Cobb Doglas

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“ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN COBB -DOUGLAS 1 APLICACIÓN EN EL SECTOR PRODUCTIVO MEXICANO” M EXICANO” . Y SU Herlay Olva Maldonado 2 José Artemio Cadena Meneses 3 RESUMEN La función función de producción de Cobb-Douglas, es una una función muy empleada en el análisis económico, para representar la relación que existe entre el producto obtenido y la combinación de los factores o insumos que se utilizan en su obtención. El presente trabajo realiza un análisis del modelo econométrico de la función de producción de Cobb-Douglas y su aplicación aplicación al sector productivo productivo mexicano. mexicano. La función de producción de Cobb-Douglas es no lineal en los parámetros y a través de la transformación logarítmica se hace lineal. Para estimar los parámetros se usa el método de regresión lineal; para ello se usaron el programa estadístico R (versión (versión 2.6.2 (2008)), y XLSTAT (Versión 2008.7.01). En la estimación del modelo econométrico, se utilizaron series históricas de los años de 1980 a 2007, empleando las las variables: producción agropecuaria, como como el producto final obtenido, el PIB agropecuario como factor capital y al personal ocupado remunerado en ese sector como el factor mano de obra. Realizada la aplicación, los resultados derivados para el sector agropecuario, desde 1980 a 2007, ha exhibido notables cambios en su producción; se obtuvieron rendimientos crecientes a escala para este periodo en estudio, lo cual es de suma importancia, debido a la gran trascendencia que este sector significa para la economía a nivel nacional. 1 Resumen de la tesis profesional presentada por el autor para obtener el titulo de Licenciado en Estadística. Estadística. Autor de la tesis. 3 Director de la tesis. 2 I Palabras clave: Rendimientos crecientes a escala, Lineal, Parámetros, Factor capital, Factor mano de obra, Producto final. II SUMMARY The Cobb-Douglas production function is a widely used function in the economic analysis to represent the relationship between the obtained product and the combination of factors or  inputs which are used to obtain it. This study carries out an analysis of the econometric model of the Cobb-Douglas production function and its application for the Mexican  productive sector. The Cobb-Douglas production function is non-linear in the parameters and became linear  through the logarithmic transformation. To estimate the parameters, linear regression method have been used, for that the R statistical program (version 2.6.2 (2008)) and XLSTAT software (Version 2008.7.01) were used. In the estimation of the econometric model, historical series of the years 1980 to 2007 were used, utilizing the variables: agriculture/livestock production, as the final obtained product, the agriculture/livestock GDP as a capital factor and the remunerated personnel occupied in that sector as the labor factor. Once the application was done, the derived results for the agriculture/livestock sector, from 1980 to 2007, has exhibited remarkable changes; For this period under study yields at increasing scale were obtained, which is of great importance because of great transcendence this sector means for national level economy. Key words: Increasing returns to scale, Linear, Parameters, Capital factor, Labor factor, Final product. III ÍNDICE GENERAL RESUMEN I SUMMARY III ÍNDICE GENERAL IV ÍNDICE DE CUADROS VI ÍNDICE DE FIGURAS VI 1. INTRODUCCIÓN 1 2. OBJETIVOS 3 2.1 OBJETIVO GENERAL 3 2.1.1 OBJETIVOS PARTICULARES 3 4 3. REVISIÓN DE LITERATURA 3.1 ESTUDIOS REALIZADOS SOBRE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE COBB-DOUGLAS 3.2 4 REVISIÓN DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE COBB-DOUGLAS 5 3.2.1 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE COBB-DOUGLAS 9 3.2.1.1 PRODUCTO MEDIO DEL FACTOR PRODUCTIVO 9 3.2.1.2 PRODUCTO MARGINAL DEL FACTOR VARIABLE 11 3.2.1.3 GRADO DE HOMOGENEIDAD DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN 3.3 3.4 14 3.2.1.4 RENDIMIENTOS A ESCALA 15 3.2.1.5 TEOREMA DE EULER O DE LA ADICIÓN 17 REGRESIÓN LINEAL 18 3.3.1 SUPUESTOS DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL 19 ESTIMACIÓN EMPÍRICA DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE COBB-DOUGLAS Y PROBLEMAS DERIVADOS DE LA IV APLICACIÓN DEL MÉTODO DE REGRESIÓN LINEAL 19 3.4.1 LINEALIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE COBB-DOUGLAS 20 3.4.1.1 CUANDO LA FUNCIÓN ES RESTRINGIDA A LINEAL HOMOGÉNEA 20 3.4.1.2 CUANDO LA FUNCIÓN NO ESTÁ RESTRINGIDA 3.5 4 A LINEAL HOMOGÉNEA 21 CARACTERÍSTICAS DE LOS ERRORES 22 METODOLOGÍA 25 4.1 INFO INFORM RMAC ACII N UTIL UTILIZ IZAD ADA A 25 4.1.1 PRODUCTO INTERNO BRUTO (PIB) 25 4.1.1.1 MÉTODOS PARA CALCULAR EL PIB 26 4.1.1.2 PIB MEXICANO 28 4.1.1.3 PIB AGROPECUARIO 30 4.1.2 PRODUCCIÓN AGROPECUARIA 33 4.1.3 PERSONAL OCUPADO EN EL SECTOR AGROPECUARIO AGROPECUARIO 36 4.2 ESPECIFICACIÓN DEL MODELO 38 4.3 ESTIMACIÓN DEL MODELO 40 LISIS S DE RESU RESULT LTAD ADOS OS 5. AN LISI 5.1 43 INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 48 49 6.1 CONCLUSIÓN 49 6.2 RECOMENDACIONES 50 7. BIBLIOGRAFÍA 51 8. ANEXOS 57 8.1 ANEXO 1. CUADROS DE RESULTADOS V 57 8.2 ANEXO 2. GRÁFICAS DE RESULTADOS 8.3 ANEXO 3. LISTADO DEL PROGRAMA R PARA UNA FUNCIÓN DE 58 PRODUCCIÓN COBB-DOUGLAS AJUSTADA AL SECTOR  PRODUCTIVO MEXICANO (TOMADOS DEL CUADRO 5) 61 ÍNDICE DE CUADROS1 CUADRO 1. PIB TOTAL Y POR SECTORES DE ACTIVIDAD ECONÓMICA, MÉXICO 980-2007 (MILLONES DE PESOS A PRECIOS DE 1993) 29 CUADRO 2. PRODUCCIÓN TOTAL AGROPECUARIA EN TONELADAS. MÉXICO 1980-2007 35 CUADRO 3. PERSONAL OCUPADO REMUNERADO EN EL SECTOR AGROPECUARIO, MÉXICO 1980-2007 (PROMEDIO ANUAL) 36 CUADRO 4. PRODUCCIÓN AGROPECUARIA, PIB AGROPECUARIO Y PERSONAL OCUPADO REMUNERADO, EN EL SECTOR PRODUCTIVO MEXICANO 39 CUADRO 5: LOGARITMO APLICADO A LAS VARIABLES 41 ÍNDICE DE FIGURAS 1 FIGURA 1. PIB PROMEDIO P ROMEDIO POR GRAN DIVISIÓN DE ACTIVIDAD ECONÓMICA, MÉXICO 1980-2007 30 FIGURA 2. PIB TOTAL VS PIB AGROPECUARIO EN MILLONES DE PESOS A PRECIOS DE 1993, MÉXICO 1980-2007 . 31 FIGURA 3. PIB POR ACTIVIDAD ECONÓMICA (MILLONES DE PESOS A PRECIOS DE 1993), MÉXICO 1980-2007 31 FIGURA 4. MÉXICO: PARTICIPACIÓN DEL PIB AGROPECUARIO EN EL PIB TOTAL, 1980-2007 (PORCENTAJE) 33 FIGURA 5. PERSONAL OCUPADO REMUNERADO EN EL SECTOR  SE CTOR  AGROPECUARIO, MÉXICO 1980-2007 (PROMEDIO ANUAL) VI 37 1. INTRODUCCIÓN Existen muchos factores que influyen de una u otra manera en la actividad productiva de una empresa, región o país, de manera tal, que algunas veces es necesario determinar cómo estos factores se relacionan para desenvolver alguna actividad específica. Sin embargo, existen conceptos económicos y estadísticos que se conjugan para explicar la relación que existe entre un producto obtenido y la combinación de los factores a través de una expresión matemática, tal es el caso de las funciones de producción. Entre las funciones más comunes tenemos a: La Función de Producción de Proporciones Fijas, representada como , la Función de Producción de Elasticidad de Sustitución Constante y la Función de Producción de Cobb-Douglas (García, 2004). La función de producción de Cobb-Douglas es quizá la función de producción más utilizada en economía, basada su popularidad en el cumplimiento de las propiedades  básicas que los economistas eco nomistas consideran co nsideran deseables. Es la función de producción neoclásica  por excelencia (Sanchoa, 2005). 2005) . El objetivo de este trabajo es hacer un análisis de la función de producción de CobbDouglas, y exponer la aplicación de esta función con datos provenientes del sector   productivo mexicano. La función de producción de Cobb-Douglas es no lineal en los parámetros y a través de una transformación logarítmica, se vuelve lineal. Por medio de regresión lineal es analizada e interpretada para concretar los resultados obtenidos. 1 Los resultados presentan la situación de cada uno de los factores empleados en este análisis  para la serie de datos anuales de 1980 a 2007 y concluir la posición económica eco nómica del país para el sector productivo. 2 2. OBJETIVOS 2.1 OBJETIVO GENERAL  Analizar el modelo econométrico de la función de producción de Cobb-Douglas desde un enfoque estadístico económico y aplicarlo a un conjunto de datos del sector productivo mexicano y realizar un análisis de los resultados obtenidos. 2.1.1 OBJETIVOS PARTICULARES  Contribuir con los los conocimientos estadísticos estadísticos para indagar la función de  producción.  Demostrar cómo este modelo es útil en los cálculos de la econometría al considerar una función de producción.  Analizar si la situación productiva del sector productivo para México fue afectada por los factores en la situación económica, y más concretamente, sobre la productividad, usando la función de Cobb-Douglas. 