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Ejercicio 1
Para la estructura mostrada en la figura determine la máxima sobrecarga que puede resistir el elemento central indicado en esta si se está utilizando H30 y A63-42. No considere falla por funcionamiento de la losa y verifique la carga crítica de pandeo para el caso más favorable y desfavorable.
Desarrollo
1-. Se debe determinar el facto ω, para esto se debe determinar el caso más desfavorable, dado que no hay mayor información, para esto se considerara K=0.5 (si la losa aporta rigidez suficiente junto a los otros elementos para empotrar la columna en la parte superior) y K=2 (si la columna se comporta como voladizo) b 30cm
l 2.2
Si
K ( l K)
b
Si
0.
( l K)
b
0.6
Caso más favorable ==>
3.667
K 2
h 30cm
1
(de tabla 1.1)
Caso más desfavorable
14.667
==>
1
(de tabla 1.1)
2-. Calculo de Pn 2
Ag 900 900cm
2
As 42.54cm
fy 4200
kg 2
cm
f´c 250
kg 2
cm
Pn 0.85(Ag As)f´c f´c As fy Pn
231763 kg
3-. Calculo de SC max: Viendo las combinaciones de la NCh3171of2010, se tiene que el caso más desfavorable será: Pu max=1.2PP+1.6SC Para la carga de PP será necesario Cubicar el AREA TRIBUTARIA que descarga al elemento
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horm 2500
kg 3
m 2
Plosa 9m 0.15m horm
Plosa 3375kg Ppilar 495 495kg
Ppilar 0.3m0.3m2.2mhorm
PP Plos losa Ppila pila Puma umax 0.8P 0.8Pn SCmax
se considera peso pilar porque es el caso más desfavorable para este
PP 3870kg
Pumax 120516.76kg
( Puma Pumax 1.2PP 1.2PP)
SCmax 72420.475kg
1.6
Pero la SC debe darse distribuida en el Área Tributaria SCmax
SC
kg SC 8046.719
2
2
m
9m
4-. Calculo de Cargas Críticas de Pandeo 3
I b
h
4
Ec 15000
I 67500 cm
12
kg
2
f´c
2
cm
cm
kg
Ec 237170.825
kg 2
cm
K 0. 2
Pcrit1
Ec I (K l)
2
Pcrit1 13058082.596 kg
K 2 2
Pcrit1
Ec I (K l)
2
Pcrit1 816130.162 kg
Nota: Se ve que la carga crítica de pandeo es muy superior a la carga que se resiste por materiales
Ejercicio 2
Determine la armadura para una columna de 6 m de alto, de sección bruta de 30x30, libre en su extremo superior y empotrada en el extremo inferior, sometida a una carga ultima de 50 toneladas, con acero A44-28, y hormigón H25. L 6
Pu
50000
kg
f´c 200
kg 2
fy 2800
cm
At 30cm30cm
w* Pu 0. 8 Pn
Ac
2
cm
w=3
kg 2
0.6
cm
Ast
(a=2, L*a /b=40)
Pn 0.85f´c(At Ast) fyAs
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Pu Ast
0.8
c 0.85 f ´ At 2
Ast 51.506cm
fy 0.85f ´ c
2
Asmin 0.01At
Asmin 9 cm
Asmax 0.08A
Asmax 72cm
2
Por lo que se está dentro de los rangos permitidos. La armadura se escogerá de la siguiente tabla obtenida de Gerdau Aza
Con 12 ϕ28 se tiene un área de: 2
2
124.83cm 57.96cm
Se obtiene con un recubrimiento de 2 cm una separación libre entre refuerzos de 5cm aproximadamente, con el siguiente esquema de diseño:
Recordar que no deben existir refuerzos a distancias mayores a 30cm, no obstante cuando se trabaja con compresión simple se asumen deformaciones planas, por lo que todos los elementos de refuerzo se consideran, por lo que si se agregan estos aumentan la cuantía de trabajo del elemento
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2-. Flexión Simple
Consideraciones Previas - Toda ecuación aquí presentada puede ser deducida por equilibrio de fuerzas y deformaciones - Se está diseñando bajo método LRFD, puede que valores de factores cambien de acuerdo a la versión del código ACI Vigente. Armadura Simple
I) Caso 1: Cálculo de Resistencia a) Calculo de Equilibrio de fuerzas (2.1) (2.2)
(1) Rectángulo de compresión según ACI (2) Área de Hormigón Comprimida (cambia para viga no rectangular)
T: Tracción C: Compresión As: Área de Acero (de manuales comerciales) fy: Limite de fluencia del Acero f´c: Resistencia en probeta cilíndrica del Hormigón a: Altura que alcanza la compresión del Hormigón b: Ancho Viga b) Determinar a y con esto c (C=a/β1, donde β1 depende de f´c)
c) Determinar el momento nominal de la viga Mn
d a As fy 2
(2.3)
Mn: Momento nominal que resiste la viga d: Altura libre de Grieta de la viga (sección transversal). d = H - recubrimiento d) Calcular el Momento Ultimo de la viga (2.4) M ϕ: Factor de reducción que minora resistencia de la viga. ϕ=0.9 Mu
( a)
( b)
Fig. 2.1 (a): Esquema básico viga con armadura simple. Fig. 2.1 (b): Diagrama deformación viga Fig. 2.1 (c): Esquemas de tensiones en viga Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple
( c)
Fig. 2.1
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II) Caso 2: Diseñar la Armadura a) Determinar Mu al cual está sometida la viga. Se recomienda mayoría los momentos para cada punto y no las cargas, con los factores dados por NCh3171 b) Con la ecuación dada a continuación obtener armadura necesaria (y la cuantía): As
2
0.85 f´c b d
0.85 f´c b d fy
fy
As
( 1.89 Mu b f´c)
(2.5)
2
fy
(2.6)
bd
