Capitolo 1

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Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Capitolo 1 Amplificatori a radiofrequenza Il primo blocco attivo di un sistema di ricezione è l’amplificatore di antenna che, essendo sempre un amplificatore a basso rumore, viene solitamente indicato con l’acronimo LNA (Low Noise Amplifier). Si tratta di un amplificatore che lavora con un range dinamico (rapporto tra la potenza del massimo segnale amplificabile con basse distorsioni e quella del minimo segnale intelligibile) molto ampio (anche maggiore di 100 dB) introducendo, al contempo, il minor contributo possibile al rumore. La principale caratteristica di un amplificatore è la capacità di introdurre un guadagno di potenza significativamente maggiore di 1. Gli amplificatori a radiofrequenza sono caratterizzati da guadagni di potenza generalmente compresi tra 15 e 25 dB. Il cuore dell’amplificatore è il componente attivo che, di norma, è rappresentabile mediante un tripolo, ovvero un dispositivo con tre terminali che lo connettono al mondo esterno: è opportuno, pertanto, esaminare le diverse maniere di caratterizzarlo, tenuto anche conto del fatto che spesso esso viene schematizzato come un sistema a due-porte in cui uno dei tre terminali risulta comune all’ingresso e all’uscita. 1.1 Caratterizzazione dei dispositivi a dueporte. L’amplificatore è un dispositivo a due-porte caratterizzato da quattro grandezze elettriche: corrente e tensione di ingresso e corrente e tensione di uscita. Se il due-porte è lineare, è possibile esprimere due di tali grandezze come combinazione lineare delle altre due: per far questo è necessario conoscere i 4 parametri della combinazione lineare che caratterizzano un determinato circuito a due-porte. 5 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza i1(t) i2(t) LNA v1(t) P(t) v2(t) R Power P(t )  V 2 (t ) R Fig. 1.1: Il LNA come sistema a due-porte. P(t) rappresenta la potenza istantanea di uscita ottenuta modulando, attraverso il segnale di ingresso, la potenza (Power) erogata dalla batteria di alimentazione Un esempio tipico è la caratterizzazione mediante i parametri h di un tripolo, definiti dal sistema di equazioni:  v1  hi  i1  hr  v2  i2  h f  i1  ho  v2 (1.1) La cui matrice è la matrice H  hi H  h f hr  ho  Il sistema definito dalle Eq. 1,1 fa riferimento allo schema di Fig. 1.2 i1 i2 + + v1 v2 _ _ Fig. 1.2: Due-porte ottenuto da un tripolo con un terminale a comune tra ingresso e uscita. I parametri h sono ricavabili dalle seguenti definizioni operative: hi  6 v1 i1 = [Ω] v2  0 hr  v1 v2 : adimensionale i1  0 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza hf  i2 v2 : adimensionale v2  0 ho  i2 v2 = [Ω-1] i1  0 Questi parametri sono detti ibridi perché non hanno tutti le stesse dimensioni fisiche. Per applicare la definizione operativa si devono realizzare sia cortocircuiti (v=0) che circuiti aperti (i = 0). I set di parametri possibili sono molteplici : h, z, y, S, ABCD. La scelta si fa sia in base alle modalità operative di misura, che possono risultare più o meno “comode” a seconda della frequenza di lavoro, sia in base alla potenzialità messe a disposizione del progettista da ciascun set di parametri. Anche queste potenzialità dipendono dalla frequenza di lavoro e dalla specificità degli obiettivi che il progetto deve conseguire. Ad esempio un circuito aperto in bassa frequenza è facilmente ottenibile “tagliando” un filo di connessione o una pista. In realtà, i due monconi a distanza finita tra loro rappresentano una capacità, ovvero una reattanza che, ad alte frequenze, fa si che i due fili non possano più essere considerati un circuito aperto: 1  160 1pF @ 1GHz costituisce una reattanza pari a 2  10 9  10 12 Operativamente, quindi, in alta frequenza un circuito aperto è difficilmente realizzabile. Un circuito chiuso può a sua volta introdurre un’induttanza. Qualche millimetro di conduttore corrisponde a un’induttanza dell’ordine del nano Henry, ovvero una reattanza di alcuni ohm nel range delle microonde: 1nH @ 1GHz costituisce una reattanza pari a 2  10 9  10 9  6.28 A frequenze molto elevate anche i cortocircuiti diventano difficilmente realizzabili. Nel campo delle radiofrequenze il set di parametri più utilizzato in passato è stato quello dei parametri Y che, negli ultimi anni, ha ceduto il passo ad un altro set di parametri: i parametri S utilizzati estensivamente nel campo delle microonde. In questa prima parte del Corso, per facilitare l’approccio ad una disciplina abbastanza specifica come quella della progettazione a radiofrequenza e microonde, si utilizzerà il set di parametri Y che, per la sua “somiglianza” con altri set di parametri utilizzati in corsi di base (parametri h e Z, per esempio) permette una più immediata comprensione e facilità di utilizzo. Nella seconda parte del Corso verrà, invece, introdotto ed utilizzato il set dei parametri S. 1.1.1 Parametri Y I parametri Y mettono in relazione le correnti di ingresso e uscita con le rispettive tensioni. Essi sono definiti dal seguente sistema di equazioni:  i1  y I  v1  y R  v2  i2  y F  v1  yO  v2 (1.2) La matrice Y delle ammettenze è: yR  y Y  I   y F yO  7 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Le definizioni operative dei parametri Y sono le seguenti: yI  yF  i1 v1 i2 v1 yR  v2  0 yO  v2  0 i1 v2 v1  0 i2 v2 v1  0 Per misurare i parametri Y bisogna realizzare solo dei cortocircuiti in ingresso o in uscita. I parametri Y sono i duali dei parametri Z definiti, a loro volta, dalla seguente coppia di equazioni e dalla matrice Z:  v1  z I  i1  z R  i2  v2  z F  i1  z O  i2 z Z  I zF zR  z O  (1.3) Nel seguito verranno utilizzati i parametri Y i quali hanno tutti le dimensioni di una ammettenza e si misurano in Siemens [S] o milliSiemens [mS]. I pedici indicano rispettivamente: I: input relativo al rapporto tra grandezze in ingresso O: output relativo al rapporto tra grandezze in uscita F: forward relativo all’effetto dell’ingresso sull’uscita R: reverse relativo all’effetto dell’uscita sull’ingresso Esempio di calcolo di parametri Y Nel seguito è riportato uni esempio di calcolo di parametri Y di un due-porte elementare. Esempio : i1 Yx i2 + + v1 v2 - i yI  1 v1 i1 = Yx Yx + v2  0 v1 v2=0 - yF  i2 v1 = -Yx i2 (i2  i1 v2  0 Il due-porte è simmetrico. 8 v2  0 ) yo=yi yr=yf Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Il fatto che il due-porte sia simmetrico equivale a dire che le due-porte possono essere scambiate. Cosa diversa è affermare che la matrice delle ammettenze è simmetrica rispetto alla diagonale principale. Questa caratteristica accomuna tutte le reti reciproche: sono certamente tali le reti costituite esclusivamente da resistenze, induttanze, capacità, mutue induttanze e linee di trasmissione. La presenza di componenti attivi in genere rende non reciproca la rete e dissimmetrizza la matrice. Due-porte a parametri Y in parallelo. Due due-porte collegati in parallelo e caratterizzati dalle proprie matrici di parametri Y, hanno una matrice Y complessiva data dalla somma delle due matrici. Infatti: I1A I2A + + V1A V2A YA _ _ I1B + + V2B YB _ _ I1A + Y YB   IB YFB + YA - + V2A - I2B I1B YB - I 1  I 1 A  I 1B I 2  I 2 A  I 2B V1  V1 A  V1B V2  V2 A  V2 B  I1  YI  V1  YR  V2  I 2  YF  V1  YO  V2 I2 + + V1B -  I 1B  YIB  V1B  YRB  V2 B  I 2 B  YFB  V1B  YOB  V2 B I2A V1A V1 YRA  Y YA   IA  YFA YOA  I2B V1B I1  I1 A  YIA  V1 A  YRA  V2 A  I 2 A  YFA  V1 A  YOA  V2 A V2B + V2 - -  YIA  YIB YRA  YRB  YI YA     Y Y  Y Y  Y  FA FB OA OB   F YR  YO  9 YRB  YOB  Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Come esempio di applicazione di quanto appena visto, consideriamo l’amplificatore rappresentato in Fig. 1.3 dal due-porte Yp con reazione di tensione parallelo realizzata mediante l’ammettenza YX. Il collegamento dell’ammettenza di reazione Yx equivale a porre in parallelo al due-porte di partenza un due-porte caratterizzato dai seguenti parametri Y (purchè la porta di ingresso e di uscita di Yp abbiano un terminale a comune): YIx  Y X  YOx YFx  Y X  YRx Yx I1 I2 + + Yp V1 - V2 - Fig. 1.3: Amplificatore con reazione di tensione parallelo. Pertanto i parametri Y del due-porte risultante saranno: YItot YFtot