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FORMULAS DE DERIVADAS
FORMULAS DE INTEGRALES
() ′ (.) . .′ ´ ′ ′ ′ IDENTIDADES IDENTIDADES TRIGONOM TRIGONOM TRICAS
± ∗ ± ∗ ∗ ± ∗ ∗ ∓ ∓ ∗ 2 2 2 2 =1 2 1 2 2 2 ∗ ∗ 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2
UNASAM
2 2 4 2 2 4 ; > 0, ≠ 0
I . IDEALIZA IDEALIZACI CI N MATEM MATEM TICA TICA Es llevar el modelo real a uno matematico para ello existen 03 metodos.
II . PROCEDIM PROCEDIMIENTO IENTO DE AN AN LISIS LISIS DIN DIN MICO MICO ncogn tasson tasson os II.1. FORMULAC FORMULACII N DE DE LA EDM as ncogn
MODELO DE MASACONCENTRADA MMC
Por: Maverick Aguirre Jara
Modelo real
MODELO DE ELEMTOSFINITOS MEF
MODELO DE MASADISTRIBUIDA MMD
Integración por partes
din
- x sten sten meto meto ospara ospara a ormuac ormuac n e a
A. M ETODO GENERACI GENERACI N DIRECT Se realiza un equilibrio Dinámico F
ma
e ormu ormu a a trans trans orma ormann o e pro pro . n. en un prob. Tipo statico, para el cual se usa el principio de Alambert
SOLUCI N DE ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALE DE 2do ORDEN SIST. LIBRE SIN AMORT.
y epen epen en e as 0 − condiciones iniciales (): 0 − () 0 ; − − () () () . . . SOLUCI N GENERAL
H
SOLUCI N GENERAL
0 () 4 2 0 ± 4 , 2Sol. Fundamt Si () (): 2 2 0 Raices Reales () ; , ± 1 − ; () Raices Raices Imaginaria Imaginariass Sol. Fundamt () 0 Soluci n imaginari imaginariaa , ∶ Soluci Imaginariass Sol. Fundamt Reemplazar en EDM Raices Raices Imaginaria , ± 1 − a ceces gua eses o . un 1 un amt , ± ±
P
0 0 0
B. METODO TRABAJO VIRTUAL
ons ons ste ste en ap car car e pr nc p o e tra tra a o v rtua gen genera era o por un esp azam azam ento ento virtual en direcci direcci n de la configuraci configuraci n de ormada.
Fza externa :: Fza efectiva : Fza de inercia
x : Desplazamiento real dv : Desplazamiento virtual
C. PRINCIPIO DE HAMILTON
SIST. LIBRE CON AMORT.
n ng. ng.
Pag - 16
v
<1
or:
Genera la EDM en base a una ecu. Definida, por lo que es necesario definir los tipos de fzas que pueden s conservat conservat vas o no conserva conservatt vas za con conser serva va va: cua cuann o ac ua ra an o que que a es ruc ruc ura ura recu recupe pere re su orm ormaa n c a . za res res u va za no conse conserva rva va: cuan o se encarg encargaa e genera generarr una e ormac ormac n perman permanen en e en a es ruc ura Fza que disipa energ a (fza de amortiguamiento) II.2. SOLUCI SOLUCI N DELA EDM onsste ons ste en et. nc a mente mente a pta namca a n ve e os os esp azamentos
v rac n <
aver ck
gu rre ara
A. M ETODO PASO A PASO PASO La soluci n se da por un proceso iterativo aplicando la teoria de diferencias finitas