As: Área de armadura necesaria para satisfacer el momento que solicita la viga fy: Limite de fluencia del Acero f´c: Resistencia en probeta cilíndrica del Hormigón b: Ancho Viga d: Altura libre de Grieta de la viga (sección transversal). d = H - recubrimiento ρ: Cuantía
Nota: - Si As es mayor que 0, se debe verificar los límites máximos y mínimos de armadura - Si As es menor o igual a 0, no requiere armadura, no obstante se utiliza armadura mínima - Si As es un n° complejo, se requerirá refuerzo de acero a compresión. c) Determinar la cuantía de balance bal
0.85 f´c 1
fy
0.003Es
fy 0.003Es
(2.7)
ρbal: Cuantía de Balance
Es: Modulo de elasticidad del Acero d) Comparar Cuantía obtenida 0. 8 f´c 14 0.8 fy fy
min max
(2.8)
max
0.75 bal if CasoEst asoEsta atico ico
(2.9)
0.025 if CasoSismico
Nota: - Si As es menor a ρmin, se utiliza armadura mínima - Si ρ es mayor que ρmax, se aumenta sección, o se aumenta calidad del acero, o se cambia a armadura doble - Se aclara que la armadura que estamos diseñando es para la zona en Tracción, dado que se asume que la resistencia del hormigón a tracción es cero
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Armadura Doble
Nota: Se mantiene Nomenclatura utilizada para Armadura Simple y principios utilizados en esta. I) Caso 1: Cálculo de Resistencia La resistencia de la viga se lograra mediante un proceso iterativo, del cual se describen los pasos a continuación. a) Realizar equilibrio de fuerzas y con esto determinar a Cc
Cs
0.85 f´c a b As´ fs´
a
(2.10)
T
(2.11)
As fs
( As fs
As´ fs´) 0.85f´c b
(2.12)
Nota: aquellos términos con ´ en su final son para denotar la armadura que trabaja a compresión, en este caso además, se desconoce la tensión de trabajo del acero. Para la primera iteración se ingresa con fs=fs´=fy b) Determinar c=a/β1
c) Realizar diagrama de deformación unitaria, y obtener deformación unitaria del acero. Se recomienda usar congruencia de triángulos
Fig. 2.2 ( a)
( b)
( c)
Fig. 2.2 (a): Esquema básico viga con armadura doble. Fig. 2.2 (b): Diagrama deformación viga Fig. 2.2 (c): Esquemas de tensiones en viga d) Verificar hipótesis de que acero trabaja a fluencia, de no ser así se debe volver al paso a), donde el valor para fs=εs*Es y fs´=εs´*Es (si fs o fs´ mayor a fy, usar fy para este) e) Iterar entre el paso a) y el paso d), hasta que converjan los valores de fs´ y fs. f) Determinar el momento que resiste la viga, para esto hay diversa ecuaciones. Mn
a As´ fs´ (c h1) Asfs (d c) 2
0.85 f´c a b c
(2.13)
h1: Distancia entre As´ y borde de la viga.
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II) Caso 2: Determinar Armadura de la viga vi ga (método recomendado) a) Determinar una armadura base sobre la cual se comienza a trabajar, esta debe estar contenida entre As máxima y As mínima para armadura simple. b) Determinar el momento nominal que resiste la viga con esta armadura, con ecuaciones de armadura simple c) Determinar el ΔMn requerido
Mn
Mu Mn
(2.14)
d) Determinar armadura que falta para cumplir con momento requerido Asr
Mn ( d d´) fy
(2.15)
Asr: Armadura necesaria Agregar, esta se agrega tanto en zona de compresión como en zona de tracción. d´: Distancia entre borde viga y armadura de refuerzo a compresión (generalmente igual a recubrimiento) e) Verificar: As
2Asr
14
(2.16)
fy
c t 0.75ba
(2.17)
ρc: Cuantía Armadura a compresión ρt: Cuantía Armadura a Tracción
Nota: - La distribución de armaduras debe mantenerse para las condiciones aquí dadas, es decir, se deben repartir a la altura utilizada en las ecuaciones, o estas dejan de ser válidas. - En la sección transversal no deben haber fierros a una distancia mayor a 30 cm entre ellos. - La armadura longitudinal se debe diseñar para más de un punto, para lo cual se utiliza la envolvente de momentos, escogiendo para cada punto el momento positivo y negativo máximo, analizando todas las combinaciones, por esto es que se aconseja utilizar una armadura base y calcular refuerzos en zonas requeridos (usar traslape de 40 ϕ es recomendado). - Para diseño sísmico la resistencia para momentos positivos la resistencia no debe ser menor que la mitad de los momentos negativos en los apoyos y en los tramos no debe ser menor que un cuarto de la resistencia en los apoyos para momentos positivos o negativos
Fig. 2.3: Envolvente de momentos Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple
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Ejercicios
1-. Determine el momento máximo que puede resistir una viga V30/40, cuyo recubrimiento es de 2 cm, una armadura inferior de 14cm2, y superior de 8cm2, considere H30 con acero A63-42 Es=2.1x10^6 As
2
14cm
As´
d 38cm
2
8cm
b 30cm
d1 2cm f´c 250
kg 2
cm Es
2
cm
6 kg
2.110
kg
fy 4200
c 0.00
2
cm
( As fs
a
As´ fs´) 0.85f´c b ( d c)
es
c
fs
es Es
c
c
a
1 (c
es´
c
fs´ fs´
es´ fs
d1) c
a As´ fs´ (c h1) Asfs (d c) 2
0.9 0.85 0.85 f´c a b c
Mu
Ite r.
