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AppliedNumericalMethods.MATLAB.forEngineers.Chapra.pdf Un tanque de almacenamiento (Fig. P1.9) contiene un líquido a profundidad y donde y = 0 cuando el tanque está medio lleno . El líquido es retirado a un caudal [Q] constante para satisfacer la demanda . Los contenidos son reabastecido a tasa sinusoidal de [3Q.sen 2 (t)]. La ecuación (1.14) se puede escribir para este sistema como : Pag. 21 o, ya que el área de la superficie A es constante : Utilice el método de Euler para resolver por la profundidad y de t = 0 a 10 d con un tamaño de paso de 0,5 d. Los valores de los parámetros son A = 1.250 m 2 y Q = 450 m 3 /d. Supongamos que la condición inicial es y = 0. Change = increases − decreases (1.14) Chapra.Metodos.Numericos.Ingenieros.pdf Quinta edición. Steven C. Chapra. Raymond P. Canale 1.13. Un tanque de almacenamiento contiene un líquido con profundidad y , donde y = 0 cuando el tanque está lleno a la mitad . El líquido se extrae con una tasa de flujo constante Q a fin de satisfacer las demandas . Se suministra el contenido a una tasa senoidal de [3 Q sen2( t )]. Para este sistema, la ecuación (1.13) puede escribirse como : [Cambio = incremento – decremento] (1.13) O bien , como el área de la superficie A es constante : Emplee el método de Euler para resolver cuál sería la profundidad y , desde t = 0 hasta 10 d, con un tamaño de paso de 0.5 d. Los valores de los parámetros son A = 1200 m 2 y Q = 500 m 3 /d. Suponga que la condición inicial es y = 0. 1.14. Para el mismo tanque de almacenamiento que se describe en el problema 1.13, suponga que el flujo de salida no es constante sino que la tasa depende de la profundidad . Para este caso , la ecuación diferencial para la profundidad puede escribirse como : Use el método de Euler para resolver cuál sería la profundidad y , desde t = 0 hasta 10 d, con un tamaño de paso de 0.5 d. Los valores de los parámetros son A = 1200 m 2 , Q = 500 m 3 /d, y a = 300. Suponga que la condición inicial es y = 0. 1.16. La ley de Newton del enfriamiento establece que la temperatura de un cuerpo cambia con una tasa que es proporcional a la diferencia de su temperatura y la del medio que lo rodea (temperatura ambiente). Donde T = temperatura del cuerpo (°C), t = tiempo (min), k = constante de proporcionalidad (por minuto ), y Ta = temperatura del ambiente (°C). Suponga que una taza de café tiene srcinalmente una temperatura de 68°C. Emplee el método de Euler para calcular la temperatura desde t = 0 hasta 10 min, usando un tamaño de paso de 1 min, si Ta = 21°C y k = 0.017/min. ¿Cuáles son los métodos numéricos y por qué debería estudiarlos? Métodos numéricos son técnicas mediante las cuales los problemas matemáticos se formulan de manera que pueden ser resueltos con operaciones aritméticas y lógicas . Dado que los equipos digitales sobresalen en la realización de este tipo de operaciones , los métodos numéricos se refieren a veces como equipo matemáticas . En la era pre-equipo , el tiempo y la monotonía de la aplicación de tales cálculos limitan seriamente su uso práctico . Sin embargo , con el advenimiento de los ordenadores digitales, rápidos y económicos , el papel de los métodos numéricos en ingeniería y solución de problemas científicos se ha disparado . Debido a que la figura de manera prominente en la mayor parte de nuestro trabajo , creo que los métodos numéricos deben ser una parte de la educación básica y de científico de todos los ingenieros . Al igual que todos debemos tener una base sólida en las otras áreas de las matemáticas y de la ciencia , también debemos tener una comprensión fundamental de los métodos numéricos . En particular , debemos tener un sólido conocimiento tanto de sus capacidades y sus limitaciones . Más allá de contribuir a su formación integral, hay varias razones adicionales por las que debe estudiar los métodos numéricos : 1. Métodos numéricos en gran medida ampliar los tipos de problemas que puede enfrentar. Ellos son capaces de manejar grandes sistemas de ecuaciones, no linealidades, y geometrías complicadas que no son infrecuentes en la ingeniería y la ciencia y que a menudo son imposibles de resolver analíticamente con el cálculo estándar. Como tal, mejoran en gran medida sus habilidades para resolver problemas . 2. Métodos numéricos le permiten utilizar el software enlatado con perspicacia . Durante su carrera , usted siempre tendrá la oportunidad de utilizar los programas informáticos disponibles en el mercado en envases previos que implican métodos numéricos . El uso inteligente de estos programas es mucho mayor por una comprensión de la teoría básica que subyace en los métodos. A falta de esa comprensión, se le dejó para tratar este tipo de paquetes como cajas negras con poca visión crítica de su funcionamiento interno o la validez de los resultados que producen . 