Preview only show first 10 pages with watermark. For full document please download

Etude Théorique Et Simulation Des Cristaux Photoniques

Photonic crystals simulation

   EMBED


Share

Transcript

N° d’ordre : /2010 - M /CH République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Faculté de Chimie Ecole Doctorale Physique Chimie Théorique Chimie Informatique MEMOIRE Présenté pour l’obtention du diplôme de MAGISTER En Chimie Option : Physique Chimie Théorique Chimie Informatique Par : DEKHIRA Azzeddine Sujet : Etude théorique et simulation des cristaux photoniques et leurs applications en chimie et biochimie Soutenu le :…………………….., devant le jury composé de : Mr. A. AIT KACI Professeur à l’USTHB Président Melle. O. OUAMERALI Professeur à l’USTHB Directrice de thèse Melle. D. HAMMOUTENE Professeur à l’USTHB Examinatrice Mr. O. KRACHNI Professeur à l’UFA S Examinateur Mr. T. ALI ZIANE Maitre de Conférences à l’USTHB Examinateur REMERCIEMENTS Ce travail de mémoire a été effectué au sein de l’école doctorale physique chimie théorique chimie informatique, sous la direction scientifique du Professeur Ourida OUAMERALI, responsable de l’équipe 2 du laboratoire de physico-chimie théorique chimie informatique, à la Faculté de Chimie de l’U.S.T.H.B J’adresse mes profonds remerciements à ma directrice de thèse, professeur Ourida OUAMERALI, qui a toujours montré de l’enthousiasme pour mon travail et pour le sujet nouveau que constituent les cristaux photoniques, pour m'avoir confié ce travail et assurer l’encadrement de cette thèse et Je suis très reconnaissant pour le confiance qu’elle m’a accordée, ses conseils judicieux, sa disponibilité et le soutien constant qu’elle m’a prodigué au cours de l’élaboration de ce travail. Je remercie vivement Monsieur le Professeur M. A. AIT KACI qui m’a fait l’honneur d’accepter la présidence du jury de ce mémoire .Je lui exprime toute ma gratitude pour l’intérêt qu'il a porté à ce travail. Je suis reconnaissant à Melle D. HAMMOUTENE, professeur à l’USTHB de m’avoir honoré de sa présence en étant membre de jury. Je la remercie très respectueusement d'avoir accepté de juger ce travail. Je remercie également, Monsieur O. KRACHNI, professeur à l’université Ferhat Abbes Sétif pour ses conseils et ses encouragements et aussi a bien voulu être membre du jury et examiner ce mémoire. J’exprime ma gratitude envers Monsieur T. ALI ZIANE, maître de conférence à l’USTHB pour ses encouragements et d’avoir accepté de faire partie du jury. Mes remerciements sont adressés également à tous les enseignants de l’ECOLE DOCTORALE Physique Chimie Théorique Chimie Informatique qui ont contribué à ma formation. J’associe à mes remerciements mes camarades de l’école doctorale : S. BOUARAB, A. SADI, N. BENSERADJ, S. REZZOUK et A. BOUROUINA pour l’ambiance chaleureuse de travail et pour nos échanges qui n’ont pas toujours été scientifiques. Je remercie aussi vivement les membres de notre équipe de recherche : S. MOUSSI, M.HADJ BEN ALI, D.KHEFFACHE Y. MOUSSAOUI et M. REKHIS pour leur soutien moral. Pour leur amitié jamais démentie, pour leur soutien moral et leurs encouragements constants, je remercie mes amies : K. BABESSE, N. YAHIAOUI, K. DJILANI, H. BELAID, M. CHEHILI, B. DJAALAB, L. MEHAMELI, A. BESSAS, N. KETTAF, A. MEZIOUD, S. CHEHILI et M. MEZIANE Je suis particulièrement reconnaissant à mes parents, mes sœurs et mes frères qui ne ménagent aucun effort pour me soutenir. Sommaire SOMMAIRE Introduction Générale 6 Bibliographie 10 Chapitre I : Généralités sur les cristaux photoniques 11 I.1 Introduction 12 I.2 Définition 13 I.3 Bref historique 13 I.4 Notion de bande interdite photonique 14 I.5 Caractéristiques des cristaux photoniques 15 I.6 Matériaux BIP à défaut 16 I.7 Classes de cristaux photoniques 17 I.7.1 Cristaux photoniques tridimensionnels 17 I.7.2 Cristaux photoniques Bidimensionnels 20 I.7.3 Cristaux photoniques unidimensionnels 22 I.8 Méthodes d’élaboration 22 I.8.1 Méthodes lithographiques 23 I.8.2 Méthodes holographiques 24 I.8.3 Méthodes d’auto-assemblage 25 I.9 Méthodes d’élaboration 26 I.9.1 Papillons 26 I.9.2 Souris de mer « Aphrodita » 27 I.9.3 Opales naturelles 28 Bibliographie 29 Chapitre II : Etude théorique des cristaux photoniques 31 II.1 Introduction 32 II.2 Equations macroscopiques de Maxwell 32 II.3 Analogie Schrödinger-Maxwell 35 II.3.1 Propriétés des modes harmoniques 37 II.3.2 Loi d'échelle 38 II.3.3 Différences et similarités 39 II.4 Théorème de Bloch 40 1 Sommaire II.4.1 Réseau direct et réseau réciproque 40 II.4.2 Zones de Brillouin 41 II.4.3 Zone de Brillouin irréductible 41 II.5 Diagramme de bandes 42 II.6 Carte des bandes interdites 44 II.7 Bandes permises et interdites 45 II.7.1 Etude quantique 45 II.7.2 Etude électromagnétique 50 II.8 Vitesse de groupe et vitesse de phase 53 II.9 Conclusion 55 Bibliographie 56 Chapitre III: Méthodes de simulation numérique 57 III.1 Introduction 58 III.2 Méthode de décomposition en ondes planes 59 III.3 Méthode des différences finies dans le domaine 61 III.4 Méthode des éléments finis 64 III.5 Méthode rigoureuse des ondes couplées 66 III.6 Méthode de la ligne de transmission 67 III.7 Méthode des matrices de transfert 69 III.8 Approches hybrides 69 Bibliographie 71 Chapitre IV: Méthode des différences finies dans le domaine temporel 73 IV.1 Introduction 74 IV.2 Equations de Maxwell dans l’espace cartésien 75 IV.3 Réduction à deux dimensions 76 IV.3.1 Polarisation TE 77 IV.3.2 Polarisation TM 77 IV.3.3 Propagation off-plane 77 IV.4 Réduction à une dimension 78 IV.5 Algorithme de Yee 79 IV.5.1 Principe des différences finies centrées 79 IV.5.2 Discrétisation des équations de Maxwell 81 2 Sommaire IV.5.3 Equations de Maxwell aux différences centrées 85 IV.5.4 Dispersion numérique 87 IV.5.5 Critères de convergence et de stabilité de l’algorithme 89 IV.6 Sources et signaux d'excitation 90 IV.6.1 Impulsion Gaussienne 90 IV.6.2 Excitation sino-gaussienne 91 IV.6.3 Excitation par une onde plane 92 IV.7 Conditions d’absorption aux limites 93 IV.7.1 Bref état de l’art 94 IV.7.2 Conditions périodiques aux limites 95 IV.7.3 Conditions d’Engquist-Majda-Mur 96 IV.7.4 Couches parfaitement adaptées « PML » 98 IV.8 Implémentation des milieux dispersifs 101 IV.8.1 Méthode RC 101 IV.8.2 Méthode ADE 103 IV.9 Conclusion 104 Bibliographie 105 Chapitre V: Méthode de décomposition en ondes planes 107 V.1 Introduction 108 V.2 Equation de Helmholtz 108 V.3 Structure de bandes des cristaux photoniques unidimensionnels 109 V.3.1 Position du problème 109 V.3.2 Calcul de structure de bandes 110 V.3.3 Solution du problème aux valeurs propres 113 V.3.4 Algorithme de la méthode PWE 114 V.4 Structure de bandes des cristaux photoniques 2D et 3D 114 V.4 .1 Cas d'un cristal photonique 3D 114 V.4 .2 Cas d'un cristal photonique bidimensionnel 116 V.5 Développement de Fourier de la fonction diélectrique 117 V.6 Structure de bandes «off-plane » d’un cristal photonique 2D 118 V.7 Structure de bandes d’un cristal photonique avec défaut 118 V.8 Conclusion 121 3 Sommaire Bibliographie 122 Chapitre VI: Conception et développement d'un logiciel de simulation 123 VI.1 Introduction 124 VI.2 Description et architecture du logiciel 124 VI.2.1 Module d’interface Windows 126 VI.2.2 Module d’entrée 126 VI.2.3 Module de Sortie 126 VI.2.4 Module de Simulation 126 VI.3 Simulateur FDTD 126 VI.4 Simulateur PWE 129 VI.5 Interface graphique 130 VI.6 Validation du module de simulation 132 VI.6.1 Validation du simulateur FDTD 132 VI.6.2 Validation du simulateur PWE 133 VI.7 Conclusion 135 Bibliographie 136 Chapitre VII: Applications des cristaux photoniques 137 VII.1 Introduction 138 VII.2 Capteurs à base de cristaux photoniques 139 VII.2.1 Description de la structure 140 VII.3.2 Modélisation de la structure 140 VII.3 Spectroscopie ultrarapide à base de cristaux photoniques 141 VII.3.1 Lasers à impulsions femtoseconde 141 VII.3.2 Description de la structure 142 Bibliographie 143 Conclusion générale et perspectives 145 Annexes 149 Annexe I : Transformée de Fourier 150 Annexe II : Origine de la bande interdite photonique 152 4 Glossaire Liste des abréviations utilisées CP : Cristal Photonique BIP : Bande Interdite Photonique BPG : Photonic Band Gap 1D : Unidimensionnel 2D : Bidimensionnel 3D : Tridimensionnel TE : Transverse Electrique TM : Transverse Magnétique ZB : Zone de Brillouin PWE : Plane Wave Expansion FDTD : Finite Difference Time Domain PML : Perfectly Matched Layer CPML : Convolution Perfectly Matched Layer UPML : Uniaxial Perfectly Matched Layer FEM : Finite Elements Method RCWA : Rigorous Coupled Wave Analysis TLM : Transmission Line Matrix TTM : Transfer Matrix Method TF/SF: Total Field / Scattered Field ABC : Absorbing Boundary Conditions RBC : Radiation Boundary Conditions PBC : Periodic Boundary Conditions CPL : Common Photonic Layer RC : Recursive Convolution ADE : Auxiliary Differential Equation GUI : Graphical User Interface FFT : Fast Fourier Transform MEMS : Micro Electro Mechanical Systems 5 Introduction Générale Introduction Générale Ces quinze dernières années, les cristaux photoniques ou matériaux à bande interdite photonique (BIP) [1] ont suscité un intérêt important dans la communauté scientifique. Cet intérêt pour ces matériaux est dû au fait qu’ils ont des propriétés optiques uniques. Les cristaux