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PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 2: CUERPOS RÍGIDOS. SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS. M O M E N T O D E U N A F U E RZ RZ A .
Ing. Willians Medina.
Maturín, enero de 2017.
Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
CONTENIDO. CONTENIDO........................................................................................................................ 2 PRESENTACIÓN. ............................................................................................................... 4 ..................................................................................................... ........................................ 6 ACERCA DEL AUTOR. ............................................................. 2.1.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL PLANO. P LANO. 8 Ejemplo 2.1. Problema Pr oblema 4.16 del de l Hibbeler. Décima Edición. Página 130. ..................... 10 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 10 Ejemplo 2.2. Problema Pr oblema 4.9 del de l Hibbeler. Décima Edición. Página 129. ....................... 11 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 12 Ejemplo 2.3. Ejemplo E jemplo 4.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página128. .......................... 15 Ejemplo 2.4. Problema resuelto 3.2 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 86. .. 15 Ejemplo 2.5. Ejemplo E jemplo 4.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página127. .......................... 16 Ejemplo 2.6. Problema Pr oblema 3.14 del de l Beer-Johnston. Octava Edición. Página 91. ............... 16 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 17 Ejemplo 2.7. Problema resuelto 3.3 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 86. .. 18 Ejemplo 2.8. Problema resuelto 3.1 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 85. .. 18 Ejemplo 2.9. Problema 4.41 del Bedford. ................................................ ...................................................................... ...................... 19 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 19 Ejemplo 2.10. Problema 3.3 del de l Beer-Johnston. Novena Edición. Página 89. .............. 26 Ejemplo 2.11. Problema 4.31 del d el Hibbeler. Décima Edición. Página 133. ................... 26 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 27 Ejemplo 2.12. Problema 4.11 del Bedford. .............................................. .................................................................... ...................... 31 Ejemplo 2.13. Problema 4.50 del Bedford. .............................................. .................................................................... ...................... 32 Ejemplo 2.14. Problema 4.27 del Bedford. .............................................. .................................................................... ...................... 32 2.2.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL ESPACIO.............................................................................................................................. 34 Ejemplo 2.15. Problema 4.35 del d el Hibbeler. Décima Edición. Página 134. ................... 34 Ejemplo 2.16. Problema 4.37 del d el Hibbeler. Décima Edición. Página 134. ................... 35 Ejemplo 2.17. Ejemplo 4.4 del Hibbeler. Décima Edición. Página 124. ....................... 35 Ejemplo 2.18. Ejemplo 3.4 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 87. ................ 35 Ejemplo 2.19. Modificación del Problema 3.25 del Beer – Jhonston. Jhonston. Novena Edición. Página 92. 9 2. ............................................. ................................................................................................ .......................................................................... ....................... 36 Ejemplo 2.20. Problema 4.39 del d el Hibbeler. Décima Edición. Página 135. ................... 37 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 37 Ejemplo 2.21. Problema 3.22 del d el Beer-Johnston. Octava Edición. Página 91. ............. 42 Ejemplo 2.22. Modificación del problema 4.47 del Hibbeler. Décima Edición. Página 136.................................................................................................................................. 42 Ejemplo 2.23. Problema 3.22 del d el Beer-Johnston. Novena Edición. Página 91. ............ 43 Ejemplo 2.24. Modificación del problema 2.77 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 54. 5 4. ............................................. ................................................................................................ .......................................................................... ....................... 44 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 44 Ejemplo 2.25. Problema 3.53 del d el Beer-Johnston. Novena Edición. Página 104. .......... 47 Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
CONTENIDO. CONTENIDO........................................................................................................................ 2 PRESENTACIÓN. ............................................................................................................... 4 ..................................................................................................... ........................................ 6 ACERCA DEL AUTOR. ............................................................. 2.1.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL PLANO. P LANO. 8 Ejemplo 2.1. Problema Pr oblema 4.16 del de l Hibbeler. Décima Edición. Página 130. ..................... 10 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 10 Ejemplo 2.2. Problema Pr oblema 4.9 del de l Hibbeler. Décima Edición. Página 129. ....................... 11 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 12 Ejemplo 2.3. Ejemplo E jemplo 4.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página128. .......................... 15 Ejemplo 2.4. Problema resuelto 3.2 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 86. .. 15 Ejemplo 2.5. Ejemplo E jemplo 4.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página127. .......................... 16 Ejemplo 2.6. Problema Pr oblema 3.14 del de l Beer-Johnston. Octava Edición. Página 91. ............... 16 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 17 Ejemplo 2.7. Problema resuelto 3.3 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 86. .. 18 Ejemplo 2.8. Problema resuelto 3.1 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 85. .. 18 Ejemplo 2.9. Problema 4.41 del Bedford. ................................................ ...................................................................... ...................... 19 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 19 Ejemplo 2.10. Problema 3.3 del de l Beer-Johnston. Novena Edición. Página 89. .............. 26 Ejemplo 2.11. Problema 4.31 del d el Hibbeler. Décima Edición. Página 133. ................... 26 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 27 Ejemplo 2.12. Problema 4.11 del Bedford. .............................................. .................................................................... ...................... 31 Ejemplo 2.13. Problema 4.50 del Bedford. .............................................. .................................................................... ...................... 32 Ejemplo 2.14. Problema 4.27 del Bedford. .............................................. .................................................................... ...................... 32 2.2.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL ESPACIO.............................................................................................................................. 34 Ejemplo 2.15. Problema 4.35 del d el Hibbeler. Décima Edición. Página 134. ................... 34 Ejemplo 2.16. Problema 4.37 del d el Hibbeler. Décima Edición. Página 134. ................... 35 Ejemplo 2.17. Ejemplo 4.4 del Hibbeler. Décima Edición. Página 124. ....................... 35 Ejemplo 2.18. Ejemplo 3.4 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 87. ................ 35 Ejemplo 2.19. Modificación del Problema 3.25 del Beer – Jhonston. Jhonston. Novena Edición. Página 92. 9 2. ............................................. ................................................................................................ .......................................................................... ....................... 36 Ejemplo 2.20. Problema 4.39 del d el Hibbeler. Décima Edición. Página 135. ................... 37 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 37 Ejemplo 2.21. Problema 3.22 del d el Beer-Johnston. Octava Edición. Página 91. ............. 