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Universidade do Minho Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Civil
ESTRUTURAS DE BETÃO I EXERCÍCIOS RESOLVIDOS FOLHA 2 (DRAFT Nº3)
Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis e Eduardo Pereira
Outubro de 2009
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
INDICE Enunciado................................................................................................................................................ 4 1
2
Exercício 1........................................................................................................................................ 8 1.1
Pré-dimensionamento da secção transversal ......................................................................... 8
1.2
Acréscimo de esforço axial (valor de cálculo), ∆NEd = 600 kN................................................ 8
Exercício 2........................................................................................................................................ 9 2.1
Armadura mínima a dispor na secção transversal.................................................................. 9
2.2 Armadura longitudinal a dispor na secção transversal.......................................................... 10 2.2.1 Disposições construtivas ................................................................................................... 11 2.3 3
Valor do esforço axial de compressão quando εc = −0.25 × 10−3 (compressão) .................. 11
Exercício 3...................................................................................................................................... 12 3.1
Características dos materiais ................................................................................................ 12
3.2
Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 13
3.3
Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama parábola-rectângulo para a
distribuição de tensões no betão ....................................................................................................... 13 3.4
Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama bi-linear para a distribuição de
tensões no betão ............................................................................................................................... 16 3.5
Cálculo do momento flector resistente admitindo o bloco rectangular para a distribuição de
tensões no betão ............................................................................................................................... 19 3.6
Dimensionamento das armaduras longitudinais recorrendo a tabelas de betão armado..... 21
3.7
Cálculo do momento de fendilhação ..................................................................................... 23
3.8
Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente
antes da fendilhação.......................................................................................................................... 24 3.9
Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente
após a fendilhação............................................................................................................................. 25 4
Exercício 4...................................................................................................................................... 26 4.1
Características dos materiais ................................................................................................ 26
4.2
Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 26
4.3
Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a
distribuição de tensões no betão ....................................................................................................... 27 5
Exercício 5...................................................................................................................................... 30 5.1
Características dos materiais ................................................................................................ 30
5.2 5.3
Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 31 Estimativa das armaduras necessárias admitindo como simplificação que o braço do binário
resistente é z = 0.9d .......................................................................................................................... 31 5.4
Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a
distribuição de tensões no betão ....................................................................................................... 31 5.4.1
Momento flector positivo – M+ ........................................................................................... 32
5.4.2
Momento flector negativo – M- .......................................................................................... 34
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5.5 6
7
Cálculo da armadura longitudinal, utilizando tabelas de dimensionamento de armaduras.. 36
Exercício 6...................................................................................................................................... 38 6.1
Características dos materiais ................................................................................................ 38
6.2
Cálculo do valor da extensão em cada nível de armadura ................................................... 38
6.3
Cálculo do valor das forças internas ..................................................................................... 39
6.4
Cálculo do valor do momento flector resistente .................................................................... 40
Exercício 7...................................................................................................................................... 41 7.1
Características dos materiais ................................................................................................ 41
7.2 7.3
Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 41 Dimensionamento de armadura – utilização de tabela de flexão composta......................... 41
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ENUNCIADO
Exercício 1 Considere um pilar sujeito a três acções independentes, representado na Figura 1. Suponha que este pilar tem altura reduzida, pelo que se pode considerar que os efeitos de encurvadura são desprezáveis. Nos cálculos a efectuar, não considere os efeitos da fluência do betão. Admita que os materiais utilizados são o betão da classe C25/30 e aço A400. Considere um recobrimento nominal de 3.5 cm. Considere que neste problema se está a analisar um Estado Limite Último de Compressão. (Este pilar foi objecto de estudo no Exercício 1 da Folha 1. Deste modo, considere os esforços de cálculo determinados na resolução desse exercício). a) Pré-dimensione as dimensões da secção transversal deste pilar, supondo que se trata de uma secção quadrada e não considerando a contribuição da armadura; b) Supondo agora que o pilar está sujeito a um acréscimo de esforço axial (valor de cálculo),
∆NEd = 600 kN, calcule a quantidade de armadura necessária de forma a que o pilar verifique os Estados Limites Últimos de Resistência.
Figura 1 – Esquema de cargas aplicadas ao pilar
Exercício 2 Considere a secção transversal de 0.30 m de diâmetro indicada na Figura 2, que se destina a um elemento estrutural que irá receber apenas esforços de tracção ou de compressão, dependendo da combinação de acções considerada. Materiais: C16/20, A500. a) Tendo em vista evitar a rotura frágil do elemento quando este funciona como tirante, determine a armadura mínima a dispor na secção transversal; b) Dimensione as armaduras longitudinais para este elemento estrutural, tendo em conta a verificação da segurança em relação ao estado limite último de resistência e considerando as seguintes acções (em valor característico): permanente:
NGk = +400 kN (tracção)
variável:
NQk = −800 kN (compressão)
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c) Verificando-se que na combinação quase permanente a extensão instalada no betão é εc = −0.25 ×
10−3 (compressão), calcule o valor do esforço axial de compressão que terá de
estar aplicado no pilar, supondo que a secção está armada com os varões determinados na alínea b).
Figura 2 – Secção transversal de um tirante (dimensões em m).
Exercício 3 Considere a secção transversal representada na Figura 3. Admita que os materiais utilizados são: betão da classe C20/25, aço A400, e recobrimento nominal de 3 cm. a) Determine a capacidade resistente de cálculo da secção. Para o efeito, recorra ao diagrama de tensões de comportamento elástico-perfeitamente plástico para o aço, e aos três diagramas de tensões previstos pelo EC2 para o betão; b) Recorrendo a tabelas de betão armado, dimensione as armaduras longitudinais e compare com o resultado obtido na alínea a). c) Calcule o momento flector para o qual se inicia a fendilhação da secção de betão e compare com o valor do momento flector resistente determinado na alínea a); d) Calcule os valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente antes da fendilhação. e) Calcule os valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente após a fendilhação.
0.60
4φ20
0.30
Figura 3 – Secção transversal rectangular
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Exercício 4 Utilizando o bloco rectangular de tensões para o betão e o diagrama de comportamento elástico-perfeitamente plástico para o aço, dimensione as armaduras a colocar na secção representada na Figura 4. Considere os esforços de cálculo e os materiais indicados e admita um recobrimento nominal de 3.5 cm. 0.40
MEd = 240
kN.m
0.60
C20/25 e A400NR
0.20
l Figura 4 – Secção transversal de largura variável
Exercício 5 Uma viga contínua, com a secção transversal em U invertido representada na Figura 5, está submetida em diferentes secções a um momento máximo positivo e a um momento máximo negativo de valores iguais MEd = 180 kN.m. Materiais: C25/30 e A500. Considere um recobrimento nominal de 3.5 cm. 0 ,1 0
0 ,4 0
0,15
0,20
0,15
Figura 5 – Secção transversal em U Figura
a) Faça uma estimativa das armaduras necessárias admitindo como simplificação que o braço do binário resistente é z = 0.9d; b) Usando o bloco rectangular de tensões determine a armadura necessária nos dois casos. Compare com os resultados obtidos na alínea anterior. c) Recorrendo a tabelas de betão armado, dimensione as armaduras longitudinais e compare com o resultado obtido nas alíneas a) e b).
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Exercício 6 Considere a secção transversal em I, representada na Figura 6. Considere que se trata de uma secção de betão armado, que servirá para realizar um pilar, estando sujeita a momento flector positivo e esforço axial. a) Supondo que o eixo neutro está posicionado a 0.27 m da fibra superior da secção, calcule o valor do esforço axial aplicado à secção; b) Na mesma situação, calcule o momento flector positivo resistente.
0,25
0 ,2 0
0 ,2 5
Betão C20/25 S500-B
0 ,2 0
5 ,3 0
2 ,1 0
e.n. 4φ16
Diagrama elástico-perfeitamente plástico
2 ,2 0
0,03
8 ,1 0
para o aço Distância das armaduras à face exterior 3 3 , 0
3 ,4 0
0 ,2 0
da secção: 5 cm Armaduras – 4 níveis com 6 φ16 + 2 níveis com 2φ16
6φ16 0,70
Figura 6 – Secção transversal em I
Exercício 7 Recorrendo a tabelas de betão armado, calcule a armadura necessária para uma secção de 0.20 × 0.70 m2 resistir a um momento flector de cálculo de 350 kN.m e a um esforço axial de cálculo de 100 kN (compressão), considerando que A = A’. Os materiais utilizados são o betão C25/30 e o aço A400. Admita um recobrimento nominal de 4 cm.