photoniques sont des matériaux hétérogènes artificiels ou naturels dont l’indice de réfraction varie périodiquement dans les différentes directions de l’espace et constituent à l’heure actuelle une nouvelle classe de matériaux. À l'image des électrons dans les semi-conducteurs, les photons y sont répartis en bandes de transmission séparées par des bandes d'énergies interdites. Cette analogie [2] permet d'envisager l'utilisation des cristaux photoniques pour stocker, localiser, filtrer ou bien guider la lumière. Le développement de ce nouveau type de matériau a ouvert la voie à un nouveau champ de recherche et à des possibilités d’applications très diverses. Cependant, le développement de ces applications se heurte encore à la difficulté rencontrée pour la fabrication et la caractérisation de ces matériaux notamment aux fréquences optiques. Cette difficulté rend coûteuses en temps et argent les études expérimentales systématiques. Il a donc été nécessaire de disposer d’une modélisation théorique et numérique efficace et rapide de ces cristaux permettant d’orienter la fabrication vers des cristaux performants. L’objectif principal de ce travail était de mener une étude théorique et numérique des cristaux photoniques et de développer un logiciel de simulation et d’analyse de ces matériaux, dopé d’une interface graphique et possède une structure modulaire. Cet outil informatique est destiné à remplir la nécessité pour un programme personnalisable et extensible qui peut satisfaire aux besoins spécifiques de la recherche dans le domaine de photoniques. Dans le premier chapitre, des notions et des concepts de base sur les cristaux photoniques sont présentés. Pour cela, la description et l’historique de matériaux à bande interdite photonique, la notion de bande interdite photonique et les différents types de défauts intentionnels sont exposés. Ensuite un aperçu de différentes classes de ces matériaux ainsi que leurs propriétés physiques est donné. Nous continuerons par une présentation des méthodes de fabrication des cristaux photoniques artificiels et une description de quelques exemples de matériaux BIP naturels. 7 Introduction Générale Le deuxième chapitre est consacré à l’étude théorique des cristaux photoniques. L'idée principale consiste à exploiter l’analogie entre les semi-conducteurs électroniques, dont la périodicité atomique interdit la propagation des électrons dans certaines bandes d’énergie, et les photons piégés dans des structures photoniques et par conséquent, l’analogie entre les équations de Maxwell sous leurs formes fréquentielles et celle de Schrödinger. L’équation de propagation obtenue, qui représente un problème aux valeurs propres, est résolue en utilisant des concepts et des outils développés en physique du solide et en mécanique quantique tels que le théorème de Bloch [3, 4] et la transformée de Fourier. Le troisième chapitre est consacré aux rappels de quelques méthodes qui peuvent être mises en œuvre pour la modélisation des cristaux photoniques. Nous mettons l'accent sur les méthodes les plus utilisées telles que la FDTD [5, 6], La méthode PWE [7], la méthode des éléments finis [8] et celle de la ligne de transmission [9] ainsi que les méthodes hybrides. Le quatrième chapitre présente la formulation et l’implémentation informatique de la méthode de différences finis dans le domaine temporel « FDTD » basé sur la discrétisation des équations de Maxwell exprimées en coordonnées cartésiennes, pour la modélisation des matériaux à bande interdite photonique. Cette méthode permet essentiellement de simuler la propagation de la lumière dans les structures photoniques finies et d’obtenir les coefficients de réflexion et de transmission. Les conditions d’absorption aux limites « PML » [10] pour décrire l’espace libre sont intégrées aux codes FDTD ainsi que les deux modèles de Debye et de Lorentz pour décrire les milieux dispersifs. Le cinquième chapitre présente la formulation et l’implémentation de la méthode de décomposition en ondes planes « PWE » qui consiste à résoudre l’équation d’onde dans l’espace fréquentiel en développant le champ magnétique sur une base d’ondes planes. Cette méthode permet de calculer les diagrammes de bandes de cristaux photoniques. Pour traiter des structures photoniques en présence de défauts, la technique de supercellules [11] est intégrée aux codes PWE. Le sixième chapitre montre d’une manière générale les organigrammes des algorithmes développés ainsi que les outils utilisés pour la réalisation d’un logiciel de simulation et d’analyse des cristaux photoniques avec une interface graphique (GUI). Ce logiciel est développé en langage orienté objet C++Builder avec une structure modulaire, personnalisable et extensible. Le cœur du logiciel est le module de simulation qui consiste en deux simulateurs, l’un est développé à la base de la méthode FDTD et l’autre à la base de la 8 Introduction Générale méthode PWE. Plusieurs tests de validation sur des structures photoniques en niobate de lithium « LiNbO3 », Arséniure de Galium « GaAs », Dioxyde de titane « TiO2 » et en Silicium sont effectués pour évaluer la fiabilité du logiciel. Le septième chapitre est consacré aux applications des cristaux photoniques. Deux applications d’intérêt chimique et biochimique sont décrites : capteurs chimiques et biochimiques à base de cristaux photoniques [12] et Spectroscopie femtoseconde [13]. 9 Introduction Générale Bibliographie [1] E. Yablonovitch, Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics. Phys. Rev. Lett. 58, 2059–2062 (1987). [2] G. Malpuech, A. Kavokin, G. Panzarini, and A. Di Carlo, Theory of photon Bloch oscillations in photonic crystals, Physical Review B 63, 035108 (2001). [3] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons, Inc. 1996. [4] R. D. Meade, A.Devenyi, J. D. Joannopoulos, O. L. Alerhand, D. A. Smith et K. Kash, Novel applications of photonic band gap materials: Low loss bends and Q cavities, [5] K. S. Yee, Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 14, no. 3, pp. 302{307, 1966. [6] A.Taflove and M.E.Brodwin, IEEE Transactions on Microwave theory and Technique, MTT-23, No 8, August 1975. [7] K. M. Ho, C. T. Chan, and C. M. Soukoulis, Existence of a photonic gap in periodic dielectric structures, Phys. Rev. Lett., vol. 65, no. 25, pp. 31523155, 1990. [8] R. L. Courant, Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibration, Bulletin of the American Mathematical Society 49: 1-23., 1943. [9] P. B. Johns et R. L. Beurle, Numerical solution of 2-dimensional scattering problems using a transmission-line matrix, Proceedings IEE, vol. 118, p. 1203–1208, sept. 1971. [10] J.P. Berenger, A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves, Journal of Computational Physics 114, p. 185 (1994). [11] A. Yariv, Y. Xu, R. K. Lee, and A. Scherer Coupled-resonator optical waveguide: a proposal and analysis, Optics Lett 24, 711 (1999). [12] T. Stomeo, M. Grande, A. Qualtieri, A.Passaseo, A.Salhi, M. Vittorio. Microelectronic Engineering, 2007, Vol. 84, issue 5-8, pp 1450-1453 (2007). [13] C. Lecaplain, A. Hideur, S. Février, P. Roy, Mode-locked Yb-doped Bragg fiber laser, Optics Letters, Vol. 34, no. 18, pp.2879-2881 (2009). 10 CHAPITRE I Généralités sur les cristaux photoniques   CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques I.1 Introduction Depuis une décennie, une communauté de chercheurs rassemblant opticiens, physiciens et chimistes s’est fixé l’objectif ambitieux de réaliser un matériau qui serait, pour les photons, l’analogue de ce qu’est un cristal semi-conducteur pour les électrons. Cette nouvelle classe de matériaux a suscité un très vif intérêt dans le monde de la recherche et ceci dans plusieurs secteurs de la physique et de la chimie. Il s'agit des structures périodiques diélectriques ou métalliques, rencontrées sous les appellations «cristaux photoniques» ou « matériaux à bande interdite photonique », qui présentent des états photoniques structurés en bandes interdites et passantes. En effet, dans un cristal semi-conducteur la périodicité atomique empêche les électrons de prendre n’importe quelle valeur d’énergie ; elle doit appartenir à certaines gammes d’énergies séparées par des « bandes d’énergies interdites ». Ces sont encore appelées bandes interdites électroniques (electronic band gap). Tout l’intérêt des semiconducteurs découle de l’existence de cette zone. E. Yablonovitch démontra [1], dans le but de contrôler directement l’émission de lumière, la possibilité théorique de fabriquer dans des matériaux diélectriques, des structures qui possèdent une périodicité semblable à celles des cristaux atomiques. Dans ces structures, les bandes interdites ne concerneraient plus les électrons mais les photons. C’est ainsi que naquirent les concepts de Bande Interdite Photonique (BIP), en anglais Photonic Band Gap (PBG) et de cristaux photoniques (CP). Les cristaux photoniques existent dans la nature à l’état minéral et biologique. Les opales sont des minéraux composés d’arrangements de sphères de silice hydratée et l’origine de la coloration de nombreuses espèces animales et végétales provient aussi de motifs périodiques. Toutefois, les cristaux photoniques qui constituent un domaine de recherche très dynamique sont souvent le résultat de synthèses artificielles. Les progrès récents dans les techniques et les méthodes de fabrication des cristaux photoniques permettent de réaliser des structures à l’échelle du nanomètre qui contrôlent la lumière visible et infrarouge et permettent ainsi d’envisager de nombreuses applications potentielles révolutionnaires. 