enera enera mente mente se usa en un ana s s ssm co no nea. B. METODOD DEL DESACOPLAMIE Trans orma un sistema sistema de m gdl a m problemas de 1 gdl y se resuelve por matri La respuesta dinamica dinamica se puede deteminar deteminar en función del tiempo (t) ola frecuen Rta Din Metodo x Tiempo ∫ Duhamel x Frecuencia Fourier Pag - 01
CAPITULO II
DET. DE LA RTA. DIN MICA PARA SIST. DE 1 GDLdinámico
RAYLEIGH CASO PARTICULAR SISTEMAS DISCRETOS
1. SISTEMAS LIBRES 1.1. SIST. LIBRES SIN AMORTIGUAMIENT La Solucion es X(t) = XH
∗ Δ ∗
0 0 Soluci n de la EDM
() () ()
() () ()()
()
() cos( )
1.2. SIST. LIBRES CON AMORTIGUAMIEN La Solucion es X(t) = XH
DEFLEXIONE STATICA
1. Determinar Ecmax
() ℮− () ()
0 2 0
1
() 12 2. Determinar Epmax
∶ Coeficiente de Amortiguamiento
12 () ()
3. Consevaci n de energia Ecmax = Epmax
Pag - 02
2 2
() () () () () () ℮−( ) or:
aver ck
gu rre ara
(,) () () () Equivale a la elastica
ECU. DEFLEXI N ESTATICA
()()
generada por su peso propio
or:
aver ck
gu rre ara
()() ()
()
Pag - 15
RAYLEIGH PARA SISTEMAS CONTINUOS
DECREMENTO LOGARITMICO
1. Determinar Ecmax
() 12 2. Determinar Epmax ´´ () () 12
3. Consevación de energia Ecmax = Epmax (,) ()() ECU. RAYLEIGH ()´´= () ´´ la curvatura (,) () () () Al sedeterminar genera errores
ecremento og Se utiliza para determinar el amortiguamiento de una estructura consecutiva Es el Ln de 2 amplitudes consecutivas en un mov. Sub amortiguado.
+ ℮−( )
+
DECREMENTO LOG
2 2 1
Curvatur
()
En consecuencia se tiene
Caso Particular
Se conoce 2 amplitudes no consecutivas
RAYLEIGH MODIFICADO PARA SISTEMAS CONTINUOS
+m 2 1
() que cumpla con las condicones de borde 2. Determinar la FI generado por () () (,) ()() 1. Asumir una forma de vibrar
3. Det el desplasamiento generado por la FI
(,) ()() (,) () (,) () 4. Determinar la Ecmax () 12 5. Determinar la Epmax () () () 12
SUPERPOSICI N DE SIST. CON AMORTIGUAMIENTO
6. Consevación de energia Ecmax = Epmax
() () () ()
ECU. RAYLEIGH MODIFICADO
7. Realizar procesos iterativos hasta el paso 6
() () () () Pag - 14
or:
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gu rre ara
Realizar las iteraciones hasta que w converga
or:
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gu rre ara
Pag - 03
SISTEMAS CONTINUOS BAJO LA ACCI N DEL SISMO
2. SISTEMAS FORZADOS 2.1. SIST. FORZADOS SIN AMORTIGUAMI La Solucion es X(t) = XH +XP
1
Ω () ()
(,) ()()
( )
Si el sistema no parte del reposo () ≠ 0 ≠ 0
Ω Ω () () Ω Ω
()
componente
Si el sistema parte del reposo
()
() 0 0
() Ω Ω FACTOR DE AMPLIFICACI N DIN MICA
Ω () Ω Ω 1Ω Ω 1 Cuando Ω Existe resonancia el desplazamiento es grande 1Ω Dmax se obtiene derivando =0 y falla la estructura 1 Dimensionar para Ω ≠ Evitar el fenomeno de resonancia, esto se controla con las dimensiones de los elemtos estructurales Pag - 04
or:
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() SISTEMA CONTINUO
α GDL
SISTEMA DISCRETO
1 GDL
∗ ∗ ∗ ()() () ()() Masa participante (cant. De masa del sist. Cont. Que participa en el movimiento) ∗ ∗ () ∗ ∗ Coef. de participación. 2 ∗ () Rta din mica. RESPUESTA DIN. A NIVEL ESPECTRAL
() 1 ∗ − () () () 1 ∗ () El desplazamiento () () en la estructura real (,) ∗
EVALUACI N DE LAS FUERZAS DE SECCI N
() ∗ () () ∗ ()∗ ()∗
En Ing. Civil ζ
< 20 %
DET. Mo FLECTOR
(,) () ′′() ∗ () () ′′() ∗
EVAL. FZA. DE INERCIA EN UN SIST. CONTINUO CASO
ζ
= 0
, () () ∗ () A nivel espectral
DET. FZA CORTANTE
DET. CORTANTE basal
∗ () ∗ or:
aver ck
gu rre ara
() () ∗ () () ∗ Coef. sismico Pag - 13
SISTEMAS CONTINUOS 2.2. SIST. FORZADOS CON AMORTIGUAMIENTO
stema cont nuo e α g
(,) ()()
b
REDUCIR LOS GDL Se asume una funci n forma de vibrar
g =α
()
COMO ELEGIR
() ()
gdl = n Para poder resolver manualmente En la actualidad se modela con todos sus gdl en Prg como ETABS 2013, SAP 2000
para eliminar
∗ ()
MASA GENERALIZADA
∗ () ()´´
RIGIDEZ GENRALIZADA
AMORTIGUAMIENTO GENERL
ω
CARGA GENERALIZADA
CASO PARTICULAR
∗ () ´
mi masas puntuales ki reortes puntuales k(x) resortes distribuidos Q+ cargas puntuales SR solidos rigidos or:
aver ck
(Ω )
(−) (−)+()
b=
(−)+()
gu rre ara
= = ∗ () ()´´ ()() Δ = ∗ ()() = ∗ (,)() =
− Ω Ω () Ω −[cosBsen]
1 2 1 Ω2Ω () Se desprecia la componente tranciente () Ω SISTEMA S SMICO
2 : Desplazamiento del suelo : Desplazamiento relativo or:
aver ck
gu rre ara
12 (1 )(2)
2.2.1. PARA UNA CARGA DINAMICA P(t) = PoSen Ωt
() mal elegida aumenta la rigidez ∗ ()() (K) () a ecua a genera a menor ∗ (,)()
Pag - 12
2 1
a
a=
PARAMETROS GENERALIZADOS
Funci n cualquiera que debe cumplir las condiciones de borde (condiciones de apoyo) Elegir 2 mas incertidumbres
La Solucion es X(t) = XH +XP
Sistema discreto
Pag - 05
PSEUDO ESPECTRO DE RESPUESTA
2.2.2. PARA U NA CARGA DINAMICA P(t) = CARGA PERIODICA
Valor aproximado de la envolvente de la Rta maxima PSEUDO ESPECTRO VELOCIDAD PSV De la integral de Duhamel para un sistema que parte del reposo TRANSFORMACI N DE CARGA PERIODICA A CARGA ARMONICA POR SERIE DE FOURIER
2 2 = = 2 2
1
2 2
1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 = 2.2.3. PARA UNA CARGA DINAMICA P(t) = mt+n
() ℎ 1 −
1 −
() ∶ ∶
ECUACI N DE PSEUDO ESPECTRO DE RESPUESTA Relacion entre Pseudo espectro de aceleración, velocidad y desplazamiento oe c ente e amort guam entomenor a n ng. v
< 20%
2.5 ≤ 2.5
RELACI N ENTRE PSEUDO SPECTRO Y SPECTRO DE RTA.
PARAMETROS S SMICOS R A
O E T D C A F
Z
O
N
ZONA 3 2 1
Z 0.4 0.3 0.15
PAR METROS DEL SUELO TIPO DESCRIPCI N Tp(s) oca o suelos muy rígidos 0.4 S1 Suelos Intermedios S2 0.6 S3 lexible o estratos gran es . 0.9 Condic. Excepcionales S4 Det.
S 1 1.2 1.4 Det.