YRtot YOtot  YIp  Y X  YFp  Y X  YRp  Y X  YOp  Y X Due-porte unilaterali Un due-porte è detto unilaterale se YR=0 I1  YI  V1  YR  V2 10 YR  I1 V2 misura l’effetto dell’uscita V2 sull’ingresso I1 V1  0 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza I1 I2 + YR=0 V2 V1=0 I1=0 - Come è facile verificare il circuito di Fig. 1.5 rappresenta il circuito equivalente a parametri Y del due-porte, infatti esso è retto dalle due equazioni che definiscono i parametri Y: I1 I2 + + YI V1 YRV2 YO YFV1 YL V2 - Fig. 1.5: Circuito equivalente a parametri Y Su questo circuito equivalente è possibile calcolare alcune funzioni di trasferimento V quali, ad esempio, il guadagno di tensione : AV  2 V1 Poichè : I Y V YF (1.4) V2   2   F 1 AV   YL YO  YL YO  YL E’ possibile, con semplici passaggi, calcolare il guadagno di corrente : I YF  YL (1.5) AI  2  I1 YI  YO  YL   YR  YF Osservazione: il guadagno di tensione risulta dipendere dal carico e non dall’impedenza di sorgente. La sorgente di segnale in ingresso è schematizzabile in 2 modi del tutto equivalenti: ZS + IS YS + + VS V1 V1 - Norton Fig. 1.6a: Equivalente di Norton Thevenin Fig. 1.6b: Equivalente di Thevenin 11 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Le ammettenze di ingresso YIN e di uscita YOUT sono facilmente calcolabili. I Y  V  YR  V2 Y Y L’ammettenza di ingresso : YIN  1  I 1  YI  R F dipende dal V1 V1 YO  YL carico YL Y Y L’ammettenza d’uscita : YOUT  YO  R F dipende dall’ammettenza di YI  YS sorgente YS. Se il due-porte è unidirezionale (YR=0) YIN=YI ; YOUT=YO In radiofrequenza, in genere, non si può trascurare la YR , come spesso accade, invece, alle basse frequenze, perciò i due-porte non sono mai unidirezionali. La presenza di una YR≠0 rende di fatto il sistema reazionato in quanto l’uscita risente dell’effetto dell’ingresso e viceversa. Questo può determinare l’instabilità cioè l’instaurarsi di oscillazioni spontanee in assenza di qualunque sollecitazione. Vediamo come si può unilateralizzare un due-porte, ovvero annullare la reazione dell’uscita sull’ingresso. Per ottenere tale risultato si può reazionare il due-porte con una ammettenza opportuna YX e, così, ottenere un nuovo due-porte caratterizzato dai seguenti parametri Y: . YX Q YIt YOt YFt YRt  YI  Y X  YO  Y X  YF  Y X  YR  Y X Se YX=YR → YRt=0 Questo non è sempre possibile utilizzando un bipolo passivo al posto di YX. In tal caso, infatti, YX avrà parte reale positiva e l’unilateralizzazione sarà possibile solo se YR=GR + jBR ha parte reale positiva. Se GR<0 non è possibile unilateralizzare il due-porte con la tecnica prima descritta. Osservazione: si noti che collegando tra ingresso e uscita l’ammettenza YX cambia non solo il valore di YRt, ma anche quello dei rimanenti parametri Y. 12 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza 1.2 Guadagni di Potenza A radiofrequenza si definiscono diversi tipi di guadagni di potenza secondo quanto descritto nel seguito: YS + YL=GL+jBL VS - Fig. 1.7: Due-porte con impedenza e sorgente di segnale e carico. A radiofrequenza si usa definire tre diversi guadagni di potenza, come meglio descritto nel seguito. P Guadagno operativo di potenza : (1.6) GP  L Pin PAout (1.7) PAin PL rappresenta la potenza media sul carico, Pin quella in ingresso al due-porte, PAout quella disponibile sulla sua uscita e PAin quella disponibile del generatore di segnale. La massima potenza disponibile è la massima potenza che un generatore con impedenza interna a parte reale positiva può fornire ad un carico di valore opportuno. Dato un generatore VG con impedenza interna ZG, se realizziamo l’adattamento complesso coniugato ZL=ZG* otteniamo il massimo trasferimento di potenza dal generatore al carico. Questo vale solo se ZG Re{ZG}>0. In caso contrario la potenza trasferibile al carico non è superiormente + limitata e scegliendo un valore VG ZL dell’impedenza di carico “prossimo” a (-ZG) è possibile, in linea di principio, ottenere potenze in uscita “grandi quanto si vuole”. Ciò a scapito delle garanzie di stabilità del sistema che può, in tal caso, presentare le condizioni per l’innesco di oscillazioni, secondo quanto indicato dalle condizioni di Barkhausen all’innesco. Se (VG, ZG ) è l’equivalente di Thevenin di una rete attiva, ZG può essere a parte reale negativa, ovvero: Z G   RG  jX G Guadagno di potenza disponibile : GA  In questo caso se scegliamo Z L  Z G  RG  jX G si ottiene IG  VG  ZG  Z L e la potenza dissipata su ZL risulterebbe infinita. Perciò la coincidenza tra potenza disponibile e massima potenza erogabile vale solo per generatori con impedenza interna a parte reale positiva. 13 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Nel seguito, a prescindere dal segno della parte reale dell’impedenza interna, indicheremo col termine “potenza disponibile” la potenza erogata su un carico ZL=ZG*. La potenza disponibile in ingresso è quella del generatore di segnale. Si possono ripetere, ovviamente, le stesse considerazioni fatte in precedenza. In particolare se, detta ZIN l’impedenza di ingresso del due-porte, risulta Z IN  Z S* con Z S  RS  jX S Z IN  RS  jX S allora il generatore di segnale trasferisce in ingresso al due-porte una potenza pari a quella disponibile del generatore, PAin, che può essere calcolata come segue: ZS + VS ZIN - IS  1 N.B. RS  Z S     YS  V2 V 2  M valore efficace di VS 2 VM2 VM2 IM  2  2 Z R X2 VSM V  SM RS  jX S  RS  jX S 2 RS PAin  2 RS  I S2 VSM  2 8 RS La potenza disponibile in uscita PAout si calcola sull’equivalente di Thevenin dell’uscita ZOUTh + VOUTh ZL - PAout  2 VOUTh coincide con la massima potenza erogabile solo se Re{ZOUTh}>0 8ROUTh PAout è un rapporto di potenze virtuali. PAin PAout coincide con la potenza effettiva sul carico solo se ZL=ZOUT*. In generale le potenze effettive sono minori di quelle disponibili. Il guadagno di potenza disponibile G A  Non è detto che sia sempre possibile adattare contemporaneamente ingresso e uscita del due-porte, infatti il sistema: 14 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza  YIN YL   YS*  * YOUT YS   YL (1.7) può non avere soluzione: individueremo in seguito le caratteristiche che deve avere la matrice Y affinchè il sistema suddetto abbia soluzione. Il terzo tipo di guadagno che si definisce è il Guadagno di trasduttore : P (1.8) GT  L PAin Esso rappresenta un rapporto tra un flusso di potenza reale (PL) ed uno virtuale. Poichè PL  GT  PAin , GT è quella quantità che moltiplicata per la potenza disponibile fornisce la potenza sul carico, ovvero, note le caratteristiche del generatore di segnale ed il valore di GT è immediatamente possibile calcolare la potenza sul carico. Nel seguito ricaveremo, a partire dalla definizione, l’espressione del GP. GP  PL PIN N.B. 1 1 R L     YL  GL YL + + + V1 - BIN 1 G IN V2 PIN  1M GIN 2 V2 - RL 1 GL BL V2 - XL V22M I 22M PL  GL  RL 2 2 Quindi : 2 2  V  GL YF GL 2 GL G P   2 M   AV  G IN YO  YL G IN  V1M  G IN Discutiamo il segno di GP: PL solitamente è positivo perché si fa riferimento a carichi passivi PIN può anche essere negativo (flusso di potenza uscente) se RIN<0 → GP ha lo stesso segno di GIN YF GP  YO  YL 2 GL dipende solo da YL quindi è una funzione della terminazione GIN d’uscita : GP (YL) Con opportune elaborazioni, a partire dalla definizioni possiamo calcolare il guadagno di potenza disponibile e quello di trasduttore. Si ottiene: 15 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza 2 GA  YF G S   YO YS  YO YI  YR YF YI  YS  *  (1.9) dove YS = GS + jXS ammettenza interna del generatore di segnale GT  4GS G L YF 2 YS  YI YO  YL   YRYF Osservazioni: 2 (1.10) - GA non dipende dal carico ma solo dalla sorgente GA (YS) - GT dipende sia dal carico che dalla sorgente GT (YS,YL) Con impedenze di carico e di sorgente passive e impedenze di ingresso e di uscita a parte reale positiva, risulta: PAout ≥ PL GT ≤ GA - PAin ≥ PIN GT ≤ GP 16 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza 1.3 Stabilità incondizionata Definizioni e criteri: 1) Un sistema è stabile se a fronte di una sollecitazione finita in durata e ampiezza esso genera un’uscita finita in durata e in ampiezza. 2) Un oscillatore è un sistema in grado di produrre una forma d’onda periodica in assenza di sollecitazioni. 