12    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques I.2 Définition Les cristaux photoniques, encore appelés matériaux à bandes interdites photoniques (BIP), sont des matériaux diélectriques, semi-conducteurs ou métalliques artificiellement ou naturellement structurés dont la constante diélectrique varie périodiquement à l’échelle de la longueur d’onde selon une ou plusieurs directions de l’espace. Par analogie avec la bande d’énergie interdite électronique caractérisant les réseaux cristallins atomiques, les structures photoniques possèdent une bande de fréquences interdites dans laquelle aucune onde électromagnétique ne peut se propager, indépendamment de la polarisation et de la direction de propagation. Cette propriété intéressante offre aux cristaux photoniques la possibilité du contrôle de la propagation sans absorption des ondes électromagnétiques et permet ainsi des perspectives nouvelles pour la manipulation de la lumière. I.3 Bref historique Malgré le fait que ce n'est que pendant les dernières décennies que les cristaux photoniques ont attiré une grande attention, les premières hypothèses sur la possibilité de contrôler la propagation de la lumière utilisant des structures périodiques se rapportent à 1887 avec les travaux de Lord Rayleigh [2]. En 1972, une étude théorique détaillée de structures optiques unidimensionnelles a été réalisée par V.P. Bykov [3]. Il a été le premier à examiner l'effet de bandes interdites sur l'émission spontanée provenant d'atomes et de molécules intégrées à la structure. Bykov fit aussi des hypothèses sur l'emploi de structures bidimensionnelles et tridimensionnelles. On considère souvent que le domaine des cristaux photoniques à démarré en 1987, quand E. Yablonovitch et S. John [4] ont introduit, séparément et dans des contextes différents, le concept de matériaux à bandes interdites photoniques. La motivation principale de Yablonovitch était d'appréhender la densité d'états photoniques, par analogie à la densité d'états électroniques, dans le but de contrôler l'émission spontanée de matériaux intégrés aux cristaux photoniques. John, quant à lui, voulait utiliser les cristaux photoniques pour modifier la localisation et le contrôle de la lumière. 13    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques Après 1987, le nombre de publications concernant les cristaux photoniques commença à croître exponentiellement. Cependant, à cause de la difficulté de fabrication de ces structures pour qu'elles soient effectives dans le spectre visible, les premières études étaient soit théoriques, soit dans les micro-ondes. En 1991, A. Genack et al [5] ont montré expérimentalement l’existence de l’effet de localisation de la lumière dans les structures périodiques. En même temps, Yablonovitch et al [6] ont démontré expérimentalement la possibilité de réaliser une structure diélectrique capable de réfléchir la totalité d’un rayonnement électromagnétique, quelle que soit la direction incidente et dans le domaine des micro-ondes. En 1993, Yablonovitch conçoit le premier cristal photonique tridimensionnel possédant une bande interdite dans les micro-ondes. Ce cristal photonique s’appelle d’après son inventeur « la Yablonovite ». En 1996, Thomas Krauss fit la première démonstration d'un cristal photonique bidimensionnel dans le spectre du visible [7]. Cela ouvrit la voie à la fabrication de cristaux photoniques par les méthodes utilisées dans le secteur des semi-conducteurs. En 1998, l'opale inverse artificielle a été obtenue expérimentalement [8]. Le diamètre de la sphère dans la structure était d'environ 1 µm, et la distance entre les sphères est très faible. L'indice de réfraction du matériau utilisé ( TiO2 ) entre les sphères est de 2.8. En 2000, le premier cristal photonique tridimensionnel avec une bande interdite photonique complète dans le domaine infrarouge proche a été obtenu [9]. Un tel cristal photonique s'est composé des sphères de silicium disposées dans une maille d’un cristal de type « diamant ». Au cours des dernières années, la recherche dans le domaine des cristaux photoniques a connu une expansion extraordinaire et a couvert presque toutes les disciplines scientifiques en réalisant des progrès sans précédent. I.4 Notion de bande interdite photonique Dans un semi-conducteur, la variation périodique du potentiel d’interaction entre électrons et atomes fait que les électrons n’ont accès qu’à certains niveaux d’énergie, des bandes d’énergie permises, séparées entre elles par des bandes d’énergies interdites. Ce concept de bandes permises et interdites peut être étendu au comportement des photons dans 14    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques un cristal photonique. A cause de la variation périodique de l’indice de réfraction dans un cristal photonique, l’énergie des photons est quantifiée en bandes permises et en bandes interdites, appelées aussi gaps. Les bandes permises et interdites d’un CP se regroupent dans un diagramme de bandes photoniques, qui est une représentation des fréquences possibles pour l’onde électromagnétique au sein du CP en fonction de son vecteur d’onde. En revanche, dans le cas d’un CP présentant une symétrie cristalline adaptée, un contraste d’indice de réfraction suffisamment élevé et constitué de motifs élémentaires de forme appropriée ; les bandes interdites peuvent devenir assez larges et se recouvrir pour une certaine gamme de fréquences. La propagation de la lumière est de la sorte interdite dans le matériau pour ces fréquences, selon toutes les directions de l’espace. On parle alors de « bande interdite photonique complète ». Une bande interdite photonique d'un cristal est dite complète (ou totale) lorsque, pour le domaine de fréquences considéré, le cristal ne supporte aucun mode électromagnétique de propagation ; c'est-à-dire qu'une onde dont la fréquence est dans la bande interdite totale ne peut pas se propager dans le cristal quelques soient sa polarisation et sa direction de propagation. Expérimentalement, une bande interdite est mise en évidence en mesurant la réponse du matériau soumis à un faisceau lumineux, en transmission ou en réflexion. Cette dernière est caractérisée par l’apparition d’un minimum de la transmission et par conséquent un maximum de la réflexion. I.5 Caractéristiques des cristaux photoniques  La dimensionnalité Elle est déterminée par la périodicité de l’indice de réfraction. La périodicité d’un cristal photonique peut s’étendre à une, deux ou trois dimensions.  La symétrie La position des éléments d’un CP détermine la symétrie du réseau. Par exemple, pour un CP 3D de particules sphériques, une symétrie cubique, hexagonale compacte (hc) ou cubique à face centrée (cfc) peut être obtenue. 15    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques  La topologie La topologie rend compte de l’architecture, de la compacité du matériau. Un réseau d’une symétrie donnée peut présenter des topologies différentes (cas de briques constitutives interpénétrées, en contact ou isolées).  Le paramètre du réseau C’est la distance fondamentale entre deux éléments constitutifs. Il détermine la région spectrale où le CP interagit avec l’onde électromagnétique.  Le contraste d’indice de réfraction Ce paramètre est défini comme le rapport n1/n2 entre les indices de réfraction des éléments et de la matrice. Il offre une idée générale de la force de diffusion des deux matériaux composants du cristal photonique.   I.6 Matériaux BIP à défaut Toujours par analogie avec les cristaux semi-conducteurs, les fonctionnalités des cristaux photoniques peuvent être exaltées en insérant volontairement et de façon contrôlée des défauts au sein de leur structure. On parle alors de défauts extrinsèques, en opposition avec des défauts non intentionnels, intrinsèques aux CP, comme des imperfections dans la structure apparaissant lors de leur fabrication. Ces derniers étant présents dans les matériaux de façon aléatoire, ils entraînent une dégradation des propriétés optiques et sont donc nuisibles aux applications finales. La création d’un défaut extrinsèque est causée par la rupture de la périodicité de l’indice de réfraction. Comme pour les semi-conducteurs, où des niveaux d’énergie apparaissent dans le gap lors de l’insertion d’impuretés (atomes autres que ceux du cristal), les défauts extrinsèques au sein de CP créent des niveaux d’énergies permis, nommés « modes de défauts », pour des fréquences particulières dans la bande interdite. Il existe deux principaux types de défauts : les défauts ponctuels et les défauts étendus. Les premiers, associés à une rupture locale de périodicité, se traduisent par la présence de modes électromagnétiques à des fréquences discrètes, analogues aux défauts électroniques. Les seconds, que l’on peut considérer comme analogues aux dislocations, peuvent donner lieu à des bandes permises de propagation, là où se trouve une bande interdite dans le cristal idéal. 