42 Ejemplo 2.22. Modificación del problema 4.47 del Hibbeler. Décima Edición. Página 136.................................................................................................................................. 42 Ejemplo 2.23. Problema 3.22 del d el Beer-Johnston. Novena Edición. Página 91. ............ 43 Ejemplo 2.24. Modificación del problema 2.77 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 54. 5 4. ............................................. ................................................................................................ .......................................................................... ....................... 44 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 44 Ejemplo 2.25. Problema 3.53 del d el Beer-Johnston. Novena Edición. Página 104. .......... 47 Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 48 Ejemplo 2.26. Modificación del problema 2.97 del Hibbeler. Décima Edición. Página 65.................................................................................................................................... 51 Ejemplo 2.27. Problema 4.65 del Bedford. .............................................. .................................................................... ...................... 51 Ejemplo 2.28. Modificación del problema 3.22 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 91. 9 1. ............................................. ................................................................................................ .......................................................................... ....................... 52 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 52 Ejemplo 2.29. Problema 4.48 del d el Hibbeler. Décima Edición. Página 137. ................... 53 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 54 2.3.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE DADO.................... DADO............... ..... 55 Ejemplo 2.30. Ejemplo 4.8 del Hibbeler. Décima Edición. Página 142. ....................... 55 Ejemplo 2.31. Ejemplo 4.9 del Hibbeler. Décima Edición. Página 143. ....................... 56 Ejemplo 2.32. Problema 3.55 del d el Beer-Johnston. Novena Edición. .............................. 56 Ejemplo 2.33. Ejemplo 3.5 del Beer-Johnston. Novena Edición................................... 57 Ejemplo 2.34. Problema 4.55 del d el Hibbeler. Décima Edición. Página 145. ................... 57 Ejemplo 2.35. Problema 3.55 del d el Beer-Johnston. Octava Edición. ............................... 58 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 59 ............................................................................................................... ...................... 64 BIBLIOGRAFÍA. ......................................................................................... TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE ...................................... ............................... 65 MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). ..................................................................... ....................................................................................... ............................. 66 OBRAS DEL MISMO AUTOR. ..........................................................
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PRESENTACIÓN. La presente es una Guía de Ejercicios de Mecánica Vectorial para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica y de Petróleo de reconocidas Universidades en Venezuela. El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de los ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del estudiante así como la inclusión de las respuestas a algunos ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos. Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura. Esta guía es ideal para ser utilizada por estudiantes autodidactas y por estudiantes que están por tomar un curso universitario de Mecánica Vectorial, así como por profesores que se estén iniciando en el área de enseñanza de Mecánica Vectorial para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología. Antes de abordar los conocimientos involucrados en esta guía, el estudiante debe haber tomado un curso sobre el manejo de vectores fuerza, tanto en el plano como en el espacio y las diferentes formas de obtener las componentes rectangulares de un vector fuerza así como las operaciones que se pueden realizar con dichos vectores. El concepto de momento de una fuerza es fundamental en el estudio de la Mecánica Vectorial, pues es la base de la varias definiciones involucradas en el estudio de esta materia (reducción de un sistema de fuerzas, equilibrio de un cuerpo rígido, cargas distribuidas en vigas y análisis de estructuras.), y en esta guía el autor presenta de manera clara y rigurosa el espectro de situaciones involucradas en el manejo del momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano, en el espacio y con respecto a un eje dado. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en esta guía, el estudiante puede abordar sin mayor dificultad temas avanzados tales como equilibrio de cuerpos rígidos. Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Mecánica Vectorial, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, correo electrónico:
[email protected] ó
[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas, Maturín, Estado Monagas, Venezuela.
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ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Desde el año 2010 ha sido autor de video tutoriales para la enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica. En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda, siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2016) ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a través de internet de manera pública y gratuita (versión de
sólo
lectura
en
línea
y
con
privilegios
limitados)
en
la
página
http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual cuenta con un promedio diario de 3500 visitas, y en forma privada (versión completa) mediante la corporación http://www.amazon.com/. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
2.1.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL PLANO. El momento de F con con respecto a O se define como el producto vectorial de r y y F . M 0
r F (Enfoque vectorial) (1)
donde r es es el vector de posición que une al punto de referencia fijo O con cualquier punto sobre la línea de acción de F . M O
i
j
k
r x
r y
0 (Enfoque vectorial) (2)
F x
F y
0
r x ,r y: Componentes x, y del vector posición trazado desde el punto B hasta cualquier punto
sobre la línea de acción de la fuerza. F x, F y: Componentes x, y, del vector fuerza F .
Si
es el ángulo entre las líneas de acción del vector de posición r y la fuerza F , la
magnitud del momento de F con con respecto a O está dada por M 0
r F sen (Enfoque escalar) (3)
donde d representa representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F . En la práctica, el momento es igual al producto de la fuerza por la distancia perpendicular entre el punto de referencia para el cálculo del momento y la línea de acción de la fuerza. Físicamente la magnitud de M O mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de M O. Una forma de definir el sentido de M O se logra por medio de la regla de la mano derecha: cierre su mano derecha y manténgala de manera que sus dedos estén doblados en el mismo sentido de la rotación que F le le impartiría al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de la línea de acción de M O; su dedo pulgar indicará el sentido del momento M O.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Convención de signos para el momento. Se considera positivo el momento cuando la fuerza tiende a hacer rotar al cuerpo rígido en sentido antihorario, y el momento se considera negativo cuando la fuerza tiende a hacer rotar al cuerpo rígido en sentido horario.
Para un momento positivo, su sentido es saliendo del papel, mientras que un momento negativo tiene sentido entrando al papel.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Ejemplo 2.1. Problema 4.16 del Hibbeler. Décima Edición. Página 130. El poste soporta las tres líneas, cada línea ejerciendo una fuerza vertical sobre el poste debido a su peso, como se muestra. Determine el momento resultante en la base D debido a todas esas fuerzas. Si es posible que el viento o el hielo rompan las líneas, determine qué línea (o líneas) al ser removida genera una condición de momento máximo con respecto a la base. ¿Cuál es el momento resultante?
Solución.
Ejercicios propuestos. 1. El cubo de la rueda puede ser unido al eje con excentricidad negativa (izquierda) o positiva (derecha). Si el neumático está sometido a una carga normal y radial como se muestra, determine el momento resultante de esas cargas con respecto al punto O en ambos casos.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Respuesta: – M O =120 N.m, M O =520 N.m.