f si
f s'i
a
c
es
e 's
f ss
f s's
1
4200
4200.00 .00
3.95 .95
4.65 .65
0.02 .02151
0.00 .00171
45178.13 .13
3590.63 .63
21236860.5 19113174.4
2
4200
3590.63 .63
4.72 .72
5.55 .55
0.01 .01754
0.00 .00192
36833.79 .79
4029.80 .80
16943933.6 15249540.2
3
4200
4029.80 .80
4.17 .17
4.90 .90
0.02 .02026
0.00 .00178
42539.26 .26
3729.51 .51
19873068.6 17885761.7
4
4200
3729.51 .51
4.54 .54
5.35 .35
0.01 .01833
0.00 .00188
38488.47 .47
3942.71 .71
17790235.9 16011212.3
5
4200
3942.71 .71
4.28 .28
5.03 .03
0.01 .01966
0.00 .00181
41290.96 .96
3795.21 .21
19229718.7 17306746.8
6
4200
3795.21 .21
4.46 .46
5.25 .25
0.01 .01872
0.00 .00186
39316.26 .26
3899.14 .14
18214671.3 16393204.2
7
4200
3899.14 .14
4.33 .33
5.09 .09
0.01 .01938
0.00 .00182
40690.11 .11
3826.84 .84
18920506.5 17028455.9
8
4200
3826.84 .84
4.42 .42
5.20 .20
0.01 .01892
0.00 .00185
39725.70 .70
3877.59 .59
18424850.5 16582365.4
9
4200
3877.59 .59
4.36 .36
5.13 .13
0.01 .01924
0.00 .00183
40398.49 .49
3842.18 .18
18770541.2 16893487.1
10
4200
3842.18 .18
4.40 .40
5.18 .18
0.01 .01901
0.00 .00184
39927.09 .09
3867.00 .00
18528283.9 16675455.5
11
4200
3867.00 .00
4.37 .37
5.14 .14
0.01 .01917
0.00 .00183
40256.38 .38
3849.66 .66
18697488.6 16827739.7
12
4200
3849.66 .66
4.39 .39
5.17 .17
0.01 .01906
0.00 .00184
40025.87 .87
3861.80 .80
18579030.2 16721127.2
13
4200
3861.80 .80
4.38 .38
5.15 .15
0.01 .01914
0.00 .00183
40186.99 .99
3853.32 .32
18661825.9 16795643.3
14
4200
3853.32 .32
4.39 .39
5.16 .16
0.01 .01908
0.00 .00184
40074.25 .25
3859.25 .25
15
4200
3859.25 .25
4.38 .38
5.15 .15
0.01 .01912
0.00 .00184
40153.08 .08
3855.10 .10
18644397.9 16779958.1
16
4200
3855.10 .10
4.39 .39
5.16 .16
0.01 .01909
0.00 .00184
40097.93 .93
3858.00 .00
18616059.5 16754453.6
17
4200
3858.00 .00
4.38 .38
5.16 .16
0.01 .01911
0.00 .00184
40136.50 .50
3855.97 .97
18635876.6
18
4200
3855.97 .97
4.38 .38
5.16 .16
0.01 .01910
0.00 .00184
40109.52 .52
3857.39 .39
18622014.7 16759813.2
19
4200
3857.39 .39
4.38 .38
5.16 .16
0.01 .01911
0.00 .00184
40128.39 .39
3856.40 .40
18631709.2 16768538.2
20
4200
3856.40 .40
4.38 .38
5.16 .16
0.01 .01910
0.00 .00184
40115.19 .19
3857.10 .10
18624928.3 16762435.5
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Mn
18603890
Mu
16743501
16772289
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fss y fs´s de la fila i se copian en fsi y fs´i de la fila i+1 respectivamente, y se itera nuevamente hasta converger
Se ve con cada iteración se acerca más a un valor, lo cual se puede observar en los siguientes gráficos
f´s (kg/cm2) vs N° Iteraciones Iteraciones 4050.000 4000.000 3950.000 3900.000 3850.000 3800.000 3750.000 3700.000 3650.000 3600.000 3550.000 0
5
10
15
20
Mu (kgcm) vs Iteracion 1908000.00 1906000.00 1904000.00 1902000.00 1900000.00 1898000.00 1896000.00 1894000.00 1892000.00 0
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5
10
15
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2-. Para una viga V25/45 determine la armadura necesaria si se usa hormigón H30 y Acero A63-42, si se presenta la siguiente tabla de momentos punto
1
2
3
4
5
Comb1
320711
416732
873529
750316
537703
Comb2
300916
169501
50133
132
139669
Comb3
903512
50713
163021
290332
330735
*Momentos en Kg*cm Desarrollo
f´c 250
kg
fy
2
kg
4200
b 25cm
2
d 43cm
cm
cm
d1 2cm
1 0.8
Es
6 kg
2.110
2
cm
a) Se calculara armadura base:
0.8
f´c
kg b d Asmin smin max 14 fy 2 cm Asmax 0.75
( 0.85 f´c 1 0.003 Es)
f y (f y 0.003Es)
kg 2
cm fy
b
b d
Asmin
2
3.583 cm
2
Asmax 20.804 cm
se utilizaran 2ϕ16 para enseñar a usar refuerzo de armadura a compresión. As
2
2 2cm
tabla obtenida www.gerdauaza.cl
de
b) Se determina momento que puede resistir la viga con esta armadura a c
As fy 0.85f´c b
a
1
a
3.162cm
c
3.72 cm
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Mn As f y d
a
5
5
6.958 10 kg cm Mn 6.958
Mu 0.9M
1
2
3
4
5
903512
416732
873529
750316
537703
2
6.263 10 kg cm Mu 6.263
c) La envolvente queda: punto Mu
Por lo que se requeriría refuerzo en los puntos 1, 3 y 4 Mn1 Mn3 Mn4
903512 0.9
kg cm
873529 0.9
kg cm
750316 0.9
kg cm
5
Mn
Mn1 3.081 3.081 10 kg cm
Mn
Mn3 2.748 2.748 10 kg cm
Mn
Mn4 1.378 1.378 10 kg cm
5
5
Asr1
Mn1 ( d d1) fy
Asr1
1.789 cm
Asr3
Mn3 ( d d1) fy
Asr3
1.596 cm
Asr4
Mn4 ( d d1) fy
Asr4
0.801 cm
2
2
2
Asr1
116
Asr3
116
Asr4
112
Nota: Podrían reajustarse las áreas de la armadura a tracción y compresión determinando el nuevo momento máximo de la viga, ya que está claro que por varios motivos en la zona superior de la viga debería ir armadura, la cual para este caso se omitirá. El diseño queda
