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Diseño Curricular para Educación Primaria · Área Matemática | 89 Área Matemática los problemas han sido el motor de la evolución del conocimiento matemático, en su intento de dar solución a problemas planteados de la vida diaria, de otras ciencias y de la propia matemática. Por lo tanto, “hacer matemática” involucra, entre otras prác-ticas, utilizar las nociones para resolver problemas, reconocer los límites de su utiliza-ción, comparar y justificar los distintos procedimientos, discutir estrategias, formular conjeturas, relacionar lo que se sabía con el conocimiento matemático instituido.Desde esa perspectiva, la labor del docente es proponer situaciones en las cuales los conocimientos aparezcan como solución óptima y posible, lo que da lugar a la necesidad de otorgar un papel central dentro de la organización de la enseñanza a la existencia de las situaciones didácticas, según las cuales los niños enfrentan la resolución de los problemas, sin que el docente intervenga en cuestiones relativas al saber en juego. La ventaja de la enseñanza mediante las situaciones es la de generar una clasifica-ción de los procedimientos que pueden ser puestos en práctica en cada una de ellas: Situaciones de acción ■, en las que se genera una interacción entre los niños y el medio físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta para orga-nizar la resolución del problema planteado. Situaciones de formulación ■, cuyo objetivo es la comunicación. Para esto, deben modificar el lenguaje que utilizan habitualmente, precisándolo y adecuándolo a las informaciones que deben comunicar. Situaciones de validación ■, en la que se trata de convencer a uno o varios interlo-cutores de la validez de las afirmaciones que se hace. En este caso, los niños de-ben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones. No basta la comprobación empírica de que lo que dicen es cierto, hay que explicar por qué necesariamente debe ser así. Situaciones de institucionalización ■, que quedan a cargo del docente, destinadas a identificar los saberes sociales. En estas situaciones, se intenta que el conjunto de niños asuma la significación socialmente establecida de un saber que ha sido elaborado por ellos, en situaciones de acción, de formulación y de validación.El trabajo del docente será entonces: realizar aclaraciones, evitar dar indicaciones acerca de cómo resolver las situaciones para que sean los niños mismos quienes mo- vilicen en principio sus conocimientos, alentar a los niños en la tarea de resolución, colaborar con quienes no pueden avanzar con ese proceso, estimular a escribir los distintos procedimientos, ayudar a organizarse, valorar las diferentes soluciones –co-rrectas o no– o intentos de resolución, tratar de no pronunciarse de entrada respecto Fundamentación La Matemática se concibe como una ciencia construida por el hombre, dinámica, viva y en constante evolución. No está hecha para ser observada, ni para ver lo que hicieron otros. A la Matemática hay que hacerla, transformarla, mejorarla, cambiarla; el desafío es extender a la sociedad la idea de que la matemática es un quehacer para todos y no una disciplina sólo para elegidos. Es una manera de pensar, una forma de descubrir regularidades. Es el arte de anticipar qué sucederá cuando se decide hacer algo, sin tener que hacerlo realmente. Por ejemplo: saber el espacio disponible en el co-medor, si se quiere comprar una vitrina. De este modo, es importante considerar cómo progresa el conocimiento matemático y las condiciones en que es escolarizado.Para desarrollar este proceso, el docente debe tener dos elementos fundamenta-les como referencia: por un lado, el contenido mismo y, por otro, las situaciones en las cuales los niños encuentren su significado. En este sentido, el acto pedagógico requiere de dos procesos complementarios:La articulación de un proceso de transformación del contenido para hacerlo en-■señable por el docente y aprendible por los niños. En otras palabras, la relatividad del saber lleva al concepto de transposición didáctica (CHEVALLARD, 1985) el