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Calcdifint16_17

Description : calcul differentiel

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2ème Année Alain HUARD Email : alain.hua alain.huard@ins rd@insa-tou a-toulouse.f louse.fr r Calcul diﬀ érentiel érentiel et intégral F.Bernis, J. L. Dunau, E. Fouassier, J. Monnier, V. Roussier-Michon, D. Sanchez, S. Scott... 2016-2017 Table des matières I Calcul diﬀ érentiel 2 1 Fonct onctio ions ns de Rn à valeurs dans R p 1 Rapp Rappel elss sur sur l’es l’espa pace ce Rm . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fonctions de Rn dans R p . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.1 Fonc onction tionss com compos posante antes, s, fonc onction tionss parti artieelle lles 2.2 Exemples, notations . . . . . . . . . . . . . 3 Limite, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Continuité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 5 5 6 2 Diﬀ érentielle 1 Déﬁnition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Diﬀ érentielle érentielle de f de f en en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 1.3 Inte Interp rpré réta tati tion on de Df ( Df (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Diﬀ érentielle érentielle de f de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.1 Lien Lien dériv érivéée/ diﬀ érentielle érentielle des fonctions de R dans R p . . . . . . . . 2.2 2.2 Exem Exempl ples es des des appl applic icat atio ions ns cons consta tan ntes, tes, linéa linéair ires es,, multi ultilin linéa éair ires es . . . . 2.3 Exem xemple du carré rré de la norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . 3 Diﬀ érentie tielle de fonctions compos posées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 8 9 9 9 9 10 10 10 11 3 Dérivées partielles 1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Liens diﬀ érentielle/dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Matrice jacobienne, gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Matrice jacobienne et jacobien . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Gradient de f : Rn R (cas p = 1) . . . . . . . . . . . . 4 Rééc Réécri ritu ture re du théo théorè rème me de diﬀ éren é renti tiat atio ion n des des fonc foncti tion onss com compos posée éess 5 Dérivées partielles d’ordres supér périeurs . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Théorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 13 15 15 16 17 17 18 19 → 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Table des matières I Calcul diﬀ érentiel 2 1 Fonct onctio ions ns de Rn à valeurs dans R p 1 Rapp Rappel elss sur sur l’es l’espa pace ce Rm . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fonctions de Rn dans R p . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.1 Fonc onction tionss com compos posante antes, s, fonc onction tionss parti artieelle lles 2.2 Exemples, notations . . . . . . . . . . . . . 3 Limite, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Continuité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 5 5 6 2 Diﬀ érentielle 1 Déﬁnition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Diﬀ érentielle érentielle de f de f en en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 1.3 Inte Interp rpré réta tati tion on de Df ( Df (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Diﬀ érentielle érentielle de f de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.1 Lien Lien dériv érivéée/ diﬀ érentielle érentielle des fonctions de R dans R p . . . . . . . . 2.2 2.2 Exem Exempl ples es des des appl applic icat atio ions ns cons consta tan ntes, tes, linéa linéair ires es,, multi ultilin linéa éair ires es . . . . 2.3 Exem xemple du carré rré de la norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . 3 Diﬀ érentie tielle de fonctions compos posées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 8 9 9 9 9 10 10 10 11 3 Dérivées partielles 1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Liens diﬀ érentielle/dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Matrice jacobienne, gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Matrice jacobienne et jacobien . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Gradient de f : Rn R (cas p = 1) . . . . . . . . . . . . 4 Rééc Réécri ritu ture re du théo théorè rème me de diﬀ éren é renti tiat atio ion n des des fonc foncti tion onss com compos posée éess 5 Dérivées partielles d’ordres supér périeurs . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Théorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 13 15 15 16 17 17 18 19 → 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Extrem Extrema a d’une d’une fonct fonction ion de de Rn dans R 20 1 Condition nécessaire d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Condition suﬃsante d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Théo Théorè rème me d’in d’inv versi ersion on loca locale le,, théo théorè rème me des des fonc foncti tion onss impl implic icit ites es 1 Diﬀ éomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul intégral 23 23 23 24 25 27 6 Intégrale dép endant d’un paramètre 1 Intégrale déﬁnie dépen pendant d’un paramètre . . . . . 1.1 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bornes ﬁxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bornes dépendant du paramètre . . . . . . . 2 Inté Intégr gral alee imp improp ropre dépe dépend ndan antt d’un ’un para param mètre ètre . . . . 3 Un exemple : la fonction Gamma d’Euler . . . . . . . 3.1 3.1 Déﬁ Déﬁnitio ition n sur R+∗ , premières propriétés . . . 3.2 3.2 Prol Prolon onge geme men nt de Γ à R− \ Z . . . . . . . . . . 3.3 Etude de Gamma et courbe représentative . . 4 Un autre exem xemple : la transformée de Laplace . . . . 4.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Intégrale multiple 1 Déﬁnition et premières propriétés . . . . . . . . 1.1 Intégrale sur un compact élémentaire . . 1.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . 2 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Théorème de la moyenne . . . . . . . . . 2.2 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . 2.3 Théorème de changement de variables . 3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.1 Chan Change geme men nt de variab ariable less aﬃne . . . . . 3.2 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . 3.3 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . 3.4 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . 3.5 3.5 Mesu Mesure re des des boule bouless en dime dimens nsio ion nn . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 28 28 28 31 31 34 34 35 35 37 37 38 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 40 40 41 41 41 42 42 43 43 43 44 44 44 . . . . . . . . . . . . . Première partie Calcul diﬀ érentiel érentiel 3 Chapitre 1 Fonctions de Rn à valeurs dans R p 1 Rappels sur l’espace Rm Soit m N∗ . On note Rm l’espace euclidien canonique de dimension m. Il est muni de la base canonique B m = (e jm )1≤ j≤m . Dans cette base, on écrira x Rm comme : ∈ ∈ m x = (x1 , . . . , x j , . . . , xm ), ou x = X x j e jm . j=1 Déﬁnition 1.1 (Norme). Soit E un espace vectoriel sur R. On appelle norme sur E toute application N : E R+ telle que i) N (x) = 0 x = 0, ii) pour tout x E , tout λ R, N (λx) = | λ|N (x), iii) pour tout (x, y) E 2 , N (x + y) N (x) + N (y) (inégalité triangulaire). → ⇐⇒ ∈ ∈ ∈ ≤ L’espace Rm est un espace vectoriel normé. Il existe de nombreuses normes sur Rm , rappelle les déﬁnitions des normes usuelles 1, 2 et ∞ : pour x k k k k k k m kxk1 = X j=1 v utX m R . On ∈ m |x j |, kxk2 = x j2 , j=1 max |x j |. kxk∞ = j=1,...,m La norme 2 a un statut particulier car c’est la norme euclidienne associée au produit scalaire usuel de Rm : pour x Rm et y Rm , ∈ ∈ m < x, y >= X x j y j et x 22 =< x, x > . k k j=1 On rappelle que la base canonique B m est orthonormée pour ce produit scalaire, i.e. m m m < em i , e j >= 1 si i = j, < ei , e j >= 0 sinon. Le résultat suivant permet de travailler avec une norme quelconque sur Rn et R p , quand il s’agit d’étudier les propriétés locales des fonctions de Rn dans R p du type : existence de limite, continuité, diﬀ érentiabilité. . . Elles ne dépendent pas de la norme considérée. 