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REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 35, No.1. 2003
EL CONCEPTO DE TIEMPO EN MECÁNICA CLÁSICA Y MECÁNICA CUÁNTICA J. V. Niño, W. J. Herrera, M. F. Duque, C.s C. Pinilla, M. Martínez G. Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia RESUMEN Tanto en los cursos introductorios de mecánica clásica de pregrado, como en los de posgrado se introduce el concepto de tiempo como una variable ligada al movimiento de los sistemas. En los cursos de mecánica cuántica se incorpora el anterior concepto ya sea mediante la relación de incertidumbre entre tiempo y energía o como parámetro en la función de onda o en los operadores, según la imagen que se esté considerando. Lo anterior, junto con el hecho de que el tiempo no se representa como un operador hermítico hacen necesario discutir en detalle las diferencias de dicho concepto en la mecánica clásica y en la mecánica cuántica, al igual que el significado de la inversión temporal en tales teorías. Introducción Se tiene conciencia de la existencia de los conceptos de tiempo y de espacio, al observar la posición de la materia y sus cambios, por ejemplo sus movimientos. En la naturaleza se encuentran procesos que son irreversibles, por lo tanto fijan un ordenamiento de los sucesos en un antes, ahora y después, de manera que el conjunto de cambios muestran el carácter dinámico del universo. Estos conceptos han evolucionado a lo largo de la historia de la humanidad y aún en la actualidad, se discuten [1]. En la mecánica clásica, el tiempo es un parámetro y las leyes que los describen son invariantes bajo reversión temporal. En la mecánica cuántica se establecen las relaciones de indeterminación o incertidumbre para observables incompatibles. Por otra parte la relación de incertidumbre entre la energía y el tiempo, no se puede determinar de esta manera, debido a que el tiempo no es un operador, presentándose dificultades en el significado conceptual de éste. En este trabajo se presenta una discusión del concepto del tiempo tanto en la mecánica newtoniana y en la mecánica cuántica, apropiada en cursos introductorios de física, tanto en pregrado y posgrado. Además se muestra una breve reseña de los llamados relojes cuánticos. Mecánica clásica Newton definió el concepto de tiempo, en sus Principia Mathematica como: “…el tiempo absoluto, verdadero y matemático, en si mismo y por su propia naturaleza fluye uniformemente sin relación a nada externo. El tiempo relativo, aparente y vulgar es alguna medida sensible y usada por el vulgo en lugar del verdadero tiempo…” [2]. En la definición del tiempo absoluto de Newton se plantea en forma explícita que éste no tiene relación con la naturaleza, y por lo tanto no es susceptible de ser medido, de tal forma que tiene una concepción metafísica. En la concepción newtoniana se considera el espacio infinito, isotrópico, homogéneo, inmutable y euclidiano. Tomando el tiempo como una cantidad unidimensional, escalar y continua; podemos definir formalmente respecto a un observador la velocidad de una partícula como su cambio de posición en un cierto intervalo de tiempo : 86
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v = r& , (1) donde r& representa la derivada del vector posición respecto al tiempo. En la definición de la velocidad se utilizan los atributos de espacio y tiempo que se acaban de mencionar, pues implícitamente se está diciendo que la partícula se puede ubicar en un punto de un espacio euclidiano y que se puede desplazar en forma continua a medida que transcurre el tiempo. A pesar de que el espacio y el tiempo de Newton son de carácter metafísico, son necesarios ya que sin estos las leyes de movimiento dejan de tener sentido. En particular, la primera ley de Newton sólo es valida cuando se mide desde un sistema de referencia que se encuentra en estado de reposo o de movimiento rectilíneo respecto al espacio absoluto. De manera que las leyes son válidas en el espacio y tiempo absolutos, pero éstos no caen bajo el dominio de las experiencias medibles. Aún sin el surgimiento de la relatividad especial, los conceptos de materia, espacio y tiempo de Newton fueron criticados por las ideas relativistas de Huygens, Leibniz, Berkeley, Mach, etc. [3]. Las teorías que se planteaban eran una contraposición a las concepciones newtonianas; el espacio y el tiempo son más bien conceptos construidos por el hombre y que en cierta medida están condicionados por la materia. En particular, a la idea de tiempo se llega mediante la comparación de movimientos, es decir a partir de los cambios materiales se elabora la idea de tiempo. El movimiento en sí mismo carece de sentido ya que ese se considera uniforme sólo cuando se compara respecto a otro movimiento, esta es la concepción que se tiene actualmente de la mecánica clásica [4]. Desde este punto de vista la primera ley en esencia, plantea la existencia de al menos un observador para el que las demás leyes son validas, este observador es llamado inercial, cualquier otro observador que se mueva con velocidad constante respecto a este, también es un observador inercial.
