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Notas de Clase de Cálculo Vectorial UEB Autoras: Valeria Cely- Carolina Rojas 5 1. SUPERFICIES EN EL ESPACIO ESFERAS Y PLANOS 1.1 La representación gráfica de una ecuación con tres variables normalmente es una superficie. En cursos anteriores estudiaron dos clases especiales: los planos y las esferas. A continuación se hace un resumen de ellas. Figura 3 1.1.1 ESFERAS D EFINICIÓN : Una esfera es una superficie formada por puntos en el espacio que equidistan de otro interior llamado centro. La ecuación está dada por: Donde es el centro de la esfera y es llamado el radio. EJEMPLO 1: Realice la gráfica de la esfera que tiene por ecuación Solución De la ecuación dada se puede determinar que la esfera tiene radio 3 y centro en y su gráfica se encuentra en la Figura 2. EJEMPLO 2: Bosqueje la gráfica de la esfera que tiene por ecuación Solución Para determinar el centro y radio de la esfera, se completan cuadrados tanto para la variable como para así: En esta ecuación se puede ver que la esfera tiene centro en y radio y su gráfica se muestra en la Figura 3. 1.1.2 PLANOS D EFINICIÓN : Una forma fructífera de describir un plano, es a través de vectores. Sean n= 〈 〉 un vector y un punto fijo. El conjunto de todos los puntos que satisfacen la relación ⃗ es el plano que pasa por y es perpendicular a n . Figura 1 Figura 2 Notas de Clase de Cálculo Vectorial UEB Autoras: Valeria Cely- Carolina Rojas 6 Figura 4 Figura 5 La ecuación cartesiana del plano está dada por: Donde 〈 〉 son las coordenadas del vector normal y D se determina a partir de conocer un punto del plano. EJEMPLO 3: Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto y es perpendicular a 〈〉 Solución Para resolver, es suficiente con aplicar la fórmula de la ecuación del plano dada anteriormente. Se obtiene: Se reemplaza el punto en las variables para encontrar el valor de D. Entonces: Para graficar el plano, es suficiente con determinar cuáles son los cortes con cada uno de los ejes coordenados. Al hacer se obtiene que Al hacer se obtiene que Al hacer se obtiene que Tal y como se muestra en la figura 5. y z x Notas de Clase de Cálculo Vectorial UEB Autoras: Valeria Cely- Carolina Rojas 7 1.1.3 EJERCICIOS Determine si la ecuación de la superficie representa un plano o una esfera. Realice la gráfica de la superficie que corresponda. 1. 2. 3. 4. 5. Complete cuadrados y determine el centro y radio de cada una de las siguientes esferas. 6. 7. RESPUESTAS 1. Esfera 2. Plano 3. Esfera 4. Plano 5. Esfera 6. Centro Radio: √ 7. Centro Radio: √ Notas de Clase de Cálculo Vectorial UEB Autoras: Valeria Cely- Carolina Rojas 8 SUPERFICIES CILÍNDRICAS 1.2 INTRODUCCIÓN 1.2.1 Una clase de superficie son las llamadas superficies cilíndricas. La palabra cilindro seguramente le será familiar y pensará en los cilindros circulares rectos como la forma de un vaso. Sin embargo, cuando se refieren a superficies cilíndricas, el concepto es más amplio, como verá a continuación. Figura 6 Figura 7 Figura 9 D EFINICIÓN : Sea C una curva en el plano y L una recta no paralela a ese plano. Al conjunto de todas las rectas paralelas a L que cortan a la curva C se le denomina cilindro. La curva C es llamada la curva generadora o directriz y al conjunto de rectas paralelas a L se le denominan rectas generatrices. Para reconocer algebraicamente que la ecuación dada representa gráficamente una superficie cilíndrica, basta con identificar que en la ecuación solo están presentes dos variables; dicha ecuación representa la curva generadora que debe ser graficada en el plano que corresponda; para trazar las rectas generatrices, se debe identificar cuál es la variable que no está presente en la ecuación y las rectas generatrices deben ser paralelas a dicho eje coordenado. EJEMPLO 4: Trace la superficie representada por las ecuaciones: a) b) c) Solución a) La gráfica es un cilindro cuya curva generadora (o directriz) es una circunferencia de radio 3, con centro en , en el plano , tal y como se muestra en la figura 8. Las generatrices del cilindro son paralelas al eje como se muestra en la figura 9. Figura 8 b) La gráfica de la función es un cilindro cuya directriz es una parábola en el plano , como se muestra en la figura 11. Las generatrices del cilindro deben ser paralelas al eje , tal y como se muestra en la figura 10. Directriz Recta generatriz
