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Temario ➢
Pasos para para resolver resolver con Solver
➢ Qué
contiene un Problema de Programación Progr amación Lineal
➢ Ejemplo. ➢ Aplicaciones
Logro
Qué contiene un problema de PL Un problema de programación lineal consta de una función objetivo lineal por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades lineales. Variable Función
Objetivo Restricciones Grafico Tabla Respuesta
Pasos para resolver con Solver 1.
En la ficha Datos haz clic en solver.
2.
En el cuadro Establecer objetivo o un nombre para la celda objetivo, esta celda debe contener una fórmula. Si
desea que el valor de la celda objetivo sea el valor máximo posible, haga clic en Máx. Si desea que el valor de la celda objetivo sea el valor mínimo posible, haga clic en Mín. Si desea que la celda objetivo tenga un valor determinado, haga clic en Valor de y luego escriba el valor en el cuadro
Pasos para resolver con Solver
3.
En el cuadro Cambiando las celdas de variables, escriba un nombre o una referencia para cada rango de celda de variable de decisión. Separe con comas las referencias no adyacentes. Las celdas de variables deben estar directa o indirectamente relacionadas con la celda objetivo. Se puede especificar un máximo de 200 celdas de variables.
Pasos para resolver con Solver
4.
En el cuadro Sujeto a las restricciones, realice lo siguiente para especificar todas las restricciones que desee aplicar. el cuadro de diálogo Parámetros de Solver, haga clic en Agregar. En el cuadro Referencia de la celda, escriba la referencia de celda o el nombre del rango de celdas para los que desea restringir el valor. Haga clic en la relación (<=, =, >=, int, bin o dif ) que desea establecer entre la celda a la cual se hace referencia y la restricción. En
Pasos para resolver con Solver
5.
Haga clic en Resolver y procedimientos siguientes:
siga
uno
de
los
Para mantener los valores de la solución en la hoja de cálculo, en el cuadro de diálogo Resultados de Solver, haga clic en Conservar solución de Solver. Para restaurar los valores originales tal como estaban antes de hacer clic en Resolver, haga clic en Restaurar valores originales.
Ejemplo El granjero López tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados en la tabla siguiente:
¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? ¿Cuál es ésta utilidad máxima?
Variables:
= hectáreas de maíz y = hectáreas de trigo x
Función Objetivo:
Z máx = 40 x + 30 y
Restricciones:
2 x + y ≤ 800 x + y ≤ 480 x , y ≥ 0
y
Punto
(0; 480)
(320; 160)
(400; 0)
Z máx= 40x + 30y
(0; 480)
14 400
(320; 160)
17 600
(400; 0)
16 000
Respuesta: a) Debe plantar 320 hectáreas de maíz y 160 hectáreas de trigo. b) Su utilidad es de $17 600.
Ahora resolveremos usando SOLVER de Excel, de la misma manera necesitamos los siguientes datos:
Variables:
= hectáreas de maíz y = hectáreas de trigo x
Función Objetivo:
Z máx = 40 x + 30 y
Restricciones:
2 x + y ≤ 800 x + y ≤ 480 x , y ≥ 0
Ejercicio 1: Un granjero va a comprar fertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos: A, B y C. Las necesidades mínimas son 160 unidades de A; 200 de B y 80 de C. En el mercado existen 2 marcas populares de fertilizantes, el llamado “Crecimiento rápido” que cuesta S/. 4.00 el costal y contiene 3 unidades de A, 5 de B y 1 de C. El llamado “Crecimiento normal” que cuesta S/. 3.00 el costal y contiene 2 unidades de cada ingrediente. Si el granjero desea minimizar el costo al tiempo que mantiene el mínimo de los ingredientes nutritivos que se requieren. a) ¿Cuántos costales de cada marca debe comprar? b) ¿Cuál es el costo mínimo?
Ejercicio 2: La Distribuidora “OSITOS S.A:”, es una empresa que opera a nivel nacional produciendo dos productos: Casacas y Pantalones. El departamento de contabilidad de la empresa calcula la utilidad en S/. 35 por casaca y en S/. 42 por pantalón. Cada producto pasa por 3 etapas en la fábrica. Los requerimientos de tiempo para cada producto y el total del tiempo disponible para cada etapa se muestran en el siguiente cuadro: Etapa/Tiempo Corte y Armado Confeccion Teñido Utilidad
Casacas 2 3 1 S/. 35.00
Pantalones 3 2 1 S/. 42.00
Horas Disponibles (Por mes) 1500 1500 600
Para maximizar la ganancia ¿cuantas casacas y pantalones debe producir?
Ejercicio 3: La empresa SOKAYA S.A. dispone de 140 m2 de madera y 300 horas/hombre para fabricar puertas Tipo A (simples) y Tipo B (apaneladas). El tipo A requiere 2.0 m2 de madera y 4 horas/hombre para su fabricación, mientras que el tipo B necesita 2.5 m2 de madera y 6 horas/hombre. Los precios de venta de los tipos A y B son de US$380.00 y US$480.00 respectivamente. Debido a que está asegurada la venta de todo lo que se fabrica, se requiere conocer el Plan Óptimo de Producción: a) ¿Cuántas puertas de cada tipo se debe fabricar para alcanzar el nivel máximo de Ingreso por Ventas? b) ¿Cuál es el Ingreso máximo?