3 3. REVISIÓN DE LITERATURA 3.1 ESTUDIOS REALIZADOS SOBRE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE COBB-DOUGLAS Se citaron distintos contenidos bibliográficos, con el fin de sustentar el trabajo realizado y llevar acabo el estudio del tema. A continuación, se mencionan algunos trabajos que tienen relación con el tema que se está desarrollando. Anido et al . (1996), presentan un análisis empírico de la producción de maíz en el estado Barinas, Venezuela, empleando la función econométrica de Cobb-Douglas. Bichara (1990), presenta información y aspectos relevante en cuanto a la utilización de esta función de producción. Castellanos (2004), realiza un estudio de la región confidencial para la obtención del óptimo económico de una función de producción de Cobb-Douglas bivariada, empleando la técnica de Wald descrita en Gallant (1987). Gujarati (2004), hace uso del modelo y realiza la estimación de los parámetros con información referente a la producción de Taiwán. Representando sus resultados a través del  paquete estadístico SAS (2004). Mankiw (2004), hace referencia sobre algunas propiedades de la función de producción. Romo (1990), emplea a la función de producción de Cobb-Douglas en el estudio sobre la asignación optima de los recursos en los viveros forestales del estado de México. 4 3.2 REVISIÓN DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE COBB-DOUGLAS Las funciones de producción establecen, básicamente, relaciones entre combinaciones de ciertos insumos relevantes con producción generada por éstos (Bichara, 1990). Existen tres clases de métodos para encontrar el tipo de relación existente entre las variables utilizadas en la función de producción. 1) Método de series de tiempo. 2) Corte transversal o datos atemporales. 3) Por experimentación controlada. El primer método está basado en un análisis estadístico de datos en el tiempo, para varios insumos utilizados, y la producción generada en cada una de las observaciones del periodo de tiempo bajo estudio. El segundo método mencionado es un análisis estadístico que relaciona las variables tomando observaciones en un momento definido del tiempo. El último método puede ser utilizado para observaciones temporales o atemporales, con la diferencia de que la información se obtiene mediante experimentos sujetos a control. Por lo mismo, el método de experimentación controlada es el único en el cual se cumple el supuesto de modelo de regresión lineal que considera a variables independientes como no estocásticas. De manera general, la función de producción es un modelo que se utiliza para analizar la relación entre los insumos empleados en un proceso productivo y el producto final, además describe la tasa a la cual los recursos son transformados en un producto. Simbólicamente  puede ser escrita de la siguiente manera (Romo, ( Romo, 1990): 5 Donde: : Es el producto. : Los diferentes insumos considerados. Con . Se supone además, que la función es continua y univoca, cuya primera y segunda derivadas existen y también son continuas. Una forma específica de la relación producto-insumos se puede establecer de la siguiente manera (Bichara, 1990): (1) Donde: : Es el producto. : Los diferentes insumos considerados. Con . : Es un valor que viene determinado parcialmente por las unidades de medida de las var iables consideradas ( y parcialmente por la eficiencia del proceso de  producción. : Son los parámetros que representan el cambio porcentual en la producción al variar en uno porciento la cantidad del insumo correspondiente empleado. Con . Trabajos desarrollados por investigadores han demostrado que, tomando únicamente un grupo reducido de insumos, éstos definen el valor del producto con un alto grado de exactitud. 6 Suponiendo el caso de dos factores, este tipo tipo de función función quedaría establecida de forma algebraica de la siguiente manera: (2) Conocida como la función de producción de Cobb Douglas. Donde: : Es el producto generado. : Es el capital invertido. : El trabajo empleado, y y expresan los mismos coeficientes dados por la función en (1). Con . Generalizando la fórmula anterior y cambiando las variables, matemáticamente, la función de producción de Cobb-Douglas tiene la siguiente forma (Castellanos, 2004): (3) Donde es un vector de dimensión dimensión que denota la cantidad de producto obtenido, ) un vector de n insumos y un vector de n  parámetros desconocidos. Así puede verse que si en la expresión anterior, a una variación  proporcional en las cantidades ca ntidades de insumo, el producto varia en e n la misma proporción. pr oporción. Una función de este tipo se dice que es homogénea de grado 1. Si ocurre que , a un incremento proporcional a todos los insumos, insumos, el producto aumenta pero en menor proporción que éstos. Finalmente, cuando 7 , a un incremento incremento proporcional en los los insumos, el producto aumenta en mayor proporción. Para la función función de producción producción anterior, anterior, el producto ( ) usualmente usualmente es el producto producto total medido como valor agregado por año, aunque también puede medirse como cantidad física de producción por año; en tanto que los insumos ) comúnmente son medidos como cantidades disponibles o usadas en el proceso de producción (Velazco, 1988). Los insumos que generalmente se consideran en una función de producción de CobbDouglas, son el capital y el trabajo, principalmente; aunque también pueden considerarse tierra, materias primas y combustible entre otros. De los insumos mencionados, la medición del capital presenta problemas, en virtud de que, los los datos generalmente no se encuentran disponibles o son de dudosa confiabilidad; por lo que se recomienda evitar el uso de una medida explicita del abasto de capital. Transformando el modelo de Cobb-Douglas, dado por la ecuación (3), a un modelo econométrico para su estimación, en donde es de suma importancia la forma, de cómo se especifica el error (Castellanos, 2004). El error puede ser multiplicativo: (4) Donde la la es la la base de los los logaritmos naturales, entonces entonces la la función, función, es estimada, por  regresión lineal múltiple, después de tomar logaritmos en ambos lados de la ecuación (4). También el error puede ser aditivo: (5) 8 En tal caso, la función es estimada por mínimos cuadrados no lineales. Tanto para los errores dados en (4) como en (5) se suponen: (6) Posteriormente se darán más detalles sobre las propiedades que tienen los errores. 3.2.1 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE COBBDOUGLAS 3.2.1.1 PRODUCTO MEDIO DEL FACTOR PRODUCTIVO El producto medio de un insumo se define como el cociente de la producción total dividida  por la cantidad del insumo (Romo, 1990); 1990) ; reduciendo la ecuación (3) a dos factores: El producto medio para cada uno, se representan por las siguientes expresiones (Bichara, 1990): Producto medio medio del factor (capital). 9 Producto medio medio del factor (trabajo). Restringiendo la función a lineal homogénea, lo cual implica que la suma de los exponentes es igual a la unidad, se tiene: Sustituyendo en los productos medios: La productividad media de un insumo nos indica el producto por unidad de este insumo (Romo, 1990). Se observa que cuando la función no es lineal homogénea, el producto medio está en función de las magnitudes absolutas de y a diferencia de cuando sí lo es, en el que  producto medio, está en función únicamente de la relación capital-trabajo capital-t rabajo (Bichara, 1990). 10 3.2.1.2 PRODUCTO MARGINAL DEL FACTOR VARIABLE El producto marginal de un insumo se define como la adición en el producto total atribuible a la adición de una unidad de insumo variable en el proceso productivo, cuando los demás insumos permanecen constantes (Romo, 1990). O bien se define como el cambio en el producto total al cambiar en una unidad el empleo de uno de los factores productivos manteniendo constante la cantidad utilizada del otro factor   productivo. Éste se representa por medio medio de la derivada de rivada parcial de d e la función con co n respecto respect o al factor productivo en cuestión (Bichara, 1990). Para el factor (capital) es: Por la ecuación (8), entonces se tiene: Y por la ecuación (10) 11 Para el factor (trabajo) es: Por la ecuación (9), se tiene: Y por la ecuación (10). Restringiendo las funciones de los factores y a lineal homogénea, tenemos que: Se dice que existen rendimientos marginales decrecientes cuando al agregar unidades adicionales de un insumo, manteniendo la cantidad de los demás insumos constantes, el  producto total aumenta pero cada vez en e n menor cantidad o, lo que es lo mismo, mismo, cuando el  producto marginal disminuye. Esto se da fundamentalmente cuando: 12 Cuando la función, sí está sujeta a la restricción de ser lineal homogénea el producto marginal estará en función únicamente de la relación capital-trabajo, independientemente de las magnitudes de capital y trabajo. Cuando , su producto medio tiende a cero. Como el producto marginal está en función del producto medio de acuerdo a la formulación anterior, éste tenderá también a cero cuando . El producto marginal por tanto, y basándose en la función de  producción de Cobb-Douglas, nunca será negativo. Para el producto marginal del factor Para el producto marginal del factor (Sala, 2000). . Esto implica que un aumento de la cantidad de capital eleva el Así mismo, un aumento de la cantidad de trabajo reduce el avance tecnológico que aumenta el parámetro factores proporcionalmente. 