Ch 5 Calcul Des éléments Secondaire

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Chapitre V : Calcul des éléments secondaires Calcul des éléments secondaires V.1) INTRODUCTION : Dans toute structure on distingue deux types d’éléments : • Les éléments porteurs principaux qui contribuent aux contreventements directement. • Les éléments secondaires qui ne contribuent pas au contreventement directement. Ainsi Ainsi l’escali l’escalier er et l’acrotèr l’acrotèree sont considér considérés és comme comme des éléments éléments secondai secondaires res dont l’étude est indépendante de l’action sismique (puisqu’ils ne contribuent pas directement à la reprise de ces eorts!" mais ils sont considérés comme dépendant de la géométrie interne de la structure. V.2) CALCUL DES ESCALIERS ESCALI ERS : 1. Dé Défi fini niti tion on : L’escalier se présente comme un escalier traditionnel en béton armé de largeur #"$% m et longueur de volée #.& m et avec un palier (posé sur une poutre palière! de '. m de largeur. 2. Ev Evalu aluat ation ion de dess char charge gess : )our notre emmarc*ement on aura : )alier++++",' - "%& × '" - "$# t/ml )aillasse+++,# - "0%1 × '" - "2%0 t/ml 3urc*arge++"" 4' - 4 # - "#% × '" - "#%t/ml Les 5ombinaisons de 5*argement : 6L7: )' - '"% , ' 8 '"% 4'  - '"%×"$#8'"% ×"#% - '"&% t/ml )# - '"% , # 8 '"% 4#  - '"%×"2%08'"% ×"#% - '"0& t/ml ELS: )'-,'84'-"$#8"#% -'.#$ t/ml )#-,#84#-"2%08"#% -'.'2' t/ml 3. Fe Ferr rrai aill llag age: e: L’escalier est un élément qui n’est pas exposé aux intempéries" donc les issurations sont considérées comme peu nuisibles 9 La section est soumise à la lexion simple. L’enrobage : 5 ≥ 1 cm soit c = 2cm.  ENTP 1 Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires 'cm   '%cm 'cm en plan de l(x! 8 .&& t.m >umax (en travée! - .&& t.m >smax (en travée! - #"&1 t.m V ma!3.36t  a. Calcul des aratures : *-.'#m .'# m  b-'.m   bu -.2% c#2 /?.@ b -'&.'$ >)a µ ->u/bd#  bu ⇒ µ -.'0 εes-(e/@s !/6s- '.$  '. m (αc-.&1 9µc-.#1! µ< .#1 donc pas d’armatures comprimées (33A5! α-.%0 B-.'% m µ< .'20 domaine ' # As-1.&' cm /ml Cn adopte 1A'# espacés de 'cm ('.'2 cm #/ml! !ratures de ré"artition : Ar  -As/& -#.%&cm #/ml 3oit 0 A 2 espacés de #% cm (.# cm #/ml! Condition de non fragilité :  ENTP &' Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires Cn a: AminE.#FbFd ( t#2/e! AminE'.01 cm#  As E Amin 5ondition vériiée. b. Ferraillage transversal : Aucune armature transversale n’est requise si les conditions suivantes sont remplies : • )as de reprise de bétonnage. • τu- vu/b.d -.#1>)a .% c#2 - '.#% >)a.  5onditions vériiées donc il n’est pas nécessaire de concevoir des armatures transversales . Vérification des contraintes : σ bc- >ser Fy/G )osition de l’axe neutre : H b y#8n As’ (yc’!n As (dy!- As’ -  9 A s -'.'2 cm#/ml9n-'% I-& cm #oent d$inertie: G-'/ by8'%As (dy! # G-12&.'2 cm & !""lications nuéri%ues : σ bc -'.'