Ejemplo 2.2. Problema 4.9 del Hibbeler. Décima Edición. Página 129. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento con respecto al punto P a) de la fuerza presente en A y b) de la fuerza presente en B. c) Determine la magnitud y el sentido direccional del momento resultante de las fuerzas con respecto al punto P .
Solución.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Ejercicios propuestos. 2. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento de la fuerza presente en A a) con respecto al punto O, b) con respecto al punto P.
Respuesta: b) 2.37 kN.m.
3. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento de la fuerza presente en A a) con respecto al punto O, b) con respecto al punto P.
Respuesta: a) 2.88 kN.m; b) 3.15 kN.m
4. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento con respecto al punto P a) de la fuerza presente en A y b) de la fuerza presente en B. c) Determine la magnitud y el sentido direccional del momento resultante de las fuerzas con respecto al punto P .
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Respuesta: a) M O
Momento de una fuerza.
(2371.28 k ) N.m ; b) M O
(780 k ) N.m ; c) M R
(3151.28 k ) N.m .
5. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento resultante de las fuerzas con respecto al punto O.
Respuesta: 2.42 kip.pie
6. La llave se usa para aflojar el perno. Determine el momento de cada fuerza con respecto al eje del perno que pasa por el punto O.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Respuesta: ( M F ) O 1
24.1 N.m , ( M F 2 ) O
Momento de una fuerza.
14.5 N.m
7. Los dos jóvenes empujan la reja con fuerzas F A = 30 lb y F B = 50 lb como se muestra. Determine el momento de cada fuerza con respecto a C. ¿En qué sentido rotará la reja, en el de las manecillas del reloj o al contrario? Ignore el espesor de la reja.
Figura Problemas 7 y 8.
8. Dos jóvenes empujan la reja como se muestra. Si el joven situado en B ejerce una fuerza de F B = 30 lb, determine la magnitud de la fuerza F A que el joven ubicado en A debe ejercer para impedir que la reja gire. Ignore el espesor de la reja.
9. La herramienta localizada en A se usa para mantener estacionaria la hoja de una podadora de césped de potencia mientras se afloja la tuerca con la llave. Si se aplica una fuerza de 50 N a la llave situada en B en la dirección mostrada, determine el momento que produce dicha fuerza con respecto a la tuerca localizada en C. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza F en A que produce el momento opuesto con respecto a C?
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Respuesta: a) M A = – 13.0 N.m; b) F = 35.2 N.
Ejemplo 2.3. Ejemplo 4.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página128. La fuerza F = 400 N actúa en el extremo de la ménsula mostrada en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O.
Solución.
Ejemplo 2.4. Problema resuelto 3.2 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 86. Una fuerza de 800 N actúa sobre la ménsula como se muestra en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto a B.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Solución.
Ejemplo 2.5. Ejemplo 4.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página127. Una fuerza de 200 N actúa sobre la ménsula mostrada en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto A.
Solución.
Ejemplo 2.6. Problema 3.14 del Beer-Johnston. Octava Edición. Página 91. Un seguidor B circular con diámetro de 64 mm se sostiene contra la leva A como se muestra en la figura. Si la leva ejerce una fuerza con magnitud de 80 N sobre el seguidor a lo largo de la normal común BC , determine el momento de la fuerza respecto a la articulación colocada en D.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Solución.
Ejercicios propuestos. 10. Determine el momento de cada una de las tres fuerzas que actúan sobre la viga a) respecto al punto A y b) respecto al punto B.
Respuesta: ( M F ) B 1
4.125 kip.pie , ( M F 2 ) B
2 kip.pie , ( M F 3 ) B
40 kip.pie
11. Determine el momento de cada una de las tres fuerzas con respecto al punto A. Resuelva el problema usando primero cada fuerza como un todo, y luego aplicando el principio de momentos.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Respuesta: ( M F ) A 1
433 N.m
Momento de una fuerza.
, ( M F ) A 1300 N.m , ( M F ) B 2
3
800 N.m
Ejemplo 2.7. Problema resuelto 3.3 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 86. Una fuerza de 30 lb actúa sobre el extremo de una palanca de 3 ft, como se muestra en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto a O.
Solución.
Ejemplo 2.8. Problema resuelto 3.1 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 85. Una fuerza vertical de 100 lb se aplica en el extremo de una palanca que está unida a una flecha en el punto O. Determine: a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto a O; b) la fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O; c) la fuerza mínima aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O; d) qué tan lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de 240 lb para originar el mismo momento con respecto a O, y e) si alguna de las fuerzas obtenidas en los incisos b), c) y d) es equivalente a la fuerza original.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Ejemplo 2.9. Problema 4.41 del Bedford. El cilindro hidráulico BC ejerce una fuerza de 2200 lb en la pluma de la grúa en C. La fuerza es paralela al cilindro. El ángulo es 40º . ¿Cuál es el momento de la fuerza sobre A?
Solución.
Ejercicios propuestos. 12. Como parte de un acto acrobático, un hombre soporta una muchacha que pesa 120 lb y está sentada en una silla situada en la parte superior de un poste. Si el centro de gravedad de la chica está en G, y el máximo momento en sentido contrario al de las manecillas del reloj que el hombre puede ejercer sobre el poste en el punto A es de 250 lb.pie, determine el ángulo máximo de inclinación, , que no permitirá que la muchacha caiga, esto es, que su momento en el sentido de las manecillas del reloj con respecto a A no exceda de 250 lb. pie. Respuesta: 7.48º
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
13. Determine el momento de cada fuerza con respecto al perno localizado en A. Considere: a) F B = 40 lb y F C = 50 lb, b) F B = 30 lb y F C = 45 lb.
Respuesta: a) ( M F ) A 90.63 lb.pie , ( M F ) A 140.73 lb.pie ; b) ( M F ) A 67.97 lb.pie , B
( M F C ) A
C
B
126.66 lb.pie
14. El pescante tiene longitud de 30 pies, peso de 800 lb, y centro de masa en G. Si el momento máximo que puede ser desarrollado por el motor en A es M 20000 lb.pie , determine la carga máxima W , con centro de masa en G´, que puede ser levantada. Considere 30º . Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
15. Una fuerza de 90 N se aplica a la varilla de control AB como indica la figura. Si la longitud de la varilla es de 225 mm, determine el momento de la fuerza respecto al punto B descomponiendo la fuerza a) en sus componentes a lo largo de AB y en una dirección perpendicular a AB, b) en sus componentes horizontal y vertical.