16    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques L'insertion de défauts dans les cristaux photoniques nécessite une modification contrôlée d’un ou plusieurs paramètres au cours du processus de fabrication. Les paramètres les plus considérés pour cette opération sont les suivants:  Dimensions des motifs élémentaires Pour rompre la périodicité d’une structure BIP, on peut modifier la taille du motif élémentaire (Fig. 1.1) qui compose le cristal photonique. Figure 1.1 : Défaut de dimension du motif élémentaire  Distance entre motifs élémentaires On peut aussi jouer sur l’espace qui existe entre les motifs élémentaires des réseaux cristallins (Fig. 1.2). Figure 1.2 : Défaut de distance entre motifs élémentaires  Valeur de la permittivité relative des motifs élémentaires Il est possible de changer localement la nature du matériau et plus concrètement, changer la valeur de la permittivité relative (Fig. 1.3). Figure 1-3 : Défaut sur la permittivité relative 17    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques  Défaut par vacuité Le défaut par vacuité correspond à l’élimination de motifs élémentaires qui se trouvent remplacés par la permittivité de fond (Fig. 1.4).         Figure 1.4 : Défaut par vacuité    I.7 Classes de cristaux photoniques Il existe différents types de cristaux photoniques, à classer selon leur dimensionnalité. A une dimension (1D), on retrouve les bien connus miroirs de Bragg (Fig. 1.5a) formés d'une alternance de couches de bas et haut indice. Le principe des miroirs de Bragg peut être généralisé à 2 ou 3 dimensions, constituant des cristaux photoniques bidimensionnels (Fig. 1.5b) ou tridimensionnels (Fig. 1.5c). (1D) (2D) (3D) Figure 1.5: Schéma de cristaux photoniques 1D, 2D ou 3D. Les différentes couleurs représentent des matériaux de constants diélectriques différents. I.7.1 Cristaux photoniques tridimensionnels Les cristaux photoniques 3D ont attiré et attirent toujours de nombreux efforts de recherche. Ils constituent la seule structure qui permet d'obtenir une bande d'énergie interdite dans toutes les directions de l'espace. Le premier cristal photonique 3D a été fabriqué par K.M Ho et al. [10]. Il était formé de sphères de silicium arrangées sur une structure diamant. Mais 18    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques l'histoire retient généralement la célèbre Yablonovite, structure 3D pour les micro-ondes fabriquée en 1993 par E. Yablonovitch. Au fil des années, les scientifiques ont cherché à réduire la dimension des motifs, en utilisant plusieurs méthodes, pour aboutir aujourd’hui à des cristaux photoniques présentant une bande interdite dans le proche infrarouge et le visible. De nombreuses structures tridimensionnelles ont été proposées. Les deux suivantes ont attiré le plus d'efforts de recherche: Structures « Tas de bois » : Ces structures 3D sont obtenues en déposant par couches successives des rubans de silicium polycristallin dans des tranchées de silice. Après avoir bâti la structure, la silice est retirée pour obtenir un cristal photonique 3D Si/air dont le contraste d'indice est suffisant pour ouvrir une bande d'énergies interdites omnidirectionnelle [11] (Fig. 1.6). Des cristaux photoniques semblables ont été fabriqués sur GaAs par Noda et al. [12] par un procédé de fusion/élimination du substrat. Cette technique utilise des technologies standards de micro-fabrication des semi-conducteurs et permet l'introduction déterministe de défauts dans les cristaux fabriqués. Figure 1.6 : Image MEB (Microscopie Electronique à Balayage) d’un cristal photonique du type tas de bois Opales : Ces structures forment une famille originale de cristaux photoniques 3D. Elles sont obtenues chimiquement par auto-assemblage (Fig. 1.7). La première opale a été obtenue par sédimentation de sphères de silice (SiO2) en solution: la gravité arrange ces sphères selon un réseau cubique à faces centrées [13]. 19    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques Le nombre important de défauts dans les premières opales a été fortement réduit grâce à des techniques de croissance auto-organisées proposées par Y.A. Vlasov [14]. La plupart de ces cristaux colloïdaux ne présentent pas de bandes d’énergie interdites, à cause du faible contraste d’indice. Cependant, ces structures servent d’empreinte pour la réalisation d’opales inverses à partir de l’infiltration d’un matériau de haut indice (Fig. 1.8). Les sphères initiales sont ensuite dissoutes pour aboutir à structure finale de sphères d’air dans une matrice de haut indice. Figure 1.7 : Vue de MEB d’une opale artificielle directe           Figure 1.8 : Vue de MEB d’une opale artificielle inverse   I.7.2 Cristaux photoniques Bidimensionnels Les difficultés de fabrication des structures 3D ont conduit à envisager la réalisation et l'étude de structures 2D. Un cristal photonique 2D parfait est périodique dans le plan (Oxy) et infiniment long dans la direction (Oz). Il possède une bande interdite dans le plan (Oxy). Ces systèmes n'existent pas dans la réalité mais de bonnes approximations peuvent être obtenues. 20    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques Figure 1.9 : Exemple de cristal photonique bidimensionnel imagé en microscopie électronique L'insertion de défauts est plus simple que dans les cristaux photoniques 3D. Pour compenser l'absence de bande interdite dans la direction perpendiculaire au plan de périodicité des cristaux 2D, la lumière peut être confinée dans une hétérostructure d'indice. Cette dernière se compose généralement d'une couche de diélectrique entourée de deux autres couches diélectriques d'indices de réfraction plus faibles. A deux dimensions, il est nécessaire de considérer deux polarisations différentes: TE (avec le champ E perpendiculaire à l'axe des trous) et TM (où E est parallèle à l'axe des trous). Ces deux polarisations sont découplées et donnent lieu à deux diagrammes de bande indépendants. Il n'existe donc pas forcément une bande interdite dans les deux cas. Il existe de nombreux degrés de liberté lors de la conception d'un cristal photonique 2D. En particulier, il est possible pour un type de réseau choisi d'ajuster le paramètre de maille et le facteur de remplissage surfacique (rapport air/surface totale). Ces paramètres influencent directement les propriétés et l'allure du diagramme de bandes associé au cristal photonique réalisé, en particulier la largeur et la position de la bande interdite. La configuration la plus propice à l'obtention d'une bande interdite complète (c'est-à-dire en TE et en TM) est le réseau triangulaire de trous dans un diélectrique de haut indice de réfraction.     21    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques I.7.3 Cristaux photoniques unidimensionnels Les cristaux photoniques 1D sont les plus simples à réaliser. Ils sont obtenus en empilant périodiquement des couches planes de diélectriques d’indices de réfraction différents. À chaque interface entre deux couches, la lumière est partiellement réfléchie et transmise. Selon la valeur des déphasages (qui eux-mêmes dépendent de la longueur d’onde) on obtient des interférences destructives ou constructives. Les interférences constructives des ondes réfléchies entraînent une réflexion totale. Ainsi, pour certaines longueurs d’onde, la structure multicouche se comporte comme un miroir. Figure 1.10 : Cristal photonique unidimensionnel (miroir de Bragg) Cette réflectivité est la manifestation d’une bande interdite photonique. Cependant, dans les cristaux photoniques 1D la lumière monochromatique n’est réfléchie que lorsqu’elle se propage dans une direction proche de la normale à la structure multicouche. I.8 Méthodes d’élaboration La théorie derrière les propriétés optiques des cristaux photoniques a été largement étudiée au cours des deux dernières décennies et un certain nombre de phénomènes fascinants ont été prévus. Mais la réalisation expérimentale des structures nécessaires pour tester ces prédictions a fait défaut dans de nombreux cas. La raison en devient évidente si l'on prend en compte le fait que la plage de travail pour un cristal photonique est dictée par la périodicité spatiale de son indice de réfraction. Par conséquent, si l'on veut opérer dans la partie visible 22    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques ou proche infrarouge du spectre électromagnétique, des modulations spatiales de l'indice de réfraction de quelques centaines de nanomètres à un micron sont nécessaires. Cela représente un défi considérable pour la technologie actuellement disponible. En principe, on aurait envie d’avoir une technique efficace qui soit facile à mettre en œuvre, faible coût, et qui conduise à des structures reproductibles de bonne qualité impliquant un délai raisonnable. En ce sens, un certain nombre de méthodes de fabrication ont été inspirées ou directement empruntés à d'autres disciplines. La plupart de ces méthodes peuvent être divisés en trois groupes, chacun ayant des avantages et des inconvénients : méthodes lithographiques, holographiques et d’auto-assemblage. I.8.1 Méthodes lithographiques. Les techniques lithographiques sont fréquemment utilisées dans le domaine de la microélectronique pour fabriquer des composants électroniques. Une couche de résine photo ou électro-sensible telle que le PMMA (Polyméthylmétacrylate) est déposée sur un