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1
EXERCÍCIO 1
1.1 Pré-dimensionamento da secção transversal Num elemento de betão armado unicamente sujeito a esforços de compressão, o esforço axial resistente resulta da contribuição da secção de betão e da contribuição das armaduras: N Rd = Ac × f cd + As × f yd
Se a quantidade de armadura for reduzida, a sua contribuição para a capacidade resistente da secção pode não ser muito significativa. Em fase de pré-dimensionamento pode ser desprezada essa contribuição, pois a quantidade de armadura longitudinal ainda não é conhecida: N Rd = Ac × fcd
Tendo em conta que para a combinação de acções mais desfavorável, o valor do esforço axial actuante corresponde a NEd = 2337 kN, que a condição limite para verificação de segurança é N Ed ≤ N Rd , e que se trata de uma secção quadrada, podemos considerar que N Ed ≤ Ac × f cd
2337 ≤ b 2 ×
25 × 10 3 1.5
b ≥ 0.374 m
Escolhendo uma dimensão “corrente”, podemos então optar por uma secção transversal com 0.40m x 0.40m.
1.2 Acréscimo de esforço axial (valor de cálculo),
NEd
= 600 kN
Nesta situação, supõe-se que há um acréscimo de esforço axial de 600 kN, logo este valor deve ser somado ao valor de esforço axial que já estava instalado no pilar. ' = N Ed + ∆N Ed N Ed ' = 2337 + 600 = 2937 kN N Ed
Como a secção transversal existente é aquela que foi definida na alínea anterior, 0.40m x 0.40m, o acréscimo de esforço axial em parte será resistido com a contribuição das armaduras. ' ≤ A ×f N Ed c cd + As × f yd 3
3
A 2937 ≤ 0.40 2 × 25 1×.10 5 + s × 4001.×1510 2 As ≥ 7.77 cm
Uma solução possível é a de colocar 8 varões com 12mm de diâmetro: As = 9.05 cm2.
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0,05 6//0.25
0 ,4 0
8φ12
0,40 Figura 7 – Representação das armaduras na secção transversal do elemento de betão armado
2
EXERCÍCIO 2
2.1 Armadura mínima a dispor na secção transversal Um tirante é um elemento que se encontra unicamente sujeito a esforços de tracção. No caso de um tirante em betão armado, isso significa que toda a secção está traccionada, logo verifica-se a ocorrência de uma rotura brusca se não houver qualquer armadura na secção transversal ou quando a armadura existente fica submetida à tensão de cedência assim que abre a 1ª fenda. Em qualquer um dos casos, o elemento sofre rotura porque não é capaz de resistir ao esforço de tracção que é lhe aplicado. Em consequência, quando ocorre a abertura da 1ª fenda, a quantidade de armadura existente na secção transversal deve ser tal que a tensão nela instalada seja inferior à tensão de cedência. Deste modo, é necessário calcular qual a carga que provoca a fendilhação da secção e dimensionar a armadura que é capaz de resistir a esse esforço. f ctm =
N cr Ac,hom
Ac,hom = Ac + (α − 1) ⋅ As
Define-se então o coeficiente de homogeneização, dividindo o módulo de elasticidade do aço pelo módulo de elasticidade do betão C20/25: α
=
Es Ec
=
200 = 6.67 30
N cr = Ac + (α − 1) ⋅ As,min ⋅ fctm = As,min ⋅ f yd
C16/20 → fctm = 1.9 MPa (NP EN1992-1-1 – Quadro 3.1)
⎛ π × 0.3 2 ⎞ 500 × 10 3 1.9 × 10 3 × ⎜ + (6.67 − 1) × As,min ⎟ = As,min × ⎜ ⎟ 4 1.15 ⎝ ⎠ Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira
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2
As,min = 3.167 cm
Nota: No caso presente, seria mais conservativo considerar o valor de fctk0.95 do que o valor de fctm..
2.2 Armadura longitudinal a dispor na secção transversal Como o elemento está sujeito a carregamentos de tracção e a carregamentos de compressão, é necessário estabelecer as combinações de acções que provocam os valores de esforço axial mais elevados: Combinação 1: Combinação 2:
NEd = 1.35 × 400 = 540 kN (tracção) NEd = 1.0 × 400 – 1.5 × 800 = –800 kN (compressão)
Quando o elemento está sujeito a esforços de tracção, apenas a armadura contribui para a sua capacidade resistente: NRd = As . fyd
540 = As × 500 x 103 / 1.15 2
As = 12.42 cm
Quando o elemento está sujeito a esforços de compressão, podemos considerar a contribuição da secção de betão e da secção de aço: N Rd = Ac ⋅ f cd + As ⋅ f yd
O artigo 6.1 (5), impõe que, em secções sujeitas a esforços aproximadamente centrados, a extensão média de compressão nessa parte da secção deve ser limitada a εc2 (ou εc3 se se utilizar a relação bilinear para o diagrama de tensões de compressão no betão). No caso do betão da classe C20/25, temos: εc2
= 2.0‰
Garantindo a compatibilidade de deformação, εc2 = 2.0‰ = εs Até ser atingida a tensão de cedência, as armaduras apresentam um comportamento elástico: σs
= Es ⋅ ε s
σs =
200 × 106 × 2 × 10-3 = 400 MPa
Deste modo, a máxima tensão que pode estar instalada nas armaduras é igual a 400 MPa. Como este valor é inferior a f yd , limitamos a tensão nas armaduras a 400 MPa. 800 = π × 0.32 / 4 × 16 × 103 / 1.5 + As × 400 × 103 As = 1.15 cm
2
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Deste modo, é necessário colocar 12.42 cm 2 de armadura na secção transversal em análise. Uma solução adequada corresponde a 4 varões com 12mm de diâmetro + 4 varões com 16mm de diâmetro (ver Figura 8). 4φ16 + 4 φ12
6// 0.15
0,3 Figura 8 – Representação das armaduras na secção transversal do tirante
Neste caso, As = π × 1.62 / 4 × 4 + π × 1.22 / 4 × 4 = 12.56 cm2 2.2.1 -
Disposições construtivas
Verificação de armadura longitudinal mínima: As,min =
0.1N Ed f yd
0.1× 800 As,min = 500 × 10 3
1 .5
2
= 2.4 cm
2
< 12.56 cm
-
Diâmetro mínimo: φmin = 10 mm
-
Verificação de armadura longitudinal máxima:
→ Ok! → Ok!
As,max = 0.04 Ac 2 × 0.3 2 = 28.27 cm 4 Diâmetro da armadura transversal:
As,max = 0.04 ×
-
π
> 12.56 cm2
→ Ok!