cual se refiere a la adaptación del conocimiento matemático para transformarlo en conocimiento para ser enseñado. Es decir, los docentes se ven situados frente a un contenido con el propósito de facilitar su aprendizaje y, también, de resignificar aportes efectuados por investigadores y especialistas en el ámbito específico del quehacer diario.Plantear secuencias didácticas para enseñar los contenidos que tengan en cuenta ■la realidad de los niños, la dimensión comunicativa, y la organización lógica de los conocimientos matemáticos. O sea, la interacción entre el nuevo conocimiento y el conocimiento previo. En este proceso, que no es lineal ni arbitrario, el nuevo conoci-miento adquiere significados para el niño y el conocimiento previo queda más rico, más diferenciado, más elaborado en relación con los significados ya presentes.Esto requiere develar los fundamentos en que efectivamente se cimenta la prácti-ca áulica, a los efectos de organizar alternativas didácticas, lo que implica pensar que 90 | Diseño Curricular para Educación Primaria · Área Matemática de la validez de los procedimientos y respuestas de los niños de modo de llevarlos a aprobar por sí mismos sus producciones, dar lugar a la socialización de conoci-mientos dentro del aula, promover la confrontación y el análisis de procedimientos, ayudar a los alumnos a apropiarse de procedimientos de otros, resaltar los beneficios de las soluciones, incentivar a hacer preguntas, identificar los nuevos conocimientos, establecer relaciones con otros conocimientos ya adquiridos y propiciar la utiliza-ción de los mismos en diferentes contextos. El lenguaje, en la clase, tiene la función de comunicación, por lo que el conocimiento matemático debe ser fuertemente sociali-zado. La función de comunicación se apoya sobre otra función del lenguaje que es la función de representación. Entonces lo que se representa son a la vez los elementos de la situación considerada, la acción y sus relaciones. Al resolver las situaciones, los niños:Se responsabilizan de la organización de su actividad para tratar de solucionar el ■problema propuesto, es decir, formulan proyectos personales. Anticipan e intentan resolver el problema varias veces. La resolución del problema ■planteado implica la toma de múltiples decisiones, y la posibilidad de conocer directamente las consecuencias de sus decisiones a fin de modificarlas y luego verificar los resultados de su actividad.Deben disponer de algunos saberes para entender la consigna y plantear la bús-■queda de la solución a través de diferentes estrategias que corresponden a diver-sos puntos de vista sobre el problema.Establecen relaciones sociales diversas: justificaciones, argumentaciones, debates ■o negociaciones con otros niños y con el maestro. (GÁLVEZ, G. 1994).Las situaciones didácticas pueden variar a voluntad del docente. Al ser cambiadas, “obligan” al niño a construir un nuevo procedimiento que se ajuste a las modificacio-nes para resolverlas. Estas modificaciones sucesivas permiten a los niños apropiarse del conocimiento matemático involucrado en las tareas en forma amplia e integral. La transformación de esas variables permite entonces engendrar, a partir de una si-tuación, ya sea un campo de problemas correspondientes a un mismo conocimiento, o un abanico de problemas que corresponden a conocimientos diferentes.Para presentar algunos de los conceptos, será necesario tener en cuenta que están organizados a través de campos conceptuales (VERGNAUD, G. 1997). Es necesario distinguir el concepto de su representación. Ésta puede ser: espontánea a través de dibujos, convencionales mediante tablas, diagramas, gráficos, etcétera, y cuyo domi-nio por parte de los niños ocurre a lo largo de un extenso periodo de tiempo de acuer-do a su aprendizaje y madurez. Por ejemplo: el campo conceptual de las estructuras aditivas, es el conjunto de situaciones que requieren una adición, una sustracción o una combinación de dichas operaciones, y para las estructuras multiplicativas es el conjunto de situaciones que requieren una multiplicación, una división o una combi-nación de tales