matériau d’indice de réfraction élevé. La procédure débute par l’enregistrement d’un réseau 2D dans le matériau suivant un procédé de photolithographie ou de lithographie électronique. Dans les zones irradiées, la résine est fragilisée par le rayonnement et éliminée par un solvant ; alors que dans les zones non traitées, elle demeure intacte et protège le substrat. Le motif dessiné dans la résine est transféré dans la matière, par une étape de gravure. On utilise généralement des ions qui viennent frapper la surface et creusent la matière jusqu'à une profondeur voulue. Afin de former un CP 3D, des couches de semi-conducteurs ainsi structurées sont empilées les unes sur les autres. Figure 1.11 : Clichés de MEB de CP élaborés par photolithographie 23    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques La figure 1.11 montre un exemple d’un cristal photonique élaboré par photolithographie [15]. Dans cette structure, dite en « tas de bois », chaque couche est formée par des bâtonnets parallèles et orientés à 90° par rapport à ceux de la couche sous-jacente, de sorte que les points de contact forment une structure diamant. Cette méthode offre aussi la possibilité de réaliser des défauts intentionnels. Les méthodes lithographiques permettent l’élaboration de CP 3D d’architecture hautement contrôlée, mais limitée à quelques couches. Le procédé est particulièrement onéreux et les nombreuses étapes de fabrication nécessitent un temps considérable. I.8.2 Méthodes holographiques. Le principe de l’holographie [16] consiste à enregistrer l’hologramme créé par l’interférence entre plusieurs faisceaux lumineux cohérents dans une résine photosensible. Afin de créer une structure 3D, quatre sources lumineuses sont requises. La partie de la résine non exposée est dissoute, révélant une structure 3D dont la périodicité et la symétrie sont parfaitement contrôlées par des paramètres expérimentaux comme l’intensité des lasers. La figure 1.12 montre un exemple de CP 3D élaboré suivant cette méthode avec la résine photosensible SU8.19 Cette méthode présente de nombreux avantages. Le temps d’élaboration est très court (quelques minutes), de nombreuses symétries sont accessibles, le procédé est relativement bon marché et adapté pour une production à grande échelle. Enfin, l’addition de défauts optiquement actifs dans la résine avant l’exposition aux lasers est réalisable [17]. Figure 1.12 : Clichés de MEB de CP élaborés par holographie 24    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques I.8.3 Méthodes d’auto-assemblage L'approche la plus populaire pour la fabrication des cristaux photoniques 3D est celui de l'auto-assemblage [18]. Cette méthode est basée sur la tendance naturelle des particules colloïdales monodisperses de s'auto-assembler dans des rangées organisées communément appelées opales artificielles. Son potentiel en tant que cristaux photoniques a déjà été reconnu dans la première proposition en 1987 et peu après les premières opales artificielles ont été caractérisées optiquement en termes de bandes photoniques. On utilise alors un très grand nombre de particules identiques en interaction et on laisse le système former spontanément une structure qui s’organise de l’échelle microscopique à l’échelle macroscopique. Pour former des cristaux photoniques, on utilise donc généralement cette auto-organisation vers un état méta-cristallin à l’équilibre thermodynamique d'une suspension de particules. On cherche à influer sur ces assemblages en contrôlant des paramètres macroscopiques telles que la température, la concentration en particules, leurs charges de surface, la viscosité du solvant de la suspension. Il existe de nombreuses méthodes permettant de construire des structures par auto-assemblage à 2D et 3D telles que la sédimentation et le dépôt de Langmuir-Blodget… Cependant l'auto-assemblage ne peut conduire qu'aux structures qui sont thermodynamiquement les plus stables, c'est-à-dire les structures compactes, hexagonales et cubiques à faces centrées ou encore à un mélange aléatoire des deux. D’un point de vue optique, ces structures à fortes compacités et hautes symétries présentent peu d’intérêt car par exemple, pour l’ouverture d’une bande interdite photonique; les structures cubiques faces centrées et hexagonales compactes étaient défavorables avec des billes de silice. Les échantillons initiaux construits par la sédimentation, a eu un certain nombre d'inconvénients quant à la difficulté de contrôler l'épaisseur de l'échantillon et le fait qu'ils ne sont pas faciles à manipuler. Ces inconvénients ont ensuite été éliminés par l'introduction de la méthode de dépôt vertical. Parmi les autres inconvénients, on peut citer le contraste faible d’indice de réfraction et la symétrie fixe des échantillons. Une solution pour augmenter le contraste d'indice de réfraction d’une opale artificielle est d'infiltrer ses pores avec un matériau d'indice de réfraction élevé, puis d'enlever la structure originale, pour obtenir ce qu'on appelle une «opale inverse » (Fig. 1.13b). 25    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques (a) (b) Figure 1.13 : (a) : Les sphères de silicium sont assemblées directement sur le wafer de Si pour former l’opale, (b) : La structure opale est infiltrée avec du silicium puis les sphères de SiO2 sont enlevées par gravure mouillée (opale inverse). I.9 Matériaux à bandes interdites photoniques naturels La nature dispose de nombreux moyens pour produire des effets optiques impressionnants. Il est intuitif d’attribuer les couleurs du monde animal, végétal, minéral à l’absorption sélective de la lumière due à la présence de pigments. Ainsi, en absorbant la lumière rouge et bleue, la chlorophylle donne leur couleur verte aux végétaux. En revanche, certaines couleurs ne peuvent pas être expliquées simplement par un phénomène d’absorption de la lumière. Il existe des structures naturelles qui peuvent avoir des propriétés ayant les mêmes caractéristiques que les cristaux photoniques artificiels. En effet, les colorations vives de certaines espèces sont parfois dues à la présence de structures très complexes, à caractère périodique. Nous allons présenter brièvement certains de ces matériaux. I.9.1 Papillons Les papillons comptent parmi les insectes les plus colorés que nous retrouvons dans la nature. Ils sont en fait très largement tributaires de la lumière et équipés d’un arsenal impressionnant pour gérer cette interaction avec les ondes électromagnétiques [19]. Si on effectue une analyse microscopique des ailes, on découvert que celles-ci sont constituées par des écailles qui ont des structures géométriques dans lesquelles un des paramètres varie en continu. Sur la figure 1.14, apparaît un papillon et la coupe d’une aile. Sur 26    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques cette coupe observée au microscope électronique, apparaît une structure qui a un comportement de matériau à bande photonique interdite. C’est elle qui donne à certains papillons des couleurs iridescentes. En effet, ce réseau réfléchit la lumière pour certaines longueurs d’onde dans des directions différentes en fonction de la longueur d’onde. Figure 1.14 : La figure à droite présente l’agrandissement d’une aile de papillon. On voit un arrangement périodique des écailles. I.9.2 Souris de mer « Aphrodita » Des scientifiques australiens et britanniques des universités de Sydney et d'Oxford ont trouvé un ver marin possédant des épines qui constituent des cristaux photoniques plus efficaces que ceux fabriqués par l'homme jusqu'à présent [20]. Cet animal au nom charmant : Aphrodita est appelé « souris de mer » de l'anglais « seamouse » (Fig. 1.15a). (a) Cet animal est partiellement recouvert d’épines irisées, elles-mêmes constituées par un arrangement périodique de cylindres creux (Fig. 1.15c). Chaque cylindre ayant un diamètre de l’ordre de la longueur d’onde de la lumière visible. Cette dernière est diffractée par le réseau organisé de cylindres. (a) (b) (c) Figure 1.15 : Photographies d’une souris de mer (a) et d’une de ses épines (b). Coupe d’une épine observée en microscopie électronique à transmission (c). 