Examen De Admisión Uni 2016

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1. • Si: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 y 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 4 Hallar el valor de: 𝑀 = 1 𝑎 + 𝑏𝑐 + 1 𝑏 + 𝑎𝑐 + 1 𝑐 + 𝑎𝑏 Pregunta de algebra: 2. Solución: 1.De la condición a+b+c=1: Se multiplica ambos lados por “a” a*(a+b+c)=a Se suma a ambos lados “bc” a*(a+b+c)+bc=a+bc Desarrollando: 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑐 3. Reagrupando terminos: 𝑎2 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑐 Factorizando: 𝑎(𝑎 + 𝑐) + 𝑏(𝑎 + 𝑐) = 𝑎 + 𝑏𝑐 (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒄) = 𝒂 + 𝒃𝒄 ……………… (1) 4. • Se repite los mismos pasos anteriores: 2. De la condición a+b+c=1: Se multiplica ambos lados por “b” b*(a+b+c)=b Se suma a ambos lados “ac” b*(a+b+c)+ac=b+ac Desarrollando: 𝑎𝑏 + 𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 = 𝑏 + 𝑎𝑐 5. Reagrupando términos: 𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 𝑏 + 𝑎𝑐 Factorizando: 𝑏(𝑏 + 𝑐) + 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑏 + 𝑎𝑐 (𝒂 + 𝒃)(𝒃 + 𝒄) = 𝒃 + 𝒂𝒄 ……………… (2) 6. 3. De la condición a+b+c=1: Se multiplica ambos lados por “c” c*(a+b+c)=c Se suma a ambos lados “ab” c*(a+b+c)+ab=c+ab Desarrollando: 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑐2 + 𝑎𝑏 = 𝑐 + 𝑎𝑏 7. Reagrupando términos: 𝑐2 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 = 𝑐 + 𝑎𝑏 Factorizando: 𝑐(𝑏 + 𝑐) + 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑏 + 𝑎𝑐 (𝒂 + 𝒄)(𝒃 + 𝒄) = 𝒃 + 𝒂𝒄 ……………… (3) 8. En la segunda condición: 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 4 Productos Notables: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟑 = 𝒂 𝟑 + 𝒃 𝟑 + 𝒄 𝟑 + 𝟑 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒄 𝒃 + 𝒄 Reemplazando valores: 𝟏 = 𝟒 + 𝟑 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒄 𝒃 + 𝒄 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒄 𝒃 + 𝒄 = −𝟏 ……………… (4) 9. 𝑀 = 1 𝑎 + 𝑏𝑐 + 1 𝑏 + 𝑎𝑐 + 1 𝑐 + 𝑎𝑏 En la ecuación pedida: Se reemplaza los denominadores con los valores hallados: 𝑀 = 1 (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒄) + 1 (𝒂 + 𝒃)(𝒃 + 𝒄) + 1 (𝒂 + 𝒄)(𝒃 + 𝒄) Sumando las fracciones: 𝑀 = 𝑏 + 𝑐 + 𝑎 + 𝑐 + 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑐 10. 𝑀 = 2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑐 Sumando terminos en el numerador y factorizando: De la primera condición y el valor hallado (4) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 y 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑐 = −1 𝑀 = 2 1 −1 𝑴 = −𝟐 Reemplazando en la ecuación: Solución 11. http://academia-sion.wixsite.com/academia-sion