operaciones. Asimismo, para un concepto matemático conviene distinguir su carácter de “ins-trumento” y su carácter de “objeto”. El objeto es el concepto matemático considera-do como objeto cultural que tiene su lugar en una construcción más amplia que es la del conocimiento inteligente en un momento dado, reconocido socialmente. Por instrumento se entiende su funcionamiento científico en los diversos problemas que permite resolver. Sin embargo, ese carácter pone en juego las relaciones que mantie-ne con los otros conceptos involucrados en el mismo problema. Es decir, existe una red de conceptos que gravitan alrededor de un concepto principal. Los instrumentos pueden pertenecer a diferentes marcos: físico, geométrico, numérico, gráfico y otros, teniendo cada marco sus objetivos, relaciones y formulaciones. Al reflexionar sobre el lugar del juego en la Escuela Primaria (MALAJOVICH, A. 2000) diferencia tres tipos de situaciones:Situación lúdica: actividad no estructurada en las que el niño tiene la libertad de ■elegir el qué, el cómo y con quién jugar. El docente planifica la actividad, pero los contenidos pueden trabajarse o no pues es el niño quien tiene la iniciativa.Situación de aprendizaje con elementos lúdicos: es una situación estructurada, ■planificada por el docente para trabajar determinados contenidos. El problema a resolver se presenta en forma de juego y son los niños quienes buscan diversas formas de resolución. Se trata de “jugar con la matemática”, disfrutar de pensar, de considerar problemas, de suponer que faltan datos y luego descubrir que no era así, y sobre todo, disfrutar del trayecto de la solución del juego. “Uno no deja de ju-gar porque envejece, sino que envejece porque deja de jugar” (PAENZA, A. 2010).Situación de no juego: es una actividad estructurada con la intención de enseñar ■contenidos, que no presenta componentes lúdicos. Sugerencias didácticas para la práctica de los juegos: Graduar las reglas de cada juego al nivel de los niños a los que va dirigido.■Utilizar el mismo material de juego para idear otros diferentes, modificando con-■ venientemente las reglas. Diseño Curricular para Educación Primaria · Área Matemática | 91 Cuando los niños logran el dominio de alguno de los juegos, se les propondrá que ■los adapten a sus propios gustos, con el cambio de algunas pautas.Si en un juego, la búsqueda de la estrategia ganadora resulta difícil, es aconsejable ■que se ensayen casos más sencillos. Al término de cada juego, pedir a los niños que lo analicen, que estudien qué ju-■gador tiene ventaja, el que sale primero o el que lo hace en segundo lugar, en qué casos tiene ventaja uno y en cuáles otro, o ensayar alguna estrategia ganadora. Propósitos Potenciar dispositivos de enseñanza que permitan la interpretación de conceptos ■ y relaciones en distintos marcos (geométrico, numérico, algebraico, gráfico) ya que gran parte de las nociones matemáticas puede intervenir en distintos dominios.Propiciar la formulación, enunciación y verificación de conjeturas, de problemas ■relacionados con las propiedades de los cuerpos y figuras.Organizar el concepto de medición, a través de la estimación, aproximación e in-■terpretación de la información referida en diferentes contextos, usando unidades de medidas informales y estandarizadas.Interpretar los procedimientos y representaciones en términos de conocimientos ■que desarrollan los alumnos al resolver las situaciones.Reconocer la importancia de realizar procedimientos y representaciones espontá-■neos de los niños en la evolución del conocimiento.Favorecer la modelización de situaciones problemáticas a través de materiales, ■tablas, dibujos, diagramas, gráficos, fórmulas, ecuaciones y algoritmos.Fomentar el trabajo en grupos para resolver secuencias de problemas, discutiendo ■estrategias, formulando conjeturas, examinando consecuencias y alternativas y reflexionando sobre los procedimientos y resultados. Selección, organización del contenido y orientaciones didácticas Si bien se muestran los ejes organizados como se presentan en los Núcleos de Aprendizaje Prioritarios, los contenidos se deben trabajar