin e.6 formarse
46. ¿De cuántas maneras distintas se puede vestir una chica que tiene 7 polos, 5 pantalones y 4 pares de zapatos? a. 50 b. 60 c. 70 d. 140 e. 180 47. ¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números 2; 3; 4; 5 y6? A) 20 B) 30 C) 45 D) 60 E) 120
240
34. Un fabricante de collares para damas emplea esferas de los 7 colores básicos del espectro solar unidas con un hilo. ¿De cuántas maneras distintas pueden unir estas 7 esferas de distinto color? a. 24 b. 120 c. 720 d.5040 e. 40320 35. Para una ceremonia se nombra una delegación de 4 cadetes militares y 2 civiles. Se forman todos en una fila, y deben quedar los civiles juntos. ¿De cuántas maneras pueden formarse? a.240 b. 120 c. 60 d 48 e. 720 36. Ana y Juana van al cine con 3 amigos, ¿de cuántas maneras diferentes se podrán sentar en una fila de 5 asientos donde Ana y Juana deben estar juntas? a. 12 b. 24 c.48 d. 72 e. 96 37. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse Ana, Beto, Carlos, Dora y Emilia, si Ana quiere ocupar uno de los extremos del banco de 5 asientos? a. 24 b.48 c. 72 d. 96 e. 120
48. ¿De cuantas formas pueden sentarse un padre, su esposa y sus 3 hijos en una fila de 5 asientos? A) 32 B) 24 C) 100 D) 120 E) 150 49. ¿De cuantas formas pueden sentarse en una mesa circular un presidente con sus 6 vocales? A) 12 0 B) 720 C) 840 D) 960 E) 5020 50. En un examen se ponen 7 temas para que el alumno escoja 4, ¿De cuantas maneras puede hacerlo? A) 15 B) 25 C) 35 D) 40 E) 55 51. con los colores del arco iris ¿Cuántas banderas bicolores distintas se pueden formar? A) 36 B) 42 C) 48 D) 56 E) 63
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06. Con 8 pantalones diferentes los cuales deben ser colocados en una bolsa. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden embolsar 3 pantalones si en dicha bolsa solo caben 3 pantalones? A) 24 B) 36 C) 48 D) 56 E) 64 07. 10 corredores ¿De cuantas maneras diferentes pueden obtener 3 premios distintos? A) 560 B) 640 C) 700 D) 720 E) 840 08. ¿Cuántos comités de 3 miembros se pueden elegir con 12 personas? A) 105 D) 320
B) 210 E) 420
D) 39
E) 42
19. ¿De cuantas maneras 5 parejas de esposos pueden ubicarse en una mesa circular para almorzar; si estas parejas siempre deben almorzar juntos? A) 576 B) 648 C) 756 D) 768 E) 780 20. ¿De cuantas maneras pueden colocar 3 hombre y 3 mujeres alrededor de una mesa circular de tal manera que cada mujer este entre 2 hombre? A) 4 B) 18 C) 24 D) 14 E) 8
C) 220
09. Silvia desea comprar una minifalda y una blusa. Un comerciante le muestra 8 minifaldas y 7 blusas de colores diferentes en los modelos que a Silvia le gusta. ¿De cuantas maneras distintas puede escoger lo que desea comprar? A) 42 B) 48 C) 56 D) 63 E) 35 10. Una persona puede viajar de “A” hacia “B” por vía aérea o por vía terrestre y tienen a su disposición 3 líneas aéreas y 5 líneas terrestres ¿De cuantas maneras distintas puede realizarse el viaje? A) 15 B) 8 C) 13 D) 24 E) 36 11. En una carrera participan 5 atletas. ¿De cuantas maneras distintas pueden llegar a la meta; si le llega uno a continuación del otro? A) 36 B) 24 C) 64 D) 120 E) 720 12. Un grupo esta conformado por 7 personas y desean formar una comisión integrada por un presidente y un secretario. ¿De cuantas maneras puede formarse dicha comisión? A) 14 B) 21 C) 42 D) 30 E) 56 13. De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra “MATEMÁTICA”. A) 130200 B) 148600 C) 149700 D) 150300 E) 151200 14. Se tiene 9 banderillas donde 2 son blancas; 3 rojas y 4 negras. ¿De cuantas maneras se pueden hacer señales poniendo todas las banderas en fila? A) 1050 B) 1150 C) 1260 D) 1320 E) 1480 15. Con 8 hombres y 7 mujeres. ¿Cuántos comités de 5 personas se pueden formar de modo que este conformado por 3 hombre y 2 mujeres? A) 648 B) 948 C) 1058 D) 1176 E) 1234 16. Se tienen lápices de 7 colores. ¿De cuantas maneras se pueden formar grupo de 3 o 2 elementos con dichos lápices? A) 35 B) 48 C) 56 D) 64 E) 72 17. ¿De cuantas maneras distintas pueden sentarse las personas A ; B ; C; D y E ; si “A” quiere ocupar uno de los extremos del banco? A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 56 18. En un campeonato de fútbol; 12 equipos deben jugar todos contra todos si llegan 3 equipos juntos mas. ¿Cuántos partidos adicionales deben jugarse? A) 15 B) 25 C) 30