13 y reduce el y eleva el . . Un eleva el producto marginal de ambos 3.2.1.3 GRADO DE HOMOGENEIDAD DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN El grado de homogeneidad de una función, depende de la reacción que tenga el producto a cambios en la cantidad de insumos utilizados. Si al multiplicar cada uno de los insumos por  una constante de grado el valor de la producción es multiplicado por entonces la función será (Bichara, 1990). Partiendo de lo anterior definimos: definimos: es una función homogénea de grado si Entonces, dada la función de producción (7) de Cobb-Douglas: Multiplicando cada factor por una constante Donde y desarrollando, tenemos: es el grado de homogeneidad. Ahora bien para nuestra función (7), restringida a lineal homogénea de grado uno; es decir: Con 14 Sustituyendo: Por tanto, el grado de homogeneidad es 1. 3.2.1.4 RENDIMIENTOS A ESCALA La función de producción presenta rendimientos constantes a escala. Es decir, si el capital y el trabajo se incrementan en la misma proporción, la producción también aumenta en esa  proporción. Que la podemos expresar también de la siguiente manera: Cuando la suma de los exponentes de la función es igual a la unidad, significa que existen rendimientos constantes a escala, escala, es decir, decir, que al aumentar en un mismo mismo porcentaje la cantidad de cada insumo utilizando la proporción se incrementará en un porcentaje igual al del incremento de los insumos. Para demostrar que la la función de producción de Cobb-Douglas (7), tiene rendimientos a esca escalla, veam veamos os qué qué ocur ocurre re cuan cuando do mul multi tipl plic icam amos os el el capi capital tal y el el trab trabaj ajoo ( constante (Mankiw, 2004). 15 ) por por un unaa Expandiendo los términos al segundo miembro Reordenando para agrupar los términos similares, se obtiene Dado que Pero , la funció n se convierte en , por lo que, Por tanto, la cantidad de producción aumenta en el mismo mismo factor, , lo que implica que esta función de producción tiene rendimientos constantes a escala. 16 3.2.1.5 TEOREMA DE EULER O DE LA ADICIÓN Considerando el equilibrio de largo plazo en condiciones de rendimientos constantes a escala, y si cada factor es retribuido por el valor de su producto marginal, el producto total, se agotará exactamente por la participación en la distribución total de todos los factores (Bichara, 1990). Dada la función (7), si se restringe a lineal homogénea, suponemos que: Al multiplicar los productos marginales por la cantidad de factores utilizados encontramos la retribución de cada factor, sumándolos tenemos: Factorizando y eliminando exponentes negativos encontramos: Con esto queda demostrado que el producto total se agota al existir rendimientos constantes a escala. 17 3.3 REGRESIÓN LINEAL La regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente , las variables independientes y un término aleatorio . Este modelo puede ser expresado como (Wikipedia, 2006): Donde : Es la intersección o término constante. : Son los parámetros respectivos a cada variable independiente, con i=1,…,n. : Es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. : Es la perturbación aleatoria, que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. El problema de la regresión consiste en elegir los valores determinados para los parámetros desconocidos , de modo modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello ello se necesita un conjunto de observaciones. Con Los valores valores escogidos escogidos como como estimadores estimadores de los parámetros, , son son los los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador; es decir: 18 3.3.1 SUPUESTOS DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL a) La relación entre las variables es lineal (Wikipedia, 2006).  b) Los errores son independientes (Wikipedia, 2006). c) La homoscedasticidad, lo que significa que los errores tienen varianza constante (Bichara, 1990). d) La esperanza matemática de los errores es igual a cero (Bichara, 1990). e) El error total es la suma de todos los errores (Wikipedia, 2006). 3.4 ESTIMACIÓN EMPÍRICA DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE COBBDOUGLAS Y PROBLEMAS DERIVADOS DE LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE REGRESIÓN LINEAL Para la estimación de los parámetros de la función de Cobb-Douglas, se utiliza el modelo de regresión lineal lineal que se basa en los supuestos anteriores anteriores (Bichara, 1990). La estimación se efectúa efectúa por medio medio del método de mínimos mínimos cuadrados que consiste en hacer mínima la suma del cuadrado de los errores; Aunque se puede hacer énfasis sobre este método, para nuestro nuestro análisis, se empleará por conveniencia el programa estadístico R, el cual es fácil de manejar para calcular nuestras estimaciones. 19 3.4.1 LINEALIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE COBB-DOUGLAS Como se mencionó en los supuestos de la regresión lineal, tanto para la aplicación del método de mínimos cuadrados o en la utilización de un programa estadístico, es necesario tener la ecuación de regresión en forma lineal y la función de producción de Cobb-Douglas no se encuentra establecida en esa forma, por lo que se hace necesario utilizar un método  para la linealización de dicha función. El método utilizado es el empleo de logaritmos naturales ya que es intrínsecamente lineal. 3.4.1.1 CUANDO LA FUNCIÓN ES RESTRINGIDA A LINEAL HOMOGÉNEA HOM OGÉNEA Cuando la función es restringida a lineal homogénea, se suponen rendimientos constantes a escala, y la suma de los exponentes debe ser igual a la unidad. Tomando la función (7): Recordando que: Y dividiendo por (factor trabajo), se obtuvo así el producto medio de 20 (10), es decir: Ahora Ah ora,, apl aplic ican ando do loga logari ritm tmos os ( )4 se tiene: Con lo cual la forma de estimación, se puede realizar por el método de regresión lineal simple donde: Es la variable dependiente. Es la variable independiente, Son los parámetros a estimar. 3.4.1.2 CUANDO LA FUNCIÓN NO ESTÁ RESTRINGIDA A LINEAL HOMOGÉNEA Otra forma de presentar la ecuación (7) con dos factores y el término aleatorio, dejando en libertad el grado de homogeneidad, es: Aplicando directamente logaritmos a la función, fu nción, se tiene 4 Donde ln = log natural natura l (logaritmo con base e, donde e=2.718) e=2.718) 21 3.5 CARACTERÍSTICAS DE LOS ERRORES La desviación de dado en (4) y (5), es una variable aleatoria (perturbación estocástica o término del error estocástico), no observable, que puede tomar valores positivos o negativos. El término de perturbación sustituye a todas aquellas variables que han sido excluidas del modelo, pero conjuntamente afectan a . Por tanto puede ser usada como un sustituto de todas las variables excluidas del modelo (Gujarati, 1983). Para los modelos anteriores (4) y (5), reducido a dos variables respetivamente, Goldfeld y Quandt, (1976) citados por Velazco (1988), dan las siguientes características (Castellanos, 2004): 1) La esperanza condicional de la variable dependiente en el modelo con error  multiplicativo (4) es: Mientras que para el error aditivo (5) es: Donde: Es la base de logaritmo natural. 2) El error aditivo es homoscedástico, mientras que el modelo con error multiplicativo es heteroscedástico. 22 A continuación se puntualiza sobre los supuestos ya mencionados (Gujarati, 1983), que involucran a los errores en torno a la regresión lineal general o clásica. 1) Es decir, que el valor esperado condicional condicional de al dado, es cero 2) Donde son dos observaciones diferentes y es la covarianza. 3) Donde es la varianza. Es decir, expresa que la varianza de número positivo constante e igual a para cada (la varianza condicional de es un . Técnicamente representa el supuesto de homoscedasticidad o igual (homos) dispersión (cedasticidad ) o igual varianza, es decir, que las poblaciones que corresponden a varios valores de tienen la misma varianza. Y en contraparte tenemos a la heteroscedasticidad o dispersión desigual o varianza desigual, en la que la varianza condicional de la población cambia a medida que cambia igualmente, simbólicamente puede escribirse como: El subíndice quiere decir que la varianza de la la población ya ya no es constante. 23 4) Vale la pena comentar que las variables también son aleatorias, aleatorias, ya que regularmente, regularmente, en regresión son fijas. Este supuesto afirma que la perturbación y la variable explicatoria no están correlacionadas. Es común que en el análisis empírico alguno de los datos que se desea tener no se encuentren a disposición, por lo que en ocasiones se excluyen algunas variables aunque se sepa que son relevantes. Es muy posible, que la influencia conjunta de todas o algunas de las variables excluidas, sea insignificante o a lo mejor aleatoria o no sistemática, y que desde el punto de vista  práctico y por razones de costo, no se justifique su introducción explicita en el modelo. Cuando así ocurre, el efecto combinado de todas estas variables, pueden ser tratados como una variable aleatoria . 24 4. METODOLOGÍA Con base en la revisión de la literatura consultada, el presente trabajo en relación a su objetivo, exhibió como propósito dar una aplicación sobre el empleo de la función de  producción de Cobb-Douglas al sector productivo mexicano. En la utilización de las las variables a considerar, para la la aplicación del modelo, modelo, se consideró tomar una serie de datos históricos y analizar el comportamiento de dicho sector. Para este trabajo se contaron con tres variables, las cuales fueron obtenidas de diversas fuentes de investigación, por mencionar algunas, tales como la información proveniente de la H. Cámara de Diputados a través del Instituto Nacional de Geografía y Estadística (INEGI) recopilando las series del PIB mexicano para el sector agropecuario en miles de  pesos, series ser ies del personal ocupado remunerados por po r sector de actividad en promedio anual, anua l, así como la producción total en toneladas del sector agropecuario. 