4 Théorème 1.2. Dans Rm , toutes les normes sont équivalentes, i.e. si N 1 et N 2 sont deux m normes sur Rm , alors il existe deux constantes c , C > 0 telles que pour tout x R , cN 1 (x) N 2 (x) CN 1 (x). ≤ ∈ ≤ m et, s’il n’y a pas de risques de On notera Rm l’une quelconque des normes de R confusion, on allègera cette notation en (dans R, = | |). k k k k k k Déﬁnition 1.3 (Boules). On notera B(x, r) = {y ∈ Rm /kx − yk < r} la boule ouverte de centre x ∈ Rm de rayon r > 0 et B(x, r) = { y ∈ Rm /kx − yk ≤ r } la boule fermée de centre x ∈ Rm de rayon r > 0. Exercice 1.4. Dessiner la boule unité B(0, 1) de R2 pour les trois normes déﬁnies cidessus. Déﬁnition 1.5 (Ouvert). Le sous-ensemble Ω de Rm est appelé ouvert de Rm si a) Ω = , ou b) Ω = et a Ω, r > 0, B(a, r) Ω. ∅ 6 ∅ ∀ ∈ ∃ 2 Fonctions de ⊂ Rn Soient n et p deux entiers 2.1 dans R p ≥ 1. Soit f une fonction déﬁnie de Rn à valeurs dans R p. Fonctions composantes, fonctions partielles On utilisera souvent la notation f (x) = f (x1 , . . . , x j , . . . , xn ). Si n = 2, on écrira souvent f (x, y) au lieu de f (x1 , x2 ), et si n = 3, f (x,y,z) au lieu de f (x1 , x2 , x3 ). Déﬁnition 1.6. Soit f : Rn → R p. On note   f (x) = f (x1 , . . . , xn ) = f 1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fi (x1 , . . . , xn ), . . . , f p (x1 , . . . , xn ) . Les fonctions f i sont appelées les fonctions composantes de f . Ce sont des fonctions à valeurs réelles. Si p = 1, on dira que f est une fonction scalaire. Au contraire, si p > 1 on parlera de fonction vectorielle. Déﬁnition 1.7. Soit f : p déﬁnit fa ,j : R R par e → n R → R p. Soit a = (a1, . . . , an) ∈ Rn et j ∈ {1, . . . , n}. On e fa ,j (t) = f (a1 , . . . , a j−1 , t , a j+1 , . . . , an ). e La fonction f a,j s’appelle la j ème application partielle de f au point a. Les applications partielles de f sont des fonctions d’une seule variable réelle, à valeurs dans R p . Exercice 1.8. Déterminer l’ensemble de déﬁnition, les applications composantes et les 2 2x+y 2 applications partielles au point a de la fonction f : R2 ,x y , R , f (x, y) = e a = (x0 , y0 ). → 5   2.2 Exemples, notations 1. On note L(Rn , R p ) l’ensemble des applications linéaires de Rn dans R p . C’est un espace vectoriel sur R. 3 Exemple : f : R3 y + z, y z). R , f (x,y,z) = (2x + 3y + 5z, x → − − n et une norme p Si on ﬁxe une norme Rn sur R Rp sur R , on peut déﬁnir une norme sur L(Rn , R p ) relative à ces deux normes par la norme triple d’application linéaire : f (x) Rp . |f | = f L(Rn ,Rp ) = sup x Rn x∈Rn ,x6 =0 k k k k k k k kk kk k 2. On appelle forme linéaire sur Rn toute application linéaire de Rn dans vectoriel L (Rn , R) s’appelle l’espace dual de Rn . On le note (Rn )∗ . 3. On dit que f est une application a ﬃ ne de Rn dans R p R. L’espace si : ∃a ∈ R p et ϕ ∈ L(Rn, R p) tels que ∀x ∈ Rn, f (x) = a + ϕ(x). Exemple : f (x,y,z) = (2 − x + 3y + z, 1 + x − z). 4. ϕ : Rn × Rn → R p est une application bilinéaire si pour tout x ∈ Rn , y 7→ ϕ(x, y) est linéaire et pour tout y ∈ Rn , x 7→ ϕ(x, y) est linéaire. On dit que ϕ est une 1 2 1 2 forme bilinéaire si p = 1. 5. Une forme quadratique sur Rn est une application q : Rn une forme bilinéaire symétrique telle que q (x) = ϕ (x, x). n q (x) = q (x1 , . . . , x j , . . . , xn ) = X j=1 Exemple : q : 3 3 R a jj x j2 + 2 → R telle qu’il existe ϕ X aij xi x j , 1≤i 0, ∃η > 0 | ∀x ∈ Ω, kx − ak < η =⇒ kf (x) − bk < ε Déﬁnition 1.10. On dit que f est continue au point a si et seulement si lim f (x) = f (a), x→a c’est-à-dire si et seulement si ∀ε > 0, ∃η > 0 | ∀x ∈ Ω, kx − ak < η =⇒ kf (x) − f (a)k < ε 6 Déﬁnition 1.11. On dit que f est continue sur Ω si et seulement si f est continue en tout point de Ω. ∈ Théorème 1.12. Soit a Ω. Si f est continue en a alors pour tout j fonction partielle f a,j est continue au point a j . e ∈ {1, . . . , n}, la Démonstration : faite en cours.  Attention ! La réciproque est fausse ! xy Exercice 1.13. Soit f : R2 R, déﬁnie par f (x, y) = x2 +y 2 pour (x, y) = (0, 0) et f (0, 0) = 0. Montrer que les deux applications partielles de f sont continues en 0, mais que f n’est pas continue en (0, 0). → 4 6 Continuité des applications linéaires Le cas particulier des applications linéaires est très important pour ce cours sur la différentielle. Nous rappelons donc ici ce qui a été vu au premier semestre de 2MIC sur la continuité des applications linéaires dans un espace vectoriel normé. Théorème 1.14. Soit f : Rn équivalentes : → R p une application linéaire. Les assertions suivantes sont 1. f est continue sur Rn . ≥ 0 tel que pour tout x ∈ Rn, kf (x)k ≤ M kxk 2. Il existe M Rp Rn . Démonstration : Voir cours du premier semestre. Comme Rn  est un espace vectoriel de dimension ﬁnie, on a le théorème suivant Théorème 1.15. Toute application linéaire de Rn dans R p est continue. Démonstration : Voir cours du premier semestre.  Théorème 1.16. Soit f : Rn → R p une application linéaire. Les réels suivants sont égaux : kf (x)k = sup kf (x)k = sup kf (x)k sup x∈ ,x6 =0 kxk kxk =1 kxk ≤1 Rp Rp Rn Rn Rn Rp Rn Notant |f | leur valeur commune, on a 1. pour tout x Rn , f (x) |f | x , k k ∈ k k≤k kk k 2. | · | est une norme sur L(Rn , R p ). k k Démonstration : Voir cours du premier semestre.  Attention : la valeur de la norme |f | dépend des normes choisies sur k k 7 Rn et R p . Chapitre 2 Diﬀ érentielle Dans ce chapitre, Ω désigne un ouvert non vide de Rn et f une fonction déﬁnie sur valeurs dans R p , avec n et p deux entiers naturels non nuls. 1 1.1 Ω, à Déﬁnition, premières propriétés Diﬀ érentielle de f en un point p Lorsque la variable x est scalaire, i.e. f : R R , on dit que f est dérivable en x si la limite du taux d’accroissement en x existe, ou encore si f peut s’écrire pour h su ﬃsament petit f (x + h) = f (x) + lh + hε(h) où lim ε(h) = 0 et l R p . → On remarque que l’application déﬁnie donc donner la déﬁnition suivante. h→0 de R dans R p ∈ par h 7→ lh est linéaire. On pourrait Déﬁnition 2.1. f : Ω R R p est dérivable en x s’il existe λ : R R p linéaire, η > 0 et ε :] η , η[ R p telles que pour tout h ] η , η[, f (x + h) = f (x) + λ(h) + hε(h), avec 0. ε(h) − → h→0 → ⊂ → → ∈− Cette dernière déﬁnition peut se généraliser au cas d’une fonction de ∈ Rn dans R p . Déﬁnition 2.2. Soit x Ω. On dit que f est di ﬀ érentiable en x s’il existe λ : p linéaire, η > 0 et ε : B Rn (0, η ) BRn (0, η ), R telles que pour tout h → ∈ kk f (x + h) = f (x) + λ(h) + h ε(h), avec ε(h) n R → R p → 0. h→0 On appelle λ la di ﬀ érentielle de f en x. On la note Df (x). Remarque 2.3. Les autres notations possibles pour Df (x) sont Df x , df (x) ou df x . Exercice 2.4. Soit f la fonction déﬁnie de R2 dans R2 par f (x, y) = (x2 + xy, y 2 + 2x). Calculer la di ﬀ érentielle Df (x, y) de f en tout point (x, y) de R2 . On pourra donner sa matrice dans la base canonique de R2 . Faites attention : à x ﬁxé, Df (x) est une application linéaire de Avec la notation Df (x), on écrit donc : 8 Rn dans R p . f est diﬀ érentiable en x si et seulement si pour h petit, on a kk f (x+h) = f (x)+Df (x)(h)+ h ε(h), avec ε(h) 1.2 → 0. h→0 Premières propriétés Proposition 2.5. 1) (Unicité) Si f est di ﬀ érentiable en x, la di ﬀ érentielle de f en x est unique et est déﬁnie par : f (x + th) f (x) Df (x)(h) = lim . t→0 t − 2) (Continuité) Si f est di ﬀ érentiable en x alors f est continue en x. 3) (Linéarité) L’ensemble des applications di ﬀ érentiables est un espace vectoriel, c’es-à-dire p que si f , g : Ω Rn ﬀ érentiables en x Ω, alors pour tous λ, µ R, λ f + µg R sont di est di ﬀ érentiable en x et ⊂ → ∈ ∈ D(λf + µg)(x) = λ Df (x) + µDg(x). Démonstration : 1) et 2) faites en cours. 3) Les applications f et g étant diﬀ érentiables en x, il existe η > 0, ε 1 : B Rn (0, η) R p telles que pour tout h < η , ε2 : B Rn (0, η) → k k → R p et kk → 0 h→0 g(x) + Dg(x)(h) + khkε2 (h), avec ε2 (h) → 0 h→0 f (x + h) = f (x) + Df (x)(h) + h ε1 (h), avec ε1 (h) g(x + h) = Alors, pour tout λ, µ ∈ R, on a pour khk < η ,   k k (λf + µg)(x + h) = (λf + µg)(x) + λDf (x)(h) + µDg(x)(h) + h avec λε1 (h) + µε2 (h) → 0. h→0  λε1 (h) + µε2 (h) , Cela signiﬁe que λ f +µg est diﬀ érentiable en x avec D(λf +µg)(x) = λ Df (x)+µDg(x).  1.3 Interprétation de Df (x) kk Le développement f (a + h) = f (a) + Df (a)(h) + h ε(h) où lim ε(h) = 0, qui se réécrit − k − k h→0 f (x) = f (a) + Df (a)(x a) + x a ε(h), s’interprète en disant qu’au voisinage de a, f est approchée par l’application aﬃne f (a) + Df (a)(x a) : on a linéarisé f . On retrouve le même résultat que pour une fonction d’une variable réelle dérivable au point a, pour laquelle la meilleure approximation à l’ordre 1 est donnée par la droite d’équation y(x) = f (a) + f 0 (a)(x a). − − 9 1.4 Diﬀ érentielle de f p Déﬁnition 2.6. Si f : Ω ﬀ érentiable en tout point de Ω, alors on peut déﬁnir R est di l’application diﬀ érentielle de f par →  Df : Ω x → 7→ L(Rn , R p ) Df (x) On note D (Ω, R p ) l’ensemble des applications di ﬀ érentiables sur riel réel et f Df est linéaire (cf Proposition 2.5.3)). 7→ Ω. C’est un espace vecto- p 1 Déﬁnition 2.7. Soit f : Ω ﬀ érentiable R . On dit que f est de classe C sur Ω si f est di n p en tout point de Ω et si Df : Ω L(R , R ) est continue, i.e. si → ∀x ∈ Ω, ∀ε > 0, 2 2.1 → ∃η > 0, ∀y ∈ Ω, kx − yk < η =⇒ k|Df (x) − Df (y)k| < ε. Exemples Lien dérivée/ diﬀ érentielle des fonctions de Proposition 2.8. Si Ω est un ouvert de R, f : dérivable en x, et l’on a → R p est di ﬀ érentiable en x ∈ Ω si et seulement si f est Ω Df (x)(h) = hf 0 (x), ∀h ∈ R , R dans R p f 0 (x) = Df (x)(1) ∈ R p . Démonstration : faite en cours. 