21. ¿Cuántos paralelogramos se pueden formar al contar un sistema de 8 rectas paralelas con otro sistema de 5 rectas paralelas? A) 80 B) 160 C) 180 D) 280 E) 320 22. ¿De cuantas maneras se pueden colocar 12 libros diferente sobre un estantería de manera que 3 de ellos siempre deben estar juntos? A) 3!, 9! B) 3! 10! C) 3!. 12! D) 3!.11! E) 3!.7! 23. Una alumna tiene 12 stiker para colocar en la pasta de su cuaderno: pero solo tiene espacio para 8. ¿De cuantas maneras puede seleccionar que no va a colocar? A) 365 B) 385 C) 425 D) 495 E) 545 24. Tres mujeres y 2 hombres van al cine y encuentran 5 asientos juntos en una misma fila donde desean acomodarse ¿de cuantas maneras diferentes pueden sentarse, si las tres mujeres no quieren estar juntas? A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) 24 25. ¿De cuantas formas pueden sentarse 5 personas alrededor de una mesa circular si una de ellas; permanece fija en su asiento? A) 6 B) 12 C) 18. D) 24 E) 36 26. En una competencia automovilística intervienen 5 autos A; B; C; D y E ¿De cuantas maneras diferentes podrán culminar la competencia si el coche A siempre llega adelante del coche B? A) 12 B) 24 C) 18 D) 36 E) 48 27. Se tiene un estante con capacidad para 9 libros, si ene le se quiere ordenar 4 libros de física; 3 libros de química; y 2 de aritmética. ¿De cuantas maneras se podrá realizar esto si los de aritmética siempre se ubican a los extremos? A) 5040 B) 2520 C) 1080 D) 1520 E) 2060 28. Se va a colocar un mapa de 4 países con colores diferentes para cada país, si hay disponibles 7 colores diferentes. ¿De cuantas maneras puede colorear el mapa? A) 1050 B) 1220 C) 840 D) 1520 E) 1680 29. En una urna se encuentran 6 bolos numerados del 1 al 6. ¿De cuantas maneras se podrá extraer en sucesión y sin reemplazarlo 3 de estas bolitas? A) 100 B) 105 C) 120 D) 130 E) 150
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15. Hans posee 3 camisas, 5 pantalones y 3 pares de zapatos. Si todas las prendas son diferentes, ¿de cuántas maneras diferentes puede lucir una vestimenta constituida por camisa, pantalón y zapato? a. 5 b. 11 e 18 d. 30 045
2. Un alumno tiene que llenar un cuestionario con sí o no. ¿De cuántas maneras distintas puede contestar, si el cuestionario tiene 5 preguntas? a. 8 b. 16 © 32 d. 64 e. 72 3. Se lanza un dado y se hace girar un trompo de 8 caras. ¿Decuántas maneras diferentes pueden caer? a. 12 b. 16 e 24 d. 32 @ 48 4. Una persona desea trasladarse de Chorrillos al Callao y no hay un carro directo. De Chorrillos a Miraflores puede hacerlo con 5 diferentes líneas de ómnibus y de Miraflores al Callao con 4 líneas diferentes. A. ¿De cuántas maneras diferentes puede trasladarse de Chorrillos al Callao? a. 14 b. 16 e 18 @ 20 e. 22 B. ¿Decuántas maneras diferentes puede ir y regresar de Chorrillos al Callao? a. 250 b. 280 e 320 d. 380 0 400 C. ¿Decuántas maneras diferentes puede ir y regresar de Chorrillos al Callao, pero de regreso usa el mismo ómnibus? a. 200 b. 220 (0 320 d. 260 e. 280 5. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 5 personas en una banca? a. 20 b. 40 e 60 d. 80 @ 120 6. Para ir hacia una montaña solo hay 7 caminos. ¿De cuántas maneras se puede trepar y descender con la condición de que el ascenso y descenso sean por distintos caminos? a. 18 b. 24 e 30 d. 36 @ 42 7. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 3 parejas de novios alrededor de una mesa circular? a. 2 b. 12 e 24 @ 120 e. 720 10. Ocho amigas disponen de una mesa redonda para merendar. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse alrededor de ella? a. 8! ~ 5 040 e 256 d. 8 e. 64 11. En una carrera de caballos participan 6 de estos ejemplares. ¿De cuántas maneras podrán ocupar los 6 primeros puestos? a. 120 b. 180 e 60 @720 e. 20 13. Madahi desea viajar desde Lima a Trujillo, para lo cual dispone de 5 líneas terrestres, 3 líneas aéreas y 2 rutas marítimas. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar este viaje? a. 5 b. 8 (0 10 d. 11 e. 30 14. De "A" hacia "B" hay 3 caminos diferentes y de "B" a re: existen 4 caminos también diferentes. ¿Porcuántos caminos diferentes se podrá ir de "A"a "C" pasando por "B"? a. 7 ~ 12 e 14 d. 24 e. 16
16. Juanito tiene 4, camisas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos. ¿De cuántas formas pueden vestirse alternando estas prendas? a. 12 @ 24 e 36 d. 18 e. 495 17. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes que no sean múltiplos de 5, existen? a. 486 b. 648 e 729 d. 567 0512 18. De una ciudad "A" a una ciudad "B" hay 4 caminos diferentes y de la ciudad B a la ciudad "C 3 caminos diferentes. ¿Decuántas maneras se puede viajar de "A" a "C" pasando por "B"? a. 11 ~ 12 e 13 d. 14 e. 15 19. ¿Decuántas formas se podrán ubicar 6 soldados en fila? G) 720 b. 64 e 120 d. 240 e. 144 20. ¿Cuántos números capicúas de tres cifras existen? a.90 e72 d. 64 e. 56 21. Un vendedor de cerveza visita dos veces a la semana a un distribuidor. ¿De cuántas manera podrá el vendedor escoger dichos días de visita? G) 42 b. 12 e 24 d. 21