4.1 INFORMACIÓN UTILIZADA 4.1.1 PRODUCTO INTERNO BRUTO (PIB) Es el valor total (suma de los valores monetarios) de los bienes y servicios producidos en el territorio de un país en un período determinado determinado (trimestre, año, etc.), libre libre de duplicaciones. Se define como como la diferencia entre el valor valor bruto de producción producción menos el el valor de los bienes y servicios consumidos durante el propio proceso productivo, a precios comprador (consumo intermedio). Esta variable se puede obtener también en términos netos al deducirle al PIB el valor agregado y el consumo de capital fijo de los bienes de capital utilizados en la producción (Solano, 2008). 25 En este trabajo, trabajo, los datos del PIB se expresan en términos reales a precios constantes de 1993, y en términos términos nominales o precios corrientes; y corresponden al total de la economía, así como a cada una de las 9 grandes divisiones que la la componen (INEGI, Calculo de PIB, base 1993). 1. Agropecuario, silvicultura y pesca 2. Minería 3. Industria manufacturera 4. Construcción 5. Electricidad, gas y agua 6. Comercio, restaurantes y hoteles 7. Transporte, almacenaje y comunicaciones 8. Servicios financieros, seguros, actividades inmobiliarias y de alquiler  9. Servicios comunales, sociales y personales 4.1.1.1 MÉTODOS PARA CALCULAR EL PIB a) Método del gasto Se utiliza para medir la demanda de bienes y servicios de utilización final, pero no por  actividad económica de los productores. Éstos se efectúan mediante cálculos independientes de las variables: consumo final de los hogares, consumo del gobierno, de la variación de existencias, de la formación bruta de capital fijo y de las exportaciones netas, que constituyen la demanda final de los los valores del comprador y se expresa en la fórmula (Solano, 2008). 26 Donde = Producto Interno Bruto = Consumo Privado = Consumo de Gobierno = Formación Bruta de d e Capital Fijo = Variación de Existencias = Exportación de Bienes y servicios = Importación de bienes y servicios Los métodos que se utilizan para calcular el PIB por rama de actividad económica de los  productores de bienes y servicios, ser vicios, son el método de la producción pro ducción y el e l método del pago a los factores de la producción. b) Método de la producción Consiste en deducir el consumo intermedio del valor bruto de la producción, los cálculos de valor bruto de la producción se realizan a precios básicos y el consumo intermedio se valora a precios comprador. La fórmula del PIB para este método es: Donde = Producto Interno Bruto = Consumo Intermedio I ntermedio = Valor Bruto de la Producción 27 c) Método del pago a los factores Consiste en calcular y sumar los componentes del valor agregado: las remuneraciones, el consumo de capital fijo y el excedente neto de operación, que incluye el ingreso de los trabajadores por cuenta propia, los intereses, las regalías, las utilidades y las remuneraciones a los empresarios, entre otros conceptos. La fórmula para el cálculo del PIB en valores básicos, por este método es: Donde = Producto Interno bruto = Remuneraciones = Excedente bruto de operación Para el total de la economía, el PIB calculado por el método de gasto, debe coincidir con el  producto calculado por el método de la producción y con el obtenido por el método del  pago a los factores de la producción. prod ucción. 4.1.1.2 PIB MEXICANO Para analizar el comportamiento del PIB de México correspondiente al periodo de 19802007 se obtuvieron los datos que se presentan en el Cuadro15; así mismo podemos apreciar, en cuanto a la participación (Figura 1) de los sectores por actividad económica, que el sector de servicios comunales (incluye sociales y personales) es el de mayor aporte a la economía al contribuir en promedio con 20.06% del total6, seguido en importancia por el PIB de comercio (más restaurantes y hoteles) con un promedio de 19.95% y el 5 6 Únicamente se incluyen seis sectores, el resto se contabiliza en el INEGI por el BIE. Además se incluye Cargo por los servicios bancarios imputados en promedio igual a -2.58703979 28 agropecuario (considerando silvicultura y pesca) con un 5.84% durante los últimos 28 años (Espinoza, et al  (2001). Contexto y Tendencias en los apoyos a la Investigación Agropecuaria en México). Cuadro 1. PIB total y por sectores de actividad económica, México 1980-2007 (Millones de pesos a precios de 1993). Año PIB Agropecuario 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 948,607.30 1,029,481.80 1,024,120.20 988,415.10 1,022,128.10 1,044,489.10 1,012,329.70 1,029,766.50 1,042,981.10 1,085,800.80 1,141,999.30 1,190,131.80 1,232,275.60 1,256,196.00 1,312,200.40 1,230,608.00 1,293,859.10 1,381,525.20 1,449,310.10 1,505,445.50 1,604,834.80 1,602,315.50 1,615,561.60 1,637,396.40 1,705,798.40 1,753,594.90 1,837,925.60 1,898,397.80 61,671.80 66,444.00 64,876.50 66,121.00 67,176.00 69,239.30 68,410.00 69,174.30 66,720.00 65,730.30 70,208.50 71,918.30 70,438.80 72,629.00 73,222.30 74,101.80 76,706.50 76,821.80 77,334.00 80,031.50 80,529.50 83,348.80 83,581.30 86,221.80 89,120.50 87,714.30 91,848.50 93,730.00 Industria Electricidad, Servicios Servicios Comercio M. Gas y Agua Financieros Comunales 167,548.50 178,637.50 173,609.00 158,990.70 167,057.90 177,961.20 168,067.90 172,365.30 178,416.10 192,500.90 205,524.50 212,578.00 221,427.40 219,934.00 228,891.60 217,581.70 241,151.90 265,113.40 284,642.70 296,631.30 317,091.60 304,990.50 303,003.90 299,156.90 311,013.70 315,314.10 330,026.60 333,406.10 10,041.90 11,207.90 12,290.90 12,430.40 13,052.30 14,137.10 14,651.30 15,199.20 16,114.40 16,834.80 17,270.30 17,336.80 17,868.70 18,326.50 19,200.90 19,613.80 20,511.70 21,580.20 21,979.50 25,456.90 26,216.90 26,817.50 27,077.30 27,481.70 28,250.60 28,743.50 30,332.40 31,521.30 Fuente: Elaboración propia con datos reunidos del INEGI por el BIE. 29 205,245.400 205,245.4 225,800.10 224,798.70 208,428.20 208,428.20 211,146.40 210,741.60 197,649.00 199,346.70 202,530.50 211,892.40 225,058.20 238,749.80 251,401.70 251,628.70 268,696.10 226,959.90 237,859.00 263,313.30 278,161.40 286,818.40 321,838.50 318,035.40 318,079.30 322,732.30 340,379.30 349,518.00 362,349.50 372,181.00 105,291.60 112,545.50 118,326.70 123,120.60 130,300.10 134,848.80 139,802.80 144,729.90 146,785.20 151,916.50 158,670.30 166,125.40 173,740.20 183,208.10 193,145.80 192,526.50 193,626.50 200,847.20 210,097.10 217,704.40 229,780.80 240,224.30 250,385.70 260,249.80 270,407.60 286,045.00 301,398.40 316,557.00 195,950.30 210,387.10 216,996.50 222,585.60 228,316.10 227,291.70 225,419.10 225,312.40 226,562.00 233,484.10 240,835.20 251,629.30 255,443.10 263,922.00 267,243.00 261,055.70 263,651.70 272,473.70 280,287.90 286,213.70 294,484.70 293,709.40 296,355.30 294,700.60 296,540.80 302,021.00 310,720.00 318,028.90    l 25.00   a    t   o    t 20.00    B    I    P 15.00    l   e    d   e 10.00    j   a    t   n   e 5.00   c   r   o    P 20.06 19.95 17.89 14.25 8.05   s   o    t   s   e   u   p   m    I 9.51 5.84   o    i   r   a   u   c   e   p   o   r   g    A 4.23 1.32 1.49  .   n   a    í    ó    i   r    M   c   e   a   c   n    i    i   r   u    t   r    t    M   s   s   u   n    d   o   n    I    C  .    A   y  .    G  ,  .   r    t   c   e    l    E -2.59   o    i   c   r   e   m   o    C   e    t   r   o   p   s   n   a   r    T   s   o   r   e    i   c   n   a   n    i    F  .    S   s   e    l   a   n   u   m   o    C  .    S   s   o    i   r   a   c   n   a    B  .    S  .    C 1980-2007 Figura 1. PIB promedio por gran división de actividad económica, México 1980-2007 Fuente: Elaboración propia con datos del INEGI (BIE). 4.1.1.3 PIB AGROPECUARIO A principios de los años ochenta, en la evolución del PIB agropecuario y el PIB nacional (Cuadro1 y Figura 2) se observa que ambas series mantienen un comportamiento cíclico (es decir, tiene años buenos, malos y regulares), fuertemente autocorrelacionado en torno a una tendencia poco a poco ascendente. Posteriormente se aprecia una reducción paulatina en la trayectoria de ambas series que corresponde a una fase de crisis y de aplicación de políticas orientadas a un cambio estructural de la economía mexicana, que modificó las relaciones entre los distintos sectores de la economía. Finalmente se observa que el PIB total presentó una caída en 1995 (Escalante, 2006) (Figura 2). Esta caída se derivó en gran parte de la abrupta devaluación del peso frente al dólar lo que ocasionó aumentos en la inflación y en las tasas de interés, deprimiéndose así las actividades de consumo, ahorro e inversión (Espinoza et al  (2001). Contexto y Tendencias en los apoyos a la Investigación Agropecuaria en México). En contraparte, el sector agropecuario, a partir de 1995, presenta una tendencia diferente, con un ritmo de crecimiento menor respecto al conjunto de la 30 economía lo que se manifiesta también en una menor participación en el PIB nacional (Escalante, 2006) (Figura 3). 