2.2  Exemples des applications constantes, linéaires, multilinéaires Proposition 2.9. ﬀ érentiable en tout point de Ω et Df (x) = 0 R p est constante, alors f et di 1) Si f : Ω n p R est l’application nulle). pour tout x Ω (i.e. Df (x) : R n p 2) Si f : R ﬀ érentiable en tout point x Rn et Df (x) = f R est linéaire, alors f est di pour tout x Rn . p 3) Si f : Rn1 . . . Rnk ﬀ érentiable en tout point, et R est multilinéaire, alors f est di n n pour tout (X 1 , . . . , Xk ) R 1 . . . R k , tout (H 1 , . . . , Hk ) Rn1 . . . Rnk , → ∈ → ∈ × × → ∈ → ∈ × × ∈ × × k Df (X 1 , . . . , Xk )(H 1 , . . . , Hk ) = X f (X 1 , . . . , X j−1 , H j , X j+1 , . . . , Xk ). j=1 Démonstration : 1) et 2) faites en cours. 3) Démontrons le point 3) dans le cas k = 2. On utilise sur Rn1 Rn2 la norme (X 1 , X 2 ) = max( X 1 , X 2 ). Soit (X 1 , X 2 ) Rn1 Rn2 . Alors, pour tout (H 1 , H 2 ) Rn1 Rn2 , k kk k ∈ × × ∈ k × f (X 1 + H 1 , X 2 + H 2 ) = f (X 1 , X 2 ) + f (H 1 , X 2 ) + f (X 1 , H 2 ) + f (H 1 , H 2 ). 10 k L’application (H 1 , H 2 ) f est bilinéaire sur Rn1 7→ f (H 1, X 2) + f (X 1, H 2) est linéaire car f est bilinéaire. Comme × Rn , elle y est continue, donc kf (H 1, H 2)k ≤ kf kkH 1kkH 2k ≤ kf k max(kH 1k, kH 2k)2. kf (H 1, H 2)k tend vers 0 quand (H 1, H 2) tend vers 0. Ainsi, le quotient  k(H 1, H 2)k 2.3 2 Exemple du carré de la norme euclidienne Proposition 2.10. Soit f : Rn R la fonction déﬁnie par le carré de la norme euclidienne sur n 2 x 2 = j=1 x j2 . Alors, f est di ﬀ érentiable sur Rn et kk P→ Rn : f (x) = n ∀x ∈ n R , ∀h ∈ R n , Df (x)(h) = 2 X x j h j = 2 < x,h > . j=1 Démonstration : faite en cours. 3 3.1  Diﬀ érentielle de fonctions composées Théorème Ce théorème est un théorème fondamental, qui a de nombreuses applications. Théorème 2.11. Soit n, p, q trois entiers 1. Soit Ω un ouvert de Rn , Ω0 un ouvert de R p , f : Ω R p , g : Ω0 Rq . On suppose que f (Ω) Ω0 . Soit x Ω. Rq est Si f est di ﬀ érentiable en x et si g est di ﬀ érentiable en f (x), alors g f : Ω di ﬀ érentiable en x, avec → ≥ → ◦ ⊂  ◦    D(g f )(x) = Dg f (x) i.e. pour tout h ∈ Rn, D(g ◦ f )(x)(h) = Dg ∈ ◦ → Df (x) f (x) Df (x)(h) . Si f est de classe C 1 sur Ω et si g est de classe C 1 sur Ω0 , alors g f est de classe C 1 sur Ω. ◦ ∈ Ω tel que les hypothèses du théorème soient vériﬁées. On a Démonstration : Soit x pour h, k assez petits, kk f (x + h) = f (x) + Df (x)(h) + h ε1 (h), où ε1 (h) g(f (x) + k) = g(f (x)) + Dg(f (x))(k) + k ε2 (k), kk 11 → 0 h→0 où ε2 (k) 0 → k→0 On écrit cette dernière ligne avec k = k(h) = Df (x)(h) + h ε1 (h). On a k Df (x) + ε1 (h) h , donc k 0 quand h 0.  k k ≤ k k k g(f (x + h)) = g(f (x) + k)  kkk kk → →     kkkk  kk  kk = g(f (x)) + Dg(f (x)) Df (x)(h) + h ε1 (h) + k ε2 (k)   kk = g(f (x)) + Dg(f (x)) Df (x)(h) + h Dg(f (x)) ε1 (h) + k ε2 (k) = g(f (x)) + Dg(f (x)) Df (x)(h) + h ε3 (h)   kk kk k 0. Or ε2 (k). Reste à montrer que ε3 (h) h→0 h avec ε3 (h) = Dg(f (x)) ε1 (h) + → kε3(h)k ≤ kDg(f (x))kkε1(h)k + kkhkkk kε2(k)k ≤ kDg(f (x))kkε1(h)k + kDf (x)k + kε1(h)k kε2(k)k. Comme k → 0 quand h → 0, on a ε2 (k) → 0 donc ε3 (h) → 0. h→0 h→0  3.2   Applications Diﬀ érentielle de la norme euclidienne k k 2 est di ﬀ érentiable sur Rn \ {0}, avec pour tout x 6= 0, tout h ∈ Rn, Théorème 2.12. D( > k k2)(x)(h) = < kx,h . xk2 Démonstration : faite en cours.  Auxiliaire "universelle" Théorème 2.13. Soit f : que [a, a + h] Ω. On pose ⊂ → R p où Ω est un ouvert de Rn. Soit a ∈ Ω et h ∈ Rn tels Ω  u : [0, 1] t → 7→ p R . f (a + th) Si f est di ﬀ érentiable en a, l’auxiliaire u est dérivable en 0, avec u0 (0) = Df (a)(h). Si f est di ﬀ érentiable en tout point de Ω, alors u est dérivable sur [0, 1], avec u0 (t) = Df (a + th)(h). Démonstration : faite en cours.  12 Inégalité des accroissements ﬁnis → R p est de classe C 1, alors pour tout a, b ∈ kf (b) − f (a)k ≤ kb − ak sup k|Df (x)k|. Théorème 2.14. Si f : [a, b] Ω, on a ⊂ Ω Ω tels que x∈[a,b] Démonstration : faite en cours.  ∈ ⊂ Corollaire 2.15. Un ensemble Ω est convexe si pour tout a, b Ω, [a, b] Ω. Si Ω p est convexe et si f : Ω ﬀ érentiable sur Ω, de di ﬀ érentielle nulle, alors f est R est di constante sur Ω. → 13 Chapitre 3 Dérivées partielles Soit f une fonction déﬁnie sur l’ouvert non vide 1 Ω de Rn , à valeurs dans R p . Déﬁnitions R p , la jème application {1, . . . , n}. Si f ˜a,j : R Ω et j Déﬁnition 3.1. Soit a partielle de f en a, est dérivable en a j , on dit que f admet une dérivée partielle d’indice j en a, ou une dérivée partielle par rapport à x j en a. On note cette dérivée ∈ ∈ → f ˜a,j (a j + t) ∂ f (a) = ∂ xj f (a) = lim t→0 t ∂ x j On remarque que ∂ f (a) ∂ x j − f ˜a,j (a j ) . ∈ R p. En particulier, si f est scalaire, ∂ ∂ xf j (a) est un réel. Déﬁnition 3.2. Si f admet une dérivée partielle d’indice j en tout point x ∂ f l’application , la dérivée partielle d’indice j de f sur Ω, par ∂ x j ∂ f : ∂ x j Ω x −→ 7−→ ∈ Ω, on déﬁnit R p ∂ f (x). ∂ x j Exercice 3.3. Calculer les dérivées partielles de la fonction f déﬁnie de R2 dans R2 par f (x, y) = (e2x+y , x2 y). 2 Liens diﬀ érentielle/dérivées partielles {1, . . . , n}, Proposition 3.4. Si f est di ﬀ érentiable en un point a, alors pour tout j ∂ f f admet une dérivée partielle d’indice j en a, et ∂ xj (a) = Df (a)(e j ). De plus, pour tout h Rn , n ∂ f Df (a)(h) = h j (a). ∂ x j ∈ ∈ X j=1 14 Démonstration : faite en cours.  Attention ! La réciproque n’est pas vraie en général. L’existence de toutes les dérivées partielles de f en a n’entraîne pas nécessairement la di ﬀ érentiabilité de f en a ! x3 y Exercice 3.5. Soit f déﬁnie et f (0, 0) = 0. Montrer \ { 0} par f (x, y) = 4 x + y2 que f est continue en (0, 0), que f admet des dérivées partielles en x et en y en (0, 0), mais que f n’est pas di ﬀ érentiable en (0, 0). sur R2 Cependant, on a le résultat suivant. p Théorème 3.6. Soit Ω un ouvert non vide de Rn , a Ω et f : Ω R . Si f admet des dérivées partielles sur Ω et si celles-ci sont continues en a, alors f est di ﬀ érentiable en a, et pour tout h Rn , n ∂ f Df (a)(h) = h j (a). ∂ x j ∈ ∈ → X j=1 Démonstration : 1) Cas n = 2 : Soit a = (a1 , a2 ) et h = (h1 , h2 ). On utilise ici la norme du sup x = max(|x1 |, |x2 |). Le p candidat linéaire pour la di ﬀ érentielle de f en a est λ : R2 R déﬁnie par k k → λ(h) = h 1 ∂ f ∂ f (a) + h2 (a). ∂ x1 ∂ x2 On écrit − − − − f (a+h) f (a) λ(h) = f (a1 +h1 , a2 +h2 ) f (a1 , a2 ) h1 ∂ f ∂ f (a) h2 (a) = ∆1 (h)+∆2 (h) ∂ x1 ∂ x2 − où − f (a1, a2 + h2) − h1 ∂ ∂ xf1 (a), ∂ f (a). f (a1 , a2 + h2 ) − f (a1 , a2 ) − h2 ∂ x2 ∆1 (h) = f (a1 + h1 , a2 + h2 ) ∆2 (h) = (On "sépare" les variations selon la première et la deuxième variable) . On introduit la fonction auxiliaire, déﬁnie pour t assez petit, ϕ(t) = f (a1 + t, a2 + h2 ) − t ∂ ∂ xf 1 (a). Alors, ∆1 (h) = ϕ (h1 ) ϕ(0). De plus, ϕ est dérivable, car f admet une dérivée partielle par rapport à x1 sur − ϕ0 (t) = ∂ f (a1 + t, a2 + h2 ) ∂ x1 15 − ∂ ∂ xf1 (a) Ω, avec On applique l’inégalité des accroissements ﬁnis à ϕ : k∆1(h)k = kϕ(h1)−ϕ(0)k ≤ |h1| 0 sup t∈[0,h1 ] kϕ (t)k ≤ |h1| Soit ε > 0. Comme la dérivée partielle kxk ≤ η, alors  ∂ f (a1 + x1 , a2 + x2 ) ∂ x1 − sup t∈[0,h1 ]  ∂ f (a1 + t, a2 + h2 ) ∂ x1 − ∂ f est continue en a, il existe η > 0 tel que si ∂ x1 ∂ f (a) ε. ∂ x1  ≤ k k ≤ η. Pour t ∈ [0, h1], kϕ0(t)k ≤ ε et k∆1(h)k ≤ ε|h1|. f (a1 , a2 + t) − f (a1 , a2 ) ∂ f D’autre part, (a1 , a2 ) = lim , donc il existe η 0 > 0 tel que si Supposons h |t| < η 0 , alors ∂ x2 t t→0  ∂ f t (a1 , a2 ) ∂ x2  − f (a1, a2 + t) + f (a1, a2) Ainsi, pour h < η 0 , k k < ε |t|. k∆2(h)k ≤ ε|h2|. En conclusion, pour khk < min(η , η 0 ), on a kf (a + h) − f (a) − λ(h)k < 2εkhk, i.e. f est diﬀ érentiable en a, avec Df (a) = λ . 2) Cas général : On décompose comme précédemment ∆(h) = ∆1 (h) + . . . + ∆n−1 (h) + ∆n (h). Pour esti∂ f ∂ f mer ∆1 , . . . , ∆n−1 , on utilise la continuité de ,..., ; et pour ∆n , l’existence de ∂ x1 ∂ xn−1 ∂ f (a).  ∂ xn R p , Ω ouvert de Rn . f est de classe C 1 sur Ω si et seulement Corollaire 3.7. Soit f : Ω si f admet des dérivées partielles sur Ω et les dérivées partielles de f sont continues sur Ω. → Démonstration : faite en cours. 3 3.1  Matrice jacobienne, gradient Matrice jacobienne et jacobien ﬀ érentiable en a, on appelle Rn R p est di Déﬁnition 3.8 (Jacobienne). Si f : Ω jacobienne de f au point a la matrice de Df (a) dans les bases canoniques de Rn et R p . On la note J f (a). ⊂ J f (a) est une matrice de taille p × n. J f (a) = →   ∂ f i (a) ∂ x j 16 . 