en lo posible en forma ar-ticulada en el desarrollo curricular del año y a lo largo de los años, dado que los con-ceptos matemáticos necesitan mucho tiempo de la vida del niño para conformarse como saberes socialmente reconocidos.Para la organización de trabajos en el aula (momentos de juego, de discusión y de validación) relacionar con los Ejes “En relación a la reflexión ética” y “En relación a la ciudadanía, los derechos y la participación” de Formación Ética y Ciudadana, y con los Ejes “La comprensión y la producción oral”, “En relación con la lectura” y “En relación con la escritura” del Área Lengua. Eje: Geometría y Medida ¿Qué relación tienen estos contenidos? Los contenidos de geometría y medida tienen puntos de coincidencia y la especificidad que los caracteriza. Por ejemplo: cuando se resuelven problemas de superficie y volumen, los dos conocimientos se complementan mientras que cuando se estudian las figuras y cuerpos geométricos se conceptualizan las propiedades de los mismos. Al realizar el tratamiento de la medida, las características que la distinguen son los procedimientos de estimación, aproximación y la identificación del atributo a medir y de la unidad.La enseñanza de la geometría ha de apoyarse en la resolución de problemas, a los efectos de propiciar la búsqueda de relaciones entre los elementos de las figuras, a través de la observación, comparación y construcción. El niño debe verbalizar y escribir las relaciones que descubre, proponer conjeturas sencillas que con los otros niños y el docente discutirán y validarán durante la clase de matemática. Las figuras geométricas se representarán en distintas posiciones, apoyadas sobre distintos lados y vértices a los efectos de que en otras construcciones o situaciones los niños puedan reconocerlas fácilmente. Por ejemplo: dada la representación de un rectángulo con las diagonales, se propone descubrir que los triángulos determinados por las diago-nales son iguales. El acceso a este tipo de conocimiento de manera que no se confun-da el objeto con la representación que propone, se realizará utilizando variedad de registros de representación, como la lengua materna, registro oral de las palabras o de las expresiones pronunciadas, registro gestual, el registro de la escritura, es decir, lo que se escribe o se dibuja (gráficas, fórmulas, cálculos, relación entre elementos; por ejemplo: suma de ángulos interiores, exteriores).La entrada en el trabajo argumentativo es una forma para que los niños se vin-culen con una manera específica de producir y validar relaciones con las figuras y cuerpos geométricos. Si bien algunas propiedades se aceptan como punto de par-tida, esto no significa que se enuncien sin ninguna interacción con ellas, se preten-de que los alumnos interactúen con los problemas para poder enunciarlas. De este modo: “…las situaciones que se propongan a los alumnos con la finalidad de indagar, identificar o reconocer propiedades de las figuras deben impactar en procesos in- 92 | Diseño Curricular para Educación Primaria · Área Matemática telectuales que permitan hacer explícitas las características y propiedades de los objetos geométricos, más allá de los dibujos que utilicen para representar dichas figuras” (ITZCOVICH, 2005).¿Qué clase de problemas plantear para que los conocimientos geométricos tengan sentido para el niño? En el aula se proporcionará a los niños situaciones geométricas que les ayuden a comprender, describir y representar cuerpos y figuras geométricas, de manera que los conocimientos les sean útiles para resolver proble-mas de la vida cotidiana y acceder al estudio de otras disciplinas. En este sentido se propiciarán tareas para:Organizar el espacio a través de los problemas espaciales que se caracterizan por ■plegar, doblar, dibujar, superponer, comunicar, armar, desarmar.Describir, representar y explicar, la posición de diferentes objetos en el espacio y ■las variaciones en cuanto a forma y tamaño que se pueden percibir como resulta-do de las diferentes ubicaciones de los observadores.Identificar, explorar y conocer las propiedades y características de las