Respuesta: a) – 13.02 N.m; b) – 13.02 N.m
16. El pedal para un sistema neumático se articula en B. Si se sabe que 28º , determine el momento de la fuerza de 16 N alrededor del punto B descomponiendo la fuerza a) en sus componentes a lo largo de ABC y en la dirección perpendicular a ABC, b) en sus componentes horizontal y vertical.
Respuesta: a) 1277 N.m; b) 1277 N.m Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
17. Una fuerza de 80 N actúa sobre el mango del cortador de papel en el punto A. Determine el momento producido por esta fuerza con respecto a la articulación en O, si 60º . ¿A qué ángulo debe aplicarse la fuerza para que el momento que produce con
respecto al punto O sea máximo (en el sentido de las manecillas del reloj? ¿Cuál es ese momento máximo?
Respuesta: M o
28.1 N.m
, 88.6º , ( M o ) máx 32.0 N.m
18. Una fuerza P de 3 lb se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando es igual a 30º.
Figura Problemas 18, 19 y 20.
19. La fuerza P se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza P mínima que tiene un momento de 19.5 lb.in en sentido contrario de las manecillas del reloj respecto a A. Respuesta: 16.03 lb.in Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
20. Una fuerza P de 2.9 lb se aplica a la palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine el valor de si el momento de P respecto a A es en sentido contrario al de las manecillas del reloj y tiene una magnitud de 17 lb.in. Respuesta: 49.9º ó 59.4º
21. Una fuerza P de 8 lb se aplica a una palanca de cambios. Determine el momento de P alrededor de B cuando 25º . Respuesta: – 186.6 lb.in.
Figura Problemas 21, 22 y 23.
22. Para la palanca de cambios que se muestra en la figura, determine la magnitud y la dirección de la fuerza mínima P, que debe tener un momento de 210 lb.in en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de B.
23. Una fuerza P de 11 lb se aplica a una palanca de cambios. Determine el valor de . Si se sabe que el momento de P alrededor de B es en el sentido de las manecillas del reloj y que tiene una magnitud de 250 lb.in. Respuesta: 6.12º ó 33.8º
24. Se sabe que la biela AB ejerce sobre la manivela BC una fuerza de 1.5 kN dirigida hacia abajo y hacia la izquierda a lo largo de la línea central de AB. Determine el momento de esa fuerza alrededor de C.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Respuesta: 42.0 N.m.
25. La ventanilla trasera de un automóvil se sostiene mediante el amortiguador BC que se muestra en la figura. Si para levantar la ventanilla se ejerce una fuerza de 125 lb cuya línea de acción pasa por el soporte de rótula en B, determine el momento de la fuerza alrededor de A.
Respuesta: 116.2 lb.ft, 128.2 lb.ft.
26. Un malacate AB se usa para tensar cables a un poste. Si se sabe que la tensión en el cable BC es de 1040 N y que la longitud d es de 1.90 m, determine el momento respecto de D de la fuerza ejercida por el cable C. Para ello descomponga en sus componentes horizontal y vertical la fuerza aplicada en a) el punto C y b) el punto E. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Figura Problemas 26, 27 y 28. Respuesta: a) 760 N.m; b) 760 N.m.
27. Se sabe que es necesario aplicar una fuerza que produzca un momento de 960 N.m alrededor de D para tensar el cable al poste CD. Si d = 2.80 m, determine la tensión que debe desarrollarse en el cable del malacate AB para crear el momento requerido alrededor de D. Respuesta: 1224 N.
28. Se sabe que es necesario aplicar una fuerza que produzca un momento de 960 N. m alrededor de D para tensar el cable al poste CD. Si la capacidad del malacate AB es de 2400 N, determine el valor mínimo de la distancia d para generar el momento especificado respecto de D.
29. Un mecánico automotriz usa un tramo de tubo AB como palanca para tensar la banda de la polea de un alternador. Cuando el técnico presiona hacia abajo en A, se ejerce una fuerza de 485 N sobre el alternador en B. Determine el momento de la fuerza respecto del perno C si su línea de acción debe pasar por O.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Ejemplo 2.10. Problema 3.3 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 89. Una fuerza de 300 N se aplica en A como se muestra en la figura. Determine a) el momento de la fuerza de 300 N alrededor de D y b) la magnitud y el sentido de la fuerza horizontal en C que produce el mismo momento alrededor de D, c) la fuerza mínima aplicada en C que produce el mismo momento alrededor de D. c) y d) la fuerza mínima aplicada en B que produce el mismo momento alrededor de D.
Solución.
Ejemplo 2.11. Problema 4.31 del Hibbeler. Décima Edición. Página 133. La grúa puede ser ajustada a cualquier ángulo 0 90º y a cualquier extensión 0 x 5 m . Para una masa suspendida de 120 kg, determine el momento desarrollado en A
como una función de x y . ¿Qué valores de x y desarrollan el máximo momento posible en A? Ignore el tamaño de la polea ubicada en B. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Solución.
Ejercicios propuestos. 30. Una caja de madera de 80 kg de masa se sostiene en la posición mostrada en la figura. determine a) el momento alrededor de E generado por el peso W de la caja de madera y b) la fuerza mínima aplicada en B que produce un momento alrededor de E de igual magnitud pero con sentido opuesto.
Respuesta: a) – 196.2 N.m; b) 199.0 N, 59.5º.
31. Un rótulo está suspendido de dos cadenas AE y BF. Si la tensión en BF es 200N, determine a) el momento de la fuerza ejercida por la cadena en B respecto a A, b) la magnitud y el sentido de la fuerza vertical aplicada en C que produce el mismo momento respecto de A, c) la fuerza mínima aplicada en C que produce el mismo momento respecto a A, d) la fuerza mínima aplicada en B que produce el mismo momento respecto de A.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Respuesta: a) 386 N; b) 160.1 N, 56.0º; c) 193.2 N; d) 189.5 N, 78.7º.
32. Un atleta se está ejercitando mientras carga en el tobillo, A, un peso de 5 lb, como indica la figura. Determine a) el momento del peso respecto a la flexión de la rodilla en el punto B, b) la magnitud de la fuerza P muscular que forma un momento de igual magnitud respecto a B, c) la fuerza mínima aplicada en C que crea el mismo momento que el peso respecto a B.