3) Il criterio di Barkhausen afferma che, se esiste una frequenza f0 alla quale: A f  f  1 0 (1.11) A f  f  0 0 allora il sistema è in grado di auto sostenere, in assenza di sollecitazioni, una oscillazione a frequenza f0. 4) Se, invece, risultano verificate le cosiddette condizioni di Barkhausen all’innesco, ovvero se: A f  f  1 0 (1.12) A f  f  0 0 allora nel sistema si auto-innesca una oscillazione a frequenza iniziale f0 che si auto-esalta. Se per un dato due-porte ad una frequenza f0 pur collegando in ingresso e uscita tutte le possibili coppie di impedenze a parte reale positiva non si ottengono mai le condizioni di Barkhausen all’innesco, allora si dice che il due-porte è incondizionatamente stabile alla frequenza f0. Se esiste almeno una coppia di impedenze a parte reale positiva in corrispondenza delle quali si verificano tali condizioni, allora il due-porte si dice potenzialmente instabile. Un due-porte potenzialmente instabile ha guadagno di trasduttore non limitato superiormente. Si può dimostrare che il verificarsi delle condizioni sulle impedenze di ingresso e di uscita riportate nel seguito coincide con l’incondizionata stabilità. Definizione equivalente di stabilità incondizionata: YS : YS   0  YOUT : YOUT   0   YL : YL   0  YIN : YIN   0 (1.13) Lo dimostriamo solo in un senso, ovvero dimostriamo che il verificarsi delle condizioni suddette è condizione necessaria alla stabilità incondizionata. Ovvero, dimostriamo che se una di queste due condizioni non si verifica il due-porte è potenzialmente instabile e può essere utilizzato per realizzare un oscillatore. YS : YOUT   0  Z OUT   ROUT  0 , allora, con riferimento alla Fig. 1.8, scegliendo ZL= -ZOUTh con RL= -ROUTh > 0 17 Se esiste Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza + ZL VOUTh YS - ZL IOUT - Fig. 1.8: Realizzazione in uscita di una maglia a impedenza nulla. si realizza una maglia d’uscita con impedenza nulla e, pertanto, IOUT → ∞. Ovvero, a fronte di una sollecitazione finita, alla frequenza f0, si ottine una risposta non finita, oppure, detto in altri termini, la corrente nella maglia può essere diversa da zero al tendere a zero della sollecitazione. Si ottiene, pertanto, un oscillatore a frequenza f0 . . VOUTh - per VOUTh → 0 IOUT può essere ≠ 0 I OUT  Z OUTh  Z L - per VOUTh ≠ 0 IOUT → ∞ . Calcoliamo adesso il βA di un due-porte caratterizzato a parametri Y, utilizzando il teorema di scomposizione. YS YI YRV2 YFV1 YO YL Fig. 1.9: Circuito equivalente a parametri Y del due-porte. Per prima cosa dobbiamo individuare un taglio e, quindi, un anello di reazione. Il due-porte è intrinsecamente reazionato tramite la YR la quale riporta in ingresso l’effetto dell’uscita. 18 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza IP + YS + YRV2 YI V1 + YP VR YFV1 - + VP - YO YL V2 - - Con il taglio effettuato individuiamo la reazione. A  YP  VR VP 1 ZP VR   A  A VS  0 ZP  VP IP VU VP  VS  0 VR VU VS  0 1 1    1  A Z P Zi  V   0  Z P  Zi  P IP YP  YO  YL VS  0 YF V1 YF  YO  YL YO  YL  YRV2    YS  YI    V2  VP YF YR YI  YS YO  YL  (1.14)  A dipende dal carico YL a dal generatore di segnale YS. Esaminiamo alcuni casi particolari : - due-porte unilaterale (YR=0) : βA=0 non c’è reazione - cortocircuitando l’uscita (V2=0) : βA=0 (YL → ∞) - cortocircuitando l’ingresso (V1=0) : βA=0 (YS → ∞) Il βA ci permette di esaminare in termini analitici le condizioni di Barkhausen. Si tratta di verificare se esiste una coppia YS,YL che soddisfa il sistema:  AYS , YL   R  1  A  0  Ovvero AYS , YL   R con R    1 (1.15) Dal sistema 1.15, mediante elaborazioni algebriche di una certa complessità che in questa sede non vengono riportate, si ricava un criterio basato sul cosiddetto Fattore di Stern , K, definito nel seguito. Se 2g I  g S g O  g L  K 1 YR YF   YR YF 19 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza allora il sistema 1.15 NON ha soluzione, ovvero, fissati due valori di gS e gL che rendono K>1 , non esiste alcuna coppia bS e bL per la quale il sistema ha soluzione, dove: YS  g S  jbS YL  g L  jbL In altri termini, una volta fissate gS, gL in modo tale che risulti K>1, anche variando le parti immaginarie delle ammettenze di sorgente e di carico le condizioni di Barkhausen all’innesco alla frequenza f0 non potranno essere verificate. Osservazione: se la condizione sul fattore K vale per una data coppia di valori di gS,gL vale sicuramente anche per valori maggiori, infatti, per gi>0 e go>0 K è una funzione crescente di gS e gL. Questo perchè partiamo dal presupposto che siano go>0 e gi>0: in caso contrario, come è facile dimostrare, il due-porte sarebbe potenzialmente instabile. Infatti: YY scegliendo YL→ ∞ (corto circuito) => YIN=YI (con parte YIN  YI  R F YO  YL reale negativa se gI<0). Scegliendo, allora, YS=-YI (con parte reale positiva) si otterrebbe una maglia di ingresso ad impedenza nulla con ovvie conseguenze sulla stabilità, ovvero la coppia:  YL   verifica le condizioni di Barkhausen.  Y   Y I  S K è, quindi, una funzione crescente di gS e gL dal momento che il denominatore è la somma di una parte reale di un vettore e del modulo dello stesso vettore che è, ovviamente, maggiore sia della parte reale che di quella immaginaria. Perciò il denominatore è sicuramente positivo. La condizione sul fattore di Stern è molto utile alle radiofrequenze. Gli accoppiamenti capacitivi e induttivi spuri possono far variare le parti reattive delle impedenze di sorgente e di carico e generare le condizioni per l’innesco di oscillazioni, ma questo non accade se K>1. Attenzione: K>1 non equivale a dire che il due-porte è incondizionatamente stabile perché K è calcolato in corrispondenza di una particolare coppia (gS,gL). Se calcoliamo K nella situazione peggiore gS=0, gL=0 e verifichiamo che esso risulta maggiore di 1, sicuramente continuerà ad esserlo per ogni coppia gS>0, gL>0, ovvero il due-porte risulterà incondizionatamente stabile In altri termini, i due-porte che verificano la condizione: 2g I gO  1 sono certamente Incondizionatamente Stabili. YR YF   YR YF Con semplici elaborazioni si ottiene: 20 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza 2 g I g O  YRYF  YRYF ( il segno della disuguaglianza non cambia) e YRYF  2 g I g O  YRYF  se il termine a destra della disuguaglianza è positivo si ottiene la seguente relazione che definisce anche il cosiddetto Fattore di Linvill C: C YR YF 2 g I g O  YR YF  1 (1.16) Se e solo se 0  C  1 allora il due-porte è Incondizionatamente Stabile. (La condizione C≥0 deriva dalla necessità che risulti 2 g I gO  YRYF  >0 per poter effettuare l’ultimo passaggio senza cambiare il segno della disequazione). Il caso particolare YR=0 → C=0 può essere trattato separatamente e in maniera estremamente semplice: infatti essendo il due-porte unilaterale l’impedenza di ingresso (uscita) non dipende da quella di carico (sorgente) e coincide con Y I (YO). Pertanto basta verificare che le parte reali dell’impedenza di ingresso e di uscita risultino positive. Ovvero, bisogna verificare se: gI  0  g O  0 In tal caso il due-porte è Incondizionatamente Stabile (IS). Il fattore di Stern dipende da gS e gL quindi non dipende solo dal dispositivo, mentre il fattore di Linvill dipende solo dal dispositivo e il costruttore del dispositivo, in genere, ne fornisce sulle caratteristiche l’andamento al variare della frequenza. Il range di frequenze in cui C è compreso tra 0 e 1 è il range di frequenze in cui il due-porte è caratterizzato da Incondizionata Stabilità (IS). 