Não deve ser inferior a 6 mm ou a ¼ do diâmetro máximo dos varões longitudinais φtr,min =
-
Max { 6 ; 16 / 4 } = 6 mm
Espaçamento da armadura transversal: scl,max = min { 15 × φmin ; a menor dimensão do pilar ; 300 mm} scl,max = min { 15 × 12 ; 300 ; 300 } = 180 mm
2.3 Valor do esforço axial de compressão quando εc = −0.25 × 10 3 (compressão) −
Por compatibilidade, sabemos que as extensões nas armaduras e no betão devem ser iguais. εc = −0.25 ×
10−3= εs
(em compressão)
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ε yd
=
500 × 10 3
f yd Es
εs < εyd
1.15 = 2.174 × 10 −3 200 × 10 6
→
ε yd
⇒
σs = Es × εs
=
Fs = Es × εs × As 6 -3 -4 Fs = 200 × 10 × 0.25 × 10 × 12.42 × 10 = 62.1 kN
Como a extensão do betão é baixa, pode admitir-se que σc = Ec × εc 3 σc = 29 × 10
× 0.25 × 10-3 = 7.25 MPa ( < 0.4 fcm = 9.6 MPa) – ver Figura 3.2 da NP EN1992-1-1
Fc = σc × Ac 3 2 -4 Fc = 7.25 × 10 × (π × 0.3 / 4 - 12.56 ×10 ) = 503.37 kN
FTotal = Fc + Fs FTotal = 503.37 + 62.1 = 565.47 kN
3
EXERCÍCIO 3
3.1 Características dos materiais
Betão C20/25 fck = 20 MPa →
f 20 f cd = α cc ⋅ ck = 1.0 × = 13.33 MPa γc 1.5
fctm = 2.2 MPa Ecm = 30 GPa
Aço para varões A400 fyk = 400 MPa
→
fyd =
f yk γs
=
400 = 347.83 MPa 1.15
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3.2 Cálculo da altura útil
0 6 , 0
li t ú a r u tl a d
/2 6-8 mm (estribo) 0.030 (recobrimento)
a
0,30 Figura 9 – Recobrimento e posição das armaduras na secção transversal de uma viga
a = rec + φestribo + φ / 2 a = 0.03 + 0.006 (ou 0.008) + 0.02 / 2 = 0.046 m
Altura útil - d d = 0.6 – 0.046 = 0.554 m
No cálculo do momento flector resistente, interessa que o valor da altura útil seja o maior possível, de forma a que o binário resistente seja máximo. Deste modo, é seguro arredondar o valor da altura útil para um limite inferior, sempre que isso se justifique. Neste caso, vamos trabalhar com uma altura útil d = 0.55 m.
3.3 Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama parábola-rectângulo para a distribuição de tensões no betão Na resolução que se segue adoptaram-se os 3 diagramas propostos pela NP EN1992-1-1 para a distribuição de tensões de compressão no betão. Chama-se a atenção que este regulamento prevê a opção alternativa por qualquer um dos diagramas apresentados, sendo essa decisão uma responsabilidade do projectista. Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais: Betão – Diagrama parábola-rectângulo Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico
→ →
εc2 = 2‰ ; εcu2 = 3.5‰ εs = “∞”
Condições iniciais: Rotura pelo betão
→
εc = εcu2
Aço plastificado
→
εs
>
f yd Es
=
400 1.15 = 1.74 ‰ 200 × 10 3
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Folhas de Apoio às Aulas Práticas
Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 10: 0,30 .f cd
cu2
Fc1 Fc2
c2
x
y
0 ,6 0
Fc = Fc1 + Fc2
li t ú a r u tl a d
z
Fs
s
Figura 10
Equações de equilíbrio:
∑ M = 0 ⇔ ⎧⎨M ∑ F = 0 ⎩N
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
Rd
Rd
= Fc × z = Fs × z ⇔ = Fc − Fs
Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior Fc = Fs ⇔ Fc1 + Fc 2 = Fs .
fica
Definimos então cada uma das forças envolvidas: Fc1 = fcd ⋅ (x − y ) ⋅ b
Fc 2 =
2 f ⋅y ⋅b 3 cd
(área do rectângulo que multiplica pela largura da secção) (área de uma parábola que multiplica pela largura da secção)
Fs = As ⋅ f yd
Precisamos de conhecer o valor de y para poder calcular o valor das forças de compressão. O valor de y pode ser determinado a partir do diagrama de extensões:
.fcd
cu2
ε c2
y
=
ε cu 2
x
de onde resulta que y =
ε c2 ε cu 2
x=
2 x 3 .5
c2
x y
Obtemos assim uma relação entre as grandezas x e y que podemos substituir nas equações das forças e na equação de equilíbrio:
⎛ ⎝
Fc1 = fcd ⋅ (x − y ) ⋅ b = fcd ⋅ ⎜ x −
2 ⎞ x ⎟ ⋅ b = fcd ⋅ 0.429 x ⋅ b 3 .5 ⎠
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Fc 2 =
2 2 f ⋅ x ⋅ b = f cd ⋅ 0.381x ⋅ b 3 cd 3.5
Somando então as duas forças de compressão: Fc = Fc1 + Fc 2 = 0.81 x ⋅ f cd ⋅ b
4 varões com 20mm de diâmetro correspondem a As = 12.57 cm2 Como por hipótese, a armadura trabalha em regime plástico, então a força instalada nas armaduras é Fs = As ⋅ f yd Fs = 12.57 × 10 −4 × 347.83 × 10 3 = 437.09 kN
Uma vez que todas as forças já estão definidas, então podemos resolver a equação de equilíbrio: Fc = Fs ⇔ fcd ⋅ 0.81 x ⋅ b = As ⋅ f yd ⇔
0.81 x ⋅ 13.33 × 10 3 ⋅ 0.3 = 437.09 ⇔ x = 0.1349m
É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando ε > s
ε cu 2
x
=
εs
d−x
⇔
f yd
= 1.74 ‰:
Es
εs 3.5 = ⇔ ε s = 10.77 ‰ > 1.74‰ 0.1349 0.55 − 0.1349
confirma-se
que
as
armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da posição do eixo neutro é válido. Voltando às equações de equilíbrio, podemos considerar agora a 1ª equação onde se estabelece o equilíbrio de momentos: M Rd = Fc × z = Fs × z
Neste caso, iremos fazer equilíbrio de momentos em relação à posição da armadura, pelo que teremos de trabalhar com as duas forças de compressão definidas, Fc1 e Fc2. Fc1 = f cd ⋅ 0.429 x ⋅ b = 231.49 kN Fc 2 = f cd ⋅ 0.381 x ⋅ b = 205.59 kN
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fcd
Área1 = (x-y) . fcd Eixo de Referência
c1 c2 3 8
x
.y
y
2
A2 = 3 . y . fcd Figura 11
Ou em alternativa, calcular a resultante das duas forças, Fc1 e Fc2, e determinar a sua linha de acção. Podemos agora determinar a posição da resultante das forças Fc1 e Fc2, fazendo equilíbrio de momentos em relação à fibra superior: Fc1 ⋅ c1 + Fc 2 ⋅ c 2 = Fc ⋅ c
Fc1 ⋅
x−y
2
3 ⎞ ⎛ + Fc 2 ⋅ ⎜ x − y + y ⎟ = Fc ⋅ c 8 ⎠ ⎝ 2
x−
(f cd ⋅ 0.429 ) x ⋅(b ⋅
x
)3.5 + 2
⎛ ⎝
fcd ⋅ 0.381(x ⋅ b ×) ⎜ x −
2 3 2 ⎞ x+ ⋅ x ⎟ = fcd ⋅ 0.81 x ⋅ b × c 3 .5 8 3 .5 ⎠
3 9 0.429 x ⋅ 14 x + 0.381 x ⋅ 14 x = 0.81 x ⋅ c 0.416 x = c c = 0.416 × 0.1349 = 0.0561 m Deste modo, o braço do binário resistente é dado por z = d – c = 0.55 – 0.0561 = 0.4939m Podemos então calcular o valor do momento resistente: M Rd = Fc × z = 437.09 x 0.4939 = 215.88 kNm
3.4 Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama bi-linear para a distribuição de tensões no betão Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais: Betão – Diagrama bi-linear de distribuição de tensões → Aço –
Diagrama elástico-perfeitamente plástico
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→
εc3 = 1.75‰ ; εcu3 = 3.5‰ εs = “∞”
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Condições iniciais: Rotura pelo betão
→
εc = εcu3
Aço plastificado
→
εs
>
f yd Es
=
400 1.15 = 1.74 ‰ 200 × 10 3
Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 12: 0,30 .fcd
cu3 c3
x
Fc1 Fc2
y
0 ,6 0
li t ú a r u tl a d
Fc = Fc1 + Fc2
z
Fs
s
Figura 12
Equações de equilíbrio:
∑ M = 0 ⇔ ⎧⎨M
⎧ ⎪ ⎨
F =0
Rd
= Fc × z = Fs × z
⎩N Rd = Fc − Fs
⇔
⎪⎩
∑
Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior fica
Fc = Fs ⇔ Fc1 + Fc 2 = Fs .