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3-. Para la viga mostrada en la figura, y en función de los datos entregados determine el valor de t para que el área comprimida quede solo en la parte superior de la viga. Determine además el momento último que resiste. Datos: kg
f´c 250
2
cm
kg
fy 2800
2
cm
2
As1
10cm
As2
8cm
As3
6cm
r
2 2
2cm
1 0.8
Desarrollo i) Determinar ecuaciones que se utilizaran Equilibrio de fuerzas Cc Cas3 as3
Tas1 Tas1 Tas2 Tas2 a
c
==>
(As1 fs1 As2 fs2
0.85 f´c a b As3 fs3
As1 fs1 As2 fs2
As3 fs3)
0.85 f´c b
a
1
tal que c
r
1
c
2
c
3
c
(d
c) c
(d
c 5) c
(c
r) c
d
50 t
r
fs 1
Es 1
fs 2
Es 2
fs 3
Es 3
Momento ultimo Mu
As1 fs1 ( d c) As2 fs2 ( d c 5) As3 fs3 (c r) 0.85 f´c b a c
a
2
con ϕ=0.9 Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple
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Se obtiene la siguiente tabla de iteraciones i ter 1
fs 1 i
fs 2 i
fs 3 i
a
c
4200 4200 4200 4200 4200. 4200.00 00 3.95 3.9529 29 4.65 4.6505 05
t
d
5
53
es 1
es 2
es 3
fs 1 s
fs 2 s
fs 3 s
Mu
0.03 0.0311 119 9 0.02 0.0279 796 6 0.00 0.0017 171 1 6549 65498. 8.44 44 58725. 58725.00 00 3590. 3590.63 331990 3319907 7
2
4200 4200 4200 4200 3590. 3590.63 63 4.23 4.2397 97 4.98 4.9879 79
5
53
0.02 0.0288 888 8 0.02 0.0258 587 7 0.00 0.0018 180 0 6064 60642. 2.14 14 54326. 54326.85 85 3773. 3773.88 331300 3313009 9
3
4200 4200 4200 4200 3773. 3773.88 88 4.15 4.1535 35 4.88 4.8864 64
5
53
0.02 0.0295 954 4 0.02 0.0264 647 7 0.00 0.0017 177 7 6203 62032. 2.06 06 55585. 55585.64 64 3721. 3721.43 331518 3315183 3
4
4200 4200 4200 4200 3721. 3721.43 43 4.17 4.1781 81 4.91 4.9155 55
5
53
0.02 0.0293 935 5 0.02 0.0263 630 0 0.00 0.0017 178 8 6162 61628. 8.39 39 55220. 55220.05 05 3736. 3736.66 331456 3314569 9
5 6
4200 4200 4200 4200 3736. 3736.66 66 4.17 4.1710 10 4.90 4.9070 70 4200 4200 4200 4200 3732. 3732.26 26 4.17 4.1731 31 4.90 4.9095 95
5 5
53 53
0.02 0.0294 940 0 0.02 0.0263 635 5 0.00 0.0017 178 8 6174 61745. 5.14 14 55325. 55325.78 78 3732. 3732.26 331474 3314748 8 0.02 0.0293 939 9 0.02 0.0263 633 3 0.00 0.0017 178 8 6171 61711. 1.33 33 55295. 55295.17 17 3733. 3733.53 331469 3314697 7
7
4200 4200 4200 4200 3733. 3733.53 53 4.17 4.1725 25 4.90 4.9088 88
5
53
0.02 0.0293 939 9 0.02 0.0263 634 4 0.00 0.0017 178 8 6172 61721. 1.12 12 55304. 55304.03 03 3733. 3733.17 331471 3314712 2
8 9
4200 4200 4200 4200 3733. 3733.17 17 4.17 4.1726 26 4.90 4.9090 90 4200 4200 4200 4200 3733. 3733.27 27 4.17 4.1726 26 4.90 4.9089 89
5 5
53 53
0.02 0.0293 939 9 0.02 0.0263 633 3 0.00 0.0017 178 8 6171 61718. 8.28 28 55301. 55301.46 46 3733. 3733.27 331470 3314707 7 0.02 0.0293 939 9 0.02 0.0263 633 3 0.00 0.0017 178 8 6171 61719. 9.10 10 55302. 55302.21 21 3733. 3733.24 331470 3314708 8
10 4200 4200 4200 3733. 3733.24 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089 11 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089 12 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089
5 5 5
53 53 53
0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.87 87 55301. 55301.99 99 3733. 3733.25 3314708 3314708 0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.94 94 55302. 55302.05 05 3733. 3733.25 3314708 3314708 0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708
13 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089
5
53
0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708
14 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089
5
53
0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708
15 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089
5
53
0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708
16 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089 17 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089
5 5
53 53
0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708 0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708
18 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089
5
53
0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708
19 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089 20 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089
5 5
53 53
0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708 0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708
21 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089
5
53
0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708
22 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089
5
53
0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708
23 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089 24 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089
5 5
53 53
0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708 0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708
25 4200 4200 4200 3733. 3733.25 4.172 4.1726 6 4.9089 4.9089