Ejercicio 4: Una ensambladora de vehículos es capaz de ensamblar hasta 8.000 vehículos al mes de dos modelos diferentes: Sedan y Station Wagon. Los gastos de producción de cada vehículo del modelo Sedan asciende a S/. 9,000 y los del modelo Station Wagon a. S/. 6,600. Los gastos totales de producción al mes no han de superar los 60 millones de soles. La ganancia neta es de S/. 2,100 por cada modelo Sedan y de S/. 1,500 por cada modelo Station Wagon. El número de vehículos a ensamblar no debe ser menor a 2,500 unidades para cada modelo. a) ¿Qué cantidad de cada modelo debe realizar para obtener una ganancia sea máxima? b) ¿Cuál es la ganancia máxima que se obtiene?
Ejercicio 5: En el Resort “Peruvian Sunset” se van a construir bungalows de lujo de dos tipos: A y B. La empresa constructora sólo dispone de 30 millones de soles, siendo los costos de los bungalows A y B de S/ 175.000 y S/ 105.000 respectivamente. Además el número de bungalows A han de ser el 40 % por lo menos del total, y los bungalows B el 20% por lo menos del total. Si la utilidad es de S/. 150.000 para cada bungalow A y S/. 100.000 para cada bungalow B: a) ¿Cuántos bungalows deben construirse de cada tipo para obtener la mayor utilidad? b) ¿Cuál es la máxima utilidad obtenida?
Ejercicio 6: La empresa “Brocha Roja” es una empresa de servicios de pintura que dispone de 280 galones de pintura y 800 horas/hombre para pintar un conjunto habitacional compuesto por casas y departamentos. Una casa requiere de 15 galones y 20 horas/hombre para pintarla totalmente, mientras que un departamento requiere de 10 galones y 14 horas/hombre. El costo por pintar una casa y un departamento es de 900 soles y 600 soles respectivamente. a) ¿Cuántas casas y departamentos se podrán pintar para maximizar el empleo de pintura y las horas/hombre? b) ¿Cuál es el costo máximo por realizar todo el pintado?
Ejercicio 7: Una fábrica de muebles produce dos tipos de productos: Muebles de Cuero de 2 Cuerpos y Muebles de Cuero de 3 Cuerpos, que vende a 12,000 y 15,000 soles respectivamente. Para su fabricación invierte el 10% del precio de los productos en mano de obra respectivamente, y en materiales la suma de 4,200 y 4,400 para cada caso. Si se sabe que los topes que se tienen para invertir este año son de 360,000 para mano de obra y 52,000 para materiales. Además paga como impuestos el 4,5% y el 5% respectivamente del nivel de ingresos con un tope de 58,000. a) ¿Cuál será la cantidad de cada producto que se deben fabricar para maximizar la ganancia? b) ¿Cuál es la máxima ganancia?
Ejercicio 8: En un laboratorio existen dos contadores de bacterias disponibles. El contador C1 puede ser manipulado por un estudiante que gana 400 soles por hora. En promedio es capaz de contar 5 muestras en una hora. El contador C2 es más rápido, pero también más sofisticado. Solo una persona bien preparada pero que gana 1000 soles por hora puede manipularlo. Con la misma precisión que C1, el contador C2 permite contar 10 muestras en una hora. Al laboratorio se le dan 1000 muestras para que se cuenten en un periodo que no exceda las 80 horas. a) ¿Cuántas horas deben de usarse cada contador para realizar la tarea con un coste mínimo? b) ¿Cuál es dicho coste mínimo?
Problema 1
Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
Problema 2
Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga S/. 5.00 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga S/. 7.00 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?
Problema 3
Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? ?A cuánto ascenderá
Problema 4
Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.
Problema 5
Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yogures. Cada yogurt de limón necesita para su elaboración 0,5 gr. de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de ese producto para fermentación. El coste de producción de un yogurt de fresa es doble que el de un yogurt de limón. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo?
Problema 6
Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a 250 Bs. el litro de aceite C y a 125 Bs. el litro de aceite D siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros o más, y 2) La cantidad comprada de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si disponemos de un máximo de 3.125 Bolívares, se pide: Representa gráficamente los modos de acogerse a la oferta. Acogiéndonos a la oferta, ¿Cuál el la mínima cantidad de aceite D que podemos comprar? ¿Cuál es la máxima de C?
Problema 7
Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto de un 30% de p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones: La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos. ¿Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p? ¿Qué mezcla hace q mínimo?
Problema 8
Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondigón con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 80$ por libra; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta 60$ por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondigón, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%?
Problema 9
La Refinería Azteca produce dos tipos de gasolina sin plomo, regular y extra los cuales vende a su cadena de estaciones de servicio en $12 y $14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de la Azteca de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado, y deben cumplir con las siguientes especificaciones: Presión máxima de vapor
Octanaje mínimo
Demanda máxima barriles/semana
Entregas j mínimas barriles/semana
Regular
23
88
100000
50000
Extra
23
93
20000
5000
Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes: Presión de vapor
Octanaje
Inventario barriles
Costo $ barril
Nacional
23
87
40000
8
Importado
15
98
60000
15
¿Qué cantidades de los dos petróleos (nacional e importado) deberá mezclar la Azteca en ambas gasolinas, a fin de maximizar la ganancia semanal?
Problema 10 Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo:
Niacina Tiamina Vitamina C
Leche (lt) 3,2 1,12 32
Costo
2
Legumbre Naranjas Requerimientos (1 porción) (unidad) Nutricionales 4,9 0,8 13 1,3 0,19 15 0 93 45 0,2
0,25