Definimos então cada uma das forças envolvidas: Fc1 = fcd ⋅ (x − y ) ⋅ b Fc 2 =
1 f ⋅y ⋅b 2 cd
(área do rectângulo que multiplica pela largura da secção) (área de um triângulo que multiplica pela largura da secção)
Fs = As ⋅ f yd
Precisamos de conhecer o valor de y para poder calcular o valor das forças de compressão. O valor de y pode ser determinado a partir do diagrama de extensões: ε c3 ε ε 1.75 1 = cu3 de onde resulta que y = c 3 x = x = x y x ε cu 3 3 .5 2 Obtemos assim uma relação entre as grandezas x e y que podemos substituir nas equações das forças e na equação de equilíbrio:
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17
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
⎛ ⎝
Fc1 = f cd ⋅ (x − y ) ⋅ b = f cd ⋅ ⎜ x − Fc 2 =
1 ⎞ x ⎟ ⋅ b = fcd ⋅ 0.5 x ⋅ b 2 ⎠
1 1 f ⋅ x ⋅ b = f cd ⋅ 0.25 x ⋅ b 2 cd 2
Somando então as duas forças de compressão: Fc = Fc1 + Fc 2 = 0.75 x ⋅ f cd ⋅ b
De acordo com o cálculo anteriormente efectuado Fs = 437.09 kN Uma vez que todas as forças já estão definidas, então podemos resolver a equação de equilíbrio: Fc = Fs ⇔ fcd ⋅ 0.75 x ⋅ b = As ⋅ f yd ⇔
0.75 x ⋅ 13.33 × 10 3 ⋅ 0.3 = 437.09 ⇔ x = 0.1457m
É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando ε s > ε cu 3
x
f yd Es
εs εs 3 .5 = d − x ⇔ 0.1457 = 0.55 − 0.1457 ⇔ ε s = 9.71 ‰ > 1.74‰
= 1.74 ‰:
confirma-se
que
as
armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da posição do eixo neutro é válido. Voltando às equações de equilíbrio, podemos considerar agora a 1ª equação onde se estabelece o equilíbrio de momentos: M Rd = Fc × z = Fs × z
Neste caso, iremos fazer equilíbrio de momentos em relação à posição da armadura, pelo que teremos de trabalhar com as duas forças de compressão definidas, Fc1 e Fc2. Fc1 = f cd ⋅ 0.5 x ⋅ b = 291.4 kN Fc 2 = fcd ⋅ 0.25 x ⋅ b = 145.7 kN
Podemos agora determinar onde passa a resultante das forças Fc1 e Fc2, fazendo equilíbrio de momentos em relação à fibra superior: Fc1 × c1 + Fc 2 × c 2 = Fc × c Fc1 ×
x−y
2
1 ⎞ ⎛ + Fc 2 × ⎜ x − y + y ⎟ = Fc × c 3 ⎠ ⎝
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18
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
291.4 ×
0.1457 − 0.5 × 0.1457 2 1 ⎛ ⎞ + 145.7 × ⎜ 0.1457 − × × 0.1457 ⎟ = 437.09 × c 2 3 2 ⎝ ⎠
c = 0.0567 m Deste modo, o braço do binário resistente é dado por z = d – c = 0.55 – 0.0567 = 0.4933m Podemos então calcular o valor do momento resistente: M Rd = Fc × z = 437.09 x 0.4933 = 215.63 kNm
3.5 Cálculo do momento flector resistente admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:
→
Betão – Bloco rectangular de tensões Aço –
εcu3 =
Diagrama elástico-perfeitamente plástico
εs
3.5‰ ; λ = 0.8 ; η = 1.0
= “∞”
Condições iniciais: Rotura pelo betão
→
εc = εcu3
Aço plastificado
→
εs
yd > f = 400 1.153 = 1.74 ‰ Es 200 × 10
Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 13: 0,30 .fcd
cu3 x
x
0 ,6 0
Fc
li t ú a r u tl a d
z
s
s
F Figura 13
Equações de equilíbrio:
∑ M = 0 ⇔ ⎧⎨M ∑ F = 0 ⎩N
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
Rd
Rd
= Fc × z = Fs × z ⇔ = Fc − Fs
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19
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior Fc = Fs .
fica
Definimos então cada uma das forças envolvidas: Fc = fcd ⋅ 0.8 x ⋅ b
(área do rectângulo que multiplica pela largura da secção)
Fs = As ⋅ f yd
Calculando a força de compressão no betão Fc = 0.8 x ⋅ f cd ⋅ b= 3200 x
De acordo com o cálculo anteriormente efectuado Fs = = 437.09 kN
Uma vez que todas as forças já estão definidas, então podemos resolver a equação de equilíbrio: Fc = Fs ⇔ fcd ⋅ 0.8 x ⋅ b = As ⋅ f yd ⇔
0.8 x ⋅ 13.33 × 10 3 ⋅ 0.3 = 437.09 ⇔ x = 0.1366m É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando ε s > ε cu 3
x
=
εs
d−x
⇔
f yd Es
εs 3.5 = ⇔ ε s = 10.59 ‰ > 1.74‰ 0.1366 0.55 − 0.1366
= 1.74 ‰: confirma-se
que
as
armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da posição do eixo neutro é válido. Voltando às equações de equilíbrio, podemos considerar agora a 1ª equação onde se estabelece o equilíbrio de momentos: M Rd = Fc × z = Fs × z
Deste modo, o braço do binário resistente é dado por z = d – 0.8x / 2 = 0.55 – 0.8 × 0.1366/2 = 0.4954m Podemos então calcular o valor do momento resistente: M Rd = Fc × z = 437.09 × 0.4954 = 216.52 kNm
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20
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
3.6 Dimensionamento das armaduras longitudinais recorrendo a tabelas de betão armado Em geral, as tabelas de dimensionamento de armaduras são construídas tendo por base as equações de equilíbrio de força e momento flector ao nível da secção transversal, tal como se mostrou na resolução da alínea a). Nas resoluções da presente folha, são utilizadas as tabelas de dimensionamento de armaduras para betão armado, propostas no relatório Relatório 07-DEC/E-27 da Universidade do Minho, onde as equações de equilíbrio são formuladas para secções tranversais rectangulares, admitindo um diagrama parábola-rectângulo para as tensões de compressão no betão e um comportamento elástico com endurecimento para o aço. Ambas as opções referidas estão comtempladas na NP EN1992-1-1. Para utilizar as tabelas de dimensionamento de armaduras, temos de verificar o valor de alguns parâmetros de entrada nessas tabelas, de forma a escolher qual é a tabela mais adequada ao caso que estamos a estudar: 1º parâmetro:
classe do aço
2º parâmetro:
relação entre a distância da fibra mais traccionada à posição da armadura – a/h
3º parâmetro:
momento flector reduzido: µ =
4º parâmetro:
relação entre a armadura de compressão (A’) e a armadura de tracção (A): γ =
M Rd b ⋅ h 2 ⋅ f cd A' A
No caso em estudo, a armadura longitudinal já é dada e queremos conhecer o valor do momento flector resistente, pelo que a utilização da tabela requer a quantificação de um outro parâmetro, a precentagem mecânica de armadura: ω =
As
⋅
f yd
b ⋅ h f cd
Então, no caso presente temos:
−
Classe do aço S400-B
−
a 0.05 = = 0.0833 h 0 .6
−
A' =0 A As
−
ω
f yd
-4
3
3
= b ⋅ h ⋅ f cd = 12.57 × 10 / (0.3 × 0.6) × (347.83 × 10 ) / (13.33 × 10 ) = 0.1821
É necessário agora escolher qual a tabela mais adequada. Uma vez que o parâmetro a/h apresenta um valor que é intermédio em relação aos valores que as tabelas propõem ( a/h=0.05 e a/h=0.10), considera-se a situação mais desfavorável para o dimensionamento, que é o braço do binário resistente ser menor, obtido com a/h=0.10. Verifica-se que a tabela mais adequada é a Tabela 2, tal como consta do Relatório 07-DEC/E-27.