5
53
0.029 0.02939 39 0.026 0.02633 33 0.001 0.00178 78 61718. 61718.92 92 55302. 55302.04 04 3733. 3733.25 3314708 3314708
* Todo en cm y kg según sea el caso
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3-. Diseño Armadura de Corte
Como es habitual, en el diseño a corte también debemos verificar que el corte que resiste el elemento Vn (Corte nominal), al ser disminuido por un factor de seguridad sea mayor a la máxima solicitación, lo cual queda expresado por la ecuación 2.1 (3.1) Vu Vn Vu: Corte Ultimo que existe en el elemento Vn: Corte Nominal que resiste el elemento ϕ: Factor de Seguridad que reduce resistencia del elemento Nota: El diseño de armadura de corte debe ser determinada para cada uno de los puntos de interés (según se explicara a continuación), respetando las consideraciones de la combinación que predomine para el diseño. Consideraciones especiales a tomar
- Corte sísmico se obtiene por capacidad aportada por armadura longitudinal - Se diseña para caso más desfavorable (Vu=max(Vcomb1, Vcomb2,... ,Vcomb n)) - Por seguridad se busca que se produzca rotula plástica en vigas y no en columnas - Corte por momento plástico no se mayora en combinaciones de NCh3171, ACI y NCh433 - Buscando el caso más desfavorable, en zona rotula plástica (ZRP) se despreciara resistencia del Hormigón a la resistencia al corte que posee elemento - fy debe ser siempre menor o igual a 4000 kg/cm2 - Ante situaciones que no se pueda asegurar 100% la simetría de las condiciones del elemento, se debe calcular la acción de Sismo a la izquierda y a la derecha Vn
Vs Vc
Vs
Vc
( Av fy d)
(3.2)
Resistencia al corte total elemento
(3.3)
Resistencia al corte por Acero
(3.4)
Resistencia al corte por Hormigón
s 0.53 b d
f´c
Av: Área de Acero requerida (Av=2As) As: Área de Acero de Estribo fy: Limite de fluencia del acero d: Altura sección transversal libre de grietas b: Ancho del elemento s: Separación entre estribos (recordar que esta se debe definir para que sea constructiva, se recomiendan múltiplos de 5cm) Nota:
- Recordar que en ZRP Vc=0 - Si se está fuera de ZRP, aunque no se requiera armadura (Vc>Vu/ ϕ) se debe usar cuantía minima
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Fig. 3.1: Alcance ZRP Consideraciones de espaciamiento de estribos y condiciones de resistencia i) En ZRP Sma Smax
d 30cm 4
(3.5)
y
3.5 b d
d 30cm 4
(3.7)
si
Vs ( kg)
1. 1
f´c b
(3.8)
d 60cm 2
(3.9)
si
Vs ( kg)
1. 1
f´c b
(3.10)
min
2. 1 Vs ( kg) 2.1
(3.6)
f´c b
ii) Fuera de ZRP Sma Smax
min
Sma Smax
min
Nota: Siempre se debe cumplir Avmin
3.5 b s
(3.11)
fy
y
Vs ( kg )
2. 1
f´c b
(3.12)
Calculo de Vu
Para calcular Vu, se debe tener el corte estático y el corte sísmico. El corte estático viene del análisis estructural por cargas tales como PP, SC, etc..., destacándose que los cortes obtenidos deben ser mayorados de acuerdo a las indicaciones de la NCh3171. El corte sísmico se calcula por capacidad y a continuación se indican los pasos para este. i) Determinar cuantías si
x
Assi bd
(3.13.a)
sd
Assi bd
(3.13.b)
ii
Assi bd
(3.13.c)
id
Assi bd
(3.13.d)
x: Superior o Inferior ==> y: Izquierda o Derecha
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ii)
si
1.25 si
id
1.25 si
fy f´c fy
sd
1.25 si
fy
(3.14.b)
ii
f´c
1.25 si
fy
(3.14.c)
f´c
(3.14.d)
f´c
==>
xy
(3.14.a)
x: Superior o Inferior y: Izquierda o Derecha
iii) Calculo de Momento Plástico 2
(3.15.a)
MPisi
2
(3.15.c)
MPisd
MPdsi
id b d f´c ( 1 0. 59id)
MPdsd
sd b d f´c (1 0. 59sd )
MPxs
==>
2
si b d f´c (1 0. 59si ) 2
ii b d f´c ( 1 0. 59ii )
(3.15.b) (3.15.d)
x: En la izquierda o En la derecha sy: Por sismo a la derecha o a la izquierda
iv) Calculo de corte sísmico Vsi Vsd
Pisi (MPisi
Pdsi) MPdsi
(3.16.a)
En L se recomienda tomar L* dado que aumenta el corte sísmico
L Pisd MPdsd Pdsd) ( MPisd
(3.16.b)
L
Nota: Aquí se ve que reforzar excesivamente los el ementos de hormigón armado con armadura a la flexión no es lo más favorable para esta. Cuando se analizan los diagramas de corte finales para el diseño de estribos, también se debe desarrollar una envolvente para cada punto, pero esta vez se debe tomar el modulo para cada valor, como se ve en el ejemplo que se presenta a continuación:
Fig. 3.2: Ejemplo envolvente de Corte Hay que recordar que lo que uno diseñe debe ser construible (no solo su instalación, sino también que se respete las condiciones impuestas en el diseño) y fácilmente entendible, por lo que se recomienda que diámetros de enfierradura y distancias se mantengan constante en su zona de acción. Para el ejemplo se recomienda diseñar para el punto (1) la ZRP1, con (2) la zona central y con (3) la ZRP2.