figuras y ■cuerpos geométricos, a través de juegos y de las construcciones geométricas, con distintos recursos como hojas de bordes paralelos, regla no graduada, regla gra-duada, transportador, escuadra, compás.Explorar y argumentar acerca del conjunto de condiciones (sobre lados, ángulos, ■diagonales y radios) que permiten construir una figura (triángulos, cuadriláteros y figuras circulares).Formular y verificar en casos particulares de conjeturas acerca de figuras, cuerpos ■ y sus relaciones, en el plano y en tres dimensiones.Utilizar propiedades de los movimientos (simetrías, traslaciones y rotaciones) en ■el plano para clasificar, generar y analizar figuras. Ampliar y reducir formas con cualquier factor de escala. Identificar escalas en-■tre figuras o las medidas de una figura en determinada escala y el efecto de una ampliación a escala sobre el área total y el volumen de un sólido.Construcción de figuras semejantes en base a sus propiedades. La demostración que se introduce, en los primeros niveles como comprobación ■en casos particulares, luego como justificación de construcciones o de relaciones entre objetos geométricos.La deducción geométrica y la verificación de resultados, relaciones y conjeturas.■Se pueden distinguir tres espacios en los cuales los problemas se plantean del mis-mo modo porque se ponen en juego diferentes posibilidades de control (BROUSSEAU, 1983): el micro-espacio, el espacio de los objetos que se pueden desplazar sobre una mesa, el meso-espacio, entre 0,5 y 50 veces el tamaño del sujeto que sitúa a los pro-blemas de desplazamientos, y el macro-espacio, que pone en juego problemas de re-ferencia y orientación.La geometría enseñada utilizando el micro-espacio, induce representaciones fuer-tes en los niños. Así, dos rectas secantes “deben” cortarse sobre la hoja de papel, las relaciones entre objetos “deben” ser visibles sobre la hoja. Trabajar fuera del aula en el meso espacio permitirá organizar el espacio, y para establecer actividades en el macro-espacio podría trabajarse con simulaciones; por ejemplo: maquetas del sistema solar. ¿Cómo abordar la medida? ¿Qué significa medir? La medida es una forma de explorar la realidad y ayuda a ver la utilidad de la matemática en la vida cotidiana por los diversos contextos en que se usa, a la vez que favorece la construcción de conceptos numéricos, geométricos y estadísticos. También permite relacionar lo aprendido en matemática con el entorno y con otras áreas del conocimiento como las ciencias naturales, la geografía o la tecnología. Además, tiene la propiedad de preparar la noción de distancia entre puntos, rectas u otros objetos geométricos que luego dan srcen a modelos de la geometría de posición y vectorial. Esta dimensión incluye también el cálculo de longitudes, perí-metros, áreas y volúmenes.La necesidad de medir plantea el uso de estrategias, unidad e instrumentos que dependen de la naturaleza de las cantidades a medir y que, en principio, pueden ser arbitrariamente elegidos por el docente. La discusión sobre la pertinencia de los mis-mos y los inconvenientes en su uso lo irá conduciendo a la búsqueda progresiva de unidades de instrumentos más eficaces hasta llegar a los de uso convencional. Los conocimientos informales que los niños traen a la escuela acerca de este tipo de uni-dades (metro, kilogramo, hora, etcétera.) deberán ser aprovechados para mostrar la ventaja de los códigos convencionales que se han establecido socialmente.La medida de cantidad continua en la mayoría de lo casos no será entera y plan-teará la necesidad de expresar cantidades menores que la unidad considerada, dando lugar a la aparición de fracciones de la misma (1/2 m, 1/4 kg, etcétera.) o de unidades menores de medida (cm, g, cl, etcétera), con lo cual surgiría la ventaja de uso de los números racionales (fraccionarios y decimales) para expresar las medidas con distin-to grado de precisión, tratamiento que comenzará a partir del 4to Año. Aprender que toda medición de cantidades continuas es inexacta, es decir, admitir que toda medición posee error y cómo acotarlo ha de ser tarea de 4to a 7mo Año, dado