33. Se sabe que es necesaria una fuerza vertical de 200 lb para mover, de la tabla mostrada, el clavo que está en C. Un instante antes de que el clavo comience a moverse, determine a) el momento alrededor de B de la fuerza ejercida sobre el clavo, b) la magnitud de la fuerza P que genera el mismo momento alrededor de B si 28º y c) la fuerza P mínima que genera el mismo momento respecto de B.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
34. Determine la dirección para 0 180º de la fuerza F de manera que produzca a) el momento máximo con respecto al punto A, y b) el momento mínimo con respecto al punto A. Calcule el momento en cada caso.
Figura Problemas 34 y 35.
35. Determine el momento de la fuerza F con respecto al punto A como función de . Grafique los resultados de M (ordenada) vesus (abcisa) para 0 180º . Respuesta: M A 1200 cos 800 sen
36. Determine la dirección , 0º 180º de la fuerza F = 40 lb para que produzca a) el máximo momento con respecto al punto A, y b) el mínimo momento con respecto al punto A. calcule el momento en cada caso.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Respuesta: a) ( M A ) máx 330 lb.pie , 76.0º ; b) ( M A ) mín 0 , 166º
37. Determine el ángulo a que la fuerza de 500 N debe actuar en A para que el momento de esta fuerza con respecto al punto B sea igual a cero.
38. El cable de remolque ejerce una fuerza de P = 4 kN en el extremo del aguilón de 20 m de longitud de la grúa. Si 30º , determine la posición x del gancho localizado en A de modo que esta fuerza produzca un momento máximo con respecto al punto O. ¿Qué valor tiene este momento? Respuesta: x = 24.0 m ; ( M O ) max 80.0 kN.m
Figura Problemas 38 y 39.
39. El cable de remolque ejerce una fuerza de P = 4 kN en el extremo del aguilón de 20 m de longitud de la grúa. Si x 25 m , determine la posición del aguilón de modo que esta fuerza produzca un momento máximo con respecto al punto O. ¿Qué valor tiene este momento? Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Respuesta: 33.6º ; ( M O ) max 80.0 kN.m
40. Los segmentos de tubo D para un pozo petrolero son apretados una cantidad prescrita usando un juego de tenazas T , que agarran el tubo, y un cilindro hidráulico (no se muestra) para regular la fuerza F aplicada a las tenazas. Esta fuerza actúa a lo largo del cable que pasa alrededor de la pequeña polea situada en P . Si originalmente el cable es perpendicular a las tenazas como se muestra, determine la magnitud de la fuerza F que debe ser aplicada de manera que el momento alrededor del tubo sea de M = 2000 lb.pie. Para mantener este mismo momento, ¿qué magnitud de F se requiere cuando las tenazas giran 30º hacia la posición punteada? Nota: El ángulo DAP no es de 90º en esta posición. Respuesta: F = 1.33 kip; F´ = 1.63 kip
Ejemplo 2.12. Problema 4.11 del Bedford. La longitud de la barra AB es 350 mm. Los momentos ejercidos sobre los puntos B y C por la fuerza vertical F son M B = – 1.75 kN.m y M C = – 4.20 kN.m. Determinar la fuerza F y la longitud de la barra AC.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Solución.
Ejemplo 2.13. Problema 4.50 del Bedford. La línea de acción de F está contenida en el plano x y. El momento de F sobre O es 140 N.m, y el momento de F sobre A es 280 N.m. ¿Cuáles son las componentes de F ?
Solución.
Ejemplo 2.14. Problema 4.27 del Bedford. La fuerza F ejerce un momento antihorario de 2000 lb.ft alrededor de A y un momento en sentido horario de 1000 lb.ft alrededor de B. ¿Cuáles son F y ?
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Solución.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
2.2.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL ESPACIO. La determinación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica en forma considerable si el vector de fuerza y el vector de posición a partir de su punto de aplicación se descomponen en sus componentes rectangulares x, y y z . El momento M B de una fuerza F aplicada en A con respecto a un punto arbitrario B, se obtiene mediante M B
r F (4)
r : Vector posición trazado desde B hasta cualquier punto que se encuentre sobre la línea de
acción de F . F : Fuerza.
M B
i
j
k
r x
r y
r z (5)
F x F y F z r x ,r y ,r z : Componentes x, y, z del vector posición trazado desde el punto B hasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza. F x , F y , F z : Componentes x, y, z del vector fuerza F .
Ejemplo 2.15. Problema 4.35 del Hibbeler. Décima Edición. Página 134. Determine el momento de la fuerza presente en A con respecto al punto P . Exprese el resultado como un vector cartesiano.
Solución. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Ejemplo 2.16. Problema 4.37 del Hibbeler. Décima Edición. Página 134. Determine el momento de la fuerza F presente en A con respecto al punto P. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
Solución.
Ejemplo 2.17. Ejemplo 4.4 del Hibbeler. Décima Edición. Página 124. El poste en la figura está sometido a una fuerza de 60 N dirigida de C a B. Determine la magnitud del momento generado por esta fuerza con respecto al soporte en A.
Solución.
Ejemplo 2.18. Ejemplo 3.4 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 87. Una placa rectangular está apoyada por ménsulas en A y B y por un alambre CD. Se sabe que la tensión en el alambre es de 200 N, determine a) el momento con respecto a A de la Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
fuerza ejercida por el alambre en el punto C, b) la distancia perpendicular desde el punto A hasta el cable CD.
Solución.
Ejemplo 2.19. Modificación del Problema 3.25 del Beer – Jhonston. Novena Edición. Página 92. La rampa ABCD se sostiene en las esquinas mediante cables en C y D. Si la tensión que se ejerce en cada uno de los cables es de 810 N, determine el momento alrededor de A de la fuerza ejercida por a) el cable en D, b) el cable en C. Determine la distancia perpendicular desde el punto A hasta c) la porción DE del cable DEF, d) una línea que pasa por los puntos C y G.
Solución. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Ejemplo 2.20. Problema 4.39 del Hibbeler. Décima Edición. Página 135. La barra curva se tiende en el plano x-y y tiene radio de 3 m. Si una fuerza F = 80 N actúa en su extremo como se muestra, determine el momento de esta fuerza con respecto al punto con respecto al punto B.