CATEGOR A DE EDIFICACIONES Edificaciones Esenciales A Edificaciones Importantes B Edificaciones Comunes C Edificaciones Menores D
U 1.5 1.3 1 *
A NIVEL DE DESPLAZAMIENTOS
< 20%
En Ing. Civil
En General
0; 0; ≠ 0; ≈ , ≈ ≠ 0 ; ≠ A NIVEL DE VELOCIDAD En Cualquier Caso
SISTEMAS ESTRUCTURALES Sistema Estructural
0 ; ≠ ≠ 0; ≠ A NIVEL DE ACELRACI N
< 20%
En Ing. Civil
En General
0; a ≠ 0; ≠ a
0; a ≠ 0; ≈ a Pag - 06
or:
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or:
aver ck
gu rre ara
* Criterio del Proyectista
Pórticos de Acero ruct Ace ro Arriostres Excéntr ruct. Acero con Arriostres Cr Pórticos de Concreto Armado Sistema Dual Muros Estructurales Muros de ductilidad limitada lbañilería Armada o Confinad nst. de Madera (Por sfzos ad Pag - 11
Regular Irregul. R 9.5 6.5 6 8 7 6 4 3 7
0.75R 7.125 4.875 4.5 6 5.25 4.5 3 2.25 5.25
DUHAMEL PARA SISMOS
RESPUESTA ANTE FUERZAS IMPULSIVAS
CASO I
Carga impulsiva, son de gran intensidad pero de corta duraci n td : Tiempo de duración de la carga impulsiva
() 1
= 0
z
1
CASO II
2 () 1 − ()
() () Si parte del reposo
PERIODOS T
RESPUESTA MAXIMA
> 4
Se da en la fase I nfluye la Fza Amortiguador
en la fase II La No se aprecia el efecto de la fase I se estudia fza Amort. FA=CX Por eso en el cal. Aprox. Se puede para det. Condicion inicial despreciar la Fza Amort.(FA) de fase II
≤ 4
() 1 − ESPECTRO DESPLAZAMIENTO Sd 1. Asumir un coef de amort. = a%
Mi'
∆
Ri = Ri' = 12EI∆/L^3
[]−
Ri
L Mi
Mi
Mi = 4EIθ/L
θ
Mi' = 2EIθ/L Ri'
Pag - 10
or:
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CONDENSACI N DIN MICA
[] , ,
Ri = Ri' = 6EIθ/L^2
Ri
L
#ó
[] [][]
ESPECTRO ACELERACI N Sa
De forma similar a los pasos para determinar el espectro desplazamiento
Mi = Mi' = 6EI∆/L^2
Ri'
() () 1 −
1 2 CONDENSACI N EST TICA
Mi
ESPECTRO VELOCIDAD Sv
De forma similar a los pasos para determinar el espectro desplazamiento
≈ 0
No depende de la carga Dinamica depende del area que genera la carga dinamica.
FORMULAS DE ANALISIS ESTRUCTURAL
7. Graficar la envolvente valores max)
() () 1 −
RESPUESTA DINÁMICA
Corta Duración Se da generalmente
De la Integral de Duhamel
2. Asumir una serie de periodos de vibración T1, T2, …..Tn 3. Se obtiene frecuencias angulares del sit. W1, W2,……..Wn 4. Se obtiene la integral de Duhamel J1, J2,……Jn 5. Por lo tanto se tiene X(t) X1, X2,….Xn 6. Se obtiene respuesta max Xmx1,Xmx2,….Xmxn
FZAS AMORTIGUADORAS
Larga Duración
ESPECTRO DE RESPUESTA
Es la envolvente de la respuesta maxima Cada sismo tiene un espectro de respuesta
()
()
Movimiento forzad Movimiento libre se mueve por el se mueve por impulso de la carga inercia din mica
∂ Ni'
Ni L
or:
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gu rre ara
2
1
Ni = Ni' = ∂EA/L
3
Pag - 07
IMPULSOS DE CORTA DURACI N
INTEGRAL DE DUHAMEL
< 4 Respuesta maxima FASE II
eto o que nos perm te a ar a recuenc a angu ar e s stema ω
n este caso e mpu so es e t empo ( ) ()Δ Δ
τ
Δ ( ) () Δ Δ. 0. .. . () 1
FASE I ≤ t ≤ t Para det. Sus condicionesfinales de fase I, que sonlas condiciones iniciales de la fase II.
CASO 01
0
≈ 0 Por que el tiempo escorto
() ≠ 0 ≠ 0 () () 1 Si el sistema parte del reposo () 0 0 1 () CASO 02 ≠0
() () ()
Si el sistema no parte del reposo
I
Si parte del reposo
≈ 0
FASE II t > td Corresponde a un movimiento libre parte de td
0
0
() Reemplazando cond. Iniciales se det. A y B.
() () Pag - 08
or:
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() () () () ()
Si el sistema no parte del reposo
() ≠ 0 ≠ 0
() 1 ℮− () ℮− () Si el sistema parte del reposo () 0 0 () 1 ℮− or:
aver ck
gu rre ara
Pag - 09