% >)a σ bc’ -.0  c#2 - '% >)a (condition vériiée!. 5alcul des contraintes de l’acier : σst-'% >ser (dy!/G -#%1.& >)A< &2 >pa (condition vériiée!. 0A2 1A'# FigureV-3: Disposition des armatures dans la paillasse Ferraillage de la poutre palire :  ENTP &# Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires .% FgureV-: Schéa stati%ue de la "outre "ali/re Selon le C&! '3 :  la *auteur * de la poutre palière doit Jtre : L ≤ '% % '% * ≤ L ' ≤  h ≤ #. ≤  h   cm % ' ≤ .%  on prend * -&cm Selon le ()!''*version 2++3 : *- &et b -  tel que : * -& E   b-E # Donc la section de la poutre palière est de bK* - K& cm # a, Sollicitations : Le poids propre de la poutre : , - '× . × .& × #.% - . t/ml La réaction du palier due a l’escalier :  -.'% t , Coinaison des charges : )- '.% (.! 8 '.% (.'%! - %"' t ' - # - q l / # - (%"' ×"%! / # - $"2## t. >max (en travée! -  Pl M >max (sur l’appui! -  -'"122 tm #&  Pl M '#  -"1$02tm c, Ferraillage en travée :  ENTP & Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires • Les données  : >max (en travée! - '"122 tm  c#2 - #% >pa acier =I)6 ' NeN& Nissurations "eu nuisile   bu - .2%  #  c #2 γ  " ⇒   bu - '&.'$ >pa &  d - .1 * ⇒ d - .0 m  µ -  $ u "o d M  #  "u ⇒ µ - "0 µ O .'20 ⇒ ⇒ pas d’armatures comprimées domaine ' " σs - &2 >pa " εs - '  α - '.#% × (' −  B - (' − #µ ! ) ⇒ α  - "&%2 d  × (' − .&α )  - "%m  $u  As -  % σ    - '"0'0 cmM  s d, Condition de non fragilité : Amin P .#"o d#  t #2  - '"& cmM   #  e As P Amin condition vérii ée. e, choi0 des arres : 3! 12   .1 cmM  f, Vérification au cisailleent : Cn doit vériier : τu O τu  τu - Vu max "od   ;u -  ' - $"2## t. τu - "$2#/ .0 ×. -"$#& >pa τu’- min ( "# c#2 / γ  b " % >)a! -">)a τu O τu’  les armatures transversales ne sont pas nécessaires. g, Ferraillage sur a""ui : >max(sur l’appui! - "1$02tm  ENTP && Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires .2%  #  c #2   bu - ⇒   bu - '&.'$ >pa γ  " &  d - .1 * ⇒ d - .0 m µ -  $ u "o d M  #  "u µ O "'20 ⇒ ⇒ pas d’armatures comprimées. domaine ' " σs - &2 >pa " εs - '  α - '.#% × (' −  B - ⇒ µ - "$#' (' − #µ ! ) d  × (' − "&α  ) ⇒ α  - "10  - "&0m  $u  As -  % σ    -"#1 cmM  s h, Condition de non fragilité : Amin P .#"o d#  t #2 As P Amin   #  e  - '"& cmM condition vériiée. i, Choi0 des arres : 3! 12  .1 cmM l, Vérification au cisailleent : Cn doit vériier: τu - τu O τu Vu max "od   ;u - b- $"2## t τu - "$2# / "0 ×" - "$#& >pa τu’- min ( "# c#2 / γ  b " % >)a! -">)a τu O τu’  les armatures transversales ne sont pas nécessaires . , Condition de la fl/che : Pour une poutre encastrée à ses extrémités, la flèche est donnée par :   #   =  pl & 2& E&   ENTP G : l’inertie de la poutre &% Promotion 2006  Chapitre V :  &  = "h  '# Calcul des éléments secondaires  - . × .& / '# - .'0 m & 6 : module de Ioung 6 - "# ×'% Qg/cmM L : longueur de la poutre L - "% m ) -%"' t/m l  Cn doit vériier que :  #    #   %..   #   "##% m - "$# cm   #   <   #   5ondition vériieé < = = V.!) CALCUL DE L"ACROT#RE : 1. Définition : L’acrotère est un élément structural contournant le bRtiment conSu pour la protection de ligne conToncti entre lui mJme et la orme de pente contre l’iniltration des eaux pluviales. Gl est assimilé à une console encastrée au planc*er terrasse. La section la plus dangereuse se trouve au niveau de l’encastrement. Gl est réalisé en béton armé. L’acrotère est soumis à son poids propre (,! qui donne un eort normal U , et une c*arge d’exploitation *oriVontale non pondérée estimée à ' U/ml provoquant un moment de lexion. Donc le calcul s’eectue pour une bande de 'ml en lexion composée. 3oit une section de ('F' cm #!. 2. tude de l$acrot/re: L’acrotère est un élément qui coie le bRtiment à sa partie supérieure. 4 0 cm , ,: )oids propre -'&%Qg/ml. 4 : 3urc*arge d’exploitation-1Qg/ml. Figure V-5 : Acrotère ' cm Sollicitations: EL4 :  Uu-'"%.U,- '"%. " '&%-"'1% t/ml >u-'"%.U4.*- '"%. "1. "0-"2't/ml.  ENTP &0 Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires ELS :  User  -U, -"'&% t/ml. >ser -"1."0-"%& t/ml. 4 Sc hémast at i que: , Le erraillage se era en lexion composée" en issuration préTudiciable sur un mètre linéaire. *-"' m.  b -' m. d-"1.*-"1m. a. Le ferraillage vertical Calcul 6 l$EL4 : e =- e'8ea8e# e= : 6xcentricité totale de calcul. e' - 6xcentricité de la résultante. ea - 6xcentricité additionnelle . e# - 6xcentricité due aux eets du second ordre. e' - >u/Uu - "&'%m.   e-*/0-.'/0-.'0m e'Pe :d’oW la section est partiellement comprimée. e# - .l  # ' & .* .(# 8 XY! l - #.l - #."0 - '"# m. i- G Z G-  b.*  '# 9 Z - b.* i - "#1. [ - '"#/"#1 - &'"2. % ⇒ pas de risque de lambement.  ENTP &$ Promotion 2006  Chapitre V : e# - Calcul des éléments secondaires 0.'"# # & ' ."'  - 2"0&.' .m ea - max("# 9 .0/#%! - "#m. e= - "&'%8"#8"20& - "&&m l /* - '# max ('% 9 #.e '/*! - 2. L  /* O 2. Cn va tenir compte des eets du second ordre. #a7oration des sollicitations : e'/*-&.'% P.$% @  : coeicient de maToration. [  - min ('8"'%([/%! #.*/e'9 '"&!m - min ('"0 9 '"&! - '"0m  U’u - [.. Uu - "#0 t/ml. >’u - U’u.(e'8ea !- "'' t.m/ml. >ua - >’u8U’u(d*/#!. >ua - "'# Le calcul se era par assimilation à la lexion simple. \- "'# ("1! # # ' - "'$ O "'20 .'&"'$ domaine ' X - "'&. B - "21m ] - '^o _s - &2>)A "'# "#0 As - ` "21.&2  &2 .'# As - "#cm #. 5*oix des barres : &A0 soit As - '"'cm #. Asmin-"#."1.#"'/& - '"2cm #. 3t-#cm. . !rature de ré"artition : Ar  -As/&-"#2 cm #. 5*oix des barres :  0 soit As -"2%cm # Vérification 6 l$effort tranchant :  ENTP &2 Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires - min "'%.#%/'"% 9 &-#"%>)A c u - ;u/b.d -'"%.4/"1 - "'%>)A. c u O c u Gl n’est pas nécessaire de concevoir des armatures transversales" les armatures de répartition sont suisants. cu A0 (# nappes! 5oupe '' &A0 ' &A0 ' A0 (# nappes! Figure V-8 : Disposition des armatures dans l’acrotère V.