Solución.
Ejercicios propuestos. 41. Determine el momento de la fuerza presente en A con respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
Respuesta: M O (260i 180 j 510 k ) N.m 42. Determine el momento de la fuerza presente en A con respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Respuesta: M P (116 i 16 j 135 k ) kN.m 43. La fuerza F (600i 300 j 600 k ) N actúa en el extremo de la viga. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto A.
Respuesta: M A (720 i 120 j 660k ) N.m 44. El aguilón AB de 6 m que se muestra en la figura tiene un extremo fijo A. Un cable de acero se estira desde el extremo libre B del aguilón hasta el punto C ubicado en la pared vertical. Si la tensión en el cable es de 2.5 kN, determine el momento alrededor de A de la fuerza ejercida por el cable en B. Respuesta: M A
(4.74 i 11.84
j ) kN.m
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
45. Una fuerza F con magnitud de F = 100 N actúa a lo largo de la diagonal del paralelepípedo. Determine el momento de F con respecto al punto A, usando M A y M A
r C F
r B F
.
Respuesta: M A (16.0 i 32.1k ) N.m 46. El puntal de madera AB se emplea temporalmente para sostener el techo en voladizo que se muestra en la figura. Si el puntal ejerce en A una fuerza de 57 lb dirigida a lo largo de BA, determine a) el momento de esta fuerza alrededor de C, b) la distancia perpendicular desde el punto C hasta la línea que pasa por los puntos A y B, c) la distancia perpendicular desde el punto D hasta la línea que pasa por los puntos A y B.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Respuesta: a) (153.0 i 63.0 j 215 k ) lb.ft ; c) 57.0 in. 47. Una lancha pequeña cuelga de dos grúas, una de las cuales se muestra en la figura. La tensión en la línea ABAD es de 82 lb. Determine a) el momento alrededor de C de la fuerza resultante RA ejercida sobre la grúa en A, b) la distancia perpendicular desde el punto C hasta la porción AD de la línea ABAD.
Respuesta: a) (492i 144.0 j 372 k ) lb.ft ; b) 4.86 m.
48. La barra curva tiene un radio de 5 pies. Si una fuerza de 60 lb actúa en su extremo como se muestra, determine el momento de esta fuerza con respecto al punto C.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Figura Problemas 48 y 49. Respuesta: M C (35.4 i 128 j 222 k ) lb.ft
49. Determine la mínima fuerza F que debe aplicarse a lo largo de la cuerda para ocasionar que la barra curva, con radio de 5 pies, falle en el soporte C. Esto requiere el desarrollo de un momento M = 80 lb.pie en C. Respuesta: F AB = 18.6 lb
50. La barra curva se tiende en el plano x-y y tiene radio de 3 m. Si una fuerza F = 80 N actúa en su extremo como se muestra, determine el momento de esta fuerza con respecto al punto O.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Respuesta: M O
Momento de una fuerza.
(128i 128 j 257 k ) N.m
Ejemplo 2.21. Problema 3.22 del Beer-Johnston. Octava Edición. Página 91. Una fuerza de 36 N se aplica sobre la llave de torsión para enroscar la regadera. Si la línea de acción de la llave es paralela al eje x, determine el momento de la fuerza respecto de A.
Solución.
Ejemplo 2.22. Modificación del problema 4.47 del Hibbeler. Décima Edición. Página 136. Utilice el análisis vectorial cartesiano para determinar el momento respecto al punto E debido a cada fuerza. Determine el momento resultante en el punto E y verifique el Teorema de Varignon. Considere F 1 (400i 300 j 120 k ) N .
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Solución.
Ejemplo 2.23. Problema 3.22 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 91. Los cables AB y BC se sujetan al tronco de un árbol muy grande para evitar que se caiga. Si se sabe que las tensiones de los cables AB y BC son de 555 N y 660 N, respectivamente, determine el momento respecto de O de la fuerza resultante ejercida por los cables sobre el árbol en B.
Solución.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Ejemplo 2.24. Modificación del problema 2.77 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 54. El extremo del cable coaxial AE se une al poste AB, el cual está sostenido por los tirantes de alambre AC y AD. Si se sabe que la altura del poste es de 12 ft y la tensión en los alambres AC y AD son de 120 lb y 85 lb respectivamente, determine a) el momento alrededor de B de la fuerza ejercida en A por el cable AD, b) el momento alrededor de B de la fuerza ejercida en A por el cable AC. c) Verifique el Teorema de Varignon.
Solución.
Ejercicios propuestos. 51. Si se sabe que la tensión en el cable AB es de 570 N y en el cable AC es de 1065 N, determine el momento respecto de D de la fuerza resultante ejercida por los cables en el punto A.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
52. La tapa ABCD de un baúl de 0.61×1.00 m tiene bisagras a lo largo de AB y se mantiene abierta mediante una cuerda DEC que pasa sobre un gancho en E sin fricción. Si la tensión de la cuerda es de 66 N, determine el momento respecto de A de la fuerza resultante ejercida por los cables sobre el gancho E.
53. El marco ACD está articulado en A y en D y se sostiene por medio de un cable, el cual pasa a través de un anillo en B y está unido a los ganchos en G y H. Si se sabe que la tensión en el cable es de 450 N, determine el momento respecto de A de la fuerza resultante ejercida por los cables sobre el anillo B.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
54. Un letrero erigido sobre suelo irregular se sostiene mediante los cables atirantados EF y EG. Si la fuerza ejercida por el cable EF en E es de 46 lb y la fuerza ejercida por el cable EG en E es de 54 lb, determine el momento respecto de B de la fuerza resultante ejercida por los cables sobre el punto E.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
55. Para estabilizar un árbol parcialmente arrastrado durante una tormenta, se amarran los cables AB y AC a la parte alta del tronco del árbol y después se fijan a barras de acero clavadas en el suelo. Si la tensión en el cable AB es de 920 lb y la tensión en el cable AC es de 850 lb, determine el momento respecto de O de la fuerza resultante ejercida por los cables sobre el árbol en A.
Ejemplo 2.25. Problema 3.53 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 104. Para aflojar una válvula congelada, se aplica una fuerza F sobre la manivela con una magnitud de 70 lb. Si se sabe que 25º , M x = – 61 lb.ft y M z = – 43 lb.ft, determine y d .