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Ejercicio
Para la viga mostrada en la figura se pide diseñar la armadura de corte. Use H30 y A63-42
Considere
sc
12
kg 2
cm
Desarrollo
i) Se calculara la carga de PP horm 2500
kg
pp horm 0.25m0.35
3
pp 2.188
m
kg cm
ii) Se pueden asumir los diagramas de corte estático como
Diagramas por cortes de PP y SC iii) Se calculan los cortes sísmicos
As bd
L 4.3
1.25
b 25cm
fy f´c
MP
d 33cm
2
bd f´c( 1 0. 59) f´c 250
kg 2
fy 4000
cm
Punto
As
r
w
( MPi MPd)
Vs
L
kg 2
cm
Mp
Vs
SI
6.03 .03 0.00 .007309 0.14 .146182
909138.28 .28
ID
6.03 .03 0.00 .007309 0.14 .146182
909138.28 .28
SD
4.02 .02 0.00 .004873 0.09 .097455
625161.46 .46
II
6.03 0.007309 0.146182
909138.28
4228.55 3568.14
Diagramas de corte por sismo (capacidad)
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iv) Se debe tener el Corte Para cada punto de relevancia, se tomaran los apoyos, fin de las ZRP y en el centro. (Para los cortes estáticos en este caso se pueden obtener por congruencia de triángulos) Punto
Vpp
A poy o 1 ZRP1
Vsc
Vsd
470.42
2580
4228.55
3568.14
398.216
2184
4228.55
3568.14
0
0
4228.55
3568.14
-398.216
-2184
4228.55
3568.14
-470.42
-2580
4228.55
3568.14
Ce ntro ZRP2
V si
Apoyo2
v) Se calculan las combinaciones Se ve que se tomara ambos sismos con valor positivo y negativo, dado que así buscamos obtener los valores mas extremos en solicitudes, no obstante, se recuerda que si existe simetría los cálculos se pueden resistir Punto
Apoyo 1
1.4PP
ZRP1
Centro
ZRP2
Apoyo2
658.59
557.50
0.00
-5 -557.50
-6 -658.59
1.2PP+1.6SC
4692.50
3972.26
0.00
-3972.26
-46 -4692.50
1.2PP .2PP+ +SC+ SC+VSI VSI
7373.05 .05
6890.41 .41
4228.55 .55
1566.69 .69
1084.05 .05
1.2PP .2PP+ +SC+VSD VSD
6712.64 .64
6230.00 .00
3568.14 .14
906.28 .28
423.63 .63
1.2PP .2PP+ +SC-VS SC-VSII
-10 -1084.05 .05
-15 -1566.69 .69
-42 -4228.55 .55
-68 -6890.41 .41
-73 -7373.05 .05
1.2PP .2PP+ +SC-VS SC-VSD D
-42 -423.63 .63
-90 -906.28 .28
-35 -3568.14 .14
-62 -6230.00 .00
-67 -6712.64 .64
0.9PP+VSI VSI
4651.93
4586.94
4228.55
3870.16
3805.17
0.9PP+VSD VSD
3991.52
3926.53
3568.14
3209.74
3144.76
0.9PP .9PP-V -VSI SI
-38 -3805.17 .17
-38 -3870.16 .16
-42 -4228.55 .55
-45 -4586.94 .94
-46 -4651.93 .93
0.9PP .9PP-V -VSD SD
-31 -3144.76 .76
-32 -3209.74 .74
-35 -3568.14 .14
-39 -3926.53 .53
-39 -3991.52 .52
7373.05 .05
6890.41 .41
4228.55 .55
-68 -6890.41 .41
-73 -7373.05 .05
SE TOMA
vi) Se diseñara para Apoyo 1, Apoyo 2 y ZRP1 para determinar la separación de los estribos se debe calcular: 1.1 1. 1
f´c b d
1 .1 .1
250 25 33
14348.835
Dado que este determina la separación en el centro del elemento También debe verificare que no se exceda
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2.1 2. 1
f´c b d
2 .1 .1
250 25 33
27393.23
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Punto
Apoyo 1
ZRP1
Apoyo2
Comentario
Vu
7373.05
6890.41
7373.05 Maxi mo Corte
Vn
9830.74
9187.21
9830.74 V e r 2.1
Vc
0.00
6913.53
Vs
9830.74
2273.68
1.1rai z(f ´c)bd s
14348.83
0.00 De acue rdo a di se ño si smi co 9830.74 ve r 2.2 Li mi te para 2.5 a 2.9
8.25
16.5
5
15
Av
0.372
0.258
0.372 V e r 2.3
As
0.186
0.129
0.186 Are a e stri bo
f
0.487
0.406
0.487 Diam iametr etro est estribo ibo
Avmi n
0.109
0.328
0.109 Are a mi n Estri bo ( 2.11)
fre al
0.8
0.8
Asre al
0.50
0.50
0.50 Are a Re al Estri bo
Avre al
1.01
1.01
1.01 Are a re al re si ste nte al corte
Vsr Vsreal eal
26540.17 .17
8846.72 .72
sre al
8a5
8.25 Se paraci on Re que ri da 5 Se paraci on para construcci on
0.8 Di ame tro Come rci al Estribo
26540.17 .17 Resi Resisstenc tencia ia real eal al corte orte (Ac (Acero) ero)