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21
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
Interpolando o valor de ω=0.182 nos valores na Tabela 2, ω=0.177 e ω=0.184, chega-se à conclusão que o valor do momento reduzido está entre 0.145 e 0.150, sendo portantanto igual a µ=0.148. A partir do valor do momento reduzido, podemos calcular o valor do momento resistente: M Rd = µ ⋅ b ⋅ h 2 ⋅ f cd 2
MRd = 0.148 × 0.3 × 0.6 × 13333 = 213.12 kNm
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22
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
Verifica-se que o valor do momento resistente obtido é um pouco inferior ao que tinha sido determinado quando se utilizaram as equações de equilíbrio. Relembra-se que este resultado foi obtido utilizando uma tabela em que a/h=0.10, ou seja, com um braço de binário resistente inferior àquele que na realidade se verifica. No Quadro 1 comparam-se os valores de momento resistente e da posição do eixo neutro que foram anteriormente determinados. Quadro 1 – Comparação entre o valores do momento resistente para os vários modos de cálculo
Diagrama parábola-rectângulo Diagrama bilinear Bloco rectangular de tensões Tabela de dimensionamento
x (m)
MRd (kNm)
0.1349 0.1457 0.1366 0.1365
215.88 215.63 216.53 213.12
3.7 Cálculo do momento de fendilhação Em condições de serviço, podemos admitir que o aço tem um comportamento elástico até atingir o patamar de cedência, que o betão traccionado apresenta um comportamento elástico até a tensão atingir o valor de fctm e que o betão comprimido apresenta um comportamento elástico até a tensão atingir o valor de fcm Como a secção é constituída por dois materiais de diferentes características, é necessário começar por “homogeneizar” a secção, ou seja, definir uma nova secção constituída apenas por um dos materiais usados. Define-se então o coeficiente de homogeneização, dividindo o módulo de elasticidade do aço pelo módulo de elasticidade do betão C20/25: α
=
Es Ec
=
200 = 6.67 30
Calcula-se a área homogeneizada (em betão) da secção transversal: Ac,hom = Ac + ( − 1) ⋅ As -4
2
Ac,hom = 0.3 × 0.6 + (6.67 – 1) × 12.57 × 10 = 0.18713 m
Calcula-se o centro de massa da secção homogeneizada (em betão): yG =
Ac ×
h
2
+ (α − 1) × As × a Ac,hom
=
0.18 × 0.30 + (6.67 − 1) × 12.57 × 10 − 4 × 0.05 = 0.2905 m 0.18713
(yG é medido a partir da fibra inferior da secção) Calcula-se também o momento de inércia da secção homogeneizada (em betão). Considera-se que o eixo x é horizontal e baricêntrico. 2
⎛h ⎞ − y G ⎟ + I s,x + (α −) (1 ⋅ As ⋅ )y G − a ⎝2 ⎠
I x = I c,x + Ac ⋅ ⎜
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2
23
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
2
I x=
0.3 × 0.6 3 ⎛ 0 .6 ⎞ + 0.3 × 0.6 × ⎜ − 0.2905 ⎟ + 0 + (6.)67 − 1 × 12.(57 × 10 −)4 × 0.2905 − 0.05 12 ⎝ 2 ⎠
2
= 5.8285 × 10 −3 m 4 (admite-se que a inércia dos varões em torno do seu eixo baricêntrico é muito pequena e pouco relevante quando comparada com as restantes inércias, pelo que se considera que o seu valor é igual a zero). Calacula-se agora qual o valor do momento flector que provoca a fendilhação da secção. Isto acontece quando a tensão instalada na fibra mais traccionada da secção é igual a fctm. f ctm =
M fend Ix
2.2 × 10 3 =
⋅ yG M fend
5.8285 × 10 −3
⋅ 0.2905
Mfend = 44.14 kNm
Comparando agora o valor do momento em que se inicia a fendilhação da viga com o valor do momento flector resistente, temos: MRd / Mfend = 215.88 / 44.14 = 4.89
O que mostra que na fase inicial de formação de fendas, uma viga de betão armado se encontra muito longe de atingir a rotura.
3.8 Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente antes da fendilhação M fend
σc
=
σs
=α⋅
Ix
⋅ (h) − y G =
M fend Ix
44.14 ( ) × 0.6 − 0.2905 = 2.34 MPa 5.8285 × 10 −3
44.14 ⋅ ()y G − a = 6.67 × ( ) × 0.2905 − 0.05 = 12.15 MPa 5.8285 × 10 −3 2.34 MPa Zona comprimida da secção
0 5 9 ,2 0
12.15 MPa
Zona traccionada
Figura 14
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24
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
3.9 Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente após a fendilhação Após o início da fendilhação, a zona onde o betão se encontra traccionado deixa de contribuir para o funcionamento da secção, embora ambos os materiais, aço e betão, se mantenham a funcionar em regime elástico (aço em tracção e betão em compressão). Deste modo, é necessário calcular um novo centro de massa e um novo momento de inércia, onde não seja contabilizada a parte da secção transversal de betão que está traccionada. Numa secção onde ambos os materiais trabalham em regime elástico, a posição do eixo neutro é calculada, igualando o momento estático da secção de betão comprimida e o momento estático da secção de aço tracionada, em relação à posição desse eixo. S c = Ss ⇔ b ⋅ x ⋅
0.3 ⋅ x ⋅
x
2
x
2
= α ⋅ As ⋅ (d − x )
= 6.67 ⋅ 12.57 × 10 − 4 ⋅ (0.55 − x )
x = 0.1496 m
(x é medido a partir da fibra superior da secção) De seguida, calcula-se o momento de inércia da secção com as características acima definidas. I x,fend =
I x,fend =
b ⋅ x3
3
+ ⋅α ⋅ As ⋅ (d − x )2
0.3 × 0.1496 3 + ⋅6.67 × 12.57 × 10 − 4 × (0.55 − 0.1496 )2 3
I x,fend = 1.679 × 10 −3 m
4
Com o valor do momento de inércia em secção fendilhada que acabamos de calcular, podemos calcular o valor da tensão nas fibras extremas de betão e de aço: M fend
σc
=
σs
=α⋅
I x,fend
⋅x =
M fend I x,fend
44.14 × 0.1496 = 3.93 MPa 1.6790 × 10 −3
)⋅ (d − x = 6.67 × ( 44.14)
1.6790 × 10 −3
× 0.55 − 0.1496 = 70.21 MPa
Zona comprimida da secção
3.93 MPa 6 9 4 ,1 0
4 0 5 ,4 0
Betão traccionado inactivo
70.21 MPa
Figura 15
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25
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
Chama-se particular atenção para o valor da tensão instalada na armadura logo após o início da fendilhação, σs, cujo valor é inferior a fyk, o que mostra que a armadura mínima de flexão está garantida. De salientar ainda, o aumento do valor de σs, que devido à fendilhação da secção passa de 12.15 MPa para 70.21 MPa. Aqui se mostra a transferência de tensão que se verifica entre a secção de aço e a secção de betão, quando ocorre a fendilhação da secção. A Figura 16 resume, de uma forma genérica, as posições do eixo neutro e as configurações de tensão para as situações de secção não fendilhada e secção fendilhada em secções rectangulares.