3. Muchos de los problemas no pueden ser abordados utilizando programas enlatados. Si usted está familiarizado con los métodos numéricos , y es experto en programación de computadoras , usted puede diseñar sus propios programas para resolver los problemas sin tener que comprar o comisión software caro . 4. Métodos numéricos son un vehículo eficaz para aprender a usar las computadoras . Debido a que los métodos numéricos están diseñados expresamente para la implementación informática , son ideales para ilustrar los poderes y limitaciones de la computadora . Cuando se implementa con éxito los métodos numéricos en un ordenador , y luego aplicarlos para resolver problemas intratables de lo contrario , se le proporcionará con una espectacular demostración de cómo las computadoras pueden servir a su desarrollo profesional . Al mismo tiempo , usted también aprenderá a reconocer y controlar los errores de aproximación que son parte integrante de los cálculos numéricos a gran escala . 5. Métodos numéricos proporcionan un vehículo para que pueda reforzar su comprensión de las matemáticas . Debido a que una de las funciones de los métodos numéricos es reducir las matemáticas superiores a las operaciones aritméticas básicas, que reciben a los tuercas y tornillos de algunos temas oscuros de lo contrario . Mejora la comprensión y conocimiento pueden ser el resultado de esta alternativa perspectiva . Con estas razones como la motivación , podemos ahora establecido para entender cómo los métodos numéricos y los ordenadores digitales trabajan en conjunto para generar soluciones confiables a los problemas matemáticos . El resto del libro está dedicado a esta tarea . Modelamiento Matemático, Métodos Numéricos, y Resolución de Problemas: OBJETIVOS DEL CAPÍTULO El objetivo principal de este capítulo es el de proporcionarle una idea concreta de lo que los métodos numéricos son y cómo se relacionan con la ingeniería y la resolución de problemas científicos . Objetivos específicos y temas tratados son los siguientes : 1. Aprender modelos matemáticos pueden formularse sobre la base de principios científicos para simular el comportamiento de un sistema físico simple . 2. La comprensión de cómo los métodos numéricos ofrecen un medio para generar soluciones de una manera que puede ser implementado en una computadora digital . 3. La comprensión de los diferentes tipos de leyes de conservación que se encuentran debajo de los modelos utilizados en las diversas disciplinas de la ingeniería y apreciar la diferencia entre las soluciones de estado estacionario y dinámico de estos modelos . 4. Aprender sobre los diferentes tipos de métodos numéricos que cubriremos en este libro . USTED TIENE UN PROBLEMA Supongamos que una empresa “ puenting ” te contrata . Que le den a la tarea de predecir la velocidad de un puente (Fig. 1.1) como una función del tiempo durante la parte de la caída libre del salto . Esta información será utilizada como parte de un análisis más amplio para determinar la longitud y requiere fuerza de la cuerda elástica para los puentes de diferente masa . Usted sabe de sus estudios de la física que la aceleración debe ser igual a la razón de la fuerza a la masa (la segunda ley de Newton). Con base en esta visión y su conocimiento de la física y la mecánica de fluidos, se desarrolla el siguiente modelo matemático para la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo , (1.8) Donde v = velocidad vertical hacia abajo (m/s), t = tiempo (s), g = aceleración de la gravedad (~ = 9,81 m/s 2 ), cd = un coeficiente aerodinámico agrupado (kg/m), y m = masa del saltador (kg). El coeficiente de resistencia se llama lumped porque su magnitud depende de factores tales como el puente? debido a que su magnitud depende de factores como la zona del puente y de la densidad del fluido (véase la Sección. 