1.3.1 Effetto della stabilità incondizionata sui guadagni Dalla IS discende che, qualunque sia la coppia di impedenze di carico e di sorgente, purchè a parte reale positiva, risulta:  YIN   0  YOUT   0 Pertanto: 21 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza GP  0 GA  0 GT  0 G  GP Le condizioni :  T GT  G A sono certamente verificate. Si può dimostrare che, se un due-porte è incondizionatamente stabile, è possibile realizzare contemporaneamente l’adattamento complesso coniugato in ingresso e in uscita, ovvero esiste (ed è unica) la soluzione del sistema di equazioni:  YIN YL   YS*  * YOUT YS   YL (1.17) Se YR=0 (due-porte unilaterale) il sistema ha sicuramente soluzione e la soluzione è: YS  YI*  * YL  YO Se il due-porte non è IS è possibile dimostrare che il sistema non ha soluzione. E’ anche possibile dimostrare che i valori di YS e YL soluzioni del sistema coincidono con il punto di massimo della funzione GT(YS, YL), ovvero sono i valori di ammettenza di sorgente e di carico che massimizzano il guadagno di trasduttore. Detto ancora in altri termini: se si studia GT come una funzione di 4 variabili sull’insieme delle ammettenze di sorgente e di carico a parte reale positiva (gL>0, gS>0) la ricerca del massimo ha soluzione e la soluzione è unica se e solo se il due-porte è incondizionatamente stabile, ovvero: YSopt ; YLopt  : GT YSopt ; YLopt   GT max  il due-porte è IS 1.3.2 Ricerca del massimo guadagno Il problema di ricerca del massimo GT è prettamente analitico e non lo trattiamo nel dettaglio: esso verrà affrontato nella seconda parte del Corso utilizzando l’approccio a parametri S. In quella sede verrà altresì dimostrato che le ammettenze ottime di carico e sorgente, ovvero quelle che massimizzano GT, sono anche quelle che realizzano l’adattamento complesso coniugato in ingresso e uscita. *  YIN YLopt   YSopt  *  YOUT YSopt   YLopt 22 (1.18) Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Il risultato della ricerca del massimo è il seguente, dove YSopt  G Sopt  jBSopt e YLopt  G Lopt  jBLopt : 2 g I g O  YRYF 2  YRYF G Sopt  2 2gO BSopt  bI  YR YF  2gO G Lopt  G Sopt gO gI BLopt  bO  (1.19) YR YF  2g I Se sostituiamo YSopt e YLopt nella formula del GT si ricava il GTmax GT max  YF 2 g I g O  YR YF   2 2 g I g O  YRYF 2  YRYF (1.20) 2 se YR=0 la (1.10) diventa: GT  4GS G L YF 2 YS  YI YO  YL  2 (1.21) e se, come in genere accade, gi,go>0 , il GT è superiormente limitato ed il suo valore massimo si ottiene per YO*  YL  * YI  YS e vale: GTUMAX  YF 2 (1.22) 4g I gO Talvolta si usa il GTUMAX, che assume il nome di massimo guadagno unilaterale, come fattore di merito di un componente attivo anche nel caso di tripoli non unilaterali, sebbene esso non abbia un significato ben preciso. 1.4 Reti di adattamento Quando si progetta un amplificatore a radiofrequenza, di norma, l’impedenza di sorgente e di carico vengono forniti dalle specifiche. Obiettivo del progetto è, molto spesso, la massimizzazione del guadagno, oppure la minimizzazione della cifra di rumore. Questi obiettivi possono essere raggiunti solo “facendo vedere” all’ingresso del 23 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza componente attivo e alla sua uscita una coppia opportuna di ammettenze diverse da quelle fornite dalle specifiche. Per ottenere il risultato si possono utilizzare opportune reti di adattamento M1 ed M2 in Fig.1.9 che fanno si che il due-porte “veda” le ammettenze opportune. YS ± M1 M2 Q YL VS Fig. 1.9: Dispositivo attivo (Q) collegato alla sorgente di segnale ed al carico mediante le reti di adattamento M1 ed M2. I due-porte M1 ed M2 vengono utilizzati come trasformatori di impedenza e prendono il nome di Reti di Adattamento. Tali reti dovranno avere le seguenti caratteristiche: 1) essere passive per non introdurre ulteriori stadi con componenti attivi che sono causa di dissipazione di potenza e introduzione di rumore di tipo shot o flicker; 2) essere non dissipative (ovvero prive di resistenze) per non causare attenuazione di potenza e non introdurre sorgenti di rumore termico; Esse risultano, quindi, necessariamente reciproche (fatto salvo l’improbabile caso di impiego di componenti passivi non isotropi, quali, ad esempio, le ferriti che, pur essendo passivi, dissimmetrizzano la matrice delle impedenze della rete). 1.4.1 Teorema fondamentale delle reti di adattamento Ipotesi: se un due-porte è passivo, non dissipativo e reciproco e su una delle due porte, di ingresso o di uscita, si realizza l’adattamento complesso coniugato Tesi: anche sull’altra porta si ottiene adattamento complesso coniugato. Dimostrazione: Z1 PIN + M V1 Z2 ZIN POUT Fig. 1.10: Due-porte passivo, non dissipativo e reciproco 24 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Per ipotesi: Z IN  Z 1* di conseguenza la potenza di ingresso PIN coincide con quella disponibile PAIN: V2 (1.23) PIN  PAin  1M 8R1 La rete M è passiva, quindi POUT  PIN , più precisamente, essendo non dissipativa POUT  PIN e, quindi, essendo POUT  I 22M R2 2 (1.24) risulta: V12M  4 R1 R2 I 22M (1.25) Utilizzando la condizione di reciprocità, se si spegne V1 e si mette un generatore di tensione V2 in uscita come in Fig. 1.11 . I1 Z2 + M Z1 V2 - P1 P2 Fig. 1.11: Stessa rete di Fig. 1.10 con generatore V2 sul ramo di uscita si ottiene, per la reciprocità, I 12M V12M 1  2  2 V2 M I 2 M 4 R1 R2 (1.26) da cui I 12M  V22M 4 R1 R2 (1.27) pertanto I2 V 2 R1 V22M P1  1M R1  2 M   P2 (1.28) 2 4 R1 R2 2 8R2 Essendo, infatti, la rete M passiva e non dissipativa, risulta P2=P1 da cui si evince che il generatore V2 sta erogando una potenza pari a quella disponibile perciò sta lavorando in condizioni di adattamento complesso coniugato ovvero: 25 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Z OUT  Z 2* C.D.D. Abbiamo così dimostrato che l’adattamento complesso coniugato (c.c.) in ingresso ad una reta passiva, non dissipativa e reciproca garantisce l’adattamento c.c. anche in uscita. Corollario: il guadagno di potenza disponibile di una rete passiva non dissipativa e reciproca è unitario. Dimostrazione: PAin ZS + M VS _ ZOUT* ZIN=ZS* Fig. 1.12: Due porte M passivo, non dissipativo, reciproco. Si sceglie ZL in modo da realizzare l’adattamento c.c. in uscita, ovvero ZL = Zout* come in Fig. 1.12. In base al teorema prima dimostrato, questo comporta adattamento c.c. anche in ingresso: sotto queste condizioni, quindi, il generatore di segnale eroga la massima potenza, ovvero quella disponibile PAin . Essa è anche la massima potenza erogabile sul carico ZOUT*, essendo la rete M passiva, e quindi coincide con la potenza disponibile del generatore di Thevenin di uscita della rete M, ovvero con PAOUT. Quindi: PIN  PAin  POUT  PAout  G A  1 (1.29) 1.4.2 Due-porte collegati in cascata Calcoliamo, adesso, il guadagno di trasduttore di 2 due-porte in cascata, che sarà utile in seguito per valutare l’effetto dell’inserimento delle reti di adattamento in ingresso e in uscita. ZS + VS Q1 Q2 Fig. 1.13: Q1 e Q2 sono collegati in cascata: possono essere sia attivi che passivi. 26 ZL Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Con riferimento allo schema di Fig. 1.13, si vuole calcolare il guadagno di trasduttore GTtot della cascata dei due-porte Q1 e Q2. Con ovvio simbolismo risulta: P P P (1.30) GTtot  L  L  Ain2  GT 2 G A1 PAin1 PAin2 PAin1 Nel caso di tre due-porte in cascata, con ovvio simbolismo: GTtot  G A1G A2 GT 3 In generale : N 1 GTtot  GTN  G An (1.31) n 1 Utilizzando i risultati prima ottenuti, è possibile valutare l’effetto dell’introduzione delle reti di adattamento M1 ed M2 sul guadagno di trasduttore dell’amplificatore di Fig. 1.14 ottenuto interponendo tali reti tra la sorgente di segnale e l’ingresso e tra l’uscita e il carico. POUT PIN + YS PAin M1 PL VS _ YSV YL M2 Q YLV Fig. 1.14: Due-porte attivo Q con reti di adattamento in ingresso e in uscita. Vediamo come si modificano le potenze, tenuto conto del fatto che PL = POUT (essendo M2 passiva e non dissipativa) ed utilizzando la (1.30) si ottiene: P P (1.32) GTtot  L  OUT  G A1GTQ  GTQ PAin PAin Poichè GA1 = 1 in quanto guadagno di potenza disponibile di una rete di adattamento (v. corollario al teorema fondamentale delle reti di adattamento). Si osservi che nella (1.32) GTQ = GT(YSV, YLV). In altri termini: il guadagno di trasduttore dell’amplificatore del due-porte costituito dalla cascata delle due reti di adattamento e del due-porte attivo Q coincide con quello del due-porte Q medesimo, calcolato in corrispondenza delle ammettenze viste YSV ed YLV. Queste ultime sono, in genere, diverse da quelle di sorgente e di carico YS e YL, rispettivamente. Si possono, quindi, scegliere valori opportuni per YSV e YLV in modo da ottenere il valore di GTQ desiderato. Una volta individuate, ammesso che esistano, le ammettenze YSV ed YLV idonee ad ottenere il risultato cercato, il problema si riduce a quello di progettare opportunamente le reti di adattamento in modo da trasformare YS e YL in YSV e YLV, rispettivamente. 27 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza 1.4.3 Trasformazioni parallelo-serie e viceversa. Dato una gruppo RC parallelo è possibile trovare l’equivalente serie ad una frequenza fissata. RS RP CP CS Fig. 1.15: Configurazione parallelo e suo equivalente serie. Per l’equivalenza ad una certa pulsazione  devono valere le (1.33) e (1.34). Con ovvio simbolismo: RP j C P RP R 1  jRP C P  ZP    P R P  j C P 1  j R P C P 1   2 RP2 C P2 Z S  RS  1 1  RS  j j C S C S Definiamo QP  RP C P fattore di qualità RP RP2 C P RP RP QP2 j  2 RP2 C P2 1 ZP   j    j C P 1  QP2 1  QP2 1  QP2 1  QP2 C P 1  QP2 1  QP2 Affinché i due bipoli siano equivalenti, alla pulsazione , essi devono avere la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria. RS  RP 1  QP2 (1.33) 1  QP2 CS  CP (1.34) QP2 N.B. L’equivalenza vale solo ad una frequenza in quanto nell’espressione di QP compare la pulsazione ω. Nel paragrafo 1.4.5 verranno utilizzate le equivalenze prima trovate per realizzare le reti di adattamento (o trasformatori di impedenza). 28 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza 1.4.4 Fattori di Qualità E’ opportuno, a questo punto, fare qualche riflessione sul fattore di qualità Q dei circuiti risonanti sia di tipo serie che di tipo parallelo. Analizziamo il gruppo RLC parallelo in Fig. 1.16. |Z| R Z C L R R 2 f1 f f2 Fig. 1.16: Circuito risonante parallelo. Esiste una frequenza f0= 0/2 alla quale il gruppo LC si comporta come un circuito aperto: si tratta, per definizione, della frequenza di risonanza alla quale vale la seguente relazione 1  0 L 0C A questa frequenza l’impedenza Z presentata dal bipolo è infinita e, quindi, la sua ammettenza, nulla. Per f > f0 la capacità predomina nel parallelo e la fase dell’impedenza è negativa ( Z  0 ). Per f < f0 l’induttanza predomina nel parallelo e la fase dell’impedenza è positiva ( Z  0 ). Le frequenze f1 ed f2 alle quali il modulo dell’impedenza diminuisce di 3dB rispetto ala valore massimo ( |Z|max ) individuano la banda passante B del circuito: f2-f1=B. f La quantità Q  0 è detto fattore di qualità: al crescere di Q la banda B, a B frequenza centrale fissata, si restringe. Si può banalmente dimostrare che risulta: R Q P   0 RC  (1.35) 0 L con 0  1 LC = pulsazione di risonanza C 1  02 L Se alimentiamo il gruppo RLC con una corrente sinusoidale alla frequenza di risonanza, in ciascuno dei due rami del gruppo LC passerà, comunque, corrente anche se il generatore vede un’impedenza pari ad R. In L e in C passano correnti uguali in modulo e opposte in segno (sfasate di 180°). 29 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Nel caso del circuito RLC serie il fattore di qualità Qs è definito come segue QS  L  L 1  0 0 RC R R (1.36) C |Z| R f Fig.1.17a: Gruppo risonante serie. Fig.1.17 b: Modulo dell’impedenza. Si può dimostrare, con riferimento alla Fig. 1.17b, che il fattore di qualità serie coincide, anche in questo caso, con la banda a 3 dB del modulo dell’impedenza serie. Anche in questo caso QS elevato significa banda passante stretta 0 L  R . 1.4.5 Esempi di trasformazioni di impedenza. Supponiamo di avere una resistenza di 100Ω e di volerla trasformare in una da 50Ω a f0=100MHz. Si può ottenere questo risultato interponendo, come in Fig. 1.18 una rete di adattamento M opportunamente dimensionata. Innanzi tutto si mette in parallelo a Rp = 100  una capacità Cp di valore opportuno in modo tale che l’equivalente serie del gruppo RP-CP sia costituito da una capacità CS in serie ad una resistenza RS = 50  30 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza . M 100Ω 50Ω Fig. 1.18: La rete di adattamento M trasforma  in 50 . Utilizzando la (1.33) si ottiene: RP  RS  RS QP2 da cui si ricava il valore di QP richiesto ed il corrispondente valore di CP: QP  CP  R P  RS 100  50  1 RS 50 QP  15 pF . RP A questo punto il parallelo RP-CP è equivalente al gruppo serie RS-CS di Fig. 1.19 con : 1  QP2 CS  CP  30 pF QP2 CS RP=100Ω CP RS=50Ω Fig. 1.19: Trasformazione parallelo-serie. Per neutralizzare l’effetto di CS in modo da ottenere un’impedenza puramente reale e pari a 50 W, come richiesto, bisogna aggiungere in serie a CS (v. Fig. 1.20) un’induttanza di valore opportuno, ovvero, tale che risulti: 1 1 LX  2  80nH   L X  0  C S  CS . 31 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza CS LX Fig. 1.20: LX risuona serie con CS in modo da annullare la reattanza totale. Con una capacità CP di 15pF e un’induttanza di 80nH alla frequenza di lavoro abbiamo trasformato la resistenza da 100Ω in una RVout da 50Ω (v. Fig. 1.21).. LX 100Ω CP RVout=50Ω Fig. 1.21: La squadra CP- LX trasforma 100 in 50  a 100 MHz. Esaminiamo, adesso, il caso duale: si vuole trasformare una resistenza in una di valore maggiore. A tal fine si useranno le proprietà della trasformazione serire-parallelo. Descriviamo subito con un esempio questo tipo di trasformazione. Esempio: 100Ω → 200Ω @ 100MHz In maniera duale a quanto fatto in precedenza e con ovvio simbolismo individuiamo i valori di RP e CP dell’equivalente parallelo a partire da quello serie, quindi calcoliamo i valori di CS, CP ed LX (questa volta LX risulta in parallelo all’uscita, mentre CS in serie all’ingresso della rete di adattamento di Fig. 1.21) CS CP QS  1 RS C S RS RP RS = 100Ω RP = 200Ω RP  RS 1  QS2  C P  C S 32 QS2 1  QS2 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza R P  RS  RS QS  200  100 1 100 CS  1  15.9 pF RS C S CS LX RS CP RP QS2  8 pF 1  QS2 L’aggiunta dell’induttanza LX in parallelo a CP ha la funzione di neutralizzare la parte immaginaria: 1 1 BP  B X  0  C P   0  LX  2  300nH L X  CP CP  CS Quindi la rete di adattamento sarà costituita anche in questo caso da una squadra LC: CS 200Ω 100Ω LX Fig. 1.21: Rete di adatamento che trasforma 100 W in 200 W. La rete seguente è in grado di effettuare la trasformazione 100Ω → 200Ω: vediamo cosa accade delle tensioni sul circuito di Fig. 1.22 15.9pF R 300nH V1S=V1Mcos(ωt) + V1S Fig. 1.22: Rete di adattamento per la trasformazione di impedenza in salita. 33 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Poiché, sulla base del corollario al teorema fondamentale delle reti di adattamento, la potenza in ingresso e in uscita ad un due-porte passivo, non dissipativo e reciproco non cambia, detta VThM l’ampiezza della tensione di Thevenin in uscita, risulta: 2 VThM V12M PAin  PAout   8  200 8  100 Ne consegue che VThM  2V1M , ovvero la tensione equivalente di Thevenin in uscita risulta maggiore di quella in ingresso. Si è verificata un’amplificazione di tensione anche senza componenti attivi. Il gruppo LC si comporta come un trasformatore di impedenza, ma, contemporaneamente, come un (sarebbe più corretto parlare di “trasformatore”) di tensione. 1.4.6 Procedimento standard per il progetto di reti di adattamento E’ possibile dimostrare (e lo faremo) che con una rete di adattamento costituita da due soli elementi passivi si può trasformare una qualunque ammettenza passiva (ovvero con parte reale positiva) in una qualunque altra purché passiva anch’essa. Nel seguito si individuerà una possibile procedura per ottenere il risultato suddetto, con lo scopo di dimostrare che tale trasformazione è sempre possibile. La procedura indicata è solo una delle tante che possono essere messe in atto: la rete per la trasformazione di impedenza non è unica. Nel seguito il pedice 1 indicherà l’impedenza (ammettenza) di partenza (quella che si vuole trasformare) ed il pedice 2 l’impedenza (ammettenza) risultante dalla trasformazione. Sia: Y1  G1  jB1 1 G Zi = 1/Yi Z i      2 i=1,2 2 Y2  G2  jB2 Yi  Gi  Bi 1° caso: 1 1  G1 G 2 Si parla, in questo caso di trasformazione in salita e sarà necessaria una trasformazione da SERIE a PARALLELO. Innanzi tutto si calcola l’impedenza Z1 G B (1.37) Z1  R1  jX 1  2 1 2  j 2 1 2 G1  B1 G1  B1 1 G1 34 jX1 jB1 R1 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Fig. 1.23: Ammettenza da trasformare e suo equivalente serie. Quindi ci riconduciamo al caso precedentemente studiato di trasformazione di resistenza neutralizzando la parte reattiva X1 dell’impedenza Z1 con l’aggiunta, in serie, di una reattanza di pari modulo e segno opposto, come in Fig. 1.24. R1 jX1 -jX1 Fig. 1.24: L’impedenza vista guardando da destra è pari a R1. A questo punto applichiamo il procedimento già visto, aggiungendo in serie un condensatore CS (trasformazione serie-parallelo) di valore opportuno.. CS RS RP CP RP  1 G2 Si tratta di una trasformazione in salita che fornisce un valore di RP maggiore di RS. Prima di procedere è opportuno, quindi, verificare se RP > R1: G 1 1 (1.38) R1  2 1 2    RP G1  G2 G1 G2 La condizione è verificata. Il bipolo così ottenuto ha una conduttanza pari a quella desiderata. Bisogna, adesso, mettere a posto la parte immaginaria del bipolo. Per far questo basta aggiungere in parallelo a CP una suscettanza BX tale che BX  BP  B2 . La rete di adattamento richiesta è quella contenuta nel riquadro in Fig. 1.25. -jX1 CS Y1 BX Fig. 1.25: Rete di adattamento completa. 35 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Infine sostituiamo alla serie 1 j  jX 1 C S un unico componente reattivo di reattanza corrispondente alla frequenza di lavoro. Ripetiamo il procedimento con un esempio numerico. Esempio: Trasformare Y1  100  j50mS in Y2  10  j 20mS @ f0 = 150MHz 1 1  10   100 G1 G2 Z1  G1 B  j 2 1 2  R1  jX 1  8  4 j  2 G  B1 G1  B1 2 1 R1  8 X 1  4 Si aggiunge una reattanza che neutralizza X1 e, quindi, si opera una trasformazione serie parallelo: -j4Ω j4Ω CS 8Ω CP RP RP=100Ω QS  CS  100  8  3.39 8 QS2  11.5 QS  1 R1C S 1 1   39.14 pF R1QS 8  150  10 6  3.39 QS2 CP  CS  36 pF 1  QS2 Si aggiunge a Cp una suscettanza BX in parallelo in modo da ottenere B2= -20 mS e si sostituisce, infine, alla serie di CS con la reattanza di 4  una reattanza XTOT di valore equivalente: X TOT  4  1  23.2 C S Si tratta di una capacità di valore: 36 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza CTOT   1  45.7 pF X TOT B X  C P  20mS RP CP BX B X  C P  20mS  53.9mS suscettanza negativa → induttanza 1 BX   LX  19.6nH L X Il risultato finale è il seguente, dove la rete di adattamento è contenuta all’interno del rettangolo Y1 CTOT LX Y2 2° caso: 1 1  G1 G 2 Si tratta del caso duale al precedente. Occorrerà operare una trasformazione in discesa del tipo da PARALLELO a SERIE che è schematicamente illustrata nel seguito. Innanzi tutto si calcola l’impedenza Z2 = 1/Y2. Quindi si neutralizza la parte immaginaria di Y1 con una opportuna suscettanza –B1 in parallelo, dopodiché si aggiunge in parallelo una capacità di valore opportuno ad effettuare la trasformazione parallelo serie desiderata. 37 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza 1 G1 R2 1 G2 jB1 jX2 jB2 jX2 CP jXX R2 -jB1 Poiché: G B Z2  2 2 2  j 2 2 2 G2  B2 G2  B2 RS  R2  G2 G  B22 2 2 G 1 1 1  R2  2 2 2   G1 G2  B2 G2 G1 QP  1  R2 G1 C P  R2 G1 CP  QP G1 XX  1  X2 0CS   CS XX BTOT  C P //  jB1 BTOT BTOT   j 1  jB1 C P Abbiamo, pertanto, dimostrato che è sempre possibile utilizzando due elementi reattivi, trasformare, ad una certa frequenza, qualunque ammettenza in qualunque altra purchè ambedue a parte reale positiva. Più precisamente, abbiamo dimostrato che esiste almeno una soluzione al suddetto problema. E’ facile verificare che la soluzione non è unica e, quindi, esistono anche modalità operative diverse che portano a reti di adattamento diverse in grado di trasformare una certa Y1 in una determinata Y2. 38 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza 1.4.7 Limiti di utilizzo in frequenza di elementi passivi E’ opportuno fare alcune considerazione sulle prestazioni di induttanze e capacità alle alte frequenze. Gli elementi reattivi mantengono il comportamento previsto soltanto entro un certo range frequenziale, al di fuori del quale la schematizzazione di un bipolo reattivo è più complicata rispetto alla sola induttanza o capacità.  Un condensatore reale si schematizza aggiungendo in serie alla capacità una resistenza e un’induttanza che tengono conto degli effetti di perdita. Alle basse frequenze la componente capacitiva ha il sopravvento sulle altre due, ma alle alte frequenze, gli effetti di queste ultime diventano preponderanti. Inoltre, anche a causa dell’effetto pelle, il valore della resistenza serie aumenta.  Un induttore reale si schematizza aggiungendo in parallelo all’induttanza una capacità e una resistenza. Gli effetti capacitivi sono dovuti al fatto che le spire hanno dimensioni non nulle e, quindi, risultano accoppiate capacitivamente le une con le altre, mentre quelli resistivi tengono conto delle perdite dovute sia a effetto Joule che a irraggiamento elettromagnetico. In entrambi i casi (Capacità e Induttanza) si avrà risonanza per una certa frequenza avvicinandoci alla quale il comportamento dell’elemento reattivo non è più quello previsto dalla semplice schematizzazione con L o C e, superando la quale, addirittura, in segno della reattanza cambia. Nelle Figg. 1.26a e 1.26b seguenti è rappresentato, in ordinate, il modulo dell’impedenza di un capacitore (ZC) e di un induttore (ZL) reali, al variare della frequenza. 39 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Induttore Capacitore |ZC| fr Fig. 1.26 a |ZL| f fr f Fig. 1.26 b Ogni componente reattivo va utilizzato al di sotto della propria frequenza di risonanza indicata dal costruttore. Più è alto il valore nominale della capacità o dell’ induttanza, più è bassa la frequenza di risonanza fr e minore sarà il range di frequenze in cui il bipolo può essere utilizzato. A puro titolo di esempio si citano alcuni valori indicativi per componenti commerciali: C = 1µF → fr = 100 MHz C = 1nF → fr = 1 GHz L  100nH  f r  1GHz 40 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza 1.5 Il rumore nei componenti e negli amplificatori. Premessa: La trattazione presentata nel seguito non ha alcuna pretesa di rigore e viene proposta in questa forma solo per gli studenti che non hanno seguito in precedenza un modulo didattico dedicato al Calcolo delle Probabilità e ai Processi Stocastici (Segnali Aleatori) e, pertanto, non conoscono i concetti di Probabilità, Variabile Aleatoria, Processo stocastico, Funzione di autocorrelazione e Densità Sspettrale di Potenza. Nel seguito viene presentato un approccio alternativo a quello tradizionale, intuitivo e non rigoroso che non può assolutamente essere considerato sostitutivo. L’approccio scelto permette di concentrare in poche ore di lezione l’esposizione di alcuni concetti di base dai quali non si può prescindere se si vuole introdurre il concetto di Cifra di Rumore, indispensabile per il progetto di amplificatori a radiofrequenza. L’argomento viene nuovamente esaminato nel Capitolo XXXX e la trattazione presentata in quella sede, più generale, presuppone come propedeuticità le conoscenze prima elencate sui Segnali Aleatori. In Elettronica si definisce col termine “Rumore” una variazione aleatoria della grandezza fisica sotto osservazione della quale non è possibile fornire una descrizione deterministica. In alcuni casi, però, di tali fluttuazioni aleatorie è possibile fornire una descrizione di tipo statistico. Indicando con x(t) la fluttuazione aleatoria (o Processo Stocastico) che si sovrappone al valore medio deterministicamente noto della grandezza sotto esame, si può definire il valore quadratico medio di x(t) come segue: xt1 , T   lim 2 1 T  T  t1 T t1 x 2 t dt (1.39) In generale il valore quadratico medio dipenderà dall’istante iniziale t1 e dalla durata del tempo di osservazione T. Se, per T “abbastanza grandi”, il risultato dell’operazione di integrazione non dipende da T e da t1, allora diremo che il processo x(t) è stazionario rispetto al suo valore quadratico medio. Molte delle sorgenti di rumore presenti nei materiali e nei dispositivi elettronici godono della proprietà della stazionarietà rispetto ad alcuni parametri statistici (come il valore quadratico medio, oppure il valor medio). Se x(t) rappresenta la tensione ai capi di una resistenza R, allora la potenza istantanea P(t) dissipata sulla resistenza e quella media P0 sono date da: + x(t) Pt   R x 2 t  R (1.40) 1 x 2 t  x 2 t  P0  lim  dt  (1.41) T  T R R 0 T - 41 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza 1.5.1 Sorgenti di rumore Le sorgenti di rumore nei materiali e nei dispositivi per l’elettronica si dividono in 2 categorie 1. Intrinseche : sono ineliminabili in quanto scaturiscono dalle modalità stesse di funzionamento