Para estudiar la dinámica de la partícula respecto a un sistema de referencia inercial se define la de fuerza como la variación del moméntum (p = mv ) en un intervalo de tiempo como F = p& = m &r& (2) Esta es una ecuación diferencial de segundo orden por lo cual necesita dos condiciones iniciales para poder ser solucionada. Además, nótese que ésta es invariante bajo inversión temporal, es decir, si se cambia el tiempo t → −t y si se cumple F(t) = F(−t), se invierte la trayectoria debido a que bajo esta transformación r→r y v → −v. La mecánica newtoniana también puede ser expresada en términos de los métodos desarrollados por Hamilton [5], los cuales consisten en expresar una función H, llamada el hamiltoniano en términos de las variables q y p, que son las coordenadas generalizadas del sistema, y eventualmente H puede depender del tiempo en forma explícita. Las variaciones de las coordenadas generalizadas en el tiempo están dadas por los corchetes de Poisson: q&i = {qi , H },
p&i = { pi , H } .
(3)
El espacio-tiempo utilizado generalmente consta de (3+1) dimensiones, caracterizadas por puntos (x, y, z, t) que deben ser distinguidos de las variables dinámicas q y p, que nos definen un estado. Las relaciones que a veces se toman qx=x, qy=y, qz=z, hacen pensar que estas dos poseen el mismo significado. La coordenada (x,y,z) corresponde 87
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únicamente a un punto en el espacio, al que no se le asocia ninguna propiedad física y que puede ser ocupado por cualquier partícula de un determinado sistema, mientras que q corresponde a una asociación de ubicación espacial de una partícula puntual que posee masa, velocidad y aceleración, y por tanto un significado físico diferente al primer caso. El confundir el significado de estas variables es una de las razones del problema de la interpretación del tiempo en mecánica cuántica [1]. En estas ecuaciones es importante resaltar que la coordenada t pertenece al espacio-tiempo y no es una variable dinámica y por tanto no debe ser tomada como operador en el paso hacia la mecánica cuántica. Mecánica cuántica En la mecánica cuántica los observables pasan de ser funciones de las variables canónicas q y p a ser operadores, a diferencia de la mecánica clásica éstos ya no son función del estado. Por ejemplo, la energía se representa mediante el operador hamiltoniano H. La evolución temporal de los sistemas cuánticos en la imagen de Schrödinger se describe mediante la ecuación [6]: & (r,t ) = HΨ ( r,t ) , ih Ψ (4) donde Ψ(r,t) representa el estado del sistema. Nótese queΨ(r,t) es un campo escalar, lo que quiere decir que en un instante particular el estado está representado por el conjunto de todos los valores de ? en cada uno de los puntos r accesibles al sistema. Ψ(r,t)2 dr es la probabilidad de encontrar la partícula en un instante t en un volumen dr alrededor de r. La ecuación (4) es lineal y el estadoΨ(r,t) se determina a partir de un estado inicial Ψ(r,t0) . El estado del sistema puede no depender del tiempo como sucede en la imagen de Heisenberg donde el observable descrito mediante un operador es que varía en el tiempo, más no el estadoΨ(r,t) = Ψ(r,t0) . La ecuación de movimiento para un observable A es [6]: ih A& = AH − HA + ih ∂ t A
(5)
Estas dos imágenes son equivalentes, debido a que los valores esperados de los observables son los mismos en cada una, de tal forma que los resultados son independientes de la imagen que se este usando. El paso de una imagen a la otra, se hace mediante transformaciones unitarias que contienen el tiempo en forma explicita. Lo anterior muestra claramente que el tiempo tiene ahora un significado diferente al que tiene en física clásica, pues dependiendo de la imagen, tanto el estado como el observable pueden o no depender del tiempo. También podemos examinar el papel del tiempo en mecánica cuántica, mediante la relación de incertidumbre o indeterminación entre energía y tiempo, ∆Ε ∆t ≥ h / 2 . De tal forma que la energía del sistema es incierta en al menos una cantidad ∆Ε ≥ h / ∆t , donde ∆t es el intervalo de tiempo disponible para la determinación de la energía. Y por lo tanto ∆t no se puede interpretar como una incertidumbre en el tiempo [7]. Como consecuencia de esto se presentan restricciones sobre los aparatos de medición, en el sentido de que no se puede saber con absoluta precisión qué sucede en el tiempo de resolución del aparato con los posibles valores de energía por los que pasa el sistema. Sin embargo, esta relación de incertidumbre es .