2,000,000.0 1,800,000.0    s    o1,600,000.0    s    e    p1,400,000.0    e     d1,200,000.0    s    e 1,000,000.0    n    o 800,000.0     l     l    i    M 600,000.0 400,000.0 200,000.0 - 100,000.0 90,000.0 80,000.0 70,000.0 60,000.0 50,000.0 40,000.0 30,000.0 20,000.0 10,000.0 - PIB Agropecuario Figura 2. PIB total vs PIB agropecuario en Millones de pesos a precios de 1993, México 1980-2007. Fuente: Elaboración propia con datos del INEGI por el BIE. 400,000.0 350,000.0    s    o 300,000.0    s    e    p 250,000.0    e     d 200,000.0    s    e    n 150,000.0    o     l     l    i 100,000.0    M 50,000.0 - Años Agropecuario Comercio Industria M. S. Financieros Electricidad, Gas y Agua S. Comunales Figura 3. PIB por actividad económica (Millones de pesos a precios de 1993), México 1980-2007. Fuente: Elaboración propia con datos del INEGI por el BIE. 31 El sector agropecuario de México ha disminuido su importancia relativa en la economía nacional en términos de su participación en el PIB (Figura 4) por el avance que han tenido otros sectores, por mencionar: el de servicios comunales, el de industria manufacturarera, el de comercio, entre otros. Este proceso se aceleró en las ultimas dos décadas debido a la reducción y/o eliminación de una serie de apoyo al sector entre los que destacan los precios de garantía y los subsidios a insumos básicos. Los rubros más importantes del sector agrícola en términos de valor son las hortalizas, los frutales, los cereales y los forrajes. La importancia de estos grupos de cultivos ha variado a través de los años con cereales y cultivos industriales perdiendo importancia relativa, mientras que frutas, hortalizas y forrajes han mejorado su situación. Entre los años de 1980 y 1999 la importancia de los cereales pasó de 30.5% en 1980 (cuando ocupaban el primer  lugar) a 19.6% en 1999 (cuando ocuparon el tercer lugar). Para el mismo período la  participación de los cultivos industriales (entre ellos el los el algodonero) pasó de 19.1% a 14.8%. La disminución de estos cultivos se debe, en gran parte, a sus bajas cotizaciones en los mercados nacional e internacional. Sólo durante el período de 1982-1999 los precios reales del maíz y trigo cayeron en 52.7% y 41.9%, respetivamente. Por otra parte hay que destacar  que el desarrollo de las cuencas lecheras intensivas en varias regiones del país ha estimulado la demanda y precios de varios cultivos forrajeros, destacando la alfalfa, el maíz forrajero y el sorgo forrajero (Espinoza, 2001. Contexto y Tendencias en los apoyos a la Investigación Agropecuaria en México) (Figura 4). 32 8.0 7.0 6.0   e    j 5.0   a    t   n   e 4.0   c   r   o3.0    P 2.0 1.0 0.0 Años Figura 4. México: Participación del PIB agropecuario en el PIB total, 1980-2007 (Porcentaje). Fuente: Elaboración propia con datos del INEGI por el BIE. 4.1.2 PRODUCCIÓN AGROPECUARIA En México, la producción agropecuaria agropecuar ia ha dependido de diversos factores, entre entre los los que destacan las condiciones y fenómenos climatológicos, en virtud que la mayor parte de la superficie cultivada es de temporal, sin dejar a un lado las políticas agrícolas y pecuarias que han afectado adversamente la la evolución de la producción y la balanza comercial de estas mismas, y con ello también el empleo e ingresos rurales.  No obstante, con base en la participación de la producción agropecuaria agropecuar ia en el PIB total,  para los últimos años, la estructura estruct ura subsectorial agropecuaria se ha mantenido relativamente invariable, ya que la participación de la agricultura ha oscilado en torno al 65% del  producto total agropecuario, la ganadería al 27%, la silvicultura al 4.5% y la pesca 3.5 %. 33 La producción de los granos básicos también ha permanecido relativamente constante pues representó el 23% de la producción agrícola en 1980, el 24% en 1994 y el 22.4% en 20017. Para tener un enfoque de esto, ver Cuadro 2 donde se presenta una reunión de datos con series de la producción agrícola8 y la producción pecuaria, de 1980-2007. Cabe aclarar que en la producción pecuaria, está conformado por: Ganado en pie: bovino, porcino, ovino y caprino. Ave9 y guajolote en pie: ave y guajolote. Carne en canal: bovino, porcino, ovino, caprino, ave y guajolote. Leche10: bovino y caprino. Otros productos: Huevo para plato, miel, cera en greña y lana sucia. Los datos referentes a la producción agrícola, fueron obtenidos a través, del Centro de Estudios de las Finanzas Públicas de la H. Cámara de diputados, con datos de la Organización de las Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación (FAO), Datos Agrícolas de FAOSTAT, Instituto Nacional Nacional de Estadística, y Geografía (INEGI) y Anexo estadístico del segundo segundo informe de gobierno, 2002; para los años 2003-2007, las las información fue recabada del Servicio de Información Agroalimentaria y Pesquera (SIAP). Para la producción pecuaria, los datos fueron obtenidos por el paquete básico de información SIAP la cual proporciona un anuario estadístico con una base de datos de la  producción pecuaria de los Estados Unidos Mexicanos correspondiente correspond iente a los años de 19801980 2007, con el fin de que los productores y otros agentes económicos dispongan de información de estas estadísticas básicas sobre este subsector para la toma de decisiones  productivas y comerciales. 7 Información Información de la Cámara de Diputados. 2003. Indicadores Indicadores macroeconómicos, 1980-2003. Incluye los 10 principales cultivos: arroz, frijol, maíz, trigo, ajonjolí, cártamo, semilla de algodón, soya, cebada y sorgo. 9 Ave: se refiere a pollo, gallina ligera y pesada que ha finalizado su ciclo productivo. 10 Leche: producción en miles de litros, convertidos a toneladas. 8 34 Cuadro 2. Producción total agropecuaria en toneladas. México 1980-2007. AÑO TOTAL PRODUCCIÓN AGRICOLA 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 37,641,114 22,790,319 22,790,319 3,846,398 42,620,804 37,989,413 40,464,915 41,002,031 45,135,601 39,748,030 40,708,136 37,171,183 36,728,430 41,901,143 41,503,828 44,329,866 43,924,072 46,334,199 46,697,539 48,888,741 48,141,320 50,883,107 50,084,943 51,429,861 55,248,539 55,048,964 57,174,488 58,391,982 55,159,985 54,484,149 61,912,943 27,140,953 27,140,953 22,124,101 22,124,101 24,911,819 24,911,819 25,571,317 25,571,317 29,490,698 29,490,698 24,654,507 25,867,180 22,592,458 23,178,233 27,646,456 25,994,959 28,231,944 26,966,092 28,851,489 28,670,288 31,024,001 29,483,282 30,864,079 28,756,510 29,207,000 32,392,100 31,579,100 33,419,000 33,994,200 30,268,300 28,804,400 35,620,900 4,077,271 4,228,182 4,045,007 3,899,742 3,660,937 3,794,294 3,771,696 3,590,353 3,400,104 3,274,476 3,466,359 3,626,819 3,612,488 3,888,176 3,928,036 3,744,001 3,751,713 3,985,990 4,142,561 4,207,648 4,304,083 4,360,211 4,368,925 4,442,492 4,497,375 4,624,354 4,735,411 Ganado en pie PRODUCCIÓN PECUARIA Ave y Carne en Otros guajolote Leche canal productos en pie 490,967 2,767,675 7,021,245 724,510 549,974 2,952,062 7,150,615 749,929 585,786 3,073,332 7,224,133 753,879 613,170 3,039,406 7,057,004 798,509 631,069 2,960,330 7,140,504 799,069 707,212 2,920,860 7,474,405 881,489 766,242 2,911,028 6,538,519 1,083,440 780,273 2,891,134 6,349,739 1,048,114 781,346 2,768,062 6,280,896 1,158,068 766,847 2,562,228 5,703,959 1,117,059 947,856 2,682,494 6,265,936 1,083,925 1,051,322 2,924,109 6,847,772 1,219,307 1,088,091 3,036,237 7,114,088 1,232,687 1,299,009 3,188,253 7,555,222 1,303,008 1,391,002 3,432,599 7,461,543 1,309,390 1,579,042 3,685,344 7,537,647 1,297,182 1,550,559 3,569,925 7,709,347 1,290,908 1,762,178 3,786,651 7,968,633 1,388,863 2,036,199 4,030,465 8,443,455 1,522,919 2,264,806 4,216,520 9,008,312 1,696,234 2,359,742 4,359,457 9,442,621 1,853,393 2,452,695 4,529,812 9,612,166 1,957,683 2,617,836 4,720,917 9,804,750 1,966,150 2,709,618 4,804,397 9,936,197 1,936,351 2,866,021 4,998,607 10,025,261 2,065,401 3,070,628 5,209,581 10,032,549 2,081,552 3,152,710 5,297,680 10,252,509 2,352,496 3,247,720 5,442,649 10,513,405 2,352,858 Fuente: Elaboración propia con datos del Servicio de Información Agroalimentaria y Pesquera (SIAP), con información informa ción de las delegaciones de la SAGARPA. 35 4.1.3 PERSONAL OCUPADO EN EL SECTOR AGROPECUARIO En el sector primario, tanto en términos absolutos como relativos se han registrados descensos. Con lo que se reitera que el paulatino descenso, de las actividades del sector   primario como porcentaje total es una manifestación del proceso mismo de desarrollo económico del país, al sustituir por tecnología la mano de obra (ver Cuadro 3). Cuadro 3. Personal ocupado remunerado en el sector agropecuario, México 1980-2007 (promedio anual). PERSONAL OCUPADO PERSONAL OCUPADO REMUNERADO EN EL REMUNERADO EN EL AÑOS AÑOS SECTOR AGROPECUARIO SECTOR AGROPECUARIO 1980-2007 1980-2007 11 5,700,000.00 6,318,703.00 1980 1994 5,989,000.00 6,193,512.00 1981 1995 5,637,000.00 6,309,359.00 1982 1996 5,874,000.00 6,116,378.00 1983 1997 5,931,000.00 6,345,504.00 1984 1998 6,096,000.00 6,392,005.00 1985 1999 5,890,000.00 6,286,195.00 1986 2000 5,930,000.00 6,356,448.00 1987 2001 5,911,000.00 6,281,631.00 1988 2002 6,058,000.00 6,394,984.00 1989 2003 5,779,000.00 6,547,140.00 1990 2004 12 13 6,214,512.00 6,279,000.00 1991 2005 6,157,699.00 5,995,000.00 1992 2006 6,244,883.00 5,843,000.00 1993 2007 Fuente: Elaboración propia con datos de Nacional Financiera, S.N.C., Sistema de Cuentas Nacionales de México, Anuario Estadístico de los Estados Unidos Mexicanos (INEGI) y de la Encuesta Nacional de Ocupación y Empleo. STPS-INEGI. 