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Solución.
Ejercicios propuestos. 56. Se aplica una fuerza de 200 N sobre la ménsula ABC, como se muestra en la figura. Determinar el momento de la fuerza alrededor de A.
Respuesta: (7.50i 6 j 10.39 k ) N.m . 57. La tubería está sometida a la fuerza de 80 N. Determine el momento de esta fuerza a) con respecto al punto A y b) con respecto al punto B.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Respuesta: a) M B (5.39i 13.1 j 11.4 k ) N.m ; b) M B (10.6 i 13.1 j 29.2 k ) N.m 58. El puntal AB de la tapadera de 1 m de diámetro ejerce una fuerza de 450 N sobre el punto B. Determine el momento de esta fuerza con respecto al punto O.
Respuesta: M O (373i 99.9 j 173k ) N.m 59. Una caña de pescar AB de 6 ft se ancla de manera segura en la arena de una playa. Después de que un pez pica en el anzuelo, la fuerza resultante en la línea es de 6 lb. Determine el momento alrededor de A de la fuerza ejercida por la línea en B.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Respuesta: (25.4 i 12.60 j 12.60 k ) lb.ft . 60. Una fuerza P se aplica a la palanca de un tornillo de presión. Si P pertenece a un plano paralelo al plano y z y M x = 26 N.m, M y = – 23 N.m y M z = – 4 N.m, determine la magnitud de P y los valores de y .
Respuesta: P = 186.8 N, 9.87º , 48.1º . 61. Usando un collarín anular, la fuerza de 75 N puede actuar según varios ángulos
.
Determine la magnitud del momento que produce esta fuerza con respecto al punto A, grafique el resultado de M (ordenada) versus
(abcisa)
para 0º 180º , y especifique
los ángulos que dan los momentos máximo y mínimo.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Respuesta: M A 12656.25 sen 2 22500 , M max en 90º , M min en 0º y 180º . Ejemplo 2.26. Modificación del problema 2.97 del Hibbeler. Décima Edición. Página
65. Dos tractores jalan el árbol con las fuerzas mostradas. Determine el momento respecto de D de la fuerza ejercida por el cable AB sobre el árbol.
Solución.
Ejemplo 2.27. Problema 4.65 del Bedford. La tensión en el cable AB es 100 lb. Si desea que la magnitud del momento sobre la base O del árbol debido a las fuerzas ejercidas sobre el árbol por las dos cuerdas es 1500 lb.ft. ¿Cuál es la tensión necesaria en la cuerda AC?
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Solución.
Ejemplo 2.28. Modificación del problema 3.22 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 91. Los cables AB y BC se sujetan al tronco de un árbol muy grande para evitar que se caiga. Si se sabe que la tensión en el cable AB es de 555 N, determine la tensión en el cable BC si el momento respecto de O de la fuerza resultante ejercida por los cables sobre el árbol en B es de 3708.18 N.m.
Solución.
Ejercicios propuestos. 62. Un granjero emplea cables para sujetar firmemente de una de las paredes de un granero pequeño a los tensores B y E. Si se sabe que la suma de los momentos, respecto del eje x, Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
de las fuerzas ejercidas por los cables sobre el granero en los puntos A y D es de 4728 lb.ft, determine la magnitud de T DE cuando a) T AB = 255 lb; b) T AB = 306 lb.
Respuesta: 283 lb. 63. Determine el valor de a que minimiza la distancia perpendicular desde el punto C hasta la sección de tubería que pasa por los puntos A y B.
Ejemplo 2.29. Problema 4.48 del Hibbeler. Décima Edición. Página 137. Una fuerza de F (6 i 2 j k ) kN produce un momento de M O
(4 i 5 j 14 k ) kN.m
con respecto al origen de coordenadas, o punto en O. Si la fuerza actúa en un punto que tiene coordenada x = 1 m, determine las coordenadas y y z .
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Solución.
Ejercicios propuestos. 64. La fuerza F (6 i 8 j 10 k ) N produce un momento con respecto al punto en O de M O
(14 i 8 j 2 k ) N.m
. Si esta fuerza pasa por un punto que tiene una coordenada x
de 1 m, determine las coordenadas y y z . Además, teniendo en cuenta que M O F d , encuentre la distancia perpendicular d desde el punto O hasta la línea de acción de F.
Respuesta: y = 1 m, z = 3 m, d = 1.15 m.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
2.3.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE DADO. El momento de una fuerza aplicada en A con respecto a un eje se obtiene mediante M a
ua .(r F )
(6)
ua: Vector unitario a lo largo del eje aa´ . r : Vector posición trazado desde cualquier punto O sobre el eje aa´ hacia cualquier punto
A sobre la línea de acción de la fuerza. F : Fuerza.
M a
ua x
ua y
ua z
r x
r y
r z
F x
F y
(7)
F z
ua x , ua y , ua z : Componentes x, y, z del vector unitario que define la dirección del eje aa´. x, y, z : Componentes x, y, z del vector posición trazado desde cualquier punto O sobre el eje aa´ hacia cualquier punto A sobre la línea de acción de la fuerza. F x , F y , F z : Componentes x, y, z del vector fuerza F .
El momento M a de F con respecto a aa´ mide la tendencia de la fuerza F de impartirle al cuerpo rígido un movimiento de rotación alrededor del eje fijo aa´.
Ejemplo 2.30. Ejemplo 4.8 del Hibbeler. Décima Edición. Página 142. La fuerza F (40 i 20 j 10 k ) N actúa en el punto A mostrado en la figura. Determine los momentos de esta fuerza con respecto a los ejes x y a.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Solución.
Ejemplo 2.31. Ejemplo 4.9 del Hibbeler. Décima Edición. Página 143. La barra mostrada en la figura está sostenida por dos ménsulas situadas una en A y la otra en B. Determine el momento M AB producido por F (600i 200 j 300 k ) N , que tiende a girar la barra con respecto al eje AB.
Solución.
Ejemplo 2.32. Problema 3.55 del Beer-Johnston. Novena Edición. El marco ACD está articulado en A y en D y se sostiene por medio de un cable, el cual pasa a través de un anillo en B y está unido a los ganchos en G y H. Si se sabe que la tensión en Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
el cable es de 450 N, determine el momento respecto de la diagonal AD de la fuerza ejercida sobre el marco por el tramo BH del cable.
