Aplicación De La Integral Doble En Coordenadas Polares

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Aplicación de la Integral Doble en Coordenadas Polares I. INTRODUCCIÓN Las aplicaciones de las integrales dobles en coordenadas polares son varias, se sabe !e parte del "is"o principio !e las coordenadas cartesianas solo !e a#ora !tili$are"os coordenadas polares por lo tanto se !tili$aran las "is"as ec!aciones !e #a% !e pasarlas a coordenadas polares.&'( II. D)*ARROLLO D) D)L CO CONT)NIDO *i desea"os integrar doble f   +!nción de+inida dentro de !na región R, general"ente lo #ara"os eval!ando la integral ∬ f  ( ( x , y ) dA  sobre la región de integración !e de+inira"os !tili$ando los "-todos !e #e"os visto antes en coordenadas rectang!lares. Un proble"a !e p!ede presentarse seria si se deseara trabaar con ciertas +ig!ras circ!lares /p.e. crc!los, paraboloides, elipsoides, etc.0, la de+inición de s! región de integración se v!elve algo co"plicada. Una +or"a en la !e nos +acilita"os el trabao es el trabaar para coordenadas polares, dado !e estas se adec!an de "eor  "anera a las +or"as circ!lares.&1(  A. Pasos a seguir  Los pasos generales !e se deben conocer para la resol!ción de las integrales dobles en coordenadas polares son2 '. Para"etri$ación de las +!nciones en coordenadas polares. 1. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo. 5. Resolver la integrar con los l"ites anterior"ente encontrados.  B. Método de parametrización parametrización A con conti tin!a n!ació ciónn se presen presentan tan las ec!ac ec!acion iones es "4s "4s !sadas !sadas para para la para"e para"etri tri$ac $ación ión de coo coorde rdenad nadas as cartes cartesian ianas as en coordenadas polares2 2 2 r = x + y  x =rcosθ  y =rsinθ 2 2 senθ = cos θ 2 = 1 −sen 2 θ 2 1 + cos2 θ 2 C. Cálculo de Áreas Para el c4lc!lo de 4reas se reco"ienda el sig!iente procedi"iento2 '. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo. 1. Resolve"os la integral doble con los l"ites #allados % el di+erencial de 6rea.  D. Cálculo de Volumen Para el c4lc!lo del vol!"en se reco"ienda el sig!iente procedi"iento2 '. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo. 1. Resolve"os la integral doble con los l"ites a la restricción !e se tiene para el c4lc!lo del vol!"en.  E. Cálculo de Masa Para el c4lc!lo de "asa se reco"ienda el sig!iente procedi"iento2 '. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo. 1. Resolve"os la integral doble con los l"ites a la densidad "!ltiplicado por el di+erencial de 6rea.  F. Cálculo de Momento de Masa Para el c4lc!lo de "o"ento de "asa se reco"ienda el sig!iente procedi"iento2 '. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo. 1. Resolve"os la integral doble con los l"ites a la densidad "!ltiplicado por la variable 7 para el "o"ento % por el di+erencial de 6rea. G. Cálculo de Momento de Inercia Para el c4lc!lo de "o"ento de "asa se reco"ienda el sig!iente procedi"iento2 '. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo. 1. Resolve"os la integral doble con los l"ites a la densidad "!ltiplicado por la variable di+erencial de 6rea.  H. Cálculo de Centro de Graedad  Para el c4lc!lo de centro de gravedad se reco"ienda el sig!iente procedi"iento2 '. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo.  x 2  para el "o"ento % por el 1. Calc!la"os la "asa. 5. 3alla"os el "o"ento de "asa con respecto a 7 e %. 8. Dividi"os el "o"ento de "asa para la "asa respectiva"ente para 7 e %. III. CONCLU*ION)* De todos los aspectos observados nos #e"os dado c!enta !e "ediante el !so del "-todo de resol!ción de proble"as con +ig!ras circ!lares por el "-todo de la doble integral en coordenadas polares se +acilita "!c#o el c4lc!lo. *e parte del "is"o concepto de las integrales dobles en coordenadas cartesianas solo !e aplica"os los conceptos de nor"a % 4ng!lo para lograr !e se +acilite la resol!ción de proble"as con +or"as circ!lares. R)9)R)NCIA* &'(. Ing. Leticia C#4ve$. An4lisis :ate"4tico II. 1;'8. &1( Ug"edialab. 1;'5. >???.?i=i"ate"atica.org>inde7.p#p@ titleIntegralesBdoblesBenBcoordenadasBpolares &5( Leit#old ta edición eercicio 8 p4g. '558 &8( Leit#old ta edición eercicio 5 p4g. '551 &( Dobles integrales en coordenadas polares. 1;'1. &Online(. Available2 #ttp2>>???."onogra+ias.co">trabaosEpd+>calc!loEareaElongit!dEplanoEpolar>calc!loEareaElongit!dEplanoE  polar.pd+  &( Universidad de TALCA. Integrales dobles en Coordenadas polares. &Online(. Available2 " #ttp2>>dspace.!talca.cl>bitstrea">'F;>1;G'>'>Calc!loII.pd+  &G( C4lc!lo II, H!an Pablo Prieto % :a!ricio argas. 1;;J. )ercicio 8 pag J &J( Dobles integrales en coordenadas polares. 1;'1. &Online(. Available2 #ttp2>>vidaenelespirit!.co">cvv>.8BIntegralesBenBCoordenadasBPolares.pd+  &F( Leit#old G"a edición. )ercicio ' p4g. ';8 Capt!lo KIII &';( Leit#old G"a edición. )ercicio J p4g. ';F Capt!lo KIII &''( Proble"as % eercicios de An4lisis :ate"4tico. D):IDOIC3. )ercicio 1'. p4g. 15 &'1( Leit#old ta edición. )ercicio 1 p4g. '551 Capt!lo KIII &'5(