11 Datos de Nacional Financiera, S.N.C de La Economía Mexicana en Cifras, edición 1984,1986 y 1992. Serie histórica 1991-2004 elaborada con base al Sistema de Cuentas Nacionales de México (Metodología (Metodología y año base 1993) de la Cámara de Diputados. Banco de información, Estadísticas históricas, Indicadores macroeconómicos 1980, Empleo y Anuario Estadístico de los Estados Unidos Mexicanos, edición 1999 y 2005. 13 Datos de la Encuesta Nacional de Ocupación y Empleo. STPS-INEGI. 12 36 Entre 1986 y 2001 la participación del empleo agropecuario en el empleo total disminuyó del 26.8 al 18.1 por ciento. Esto significa que, pese a la menor participación de la  producción agropecuaria en el PIB total, la estructura estr uctura del PIB PI B agropecuario no ha variado en gran medida, mientras que el empleo agrícola disminuyó casi 9%. El hecho de que el 65% del PIB agropecuario corresponda a la agricultura implica que esta actividad es la  principal generadora de empleos e ingresos en las zonas zo nas rurales14. De 1980 a 2007, el monto de personas que se dedicaban como principal ocupación, a laborar en el sector agropecuario, presenta algunas variaciones, para los primeros años de la década de los años ochenta y aumentando el número de personas en este sector para los años noventa, y con una baja nuevamente para los años 2005, 2006 y 2007 (Figura 5). 6,600,000.0 6,400,000.0 6,200,000.0   s   a6,000,000.0   n   o   s 5,800,000.0   r   e    P5,600,000.0 5,400,000.0 5,200,000.0 5,000,000.0 Años Figura 5. Personal ocupado remunerado en el sector agropecuario, México 1980-2007 (Promedio anual). Fuente: Elaboración propia con datos de Nacional Financiera, S.N.C., Sistema de Cuentas Nacionales de México, Anuario Estadístico de los Estados Unidos Mexicanos (INEGI) y de la Encuesta Nacional de Ocupación y Empleo. STPS-INEGI. 14 Información recabada de: Flores, A. M. L., 2005. “Los granos básicos en México ante la apertura comercial, 1980-2001”. 13 pp. 37 4.2 ESPECIFICACIÓN DEL MODELO Para la realización de este trabajo, se procedió con la estructuración del modelo; en el cual se utilizó la función de producción de Cobb Duglas, haciendo uso de la información antes descrita (apartado 4.1) y aplicado al sistema económico, más concretamente al sector   productivo mexicano. El modelo es: De manera particular se definieron tres variables: a como el producto final, y a y como los factores de producción capital y mano de obra respetivamente. Sobre la base de este modelo, especificando las variables empleadas (Cuadro 4), éstas se describieron de la siguiente manera: a) Va Vari riabl ablee depen dependi dient entee ( ) Producto final: Se definió como la producción total (toneladas) entre el sector agrícola y  pecuario para los años de 1980 a 2007. b) Va Varriabl iables es inde indepe pend ndie ient ntes es ( Factor capital ( y ) ): Se definió al PIB sobre la rama del sector agropecuario (Cifras anuales en miles de pesos a precios constantes; (año base de 1993) de 1980 hasta el 2007). Factor tor mano de de obr obraa ( ): Se consideró un total de personas que laboran en dicho sector  agropecuario (personas ocupadas remuneradas, promedio anual de 1980 a 2007). 38 Cuadro 4. Producción agropecuaria, PIB agropecuario y personal ocupado remunerado, en el sector productivo mexicano. Años 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Producción agropecuaria (Toneladas) 37,641,114.00 42,620,804.00 37,989,413.00 40,464,915.00 41,002,031.00 45,135,601.00 39,748,030.00 40,708,136.00 37,171,183.00 36,728,430.00 41,901,143.00 41,503,828.00 44,329,866.00 43,924,072.00 46,334,199.00 46,697,539.00 48,888,741.00 48,141,320.00 50,883,107.00 50,084,943.00 51,429,861.00 55,248,539.00 55,048,964.00 57,174,488.00 58,391,982.00 55,159,985.00 54,484,149.00 61,912,943.00 PIB agropecuario Personal ocupado (miles de pesos remunerado (año base=1993)) (Promedio anual) 61,671,750.00 66,444,000.00 64,876,500.00 66,121,000.00 67,176,000.00 69,239,250.00 68,410,000.00 69,174,250.00 66,720,000.00 65,730,250.00 70,208,500.00 71,918,250.00 70,438,750.00 72,629,000.00 73,222,250.00 74,101,750.00 76,706,500.00 76,821,750.00 77,334,000.00 80,031,500.00 80,529,500.00 83,348,750.00 83,581,250.00 86,221,750.00 89,120,500.00 87,714,250.00 91,848,500.00 93,730,000.00 Fuente: Elaboración propia con la información recabada del apartado 4.1 39 5,700,000.00 5,989,000.00 5,637,000.00 5,874,000.00 5,931,000.00 6,096,000.00 5,890,000.00 5,930,000.00 5,911,000.00 6,058,000.00 5,779,000.00 6,214,512.00 6,157,699.00 6,244,883.00 6,318,703.00 6,193,512.00 6,309,359.00 6,116,378.00 6,345,504.00 6,392,005.00 6,286,195.00 6,356,448.00 6,281,631.00 6,394,984.00 6,547,140.00 6,279,000.00 5,995,000.00 5,843,000.00 4.3 ESTIMACIÓN DEL MODELO Una vez especificado el modelo econométrico, la siguiente tarea consistió en la estimación (valores numéricos) de los parámetros del modelo a partir de los datos disponibles,  proporcionados por las series anteriormente mencionadas. Para la estimación del modelo fue necesario partir de una función lineal en los parámetros. Dado que la función función de producción de Cobb-Douglas es un modelo no no lineal, no cumple cumple con esta condición, por lo que fue necesario realizar un proceso de linealización. La transformación más usual es la de aplicar logaritmos a la función y así hacer que el modelo transformado sea lineal en los parámetros la elasticidad parcial de donde cada uno de los coeficientes con respecto a las variables y y , es respectivamente. Entonces, partiendo del modelo (14), y aplicando logaritmos, el modelo transformado es: Este modelo es lineal en los parámetros variables , y y y lineal en los logaritmos de las . El modelo nos afirma que la producción agropecuaria, agropecuar ia, está relacionada linealmente con el PIB de ese sector y el personal ocupado. Ahora bien, ya tenido el modelo, a nuestra tabla de datos, se le procede a sacar logaritmos (Cuadro 5)15. 15 Estos datos están calculado con con la información del Cuadro 4, únicamente de redujeron a miles de toneladas ( ), mill milloones nes de de pe pesos ( ) y mile miless de de pe perso rsonas nas ( ). 40 Cuadro 5: Logaritmo aplicado a las variables Años 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 10.53585219 10.66009777 10.54506279 10.60819058 10.62137688 10.71742659 10.59031556 10.61418325 10.52328909 10.51130639 10.64306838 10.63354094 10.69941390 10.69021779 10.74363561 10.75144674 10.79730240 10.78189613 10.83728626 10.82147570 10.84797424 10.91959718 10.91597832 10.95386306 10.97493386 10.91799306 10.90566509 11.03348453 11.02958124 11.10411477 11.08024074 11.09924168 11.11507132 11.14532318 11.13327429 11.14438396 11.10826004 11.09331452 11.15922467 11.18328534 11.16249882 11.19311957 11.20125462 11.21319443 11.24774173 11.24924308 11.25588898 11.29017559 11.29637886 11.33078889 11.33357449 11.36467775 11.39774467 11.38183965 11.42789576 11.44817359 Fuente: Elaboración propia, con datos obtenidos del Cuadro 4. 41 8.64822145 8.69767973 8.63710729 8.67829111 8.68794811 8.71538810 8.68101128 8.68777949 8.68457030 8.70913499 8.66198594 8.73464248 8.72545845 8.73951769 8.75126924 8.73125757 8.74978937 8.71872537 8.75550181 8.76280327 8.74611124 8.75722501 8.74538494 8.76326921 8.78678359 8.74496601 8.69868107 8.67299964 Las variables de Producción, PIB agropecuario y Personal ocupado están transformadas a logaritmos naturales para contribuir a que los errores cumplan con el supuesto de la distribución normal y homoscedasticidad del método de mínimos cuadrados ordinarios. Con la finalidad de simplificar los cálculos para la obtención de los estimadores y con la ventaja de contar con el programa estadístico R (versión 2.6.2 (2008)), y XLSTAT (Versión 2008.7.01), aunque se pudo haber calculado por medio de mínimos cuadrados ordinarios; se utilizaron estos dos programa con el objeto de hacer más fácil el cálculo de la estimación de los parámetros, por la desenvoltura y facilidad que poseen estos programas con herramientas estadísticas muy eficientes en el manejo de los datos y cálculo de los valores estimados. Entonces, haciendo uso de los programas R y XLSTAT, tomando los datos del Cuadro 5 (los códigos empleados se pueden citar en el Anexo 3), y ejecutando una regresión lineal,  para así obtener o btener los estimadores de los parámetros parámetro s y ajustando la función de producción de Cobb-Douglas a estos datos, se obtuvo la siguiente expresión (Anexo 1, Cuadro 2): (16) 42 5. ANÁLISIS DE RESULTADOS Con base en los resultados obtenidos de la estimación y al llevar a cabo la regresión (Anexo 3) para la función de producción de Cobb-Douglas (16) para todo el sector agropecuario durante el periodo de 1980 a 2007. En general se obtuvieron buenos resultados, es decir, se observa que: Este resultado del coeficiente de determinación, dice qué tan exactamente la línea de regresión muestral se ajusta a los datos, por lo que se considera que el ajuste es bueno. En otras palabras, podemos indicar que el 93.04% de las variaciones que ocurren en la Producción Producción total agropecuari agropecuariaa ( ) se explicarían explicarían por las las variaciones variaciones en la variable variable PIB agro agrope pecu cuar ariio y el Pers Person onal al rem remuner unerad adoo que que labor aboraa en ese ese sect sector or ( ). En el análisis de los residuos, el histograma de los residuos estandarizados (Anexo 2, Histograma 1), podemos observar que los valores no están fuera del intervalo [-2, 2]. Se  podría especular que se presenta heteroscedasticidad, por algunas observaciones o bservaciones (10, 27 y 28) que alcanzarían ser potencialmente influyentes como nos indica la Gráfica 1 (cuarta figura, distancia de Cook), y en la la Gráfica 2 de las observaciones potenciales16 (Anexo 3). Para verificar lo anterior, y determinar si eran influyentes tales observaciones, con la aplicación de la prueba cooks.distance17 (Anexo 3), se noto que ninguna observación supera el valor de referencia, 1; ninguna observación es potencialmente influyente (Anexo1, Cuadro 1). 