1≤i≤ p,1≤ j≤n  ∂ f (a) . ∂ x1 Exemples : — Si f est une fonction scalaire J f (a) est une matrice ligne. — Si f est une application linéaire alors a Rn , Df (a) = f et a Rn , J f (a) = Mat(f, B n , B p ). — Si f est une fonction a ﬃne, f = c + Φ où c R p et Φ L (Rn , R p ) alors a Rn , Df (a) = Φ et J f (a) = Mat(Φ, B n , B p ). ∀ ∈ ∈ ∀ ∈ ∈ ∀ ∈ Déﬁnition 3.9 (Jacobien (n = p)). n n Si f : Ω ﬀ érentiable au point a R R est di Ω, on appelle jacobien de f en a le déterminant de la matrice jacobienne de f au point a. Il est noté ⊂ → ∈ det J f (a) = D(f 1 , . . . , fn ) (a). D(x1 , . . . , xn ) Le jacobien apparaît lors des changements de variables dans les intégrales multiples (voir chapitre II de ce cours). 2 Exercice 3.10. Soit f : R2 (x = ρ cos θ, y = ρ sin θ). Calculer la matrice R , (ρ, θ ) jacobienne de f et le jacobien de f en tout point de R2 . → 3.2 Gradient de f : Rn 7→ → R (cas p = 1) → ∈ Déﬁnition 3.11. Soit f : Ω R une fonction scalaire et a Ω. Si f admet des dérivées partielles en a, on appelle gradient de f en a le vecteur de Rn ayant pour composantes dans la base canonique B n les dérivées partielles de f au point a. On le note grad f (a), ou f (a). ∂ f (a) ∂ x1 n ∂ f .. f (a) = grad f (a) = (a)e jn = . . ∂ x j j=1 ∂ f (a) ∂ xn La notation peut se lire gradient ou nabla. ∇   X ∇ ∇   On peut écrire la di ﬀ érentielle de f en a à partir du gradient : pour tout h Df (a)(h) =< ∈ Rn, ∇f (a), h > . Remarque 3.12. Soit f : Ω Rn ﬀ érentiable en a telle que f (a) = 0Rn . Soit R, di 1 u = f (a). Alors pour tout vecteur v tel que v = 1, f (a) k∇ ⊂ k∇ → k k ∇ 6 −Df (a)(u) ≤ Df (a)(v) ≤ Df (a)(u). On peut donc dire que la variation de f au voisinage de a est maximale suivant le vecteur u et minimale suivant le vecteur u. Exemple : si T désigne une température, sa variation est la plus forte au point a quand on se déplace dans la direction du gradient de T en a. − Remarque 3.13. Le gradient est une notion très utilisée en physique. Par exemple, le champ electrostatique E dérive d’un potentiel electrostatique V : −→ −→ E = −∇V = −grad V 17 4 Réécriture du théorème de diﬀ érentiation des fonctions composées On peut réécrire le théorème de di ﬀ érentiation des fonctions composées (Théorème 2.11) à l’aide des dérivées partielles. Théorème 3.14. Soit n, p, q trois entiers naturels non nuls. Soit Ω un ouvert de Rn , Ω0 un ouvert de R p . Soit f C 1 (Ω, R p ) et g C 1 (Ω0 , Rq ). On suppose que f (Ω) Ω0 . Alors, F = g f C 1 (Ω, Rq ) et pour tout x Ω, ∈ ◦ ∈ pour tout 1 ∈ ∈ ⊂ ∂ Fi (x) = ∂ x j ≤ j ≤ n, 1 ≤ i ≤ q, p X k=1 ∂ gi ∂ f k (f (x)) (x) ∂ yk ∂ x j En terme de jacobienne, cela s’écrit J g◦f (x) = J g (f (x)) J f (x). Démonstration : de la réécriture faite en cours.  Rn dans Ω0 Proposition 3.15. Soit f une application bijective de Ω f −1 sa réciproque. Si f C 1 (Ω, Rn ) et si f −1 C 1 (Ω0 , Rn ) alors pour tout a ∈ ⊂ Rn. On note ∈ Ω, ⊂ ∈ J f 1 (f (a)) = (J f (a))−1 . − Démonstration : faite en cours.  +∗ R +∗ R , Φ : Ω × classe C 1 , F : Ω → R p , F = g ◦ Φ. Exercice 3.16. Soit Ω = → Ω, (x, y)   7 → xy, y . Soit g : Ω x → R p de 1. Montrer que Φ est de classe C 1 sur Ω. ∂ F ∂ F ∂ g ∂ g 2. Exprimer , en fonction de et . ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y 5 Dérivées partielles d’ordres supérieurs Déﬁnition 3.17. Soit f : Ω ⊂ Rn → R p. Supposons que ∂ ∂ xf j existe sur Ω. C’est une application de Ω dans R p . Si cette application admet une dérivée partielle d’indice k en un ∂ ∂ f ∂ 2 f point x Ω, (x) sera notée (x). C’est par déﬁnition la dérivée partielle ∂ xk ∂ x j ∂ xk ∂ x j de f d’ordre 2 d’indice k, j au point x. Plus généralement, on déﬁnit par récurrence les ∂ k f dérivées partielles de f d’ordre k : (x). ∂ xi1 . . . ∂ xik ∈   Déﬁnition 3.18. Soit k 1. On dit que f : Ω R p est de classe C k sur Ω si toutes ses dérivées partielles d’ordre k existent et sont continues sur Ω. ≥ → 18 Proposition 3.19. La composée de deux applications C k est de classe C k . Déﬁnition 3.20. On considère ici le cas p = 1. Soit f : Ω Rn R. On appelle hessienne de f en a la matrice des dérivées partielles secondes de f en a. On la note H f (a). ⊂ H f (a) = 5.1  →  ∂ 2 f (a) ∂ xi ∂ x j 1≤i,j≤n Théorème de Schwarz Le théorème suivant permet de commuter les indices de dérivation dans certaines conditions. p Théorème 3.21 (Théorème de Schwarz). Soit f : Ω R une fonction déﬁnie sur un ouvert Ω de Rn , à valeurs dans R p . Soit a Ω. Si f admet des dérivées partielles secondes ∂ 2 f ∂ 2 f et sur Ω et si, de plus, ces fonctions sont continues en a, alors ∂ xk ∂ x j ∂ x j ∂ xk → ∈ ∂ 2 f ∂ 2 f (a) = (a). ∂ xk ∂ x j ∂ x j ∂ xk Démonstration : Il suﬃt de démontrer le théorème dans le cas où n = 2. ∂ 2 f ∂ 2 f On suppose que et existent sur Ω et qu’elles sont continues en a = (a1 , a2 ). ∂ x∂ y ∂ y ∂ x ∂ 2 f ∂ 2 f Notons K = (a) et L = (a). ∂ x∂ y ∂ y ∂ x Soit ε > 0. On utilise la norme (x, y) = sup(|x|, |y|). Par continuité, il existe r > 0 tel que B (a, r) Ω et pour tout (x, y) B(a, r), ⊂ k  ∂ 2 f (x, y) ∂ x∂ y On ﬁxe u = (u1 , u2 ) ∈ k  ≤ − K ε et  ∂ 2 f (x, y) ∂ y ∂ x  − ≤ L ε. ∈ B(0, r). On pose ∆(u) = f (a1 + u1 , a2 + u2 ) − f (a1 + u1 , a2 ) − f (a1 , a2 + u2 ) + f (a1 , a2 ). On utilise les auxiliaires suivantes, déﬁnies pour | t| < r, |τ | < r : ϕ(t) = f (a1 + t, a2 + u2 ) f (a1 + t, a2 ) ∂ f (a1 + t, a2 + τ ) τ K θt (τ ) = ∂ x − − Alors, ∆(u) = ϕ (u1 ) − tu2K − ϕ(0) + Ku 1u2 et ϕ0(t) = θt(u2) − θt(0). Et à | t| < r ﬁxé, pour tout | τ | < r, θt0 (τ ) = ∂ 2 f (a1 + t, a2 + τ ) ∂ y ∂ x 19 − K , donc kθ0(τ )k ≤ ε. On applique maintenant l’inégalité des accroissements ﬁnis à ϕ puis à θt . On obtient kϕ(u1) − ϕ(0)k ≤ ≤ kϕ0(t)k t∈[0,u ] |u1 | sup kθt (u2 ) − θt (0)k |u1 | sup 1 t∈[0,u1 ]   ≤ |u1| sup |u2| sup kθt0 (τ )k t∈[0,u ] τ ∈[0,u ] ≤ ε|u1||u2| On obtient donc k∆(u) − Ku 1 u2 k ≤ ε|u1 ||u2 |. De la même manière, on montre que k∆(u) − Lu1 u2 k ≤ ε|u1 ||u2 |. D’où, k(L − K )u1 u2 k ≤ 2ε|u1 ||u2 |. En choisissant u tel que u 1 6 = 0 et u 2 6 = 0, on déduit k(L − K )k ≤ 2ε. Ceci étant vrai pour 1 2 tout ε > 0, on conclut que L = K .  Corollaire 3.22. On considère ici le cas p = 1. Soit f une application de classe C 2 sur Ω. En tout point a Ω, H f (a) est une matrice symétrique. Si on note Qf (a) la forme quadratique associée à H f (a), on a pour tout h Rn , ∈ ∈ Qf (a)(h) =< H f (a)h, h >= hT H f (a)h Démonstration : faite en cours. 5.2  Formules de Taylor Théorème 3.23 (Formule de Taylor avec reste intégral dans le cas p = 1 et k = 2). 2 n Soit f : Ω Rn R de classe C . Soit a R tels que [a, a + h] Ω, h Ω. Alors, ⊂ → f (a + h) = f (a)+ < ∈ ∈ ∇f (a), h > + Z 0 ⊂ 1 (1 − t)hT H f (a + th)hdt ∇ où f (a) est le gradient de f en a et H f (a) la matrice Hessienne de f en a . Démonstration : faite en cours.  Théorème 3.24 (Formule de Taylor-Young dans le cas p = 1 et k = 2). 2 n Ω, h Soit f : Ω Rn R de classe C . Soit a R tels que [a, a + h] ⊂ → f (a + h) = f (a)+ < ∈ ∈ ⊂ Ω. Alors, ∇f (a), h > + 12 hT H f (a)h + khk2ε(h) ∇ où f (a) est le gradient de f en a, H f (a) la matrice Hessienne de f en a et ε est une application déﬁnie sur un voisinage de 0 dans Rn , à valeurs dans R, qui vériﬁe ε(h) 0. → h→0 Démonstration : admise.  20 Chapitre 4 Extrema d’une fonction de Rn dans R R. Soit a Ω. On dit que f admet Déﬁnition 4.1. Soient Ω un ouvert de Rn et f : Ω un extremum local (maximum ou minimum) au point a s’il existe une boule B(a, r) Ω telle que : x B(a, r), f (x) f (a) (maximum), x B(a, r), f (x) f (a) (minimum). On dit que l’extremum est strict si les inégalités ci-dessus sont strictes pour tout x B(a, r) \ {a}. → ∀ ∈ ∀ ∈ 1 ∈ ≤ ≥ ⊂ ∈ Condition nécessaire d’extremum ∈ Ω tel que Df (a) = 0 ou bien Déﬁnition 4.2. On appelle point critique de f tout point a tout point a Ω où toutes les dérivées partielles s’annulent. ∈ Proposition 4.3. Soit f : Ω R et a Ω. Si f admet un extremum au point a et si f est di ﬀ érentiable en a, alors a est un point critique de f . → ∈ Démonstration : faite en cours.  ATTENTION ! Cette condition n’est pas suﬃsante. 2 Condition suﬃsante d’extremum Pour la réciproque, reprenons le cas d’une variable réelle : f 0 (a) = 0 n’entraîne pas que f admet un extremum en a. Mais si f est deux fois dérivable en a, si f 0 (a) = 0 et f 00 (a) > 0, alors, f admet un minimum local en a. Ceci se démontre en écrivant le développement de Taylor de f en a. n 00 Pour une fonction de Ω R R, f (a) va être remplacé par le deuxième terme du développement de Taylor-Young : la hessienne de f en a. On rappelle sa déﬁnition : ⊂ → Proposition-Déﬁnition 4.4. Soit f : Ω Rn R. On appelle hessienne de f en a la matrice des dérivées partielles secondes de f en a. On la note H f (a). ⊂ H f (a) =  →  ∂ 2 f (a) ∂ xi ∂ x j 21 1≤i,j≤n Si f est de classe C 2 , par le théorème de Schwarz, Hess f (a) est une matrice symétrique et on note Qf (a) la forme quadratique associée. Alors Qf (a)(h) = hT H f (a)h pour tout h Rn . ∈ Théorème 4.5 (Condition suﬃsante d’extremum strict). Soient f C 2 (Ω, R) et a Ω un point critique de f . i) Si Qf (a) est déﬁnie positive, alors f admet un minimum strict au point a. ii) Si Qf (a) est déﬁnie négative, alors f admet un maximum strict au point a. iii) Si Q f (a) n’est ni positive ni négative, alors f n’admet pas d’extremum en a. On dit que f admet un point selle ou un point col en a. iv) Si Qf (a) est positive sans être déﬁnie, ou négative sans être déﬁnie, alors on ne peut rien a ﬃ rmer. ∈ ∈ Démonstration : faite en cours dans le cas n = 2. Exercice 4.6. Soit g : de g. R3  → R, (x,y,z) 7→ (x + y + z)2 + x3 + y3 + 3z. Etudier les extrema Cas particulier, n = 2 ∈ C 2(Ω ⊂ R2, R) et a ∈ Ω un point critique de f . Notons Théorème 4.7. Considérons f r = ∂ 2 f (a), ∂ x2 s = ∂ 2 f (a), ∂ x∂ y t = ∂ 2 f (a). ∂ y 2 Alors, i) si rt s2 > 0, et r > 0, alors f admet un minimum local en a, ii) si rt s2 > 0, et r < 0, alors f admet un maximum local en a, iii) si rt s2 < 0, alors f n’admet pas d’extremum en a, on dit que f admet un point selle ou un point col en a, iv) si rt s2 = 0, on ne peut pas conclure. − − − − Démonstration : faite en cours.  