27    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques I.9.3 Opales naturelles L’opale est un minéral typique d’origine sédimentaire. Elle se forme par dépôt chimique d’eaux très riches en silice et par accumulation de squelettes d’organismes marins. En effet, c’est un minéral colloïdal amorphe, ou micro cristallin. On la trouve en globules et en croûtes de coloris variés toujours magnifiquement iridescents. Elle contient de la silice et de l’oxygène, dans un rapport de un à deux (comme le quartz) ainsi que de l’eau. Figure 1.16 : Image au microscope électronique d’une opale naturelle constituée d’un réseau quasi-périodique de billes de silice Son étude au microscope électronique a permis de mettre en évidence sa structure. Elle est formée de petites sphères de silice environnées d’espaces vides, équidistants entre eux. Face aux ultraviolets, elle a souvent une fluorescence jaune ou verte. De même, les microbilles de silice peuvent être considérées comme un réseau de diffraction de la lumière incidente. Même si le contraste d’indice entre l’air et la silice (n = 1.5) est faible, on peut utiliser ce genre de structures avec un contraste d’indice important pour réaliser des structures à bande interdite photonique [21] 28    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques Bibliographie [1] E. Yablonovitch, Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics. Phys. Rev. Lett. 58, 2059–2062 (1987). [2] L. Rayleigh, On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and on the propagation of waves through a medium endowed with a periodic structure. Philosophical Magazine 24, 145–159 (1887). [3] V.P. Bykov, Spontaneous emission in a periodic structure. J. Exp. Theor. Phys. 35, 269 (1972). [4] S. John, Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices. Phys. Rev. Lett. 58, 2486–2489 (1987). [5] A. Genack and N. Garcia, Observation of Photon localisation in a Three-Dimensional Disordered System, Phys. Rev. Lett., 66 (16), pp : 2064, (1991). [6] E. Yablonivitch, T. J. Gmitter, K. M. Leung, Photonic Band Structure: The Facecentred-Cubic Case Employing Nonspherical Atoms, Phy. Rev. Lett., 67, p2295-2298 (1991). [7] T.F. Krauss, R.M. De la Rue et S. Brand, Two dimensional photonic band gap structures operating at near-infrared wavelengths, Nature 383, pp. 699-702, (1996). [8] J.E.G.J. Wijnhoven, L.V. Willem, Preparation of photonic crystals made of air spheres in Titania. Science 281, 802–804 (1998). [9] A. Blanco, E.Chomski, S.Grabtchak, et al. , Large scale synthesis of a silicon photonic crystal with a complete three-dimensional bandgap near 1.5 micrometres. Nature 405, 437–440 (2000). [10] K. M. Ho, C. T. Chan, and C. M. Soukoulis, Existence of a photonic gap in periodic dielectric structures, Phys. Rev. Lett. 65, 25 (1990). [11] S. Y. Lin, J. G. Fleming, D.L. Hetherington, B.K. Smith, R. Biswas, K. M. Ho, M. M. Sigalas, W.Zubrzycki, S.R. Kurtz, and J. Bur, A three-dimensional photonic crystal operating at infrared wavelengths, Nature 394, 6690 (1998). [12] S. Noda, K. Tomoda, N. Yamamoto, and A. Chutinan, Full Three Dimensional Photonic Bandgap Crystals at Near-Infrared Wavelengths, Science 289, 5479 (2000). [13] J. D. Joannopoulos, « Self-assembly lights up » , Nature, vol. 414, no. 6861, pp. 257258, 2001. 29    CHAPITRE I : Généralités sur les cristaux photoniques [14] Y.A. Vlasov, X.-Z. Bo, J.C. Sturm, and D.J. Norris, « On-chip natural assembly of silicon photonic bandgap crystals», Nature, vol. 414, no. 6861, pp. 289-293, 2001. [15] Lin, S. Y.; Fleming, J. G.; Hetherington, G. L.; Smith, B. K.; Biswas, R.; Ho, K. M.; Siglas, M. M.; Zubrycki, W.; Kurtz, S. R.; Bur, J. A Three-Dimensional Photonic Crystals Operating at Infrared Wavelengths Nature 1998, 394, 251. [16] Berger, V.; GauthierLafaye, O.; Costard, E. Photonic Band Gaps and Holography J. Appl. Phys. 1997, 82, 60. [17] Scrimgeour, J.; Sharp, D. N.; Blandford, C. F.; Roche, O. M.; Denning, R. G.; Tuberfield, A. J. Three-Dimensional Optical Lithography for Photonic Microstructures Adv. Mater. 2006, 12, 1557. [18] A. Hynninen, H. J. Thijssen, C. M. Vermolen, M. Dijkstra and A. Blaaderen Selfassembly route for photonic crystals with a bandgap in the visible region, Nature Materals 6, pp. 202- 205, (2007) [19] O. Graydon, Nature’s nanosructures colour wings and stones, Opto Lser Europe, 51, pp.31-36 June 1998 [20] R. C. McPhedran, N. A. Nicorovici, D. R. McKenzie, L. C. Botten, A. R. Parker and G. W. Rouse, The Sea Mouse and the Photonic Crystal, Aust. J. Chem. 54, 241-244 (2001). [21] Sanders, J.V.; Sanders, J. V.; Segnit, E. R. (1964). "Structure of Opal". Nature 204: 1151 30    CHAPITRE II Etude théorique des cristaux photoniques CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques II.1 Introduction L'étude des cristaux photoniques et leurs propriétés spécifiques, mène naturellement à l'étude du comportement de la lumière dans les matériaux à bande interdite photonique. Ces structures périodiques sont régies par les équations de Maxwell. C’est un ensemble de quatre équations différentielles vectorielles qui permettent de modéliser les relations entre les charges, leurs déplacements et les champs électriques et magnétiques. Grâce à l’analogie formelle qui existe entre les équations de Maxwell régissant la propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique et l’équation de Schrödinger pour les électrons [1], on peut traiter les cristaux photoniques avec les outils et les concepts développés en physique du solide en employant les méthodes de la mécanique quantique et le théorème de Bloch [2]. Cette analogie vient de la périodicité géométrique du cristal. En effet, la périodicité de la constante diélectrique dans l’équation de Maxwell est analogue à la périodicité du potentiel atomique cristallin. Cela nous permet de penser qu’une variation périodique de la permittivité peut conduire à l’apparition de bandes d’énergie interdites pour les photons. II.2 Equations macroscopiques de Maxwell De façon générale, la propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu de constante diélectrique ε (r) , y compris la propagation de la lumière dans un cristal photonique, est décrite par les quatre équations de Maxwell (dans le système S.I.): Equation de Maxwell-Faraday    ∂B ∇×E + =0 ∂t (2.1) Equation de Maxwell-Ampère    ∂D  ∇×H − =J ∂t (2.2) 32 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques Equation de Maxwell-Gauss   ∇ ⋅ B =0 (2.3) Equation de conservation du flux magnétique   ∇⋅D =ρ (2.4)    où E désigne le champ électrique, B la densité du flux magnétique, D la  déplacement électrique ou la densité du flux électrique, H le champ magnétique,  de courant, ρ la densité de charge électrique, et ∇ l’operateur densité du  J la densité « nabla » :   ∂  ∂  ∂ (dans les coordonnées cartésiennes). = ∇ x +y +z ∂x ∂y ∂z Dans la situation d'un milieu mixte composé de régions de matériau diélectrique homogène qui ne comporte ni charges libres, ni courants libres, dans laquelle la structure ne varie pas avec le temps, nous pouvons mettre ρ = 0 et J = 0 .  Généralement, les composantes D i de la densité du déplacement électrique D sont  liées aux composantes E i du champ électrique E par une série de puissance [3]: Di / ε 0 = ∑ ε ij E j + ∑ χijk E j E k + O (E 3 ) j (2.5) j ,k Cependant, pour de nombreux matériaux diélectriques, il est raisonnable d'utiliser les approximations suivantes : • Les champs sont assez faibles pour pouvoir négliger les termes χ ijk (et tous les termes   d'ordre supérieur) dans la série (2.5) et observer une relation linéaire entre D et E . • Les matériaux sont macroscopiques et isotropes, de sorte qu’on puisse utiliser une grandeur scalaire pour la constante diélectrique. • La constante diélectrique est supposée indépendante de la fréquence, du moins dans la gamme de fréquences qui nous intéresse pour le système considéré. • On s’intéresse uniquement à des matériaux diélectriques à faibles pertes, ce qui signifie que la constante diélectrique est purement réelle. 33 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques •  Enfin, on suppose la perméabilité magnétique µ (r ) égale à 1 (ce qui est très proche de la réalité pour la plupart des matériaux diélectriques auxquels on s’intéresse généralement). En considérant les approximations précédentes, on obtient les relations suivantes :      D ( r ) = ε 0ε ( r ) E ( r ) (2.6)     B (r ) = ε 0 H (r ) (2.7) Avec toutes ces hypothèses, les équations de Maxwell (2.1) – (2.4) deviennent :      ∂H (r , t ) ∇ × E ( r , t ) + µ0 =0 ∂t      ∂E (r , t ) ∇ × H ( r , t ) − ε 0ε ( r ) =0 ∂t (2.8) (2.9)    ∇ ⋅ H (r , t ) = 0 (2.10)     ∇ ⋅ ε (r )E (r , t )  = 0 (2.11) Comme les équations de Maxwell sont linéaires, il est possible de séparer la dépendance temporelle de la dépendance spatiale et chercher des solutions de type harmonique telles que :     H (r , t ) = H (r )e − i ωt (2.12)     E (r , t ) = E (r )e − i ωt (2.13) L’insertion des modes harmoniques ci-dessus dans les équations de Maxwell (2.8) - (2.11) donne les deux relations :      ∇ × E (r ) − i ωµ0 H (r ) = 0 (2.14)       ∇ × H (r ) + i ωε 0ε (r )E (r ) = 0 (2.15) et conduit aux conditions suivantes : 34 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques    ∇ ⋅ H (r ) = 0 (2.16)    ∇ ⋅ ε (r )E (r )  = 0 (2.17) qui ont une interprétation physique simple: il n'ya pas de sources ponctuelles ou des puits des champs de déplacement et magnétique dans le milieu, et les champs électromagnétiques sont des ondes transversales. En partant des équations (2.14) et (2.15), et en employant la relation c = 1/ ε 0 µ0 , on peut éliminer l’un des deux champs et obtenir une équation aux valeurs propres pour l’autre :   1      ω 2   ∇ ×   ∇ × H (r )  =   H (r )  ε (r )  c  (2.18) Avec les deux équations de divergence (2.16) et (2.17), cette équation nous fournit toutes les   informations sur le comportement de H (r ) . Expérimentalement, on cherche à déterminer le champ électrique au lieu du champ magnétique, car le premier est facilement mesurable. Mais théoriquement la résolution de l’équation transverse électrique devient une tâche plus délicate (la propriété d’hermiticité   manque dans cette équation) [4]. Pour cela, il est commode d’éliminer E (r ) et de conserver   l’équation aux valeurs propres pour le champ magnétique H (r ) . Ensuite, on utilise l’équation   (2.15) pour récupérer E (r ) :   E (r ) =   H (r )  ωε 0ε (r ) i (2.19) II.3 Analogie Schrödinger-Maxwell Un photon qui se propage dans un cristal photonique est l'équivalent d'un électron dans un semi-conducteur [5, 6, 7]. Cette analogie électron photon découle de la similitude entre l'équation de Schrödinger régissant la propagation des électrons dans un matériau caractérisé par un potentiel électrostatique périodique et les équations de Maxwell utilisées pour décrire la propagation d'une onde électromagnétique dans un matériau caractérisé par sa constante diélectrique périodique. 