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(19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br O ELITE RESOLVE ESPCEX 2006 – MATEMÁTICA (MODELO A) 1 QUESTÃO 1 Se n é um número inteiro positivo, então o valor de (-2) n + (-2) n+1 será sempre igual a: a) zero b) 2 c) 2 n , para todo n. d) (-2) n , se n for ímpar. e) -2 n se n for par. RESOLUÇÃO Alternativa E Considerando n um número inteiro positivo, a expressão (-2) n + (-2) n+1 pode ser fatorada em (-2) n .[ 1 + (-2)] = (-2) n .(-1) Assim, se n é par então (-2) n = 2 n , logo nossa expressão ficará (-1).2 n = -2 n . QUESTÃO 2 Um satélite será levado ao espaço por um foguete que tem seu consumo de combustível calculado pela função C(t)=log 2 (t 2 +7) 2 +2log 2 71 , em que C é o consumo em toneladas e t é o tempo em horas. Para colocar o satélite em órbita, o foguete deverá percorrer uma distância de 56 000 km a uma velocidade de 8 000 km/h. Com base nessas informações, o físico responsável pelo cálculo chegou à conclusão de que o foguete, para cumprir a missão, terá um consumo de combustível igual a a) 1 tonelada. b) 2 toneladas. c) 6 toneladas. d) 7 toneladas e) 8 toneladas. RESOLUÇÃO Alternativa C De acordo com o enunciado, o foguete possui velocidade média de 8000km e precisa percorrer uma distância de 56000 km. Assim, temos hv St t Sv 7800056000 ==∆=∆⇒∆∆= . O consumo é )7/1(log.2)7(log)( 2222 ++= t t C . Rearranjando essa equação, temos: 222222222 71log)7(log 71log.2)7(log)( ++= ++= t t t C += +=⇒ 77log.27)7(log)( 222222 t t t C . Assim, para t = 7 h: 322222 2log.28log.2 756log.2777log.2)7( == = += C 63.2)7( ==⇒ C toneladas. QUESTÃO 3 A quantidade de combustível gasto por um veículo blindado, por quilômetro rodado, está indicada pelo gráfico abaixo. Qual a função que representa o consumo C(d) em relação à distância percorrida? a) C(d) = 0,75d b) C(d) = 0,25d c) C(d) = 1,75d d) C(d) = 1,25d e) C(d) = 1,20d RESOLUÇÃO Alternativa A O gráfico Cxd representa uma função do 1° grau, assim, podemos fazer C(d)=a.d+ b, com C(0) = 0 e C(100) = 75. Substituindo os valores, temos: (i) C(0) = a.0 + b 0 = b Assim, temos b=0. (ii) C(100) = a.100 + 0 = 100.a 75 = 100.a Assim, temos a = 0,75. Logo, C(d) = 0,75.d QUESTÃO 4 O valor de revenda de um carro é dado por V(t) = V 0 (0,8) t , em que V 0 é o valor inicial e V(t) é o valor após t anos de uso. A alternativa que mais se aproxima do percentual de desvalorização desse carro, em relação ao valor inicial, após 3 anos exatos de uso, é a) 24% b) 47% c) 49% d) 50% e) 51% RESOLUÇÃO Alternativa C Após 3 anos de uso, o preço do automóvel é dado por 0030 %.2,51.512,0)8,0.()3( V V V V === . Assim, decorridos 3 anos, temos que o valor do automóvel é 51,2% do valor inicial, o que mostra uma desvalorização de 48,8%. Portanto, a alternativa que mais se aproxima é a C, com 49%. QUESTÃO 5 Uma tropa realizou um exercício em que soldados, sargentos e oficiais executaram módulos padronizados de tiro, consumindo, individualmente, o número de munição estabelecido conforme seu nível hierárquico. No primeiro dia atiraram 16 soldados, 8 sargentos e 4 oficiais, totalizando 96 munições; no segundo dia, 5 soldados, 4 sargentos e3 oficiais, totalizando 38 munições; no terceiro dia, 16 soldados, 4 sargentos e 1 oficial, totalizando 78 munições. Quantas munições foram usadas no quarto dia, quando atiraram 14 soldados, 8 sargentos e 2 oficiais? a) 78 b) 80 c) 82 d)84 e)86 RESOLUÇÃO Alternativa D C (litros)d (Km) 75100 0 MATEMTICA (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br O ELITE RESOLVE ESPCEX 2006 – MATEMÁTICA (MODELO A) 2 Seja x o número de munições para cada soldado, y o número estabelecido para cada sargento e z o número para cada oficial. Pelo enunciado, podemos montar o seguinte sistema linear: 16 8 4 965 4 3 3816 4 78 x y z x y z x y z + + =+ + =+ + = O nosso objetivo é encontrar o valor de 14 8 2 x y z + + , que corresponde ao número de munições utilizados no quarto dia. Observe as equações (1) e (3). Fazendo (1) - (3), temos 1834 =+ z y , obtém-se justamente uma das parcelas da segunda equação. Substituindo em (2), temos 438185 =⇒=+ x x . Substituindo esse valor na equação (3), temos: 282814478464 =+⇒=+⇒=++ z y z y z y Assim, .84284.142814 =+=++ z y x Portanto, foram usadas 84 munições no quarto dia. QUESTÃO 6 Uma cooperativa compra a produção de pequenos artesãos e a revende para atacadistas com um lucro de 40%. Por sua vez, os atacadistas repassam esse produto para os lojistas com um lucro de 40%. Os Lojistas vendem o mesmo produto para o consumidor e lucram, também, 40%. Considerando que o lucro é a diferença entre o preço de venda e o preço de compra, pode-se afirmar que os preços de compra do produto, efetuados pela cooperativa, pelos atacadistas, pelos lojistas e pelo consumidor, nessa ordem, a) formam uma progressão aritmética de 0,4. b) formam uma progressão geométrica de 1,4 c) formam uma progressão aritmética de 40. d) formam uma progressão geométrica de razão 0,4. e) não formam uma progressão aritmética nem geométrica. RESOLUÇÃO Alternativa B Seja p o preço de compra do produto efetuado pela cooperativa. Assim, o preço de compra repassado para os atacadistas é 40% maior, ou seja, vale 1,4p. Como o repasse para os lojistas também sofre aumento de 40%, o preço para os lojistas é 1,4(1,4p) = (1,4) 2 p. Novamente, os lojistas repassam um aumento de 40%. Assim, o preço para os consumidor é 1,4[(1,4) 2 p] = (1,4) 3 p. Como uma progressão geométrica assume a forma: A n = A n-1 .q, podemos dizer que os preços estão numa PG de razão 1,4. QUESTÃO 7 Uma prova de um concurso público engloba as disciplinas Matemática e Inglês, contendo dez questões de cada uma. Segundo o edital, para ser aprovado, o candidato precisa acertar, no mínimo, 70% das questões da prova, além de obter acerto maior do que ou igual a 60% em cada disciplina. Em relação às questões da prova, quantas possibilidades diferentes terá um candidato de alcançar, exatamente, o índice mínimo de aprovação? a) 18 900. b) 33 300. c) 38 760. d) 77 520. e) 125 790. RESOLUÇÃO Alternativa B De acordo com o enunciado, cada prova consiste de 10 questões; temos, portanto, 20 questões. Considerando-se que o mínimo necessário para a aprovação de um candidato é 70% de acertos (14 questões), e que em cada disciplina também é necessário um índice de acertos maior ou igual a 60% (6 questões), temos então 3 casos a considerar: (i) 6 acertos em Matemática, 8 em Inglês (nesse caso, temos que escolher 8 questões em 10 na prova de Inglês e 6 questões em 10 na prova de Matemática). (ii) 6 acertos em Inglês, 8 em Matemática (nesse caso, temos que escolher 6 questões em 10 na prova de Inglês e 8 questões em 10 na prova de Matemática). (iii) 7 acertos em cada matéria (nesse caso, temos que escolher 7 questões em 10 em cada uma das provas). Essa escolha é independente de ordem, o que caracteriza COMBINAÇÕES SIMPLES. Assim, temos que o total de possibilidades é dado por: T = 33300... 7,107,106,108,108,106,10 =++ C C C C C C QUESTÃO 8 A análise do solo de certa região revelou a presença de 37,5 ppm (partes por milhão) de uma substância química. Se a densidade dosolo analisado é de 1,2 toneladas por metro cúbico, então aquantidade dessa substância, presente em 1 ha do solo, considerandouma camada de 30 cm de profundidade é: Dados: 1 tonelada vale 1000 kg; 1 ha (hectare) é 10 000 m 2 . Densidade = volumemassa a) 125 kg. b) 135 kg. c) 1250 kg. d) 1350 kg. e) 3750 kg. RESOLUÇÃO Alternativa B Podemos considerar o solo como um paralelepípedo cuja base mede1 ha (10000 m 2 ) e cuja altura mede 0,3 m. Assim, o volume dessa camada é dado por 300010000.3,0 == V m 3 . Como a densidade é de 1,2 toneladas/m 3 , temos: 36003000.2,1. ===⇒= V d M V M d toneladas A concentração da substância é de 37,5 ppm. Assim, denotando por qa quantidade dessa substância, temos: 37,5.................10 6 kg q .................. 3600.10 3 kg Logo, temos q = 37,5.3600.10 3 /10 6 = 135 kg. QUESTÃO 9 A água utilizada em uma fortificação é captada e bombeada do riopara uma caixa d’água localizada a 50 m de distância da bomba. Afortificação está a 80 m de distância da caixa d’água e o ânguloformado pelas direções bomba caixa d’água e caixa d’água fortificação é de 60º, conforme mostra a figura abaixo. Para bombear água do mesmo ponto de captação, diretamente para a fortificação,quantos metros de tubulação são necessários? riobomba60º80 m caixa d’águafortificação50 m a) 54 metros b) 55 metros c) 65 metros d) 70 metros e) 75 metros RESOLUÇÃO Alternativa D Seja d a distância entre a fortificação e a bomba. Pela lei doscossenos, temos: 2 2 2 50 80 2.50.80.cos602500 6400 2.4000.0,5 d = + − ° == + − (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br O ELITE RESOLVE ESPCEX 2006 – MATEMÁTICA (MODELO A) 3 70490040008900 2 =⇒=−=⇒ d d m. QUESTÃO 10 Um topógrafo, querendo conhecer a altura de um penhasco, mediu a distância do ponto A até a beira do rio (ponto E), obtendo 20 metros. A largura do rio (EB) é desconhecida. A figura abaixo mostra os ângulos BÂC = 30º e BÊC = 60º. A altura do penhasco encontrada pelo topógrafo foi: a) 15 3 m b) 12 3 m c) 10 3 m d) 20 3 m e) 40 3 m RESOLUÇÃO Alternativa C Pelo enunciado, temos que o ângulo AÊC = 120º. Assim, o triângulo AEC é isósceles de base AC, e m20ECAE == . O triângulo EBC é retângulo em B, e sua hipotenusa mede 20 m. Assim, temos: sen 60° 3103202 202320 =⇒=⇒=⇒= hhhh m QUESTÃO 11 A curva da figura representa o gráfico da função f(x) = log 2 x. Dados: log 10 2 ≈ 0,30 e log 10 12 ≈ 1,08. Com base nesses dados, a soma das áreas dos dois retângulos hachurados é, aproximadamente: a) 1,60. b) 2,10. c) 2,08. d) 2,60. e) 3,60. RESOLUÇÃO Alternativa D Pelo gráfico, temos que as alturas dos retângulos, são, respectivamente, 2log 2 e 3log 2 , e as bases valem 1. Assim, a soma das áreas é S = 2log 2 + 3log 2 = 6log 2 . Mudando para base decimal, temos S = 2log6log6log 2 = . Com os dados fornecidos pelo exercício, temos que 3,02log = e 08,112log = . Aplicando as propriedades de logaritmos, temos: log12 log(2.6) log2 log60,3 log6 1,08 log6 0,78 = = + == + = ⇒ = Assim, temos S = 60,23,078,02log6log == QUESTÃO 12 A função x2senxsen21xcos21.x2sen)x(f 2 − += é definida para todo x real e x 2 π k ≠ , com k inteiro. Nessas condições, pode-se afirmar que: a) f(2006) = f(2004) + f(2005) b) f(2005) = f(2006) - 2f(2003) c) f(2006) = f(2005) + f(2004) + f(2003) d) f(2005) = f(2006) - f(2004) e) f(2006) = f(2003) + f(2004) - f(2005) RESOLUÇÃO Alternativa E Pelo enunciado, temos: f(x) = x2sensenx21xcos21x2sen 2 − + Simplificando a expressão trigonométrica: f(x) = x2senxcossenx2 xcossenxx2sen 2 − + f(x) = x2senx2senxcossenxx2sen 2 − + f(x) = x2sen)xcossenx( x2senx2sen 2 −+ f(x) = sen 2 x + cos 2 + 2 sen x cos x - sen 2x f(x) = 1 + sen 2 x - sen 2 x = 1. Assim, independente do valor de x, temos f(x) = 1. Por exclusão, temos f(2006) = f(2003) + f(2004) -f (2005). Para tanto, basta observar que 1 = 1 + 1 – 1. QUESTÃO 13 Na figura, as circunferências são tangentes entre si e seus raios estão na razão 31 . Se a reta r passa pelos centros O e O’ das duas circunferências, e a reta s é tangente a ambas, então o menor ângulo formado por essas duas retas mede 1234 f(x x 0 30 0 60 0