$) CALCUL DU %ALCON : 1. 9ntroduction : Le balcon est constitué d’une dalle pleine encastrée dans les poutres. L’épaisseur est conditionnée par :   L/'%< e < L/# 8$ ⇒ on a: L - '.m 2.00 ≤ e ≤ '.% on prend : e - ' cm. Avec des considérations pratiques (expérience!9 on a vu que l<épaisseur ainsi obtenue nu - ( )u.LM!/# -  '"2 t.m )ser  - , 8 4 - .%0 8 .% - .1' t/ml >ser  - ( )ser . LM!/# -  .$0 t.m ρm - >u />ser  - '"2/.$0 - '.&# ⇒ µc - .0 " αc - .&$# µ - ('"2!/ [( ' × (.1 × .'0!M × '&.'$ × 'M ] - .0 µ < µc ⇒ α - ['− ('− #µ!'/# ] / .2 ⇒ α - .&% V - d ('− .&α! - .'& m As’ -  car µ < µc µ ≤ .'20 ⇒ εs - '. '  ⇒ σs - (εs! - &2 >)a. As - >u / V. σs - '"2x '# / (.'& × &2! As - #"#' cmM soit: &A' (A s - "'& cm #!. E.L.S:  bc - '% >)a st  #'.0 >)a. x - .$% m. V - .''2 m.  $  ' - .00 >U.m >ser <  $  1 ⇒  33A5 σ   σ    ENTP % Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires As - >ser / V. σs - .$0× '# / (.''2 × #'.0! As -"'1 cmM ⇒  soit 5!1+ (As -"1 cm#! 3. Vérification des contraintes : Gl aut vériier les deux contions : '. ! σ bc< .0  c#2 c. à. d σ bc < '% >pa #. ! σst < st '.! σ bc - (>ser /G'! y' H byM 8 '% As’ (y− c’! − '% As (d − y! -  µ < µc ⇒ As’ -  H byM −'% As (d − y! -  % yM − '% F"1 ('&"& − y! -  Avec d - "1 × '0 - '&.& cm yM 8 '"'$1 y − '0"1$$ -  f - 2"# y - (− '"'$1 8 2" #!/# ⇒ y - .%$cm G - by/ 8 n As (d − y! M ⇒ G - ' × ("%$!/ 8 '% × "1 ('&.& − "%$!M ⇒ G - " 2&x' & m& σ bc - (.$0 × .%$ ×'&!/(.2& ×'&! - .#' < '% >pa (veriier! σ   #.! σst - n >ser ( d − y !/G - '% × .$0×'# (.'&& − .%$×'#!/(.2& ×'& ! - '&0.&& >pa st  #'.0 >)a. σst < st  (veriier! . Condition de non fragilité : e - '0 cm As - .1 cmM y - .%$ cm As > .#b × d ×( t#2/ e! - .# × ' × .1 × .'0 × (#.'/&! - '.$ cmM σ   σ   Asmin - '.$ cm # O As 5. Vérification de l$effort tranchant : τu < τu - min(.0 c#2 9 '.%>)A! - '.% (issuration préTudiciable!. τu - ;u/(b. d! 9 ;u -  (q l 8 p! ;u : valeur de l’eort tranc*ant à 6L7. τu - '.&/ ('x .'&&! - .11 >)A < '"% (veriiée!. 8. Conclusion : 6.L.7: As - !1+ (As -.'& cm#! 6.L.3: As’ - 5!1+ (As -.1 cm#! Cn opte pour une section d : )lanc*er en corps creux . Coinaisons : A l’6.L.7 : ) u - '.%,8'.%4 - '.% ×.$& 8 '.% ×.0% ⇒ )u - .'1$ t/ml.  A l’6.L.3 : ) ser  - ,84 -.$&8.0% ⇒ )ser  - .'1 t/ml. Le moment est calculé comme une poutre isostatique : >max - )LM/2 (dans notre cas L max -.2m! D’ou: à l’6.L.7: > u - )uLM/2 >u - .%% t/ml. à l’6.L.3 : > ser  - )ser LM/2 >ser  - .#% t/ml. L’eort tranc*ant maximum est donné par : =smax - )ser .L/# - .#0& t. =umax - )u.L/# - .$& t. Les poutrelles ne sont pas exposées aux intempéries" le calcul se era à l’6.L.7 puisque la issuration est Tugée peu nuisible. Ferraillage : 5es éléments de construction travaillent souvent à la lexion simple pour laquelle on era le calcul : µ - >u /(b.dM.  bu! - .%% / `.'# ×(.1×.&!M ×'&.'