Solución.
Ejemplo 2.33. Ejemplo 3.5 del Beer-Johnston. Novena Edición. Sobre el cubo de lado a actúa una fuerza P, como se muestra en la figura. Determine el momento de P: a) con respecto a A, b) Con respecto a la arista AB y c) con respecto a la diagonal AG del cubo.
Solución.
Ejemplo 2.34. Problema 4.55 del Hibbeler. Décima Edición. Página 145. La cadena AB ejerce una fuerza de 20 lb sobre la puerta localizada en B. Determine la magnitud del momento de esta fuerza a lo largo del eje abisagrado x de la puerta. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Solución.
Ejemplo 2.35. Problema 3.55 del Beer-Johnston. Octava Edición. La sección ABCD de una pasarela inclinada en voladizo mide 2.4 m de ancho y está parcialmente sostenida por los elementos EF y GH. Si la fuerza compresiva eje rcida por el elemento EF sobre la pasarela en el punto F es de 24.3 kN, determine el momento de esa fuerza respecto al borde AD.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Solución.
Ejercicios propuestos. 65. La tapa ABCD de un baúl de 0.61×1.00 m tiene bisagras a lo largo de AB y se mantiene abierta mediante una cuerda DEC que pasa sobre un gancho en E sin fricción. Si la tensión de la cuerda es de 66 N, determine el momento de la fuerza ejercida sobre la cuerda en D respecto de cada uno de los ejes coordenados.
Figura Problemas 65 y 66. Respuesta: M x = – 31.2 N.m, M y = – 13.20 N.m, M z = – 2.42 N.m 66. La tapa ABCD de un baúl de 0.61×1.00 m tiene bisagras a lo largo de AB y se mantiene abierta mediante una cuerda DEC que pasa sobre un gancho en E sin fricción. Si la tensión de la cuerda es de 66 N, determine el momento de la fuerza ejercida sobre la cuerda en C respecto de cada uno de los ejes coordenados. Respuesta: M x = – 25.6 N.m, M y = 10.80 N.m, M z = 40.6 N.m 67. El marco ACD está articulado en A y en D y se sostiene por medio de un cable, el cual pasa a través de un anillo en B y está unido a los ganchos en G y H. Si se sabe que la tensión en el cable es de 450 N, determine el momento respecto de la diagonal AD de la fuerza ejercida sobre el marco por el tramo BG del cable.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
Respuesta: – 111.0 N.m.
68. La placa triangular ABC se sostiene mediante soportes de rótula en B y D y se mantiene en la posición mostrada mediante los cables AE y CF. Si la fuerza ejercida por el cable AE en A es de 55 N, y la fuerza ejercida por el cable CF en C es de 33 N, determine el momento de esa fuerza respecto de la línea que une los puntos D y B.
Figura Problemas 68 y 69. Respuesta: 2.28 N.m.
69. La placa triangular ABC se sostiene mediante soportes de rótula en B y D y se mantiene en la posición mostrada mediante los cables AE y CF. Si la fuerza ejercida por el cable CF en C es de 33 N, determine el momento de esa fuerza respecto de la línea que une los puntos D y B. Respuesta: – 9.50 N.m. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
70. Un letrero erigido sobre suelo irregular se sostiene mediante los cables atirantados EF y EG. Si la fuerza ejercida por el cable EF en E es de 46 lb, determine el momento de esa fuerza alrededor de la línea que une los puntos A y D.
Figura problemas 70 y 71. Respuesta: 1359 lb.in.
71. Un letrero erigido sobre suelo irregular se sostiene mediante los cables atirantados EF y EG. Si la fuerza ejercida por el cable EG en E es de 54 lb, determine el momento de esa fuerza alrededor de la línea que une los puntos A y D.
72. Un tetraedro regular tiene seis lados de longitud a. Si una fuerza P se aplica a lo largo del borde BC como se muestra en la figura. Determine el momento de la fuerza P alrededor del borde OA.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Respuesta:
a P 2
Momento de una fuerza.
.
73. Para levantar una caja pesada, un hombre usa un bloque y un polipasto y los sujeta a la parte inferior de la viga I mediante el gancho B. Si se sabe que los momentos de los ejes y y z de la fuerza ejercida en B por el tramo AB de la cuerda son, respectivamente, de 120 N.m
y – 460 N.m, determine la distancia a.
Figura Problemas 73 y 74. Respuesta: 1.252 m.
74. Para levantar una caja pesada, un hombre usa un bloque y un polipasto y los sujeta a la parte inferior de la viga I mediante el gancho B. Si se sabe que el hombre aplica una fuerza
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
de 195 N al extremo A de la cuerda y que el momento de esa fuerza alrededor del eje y es de 132 N.m, determine la distancia a. Respuesta: 1.256 m.
75. Una lancha pequeña cuelga de dos grúas, una de las cuales se muestra en la figura. Se sabe que el momento alrededor del eje z de la fuerza resultante R A ejercida sobre la grúa en A no debe exceder 279 lb.ft en valor absoluto. Determine la máxima tensión permisible en la línea ABAD cuando x = 6 ft.
Figura Problemas 75 y 76. Respuesta: 61.5 lb.
76. Para la grúa del problema 75, determine la máxima distancia permisible x cuando la tensión en la línea ABAD es de 60 lb.
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Momento de una fuerza.
BIBLIOGRAFÍA. Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 8a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,
2007. Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 9a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,
2010. Beer, F., E. R. Johnston y D. F. Mazurek, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 10a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, 2013. Hibbeler, R. C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 10 ed., Pearson Education de México, S.A de C.V. México, 2004. Hibbeler, R.C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 11 ed., Pearson Education de México, S.A de C.V. México, 2010. Meriam, J. L y L. G. Kraige. Statics. Seventh Edition. John Wiley & Sons, Inc. Estados Unidos. 2012.
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Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.
Momento de una fuerza.
TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA).
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Momento de una fuerza.
OBRAS DEL MISMO AUTOR. Serie Problemas Resueltos y Propuestos de: - Electricidad (Física II).
- Química. - Cálculo Diferencial. - Cálculo Integral. - Cálculo Vectorial. - Ecuaciones Diferenciales. - Métodos Numéricos. - Estadística. - Termodinámica Básica. - Termodinámica Aplicada. - Fenómenos de Transporte.
Videotutoriales. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.
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