16 Si el potencial de una observación es alto, tiene mucho peso a la hora de dar la predicción. Ver anexo, como se obtienes matricialmente en R (Vaquerizo, 2005). 17 La distancia de Cook del caso i-ésimo consiste en buscar la distancia entre los parámetros estimados si incluyen la observación i-ésima y si no la incluyen. Cada observación tiene su distancia y se considera significativa si es mayor que 1 (Vaquerizo, 2005). 43 Prestando atención particular a los residuos centrados (Anexo 2, Grafica 3), y dado que los supuestos vinculados a la regresión lineal, estos habrán de tener una distribución normal de media cero y varia rianza constante ( . Eso significa, entre otras cosas, que el 95% de los residuos deben encontrarse en el intervalo [-1.96, 1.96]. Lo cual por nuestra gráfica podemos afirmar que sí satisface tal supuesto, observando además las predicciones con las observaciones. Por lo que el modelo (16), sí cumple las condiciones de distribución normal de los residuos (Anexo 3). En el cuadro sobre los parámetros del modelo (Anexo 1, Cuadro 2), se proporcionan los detalles relativos al modelo. Para nuestro análisis análisis respecto a los coeficientes coeficientes obtenidos para la producción producción ( ), vemos vemos que el p-value asociado asociado a la prueba de t de student student para es aproximadamente de 0.0001, y que el intervalo de confianza de 95% asociado esta entre cero y 1. Eso corrobora el peso que tiene esta variable con respecto a la variable sobre el modelo (16). Lo anterior, establece que en los límites proporcionados por las observaciones del intervalo de la variable y de la variable , cada vez que aumenta 0.43 miles de toneladas, y cada vez que aumenta en mil personas, aumenta en un millón millón de pesos, aumenta 1.17 miles de toneladas. to neladas. En la prueba de F de Fisher dada (Anexo 1, Cuadro 4) igual a 167.1, podemos observar, que la probabilidad asociada a F, en este caso, es inferior de 0.0001, significa que nos arriesgamos en menos del 0.01% concluyendo que las variables explicativas originan una cantidad de información significativa al modelo, que al compararlo por ejemplo con el F de tablas con un nivel de significancia del 5%, el valor critico de F para 2 y 25 grados de libertad ( ) es es ig igual a 33..385; y si el nivel de sign gniifican cancia cia fu fuera 00..005, = 6.598, lo que nos explica que aún así, el F calculado, exceden en gran margen el valor valor critico de la F de tablas. Por otro lado, la la suma de cuadrados índica que las 44 variables explicativas poseen información significativa una vez que todas las variables han sido incluidas en el modelo (Anexo 1, Cuadro 3). = Total de betas (incluyendo el intercepto) = Suma de cuadrados de regresión18. = Suma de cuadrados de residuos. = Total de observaciones. En general se obtuvieron buenos resultados de ajuste, como se pueden ver en los anexos, los estadísticos estadísticos tradicional tradicionales es ( ,y ajustado ajustado y su estadístico estadístico F, los residuales, residuales, los p- values, el estadístico t, las predicciones y los residuos estandarizados), arrojan resultados satisfactorios. Continuando con el análisis, el modelo (16) y la línea de regresión asociada que se deriva de la ecuación misma, indican que cada punto de la línea de regresión proporciona una estimación del valor esperado o valor medio medio de es decir es una estimación de El valor de correspondiente al valor escogido de , . Así: o intercepto de la línea se interpreta como el efecto medio o  promedio sobre Y de todas las variables omitidas o mitidas del modelo de regresión lineal, indica el nivel promedio promedio de la producción agropecuaria, cuando el PIB agropecuario y el personal 18 SCReg y SCres son obtenidos del análisis de varianza calculados con el programa XLSTAT. Para el  programa R la la notación sería: anova(reg). 45 ocupado remunerado son iguales a cero. Pero en este caso, sólo representa una constante de ajuste del modelo. El valor de que mide la pendiente de la recta e indica indica que dentro del rango de entre 61,671,750 miles de pesos y 93,730,000 miles de pesos anuales respectivamente, a medida que aumenta, digamos en mil pesos, el aumento estimado en el valor medio medio o  promedio del PIB PI B agropecuario agr opecuario es aproximadamente apro ximadamente en 1.13652 mil pesos. Es decir, mide el cambio en el valor medio de manteniéndose respecto a por cambio de una unidad en constante. En otras palabras, nos da la pendiente de , manteniéndose En forma semejante, , manteniendo , , con constante19. mide el cambio en el valor medio medio de por unidad de cambio en constante. Al utilizar la función de producción de Cobb-Douglas, y para poder analizar mejor los resultados, podemos definir lo siguiente: 1)    es la elastici elasticidad dad (parcial) (parcial) del producto producto final (Producci (Producción ón agropecuaria agropecuaria ( )) con 1 respecto al insum insumoo capital capital o factor factor capital capital (PIB agropecua agropecuario rio ( )), es decir, decir, mide mide el cambio porcentual en la producción debido, a una variación del 1% en el insumo capital, capital, manteni manteniendo endo el el insumo insumo trabajo trabajo (Personal (Personal ocupado remunerado remunerado ( )) constante. 2)    es la elastici elasticidad dad (parcial) (parcial) de la la producción producción agropecuaria agropecuaria ( ) con respecto respecto al 2 factor factor traba trabajjo ( ), manten antenie iend ndoo con consta stant ntee el factor actor capi capital tal ( ). 3) Así Así la la sum sumaa ddee ( ) nos nos da la inf infor orm maci ación sob sobre los los ren rendimi dimien ento toss a esca escalla es es decir, la respuesta de la Producción agropecuaria a un cambio proporcional a los 19 son derivadas parciales de con respecto a 46 (Gujarati, 1983). factores. Si esta suma es 1, entonces existen rendimientos constantes a escala, es decir, la duplicación duplicación de los insumos duplicará la producción, la la triplicación de los insumos triplicará la producción y así sucesivamente. Si la suma es menor que 1, existen rendimientos decrecientes a escala: duplicando los insumos, la producción crecerá en menos del doble. Finalmente, si la suma es mayor que 1, habrá rendimientos crecientes crecientes a escala; la duplicación de los insumos insumos aumentará el  producto en más del doble. Entonces con base en lo anterior y por los resultados previstos (Anexos y modelo 16), se ve que el sector productivo mexicano (para el área del sector agropecuario) durante el periodo de 1980-2007, las las elasticidades de la la producción agropecuaria (toneladas) con respecto al PIB agropecuario expresado en miles de pesos y al personal ocupado remunerado fueron de 1.1709 y 0.4357 respectivamente. En otras palabras, durante este periodo en estudio, manteniendo constante el personal ocupado remunerado, un incremento de 1% en el PIB agropecuario, condujo, en promedio, a un incremento de cerca del 1.2% en la producción agropecuaria. En forma similar, manteniendo constante el PIB para el sector agropecuario, un incremento del 1% en el personal ocupado, condujo, en promedio, a un incremento de cerca de 0.5% en la producción; todo esto para el sector agropecuario. Sumando las dos elasticidades de la producción agropecuaria, se obtuvo un valor de 1.6066, que da el valor del parámetro de rendimientos a escala. Como es evidente, durante el  periodo en estudio, el sector productivo mexicano para la división agropecuaria, agropecuar ia, se caracterizó por rendimientos crecientes a escala. 47 5.1 INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS Uno de los objetivos principales de este trabajo fue el analizar la situación del sector   productivo mexicano, dado, los factores de producción en la economía del país. Se puede decir que el sector ha sido eficiente en cuanto al nivel de producción indicada. El efecto observado en cada una de las variables empleadas en este análisis, ha sido  preponderante. Podemos resaltar a la variable del factor mano de obra ( ), en donde el número de trabajadores que laboran en este sector es reducido en comparación a otros sectores económicos (ya sea por el sueldo que estos puedan percibir o por la tarea a desempeñar en esta actividad (por mencionar: hay un mayor desgaste físico, el trabajar  durante muchas horas en el campo, etc.)) y a pesar de ello, el sector productivo mexicano se ha caracterizado como unos de los mejores aportes a la economía mexicana. Con la utilización de la función de producción de Cobb-Douglas, y el empleo de los fact factore ores, s, capi capital tal ( ) y mano ano de de obra obra ( ) en en la prod produc ucci ción ón ( ). Pode Podem mos deci decirr que que este este sector exhibe buenos resultados (aceptables), pues presentó rendimientos crecientes a escala durante los años de 1980 a 2007. 