del dispositivo 2. Estrinseche : possono essere ridotte o eliminate con una particolare cura nella produzione dei materiali e dei dispositivi. Si tratta di sorgenti di rumore legate alla presenza di difetti e impurità. Tra le sorgenti di rumore intrinseco ricordiamo: a. Rumore termico: è presente sotto forma di fluttuazione di tensione aleatoria ai capi di ogni conduttore con resistenza R ed è dovuto al fatto che i portatori di carica sono soggetti ad agitazione termica e la loro distribuzione lungo il conduttore è variabile. b. Shot noise: è dovuto al fatto che a livello microscopico la corrente che attraversa una barriera di potenziale ha un comportamento granulare e gli istanti di attraversamento dei singoli portatori di carica sono tra di loro indipendenti. La corrente è rappresentabile mediante una serie di delta di Dyrac a istanti casuali di cui si conosce solo il numero medio per unità di tempo (il quale determina la componente DC della corrente che attraversa la giunzione). La sorgente di rumore estrinseco (o in eccesso) più diffusa è il rumore flicker o 1/f. Il rumore flicker: ha uno “distribuzione dell’energia” concentrata alle basse frequenze. Dipende dalla presenza di impurità e difetti del reticolo cristallino, perciò è strettamente legato al processo tecnologico con il quale il componente o materiale è stato realizzato. 1.5.3 Densità spettrale di potenza Definiamo come segue la densità spettrale di potenza (o spettro di potenza) Sx(f): Immaginiamo di disporre di un filtro ideale con risposta in frequenza X ( ) H ( )  u diversa da zero solo tra 1 = 2f1 e 2 = 2f2. X ( ) + + x(t) xu(t) - - |H(ω)| ω1 42 ω2 ω Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza La densità spettrale di potenza (DSP) Sx(f) del processo aleatorio x(t) è definita dalla seguente relazione: f2  S  f df x  xu2 t  (1.42) f1 Ovvero, è quella funzione della frequenza f il cui integrale tra le frequenze f1 ed f2 coincide col valore quadratico medio del segnale aleatorio xu(t) che si otterrebbe filtrando x(t) col filtro ideale di cui sopra. Se x(t) è la tensione ai capi di una resistenza R e si sceglie f2=f1+df, allora SX(f1)df è il valore quadratico medio della tensione in uscita al filtro centrato su f1 e di larghezza di banda pari a df. Questo spiega la denominazione di “Densità Spettrale V 2   A2  di Potenza”. La DSP si misura in   se x(t) =[V], oppure in   , se x(t) = [A] e  Hz   Hz  così via. Nel caso in cui Sx(f) non dipenda dalla frequenza, ovvero sia costante, il processo X(t) ed il suo spettro si dicono “bianchi”. Per un processo aleatorio bianco in ogni intervallo di frequenze l’uscita dipende solo dall’ampiezza dell’intervallo  f : xu2 t   S X 0 f Ad ogni resistenza è associata una fluttuazione aleatoria di tensione (rumore termico) dovuta al moto caotico degli elettroni nel conduttore col quale è realizzata la resistenza. Tale sorgente di tensione variabile in maniera aleatoria è rappresentata in Fig. 1.27 con un generatore eT. Si deve a Nyquist la dimostrazione che il rumore termico è bianco e che la sua densità spettrale di potenza ST è data da: ST = 4KTR (1.43) eT +R Fig. 1.27 Resistenza non rumorosa e sorgente di rumore termico in serie Più in generale Nyquist ha dimostrato che un bipolo generico di impedenza Z=R+jX può essere rappresentato mediante un’impedenza non rumorosa con in serie un generatore di tensione avente densità spettrale di potenza pari a ST  4KTR 43 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza +Z = R+jX Z eT Fig. 1.28: Impedenza affetta da rumore termico e sua rappresentazione Si deve ancora a Nyquist il seguente teorema: Dato un processo stocastico x(t) in ingresso ad un sistema lineare caratterizzato da una risposta in frequenza H(v. Fig, la densità spettrale di potenza Su(f) del segnale aleatorio xu(t) in uscita al sistema è data da: Su  Si H    2 (1.42) H(ω) xi(t) xu(t) Fig. 1.29: Teorema di Nyquist sui sistemi lineari Prima di proseguire diamo qualche indicazione circa l’ordine di grandezza delle quantità che abbiamo introdotto. Es: R=1KΩ su una finestra di 1Hz il valore quadratico medio del generatore di tensione aleatoria che rappresenta il rumore termico è dato da  xu2 t   ST f  4KTRf  16  10 18V 2  4 2 nV 2  Il valore efficace è, ovviamente: xeff  xeff = S x f xu2 t   4nV dà una misura del valore efficace: in questo caso equivale a quello di una sinusoide di ampiezza 5.6 nV. Rumore di corrente Finora abbiamo sempre fatto riferimento ad un processo stocastico con le dimensioni di una tensione (generatore di tensione di rumore), ma esistono delle sorgenti di rumore che è più immediato rappresentare mediante un generatore stocastico 44 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza di corrente. Un esempio è il rumore shot o “rumore di giunzione”. Il rumore shot si rappresenta con un generatore di corrente aleatorio con densità spettrale di potenza che dipende dalla corrente media che attraversa la giunzione, posto in parallelo alla resistenza differenziale che rappresenta la giunzione medesima nel circuito equivalente per piccoli segnali (v. Fig. 1.30). Io rd in Fig. 1.30: Diodo polarizzato con corrente I0 e suo circuito equivalente per piccoli segnali con generatore equivalente di rumore shot in. La DSP del generatore di rumore shot è data da:  A2  (1.44) S I  2qI o   Hz   Per avere un’idea dell’ordine di grandezza calcoliamo SI(f) per una corrente di 1 mA: Es: Io=1mA S I  3.2  10  22  A2     Hz  S I  17 pA Hz Si tratta, quindi, di un fenomeno che, su 1Hz di banda, presenta un valore efficace di corrente di decine di picoAmpere. 1.5.4 Rumore flicker Si tratta, quindi, di un fenomeno che, su 1Hz di banda, presenta un valore efficace di corrente di decine di picoAmpere. Il rumore flicker o 1/f si osserva in moltissimi fenomeni fisici, non solo elettrici. La sua densità spettrale di potenza è del tipo : K 0.8    1.2 Sf f   f Si osserva in dispositivi attraversati da una componente di corrente continua sia passivi che attivi. Dipende dalla presenza di difetti cristallografici e impurità nei materiali ed è uno dei parametri che qualificano la bontà di un componente elettronico. In genere, ad una certa frequenza, lo spettro ha una dipendenza crescente con la corrente. Si somma al rumore bianco di fondo (termico e shot) che è sempre presente col suo spettro costante. Da una certa frequenza in su, detta frequenza d’angolo fC, il rumore bianco prevale sul flicker che risulta, così, trascurabile. 45 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza 10 log S f  f  Scala bilogaritmica log fc f fo Fig. 1.31: Sovrapposizione di rumore flicker (che predomina alle basse frequenze) e rumore bianco. fc può assumere valori in un range molto ampi: Hz ÷ MHz In genere Il rumore flicker diminuisce con l’area attiva del dispositivo (maggiore è l’area, minore il rumore). Alle radiofrequenze il rumore flicker è spesso trascurabile in quanto il punto d’angolo si trova, in genere, molto più in basso del range di frequenze di interesse. Nella zona alta delle frequenze di lavoro si osserva una componente di rumore divergente (cresce con 2) non tanto perché sia presente una sorgente con caratteristiche di questo tipo, bensì a causa di effetti filtranti dei componenti reattivi intrinseci e di quelli parassiti su sorgenti bianche. 10 log S f  f  SH  f 2 fc log f fo Fig. 1.32: Andamento tipico dello spettro di rumore nei componenti elettronici in funzione della frequenza. La curva di Fig. 1.32, per il suo andamento caratteristico, è detta “a vasca da bagno”. Nel caso di dispositivi a basso rumore, per un componente attivo di ottima qualità, ci si può attendere un punto d’angolo intorno a qualche Hertz . 