8a15
8a5
Diseño Final
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4-. Flexo - Compresión 4.1-. Flexo- Compresión (Métodos Analíticos) Consideraciones Consideraciones Especiales:
Siempre se prefiere una falla dúctil sobre una falla frágil Toda Ecuación puede ser determinada a partir del equilibrio de fuerzas y momentos Al momento de diseñar la armadura se estará penalizando el momento máximo que pueda resistir dicho elemento. Se considerara armadura As=As' Las consideraciones de diseño, verificación u otras no modificaran las ecuaciones del diseño de flexo-compresión, no obstante, los criterios pueden variar, de acuerdo a lo que demande la situación. Se recuerda que el diseño de hormigón armado debe obedecer a las estipulaciones del código ACI en su versión actualizada, y las normas chilenas que hagan inferencia en algún punto especial del diseño. 1-. Diseño de armadura
i) Lo primero es saber que existe un punto de balance que nos determina dos zonas en una curva de interacción de P vs M, independiente a si se considera cargas nominales o cargas últimas, para determinar el punto de balance en que trabaja el elemento (pb, Mb) se sabe: Pb
0. 85 85 1 f´c b d
Mb
´c b a(d 0.8 0.85f´c 5f
a
( 0.003Es ) 0.003 0.003Es
fy
( 0.003Es ) 0.003Es
(4.1)
fy
d´´ 0.5a) As fy (d d´ d´´) As fs d´
1 d
(4.2)
(4.3)
Dónde: f´c: Resistencia en Probeta cilíndrica del Hormigón b: Ancho del elemento a: Largo área comprimida del Hormigón d: Largo Libre de grietas del elemento (sección Transversal) As: Área de Acero que posee el elemento (Parte sup. o inf) d': H-d d'': H/2-d' fy: Limite de fluencia del Acero fs: Esfuerzo al cual está sometido acero a compresión, para la condición de balance fs=fy ii) Analizar si se está sobre o bajo el punto de balance:
Fig 4.1: Falla del elemento según tipo de solicitación
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ii.1) Si se está bajo el punto de balance: Pu
a
As
(4.4)
0.85f´c b
** fs=fy
Mu 0.85 0. 85f´c b a (d d´ ´ 0.5a) fy (d
(4.5)
d´)
ii. 2) Si se está sobre el punto de balance: - Existen dos formas de resolverlo, una es a través de un sistema iterativo, y otra es a través de la resolución de la ecuación propuesta por P. Pizarro, donde la l a tecnología actual permite realizarlo fácilmente Para la ecuación de P. Pizarro se determinó que la única incógnita es fs, la cual se determina mediante: Pu
( fy fs ) Mu 0.85f´c 0. 003Es 1 d b d d´´ 0. 003Es 1 d 0.003Es 2 ( fs fs 0.003 0.003Es) fs d´´ fy (d d´ d´´) fs 0.003
0 . 002 55Es 1 d f´c b fs
0.003 0.003Es
(4.6) Luego con fs determino a a
1 d
0.003Es fs 0.003 0. 003Es
(4.7)
Luego con Pu
[0.85f´c ab As (fy fy fs )]
Se determina el valor de As. Se recomienda verificar el valor de las deformaciones para cumplir todos los supuestos, por ejemplo, f´s>fy. De no cumplirse deben utilizarse las ecuaciones de diseño y en forma iterativa determinar el valor de f´s y fs ii. 3) Para diseño se debe considerar lo siguiente: - Sobre el punto de balance, ϕ toma el valor de ϕreal - Bajo el punto de balance, ϕ toma el valor ϕreal. La explicación viene del análisis de una curva de interacción, al momento de diseñar para seguridad se busca obtener la máxima resistencia la cual está relacionada a la cuantía, si para un elemento se trazaran diversas curvas para diferentes armadura (manteniendo calidad de acero), a mayor cuantía se vería mayor resistencia a carga axial y , por lo que se busca que para una carga axial se resista menos momento, luego al dividir las solicitaciones ultimas por un factor menor a uno vemos que estos se alejan del origen y coinciden con un una curva de mayor cuantía.