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construida de manera un poco heurística, ya que formalmente las relaciones de incertidumbre se dan para un conjunto de observables incompatibles. En este caso el tiempo no es considerado un operador sino un parámetro real, Pauli argumenta que esto se debe a que si se considera un operador tiempo, la ecuación de evolución para éste en la imagen de Heisenberg, ih
dt = tH − Ht , dt
(6)
conduciría a que el conjunto de valores que puede tomar H, seria continuo y no limitado, debido a que t varia desde -¥ hasta ¥. Dado que la energía de un sistema cuántico puede tener valores discretos y que todo sistema tiene un mínimo valor de energía (condición necesaria para la estabilidad de la materia), entraríamos en contradicción al considerar el t iempo como un operador [8]. La mecánica cuántica es invariante bajo reversión temporal si H(t)= H(−t), se sigue cumpliendo la ecuación (4) para Ψ*(r,t). Esto describe la misma física dado que lo que tiene sentido es Ψ (r,t). La segunda ley de Newton es invariante bajo inversión temporal y esta inversión no es afecta por la medida. En la mecánica cuántica la ecuación de Schrödinger es también invariante bajo inversión temporal, pero el acto de medición rompe esta simetría debido a la reducción del paquete de onda. Esto ultimo es en esencia uno de los postulados de la teoría, el cual plantea que al medir un observable solo se pueden obtener algunos de los valores propios del mismo y que inmediatamente después de la medida el sistema queda en el estado propio correspondiente al valor propio encontrado [6]. Conclusiones En el paso de la mecánica clásica a la cuántica, los observables se convierten en operadores, pero el tiempo no puede ser tratado como tal y sigue siendo un parámetro,. Esto conduce a una interpretación de la relación de incertidumbre entre energía y tiempo, diferente a las otras relaciones de incertidumbre entre variables canónicamente conjugadas entre si. En la mecánica clásica el estado puede ser función del tiempo y los observables son función del estado, en la mecánica cuántica la dependencia temporal del estado y de los observables depende de la imagen, y los observables no son función del estado cuántico. Los conceptos aquí discutidos pueden ser útiles para iniciar discusiones en cursos introductorios de física en pregrado o posgrado. Referencias [1] J. Hilgevoord, Am. J. Phys. 70, 301 (2002). [2] I. Newton, Principios Matemáticos de la Filosofía Natural. Ed. Nacional (1982). [3] H. Reichenbach. The Philosophy of Space and Time, Ed. Dover (1958). [4] V. Niño. Revista Colombiana de Filosofía de la Ciencia , 2, 25 (2002). [5] H. Goldstein, Classical Mechanics. Ed. Addisson Wesley (1980). [6] J.J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics, Ed. Addison-Wesley (1994). [7] J. Hilgevoord, Am. J. Phys. 66, 396 (1998). [8] W. Pauli. General Principles of Quantum Mechanics, Ed. Springer-Verlag, (1980).
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