Secção não fendilhada
Secção fendilhada Zona comprimida da secção
c,compressão
c,compressão
x
Zona comprimida da secção
-x h G y
s,tracção
Betão traccionado inactivo
s,tracção
c,tracção
Zona traccionada
Figura 16
4
EXERCÍCIO 4
4.1 Características dos materiais Betão C20/25 fck = 20 MPa
→
f cd = α cc ⋅
f ck γc
= 1 .0 ×
20 = 13.33 MPa 1.5
fctm = 2.2 MPa Ecm = 30 GPa
Aço para varões A400 fyk = 400 MPa
→
fyd =
f yk γs
=
400 = 347.83 MPa 1.15
4.2 Cálculo da altura útil Neste caso, uma vez que ainda não sabemos qual é a armadura longitudinal que vamos colocar na secção, admitimos um varão com um diâmetro “razoável”. a = rec + φestribo + φ / 2 a = 0.035 + 0.006 (ou 0.008) + 0.02 / 2 = 0.051 m
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26
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
Altura útil - d d = 0.6 – 0.051 = 0.549 m
arredondando, consideramos d=0.54m
4.3 Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão
Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais: Betão – Bloco rectangular de tensões → εcu3 = 3.5‰ ; λ = 0.8 ; η = 1.0 ( consideramos η = 1.0 porque a secção “alarga” à medida que nos aproximamos das fibras mais comprimidas – ver EC2 – artigo 3.1.7(3) ) Aço –
Diagrama elástico-perfeitamente plástico
εs = “∞”
Condições iniciais: Rotura pelo betão
→
εc = εcu3
Aço plastificado
→
εs
>
f yd Es
=
400 1.15 = 1.74 ‰ 200 × 10 3
Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 17: 0,40 .fcd
cu3 x
x
0 ,6 0
Fc
l ti ú a r u tl a d
z
Fs
s
0,20
As = ? Figura 17
A secção definida está sujeita a um momento flector positivo MEd = 240 kNm Equações de equilíbrio:
∑ M = 0 ⇔ ⎧⎨M ∑ F = 0 ⎩N
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
Rd
Rd
= Fc × z = Fs × z ⇔ = Fc − Fs
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27
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior Fc = Fs .
fica
A força de compressão no betão depende da área de secção comprimida. Essa área pode ser calculada com base na Figura 18: 0,40 Área comprimida - Acomp v k
b(k)
0,20 Figura 18
Acomp =
0.4 + b(k ) ⋅k 2
b(k ) = 0.4 − 2 ⋅
(0.4 − 0.2) 2 0.6
⋅ k = 0 .4 −
k
3
Podemos agora substituir b(k) na equação que define Acomp:
Acomp
k⎞ ⎛ 0.4 + ⎜ 0.4 − ⎟ 3⎠ k2 ⎝ = ⋅ k = 0 .4 k − 2 6
Podemos ainda calcular o centro de massa deste trapézio, definido a partir da distância v da figura anterior. A expressão que define o centro de massa de um trapézio pode ser encontrada nas “Tabelas Técnicas” ou em qualquer bibliografia sobre “Geometria de Massa”. 2 ⎞ ⎛ ⎜ 1 .2 − k ⎟ ⋅ k
v
3 ⎠ [2 ⋅ b(k ) + 0.4] ⋅ k = ⎝ = 3 [b(k ) + 0.4] k⎞ ⎛ 3 ⎜⎝ 0.8 − 3 ⎟⎠
Quando se utiliza o bloco rectangular de tensões, a altura do trapézio é igual a 0.8 x, logo, Acomp = 0.4(0.8 x ) − v =
(0.8 x )2 6
= 0.32 x − 0.1067 x 2
(1.2 − 0.533 () x) ⋅ 0.8 x 0.96 x − 0.4267 x 2 = 3 (0.8 − 0.267 x ) 2 .4 − 0 .8 x
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28
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
Fc = fcd ⋅ Acomp
(
)
Fc = 13333 ⋅ 0.32 x − 0.1067 x 2 = 4266.67 x − 1422.27 x 2 Fs = As ⋅ f yd Fs = 347.83 × 10 3 ⋅ As
A equação de equilíbrio de forças não pode ser ainda resolvida porque temos duas incógnitas: x e As. Deste modo, começamos por resolver a equação de equilíbrio de momento: M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed
Neste caso, o braço do binário resistente é dado por z = d – v = 0.54 –
0.96 x − 0.4267 x 2 2.4 − 0.8 x
M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed
⎛ 0.96 x − 0.4267 x 2 ⎞⎟ 240 = 4266 .67 x − 1422.27 x 2 ⋅ ⎜ 0.54 − ⎜ ⎟ 2 .4 − 0 .8 x ⎝ ⎠
)
Resolvendo a equação em ordem a x, temos x = 0.1188 m
Conhecendo o valor de x, podemos agora calcular Fc: Fc = 4266 .67 × 0.1188 − 1422.27 × 0.1188 2 = 486.81 kN
Resolvendo agora a 1ª equação de equilíbrio, temos, Fc = Fs
Como admitimos que a armadura está plastificada, Fs = As ⋅ f yd
Então, Fc = Fs = As ⋅ f yd 486.81 = As ⋅ 347.83 × 10 3 As = 13.996 cm
2
Podemos colocar 2 varões com 32 mm de diâmetro.
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29
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
NOTA: é necessário verificar se o valor de altura útili admitido em 4.2, é respeitado: a = rec + φestribo + φ / 2 a = 0.035 + 0.006 (ou 0.008) + 0.032 / 2 = 0.057 m
Altura útil - d d = 0.6 – 0.057 = 0.543 m
como atrás considerámos d=0.54m
→
Ok!
É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando ε s > ε cu 3
=
x
εs
d−x
⇔
f yd Es
εs 3.5 = ⇔ ε s = 12.70 ‰ > 1.74‰ 0.1188 0.55 − 0.1188
= 1.74 ‰: confirma-se
que
as
armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da posição do eixo neutro é válido. Desenho da secção transversal (Figura 19) 0,40
Armadura construtiva 0 ,6 0
Estribo
0,20
2φ32
Figura 19
5
EXERCÍCIO 5
5.1 Características dos materiais Betão C25/30 fck = 25 MPa
→
f 25 fcd = α cc ⋅ ck = 1.0 × = 16.67 MPa γc 1.5
Aço para varões A500 fyk = 500 MPa
→
f yd =
f yk γs
=
500 = 434.78 MPa 1.15
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30
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
5.2 Cálculo da altura útil Neste caso, uma vez que ainda não sabemos qual é a armadura longitudinal que vamos colocar na secção, admitimos um varão com um diâmetro “razoável”. a = rec + φestribo + φ / 2 a = 0.035 + 0.006 (ou 0.008) + 0.02 / 2 = 0.051 m
Altura útil - d d = 0.5 – 0.051 = 0.449 m
arredondando, consideramos d = 0.44m
5.3 Estimativa das armaduras necessárias admitindo como simplificação que o braço do binário resistente é z = 0.9d Neste caso, supõe-se que o braço do binário resistente é dado por z = 0.9d = 0.9 × 0.44 = 0.396m
Deste modo, o braço do binário resistente é independente da área comprimida da secção, o que faz com que o resultado seja o mesmo para momento flector positivo e momento flector negativo. A equação de equilíbrio de momentos é dada por:
=F ×z = F ×z =M
M Rd
c
s
Ed
180 = Fs × 0.396 Fs = 454.54 kN
Sabendo que Fs = As ⋅ f yd , então, 454.54 = As ⋅ 434.78 × 10 3 As = 10.455 cm
2
5.4 Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais: Betão – Diagrama parábola-rectângulo Aço –
→
Diagrama elástico-perfeitamente plástico
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εcu3 = εs
3.5‰ ; λ = 0.8 ; η = 1.0
= “∞”
31
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
5.4.1
Momento flector positivo – M+
Condições iniciais: Rotura pelo betão
→
εc = εcu3
Aço plastificado
→
εs
>
f yd Es
=
500 1.15 = 2.17 ‰ 200 × 10 3
Eixo neutro posicionado no banzo superior Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 20: .fcd
cu3
0 5 , 0
li t ú a r u tl a d
0 1 , 0
x
x
Fc
z 0 4 , 0
s
0,15
0,20
Fs
0,15 Figura 20
Equações de equilíbrio:
∑ M = 0 ⇔ ⎧⎨M ∑ F = 0 ⎩N
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
Rd
Rd
= Fc × z = Fs × z ⇔ = Fc − Fs
Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior fica
Fc = Fs .
Definimos então cada uma das forças envolvidas: Fc = fcd ⋅ 0.8 x ⋅ b
(b é a largura do banzo superior)
Fs = As ⋅ f yd
Calculando a força de compressão no betão Fc = 0.8 x ⋅ f cd ⋅ b=6666.67x Fs = 434.78 × 10 3 ⋅ As
A equação de equilíbrio de forças não pode ser ainda resolvida porque temos duas incógnitas: x e As.