48 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 6.1 CONCLUSIÓN El objetivo fundamental de este trabajo, se ha enfocado al análisis de la función de  producción de Cobb-Douglas, así as í como su aplicación al sector productivo prod uctivo mexicano. En particular particular se ha ha considerado considerado el el uso de tres variables variables (Producto (Producto final final ( ), Factor Factor capital capital ( ) y Fac Factor tor man manoo de obra obra ( )) para para el el aj ajuste uste del modelo odelo econo econom métrico. étrico. Y con con técn técniicas de regresión lineal, se ha podido analizar dicha aplicación para la interpretación y determinación de los resultados. Como resultado del análisis desarrollado en la aplicación de la función de producción de Cobb-Douglas, nos ha permitido comprender la situación productiva del sector, así como la influencia de cada unos de los factores de producción. Sin duda, el mayor componente de este sector, lo lo aporta el área agrícola, de ahí depende en gran parte que el desarrollo y crecimiento productivo se vea manifestado en la economía mexicana. Actualmente, debe brindarse más apoyos a este sector, ya sea directa o indirectamente a los los productores que cada vez son menores menores los que se dedican a laborar en este campo de la producción. Como conclusión final, la aplicación de esta función de producción al sector productivo mexicano, proporcionó información de la productividad media de los factores, que a juicio del que escribe, podría ser un elemento para comparar el desempeño sectorial de los recursos productivos, capital y mano de obra, pues los resultados obtenidos, pueden ser una  base para evaluar el crecimiento del país en cuanto cua nto al sector productivo mexicano. 49 6.2 RECOMENDACIONES a) Una de las limitaciones principales de ésta investigación, consistió en que la información obtenida, provino de diferentes fuentes, debido a que algunas de ellas, contenían la información para series calculadas a diferentes años bases y eso implicó a que se presentara inestabilidad de las cantidades hacia las variables utilizadas. Por lo que una recomendación que se deriva de esto, es que, convendría elaborar las series de datos a utilizar en una misma base para todos los años.  b) La obtención de los los datos es un problema, ya que como el sector se subdivide en otras ramas productivas, para algunos años, se contaba con la información total y  para otros, únicamente para los subsectores subsector es más representativos como el agrícola. Con ello, se recomienda usar la información de todos los subsectores obviamente que estén presentes en todos los años para tener una mejor relación entre las variables empleadas. 50 7. BIBLIOGRAFÍA Addinsoft. 2008. Xlstat.  Programa Estadístico utilizado para el análisis de datos y estadísticas para Microsoft Excel (Versión 2008.7.) http://www.xlstat.com/es/home/?gclid=CNOgwoOtjpcCFRlRagodpD9H-A (Octubre del 2008). 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CUADROS DE RESULTADOS Cuadro 1: Observaciones significativas. 1 FALSE 11 FALSE 21 FALSE 2 FALSE 12 FALSE 22 FALSE 3 4 FALSE FALSE 13 14 FALSE FALSE 23 24 FALSE FALSE Calculado con el Programa Programa R  5 FALSE 15 FALSE 25 FALSE 6 FALSE 16 FALSE 26 FALSE 7 FALSE 17 FALSE 27 FALSE 8 FALSE 18 FALSE 28 FALSE 9 FALSE 19 FALSE 10 FALSE 20 FALSE Cuadro 2: Parámetros del modelo Desviación Límite inferior  Límite superior  Fuente Valor  típica t Pr > |t| (95%) (95%) Intersección -6.195 1.837 -3.373 0.002 -9.978 -2.413 X1 1.171 0.085 13.834 < 0.0001 0.997 1.346 X2 0.436 0.254 1.713 0.099 -0.088 0.959 Calculado con el Programa Programa XLSTAT y corroborados con R . Cuadro 3: Análisis Type III Sum of quares. Media de los Fuente GDL Suma de los cuadrados cuadrados cuadra dos F Pr > F X1 1 0.332 0.332 191.389 < 0.0001 X2 1 0.005 0.005 2.933 0.099 Calculado con el Programa XLSTAT 57 Cuadro 4: Análisis de varianza. Suma de los Media de los Fuente GDL cuadrados cuadrados F Pr > F Modelo 2 0.579 0.290 167.1 < 0.0001 Error 25 0.043 0.002 Total corregido 27 0.623 Calculado con el Programa XLSTAT (Calculado contra el modelo Y=Media (Y)) y R. 8.2 ANEXO 2. GRÁFICAS DE RESULTADOS Gráfica 1: Análisis de residuos. Calculado con el programa R. 58 Grafica 2: Observaciones potenciales Calculado con el programa R. Grafica 3: Predicciones (Y) vs observaciones observaciones (Y) Pred(Y) / Y 11.1 11 10.9 10.8    Y 10.7 10.6 10.5 10.4 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 Pred(Y) 59 10.9 11 11.1 Histograma 1: Residuos estandarizados. Residuos estandarizados / Y Obs27 Obs25 Obs23 Obs21   s   e   n   o    i   c   a   v   r   e   s    b    O Obs19 Obs17 Obs15 Obs13 Obs11 Obs9 Obs7 Obs5 Obs3 Obs1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Residuos estandarizados Calculado con el programa XLSTAT  60 1 1.5 2 8.3 ANEXO 3. LISTADO DEL PROGRAMA R PARA UNA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN COBB-DOUGLAS AJUSTADA AL SECTOR PRODUCTIVO MEXICANO (TOMADOS DEL CUADRO 5) > a<-read.table(file="clipboard",head=T) > attach(a) > a  Y X1 X2 1 10.53585 11.02958 11.02958 8.648221 2 10.66010 11.10411 11.10411 8.697680 3 10.54506 11.08024 11.08024 8.637107 4 10.60819 11.09924 11.09924 8.678291 5 10.62138 11.11507 11.11507 8.687948 6 10.71743 11.14532 11.14532 8.715388 7 10.59032 11.13327 11.13327 8.681011 8 10.61418 11.14438 11.14438 8.687779 9 10.52329 11.10826 11.10826 8.684570 10 10.51131 11.09331 8.709135 11 10.64307 11.15922 8.661986 12 10.63354 11.18329 8.734642 13 10.69941 11.16250 8.725458 14 10.69022 11.19312 8.739518 15 10.74364 11.20125 8.751269 16 10.75145 11.21319 8.731258 17 10.79730 11.24774 8.749789 18 10.78190 11.24924 8.718725 19 10.83729 11.25589 8.755502 20 10.82148 11.29018 8.762803 21 10.84797 11.29638 8.746111 22 10.91960 11.33079 8.757225 23 10.91598 11.33357 8.745385 24 10.95386 11.36468 8.763269 25 10.97493 11.39774 8.786784 26 10.91799 11.38184 8.744966 27 10.90567 11.42790 8.698681 28 11.03348 11.44817 8.673000 > reg<-lm(Y~X1+X2) > reg # Comandos para leer los datos., después de copiar los datos. # attach comando que establece el conjunto de datos a utilizar  # Utilizando la función lm que define el modelo de regresión múltiple (reg) Call: lm(formula = Y ~ X1 + X2) Coefficients: (Intercept) X1 -6.1950 1.1709 X2 0.4358 > resumen<-summary(reg) de la misma. > resumen # Obteniendo los datos importantes de la función summary, summary, nos n os da el resumen 61 Call: lm(formula = Y ~ X1 + X2) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.078440 -0.025424 0.007202 0.025985 0.064056 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -6.19496 1.83682 -3.373 0.00243 ** X1 1.17094 0.08467 13.830 3.24e-13 *** X2 0.43576 0.25436 1.713 0.09905 . --Signif. codes: 0 „***‟ 0.001 „**‟ 0.01 „*‟ 0.05 „.‟ 0.1 „ ‟ 1 Residual standard error: 0.04163 on 25 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9304, Adjusted R-squared: 0.9248 F-statistic: 167.1 on 2 and and 25 DF, p-value: 3.402e-15 >par(mfrow=c(2,2)) #con esto ponemos los 4 gráficos en la misma ventana > plot(reg) #Pidiendo los gráficos del modelo > matriz.modelo<-model.matrix(reg) > potenciales<-hat(matriz.modelo) #creamos la matriz de diseño #creamos potenciales que contiene la matriz hat del modelo #hacemos un > plot(potenciales) gráfico de potenciales para ver las observaciones altas. > identify(potenciales) #creamos potenciales que contiene la matriz hat del modelo > cook<-cooks.distance(reg) #distancia de las observaciones. observaciones. > significativas<-cook>1 #vector significativas para cook  > significativas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE 21 22 23 24 25 26 27 28 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE > atributos<- names(reg) escribir: > atributos [1] "coefficients" "coefficient s" "residuals" [5] "fitted.values" "fitted.va lues" "assign" # Accediendo a otros valores de reg y resumen, de forma directa, podemos "effects" "qr" "rank" "df.residual" "df.residua l" 62 [9] "xlevels" "call" "terms" "model" > names(summary(reg)) [1] "call" "terms" "residuals" "residual s" "coefficients" "coefficient s" [5] "aliased" "aliased " "sigma" "df" "r.squared" "r.squared " [9] "adj.r.squared" "adj.r.squared" "fstatistic" "fstatistic" "cov.unscaled" > reg$coefficients (Intercept) X1 X2 -6.194957 1.170940 0.435760 > median(resumen$residuals) [1] 0.00720157 # Accediendo a los coeficientes de los parámetros (betas) # La media de los residuales > sse<-sum(fitted.values$residuals^2) # Para obtener la suma de cuadrados de los residuales (sse) > sse [1] 0 > resumen$sigma [1] 0.04162714 # valor de sigma > resumen$sigma^2 [1] 0.001732819 # sigma cuadrada > resumen$fstatistic value numdf dendf  167.1274 2.0000 25.0000 # El valor del estadístico F con 2 y 25 grados de libertad: 63