35 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques L'équation de Schrödinger en régime stationnaire pour la fonction d'onde d'un électron dans un potentiel V s'écrit [8] :    2m ∇ 2 Ψ (r ) =− 2 (U −V (r ) ) Ψ (r )  (2.20) ou U est l'énergie de l'électron, m sa masse. Nous avons vu qu'en régime linéaire, l'équation de propagation d'une onde  électromagnétique monochromatique dans un matériau avec ε (r ) était : 2     ω     ∇ × ∇ × H (r )  =   ε (r )H (r ) c  (2.21) Dans ce cas, l'équation de la fonction d'onde d'un électron de masse m dans un potentiel V (équation 2.20) est analogue à l'équation d'onde électromagnétique dans un milieu  diélectrique ε (r ) (équation 2.21). Les équations (2.20) et (2.21) sont deux équations aux valeurs propres. L'équation (2.21) définit les valeurs possibles de la fréquence d'une onde se propageant dans le matériau en l'absence d'excitation extérieure et les amplitudes des champs associés. L’équation (2.20) définit les valeurs possibles de l'énergie d'un électron se propageant librement dans un potentiel et les fonctions d'onde associées. L'énergie de l'électron et la fréquence de l'onde électromagnétique sont les valeurs propres, dictées respectivement par le potentiel et la constante diélectrique. De cette similitude, découlent des propriétés analogues pour les deux systèmes. En identifiant le membre gauche de l'équation maîtresse (2.18) comme un opérateur  ˆ agissant sur H (r ) , on arrive à : Θ    ω 2   ˆ H (r ) = Θ   H (r ) , c    ˆ = ∇ ×  1 ∇ ×  Θ    ε (r )  (2.22) ˆ est linéaire et Hermitien (Opérateur dont les Dans cette équation, l’opérateur Θ éléments de matrice symétriques sont conjugués sur un espace vectoriel complexe). En faisant 36 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques   ˆ G ) , on peut montrer que Θ ˆ est Hermitien pour une intégration par partie deux fois de (F , Θ     tous champs de vecteurs F (r ) et G (r ) :   ˆG) ( F= ,Θ   1  3 * ⋅ ∇ × ∇ ×G ) ( d rF ∫    = ∫ d 3r ∇ × F ( ε ) * ⋅ 1   ∇ ×G (2.23) ε *       1     ˆ F ,G ) = ∫ d r ∇ ×  ∇ × F   ⋅ G = (Θ ε   3 En effectuant les intégrations par parties, les termes de surface qui impliquent les valeurs des champs à la limite de l'intégration ont été négligées (les champs qui sont périodiques dans la région de l'intégration, ou les champs qui tendent vers zéro à grandes distances toujours font disparaître les termes de surface). II.3.1 Propriétés des modes harmoniques ˆ possèdent des propriétés Les fonctions propres et les valeurs propres de Θ importantes. Notamment, on va montrer que les valeurs propres sont toujours réelles, et que les fonctions propres associées sont orthogonales [9].   ˆ avec la valeur propre (ω / c )2 . Le produit Supposons que H (r ) est un vecteur propre de Θ   intérieur de l’équation maitresse (2.18) avec H (r ) donne :   ˆ H ( r ) = Θ (ω 2 / c 2 ) H (r )     ˆH)= ⇒ (H , Θ (ω 2 / c 2 ) (H , H )     * ˆ H )* = ⇒ (H , Θ (ω 2 / c 2 ) (H , H ) (2.24)     ˆH)= ˆ H , H ) . En outre, de la ˆ est Hermitique, donc on peut écrire: (H , Θ L’opérateur Θ (Θ     définition du produit intérieur ; nous avons la relation : (H , Ξˆ H ) = (Ξˆ H , H )* pour tout opérateur Ξˆ . En exploitant ces deux informations, on obtient :         ˆ H )* = ˆ H ,H ) = (H , Θ (ω 2 / c 2 )* ( H , H ) = (Θ (ω 2 / c 2 )( H , H ) ⇒ (ω 2 / c 2 )* = (ω 2 / c 2 ) ⇒ (ω ) = ω 2 * 37 2 (2.25) CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques et de (2.24) :    ω 2   ˆ H= Θ (H , H )  = ( H , )  c  1  ∇×H d r ∫ 2 3 (2.26) ε  avec ε (r ) > 0 Par conséquent, toutes les valeurs propres ω 2 sont non-négatives, et ω est réelle. ˆ exige que pour une paire de modes harmoniques De plus, l’hermiticité de Θ     quelconques H 1 (r ) et H 2 (r ) avec des fréquences différentes ω1 et ω2 , le produit intérieur       (H 1 , H 2 ) soit nul. Considérons deux modes normalisés H 1 (r ) et H 2 (r ) avec des fréquences ω1 et ω2 :         ˆ H ) =c 2 (Θ ˆ H , H ) =ω 2 (H , H ) ω12 (H 2 , H 1 ) =c 2 (H 2 , Θ 1 2 1 2 2 1   ⇒ (ω12 − ω22 )(H 2 , H 1 ) = 0 (2.27)     Si ω1 ≠ ω2 , alors nous devons avoir (H 1 , H 2 ) = 0 et nous disons que H 1 et H 2 sont des modes orthogonaux. Les modes dégénérés ( ω1 = ω2 ) ne sont pas nécessairement orthogonaux, ˆ , on peut utiliser des combinaisons mais en tenant compte de la linéarité de l’opérateur Θ linéaires des modes dégénérés qui sont orthogonales. II.3.2 Loi d'échelle Une propriété importante de l'électromagnétisme dans les systèmes diélectriques macroscopiques est qu'il n'existe pas de longueur fondamentale comme pour le rayon de Bohr en physique atomique [10]. On montre en effet que l'équation de propagation (2.18) devient, lorsque la structure étudiée a ses dimensions divisées par un facteur s : 2   1     ω /s    ∇×  ∇ × H (r / s )  =   H (r / s )  ε (r / s )   c  (2.28)  Ainsi, les propriétés à la fréquence ω d'un cristal de constante diélectrique ε (r ) dont on néglige la dispersion spectrale, sont les mêmes que celles d'un cristal de constante diélectrique  ε (r / s ) à la fréquence ω / s . La géométrie d'un arrangement de matériaux destiné à un travail 38 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques dans le domaine des micro-ondes peut donc être reprise pour un travail dans le domaine visible : les structures millimétriques servent alors de démonstrateurs avant la réalisation souvent plus lourde d'objets de taille submicronique [11]. II.3.3 Différences et similarités L’équation de propagation électromagnétique est vectorielle alors que celle de Schrödinger est scalaire. Il s’agit d’équations linéaires aux dérivées partielles du deuxième ordre. En ce qui concerne la dérivée temporelle de l’équation de Schrödinger, elle est limitée à l’ordre 1 alors qu’elle atteint l’ordre 2 pour l’équation de propagation de Maxwell. Les électrons sont des fermions. Ils ont un spin demi-entier et suivent la loi de répartition de Fermi. Les photons sont des bosons, ils suivent la loi de répartition de Bose-Einstein. Dans ce cas, il peut y avoir plusieurs particules dans le même état quantique et les bosons tendent naturellement à se regrouper dans le même état. Leur spin est entier. Les photons n’interagissent pas entre eux et leur énergie ne peut pas être modifiée. Ils peuvent être absorbés ou émis, sinon ils conservent leurs fréquences. Electron (Schrödinger) Photon (Maxwell) Puits de potentiel électrique carré périodique Constant diélectrique périodique Périodicité Champ Grandeur caractéristique Opérateur Hermitien Equation aux valeurs propres   = ψ (r , t ) ψ (r ) exp(−iEt / )  V (r )   −  2∇ 2 = H +V (r ) 2m     H (r , t ) = H (r ) exp(i ωt )  E (r )   ˆ = ∇ ×  1 ∇ ×  Θ    ε (r )  2   ω    ˆ ΘH ( r ) =   H (r ) c  H ψ = Eψ Tableau 2.1 : Récapitulatif Analogie Maxwell-Schrödinger. 39 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques II.4 Théorème de Bloch Le théorème de Bloch [12], stipule que dans un potentiel périodique, toutes les solutions de l’équation de Schrödinger sont des fonctions dites de Bloch, c’est-à-dire qu’il    u k (r )e ik ⋅r existe un vecteur k permettant d’écrire : Ψ k (r ) =  où u k (r ) est une fonction périodique avec les mêmes périodes que le potentiel. Les fonctions d’ondes des électrons dans un cristal parfait (périodique, infini, sans défaut...) sont donc simplement le produit entre une onde plane et une fonction périodique. L’intérêt de ce théorème est qu'il montre que l'on a uniquement besoin de connaître Ψ sur la maille élémentaire du cristal, les valeurs se reproduisant dans les autres mailles. Les vecteurs k sont appelés vecteurs de Bloch et les fonctions d'ondes sont les fonctions de Bloch. II.4.1 Réseau direct et réseau réciproque Le réseau cristallin (réseau direct) est déterminé par la cellule unitaire. La plus petite cellule unitaire est appelée primitive. elle est sous-tendue par les trois vecteurs fondamentaux    a1 , a2 , a3 de telle façon que chaque vecteur de transition du réseau peut être mis sous la forme d'une combinaison linéaire des vecteurs de base :     R = n1a1 + n2 a2 + n3 a3 (2.29) avec n, n, n : entiers Le réseau réciproque est un réseau de l’espace de Fourier lié au cristal dans lequel le  vecteur G , appelé vecteur du réseau réciproque, est un vecteur de translation par lequel  l’ensemble du réseau réciproque est construit. G est défini par :     G = u1b1 + u2b2 + u3b3 (2.30) où u1 , u2 et u3 sont des entiers arbitraires et :          a2 × a3 a3 × a1 a1 × a2 b1 = 2π    , b2 = 2π    , b3 = 2π    a1 ⋅ a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3 40 (2.31) CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques Le réseau réciproque, et notamment la première zone de Brillouin, a une grande importance dans la propagation d’onde car les vecteurs d’onde sont toujours tracés dans l’espace de Fourier. II.4.2 Zones de Brillouin Les zones de Brillouin sont des régions qui partitionnent l’espace réciproque associé au cristal. Il en existe une infinité. Elles peuvent être définies à l’aide des plans de Bragg qui sont les plans médiateurs de l’ensemble des vecteurs formés par des combinaisons linéaires des vecteurs du réseau réciproque. La définition de la n-ième zone de Brillouin est la suivante : ensemble des points pouvant être atteint depuis l'origine en croisant−1n plans de Bragg (Fig. 2.1). Figure 2.1 : Premières zones de Brillouin (ZB) d'un réseau carré. Les plans de Bragg sont tracés avec différentes couleurs. II.4.3 Zone de Brillouin irréductible On appelle « zone de Brillouin irréductible » la plus petite surface qui permet de déduire la relation de dispersion dans tout l’espace réciproque. Elle correspond à la plus petite surface qui peut être utilisée pour reconstruire la première zone de Brillouin (ZB) en utilisant les symétries du réseau réciproque. Pour construire cette zone, nous plaçons au centre de la cellule d’origine G du réseau réciproque pour tracer des vecteurs joignant l’origine aux nœuds voisins de ce même réseau. 