22 Minimum local : cas i) Maximum local : cas ii) Point selle : cas iii) Aucune conclusion possible : cas iv) 23 Chapitre 5 Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites 1 Diﬀ éomorphismes Déﬁnition 5.1 (Diﬀ éomorphisme). Soient U et V deux ouverts de Rn et k que f : U Rn V Rn est un di ﬀ éomorphisme de classe C k si : i) f est une bijection de U Rn dans V Rn , ii) f est de classe C k sur U , iii) f −1 est de classe C k sur V . ⊂ ∈ N∗. On dit → ⊂ ⊂ ⊂ Pour k = 0, i.e. le cas continu seulement, on dit que f est un homéomorphisme. Déﬁnition 5.2. Soit U un ouvert de Rn , a U et k N∗ . On dit que f : U Rn est un di ﬀ éomorphisme de classe C k au voisinage de a s’il existe un ouvert Ω Rn tel que i) a Ω U ii) Ω0 = f (Ω) est ouvert, 0 iii) la restriction f : Ω ﬀ éomorphisme de classe C k . Ω est un di ∈ ∈ ∈ ⊂ ⊂ → → 2 Théorème d’inversion locale n Théorème 5.3 (Inversion locale (admis)). Soit U un ouvert de Rn et f : U R de n classe C k sur U, k N∗ . Soit a U tel que Df (a) : Rn R soit bijective (ce qui équivaut à det J f (a) = 0). Alors, f est un C k -di ﬀ éomorphisme au voisinage de a. ∈ 6 ∈ → → Autrement dit, outre la régularité, il suﬃt de vériﬁer que l’application linéaire Df (a) est bijective pour en déduire que f elle-même est une bijection au voisinage de a. Corollaire 5.4. Soit U un ouvert de Rn et f : U Rn de classe C k sur U, k a = (a1 , . . . , an ) U et b = f (a). Considérons le système d’équations ∈ →   f 1 (x1 , . . . , xn ) = y1 .. . f n (x1 , . . . , xn ) = yn 24 ∈ N∗. Soit D (f 1 , . . . , fn ) (a) = 0, il existe un ouvert Ω contenant a, un ouvert Ω0 contenant b, tels D (x1 , . . . , xn ) que pour tout y = (y1 , . . . , yn ) Ω0 , le système y = f (x) possède une unique solution x dans Ω. De plus, les x1 , . . . , xn solutions sont des fonctions C k de y1 , . . . , yn , c’est-à-dire que si x = φ (y) alors φ C k (Ω0 ). Si 6 ∈ ∈ Théorème 5.5 (Inversion globale). Soit U un ouvert de Rn et f : U classe C k sur U, k N∗ . Si pour tout x U , Df (x) est bijective, alors i) f (U ) est un ouvert, ii) la restriction f : U f (U ) est un C k -di ﬀ éomorphisme. ∈ → Rn injective, de ∈ → ∈ ∈ → Démonstration : Soit b f (U ). Il existe a U tel que b = f (a). On applique le n théorème d’inversion locale en a : il existe un ouvert Ω R contenant a et un ouvert n Ω0 Ω0 soit un C k -diﬀ éomorphisme. Ainsi, R contenant b tels que la restriction f 1 : Ω Ω0 f (U ). On a montré que pour tout b f (U ), il existe un ouvert contenant b inclus dans f (U ) ; ce qui veut dire que f (U ) est ouvert. f étant injective, elle est bijective de U dans f (U ). On note f −1 : f (U ) U son inverse. −1 0 −1 k Sur Ω , f coïncide avec f 1 , donc est de classe C . Ceci étant vrai au voisinage de tous les points de f (U ), f −1 est de classe C k sur f (U ).  ⊂ ⊂ ∈ ⊂ → Exercice 5.6. Soit f : R+∗ ] π , π[ R2 , f (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) (coordonnées polaires). Déterminer V = f (R+∗ ] π , π [) et montrer que f : R+∗ ] π , π[ V est un C 1 -di ﬀ éomorphisme. ×− → ×− 3 ×− → Changements de variables Déﬁnition 5.7. Soient Ω1 et Ω2 deux ouverts de Rn . Un C 1 -di ﬀ éomorphisme ϕ : est aussi appelé un changement de variables. → Ω2 Ω1 Le théorème d’inversion globale donne un critère pour vériﬁer si une application est un changement de variables. Supposons par exemple n = 2, ϕ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)). La ∂ u ∂ u x ∂ y jacobienne de ϕ au point (x, y) est J ϕ (x, y) = ∂ ∂ v ∂ v (x, y). Elle se calcule facile∂ x ∂ y u = u(x, y) ment si l’on dispose de Il arrive souvent que ce système soit diﬃcile (ou v = v(x, y) impossible) à inverser explicitement : on ne peut expliciter x, y en fonction de u, v. Cepenx = x(u, v) dant, on peut calculer les dérivées partielles des fonctions en inversant y = y(u, v) la jacobienne. En eﬀ et, si (u, v) = ϕ (x, y), on a J ϕ (x, y)J ϕ 1 (u, v) = I 2 , donc       − J ϕ 1 (u, v) = −   ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v   (u, v) =   ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y On obtient les dérivées partielles de ϕ−1 sans expliciter ϕ−1 . 25     (x, y) −1 R2 Exercice 5.8. Soit ϕ : → R2, ϕ(x, y) = (u, v),  u = ex + ey v = x+y − Montrer que ϕ est un changement de variables de R2 dans Im ϕ. Déterminer ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y , , , . ∂ u ∂ v ∂ u ∂ v Exemple : Changement de variables polaires x = r cos θ Soit ϕ(r, θ) = (x, y) déﬁnie par . y = r sin θ ϕ est bien déﬁnie sur R2 , elle est C ∞ sur R2 et on a   −r sin θ cos θ J ϕ (r, θ) = sin θ r cos θ  , D(x, y) = r. D(r, θ) ×] − π, π[ dans R2 \ {(x, 0) | x ∈ R−}. En eﬀ et, D(x, y) 6 0, donc = r est non nul pour r = ϕ est injective sur R+∗ ×] − π , π[ et son jacobien D(r, θ) d’après le théorème d’inversion globale, ϕ est un C 1 -diﬀ éomorphisme de R+∗ ×] − π , π [ dans ϕ R+∗ ×] − π , π [ = R2 \ {(x, 0) | x ∈ R− }. ϕ est un changement de variables de  +∗ R  Le système donnant x et y en fonction de r et θ est impossible à inverser en toute généralité. On peut cependant calculer les dérivées partielles de l’inverse en inversant la jacobienne de ϕ : ∂ r ∂ r cos θ sin θ ∂ x ∂ y J 1 (r, θ) = = sin θ cos θ ϕ−   ∂θ ∂ x ∂θ ∂ y    − r ! r Soit f une fonction déﬁnie sur un ouvert de R2 inclus dans R2 \ {(x, 0) | x R− }. On pose g = f ϕ, i.e. g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ) = f (x, y). On calcule alors, par le théorème de diﬀ érentiation des applications composées, ∈ ◦ ∂ f (x, y) = ∂ x ∂ f (x, y) = ∂ y ∂ g ∂ r ∂ g ∂θ ∂ g (r, θ) + (r, θ) = (r, θ)cos θ ∂ r ∂ x ∂θ ∂ x ∂ r ∂ g ∂ r ∂ g ∂θ ∂ g (r, θ) + (r, θ) = (r, θ)sin θ + ∂ r ∂ y ∂θ ∂ y ∂ r sin θ ∂ g − ∂θ (r, θ) , r (5.1) cos θ ∂ g (r, θ) . (5.2) ∂θ r Ces relations permettent de résoudre quelques équations aux dérivées partielles (EDP). Exercice 5.9. Donner les applications f déﬁnies sur l’ouvert Ω = R+∗ cet ouvert telles que ∂ f ∂ f x +y = x 2 + y2 ∂ x ∂ y 4 × R de R2, C 1 sur (5.3) Théorème des fonctions implicites Corollaire 5.10 (Théorème des fonctions implicites dans le cas n = p = 1). Soit Ω un k ouvert de R2 , f : Ω 1), et (a, b) R R. On suppose R de classe C ( k i) f(a,b)=0, → ≥ ∈ × 26 ii) ∂ ∂ y f (a, b) = 0. Alors, il existe • A > 0, B > 0, • ϕ :]a A, a + A[ ]b B, b + B[ de classe C k telle que i) ϕ(a) = b ii) f (x, y) = 0 y = ϕ (x) pour tout x ]a A, a + A[. De plus, quitte à diminuer A > 0, pour tout x ]a A, a + A[, 6 − → − ⇐⇒ ∈ − ∈ − 0 ϕ (x) = − ∂ f (x, ϕ(x)) ∂ x ∂ f (x, ϕ(x)) ∂ y . On dit que ϕ est la fonction implicite déﬁnie par f (x, y) = 0 au voisinage de (a, b). Démonstration : faite en cours.  Une application de ce théorème est le résultat sur les extrémas liés ou multiplicateurs de Lagrange qui intervient quand on cherche les extremas d’une fonction tout en vériﬁant une contrainte. Cette situation est très courante en théorie de l’optimisation que vous aborderez en 3MIC. Corollaire 5.11. Considérons l’équation f (x, y) = 0 où f C k (R2 ). Soit (a, b) une solution de cette équation, c’est-à-dire que f (a, b) = 0. On suppose de plus que ∂ ∂ y f (a, b) = 0. Alors, il existe A > 0, B > 0 tels que pour tout x ]a A, a + A[, l’équation possède une unique solution y dans ]b B, b + B[ (et y dépend de x de façon C k ). ∈ ∈ − − 27 6 Deuxième partie Calcul intégral 28 Chapitre 6 Intégrale dépendant d’un paramètre 1 1.1 Intégrale déﬁnie dépendant d’un paramètre Continuité uniforme Déﬁnition 6.1. Soit Ω un domaine de Rn . Une fonction f : Ω continue sur Ω si elle vériﬁe → R est dite uniformément ∀ε > 0, ∃ η > 0 tel que ∀(x, y) ∈ Ω2 , kx − yk ≤ η =⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε. Le théorème de Heine, qu’on énonce maintenant, généralisation du théorème de Heine démontré en première année, donne une condition su ﬃsante assurant qu’une fonction est uniformément continue. Théorème 6.2. Si une fonction f est continue sur un domaine Ω = est uniformément continue sur Ω. 1.2 Q n i=1 [ai , bi ], alors f Bornes ﬁxes Soient a < b et c < d des réels. On note ∆ = [a, b] [c, d] R2 . Soit f : ∆ R, (t, x) f (t, x) une fonction déﬁnie sur ∆, à valeurs réelles. En première année, vous a été déﬁnie l’intégrale sur un segment, au sens de Riemann, des fonctions continues d’une variable réelle. A x ﬁxé, la fonction [a, b] f (t, x) est R, t une fonction d’une seule variable réelle. Si elle est continue sur [a, b], on peut déﬁnir × ⊂ → → Z 7→ 7→ b g(x) = f (t, x)dt. a Si t 7→ f (t, x) est continue sur [a, b] pour tout x ∈ [c, d], alors on peut déﬁnir g : [c, d] → R b x 7→ f (t, x)dt   Z a On dit que g est déﬁnie comme une intégrale dépendant d’un paramètre (le paramètre x). Dans ce paragraphe, on étudie les propriétés de la fonction g en fonction de celles de f . 