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32
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
Deste modo, começamos por resolver a equação de equilíbrio de momento: M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed
Neste caso, o braço do binário resistente é dado por z = d – 0.8x = 0.44 – 0.4x M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed
0 .8 x ⎞ ⎛ 180 = 6666 .67 x ⋅ ⎜⎝ 0.44 − 2 ⎟⎠ Resolvendo a equação em ordem a x, temos x = 0.0652 m
< 0.1m
logo, a hipótese assumida de que o eixo neutro está posicionado no banzo, é confirmada. Se o valor de x fosse superior a 0.10m, seria necessário redefinir a equação da força de compressão, Fc, tendo em conta que uma parte das almas estaria comprimida. Conhecendo o valor de x, podemos agora calcular Fc: Fc = 6666.67 × 0.0652 = 434.88kN
Resolvendo agora a 1ª equação de equilíbrio, temos, Fc = Fs
Como admitimos que a armadura está plastificada, Fs = As ⋅ f yd
Então, Fc = Fs = As ⋅ f yd
434.88 = As ⋅ 434.78 × 10 3 2
As = 10.00 cm
Ao definir a disposição de varões, é necessário ter em conta que estes ficarão colocados na zona inferior da secção, ou seja, nas almas. Cada alma tem 0.15 m de largura, pelo que é aconselhável colocar apenas 2 ou 3 varões em cada uma delas. Deste modo, uma solução possível é colocar 2 varões com 16mm de diâmetro + 1 varão com 12mm de diâmetro, em cada alma. É necessário ainda verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando ε s >
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f yd Es
= 2.17 ‰ :
33
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
ε cu 3
x
=
εs
d−x
εs 3 .5 = ⇔ ε s = 20.12 ‰ > 2.17‰ 0.0652 0.44 − 0.0652
⇔
confirma-se
que
as
armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da posição do eixo neutro é válido. 5.4.2
Momento flector negativo – M-
Condições iniciais: Rotura pelo betão
→
εc = εcu3
Aço plastificado
→
εs
>
f yd Es
=
500 1.15 = 2.17 ‰ 200 × 10 3
Eixo neutro posicionado nas almas Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 21:
0 ,5 0
li t ú a r u tl a d
Fs
0 1 , 0
s
z
0 4 , 0 x
x
cu3
0 ,1 5
0 ,2 0
Fc .fcd
0 ,1 5 Figura 21
Equações de equilíbrio:
∑ M = 0 ⇔ ⎧⎨M ∑ F = 0 ⎩N
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
Rd
Rd
= Fc × z = Fs × z ⇔ = Fc − Fs
Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior fica
Fc = Fs .
Definimos então cada uma das forças envolvidas: Fc = 2 ⋅ fcd ⋅ 0.8 x ⋅ b (b é a largura de uma alma) Fs = As ⋅ f yd
Calculando a força de compressão no betão Fc = 2 × 0.8 x ⋅ fcd ⋅ b = 4000 x
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34
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
Fs = 434.78 × 10 3 ⋅ As
A equação de equilíbrio de forças não pode ser ainda resolvida porque temos duas incógnitas: x e As. Deste modo, começamos por resolver a equação de equilíbrio de momento: M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed
Neste caso, o braço do binário resistente é dado por z = d – 0.8x = 0.44 – 0.4x M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed
0.8 x ⎞ ⎛ 180 = 4000 x ⋅ ⎜ 0.44 − ⎟ 2 ⎠ ⎝ Resolvendo a equação em ordem a x, temos x = 0.1141 m
< 0.4m
logo, a hipótese assumida de que o eixo neutro está posicionado nas almas, é confirmada. Se o valor de x fosse superior a 0.40m, seria necessário redefinir a equação da força de compressão, Fc, tendo em conta que uma parte do banzo estaria comprimida. Conhecendo o valor de x, podemos agora calcular Fc: Fc = 4000 × 0.1141 = 456.54 kN
Resolvendo agora a 1ª equação de equilíbrio, temos, Fc = Fs
Como admitimos que a armadura está plastificada, Fs = As ⋅ f yd
Então, Fc = Fs = As ⋅ f yd
456.54 = As ⋅ 434.78 × 10 3 As = 10.498 cm
2
Neste caso, a armadura fica distribuída ao longo do banzo superior (largura de 0.50m). Deste modo, uma solução possível é colocar 6 varões com 16mm de diâmetro. É necessário ainda verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando ε s >
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f yd Es
= 2.17 ‰ :
35
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
ε cu 3
x
=
εs
d−x
⇔
εs 3 .5 = ⇔ ε s = 9.997 ‰ > 2.17‰ 0.1141 0.44 − 0.1141
confirma-se
que
as
armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da posição do eixo neutro é válido. Nas 3 situações analisadas, verifica-se que a quantidade de armadura longitudinal calculada não difere muito entre si. No entanto, em outras situações, tal poderá não acontecer. É preciso ter em conta que:
− −
considerar z=0.9d é apenas uma estimativa, pelo que o resultado real pode ser diferente; a quantidade de armadura depende muito da área de betão comprimida;
5.5 Cálculo da armadura longitudinal, utilizando tabelas de dimensionamento de armaduras Definição dos parâmetros para entrada nas tabelas: 1º parâmetro:
classe do aço → S500-B
2º parâmetro:
relação entre a distância da fibra mais traccionada à posição da armadura –
a 0.051 = = 0.102 h 0 .5
3º parâmetro:
→ podemos considerar que a/h = 0.15m
momento reduzido:
µ+
=
µ−
=
+ M Rd
b ⋅ h 2 ⋅ fcd − M Rd
=
180 = 0.0864 0.5 × 0.5 2 × 16.67 × 10 3 180
=
b ⋅ h 2 ⋅ fcd
0.3 × 0.5 2
= 0.144
× 16.67 × 10 3
4º parâmetro: relação entre a armadura de compressão (A’) e a armadura de tracção (A): γ =
A' A
No caso em estudo, queremos determinar a armadura longitudinal, pelo que a utilização da tabela requer a quantificação de um outro parâmetro, a percentagem mecânica de armadura: ω =
As
⋅
f yd
b ⋅ h f cd
Verifica-se que a tabela mais adequada é a Tabela 9, tal como consta do Relatório 07-DEC/E-27. De seguida, mostra-se a Tabela 9 onde se assinalam os pontos necessários ao dimensionamento. Então, + M = 180 kNm →
2
µ=
0.0864
→
ω=
0.106
→
As = 10.16 cm
µ=
0.144
→
ω=
0.189
→
As = 10.87 cm
= 0.134
→
x = 0.067 m (<0.1m)
2
-
M = 180 kNm
→
Verificação da posição dos eixos neutros: M+ = 180 kNm →
µ=
0.0864
→
ξ
Confirma-se que que o eixo neutro está posicionado no banzo superior da secção. M- = 180 kNm
→
µ=
0.144
→
ξ
= 0.237
→
x = 0.119 m (<0.4m)
Confirma-se que que o eixo neutro está posicionado nas almas da secção.