46 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza 1.5.6 Cifra di rumore Un amplificatore, a causa delle sorgenti di rumore presenti al suo interno, presenterà, tipicamente, un rapporto segnale rumore in uscita peggiore (ovvero minore) rispetto a quello in ingresso. Nel migliore dei casi il rapporto segnale rumore rimarrà invariato. L’effetto di degrado di tale rapporto introdotto dall’amplificatore si misura mediante un parametro denominato “Cifra di Rumore” indicato, in genere, con la sigla NF (Noise Figure). ZS en1 + Q vs(t) vu(t) eT in1 en2 - Fig. 1.33: Due-porte contenente sorgenti di rumore al suo interno. La cifra di rumore NF di un due-porte è definita dal seguente rapporto: NF  Potenza  di  Rumore  totale  in  uscita Potenza  di  Rumore  in  uscita  dovuto  a  Z S (1.44) Dove il denominatore rappresenta la potenza di rumore in uscita dovuta al rumore termico dell’impedenza di sorgente ZS. Il rumore in uscita dovuto a ZS corrisponde al rumore che si avrebbe in uscita se Q fosse privo di sorgenti interne di rumore (noiseless), ovvero se l’unica sorgente di rumore fosse il rumore termico di ZS. In tal caso la cifra di rumore sarebbe unitaria (nulla se misuraata in dB). In generale NF≥1, NFdB≥0dB. Il rumore totale in uscita si ottiene integrando la DSP di rumore in uscita su tutta la banda di interesse. Se la banda di interesse è ridotta o si vuole definire una cifra di rumore puntuale (o spot) ad una certa frequenza, NF diventa un rapporto tra DSP. Si può dimostrare che un due-porte rumoroso è equivalente, ai fini di una determinata uscita, al due-porte privo di generatori interni con l’aggiunta di un generatore di tensione ed uno di corrente opportuni in ingresso. en +- in Noise less + vu(t) - Fig. 1.34 Circuito equivalente a quello di Fig. 1.33 , ai fini dell’uscita. 47 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza I generatori di rumore equivalenti riportati in ingresso al due-porte possono essere descritti mediante le DSP associate. V 2  Sen   ;  Hz   A2  Sin    Hz  Data una sorgente di rumore in serie ad un bipolo ZS, se chiudiamo il circuito in serie all’impedenza complessa coniugata ZS*, la tensione aleatoria vD ai suoi capi sarà (v. Fig. 1.35): vD  eT e e RS  T R S  T 2 RS 2 Z  ZS * S (1.44) Pertanto, per il teorema di Nyquist: Sv D  SeT 4 (1.45) + eT -- ZS + vD ZS* -- Fig. 1.35: Circuito per il calcolo della densità spettrale di potenza disponibile del rumore termico di una impedenza ZS. Poiché questa scelta del carico ZS* è quella che realizza l’adattamento complesso coniugato, essa è anche quella che permette di trasferire sul carico la massima potenza disponibile P, che, su una banda f, è data dalla seguente relazione: Sv D f SeT f v D2 (t )   R 4R R Si osservi che P ha le dimensioni di una potenza. Nel caso di rumore termico la densità spettrale di potenza disponibile (che si misura, quindi, in W/Hz) è data da: Se 4 KTR W  SA  T   KT   (1.46) 4R 4R  Hz  Più in generale, dato un generatore di rumore di tensione in serie a un’impedenza si definisce la sua densità spettrale di potenza disponibile come segue: P 48 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza S AX  ZS SX 4 RS + x(t) La potenza disponibile PA nell’intervallo di frequenza f1-f2 è data da: f2 PA= S AX df [W] (1.47) f1 Essa rappresenta la massima potenza che il generatore di rumore può cedere a un carico nell’intervallo di frequenza f2-f1 . Tale risultato si consegue, come è noto, in condizioni di adattamento complesso coniugato. Il rumore totale in uscita è dovuto sia al contributo del due-porte (sorgenti en, in) sia a quello dell’impedenza del generatore di segnale che è affetta da rumore termico e T. Il rumore in uscita dovuto a ZS dipende, invece, solo da eT e dalla funzione di trasferimento del due-porte. Sotto certe condizioni, dette “di indipendenza” tra i segnali aleatori eT, en e in, la DSP del processo risultante dalle loro combinazioni lineari, si ottiene semplicemente sommando le singole componenti spettrali. Lo stesso vale, quindi, per le potenze di rumore. Con riferimento alla Fig. 1.36, si ottiene: NF  N UeT  N U Q N UeT  1 NUQ (1.48) N UeT Dove: N UeT  S AeT GT f è il contributo alla potenza totale di rumore in uscita dovuto al rumore termico dell’impedenza di sorgente; e NU Q è il contributo dovuto alle sorgenti di rumore interne al due-porte il cui effetto è rappresentato dai generatori equivalenti en ed in (v. Fig. 1.36). eT en +- ZS +- in Noise less Fig. 1.36: Circuito per il calcolo della cifra di rumore del due-porte 49 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza E’ immediato osservare (v. Fig. 1.37) che l’equivalente di Thevenin della parte di circuito contenente i due generatori equivalenti di rumore e l’impedenza di sorgente è dato da una impedenza ZS in serie a un generatore di Thevenin pari a eTh  en  Z S in la cui densità spettrale di potenza disponibile SAQ è pari, sotto le condizioni di indipendenza, a S AQ  Sen  Sin Z S 2 4 RS en en ++ - inZS ZS +- in ZS Fig. 1.37: Equivalente di Thevenin dei generatori en e in Si ottiene, immediatamente, pertanto: Se  Sin Z S  n GT f 4 RS 2 NUQ (1.49) E’ opportuno osservare che le condizioni di “indipendenza” tra en e in, sono, in genere, rispettate fino a fT/10 dove fT è la frequenza di taglio del transistore. Per la cifra di rumore si ottiene, in definitiva: NF  1  Sen  Sin Z S 4 KTRS 2 (1.50) 1.5.7 Progetto di amplificatori a basso rumore. Se vogliamo progettare un amplificatore a basso rumore (LNA=Low Noise Amplifier) bisogna studiare la dipendenza di NF da ZS. NF dipende dal due-porte, attraverso Sen ed Sin, e dalla sorgente di segnale, attraverso ZS. Progettare a basso rumore, una volta scelto il dispositivo attivo, equivale a individuare la terminazione ottima per quando riguarda il rumore, ovvero, quella che minimizza NF. Procediamo, quindi, alla ricerca del minimo di NF al variare di ZS, osservando che, certamente, NF sarà minimo per XS=0 ovvero per carico puramente resistivo, infatti risulta: 50 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Sen  RS2  X S2 Sin 4 KTRS Che presenta un minimo per XS = 0 e RS da calcolare tramite la ricerca dei minimi della funzione NF(RS). Si cercano, quindi, gli zeri della derivata prima: NF  1    2 d NF   2 RS Sin 4 KTRS  Sen 2 RS Sin 4 KT  0 → 4 KT RS2 Sin  Sen   0 e si dRS 4 KTRS  conclude che il valore della ZS che minimizza la cifra di rumore è: Z ON  RON  Sen V  Sin  A  (1.51) Poiché ZS è, di norma, fissata dalle specifiche di progetto, bisognerà introdurre delle reti di trasformazione di impedenza tra la sorgente e l’ingresso dell’amplificatore per far si che esso veda l’impedenza ottima Z ON dal punto di vista del rumore. Per valutare l’effetto di tali reti su NF utilizziamo una formula dovuta a Friis che permette di calcolare la cifra di rumore globale di una rete costituita dalla cascata di due o più due-porte. Con ovvio simbolismo si ottiene per la cifra di rumore totale NFTOT Q1 NFTOT  NF1  Q2 NF2  1 NF3  1   ... G A1 G A1G A2 La formula di Friis esprime in termini analitici una considerazione ovvia: per minimizzare la cifra di rumore totale di un sistema, bisogna usare come primo stadio quello a cifra di rumore più bassa ed assicurarsi che introduca un guadagno quanto maggiore possibile. Nel caso in cui Q1 sia una rete di adattamento (passiva, reciproca e non dissipativa) la sua cifra di rumore NF1 sarà unitaria (non contiene generatori interni di rumore) come anche il suo guadagno di potenza disponibile GA1. Pertanto: NFTOT=NFQ2 Ovvero la cifra di rumore totale coincide con quella del due-porte attivo. 51 Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza Si può facilmente dimostrare, infine, che la cifra di rumore così come è stata definita, coincide col rapporto tra il rapporto segnale rumore in ingresso e quello in uscita. Ovvero, con ovvio simbolismo: Si Ni NF  Su Nu Si Su Quindi, se NF  1   Ni Nu Riusciamo a minimizzare NF ottimizzando la terminazione vista dall’ingresso dell’amplificatore guardando verso il generatore di segnale di ingresso tramite un’opportuna rete di adattamento che permette di rendere tale terminazione pari a ZON. ZSon ZL* M1 M2 Q ZL Dimensioniamo M1 in modo da trasformare l’impedenza di sorgente in quella ottima per il rumore. Se, poi, vogliamo massimizzare il guadagno, ferma restando l’impedenza di sorgente che minimizza il rumore, dimensioniamo M2 in modo da avere adattamento complesso coniugato in uscita (quando ciò sia possibile), oppure seguiamo i criteri delineati in precedenza nel caso di progetto a ZS fissata e due-porte potenzialmente instabile. Infine, per calcolare la potenza di rumore in uscita su una certa banda  f ricordiamo che: NF  NuTOT NuTOT  Nuin KT  GT f E, quindi, la potenza totale di rumore in uscita sarà: NuTOT  NF  KT  GT f 52 (1.52)