El valor de ϕreal es dado por:
0.9
0.9
0.2Pu 0.1f´c Ag 0.2Pu 0.7Pb
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Si
Pb 0.1 0. 1f´c Ag
(4.8)
Si
0. 1f´c Ag Pb 0.1
(4.9)
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Fig. 4.2: Comparación resultado para obtener armadura Destáquese que las variables independientes son Pu y Mu, y la variable dependiente es Pn y Mn
Notar que el valor de ϕ varía entre 0.65 y 0.9 que son los valores de ϕ para compresión simple y flexión simple respectivamente 2) Análisis de un elemento ya existente
Cuando tenemos un elemento ya con su armadura el cálculo del área de esta deja de ser nuestra incógnita y pasa a ser la resistencia de esta, no obstante la resistencia del elemento puede utilizarse para dos ámbitos: i) Se puede utilizar para el diseño de armadura de corte de este, dado que al igual que en condiciones de flexión simple el corte sísmico en el elemento no queda determinado por el análisis estructural de la estructura sino por la capacidad plástica del elemento, las consideraciones tomadas por el diseño de armadura de corte no cambian, no obstante para el corte por capacidad se debe considerar que sobre el punto de balance el ϕ a tomar equivale a ϕ=1 y bajo el punto de balance ϕ=ϕreal, la explicación es inversa al diseño, ya que de esta manera obtenemos mayores momentos en el elemento, los cuales son nombrados como momento plástico.
Fig 4.3: Análisis uso de ϕ para momentos plásticos Nótese que el factor de ϕreal modifica a la carga axial, pero no al momento (Mp son con ϕ=1) por lo que Mn=Mu pero Pu no es igual Pn
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Como resumen podemos determinar los momentos plásticos de la siguiente manera: a) Bajo Pb: Pu
real
real
a
0.85f´c b
(4.10)
0.003 0.003Es
f´s
a
1 d´
(4.11)
Verificar f´s>fy
(4.13)
Verificar f´s>fy
a
Si f´s es menor que fy, se debe iterar con las siguientes ecuaciones
Pu As (f´s fs ) real
a
(4.12)
0.003 0.003Es
f´s
a
1 d´ a
0.85f´c b
d´´ a As f´s (d d´ d´´) As fy d´ 2
(4.14)
0.8 0.85f´c 5f ´c a b d
Mp
Se asume que fs>fy, por la zona en que nos encontramos b) Sobre Pb:
1
a
Pu 0.85f´c b
(4.15)
0.003 0.003Es
f´s fs
0.003 0.003Es
fs
0.003 0.003Es
a
1 d´
(4.16)
Verificar f´s>fy
(4.17)
Si cfy
(4.18)
Si c>d Verificar si fs>fy
a
( d 1
a)
a d c
Si alguna de las hipótesis no se cumple, se debe iterar, se recalcula a con: a
Mp
Pu As (f´s fs ) real b 0.85f´c
(4.19)
f´s
0.003 0.003Es
fs
0.003 0.003Es
fs
0.003 0.003Es
a
1 d´
(4.20)
Verificar f´s>fy
(4.21)
Si cfy
(4.22)
Si c>d Verificar si fs>fy
a
(d 1
a)
a d c
d´´ a As f´s (d d´ d´´) As fs d´ 2
(4.23)
0.8 0.85f´c 5f ´c a b d
Se recuerda que con los momentos plásticos se puede determinar los cortes por capacidad del elemento ii) La segunda opción que tenemos es la verificación del criterio de viga débil fuerte impuesta por el código ACI, para esto debemos comprobar: 6
Me Mg
(4.25)
5
Me: Momentos en el centro de la unión, aportados por las columnas Mg: Momentos en el centro de la unión, aportados por las vigas Mg deben ser determinados bajo los criterios de flexión simple Me deben calcularse con los métodos de flexo-compresión, la importancia es que en este punto el valor de ϕ sobre el punto de balance es ϕ=ϕreal, y bajo el punto de balance ϕ=1, dado que en esta condición tenemos el caso más desfavorable para comprobar el criterio (ver Fig 4.3), los momentos se multiplican por ϕreal.
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Para calcular Me en una columna debo: i) Determinar el punto de balance: Pb
0. 85 85 1 f´c b d
Mb
´c b a(d 0.8 0.85f´c 5f
a
) ( 0.003Es 0.003 0.003Es
fy
( 0.003Es ) 0.003 0.003Es
(4.26)
fy
d´´ 0.5a) As fy (d d´ d´´) As fs d´
1 d
(4.27)
(4.28)
ii) si PuPb Con un método iterativo determino el valor de fs (se asume f´s>fy, aunque al final puede comprobarse y si no cumple debe también ser recalculado) Mu
a
Mu
1 d
(4.31) 0.003Es fs 0.003 0. 003Es
Pu
[0.85f´c ab As (fy fy fs )]
[0.85f´c b a(d d´´ 0.5a) As fy (d d´ d´´) As fs d´´]
(4.32)
(4.33)
Nota: El criterio de viga débil - columna fuerte debe determinarse para sismo a la izquierda y sismo a la derecha. Consideraciones Consideraciones especiales en diseño
El momento que se obtiene del cálculo estructural debe ser am plificado por un factor δ, este se puede determinar mediante: Estructuras sin desplazamiento lateral (ACI 2008 10.12) Cm
1
Cm
0. 6 0 . 4
real
M1 M2
0
(4.35)
Pu
1
(4.34)
Pc
Con M1Pb ϕ=ϕreal
(4.49)
Si PuPb ϕ=1
Determino mi curva, y junto a k´ determino k´e y con este Mu
1.25
k´ef k´ef´c ´c b h
Mp
(4.58)
(Para Mp ϕ=1)
c) Si estoy comprobando el criterio de columna fuerte - viga débil, mi incógnita es el momento y mis variables son P y mi armadura, con esto debo determinar:
2
As b h
(4.59)
fy 0.85f´c
(4.60)
k´
Pn
Pu
f´c b h
f´c b h
(4.61)
Si Pu>Pb ϕ=ϕreal Si Pu