41 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques Nous construisons ensuite les médiatrices de ces vecteurs. La plus petite aire interceptée par ces médiatrices est la zone de Brillouin irréductible. La figure 1-8 donne une représentation graphique des réseaux réciproques, de la première ZB et de la ZB irréductible pour les réseaux 2D carrés et hexagonal. Figure 2.2 : Réseau réel, réciproque, première zone de Brillouin et zone de Brillouin irréductible pour les réseaux 2D (a) carré et (b) triangulaire. II.5 Diagramme de bandes L’analogie avec la physique du solide permet de réutiliser tous les outils de la cristallographie liés à la périodicité du réseau. On peut associer à un cristal photonique une    fonction diélectrique périodique ε (= r ) ε (r + R ) . Suivant la dimensionnalité de la structure, la constante diélectrique est une fonction périodique du système suivant N =1, 2,3 directions  de l’espace, et est invariante selon les (3- N) autres directions. Le vecteur R est une  combinaison linéaire des vecteurs de base du réseau direct { ai }.     R =la1 + ma2 + na3 avec l, m, n : entiers (2.32) Dans ce cas, le théorème de Bloch pour un problème aux valeurs propres nous permet de mettre les solutions de l’équation (2.18) sous la forme:      H k (r ) = u k (r )e ik ⋅r (2.33) 42 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques   où u k (r ) est une fonction périodique, de même période que la structure, et qui est      (r ) u k (r + R ) . complètement définie par les valeurs qu'elle prend dans la cellule unité : u k=   En remplaçant H k (r ) par sa forme d'onde de Bloch (2.33) dans l'équation maîtresse (2.18), on obtient :  2   ω k ( )  ˆH = Θ   Hk k c    2      k ω 1  ( )  ik⋅r    ∇ ×  ∇ × e ik ⋅r u k (r ) =   e u k (r ) c ε (r )    2     1    ω (k )    (ik + ∇) ×  (ik + ∇) × u k ( r ) =   u k (r ) ε (r )  c   2   k ω ( )    ˆ u (r ) = Θ   u k (r ) k k c   (2.34)  ˆ est le nouvel opérateur hermitien qui dépend du vecteur d’onde k : Θ k     ˆ= (ik + ∇) × 1 (ik + ∇) × Θ k ε (r ) (2.35)  La résolution d’une telle équation, pour un vecteur d’onde k donné, conduit à un   ensemble discret de valeurs propres λn (k ) , fonctions du vecteur k , discriminées par un indice de bande entier n. Ces valeurs propres sont reliées aux fréquences propres du cristal par :   ωn2 (k ) λn (k ) = c2 (2.36)  C’est l’ensemble des courbes de dispersion des fréquences propres ωn (k ) qui constitue la structure de bandes du cristal photonique étudié. Ce diagramme de bandes est un élément crucial, car il donne une « cartographie » de tous les états électromagnétiques possibles pouvant exister dans la structure photonique. Les états propres associés à des  valeurs propres différentes sont orthogonaux entre eux. A chaque état propre, H n ,k correspond une distribution précise du champ électromagnétique obéissant à certaines règles de symétrie. 43 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques Figure 2.3: Structure de bande d’un réseau carré bidimensionnel de tiges cylindriques diélectriques ( ε =8.9); modes TM et TE. Figure 24 : Structure de bande d’un réseau diamant de sphères d’air dans un diélectrique à haute permittivité ( ε =13). II.6 Carte des bandes interdites Le calcul du diagramme de bande vu précédemment nous renseigne, entre autres, sur les propriétés (la position et la largeur) des bandes interdites photoniques pour chaque polarisation. Néanmoins, deux paramètres peuvent encore être ajustés afin de jouer sur celles ci : l’indice de la matrice et le facteur de remplissage en air (ou le rapport r/a). Pour un matériau donné (donc pour un indice de la matrice donné), il est intéressant de connaître l’influence du facteur r/a sur la position et la largeur des gaps photoniques : c’est la carte des bandes interdites. 44 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques La figure 2.5 représente les différentes bandes interdites en fréquence normalisée ωa/2πc (ou a/λ) en modes TE et TM en fonction du rapport r/a dans un cristal photonique de niobate de lithium en configuration carrée. Figure 2.5 : Carte des bandes interdites d’une structure carrée en mode TE et TM pour le niobate de lithium. II.7 Bandes permises et interdites II.7.1 Etude quantique La périodicité du potentiel électrique est modulée par la répartition régulière des ions positifs. Sa périodicité correspond au pas « d » du réseau cristallin. Cette représentation est donnée par la figure 2.6 [13]. Figure 2.6 : Potentiel électrique dans un cristal unidimensionnel 45 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques Il faut résoudre l’équation de Schrödinger pour déterminer la fonction d’onde de l’électron en utilisant cette forme de potentiel électrique. L’équation d’onde de Schrödinger s’écrit sous la forme suivante : ∂ 2 Ψ 2m + (E −V (x ))Ψ =0 ∂x 2  2 (2.37) Pour simplifier la résolution, on utilise le modèle de Kronig-Penney représenté par un puits de potentiel carré de hauteur de barrière V 0 et de largeur de barrière b : Figure 2.7 : Puits de potentiel électrique carré périodique La position des atomes est au centre de chaque puits de potentiel, et pour quitter l’atome, l’électron doit lutter contre la force d’attraction représentée par la barrière de potentiel. L’énergie totale E de la particule est supposée telle que 0 ≤ E ≤V 0 . Il faut alors résoudre l’équation d’onde de Schrödinger dans les deux régions suivantes, A < x < B et B < x < C , puis appliquer les conditions de continuité et de périodicité aux interfaces. Sur le chemin A-B, on a 0 < x < a et V = 0 d’où l’équation (2.37) s’écrit : ∂ 2 Ψ1 ( x ) 2 m + 2 E Ψ1 ( x ) = 0 ∂x 2  (2.38) Sur le chemin B-C, on a a < x < a + b et V =V 0 d’où l’équation (2.37) s’écrit : ∂ 2 Ψ 2 ( x ) 2m + 2 ( E − V0 )Ψ 2 ( x) = 0 ∂x 2  46 (2.39) CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques (avec E 0 et P >0 (2.50) En faisant une simple représentation graphique, en prenant une valeur arbitraire pour P (P=4), il est possible de montrer que le membre de gauche de la relation (2.50) admet des valeurs de cette fonction supérieures à 1 et inférieures à -1. Or l’équation (2.50) n’admettra des solutions que lorsque le membre de gauche sera compris entre +1 et -1. Ce comportement met en évidence la notion de « bandes interdites » et de « bandes permises » décrites par la figure 2.9. 49 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques Figure 2.9 : Bandes permises et bandes interdites II.7.2 Etude électromagnétique Nous allons à présent montrer la similitude existant entre le calcul des modes de propagation électromagnétique dans un matériau périodique et la résolution de l’équation de Schrödinger pour une particule dans un puits de potentiel périodique. Mais avant d’étudier les ces similitudes, établissons la relation de Helmholtz scalaire dérivée des équations de Maxwell. En partant des équations (2.14) et (2.15) et en employant la relation c = 1/ ε 0 µ0 , on peut éliminer le champ H et obtenir l’équation aux valeurs propres pour E :      ω 2    ∇ × ∇ × E (r ) =   ε (r )E (r ) c                de plus, on a : ∇ × ∇ × E (r ) = ∇(∇ ⋅ E (r )) − ∇ 2 E (r ) = −∇ 2 E (r ) 50 (2.51) CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques Alors la relation de propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique s’écrit, après simplification, de la manière suivante :  2   ω2    0 ∇ E (r ) + 2 ε (r )E (r ) = c (2.52) Dans un système unidimensionnel, l’équation précédente devient : ∂ 2 E (x ) ω 2 + 2 ε (x )E (x ) = 0 ∂x 2 c (2.53) Par analogie entre l’équation différentielle (2.53) et celle de Schrödinger (2.37), il est possible d’identifier le champ électrique E à la fonction d’onde Ψ, et le terme terme ω2 c2 ε (x ) au 2m (E −V (x )) . En prenant comme hypothèse que la permittivité ε (x) est périodique 2 de période d, on peut mettre de nouveau en évidence la notion de bandes permises et de bandes interdites. Figure 2.10 : Constant diélectrique périodique En reprenant la démarche vue au paragraphe précédent pour le calcul de bandes pour un électron dans un puits de potentiel périodique, nous pouvons faire la résolution de l’équation (2.53) dans les régions A-B et B-C (Figure 2.10). 51 CHAPITRE II : Etude théorique des cristaux photoniques ) ε= 1 et : Si 0