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36
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
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Folhas de Apoio às Aulas Práticas
6
EXERCÍCIO 6
6.1 Características dos materiais Betão C20/25 fck = 20 MPa
→
f 20 f cd = α cc ⋅ ck = 1.0 × = 13.33 MPa γc 1.5
Aço para varões A500 f yk
fyk = 500 MPa
→
500
f yd = γ s = 1.15 = 434.78 MPa
6.2 Cálculo do valor da extensão em cada nível de armadura Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:
→
Betão – Bloco rectangular de tensões Aço –
εcu3 = 3.5‰ ; λ = 0.8 ; η = 1.0 εs = “∞”
Diagrama elástico-perfeitamente plástico
Condições iniciais: Rotura pelo betão
→
εc = εcu3
Aço plastificado
→
εs
> ε sy
Aço não plastificado
→
εs
< ε sy
∧
ε sy
=
f yd Es
=
500 1.15 = 2.17 ‰ 200 × 10 3
De acordo com a Figura 6, o eixo neutro da secção transversal em I está posicionado a 0.27m da fibra superior da secção. Deste modo, o bloco rectangular de tensões engloba o banzo superior da secção e uma parte da alma, tal como se representa na Figura 22. cu3 s1 7 2 , 0
6 1 .2 0
.fcd Fs1 Fc Fs2
s2
s3 s4
Fs3 Fs4
s5 s6
NEd
Fs5 Fs6
Figura 22 – Diagrama de extensões na secção transversal em I
Tendo em consideração as condições definidas, calcula-se o valor da extensão ao nível de cada fibra da secção transversal que corresponde à posição de armadura:
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38
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ε cu 3
x
=
ε s1
⇔
x − 0.05
ε s1 3.5 × 10 −3 = ⇔ ε s = 2.85 ‰ > 2.17‰ 0.27 0.27 − 0.05
as armaduras de compressão trabalham em regime plástico
ε cu 3
x
=
ε s2
⇔
x − 0.15
ε s2 3.5 × 10 −3 = ⇔ ε s = 1.56 ‰ < 2.17‰ 0.27 0.27 − 0.15
as armaduras de compressão trabalham em regime elástico
ε cu 3
x
=
ε s3
0.03
⇔
ε 3.5 × 10 −3 = s 3 ⇔ ε s = 0.39 ‰ < 2.17‰ 0.27 0.03
as armaduras de tracção trabalham em regime elástico
ε cu 3
x
=
ε s4
0.18
⇔
3.5 × 10 −3 ε s 4 = ⇔ ε s = 2.33 ‰ > 2.17‰ 0.27 0.18
as armaduras de tracção trabalham em regime plástico
ε cu 3
x
=
ε s5
0.33
⇔
ε 3.5 × 10 −3 = s 5 ⇔ ε s = 4.28 ‰ > 2.17‰ 0.27 0.33
as armaduras de tracção trabalham em regime plástico
ε cu 3
x
=
ε s6
0.43
⇔
3.5 × 10 −3 ε s 6 = ⇔ ε s = 5.57 ‰ > 2.17‰ 0.27 0.43
as armaduras de tracção trabalham em regime plástico
6.3 Cálculo do valor das forças internas Com o valor das extensões calculadas é possível calcular o valor da força em cada nível de armadura. 500 × 10 3 = 524.51 kN 1.15
ε s1
> ε sy ⇒ Fs1 = As1 ⋅ f yd = 12.06 × 10 − 4 ×
ε s2
< ε sy ⇒ Fs 2 = As 2 ⋅ E s ⋅ ε s 2 = 12.06 × 10 −4 × 200 × 10 6 × 1.56 × 10 −3 = 373.98 kN
ε
<ε s3
⇒F sy
s3
=A s3
= 4.02 × 10 −4 × 200 × 10 6 × 0.39 × 10 −3 = 31.37 kN
⋅E ⋅ε s
s3
500 × 10 3 = 174.84 kN 1.15
ε s4
> ε sy ⇒ Fs 4 = As 4 ⋅ f yd = 4.02 × 10 − 4 ×
ε s5
> ε sy ⇒ Fs 5 = As 5 ⋅ f yd = 12.06 × 10 − 4 ×
500 × 10 3 = 524.51 kN 1.15
ε s6
> ε sy ⇒ Fs 6 = As 6 ⋅ f yd = 12.06 × 10 − 4 ×
500 × 10 3 = 524.51 kN 1.15
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Falta ainda calcular a força de compressão no betão. A área de betão comprimida está assinalada na Figura 22, onde é necessário considerar todo o banzo superior e uma parte da alma. Fc1 = 0.70 × 0.20 × 13.33 × 10 3 = 0.14 × 13.33 × 10 3 = 1866 .67 kN Fc 2 = 0.20 × (0.216 − 0.2) × 13.33 × 10 3 = 0.0032 × 13.33 × 10 3 = 42.67 kN Fc = Fc1 + Fc 2 = 1909.33 kN
Conhecendo todas as forças que actuam ao nível da secção transversal, é possível resolver a 1ª equação de equilíbrio. Neste equação, iguala-se o somatório das forças que actuam internamente na secção com o somatório das forças externamente aplicadas: Fc + Fs1 + Fs 2 − Fs 3 − Fs 4 − Fs 5 − Fs 6 = N Ed ⇔
1909.33 + 524.51 + 378.98 − 31.37 − 174.84 − 524.51 − 524.51 = N Ed ⇔ N Ed = 1557.59 kN
6.4 Cálculo do valor do momento flector resistente Uma vez que são conhecidas todas as forças que actuam na secção transversal, já é possível resolver a 2ª equação de equilíbrio, calculando o valor do momento resistente. Neste caso, o equilíbrio vai ser estabelecido em relação à posição do centro de massa da secção transversal, anulando a parcela correspondente ao esforço axial NEd, M Rd = Fc1 ⋅ z c1 + Fc 2 ⋅ z c 2 + Fs1 ⋅ z s1 + Fs 2 ⋅ z s 2 − Fs 3 ⋅ z s 3 + Fs 4 ⋅ z s 4 + Fs 5 ⋅ z s 5 + Fs 6 ⋅ z s 6 ⇔
sendo, zc1 = 0.275 m zc2 = 0.167 m zs1 = 0.325 m zs2 = 0.225 m zs3 = 0.075 m zs4 = 0.075 m zs5 = 0.225 m zs6 = 0.325 m
M Rd = 1866.67 × 0.275 + 42.67 × 0.167 + 524.51 × 0.325 + 378.98 × 0.225 − 31.37 × 0.075 + 174.84 × 0.075 + 524.51 × 0.225 + 524.51 × 0.325 ⇔
M Rd = 1075.44 kNm
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7
EXERCÍCIO 7
7.1 Características dos materiais Betão C25/30 fck = 25 MPa
→
f 25 fcd = α cc ⋅ ck = 1.0 × = 16.67 MPa γc 1.5
Aço para varões A400 fyk = 400 MPa
→
f yd =
f yk γs
=
400 = 347.83 MPa 1.15
7.2 Cálculo da altura útil Neste caso, uma vez que ainda não sabemos qual é a armadura longitudinal que vamos colocar na secção, admitimos um varão com um diâmetro “razoável”. a = rec + φestribo + φ / 2 a = 0.04 + 0.006 (ou 0.008) + 0.02 / 2 = 0.056 m
Altura útil - d d = 0.7 – 0.056 = 0.644 m
arredondando, consideramos d = 0.64m
7.3 Dimensionamento de armadura – utilização de tabela de flexão composta Definição dos parâmetros para entrada nas tabelas: 1º parâmetro:
classe do aço → S400-B
2º parâmetro:
relação entre a distância da fibra mais traccionada à posição da armadura –
a 0.056 = = 0.08 h 0 .7
→ podemos considerar que a/h = 0.10m M Rd
momento reduzido:
µ
=
4º parâmetro:
esf. axial reduzido:
υ
=
5º parâmetro:
relação entre a armadura de compressão (A’) e a armadura de tracção (A): A’ = A
b ⋅ h 2 ⋅ f cd N Ed b ⋅ h ⋅ f cd
=
350 = 0.2143 0.2 × 0.7 2 × 16.67 × 10 3
3º parâmetro:
=
100 = 0.0429 0.2 × 0.7 × 16.67 × 10 3
No caso em estudo, queremos determinar a armadura longitudinal, pelo que a utilização da tabela requer a quantificação de um outro parâmetro, a percentagem mecânica de armadura: ω =
As
⋅
f yd
b ⋅ h f cd
Verifica-se que a tabela mais adequada é a Tabela 13.p.
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De seguida, mostra-se a Tabela 13.p, onde se assinalam os pontos necessários ao dimensionamento. Então, M = 350 kNm ; N = 100 kN
→
µ = 0.2143 ; υ = 0.0429
Interpolando, Quando
µ = 0.210
→
ω = 0.459
Quando
µ = 0.215
→
ω = 0.471
→
ω = 0.469
Então, quando µ = 0.2143
→
A’ + A = 31.46 cm2
Uma solução possível é colocar 5 varões com 20mm de diâmetro em cada face.
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