1.4). Debido a que esta es una ecuación diferencial, ya sabes que el cálculo podría ser utilizado para obtener una solución analítica o exacta para v como una función de t. Sin embargo , en las páginas siguientes , vamos a ilustrar un enfoque solución alternativa . Esto implicará el desarrollo de una solución numérica o aproximada orientado ordenador . Además de que le muestra cómo el ordenador puede ser utilizado para resolver este problema en particular , nuestro objetivo más general será la de ilustrar (a) ¿ Qué métodos numéricos son y (b) la forma en que figuran en la ingeniería y la resolución de problemas científicos . Al hacerlo , también vamos a mostrar cómo los modelos matemáticos ocupan un lugar destacado en la forma en que los ingenieros y los científicos utilizan métodos numéricos en su trabajo . Debido a su forma algebraica simple , la solución de la ecuación . (1,2) se obtuvo con facilidad . Sin embargo , otros modelos matemáticos de fenómenos físicos pueden ser mucho más compleja , y , o bien no se pueden resolver con exactitud o requieren técnicas matemáticas más sofisticadas que el álgebra sencilla para su solución . Para ilustrar un modelo más complejo de este tipo , la segunda ley de Newton se puede utilizar para determinar la velocidad terminal de un cuerpo en caída libre cerca de la superficie de la tierra . Nuestro cuerpo en caída será un bungee jumper ( Fig. 1.1 ). Para este caso , un modelo se puede derivar mediante la expresión de la aceleración como la tasa de tiempo de cambio de la velocidad (dv/dt) y sustituyendo en la ecuación (1,3) para producir : Donde v es la velocidad (en metros por segundo ). Por lo tanto , la tasa de cambio de la velocidad es igual a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo normalizado a su masa . Si la fuerza neta es positiva, el objeto se acelerará . Si es negativo, el objeto se desacelere . Si la fuerza neta es cero , la velocidad del objeto se mantendrá en un nivel constante . A continuación , vamos a expresar la fuerza neta en términos de variables medibles y parámetros . Para un cuerpo que cae dentro de la vecindad de la Tierra , la fuerza neta que se compone de dos fuerzas opuestas: el tirón hacia abajo de la gravedad F D y la fuerza ascendente de la resistencia del aire F U (Fig. 1.1): Si la fuerza en la dirección hacia abajo se asigna un signo positivo, la segunda ley se puede utilizar para formular la fuerza debida a la gravedad como : F D = m.g (1.6) Donde g es la aceleración de la gravedad (9,81 m/s2). La resistencia del aire se puede formular en una variedad de maneras . El conocimiento de la ciencia de la mecánica de fluidos sugiere que una buena primera aproximación sería asumir que es proporcional al cuadrado de la velocidad , F U = − c d .v 2 (1.7) Donde C D es una constante de proporcionalidad llamado el coeficiente de arrastre agrupado (kg/m). Por lo tanto , cuanto mayor es la velocidad de caída , mayor será la fuerza hacia arriba debido a la resistencia del aire . El parámetro c d representa propiedades del objeto que cae , como la forma o la rugosidad de la superficie , que afectan a la resistencia del aire . Para el presente caso , el C D podría ser una función del tipo de ropa o la orientación utilizada por el puente durante la caída libre . La fuerza neta es la diferencia entre la fuerza hacia abajo y hacia arriba. Por lo tanto, las ecuaciones . (1.4) a (1.7) se pueden combinar para producir : La ecuación (1.8) es un modelo que relaciona la aceleración de un objeto que cae a las fuerzas que actúan sobre él. Se trata de una ecuación diferencial, ya que está escrito en términos de la tasa diferencial de cambio (dv/dt) de la variable que estamos interesados en la predicción . Sin embargo , en contraste con la solución de la segunda ley de Newton en la ecuación (1.3), la solución exacta de la ecuación (1.8) para la velocidad del puente no se puede conseguir usando una simple manipulación algebraica. Más bien , las técnicas más avanzadas tales como las de cálculo deben aplicarse para obtener una solución exacta o analítica . Por ejemplo, si el puente está inicialmente en reposo ( v = 0 en t = 0 ), el cálculo se puede utilizar para resolver la ecuación. (1.8) para : Donde tanh es la tangente hiperbólica, que puedan ser calculada directamente 1 o a través de la función exponencial más elemental como en : Tenga en cuenta que la ecuación (1.9) se cuela en la forma general de la ecuación (1.1) donde v(t) es la variable dependiente , t es la variable independiente , c d y m son parámetros , y g es la función de fuerza . Solución analítica para el Bungee Jumper Problema: Planteamiento del problema. Un puente del amortiguador auxiliar con una masa de 68,1 kg salta desde un globo de aire caliente estacionario . Utilice la ecuación (1.9) para calcular la velocidad durante los primeros 12 s de caída libre. Además de determinar la velocidad máxima que se alcanza para un cordón de longitud infinita ( o, alternativamente, el jefe de salto está teniendo un día particularmente malo !). Utilice un coeficiente aerodinámico de 0,25 kg / m. Solución. Inserción de los parámetros en la ecuación. (1.9) se obtiene:
