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Hormigón pretensado: Introducción y Práctica
Curso 2.009 – 2.010
EJERCICIO nº 1 Calcular la viga necesaria para la realización de un puente para soportar cargas de tráfico, compuesto por unas vigas prefabricadas pretensadas junto con una prelosas de hormigón armado in situ de un espesor total de 30 cm. que recoge la capa asfáltica de la calzada con un espesor de 7 cm., con una luz de cálculo de 20,00 m. 14,00 mt.
2,00 mt.
2,00 mt.
2,00 mt.
2,00 mt.
2,00 mt.
2,00 mt.
Figura 1: Sección del puente en estudio La geometria de la pieza prefabricada es la de una sección en doble T asimétrica con las siguientes dimensiones. C H G
B
F
hT
E D A Figura 2: Definición de la sección en estudio. A = 60 cm. B = 13 cm. C = 100 cm. D = 34 cm.
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E = 8 cm. F = 110 cm. G = 8 cm. H = 10 cm.
h T = 170 cm.
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Las acciones a considerar para obtener los esfuerzos sobre la viga pretensada son las consideradas en en la Instrucción IAP 98. 98. Para la mayoración mayoración de acciones sconsideraremos sconsideraremos un control de ejecución INTENSO. Los materiales a utilizar en la fabricación de la pieza pretensada son Hormigón ............ Acero activo......... activo......... Acero pasivo........
HP-50 Y 1860 C S7 B-500 S.
Calcular: 1.-
La envolvente envolvente de esfuerzos más desfavorable desfavorable tanto para el cálculo del momento último que debe soportar la pieza como para la el cortante más desfavorable a los que se encuentra solicitada la pieza prefabricada pretensada.
2.-
Las características caracter ísticas mecánicas de las secciones bruta, neta y homogeneizada.
3.-
Las pérdidas instantáneas instantáneas y las pérdidas diferidas.
4.-
Las tensiones en transferencia transferencia para la fibra superior y fibra inferior, en la sección central y en la sección correspondiente a la longitud de transferencia.
5.-
El momento último de la pieza.
6.-
El momento de descompresión descompresión
7.-
El momento de aparición de fisuras.
8.-
La armadura necesaria para soportar el esfuerzo cortante.
9.-
La deformación máxima de la viga.
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HOJA DE RESULTADOS Materiales: Hormigón.............................. HPAcero Armaduras Activas..... Y 1860 C S7 º Sección cordón...................... cm 2 Acero Armadura Pasiva........ B-500 S. º Eci = Kp/cm2 Esp = Kp/cm2 F pk = Kp/cm2 F pd = Kp/cm2 ε0,7 = Dimensiones de la pieza:
Esa = nsp = σ0i = εlim = f ct,k ct,k =
A= E =
C= G=
cm.; cm.;
B= F=
cm.; cm.;
hT
Kp/cm2
nsa =
Kp/cm2
σ0p = 0,7·F pd =
Kp/cm2 cm.; cm.;
D= H=
cm.; cm.;
hT =
Kp/cm2 Kp/cm2
cm.;
Distribución de armadura activa y pasiva: Posición Nº cables Posición Nº cables
Armadura activa Posición Nº barras Posición Nº barras
Armadura pasiva
Nº de cables = Resultante de la fuerza de pretensado (desde la cara inferior de la pieza), Perdidas Instantáneas =
%
Perdidas Diferidas =
%
y p = Perdidas Totales =
cm. %
Propiedades de la sección A (cm2)
Sección
I (cm4)
ygi (cm.)
ygs (cm.)
wgi (cm3)
wgs (cm3)
Bruta Neta Homogeneizada
Peso de la pieza =
kg/ml.
Resultados: Fase
Momento (Kp·m)
Transferencia Descompresión Aparición fisuras Ultimo
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cs
(kg/cm 2)
ci
(kg/cm 2)
yfn (cm.)
e (cm.)
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1 MATERIALES Y CONTROL DE EJECUCIÓN: Los materiales que se han tenido en cuenta, de acuerdo al citado proyecto han sido: - Hormigón.............. Hormigón............................. ............... HP-50/P/12/IIa - Acero corrugado.................. corrugado.................. B-500 S cuya resistencia característica y límite elástico son 500 kg/cm 2 (50 N/mm2) y kg/cm2 (500 N/mm2) respectivamente. respectivamente.
5.100
Los coeficientes de minoración de estos materiales serán: - Hormigón............................. Hormigón............................. 1,50 - Acero corrugado.................. corrugado.................. 1,15 El nivel de control del citado proyecto está previsto que sea INTENSO, con lo que, según el artº 95 de la Norma EHE, el coeficiente de seguridad aplicado es 1,35 para las cargas permanentes de valor constante y 1,50 para las sobrecargas. El recubrimiento exigido para las armaduras es 30 mm. de acuerdo a la clase de exposición exigida exigida IIa (artº 37.2.4 EHE): r nom nom = r min + Δ r ; 30 mm = 25 + 5 La viga objeto de este estudio técnico se ha calculado para presentar una fisuración menor de 0,2 mm. (ambiente de exposición IIa). 2 NORMATIVA, ACCIONES y DATOS GEOMÉTRICOS: Para calcular la Viga que componen el puente del ejemplo a realizar, se han seguido las siguientes Normas: - Instrucción relativa a las acciones a considerar en el Proyecto de Puentes de Carretera (I.A.P. 98). - Instrucción para el el proyecto y la la ejecución de obras de hormigón hormigón en masa ó armado (EHE) - Norma Básica Básica de la Edificación, Edificación, Acciones en la Edificación Edificación (NBE-AE-88) y de acuerdo a ellas y a las indicaciones del proyecto citado, se han tenido en cuenta las siguientes acciones gravitatorias: - Peso propio del hormigón armado ......................... ......................... 2.500 k/m 3
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- Peso propio del acero corrugado............................ corrugado............................ 7.850 kg/m 3 - Sobrecarga de tráfico: tráfico: El tren de cargas considerado es el recogido en la instrucción I.A.P. 98 en su articulo 3.2.3.1.1 y que definimos a continuación. Las componentes verticales del tren de cargas corresponden a las tres acciones siguientes actuando conjuntamente:
• Una sobrecarga uniforme de cuatrocientos kilopondios por metro cuadrado, extendida en toda la plataforma del tablero o en parte de ella, según sea más desfavorable para el elemento en estudio. • Uno o dos vehículos de sesenta mil kilopondios, cuyo eje longitudinal se considerará paralelo al de la calzada y formado cada uno por seis cargas de cien mil kilopondios. La separación entre cargas en sentido longitudinal será de un metro y cincuenta cm. y en sentido transversal de dos mt. la superficie de apoyo sobre la que actuará cada carga será de veinte cm., paralelamente paralelamente al eje del vehiculo, por sesenta cm. de ancho. (figura 1). 1,50 mt
1,50 mt
2,00 mt
2,00 mt.
0,20 mt
Figura 80: Distribución huellas tren de cargas. En puentes de anchura de plataforma del tablero menor o igual que doce metros, se considerara la actuación de un solo vehiculo pesado en dicho tablero.
• Una sobrecarga uniforme de cuatrocientos kilopondios por metro cuadrado extendida en toda la superficie, o en parte de ella según sea más desfavorable para el elemento en estudio, de aceras, pistas para ciclistas o ciclomotores, zonas reservadas a paso de animales y medianas que estén físicamente separadas de la plataforma del tablero.
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En el ejemplo que estamos desarrolando tenem os acciones perfectamente definidas:
• Peso propio de la estructura. • Sobrecarga de vehículo (junto con la sobrecarga mínima de 400 kg/m 2.) (P.P.) ….el peso propio estructura (S.C.)…...la
……………
Acción permanente
sobrecarga de trafico….…………. … Acción variable
A cada una de ellas se le aplicará el coeficiente de mayoración de acciones correspondiente para combinarlas en la situación más desfavorable para cada una de sus secciones; como nivel de control de ejecución tenido en cuenta en esta estructura tomamos control intenso, de acuerdo con el artº 3.4.1 de la I.A.P. para la comprobación de los Estados Límite Últimos serán: EFECTO DESFAVORABLE
EFECTO FAVORABLE
• Peso propio de la estructura…………………………
γ G = 1,35 …….
γ G = 1,00
• Sobrecarga ………………………………………….
γ Q = 1,50 …….
γ Q = 0,00
• Peso propio de la estructura…………………………
γ G = 1,00 …….
γ G = 1,00
• Sobrecarga …………………………………………..
γ Q = 1,00 …….
γ G = 0,00
y para la comprobación de los Estados Límite de Servicio:
Todas las acciones anteriormente citadas se combinan con todas las combinaciones posibles de acuerdo al artº nº 13 de la Norma EHE, cada una afectada por su correspondiente coeficiente de mayoración, y con la envolvente de todas ellas se han calculado los esfuerzos cortante y flector en cada sección de la viga, con los cuales, mediante los métodos indicados por la Norma EHE, se ha dimensionado la viga, teniendo en cuenta los coeficientes de mayoración de acciones ya citados de acuerdo a la combinación desfavorable, y de minoración de resistencias del hormigón y del acero corrugado de acuerdo al nivel de control exigido para este proyecto.
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4.3. CALCULO DE LOS ESFUERZOS EN LA VIGA El modelo estructural utilizado para el análisis de los esfuerzos de la viga se corresponde con una viga biapoyada, con una longitud total de 24 mt. La sección de la viga es la recogida en la siguiente figura, que de acuerdo con un peso especifico Kg del hormigón de 2.500 3 , contribuyendo con un peso propio de 1.303 Kg/ml. m C H G
B
F
E D A Figura 81: Definición de la sección en estudio. Particularizando en la sección de estudio donde las diferentes magnitudes toman los siguientes valores: A = 60 cm. B = 13 cm. C = 100 cm. D = 34 cm.
E = 8 cm. F = 110 cm. G = 8 cm. H = 10 cm.
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En primer lugar calculamos los esfuerzos a los que se encuentra solicitada la pieza en estudio, para ello comenzamos con obtener la carga lineal y cargas puntuales que repercuten sobre las vigas de acuerdo al esquema del puente de la figura 1. De acuerdo a la instrucción IAP_98 y considerando las acciones que en ella se reflejan necesitamos realizar la línea de influencia con las cargas móviles provenientes del tren de cargas definida en dicha normativa. X P = 20 t.
2,00
2,00
2,00
P = 20 t.
2,00
2,00
2,00 2,00
2,00
Figura 82: Esquemas de acciones losa de hormigón in situ
Obteniendo una reacción máxima máxima sin mayorar de valor R max = 25.830 Kp. Como el intereje intereje entre las piezas es de 2,00 mt. y el espesor de la capa de compresión compresión es de 20 Kg cm. repercuten sobre la viga con una carga lineal de valor máximo de 1.133 , consideramos ml Kg también la repercusión de la sobrecarga de 400 2 , que repercute con una carga lineal de valor m Kg máximo 907 , por ultimo incluimos la acción de carga permanente de la capa de asfalto que ml Kg con un peso especifico de 2.300 3 y un espesor total de 7 cm. obtenemos una carga lineal de m Kg 365 . ml
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Hipótesis 1 P = 0 + 25.830 Kp. q = 2.801 + 907 Kp. 11,50 10,00 8,50 P
P
P q
20,00
Figura 83: Esquemas de acciones hipótesis 1 Con esta primera hipótesis obtenemos el momento más desfavorable para el dimensionamiento de la pieza. Md = 140.050·1,35 + 394.055·1,50 = 780.156 Kp·m Vrd = 28.010·1,35 + 47.815·1,50 47.815·1,5 0 = 109.536 Kp·m Hipótesis 2 P = 0 + 25.830 Kp. q = 2.801 + 907 Kp. 3,00 1,50
P
P
P q
20,00
Figura 84: Esquemas de acciones hipótesis 2
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Con esta segunda hipótesis obtenemos el cortante más desfavorable para el dimensionamiento de la pieza. Md = 140.050·1,35 + 122.012·1,50 122.012·1,50 = 372.092 Kp·m Kp·m Vrd = 28.010·1,35 + 54.918·1,50 54.918·1,5 0 = 120.191 Kp·m
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4.4. DESARRROLLO CALCULO VIGA PRETENSADA En primer lugar obtenemos las propiedades para las diferentes secciones (bruta, neta y homogeneizada) necesarias para el cálculo de las diferentes propiedades seccionales. Al tratarse de una geometría particular, para el análisis de las propiedades de la sección realizamos una descomposición de la sección de la pieza en figuras geométricas compuestas por rectángulos y triángulos a partir de los cuales con la aplicación Tª de Steiner obtenemos la Inercia baricentrica de la sección. C H G
B
F
E D A Figura 85: Definición de la sección en estudio. Para obtener la inercia de la sección con respecto a su centro de gravedad utilizamos el Tª de Steiner y la definición de momento estático de un área con respecto a un eje definido. Tª de Steiner Ia-a = IG + Ω·dAG2 Donde: IA = Es el momento de inercia de la sección con respecto a un eje a-a definido. IG = Es el momento de inercia de la sección con respecto a su centro de gravedad. Ω = Es el área de la sección en estudio. dAG = Es la distancia existente entre el eje a-a y el centro de gravedad de la sección. Momento Estático de un área (sección) con respecto a un eje a-a M estático a-a = Ωi · dig_a-a
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Donde:
Ωi = Es el área correspondiente a los diferentes elementos en los que hemos dividido la sección conjunto. dig_a-a = Es la distancia desde el centro de gravedad del elemento i de división de la sección conjunta al eje de análisis a-a. En nuestro caso el eje a-a lo tomamos en la cara inferior de la sección por la comodidad de obtener diferentes datos necesarios con respecto a dicha fibra inferior de la sección.
G
a
a Figura 86: Definición de los ejes en estudio de la sección.
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Con el recordatorio anterior y dividiendo la sección en elementos geométricos como son triángulos y rectángulos y aplicando el Tª de Steiner y la definición de momento estático obtenemos el centro de gravedad de la sección y su correspondiente correspon diente momento de Inercia con respecto a dicho punto. 5 4
4
3
2
2
1
Figura 87: División de la sección en elementos conocidos. En primer lugar obtenemos los valores de la sección, momento inercia baricentrico y el momento estático de los i-elementos en los que hemos dividido la sección, así como la posición del centro de gravedad de los i-elementos con respecto a la fibra inferior de la sección, es decir, del eje a-a, por ultimo calculamos el producto de la sección por la distancia al cuadrado del eje a-a al c.d.g. de los diferentes elementos. Particularizando en la sección de estudio donde las diferentes magnitudes toman los siguientes valores: A = 60 cm. B = 13 cm. C = 100 cm. D = 34 cm.
E = 8 cm. F = 110 cm. G = 8 cm. H = 10 cm.
Obteniendo los siguientes resultados que recogemos en la tabla que a continuación presentamos: Sección bruta
Zona
Dig
Ω
M estático
Ioi
1 2 3 4 5 Total
17 36,6667 85 157,3333 165
2.040 188 1.638 348 1.000 5.214
34.680 6.893 139.230 54.752 165.000 400.555
196.520 668 2.167.074 1.237 8.333 2.373.833
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Ω· Dig2
589.560 252.756 11.834.550 8.614.315 27.225.000 48.516.180
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Obtenidos los diferentes datos recogidos en la tabla anterior obtenemos a continuación la posición del centro de gravedad de la sección con respecto a la fibra inferior y superior de la misma.
ygi =
Momento estatico de la sec ción total Area de la sec ción total
ygs = Altura total de la pieza - y g A continuación aplicando la expresión del Tª de Steiner obtenemos la inercia principal de la sección con respecto a su centro de gravedad. En primer lugar calculamos la inercia total como suma de la expresión del Tª de Steiner para los i-elementos que componen la sección. Ia-a = Itotal = 2.373.833 cm 4 + 48.516.180 cm 4 = 50.890.013 cm 4 Aplicando de nuevo el Tº de Steiner obtenemos la Inercia con respecto al c.d.g. de la sección. IT = IG + Ω·ygi2 → IG = IT + Ω·ygi2 → IG = 20.118.135 cm 4 A continuación definimos el número de cables y su posición Posición 4 8 12 18 26 166
Nº de cables 10 8 8 8 6 4
La resultante de la compresión se sitúa a 26,45 cm. de la cara inferior. Para el análisis de esta pieza prefabricada utilizaremos hormigón HP-50, con de resistencia característica a compresión de 50 N/mm 2 y como acero utilizaremos acero Y 1860 S7 de diámetro 0,5” con una sección equivalente de 1,00 cm 2 y acero B-500 S para la armadura pasiva. A continuación definimos el número barras, su diámetro y su posición Posición 166
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Nº de cables 6
Diámetro 20
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Definimos a continuación los coeficientes de equivalencia , de acuerdo a los módulos de Young de los diferentes elementos que intervienen. Determinamos el modulo de deformación (MODULO DE YOUNG) para el hormigón: Eci = Ec = 10.000· 3 (50 + 8) = 38.708
N Kp = 387.087 2 mm cm 2
Relación hormigón-armadura activa:
n p =
E p 1.900.000 = = 4,91 E c 387.087
Relación hormigón-armadura pasiva:
ns =
E s 2.100.000 = = 5,42 E c 387.087
La fuerza de tesado tesado P o ha de proporcionar sobre las armaduras activas una tensión σ po no mayor, en cualquier punto, que el menor de los dos valores siguientes. 0,75 f p máx. ó 0,90 f pk pk
siendo:
f p máx. = Carga unitaria máxima característica. f pk = Limite elástico característico.
dicho limite elástico característico esta comprendido entre el 0,88 y el 0,95 de la carga unitaria máxima f p máx. f pk = 0,88 · 18.600
Kp Kp = 16.368 cm 2 cm 2
Para el acero Y 1860 S7 cuyo límite elástico característico característic o es de 18.600 máxima de tesado σ po tiene un valor de: Kp Kp = 13.950 cm 2 cm 2 Kp Kp 0,90·16.368 = 14.731 cm 2 cm 2 0,75·18.600
Tomaremos pues como valor inicial de tesado una fuerza Po = 13.950 Kp.
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Kp , la tensión cm 2
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Con los valores de la sección bruta y la posición, el número de cables y su sección obtenemos a continuación las propiedades de las sección neta y homogeneizada. Sección neta. Armadura activa As =
∑ n· A
Es =
∑ d · A
= 16 166·6·3,141 = 3.128 cm cm 3
Is =
∑ d · A
= 1662·6·3,141 = 519.320 cm 4
si
i
2 i
= 6·3,141 = 18.846 cm 2
si
si
Armadura activa A p =
∑ n· A
E p =
∑ d · A
= 10·1,00·4 + 8 ·1,00·8 + 8 ·1,00·12 + 8 ·1,00·18 + 6·1,00·26 ·1,00·166 = 1.164 cm 3.
I p =
∑ d · A
= 10·1,00·4 2 + 8 ·1,00·8 2 + 8 ·1,00·12 2 + 8 ·1,00·18 2 + 6·1,00·26 2 + 4 ·1,00·166 2 = 118.696 cm4.
pi
i
2 i
pi
pi
= 44·1,00 = 44,00 cm 2
Aneta = A bruta – As – A p + As·ns = 5.214 – (44·1,00) – (6·3,141) + (6·3,141·5,42) Aneta = 5.253 cm2. Eneta = E bruta – Es – E p + Es·ns= 400.155 – 3.128 – 1.164 + (3.128·5,42) (3.128·5, 42) = 413.238 cm 3. Iinferior, neta = Iinferior, bruta – Is – I p + Is·ns = 50.890.013 –519.320 – 118.696 + 519.320·5,42 Iinferior, neta = 53.069.810 cm 4. yo,inferior =
E neta = 78,66 cm. Aneta
yo,superior = 91,34 cm. Io,neta = Iinferior, neta - Aneta·yo,inferior 2 = 20.564.195 cm 4. winferior =
20.564.195 = 261.429 cm 3. 78,66
wsuperior =
20.564.195 = 225.141 cm 3. 91,34
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+4
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Sección homogeneizada. Ahomogeneizada = A bruta – As – A p + As·ns + A p·n p = 5.214 – (44·1,00) – (6·3,141) + (48·1,131·4,91) (48·1,131·4,91) + (6·3,141·5,42) (6·3,141·5,42) = 5.470 cm 4 Ehomogeneizada = E bruta – Es – E p + Es·ns + E p·n p = 400.155 – 3.128 – 1.164 + 3.128·5,42
+
1.164·4,91 = 418.951 cm 3 Iinferior, homogeneizada = Iinferior, bruta – Is – I p + Is·ns + Is·ns = 50.890.013 –519.320 – 118.696 + 519.320·5,42 + 118.696·4,91 = 53.652.423 cm 4 yo,inferior =
E hom ogeneizada = 76,60 cm. Ahom ogeneizada
yo,superior = 93,40 cm. Io,neta = Iinferior, bruta - Aneta·yo,inferior 2 = 21.561.049 cm4. winferior =
21.561.049 = 281.478 cm 3. 76,60
wsuperior =
21.561.049 = 230.845 cm 3. 93,40
Sección
A (cm2)
Io (cm4)
y i (cm)
y s (cm)
Wi (cm3)
Ws (cm3)
Bruta
5.214 5.253 5.470
20.118.135 20.564.195 21.561.049
76,82 78,66 76,60
93,17 91,34 93,40
261.876 261.429 281.478
215.913 225.141 230.845
Neta Homogeneizada
Obtenidas
las
propiedades
de
la
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sección
iniciamos
el
cálculo
seccional.
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A continuación calculamos las perdidas tanto instantáneas como diferidas para la posterior obtención de los diferentes momentos de la sección.
P erdidas erdidas instantáneas: Las perdidas instantáneas se van a producir por tres factores: 1) Perdidas por rozamiento Δ P 1. 2) Perdidas por penetración de cuñas Δ P 2. 3) Perdidas por acortamiento elástico del hormigón Δ P 3. • Perdidas
instantáneas por rozamiento:
α = variación angular → → En nuestra pieza α = 0 →
P 1 = 0
• Perdidas instantáneas por penetración de cuñas en las bancadas:
Dicha penetración de la cuña se estima en un entorno de δc ≈ 3-12 mm y obtenemos su valor con la siguiente expresión. Δ P 2 =
δ c
l t
·E p
δc = acortamiento de la cuña. lt = longitud del tendón. E p = modulo longitudinal de deformación del acero activo. A p = Sección de la armadura activa. Δ P 2 =
7 Kp Kp ·1,90·106 2 = 133 1.000 ⋅ 100 cm cm 2
Equivale a un 0,8667 % de la tensión inicial. • Perdidas instantáneas por acortamiento elástico del
hormigón (sección central):
E p E c
Δ P 3 = σ cg cg ·
E p = modulo longitudinal de deformación del acero activo. Ec = modulo instantáneo de deformación longitudinal del hormigón. σcg = tensión de compresión a nivel del centro de gravedad de las armaduras activas. Ec = 10.000· 3 fcm, j f cm,j cm,j = resistencia media a compresión del hormigón ≈ f ck ck + 8 f cm,j cm,j = 58
N mm2 Luis Forcano Obón
N mm2
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Ec = 10.000· 3 58 = 38.70 38.7088
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N Kp = 387.087 mm2 cm 2
Al valor obtenido para el modulo de deformación longitudinal del hormigón le aplicamos un factor en función del tiempo que se estima en 3 días, plazo en el que se realiza la transferencia al hormigón del tesado inicial de las armaduras. Ec · α = 10.000· 3 58 · 0,74 = 28.643 28.643 E p = 1,90·106
N Kp = 286.439 2 2 mm cm
Kp cm 2
Posición correspondiente al c.d.g. de las armaduras activas con respecto a la fibra inferior de valor 26,45 cm. Posición del centro de gravedad de la sección neta con respecto a la fibra inferior de la sección de valor 78,66 cm. Excentricidad con respecto al c.d.g. de la sección neta = 78,66 – 26,452 = 52,21 cm. Kg 1.304·20 2 → M pp = Peso propio de la sección = 1.304 = 65.175 Kp·m ml 8 A continuación determinamos la σcg:
σcg =
M P K P K ⋅ eneta + ⋅ y neta − pp · y hom o Ω neta I neta I hom o
Kp Kp Kp – (0,86%·13.950) = 13.829 cm 2 cm 2 cm 2 Kp Pk = 13.829 · 44 · 1,00 cm 2 = 608.476 Kp. 2 cm Ineta = 20.564.195 cm 4 Ihomo = 21.561.049 cm 4 Ωneta = 5.253 cm2 Pk = 13.950
σcg =
608.476 608.476·52,21 6.517.500 + ⋅ 52,21 − ·50,14 5.253 20.564.195 21.561.049
σcg = 115,83 + 80,65 – 15,15 = 179,93
Kg cm2
E p Kg 1,90·10 6 Kg = 179,93 2 · = 1.193 Δ P 3 = σ cg cg · E c cm 286.439 cm2
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Hormigón pretensado: Introducción y Práctica
Equivale a un 8,55 % de la tensión inicial. Luego como resultado final de las pérdidas las pérdidas instantáneas tenemos un: 0,866 + 8,55 = 9,42 %
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Hormigón pretensado: Introducción y Práctica
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P erdidas erdidas Diferidas: Las perdidas diferidas se van a producir por tres factores: 1) Perdidas por retracción Δ P 4.4. 2) Perdidas por fluencia Δ P 5. 3) Perdidas por relajamiento del acero Δ P 6 6. De acuerdo al artículo 20.2.2.2 de la instrucción E.H.E., E.H.E., las pérdidas diferidas en el pretensado se obtienen mediante la siguiente expresión, teniendo en cuenta la interacción de las tres pérdidas citadas anteriormente: ∆Pdif =
n ⋅ (t , t 0 ) ⋅ σ cp + E p ⋅ ε cs (t , t 0 ) + 0,8 ⋅ Δσ pr ⋅ A p 2 A ⎛ A ⋅ y ⎞ 1 + n ⋅ P ⎜1 + c p ⎟(1 + X ⋅ ϕ (t , t 0 )) ⎜ Ac ⎝ I c ⎠⎟
= Distancia del centro de gravedad de las armaduras activas al centro de gravedad de la sección. y p = ehomogenizada = 50,14 cm. yp
n p =
E p 1.900.000 = = 4,91 E c 387.087
φ(t,t 0 ) = Coeficiente de fluencia.
ϕ (t,t β c·(t-t 0 ) (t,t 0 )= ϕ 0· β
Donde: ϕ 0 = Coeficiente básico de fluencia, dado por la siguiente expresión ϕ 0 = ϕ HR· β β (f β (t (f cm (t 0 ) cm )· β
A continuación determinamos el espesor ficticio e =
2 ⋅ A μ
Donde: A = sección del elemento. μ = perímetro del elemento. e=
2 ⋅ 5.214 = 16,21 cm. = 162,10 mm. 642
ϕ HR =1+
A = 5.214 cm 2 μ = 643 cm.
100 − HR 100 − 70 =1+ = 1,5557 9,9 ⋅ e (1 / 3) 9,9 ⋅ 162,10 (1 / 3) Luis Forcano Obón
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β (f (f cm cm )=
β (t (t 0 )
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16,8 16,8 = =2,205 f ck + 8 50 + 8
(3 días) =
1 = 0,74 0,1 + t 00, 2
(f cm (t 0 ) =1,5557·2,205·0,74 = 2,55 ϕ 0 = ϕ HR· β β (f β (t cm )· β
⎡ (t − t 0 ) ⎤ β c·(t-t 0 )= ⎢ ⎥ ⎣ β H + (t − t 0 ) ⎦ β H = 1,5·e·[1+(0,012·HR) 1,5·e·[1+(0,012·HR)18 ]+ 250
0, 3
nunca mayor mayor que 1500 1500
β H = 1,5·162,10·[1+(0,012·70) 1,5·162,10·[1+(0,012·70)18 ]+ 250 = 493,202 0 ,3
10.000 ⎡ ⎤ β c·(t-t 0 )= ⎢ ⎥ = 0,9856 493 , 202 10 . 000 + ⎣ ⎦ ϕ (t,t β c·(t-t 0 ) =2,55 · 0,9856 =2,498 (t,t 0 ) = ϕ 0· β εcs =
Deformación de retracción. β s(t-t s ) εcs (t –t s ) ) = εcso· β ) β HR εcso = εs· β ε s(f cm )·10-6 cm )=(570 – 5·f ck ck ε s(f cm cm )=
⎡ ⎛ f cm ⎞⎤ −6 160 10 β + ⋅ ⎜9 − ⎟⎥ ⋅ 10 SC ⎢ ⎝ 10 ⎠⎦ ⎣
EHE artº 39.7 Calavera
Donde: f cm cm = resistencia media del hormigón en 28 días, se acepta el valor f cm cm = f ck ck + 8 . β SC SC =
N en condiciones normalizadas a los mm 2
Coeficiente dependiente del tipo de cemento con valor 5 para cementos de endurecimiento normal ó rápido. f cm cm = 58
N mm 2 Luis Forcano Obón
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εs(f cm )·10-6 = 32·10-5 cm)=(570 – 5·f ck ck )·10 ε s(f cm cm )=
⎡ ⎛ 9 − 58 ⎞⎤ ⋅ 10 −6 = 32·10-5 160 10 5 + ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎥ ⎢ 10 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎛ ⎛ HR ⎞ 3 ⎞ ⎛ ⎛ 70 ⎞ 3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ β HR =-1,55· ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟⎟ =-1,01835 ⎜ ⎝ 100 ⎠⎟ ⎟ =-1,55· ⎜1 − ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎠ εcso = εs· β β HR =32·10-5·-1,01835 =-0,000325872
) = β s(t-t s )
t − t s =0,95324982 0,035·e 2 + (t − t s )
εcs(t –t s ) ) =-0,000325872·0,95324982 =-0,000325872·0,95324982 =-0,00031064
Posición correspondiente al c.d.g. de las armaduras activas con respecto a la fibra inferior de valor 26,45 cm. Posición del centro de gravedad de la sección neta con respecto a la fibra inferior de la sección de valor 78,66 cm. Excentricidad con respecto al c.d.g. de la sección neta = 78,66 – 26,45 = 52,21 cm. Kg 1.304·20 2 Peso propio de la sección = 1.304 = 65.175 Kp·m → M pp = ml 8 A continuación determinamos la σcg:
σcg =
M P K P K ⋅ eneta + ⋅ y neta − pp · y hom o Ω neta I neta I hom o
Kp Kp Kp – (9,42%·13.950) = 12.635 cm 2 cm 2 cm 2 Kp Pk = 12.635 · 44 · 1,00 cm 2 = 555.984 Kp. 2 cm Ineta = 20.564.195 cm 4 Ihomo = 21.561.049 cm 4 Ωneta = 5.253 cm2 Pk = 13.950
555.984 555.984·52,21 6.517.500 + ⋅ 52,21 − ·50,14 5.253 20.564.195 21.561.049 Kg σcg = 105,83 + 73,69 – 15,15 15,15 = 162,97 162,97 2 cm
σcg =
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∆σ
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= ρ1 P ki A p
De acuerdo a los datos obtenidos en los ensayos, se determinan los siguientes valores para la relajación a las 120 y 1.000 horas respectivamente, obteniendo los siguientes valores:
Tiempo (horas) 1 3 6 9 15 30 60 120 240 480 1440 2880 5760 7200 15000 60000
ρ120 = 0,86 ρ1.000 = 1,0 725
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Relajación (%) 0,19 0,31 0,43 0,56 0,69 0,77 0,86 0,95 1,04 1,10 1,18 1,26 1,34 1,43 1,52
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Con dichos datos, obtenemos los coeficientes K 1 y K 2, conocidos los cuales podemos obtener el valor de la relajación para cualquier intervalo de tiempo, el estudio lo realizamos para 1.000.000 de horas, equivalente a 114 años, de acuerdo al articulo 38.9 de la EHE. log ρ = K 1 + K 2 · log t log 0,86 log 0,86 = K 1 + K 2 · log120 → -0,065 = K 1 + K 2 · 2,079 log 1,0725 log 1,0725 = K 1 + K 2 · log.1000 → 0,030 = K 1 + K 2 · 3 K 1 = -0,279 K 2 = 0,103 log ρ = -0,279 + 0,103 · log 1.000.000 log ρ = 0,339 →
ρ1
= 2,20 %
Luego el valor de la relajación a 1.000.000 de horas es ρ1=0,0 220.
∆σ = ρ1
P ki = 0,0220 55.5984 = 278,24 Kp = 27,82 N 44 cm 2 mm 2 A p
Ac = Área en la sección de hormigón. Ac =5.253 cm2. I c = Inercia en la sección de hormigón. I c = 20.564.195 cm 4. Χ =
Coeficiente de envejecimiento. Χ = 0,80.
4,91 ⋅ 2,498 ⋅ 162,97 + 1.900.000 ⋅ 31,064 ⋅ 10 −5 + 0,8 ⋅ 278,24 ⋅ 44,44 ∆Pdif = 44 ⎛ 5.253 ⋅ 50,37 2 ⎞ ⎜⎜1 + ⎟(1 + 0,8 ⋅ 2,498) 1 + 4,91 ⋅ 5.253 ⎝ 20.564.195 ⎠⎟ ∆Pdif
= 102.759 Kp. 102.759 Kp.
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perdidas diferidas: 102.759 kp =2.335 2 44 cm Luego como resultado final de las perdidas las perdidas diferidas tenemos un 16,74 % Y unas perdidas unas perdidas totales de valor: 9,42 + 16,74 = 26,16 %
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Estado de Transferencia En esta primera fase consideramos la transferencia de la fuerza de tesado a la pieza de hormigón y como sección característica para el análisis tomamos la sección neta, por considerar el tesado como la acción sobre la sección. La posición de la resultante del tesado provoca una excentricidad negativa con respecto al c.d.g de la pieza situado a 26,45 cm. conocida la posición del centro de gravedad de la sección neta con respecto a la cara inferior de la sección la cual toma un valor de 78,66 cm. el valor de la excentricidad neta es directo de 52,21 cm. Con estos esfuerzos obtenemos el siguiente diagrama de tensiones, para el cual debemos garantizar que en la fibra superior no aparezcan tensiones positivas ó de tracción que superen la N admisible 0,30· 3 f ck 2 = 4,07 y en la cara inferior que no superemos el limite admisible a mm 2 N compresión de valor 0,6·f ck . ck = 30 mm 2
σcs
σci Para obtener los valores de dichas tensiones el único esfuerzo existente es la compresión y el momento que se produce por la excentricidad existente con respecto al c.d.g. de la pieza, así como la acción del peso propio de la pieza que actúa en ele instante en que la pieza adquiere una pequeña contraflecha. Kp a los cuales descontaremos las pérdidas instantáneas cm 2 producidas, valoradas valoradas en un 9,42 % luego la carga por cable será: La fuerza máxima de tesado es 13.950
13.950
Kp Kp Kp – (13.950 ·9,42 %) = 12.636 cm 2 cm 2 cm 2
Kp ·1,00 cm2 = 12.636 Kp. 2 cm Pk = 12.636·44 = 555.984 Kp.
P = 12.636
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En la transferencia analizamos 2 secciones una correspondiente a la zona de los extremos donde actúa la acción del pretensazo, de acuerdo a la longitud de transferencia y otra a la zona central donde actúa la acción del peso propio una vez que se ha realizado el destesado. Longitud de transferencia. La expresión utilizada para obtener la longitud de transferencia es la recogida en el apartado 67.4 de la EHE. l bpt bpt =
α 1 ·α 2 ·α 3 ·φ ·σ pi
4· f bpd (t )
Donde:
α1 = Coeficiente con valor 1,00 cuando el pretensazo se introduce gradualmente o 1,25 cuando se introduce rápidamente. rápidamente. α2 = Coeficiente con valor 0,50 para comprobación en Estado Limite de Servicio ó 1,00 para comprobación en Estado Limite Último. ∅
= Diámetro del alambre o diámetro nominal del cordón.
α3 = Coeficiente con valor 0,50 para cordones y 0,70 para alambres graficados σ pi = Tensión del alambre o cordón en el momento de introducir el tesado. f bpd(t) = Tensión de calculo de adherencia en el momento de la introducción introducción del pretensazo; en la siguiente tabla recogemos los valores de la tensión de calculo de la adherencia a los 28 días, para edades diferentes deberá estimarse el valor de la tensión de calculo de adherencia de acuerdo con la velocidad de crecimiento de la resistencia a tracción del hormigón.
Tipo de Armadura Cordones Alambres grafilados
25 1,4 1,6
30 1,6 1,8
2 f ck ck (N/mm )
35 1,8 2,0
40 1,9 2,2
45 2,1 2,4
50 2,2 2,6
La curva de variación de la velocidad de la resistencia a tracción toma los siguientes valores. Edad del Hormigón, en días Hormigones de endurecimiento normal
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3 0,40
7 0,70
28 1,00
90 1,05
360 1,10
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N , con armadura mm 2 de pretensazo formada por cordones de 0,6 pulgadas y estimada la trasferencia a los 3 días obtenemos una tensión de calculo de adherencia con el siguiente valor. En combinación con ambas tablas para un hormigón con resistencia de 50
f bpd(3) = 2,2·0,40 = 0,88 l bpt bpt =
α 1 ·α 2 ·α 3 ·φ ·σ pi
4· f bpd (t )
=
N mm 2
1·1·0,5·1,30·13.950 = 255 cm. 4·8,8
kg ml Longitud de la viga en estudio = 20 mt. Peso propio de la pieza = 1.304
R = Reacción en un extremo por la acción del peso propio = 13.040 Kp. q·l 2 Momento isostatico = = 65.200 Kp·m = 6.520.000 Kp·cm 8 Q pp · x 2 Momento (x = 2,55 mt.) = R· x − = 29.012 Kp·m = 2.901.200 Kp·cm 2
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Sección de los extremos.
σ=
P k ⋅ γ f P k ·e·γ f M cp ± ± wn wh Ωn
Para la fibra superior σcs: Pk = 555.984 Kp. eneta = 52,21 cm.
σcs =
P k ·0,95 P k ·e·1,05 M cp 555.984·0,95 555.984·52,21·1,05 2.901.200 − − + + = wn 5.253 225.141 230.845 Ωn wh
σcs = 100,54 – 135,37 + 12,56 =-22,27 100,54 (c)
Kp < f ct,m ct,m cm 2
135,37 (t)
(c) = compresión. (t) = tracción.
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12,56 (c)
22,27 (t)
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Para la fibra inferior σci:
σcs =
P k ·1,05 P k ·e·1,05 M cp 555.984·1,05 555.984·52,21·1,05 2.901.200 = + + − Ωn wn wh 5.253 261.429 281.478
σcs = 111,13 + 116,58 – 10,30 = 217,41
111,13 (c)
Kp < 0,60·f ck ck cm 2
116,58 (c)
(c) = compresión. (t) = tracción.
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10,30 (t)
217,41 (c)
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Sección central.
σ=
P k ⋅ γ f P k ·e·γ f M cp ± ± Ωn wn wh
Para la fibra superior σcs: Pk = 555.984 Kp. eneta = 52,21 cm.
σcs =
P k ·0,95 P k ·e·1,05 M cp 555.984·0,95 555.984·52,21·1,05 6.520.000 − + + = − Ωn wn wh 5.253 225.141 230.845
σcs = 100,54 – 135,37 + 28,24 = -6,59 100,54 (c)
Kp < f ct,m ct,m cm 2
135,37 (t)
(c) = compresión. (t) = tracción.
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28,24 (c)
6,59 (t)
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Para la fibra inferior σci:
σcs =
P k ·1,05 P k ·e·1,05 M cp 555.984·1,05 555.984·52,21·1,05 6.520.000 = + + − Ωn wn wh 5.253 261.429 281.478
σcs = 111,13 + 116,58 – 23,16 = 204,54
111,13 (c)
Kp < 0,60·f ck ck cm 2
116,58 (c)
23,16 (t)
(c) = compresión. (t) = tracción.
Verificando las siguientes condiciones: 1) No se alcanza la tracción máxima admisible: 2 3 f ct,m ct,m = - 0,30· f ck = - 40,71
Kp cm 2
2) No se alcanza la compresión máxima admisible: f ct,m ct,m = 0,60· f ck ck = 300
Kp cm 2
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204,54 (c)
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Por lo tanto en la situación de transferencia las tensiones en el hormigón a nivel de las diferentes armaduras activas en su sección central es. σfs = 6,59 Kp/cm2
σ p6 σc6
Pai1 = 4 cm.
σ p5 σc5 σ p4 σc4 σ p3 σc3 σ p2 σc2 σ p1 σc1
Pai2 = 144 cm. Pai3 = 152 cm. Pai4 = 158 cm. Pai5 = 162 cm. Pai6 = 166 cm.
σfi = 204,54 Kp/cm2
Conocemos las tensiones en la fibra superior e inferior de la sección, con semejanza de triángulos y conocidas las posiciones de las diferentes armaduras podemos obtener las tensiones en el hormigón para las distintas posiciones de los cables y de la armadura. 166 − 5,30 Kp ·6,59 = 199,58 5,30 cm 2 162 − 5,30 Kp σc2 = ·6,59 = 194,60 5,30 cm 2 158 − 5,30 Kp σc3 = ·6,59 = 189,63 5,30 cm 2 152 − 5,30 Kp σc4 = ·6,59 = 182,18 5,30 cm 2 144 − 5,30 Kp σc5 = ·6,59 = 172,25 5,30 cm 2 5,30 − 4 Kp σc6 = ·6,59 = -1,62 5,30 cm 2
σc1 =
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Obtenidas las tensiones en el hormigón para cada una de las posiciones, calculamos multiplicando por el coeficiente de homogeneización correspondiente las tensiones en las armaduras.