$ - '.0' µ > µc - ." d’ou les armatures comprimées sont nécessaire pour équilibrer le moment >" mais on est limitée par la section du béton ('# ×& cmM! .Gl est donc impérati de prévoir des étais pour que la poutrelle supporte les c*arges avant le durcissement de la table de compression.  ENTP % Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires 2 ee éta"e Après le coulage de table de compression" les poutrelles supportant les planc*ers (," 4! à c*arges d’exploitations modérées. ? @t*l, A @t*l, )u @t*l, )ser @t*l, )lanc*er terrasse inaccessible "12 "0% "0& "&0 )lanc*er étage courante "# "1$ "%$$ "&'$ )lanc*er 'er  et #emeétage "# .'0# "0 %$"&2# )lanc*er D5 "# "#% +B'1' +B85 aleau V-1 : 5*arges supporter par Les poutrelles.  Uotre poutrelle sera sollicitée par une c*arge uniormément répartie : )u - "1'1 t/ml. )s - "0&% t/ml. Figure V-' :3c*émas statiques 1 2 "% "2 3 #"0 %  5 #"0 % "2 8 "% = E.L.4 1 2 "%   "2 3 #"0 %  #"0 % E.L.S 5 "2 8 "% = )our la détermination des moments (6.L.7" 6.L.3! et des eorts tranc*ants on a utilisé le logiciel Sa"2+++.  ENTP %& Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires Les résultats obtenus par ce logiciel sont représentés dans les sc*émas ciaprès: Figure V-1+ : Diagramme des sollicitations (> " =! Diagrae du oent 6 lE.L.4 Diagrae du oent 6 lE.L.S Diagrae de leffort tranchant 6 lE.L.4 / =ravées Appuis >u (t.  ENTP 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 1 2 3 4 6 7 8  '"' .2& "'% "2& '"'  %% Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires 3ur >ser (t.  '"#&  / / T  (t ! ω   6L7 6n travée T e (t ! >u (t. >ser (t "1# '"2$ '"12 "$% "% "%1 '.1 '.0# "%1 "&' "' '.% '.% "'1 "' "%1 '.0# '.1 "'1 "' aleau V-2 : Les sollicitations (>"=! 3. Ferraillage des "outrelles : "1# '.12 '.2$ "%1 "&'   '.#& "$% "% .0% - en travée : .& > max - "$%. ' # (>U.m! >t-b* .   bu (d* /#!  b- "0%m "* - "&m " *- "#m d- " 1 * - "'2m   bu- '&"'$>)a >t- "0% . "& .'&"'$ ("'2"# !- %"1 .' #(>U.m! .'# >max O >t donc on est ramené à l’étude d’une section rectangulaire. 3- (b.*!- 0% .# cmM. >7 =ravée α B " (cm! "'$2 µ (=.>! " %$.#% σσ (>)! &2 A3.ADC A3 A3 >GU 5CGh )= (cm#! (cm#! (cm#! '"# '"&' 3!1+ #"0 aleau V-3 : Nerraillage en travée. -Sur a""uis : >max - '"'.' # >U.m >t- "0%." & .'&" '$ ("'2"#! - %"1.' # >U.m >max O >t ⇒ on ait le calcul pour la mJme section rectangulaire (0%.#cmM!. Amin P .#"o d#  t #2   #  e >7  -'"&' cmM µ α (=.>! Appui  ENTP '.' "& "%0 B σσ A3 A3 >GU (cm! (>)! (cm#! (cm#! "'$ &2 #"' '"&' %0 5CGh A3.ADC)= (cm#! 3!1+ #.0 Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires aleau V-3 : Nerraillage sur appuis . . !rature transversale : Nissuration peu nuisible : τu- ;u / bd avec b-'#cm" d- '2 cm" ;u- '12g ⇒ τu-'12 / '# × '2 - .1'0 >pa - min (.' c #2 " &>a! - min(.'.#% " &! ⇒ - .#%>pa τu < (condition vériiée !. τ   τ   τ   )our l’espacement ainsi que la section d’acier on a : At / (b 3t! ≥  (τu. ti!