29 Théorème 6.3 (Continuité). Soient a < b et c < d des réels. Soit f : ∆ = [a, b] × [c, d] → R. Si f est continue sur ∆, alors la fonction g : [c, d] → R, x 7→ continue sur [c, d]. Z b f (t, x)dt est déﬁnie et a Démonstration : faite en cours.  Z 1 Exercice 6.4. Montrer que g : R → R, x 7→ g(x) = sur R. Théorème 6.5 (Classe C 1 ). Soient a < b et c < d des réels. Soit f : ∆ = [a, b] i) f est continue sur ∆, ∂ f ii) existe et est continue sur ∆. ∂ x Z 7→ Z b → R, Alors, la fonction g : [c, d] x x f (t, x)dt est de classe C 1 sur [c, d] et pour tout b 0 g (x) = a ∈ × [c, d] → R. Supposons que a ∈ [c, d], Démonstration : Soit x 0 cos(tx) dt est déﬁnie et continue 1 + t2 ∂ f (t, x)dt. ∂ x g(x + h) [c, d]. Montrons que A(h) = h Z − g(x) − b a ∂ f (t, x)dt ∂ x −h→0 −−→ 0. A t [a, b] ﬁxé, on applique la formule des accroissements ﬁnis à la fonction d’une variable réelle x f (t, x) sur l’intervalle [x, x + h] : il existe θh (t) ]x, x + h[ tel que ∂ f f (t, x + h) f (t, x) = h t, θh (t) . Ainsi, ∂ x ∈ − 7→   Z  b A(h) = a ∈ ∂ f (t, θh (t)) ∂ x −  ∂ f (t, x) dt. ∂ x ∂ f est continue sur le fermé borné ∆, donc elle y est uniformément continue. ∂ x Soit ε > 0. Prenons pour la norme du sup. Il existe η > 0 tel que pour tout (t, t0 ) [a, b]2 , tout (x, x0 ) [c, d]2 , si (t0 , x0 ) (t, x) < η ∂ f 0 0 ∂ f alors (t , x ) (t, x) < ε . ∂ x ∂ x Soit |h| < η . Pour tout t [a, b], on a | θh (t) x| < η . On obtient Or  k k −  ∈ ∈ ∈ k k − A(h) < ε (b − a). 0 En conclusion, lim A(h) = 0, i.e. g est dérivable en x, avec g (x) = h→0 pour tout x − ∈ [c, d], donc g est dérivable sur [c, d]. 30 Z b a ∂ f (t, x)dt. Ceci ∂ x De plus, ∂ f est continue sur ∂ x ∆ donc, par le théorème précédent, g 0 est continue sur [c, d]. g est donc de classe C 1 .  Z 1 cos(tx) dt. Montrer que g est de classe C 2 2 1 + t 0 sur R et que g est solution de l’équation di ﬀ érentielle : Exercice 6.6. Soit g : R → R, x → 7 g(x) =  −  y”(x) + y(x) = lim y(x) = π sin x , x x > 0, , 4 lim y 0 (x) = 0. x→0+ x→0+ Théorème 6.7 (Théorème de Fubini). Soient a < b et c < d des réels. Soit f : ∆ = [a, b] × → Z → 7→ Z Z Z  Z Z [c, d] R continue sur ∆. b Alors la fonction g : [c, d] R, x f (t, x)dt est continue sur [c, d] et l’on peut calculer a son intégrale sur [c, d] comme suit : d d b g(x)dx = c b f (t, x)dt dx = c a a  d f (t, x)dx dt. c En d’autres termes, on peut "intervertir" les intégrales sur [a, b] et sur [c, d]. Démonstration : On déﬁnit les trois fonctions suivantes : u i) H 1 : [c, d] H 1 (u) = g(x)dx, R, u Z Z Z → 7 → c u R → → 7 ii) h : ∆ , (t, u) h(t, u) = f (t, x)dx, c b iii) H 2 : [c, d] → R, u 7→ H 2 (u) = h(t, u)dt . a On veut montrer que H 1 (d) = H 2 (d). Pour cela, on montre que pour tout u [c, d], 0 0 H 1 (u) = H 2 (u). Comme H 1 (c) = H 2 (c) = 0, cela suﬃt bien à montrer que H 1 (d) = H 2 (d). Vériﬁons tout d’abord que ces trois fonctions sont bien déﬁnies, puis que H 1 et H 2 sont de classe C 1 . i) H 1 est bien déﬁnie sur [c, d] car g est continue sur [c, d] ; H 1 est une primitive de g donc elle est de classe C 1 et pour tout u [c, d], H 10 (u) = g(u). ii) h est bien déﬁnie car pour tout t [a, b], x f (t, x) est continue sur [c, d]. Montrons que h est continue sur ∆, et qu’elle admet une dérivée partielle par rapport à u continue sur [c, d]. Soit ε > 0. Prenons pour la norme du sup. Soit (t, u), (t0 , u0 ) ∆. On a ∈ ∈ ∈ k k |h(t, u) − h(t0, u0)| Z ≤ 7→ u c |f (t, x) − f (t0, x)|dx + Z  u ∈ 0   |f (t0 , x)|dx . u Comme f est continue sur le fermé borné ∆ de R2 , elle y est uniformément continue, donc il existe η > 0 tel que pour tout x [c, d], tout |t t0 | < η , | f (t, x) f (t0 , x)| < ε . ∈ − 31 − − t0| < η et |u − u0| < ε, on obtient |h(t, u) − h(t0 , u0 )| ≤ (u − c)ε + kf k∞ |u − u0 | < (d − c + kf k∞ )ε. Ainsi, pour | t Ce qui signiﬁe que h est continue sur ∆. De plus, à t ﬁxé, h(t, .) est une primitive de f (t, .) donc la dérivée partielle de h par rapport ∂ h à u existe, et pour tout t [a, b], tout u [c, d], (t, u) = f (t, u), qui est bien continue ∂ u sur ∆. iii) Par le théorème 6.5, H 2 est de classe C 1 sur [c, d] et pour tout u [c, d], ∈ H 20 (u) ∈ Z b = a ∂ h (t, u)dt = ∂ u ∈ Z b f (t, u)dt = g(u). a Ainsi, H 10 = H 20 , ce qui termine la preuve du théorème. Z 7 → 1 Exercice 6.8. Soit g : 1.3 R → R, x 0 cos(xt) dt. Montrer que 1 + t2  Z 1 Z 1 g(x)dx = 0 0 sin t dt. t(1 + t2 ) Bornes dépendant du paramètre On rappelle que ∈ C ([a, b]), on peut déﬁnir F sa primive qui s’annule en a par F : [a, b] → R x x 7→ f (t)dt Théorème 6.9. Si f   Z a ∈ C 1([a, b]) et pour tout x ∈ [a, b], F 0(x) = f (x). Alors F En utilisant ce théorème et le résultat sur la dérivation des fonctions composées, on peut traiter le cas des intégrales dont une borne au moins dépend d’un paramètre. Z x2 Exercice 6.10. Soit g : [0, 1] → R, x → 7 g(x) = x Montrer que g est dérivable sur [0, 1] et calculer g0 . 2 cos(tx) dt. 1 + t2 Intégrale impropre dépendant d’un paramètre Soient a, c, d trois réels tels que c < d. Soit b ]a, + [ {+ } (b est soit un réel > a, soit égal à + ). Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs réelles déﬁnie sur [a, b[ [c, d] : × ∈ ∞ × ∞∪ ∞ → R, (t, x) 7→ f (t, x). On pourrait tout aussi bien considérer f déﬁnie sur ]a, b] × [c, d], avec a ∈ R ∪ {−∞}. f : [a, b[ [c, d] 32 A x ﬁxé, la fonction [a, b[ R, t f (t, x) est une fonction d’une seule variable réelle. Si f est continue sur [a, b[, on peut déﬁnir, si elle converge, l’intégrale impropre, ou intégrale généralisée, → 7→ Z b g(x) = f (t, x)dt. a 7→ (Si t f (t, x) est prolongeable par continuité en b, cette intégrale coïncide avec l’intégrale de Riemann de f sur [a, b]). Z b 7 f (t, x) est continue sur [a, b[ pour tout x ∈ [c, d], et que → converge pour tout x ∈ [c, d], alors on peut déﬁnir g : [c, d] → R b x 7→ f (t, x)dt Déﬁnition 6.11. Si t   f (t, x)dt a Z a On dit que g est déﬁnie comme une intégrale impropre (ou généralisée) dépendant d’un paramètre (le paramètre x). Exercice 6.12. Quel est l’ensemble de déﬁnition de la fonction g déﬁnie par g(x) = +∞ −t e e−tx dt ? t 1 Z − Les hypothèses faites aux théorèmes 6.3 et 6.5 ne su ﬃsent plus ici pour étudier la régularité de l’intégrale impropre à paramètre. Il faut ajouter une condition de domination (voir hypothèse ii) dans le théorème 6.13 et hypothèses ii), iv) dans le théorème 6.15) pour obtenir le résultat de continuité ou de dérivabilité. Cette hypothèse de domination assure que l’intégrale impropre converge uniformément par rapport au paramètre x. Théorème 6.13 (Théorème de continuité). Soient a, c, d trois réels tels que c < d. Soit b ]a, + [ {+ }. Soit f : [a, b[ [c, d] R. Supposons que i) f est continue sur [a, b[ [c, d], ii) il existe ϕ0 : [a, b[ R+ telle que - pour tout t [a, b[, tout x [c, d], |f (t, x)| ϕ0 (t), ∈ ∞∪ ∞ Z b - × → × → ∈ ∈ ≤ ϕ0 (t)dt converge. a Z → b Alors, la fonction déﬁnie par g : [c, d] → R, x f (t, x)dt est continue sur [c, d]. a Démonstration : faite en cours.  Z +∞ ∞ → R, x 7→ g(x) = Exercice 6.14. Montrer que g :]0, + [ sur ]0, + [. ∞ 33 1 e−t − e−tx dt est continue t Théorème 6.15 (Théorème classe C 1 ). Supposons que i) f est continue sur [a, b[ [c, d], ii) il existe ϕ0 : [a, b[ R telle que × → - pour tout t ∈ [a, b[, tout x ∈ [c, d], |f (t, x)| ≤ ϕ0 (t), b - Z ϕ0 (t) dt converge, a ∂ f existe et est continue sur [a, b[ [c, d], ∂ x iv) il existe ϕ1 : [a, b[ R telle que iii) × → - pour tout t ∈ [a, b[, tout x ∈ [c, d], Z b - ϕ1 (t)dt converge, a b → R, Alors, la fonction déﬁnie par g : [c, d] pour tout x Z → ∈ [c, d], x b g (x) = a ∈ − −  ≤ ∂ f (t, x) ∂ x ϕ1 (t), f (t, x)dt est de classe C 1 sur [c, d], et a Z 0  ∂ f (t, x)dt. ∂ x Démonstration : Soit x [c, d]. Montrer que g est dérivable en x équivaut à montrer b g(x + h) g(x) ∂ f que A(h) = (t, x)dt 0. h→0 h a ∂ x Soit ε > 0. Z Z b Comme a −−−→ existe b 0 φ1 (t)dt converge, il b ∈ [a, b[ tel que ˜ On décompose A(h) = A(h) + R(h) avec ˜ A(h) = R(h) = − g˜(x + h) g˜(x) h b f (t, x + h) h b Z  0 Z Z − b 0 b ∂ f (t, x)dt, ∂ x a φ1 (t)dt < ε . 