σ p1 = 199,58 · 4,91 = 979,60 σ p2 = 194,60 · 4,91 = 955,21
Kp cm 2
σ p3 = 189,63 · 4,91 = 930,83
Kp cm 2
σ p4 = 182,18 · 4,91 = 894,25
Kp cm 2
σ p5 = 172,25 · 4,91 = 845,48
Kp cm 2
σ p6 = -1,62 · 4,91 = -7,97
Kp cm 2
Kp cm 2
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Para alcanzar el estado de neutralización deberemos aplicar a las armaduras activas las tensiones σ pi, neutralización, que toman los siguientes valores
σ p1, neu = 11.279
Kp cm 2
σ p2, neu = 11.255
Kp cm 2
σ p3, neu = 11.231
Kp cm 2
σ p4, neu = 11.194
Kp cm 2
σ p5, neu = 11.145
Kp cm 2
σ p6, neu = 10.292
Kp cm 2
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Estado de Agotamiento Para la condición de agotamiento buscamos la posición de la fibra neutra por iteración que garantice el equilibrio de fuerzas y con ello la obtención del momento ultimo de agotamiento de la sección; trabajamos con el diagrama simplificado del rectángulo. 0,0035
0,85·f cd cd
x
0,8·x
Realizamos a continuación el proceso iterativo hasta obtener el valor de x que garantice el equilibrio. El equilibrio lo obtenemos para una x = 54,78 cm.
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La tensión final en cada una de las armaduras en la etapa de agotamiento es la siguiente a partir de las cuales obtenemos las fuerzas y lanzamos el equilibrio de momentos del que calcularemos el momento último.
σ p1, total = 14.233
Kp (t) cm 2
σ p2, total = 14.233
Kp (t) cm 2
σ p3, total = 14.233
Kp (t) 2 cm
σ p4, total = 14.233
Kp (t) cm 2
σ p5, total = 14.233
Kp (t) cm 2
σ p6, total = 4.152 σs1, total = 6.785 > f > f yd,c
→
Kp (t) cm 2
σs1, total = 4.200
Kp (c) cm 2
Obtenidas las tensiones para cada una de las armaduras obtenemos las fuerzas multiplicando por la sección y el numero de redondos existentes en cada posición. F p1 = 14.233
Kp ·10·1,00 cm2 = 142.330 Kp 142.330 Kp (t) 2 cm
F p2 = 14.233
Kp 2 ·8·1,00 cm = 113.864 Kp 113.864 Kp (t) cm 2
F p3 = 14.233
Kp ·8·1,00 cm2 = 113.864 Kp 113.864 Kp (t) 2 cm
F p4 = 14.233
Kp ·8·1,00 cm2 = 113.864 Kp 113.864 Kp (t) 2 cm
F p5 = 14.233
Kp ·6·1,00 cm2 = 85.398 Kp 85.398 Kp (t) 2 cm
Kp ·4·1,00 cm2 = 16.611 Kp 16.611 Kp (t) 2 cm Kp Fs1 = 4.200 ·6·3,141 cm2 = 79.168 Kp 79.168 Kp (c) 2 cm F p6 = 4.152
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A continuación calculamos la fuerza con la que aporta el hormigón desde la fibra en que se encuentra comprimida y de acuerdo al diagrama del rectángulo. Para ello realizamos la obtención de la sección de hormigón cortada por la posición 0,8 x, a continuación reflejamos los diferentes intervalos que nos podemos encontrar en la interacción a la hora de encontrar el equilibrio entre tracciones y compresiones. c h g
b
f
e d a A partir de la geometría en estudio y en función de la posición que ocupe el valor de 0,8·x en el agotamiento tenemos varios casos a la hora de analizar la contribución a la compresión de la sección de hormigón dispuesta en dicha zona.(Ver anexo 1) 1) 0,8x < h
Nc = 0,85·f cd cd·Ac Ac = c·0,8x 1 dc = ·0,8 x = 0,4x 2 2) h < 0,8x < h +g
Nc = 0,85·f cd cd·Ac Ac = c·h + (c - 2 α)·(0,8x – h) + α ·(0,8 x − h)
⎛ c·h· h ⎞ + (c − 2α )·(0,8 x − h)·⎛ h + 0,4 x ⎞ + α ·(0,8 x − h)·⎛ h + 0,8 x − h ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 3 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ dc = (c·h·) + (c − 2α )·(0,8 x − h) + α ·(0,8 x − h )
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h +g < 0,8x < h +g + f
Nc = 0,85·f cd cd·Ac Ac = c·h + b·g +
c −b · g + b·(0,8x – h - g) 2
⎛ c·h· h ⎞ + (b· g )·⎛ h + g ⎞ + 1 ·(c − b )· g ⎛ h + g ⎞ + b·(0,8 x − h − g )·⎛ h + g + 0,8 x − h − g ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ 2 3 ⎠ 2 ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ dc = 1 (c·h·) + ( g ·b) + ·(c − b )· g + b·(0,8 x − h − g ) 2 En función del valor de la fibra neutra y con el del valor de 0,8x obtenemos la resultante de compresiones del núcleo de hormigón y la posición de su resultante con respecto a la fibra superior de su sección. Como para el cálculo del momento último tomaremos momentos con respecto a la fibra inferior obtenemos a continuación el brazo desde esta fibra a la resultante de compresiones del hormigón. Con ello obtenemos los valores para la fuerza de compresión aportada por el núcleo de hormigón y su posición con respecto a la fibra activa más inferior. dc = 166 – 10,88 = 155,11 cm. Fc = 0,85·
500 ·1.729,95 = 490.153 Kp 490.153 Kp (c) 1,5
Obtenemos el equilibrio de fuerzas: Tracciones
=
Compresiones
585.713 Kp 585.713 Kp = 585.713 Kp 585.713 Kp
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Con los valores de los esfuerzos y tomando momentos con respecto a la fibra más traccionada obtenemos el valor del momento ultimo. M p2 = 113.864·4 = 455.546 Kp·cm 455.546 Kp·cm M p3 = 113.864·8 = 910.912 Kp·cm 910.912 Kp·cm M p4 = 113.864·14 = 1.594.096 Kp·cm 1.594.096 Kp·cm M p5 = 85.398·22 = 1.878.756 Kp·cm M p6 = 16.611·162 = 2.690.982 Kp·cm 2.690.982 Kp·cm Ms1 = 79.168·162 = 12.825.216 Kp·cm 12.825.216 Kp·cm
Mc = 506.544·154,11 = 88.307.535 Kp·cm 88.307.535 Kp·cm Y el momento ultimo toma el valor: Mu = Mc + Ms1-M p1- M p2 - M p3 - M p4 - M p5 - M p6 = 0 M u = 83.397.488 Kp·cm = 833.974 Kp·m
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COMPROBACIONES DE SERVICIO Descompresión En esta fase consideramos la acción de un momento externo, tal que llegamos al limite de descompresión donde en la fibra inferior obtenemos como valor de la tensión el valor nulo, de esta manera obtenemos el valor de dicho momento, verificando que en esta ocasión la tensión de compresión en la fibra superior no supere la admisible. admisible. Para este cálculo tendremos en cuenta todas las perdidas producidas ya para un tiempo infinito evaluadas en el 22,76%. σcs
La fuerza máxima de tesado en 13.950 Kp a los cuales descontaremos las perdidas instantáneas producidas, valoradas valoradas en un 26,16 % luego la carga por cable será: 13.950 Kp –13.950 · 26,16% = 10.300 Kp. 10.300 Kp.