/ (.2 e (cos α8sinα!! )uisque on a des armatures droites ⇒ α -1 ⇒ (cos α 8sinα!- ' !vec re"rise de étonnage   + A t/ b 3t ≥ τu / .2 e on c*oisit : A t - #φ 0 -.%$cmM et on calcule 3 t. Net#& - #%>ba. τu- .1'0 >)a 3t ≤ .2 .A  t Ne/ (τu.b! -.2×#%×.%$×'&/.1'0 × .'#-.1$ m ⇒ 3t ≤ 1.$cm Cn a aussi" 3 t ≤ min (.1d "&cm!- .'0#m soit 3 t - '% cm 5. Vérification de la condition de non fragilité : As ≥ (.# .b  d. t#2!/Ne  En travée : (.#×.'#×.'2×#.'!/& - .#0 < As - #.0cmM (5ondition vériiée!. - Sur a""ui : As- .#0cmM <  #.0 cmM (condition vériiée!. 8. 9nfluence de l$effort tranchant au voisinage des a""uis : 'appuis de rive : L’eort tranc*ant doit vériier la condition suivante : ;u < V   ;u- '12 Qg - .'12>U V   - .#0$ ×.1.d × b×  c #2 - .#0$ × .1×.'2 × .'# ×#% - .'#1 >U ;u< V   (condition vériiée!. =. Contrainte de cisailleent au niveau de la 7onction @tale - nervure, : τ  u  - .#% >pa. τu - ;u(bb!/'.2× d .b.* - '.12×'#×(.0%.'#! / '.2 ×.0%×.'2×.& - '.#& >pa < .#%>pa u O τ  u (condition vériiée ! . u u u  ENTP %$ Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires >. Vérification de la fl/che :  - >max .LM / 1.0.6.G Avec : G- (b.*  / '#! 8b.*. δM (=*éorème deuygenes!. 5alcul du moment d’inertie de la section totale : G- (b* / '#! 8 (b* ! × (,',!M8 (b* /'#! 8 (*b !× (,#,! # G- (.0%×.&!/'#8 (.0%×.&×.1M! 8 (.'# × .'0 /'#!8(.'# ×.'0×.00M! G- '.0$0 × '& m& 6- ''010.$ >pa > max - q LM / 2 - (.1'1 ×.%M! / 2- '.& t.m > max - '& U.m 5alcul de la lèc*e :  - '&×.%M / 1.0 ×''010.$×'.0$0.' &- .#×'% m  j- L/% - .%/% - .$ m.  - .#×'% O  j- .1& m. (5ondition vériiée!. '. Ferraillage de la dalle de co"ression : La dalle de compression sera erraillée suivant les deux sens ain d’éviter les issurations" Le erraillage est en treilles soudée (ZA6L 1' Z.0.2.&!. Les conditions suivantes doivent Jtres respectées :  ésister aux eorts des c*arges appliquées sur des suraces réduites.  Les dimensions des mailles sont normalisées (A=.Z02. ZA6L1'! comme suit :  # cm pour les armatures perpendiculaires aux nervures.   cm pour les armatures parallèles aux nervures. 3oit : A : La section des armatures perpendiculaires aux nervures. (A en : cmM pour mètre de nervures!.  3i : L (kcartement entre axe des nervures! ≤ % cm ⇒ A > #/ e. 3i : % ≤ L ≤ 2 ⇒ A - &.L /  e. (Avec L en cm!. Les armatures parallèles aux nervures" autres que les armatures supérieurs des poutrelles" doivent avoir une section par mètre linéaire au moins égale à (A /#!. Dans notre cas" on a une dalle de compression de &cm d’épaisseur. 3oit :  L : 6cartement entre nervures - 0% cm.   e - %# bars pour les treillis soudés de 0. & ' & F "0% D’ou : A per  -   #   - %# - .% cmM/ml )our la section des armatures parallèles aux nervures on prend : e  ENTP %2 Promotion 2006  Chapitre V : Calcul des éléments secondaires A por - A per / # - .#% cm. Figure V-11 : Disposition des armatures dans la poutrelle (appuis et travée!  !12 2G8 3!1+  ENTP %1 Promotion 2006