0 b g˜(x) =  − f (t, x) − ∂ f (t, x)dt ∂ x Z 0 f (t, x)dt a On peut appliquer le théorème 6.5 à g˜ (f satisfait les hypothèses du théorème 6.5 sur ˜ [a, b0 ] [c, d]). On obtient lim A(h) = 0. Ainsi, il existe η > 0 tel que pour |h| < η , × h→0 ˜ | < ε . |A(h) Il reste à majorer R(h). Pour cela, à t [b0 , b[ ﬁxé, on applique la formule des accroissements ﬁnis à la fonction d’une variable réelle x f (t, x) sur l’intervalle [x, x + h] : il existe ∂ f t, θh (t) . Ainsi, θh (t) ]x, x + h[ tel que f (t, x + h) f (t, x) = h ∂ x ∈ ∈ 7→ − Z  b R(h) = b 0 ∂ f (t, θh (t)) ∂ x    − ∂ f (t, x) dt. ∂ x On utilise maintenant la condition de domination sur la dérivée partielle de f par rapport à x : Z ≤ b |R(h)| 2 b φ1 (t)dt < 2 ε. 0 34 Ainsi, |A(h)| < 3 ε pour |h| < η . b 0 En conclusion, lim A(h) = 0, i.e. g est dérivable en x, avec g (x) = h→0 pour tout x De plus, a ∈ [c, d], donc g est dérivable sur [c, d]. ∂ f est continue sur ∂ x ∆ et Z ∂ f (t, x)dt. Ceci ∂ x vériﬁe une condition de domination donc, par le théo- rème précédent, g 0 est continue sur [c, d]. g est donc de classe C 1 sur [c, d]. Z +∞ ∞ → R, x 7→ g(x) = Exercice 6.16. Montrer que g :]0, + [ 1 ∞ C sur ]0, + [ et calculer sa dérivée. 3 e−t  − e−tx dt est de classe t 1 Un exemple : la fonction Gamma d’Euler La fonction gamma se range parmi les fonctions spéciales les plus élémentaires, mais en même temps les plus importantes. La connaissance de ses propriétés est essentielle pour l’étude des autres fonctions spéciales. Un grand nombre d’intégrales en analyse peut être exprimé au moyen de la fonction gamma. La fonction gamma intervient dans de nombreuses estimations asymptotiques des "grands nombres", en statistique notamment. 3.1 Déﬁnition sur R+∗ , premières propriétés Z +∞ Proposition-Déﬁnition 6.17. Pour tout x > 0, l’intégrale 0 gente. On appelle fonction Gamma d’Euler la fonction   Γ : R+∗ x → 7→ R Z +∞ Γ(x) = tx−1 e−t dt est conver- tx−1 e−t dt 0 Démonstration : Soit x > 0. D’une part, au voisinage de 0, on a tx−1 e−t ∼0 tx−1, donc 1 x−1 −t e dt converge. D’autre part, il existe C > 0 tel que pour tout t ≥ 1, t x−1 ≤ Ce t/2 0 t +∞ x−1 −t/2 x−1 −t −t/2 (on a en eﬀ et lim t e = 0), donc t e ≤ Ce et l’intégrale tx−1 e−t dt t→+∞ R Z 1 converge. Proposition 6.18. a) Γ(1) = 1. b) Pour tout x > 0, Γ(x + 1) = x Γ(x). c) Pour tout n N∗ , Γ(n + 1) = n!. ∈ 35  Démonstration : La relation b) s’obtient en intégrant par parties, et c) est une conséquence directe de a) et b).  En conséquence, si on connait les valeurs de valeurs de Γ pour x > 0. Z +∞ Exercice 6.19. En admettant 0 cours), calculer pour tout n ∈ N, Γ 3.2 Γ Prolongement de On prolonge la fonction Γ à pose à Γ sur ]0, 1], 2 e−u du = on déduit à partir de b) toutes les √ π (on le démontrera plus loin dans ce   n+ R− 1 . 2 \Z − R \ Z en ∀ utilisant la relation : x > 0, Γ(x + 1) = x Γ(x). On ∈ − 1, 0[, on a x + 1 > 0, donc on peut déﬁnir Γ(x) = Γ(xx+ 1) . Γ(x + 1) Γ(x + 2) — Si x ∈] − 2, −1[, on a x+1 ∈] − 1, 0[ donc on peut déﬁnir Γ(x) = = x x(x + 1) — Pour x ] Γ(x) Γ(x + 2) , avec x + 2 ]0, 1[, x(x + 1) = ∈ — etc... ∈ − n − 1, −n[, n ∈ N, on pose Γ(x) = x(xΓ+(x1)+. n. .+(x1)+ n) . — Si x ] Ainsi, Γ est Γ déﬁnie sur : R \ Z− x Attention ! 3.3 Γ ne R \ Z− . → R 7→ Γ(x)  Z  +∞ = 0 tx−1 e−t dt Γ(x + n + 1) x(x + 1) . . . (x + n) si x > 0 ∈ − n − 1, −n[, n ∈ N si x ] s’écrit sous la forme d’une intégrale que pour x > 0. Etude de Gamma et courbe représentative Proposition 6.20 (Etude de Γ sur R+∗ ). i) La fonction Γ est de classe C ∞ sur R+∗ . ii) Il existe une constante c ]1, 2[ telle que Γ est décroissante sur ]0, c[ et croissante sur ]c, + [. iii) lim Γ(x) = lim Γ(x) = + . ∈ ∞ x→+∞ x→0 ∞ × R+∗ → R, f (t, x) = tx−1e−t. f est inﬁniment ∂ k f dérivable par rapport x dans R+∗ et pour tout k ∈ N∗ , tout (t, x) ∈ R+∗ × R+∗ , (t, x) = ∂ xk Démonstration : i) Notons f : +∗ R (ln t)k tx−1 e−t . 36 Soit 0 < a < b deux réels. Soit k N∗ . Montrons que ∂ l f Pour tout l est continue sur R+∗ {0, . . . , k}, l ∂ x +∗ [a, b], R ∈ ∈ ×  Z  ≤  ∂ l f (t, x) ∂ xl +∞ L’intégrale 0 l (ln t) a−1 −t 1]0,1] t e ∈ × [a, b]. De plus, pour tout (t, x) ∈ b−1 −t + 1]1,+∞[ t ϕl (t)dt converge. On en déduit que Ceci étant vrai pour tout [a, b] avec pour tout k N∗ , de classe C k sur [a, b]. Γ est Γ est e  := ϕ l (t). de classe C k sur [a, b]. ⊂ R+∗ et pour tout k ∈ N∗, Γ est de classe C ∞ sur R+∗, (k) Γ (x) Z +∞ = (ln t)k tx−1 e−t dt. 0 Γ00 ii) Comme est strictement positive sur R+∗ , Γ0 est strictement croissante. De plus, comme Γ(2) = 1.Γ(1), on peut appliquer le théorème de Rolle à Γ sur [1, 2] : il existe c ]1, 2[ tel que Γ0 (c) = 0. Ainsi, Γ0 est strictement négative sur ]0, c[ et strictement positive sur ]c, + [. On en déduit que Γ est strictement décroissante sur ]0, c[ et strictement croissante sur ]c, + [. iii) Soit M > 0. Il existe un entier n 2 tel que n! > M . Pour tout x n + 1, Γ(x) Γ(n + 1) = n! > M . Cela montre que lim Γ(x) = + . ∈ ∞ ≥ ∞ ≥ ∞ x→+∞ Comme Γ(x) = Γ(x + 1) pour tout x > 0, on a lim = + x x→0+ Proposition 6.21 (Etude sur R− \ Z). Soit n N. i) Si n est pair, alors - lim Γ(x) = , lim ≥ ∞.  ∈ x→−n − −∞ x→−n+ Γ(x) =+ , ∞ - la fonction Γ admet un maximum relatif sur ] ii) Si n est impair, alors - lim Γ(x) = + , x→−n − ∞ lim x→−n+ Γ(x) = − n − 1, −n[. −∞, - la fonction Γ admet un minimum relatif sur ] − n − 1, −n[. Démonstration : Nous prouvons le résultat pour n pair. Γ(x + n + 1) Pour tout x ] n 1, n[, on a Γ(x) = . Or Γ est continue sur R+∗ , x(x + 1) . . . (x + n) donc lim Γ(x + n + 1) = Γ(1) = 1 ; et le dénominateur est un produit de n + 1 termes ∈− − − x→−n − négatifs, dont l’un tend vers 0, il tend donc vers 0 − . Ainsi, lim x→−n − Γ(x) = −∞. + n) . Or lim Γ(x + n) = ∈ − n, −n + 1[, on a Γ(x) = x(x + 1)Γ(x . . . (x + n − 1) x→−n lim Γ(x) = +∞, et le dénominateur est un produit de n termes négatifs, dont l’un tend x→0 vers 0, il tend donc vers 0 + . Ainsi, lim Γ(x) = + ∞. x→−n Γ(x) = −∞ et lim Γ(x) = Sur ] − n − 1, −n[, la fonction Γ vériﬁe : Γ continue, lim x→(−n−1) x→−n Pour tout x ] + + + + 37 − −∞. Cela suﬃt à montrer que Γ admet un maximum relatif. En eﬀ et, on remarque tout d’abord que Γ est majorée sur ] − n − 1, −n[ (il existe α > 0 tel que Γ(x) < 0 pour tout x ∈ ] − n − 1, −n − 1 + α [∪] − n − α, −n[, et Γ continue sur le fermé borné [−n − 1 + α, −n − α] donc bornée). Notons M = sup Γ(x). Il existe η > 0 tel que x∈]−n−1,−n[ pour tout x ∈] − n − 1, −n − 1 + η [∪] − n − η , −n[, Γ(x) < M/2. Γ étant continue sur le segment [ −n − 1 + η , −n − η ], elle y atteint ses bornes : il existe x 0 ∈ [−n − 1+ η, −n − η ] tel que f (x0 ) = M . Ainsi, pour tout x ∈] − n − 1, −n[, f (x) ≤ f (x0 ), et f admet un maximum relatif sur ] − n − 1, −n[.  4 Un autre exemple : la transformée de Laplace La transformée de Laplace d’une fonction f est une transformation intégrale, c’est-à-dire une opération associant à une fonction f une nouvelle fonction dite transformée de Laplace de f via une intégrale à paramètres. Comme la plupart des opérations courantes sur la fonction originale f (dérivation, retard) ont une traduction plus simple sur la transformée de Laplace, cet outil est souvent utilisé en automatique, électronique ou mécanique pour résoudre des équations di ﬀ érentielles. La transformée de Laplace peut également s’interpréter comme une généralisation de la transformée de Fourier que nous aborderons dans le chapitre d’analyse harmonique. Cette transformation fut introduite pour la première fois par Pierre-Simon de Laplace en 1774, dans le cadre de la théorie des probabilités. 4.1 Déﬁnition ∀ ≥ Soit f une fonction déﬁnie de R dans R telle que t < 0, f (t) = 0. On note H la fonction déﬁnie par H (t) = 1 si t 0 et H (t) = 0 si t < 0. H est appelée échelon unité ou fonction de Heaviside. transformée de Laplace Déﬁnition 6.22. On appelle transformée de Laplace de f la fonction F = L[f ] de la variable complexe p déﬁnie par l’intégrale impropre de paramètre p : Z +∞ F ( p) = L[f ]( p) = f (t)e− pt dt 0 La fonction f est appelée l’originale et F l’image. Si la transformée inverse existe, on la note L−1 (F ) = f . condition suﬃsante d’existence de L[f ] Proposition 6.23. Si les trois conditions suivantes sont vériﬁées : 1. f est continue sur ]0, + [ ∞ 2. f est absolument intégrable au voisinage de 0+ 38 3. il existe trois constantes strictement positives A, C et γ telles que ⇒ |f (t)| < Ce γ t alors f admet une transformée de Laplace F pour p ∈ C tel que Re( p) > γ . ∀t ∈ R , t>A Démonstration : faite en TD pour p réel.  table des fonctions usuelles fonction dirac échelon puissance exponentielle approche exponentielle exponentielle monome sinus cosinus sinus hyperbolique cosinus hyperbolique decroissance exp d’un sin decroissance exp d’un cos 4.2 f (t)H (t) δ (t) K tn e−at 1 e−t/τ e−αt tn sin(ω t) cos(ω t) sinh(ω t) cosh(ω t) e−at sin(ω t) e−at cos(ω t) F ( p) 1 ∈ K p n! pn+1 1 p+a 1 p(1+τ p) n! ( p+a)n+1 − ω p2 +ω2 p p2 +ω2 ω p2 −ω2 p p2 −ω2 ω domaine de cv p C Re( p) > 0 Re( p) > 0 Re( p) > a Re( p) > 0 Re( p) > a Re( p) > 0 Re( p) > 0 Re( p) > | ω | Re( p) > | ω | Re( p) > a Re( p) > a ( p+a)2 +ω2 p+a ( p+a)2 +ω2 − − − − Propriétés Théorème 6.24 (linéarité). La transformée de Laplace est linéaire : ∀(f, g) , ∀(α, β ) ∈ C2 , L[αf + β g ] = α L[f ] + β L[g] si toutes ces transformées sont bien déﬁnies. ∈ Théorème 6.25 (théorème du retard). Soit τ R et f une fonction. Soit g la fonction f retardée de τ : g(t) = f (t τ )H (t τ ). Alors la transformée de Laplace d’un retard est la multiplication par une exponentielle : − − L[g]( p) = e −τ p L[f ]( p) si toutes ces transformées sont bien déﬁnies. Théorème 6.26 (Dérivation). On suppose que f hypothèses du théorème 6.23. Alors L[f 0 ]( p) = pL[f ]( p) si toutes ces transformées sont bien déﬁnies. 