σ=
P k ⋅ γ f P k ·e·γ f M ± ± wn wh Ωn
Para la fibra inferior σci toma el valor de 0
Kp : cm 2
Pk = 44·10.300 Kp 44·10.300 Kp = 453.209 Kp. 453.209 Kp. eneta = 52,21 cm. 453.209 0,95 453.209·52,21·0,95 M 5.253 261.429 281.478 Kp M = 281.478 cm3·(81,96 + 85,98) 2 cm Kp M = 281.478 cm3·167,94 cm 2
0=
M = 47.269.964 Kp·cm 47.269.964 Kp·cm = 472.699 Kp·m 472.699 Kp·m
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Para la fibra superior σcs:
σcs =
P k ⋅ γ f P k ·e·γ f M 453.209 1,05 453.209·52,21·0,95 47.269.964 ± ± = 5.253 225.141 230.845 Ωn wn wh
σcs = +90,59 - 99,84 –+204,76 σcs = 195,52
90,59 (c)
Kp cm 2
Kp Kp < 300 cm 2 cm 2 99,84 (t)
204,76 (c)
M des des = 47.269.964 Kp·cm = 472.699 Kp·m
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195,52 (c)
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Aparición de fisuras En esta tercera fase consideramos la acción de un momento externo, con el cual llegamos al límite de la resistencia a tracción del hormigón, momento a partir del cual empezarían a aparecer fisuras. Al igual que en el caso anterior se evalúan con la totalidad de las perdidas.
σcs
σci Obtenemos a continuación la resistencia a tracción del hormigón. 2 3 f ct,m ct,m = 0,39· f ck = 5,29
N Kp = 52,90 mm 2 cm 2
52,90 = 35,29 1,5 P ⋅ γ P ·e·γ M σ = k f ± k f ± wh wh Ωh
f ctd,m ctd,m =
Para la fibra inferior σci toma el valor de 35,29: 35,29 : Pk = 44·10.300 Kp 44·10.300 Kp = 453.209 Kp. 453.209 Kp. eneta = 52,21 cm.
453.209 0,95 30,65 = 5.253
453.209·52,215·0,95 M 261.429 281.478
M = 281.478 cm3·(81,96 + 85,98 + 35,29) M = 281.478 cm3·203,23
Kp cm 2
M = 57.204.773 Kp·cm 57.204.773 Kp·cm = 572.047 Kp·m 572.047 Kp·m
Luis Forcano Obón
Kp cm 2
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81,9 81 ,96 6 (c (c))
85,98 (c)
23,23 (t)
30,65 (t)
Para la fibra superior σcs:
σcs =
P k ⋅ γ f P k ·e·γ f M 453.209 1,05 453.209·52,21·0,95 57.204.773 ± ± = 5.253 225.141 230.845 Ωh wh wh
σcs = (90,59 - 99,84 + 247,80) σcs = 238,54 90,59 (c)
Kp cm 2
Kp Kp < 300 cm 2 cm 2
99,84 (t)
247,80 (c)
M apf apf = 57.204.773 Kp·cm = 572.047 Kp·m
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238,54 (c)
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ANEXO 1
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• Obtención del Momento último (Sección simple) c h g
b
f
e d a A partir de la geometría en estudio y en función de la posición que ocupe el valor de 0,8·x en el agotamiento tenemos varios casos a la hora de analizar la contribución a la compresión de la sección de hormigón dispuesta en dicha zona. 1) 0,8x < h
c 0,8x
Nc = 0,85·f cd cd·Ac Ac = c·0,8x A continuación calculamos el centro de gravedad de dicha sección con respecto a la fibra superior. 1 dc = ·0,8 x = 0,4x 2
Luis Forcano Obón
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2) h < 0,8x < h +g
c h
0,8x
δ Para esta geometría en primer lugar debemos obtener la expresión para la magnitud δ a partir de la geometría inicial de la sección; para ello en primer lugar nos quedamos con los triángulos y obtenemos la magnitud ε también a partir de la geometría inicial de la sección. c -b
α
α
ε
Nos quedamos con un solo triangulo y a partir de la tangente o relación de triángulos semejantes obtenemos una expresión para el valor de la magnitud α. (c-b)/2 (0,8x-h) g
(c − b )
(c − b ) α 2 = → α= ·(0,8 x − h) g (0,8 x − h) 2 g
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α
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Obtenido el valor de α y tomando la sección conjunta de la pieza obtenemos la expresión para la magnitud δ de acuerdo a la geometría de la sección. c
α
c-2α
α
δ = c - 2α Nc = 0,85·f cd cd·Ac Ac = c·h + (c - 2 α)·(0,8x – h) + α ·(0,8 x − h)
⎛ c·h· h ⎞ + (c − 2α )·(0,8 x − h)·⎛ h + 0,4 x ⎞ + α ·(0,8 x − h )·⎛ h + 0,8 x − h ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 3 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ dc = (c·h·) + (c − 2α )·(0,8 x − h) + α ·(0,8 x − h )
Luis Forcano Obón
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h +g < 0,8x < h +g + f
c h g
0,8x
b
Nc = 0,85·f cd cd·Ac Ac = c·h + b·g +
c−b · g + b·(0,8x – h - g) 2
⎛ c·h· h ⎞ + (b· g )·⎛ h + g ⎞ + 1 ·(c − b )· g ⎛ h + g ⎞ + b·(0,8 x − h − g )·⎛ h + g + 0,8 x − h − g ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ 2 3 ⎠ 2 ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ dc = 1 (c·h·) + ( g ·b) + ·(c − b )· g + b·(0,8 x − h − g ) 2
Luis Forcano Obón
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5.- BIBLIOGRAFÍA
Luis Forcano Obón
Curso 2.009 – 2.010
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Curso 2.009 – 2.010
5.1 BIBLIOGRAFÍA .- Instrucción de hormigón estructural EHE 98; Ministerio de Fomento, Secretaria general tecnica. .- Guia de apliación de la Instrucción de hormigón estructural, edificación; Ministerio de Fomento, Secretaria general tecnica. .- Instrucción sobre las acciones a considerar en el proyecto de puentes de carretera IAP 98; Ministerio de Fomento, Secretaria general tecnica. .- Model CODEL 90. .- Eurocódigo 2, Proyecto de Estructuras de hormigón; Asociación Asociación Española de Normalización y Certificación. .- Norma Norma UNE 36068:94. .- Norma UNE 7474-1:92. .- Norma UNE 36094:97. .- Hormigón armado, armado aligerado y pretensazo, auxiliar para el diseño; Mattheib, editorial reverte. .- Fundamentos para el analisis de estructuras de hormigón armado y pretensazo; D. Juan Murcia Vela, Consejo superior de investigaciones cientificas de Madrid. .- Hormigón pretensado, monografias sobre construcción y arquitectura; Ediciones Ceac. .- Hormigón pretensado, Diseño y cálculo de forjados pretensazos pretensazos de piso y cubierta; Francisco Fiol Femenia.
D.
.- Diseño y calculo de estructuras pretensazas; pretensazas; D. Johannes Johannson; Johannson; Boixareu editores. .- Edificación con prefabricados de hormigón, para usos industriales, comerciales, aparcamientos aparcamientos y servicios; IECA instituto español del cemento y sus aplicaciones. .- Hormigón armado y pretensado. Ejercicios, Ejercicios, adaptado a la EHE; Ediciones UPC. .- Manual de hormigón armado; D. Roman Ferreras; Editorial colegio de ingenieros de caminos, canales y puertos de Madrid. .- Estructuras de hormigón armado; D. V.N. Baykov; Editorial Mir.
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