39 ∈ C 1(R) telle que f et f 0 vériﬁent les − f (0+) Démonstration : faite en TD.  Théorème 6.27 (Intégration). On suppose que f théorème 6.23. Alors Z  t L f (u)du ( p) = 0 ∈ C 0(R+∗ ) vériﬁent les hypothèses du L[f ]( p) p si toutes ces transformées sont bien déﬁnies. 4.3 Applications Exercice 6.28. Soient τ et A deux réels. Résoudre à l’aide de la transformée de Laplace l’équation di ﬀ érentielle τ f 0 (t) + f (t) = A sin(ω t)H (t) , 40 t ∈ R. Chapitre 7 Intégrale multiple Dans ce chapitre, on déﬁnit l’intégrale des fonctions continues de Rn dans R, au sens de Riemann. La construction, qui n’est pas explicitée ici, se fait comme pour l’intégrale sur R et se généralise sans di ﬃculté aux fonctions continues de Rn dans R p . L’une des di ﬃcultés est de déterminer les ensembles sur lesquels on peut intégrer. Pour les fonctions d’une seule variable, on déﬁnit l’intégrale de Riemann sur un intervalle fermé borné. En dimension supérieure, on peut déﬁnire l’intégrale d’une fonction continue sur un ensemble mesurable. On se limitera ici aux compacts élémentaires. 1 Déﬁnition et premières propriétés 1.1 Intégrale sur un compact élémentaire Déﬁnition 7.1. On appelle compact élémentaire de Rn tout sous ensemble de Rn déﬁni par des inégalités ≤ xσ(1) ≤ b f 1 (xσ(1) ) ≤ xσ(2) ≤ g1 (xσ(1) ) a .. . f n−1 (xσ(1) , . . . , xσ(n−1) ) ≤ xσ(n) ≤ gn−1(xσ(1), . . . , xσ(n−1)) où a, b R, f 1 , . . . , fn , g1 , . . . , gn sont continues, et σ est une permutation de {1, . . . , n} dans lui-même. ∈ Déﬁnition 7.2. Si A est un compact élémentaire de Rn et f : A l’intégrale de f sur A est déﬁnie par Z f (x)dx = A Z Z Z f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . d xn A b = → R est continue, alors a g1 (x dxσ(1) f 1 (x σ σ (1) ) (1) ) Z gn dxσ(2) . . . f n − 1 (xσ(1) ,...,xσ(n−1) ) 1 (xσ(1) ,...,xσ(n−1) ) f (x1 , . . . , xn )dxσ(n) . − Cas particulier Si f est constante égale à 1 sur A, on obtient la mesure de A (son aire si n = 2, son volume 41 si n = 3) : |A| = µ(A) = Z 1dx. A 1.2 Premières propriétés Proposition 7.3. L’intégrale ainsi déﬁnie a les propriétés suivantes. i) ( Linéarité ) Pour tout A compact élémentaire, f Z 7→ f (x)dx est linéaire sur A C (A, R). ii) ( Positivité ) Pour tout A compact élémentaire et tout couple de fonctions (f, g), si x A, f (x) g(x) alors A f (x)dx A g(x)dx. iii) ( Majoration ) Pour tout A compact élémentaire, pour tout f C (A, R), ∀ ∈ R ≤ ≤ Z Z  ≤ Z f (x)dx A R ∈ |f (x)|dx A ≤ µ(A)kf k∞ . iv) ( Additivité ) Pour tous compacts élémentaires A 1 et A 2 d’intérieurs disjoints, pour ∈ C (A1 ∪ A2, R), tout f f (x)dx = A1 ∪A2 Z f (x)dx + A1 Z f (x)dx. A2 Remarque 7.4. Si l’intégrale porte sur un compact élémentaire de R2 , on notera souvent Z Z f = A f (x, y)dxdy. On parle d’intégrale double. A Si l’intégrale porte sur un compact élémentaire de R 3 , on notera souvent Exercice 7.5.  1 a) Quelle est la mesure de D1 = (x, y) x2 + y 2 4 2 2 b) Même question avec D2 = (x, y) R , x + y 0 et y  ∈ ∈ 2 R , ≤ ≤  ≤ − ≥  Z Z 2.1 f (x,y,z)dxdydz. A 1 ? x ∈ R2, x ≥ 0 et y ≥ 0 et x + y ≤ 1}. Calculer b) Soit B = { (x, y) ∈ R2 , y ≤ x et x + y ≤ 2 et y ≥ 0}. Calculer 2 f = A On parle d’intégrale triple. Exercice 7.6. a) Soit A = {(x, y) Z ZZ 0 . xdxdy. A ex+y dxdy. B Théorèmes Théorème de la moyenne Soit A un compact mesurable de Rn et f : A 1 moyenne de f sur A le réel f . µ(A) A Z → R une fonction continue. On appelle valeur Théorème 7.7 (Théorème de la moyenne). Soit A un compact élémentaire de Rn et f : A R une fonction continue. Alors, 1 i) il existe x0 A, tel que f (x)dx = f (x0 ), µ(A) A → ∈ Z 42 ii) pour tout g : A → R continue et positive, il existe x0 ∈ A, 1 µ(A) Z f (x)g(x)dx = f (x0 ) A Z g(x)dx . A Démonstration : Admise. 2.2  Théorème de Fubini Nous n’énonçons ce théorème que dans des cas particuliers. Théorème 7.8 (Intégrale sur un produit de pavé). Soit P un pavé de Rn et Q un pavé de Rm , n, m 1. Soit f : P une fonction continue. Alors, ≥ Z f (x, y)dxdy = P ×Q Z Z P × Q → R, (x, y) → f (x, y)  Z Z f (x, y)dy dx = Q Q  f (x, y)dx dy. P Démonstration : Ce théorème a été démontré dans le cas n = m = 1 (cf Théorème 6.7). Nous ne le démontrerons pas dans le cas général.  Corollaire 7.9 (Cas des fonctions à variables séparées). Soit P un pavé de Rn et Q un pavé de Rm , n, m 1. Soit f : P fonctions continues. Alors, ≥ Z f (x)g(y)dxdy = P ×Q → R et g : Q → R deux Z Z  f (x)dx g(y)dy . P Q Dans ce cas, si n = m = 1, l’intégrale double se ramène au produit de deux intégrales simples. Exercice 7.10. a) Calculer Z Z ex+y dxdy. [0,1]×[1,2] b) Calculer x sin(x2 + y)dxdy. [0,1]2 2.3 Théorème de changement de variables Théorème 7.11 (admis). ﬀ éomorphisme de classe C 1 de Ω sur Φ(Ω). Soit Rn un di Soit Ω un ouvert de Rn , Φ : Ω R continue. Alors, A un compact élémentaire inclus dans Ω. Soit f : Φ(A) i) Φ(A) est un compact élémentaire, ii) en notant Jac (Φ) le jacobien de Φ, → → Z Z ◦ f = Φ(A) (f A 43 Φ)|Jac (Φ)|. En pratique : notons y =   Φ(x), i.e. y1 = .. . Φ1 (x1 , . . . , xn ) yn = Φn (x1 , . . . , xn ) . Le théorème de changement de variables se réécrit Z f (y1 , . . . , yn )dy1 . . . d yn = Φ(A) Z  f   Φ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , Φn (x1 , . . . , xn ) A Il suﬃt donc de retenir   D(y1 , . . . , yn ) dy1 . . . d yn = dx1 . . . d xn . D(x1 , . . . , xn ) 3 3.1 Exemples  D(y1 , . . . , yn ) dx1 . . . d xn . D(x1 , . . . , xn ) Changement de variables aﬃne Prenons un changement de variables a ﬃne   y1 = b1 + m11 x1 + . . . + m1n xn .. . yn = bn + mn1 x1 + . . . + mnn xn soit, vectoriellement, Y = B + MX , avec M une matrice inversible. n Notons ϕ : Rn R , ϕ(X ) = B + M X . Le jacobien du changement de variables ϕ est, en tout point de Rn , D(y1 , . . . , yn ) = det M. D(x1 , . . . , xn ) Ainsi, pour tout compact mesurable A de Rn , → Z f = | det M | ϕ(A) Z ◦ f ϕ. A En particulier, avec f = 1, on obtient µ(ϕ(A)) = | det M |µ(A). Dans une transformation aﬃne, la mesure (aire, volume, . . . ) est multipliée par le déterminant de la transformation. Par exemple, dans Rn , l’homothétie de rapport k multiplie les mesures pas kn . Exercice 7.12. Calculer l’aire du compact délimité par l’ellipse 3.2 x2 y 2 + 2 = 1. a2 b Coordonnées polaires Notons U = R+∗ ] π , π [. Soit Φ : U R2 , Φ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ). Alors Φ est un C 1 -diﬀ éomorphisme de U dans Φ(U ) et | detJ Φ (ρ, θ)| = ρ . Ainsi, pour tout A compact mesurable de R2 , inclus dans Φ(U ), → ×− Z A f (x, y)dxdy = Z φ−1 (A) 44 ◦ Φ(r, θ)rdrdθ. f Exercice 7.13. Soit f : 0 et x2 + y2 3.3 2 R ≤ 1}. Calculer Z → R, f (x, y) = xy et A = {(x, y) f (x, y)dxdy. ∈ 2 R , x ≥ 0 et y ≥ A Coordonnées cylindriques Notons U = R+∗ ] π , π [ R. On pose Φ : U R3 , (ρ, θ, z) (x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z). 1 Alors, Φ est un C diﬀ éomorphisme de U sur Φ(U ) et | detJ Φ(ρ, θ, z)| = ρ . Ainsi, pour tout A compact mesurable de R3 , ne contenant pas l’origine, ×− → ZZ × 7→ ZZ f (x,y,z)dxdydz = ◦ Φ(r, θ, z)rdrdθdz. f φ−1 (A) A Exercice 7.14. Calculer le volume de la portion de cylindre de révolution de rayon R, et de hauteur comprise entre 0 et h. 3.4 Coordonnées sphériques Notons U = R+∗ ] π , π [ ]0, π[. Soit Φ : U R3 , (ρ, θ, ϕ) (x = ρ cos θ sin ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos ϕ). 1 2 Φ est un C -diﬀ éomorphisme de U sur Φ(U ) et | detJ Φ (ρ, θ , ϕ)| = ρ sin ϕ. Ainsi, pour tout A compact mesurable de R3 , inclus dans V , → ×− ZZ × 7→ f (x,y,z)dxdydz = ZZ φ−1 (A) A ◦ Φ(r, θ, ϕ)r2 sin ϕ drdθdϕ. f Exercice 7.15. Calculer le volume de la boule de centre 0 et de rayon R dans R3 . 3.5 Mesure des boules en dimension n Rn , B n (0, 1) Notons µ n la mesure de la boule unité de = { x ∈ Rn | x21 + . . . + x2n ≤ 1}. On a µ 1 = 2 et µ 2 = π . On montre que les boules Bn (x, R) ont pour mesure µn (R) = Rn µn pour tout x Rn , tout R > 0 (homothétie et translation). E eﬀ et, on calcule µ n par récurrence sur n : par le théorème de Fubini, on a pour tout n 3, ∈ Z Z 1 µn = ≥ √ 1−x √ − 1−x −1 dx1 2 1 2 1 dx2 45 Z √ √ 1−x21 −x22 − 1−x21 −x22 ! dx3 . . . q − −  Z Z √ √ Z Z √ √ − − Z Z − 1−x21 1 µn = dx1 −1 − 1−x21 1−x21 1 = µn−2 dx1 −1 − 2π = µn−2 = 1−x21 1 dθ 0 dx2 µ n−2 (1 x22 ) 2 −1 n r 2 ) 2 −1 rdr 0 2π µn−2 . n On en déduit µ 3 = x22 n x21 (1 x21 1 4π , etc... 3 46 (changement de variables polaires)

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