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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO 1 UNIDAD II: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN SESIÓN 07: ASÍNTOTAS Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES NIVEL I 1. Calcule las asíntotas de cada una de las siguientes funciones: a. 312)( x x x f b. 31)( 24 x x x f c. 323)( 2 x x x x f 2 4( ) x f x x d. 23 )1()( x x x f e. 1)( 22 x x x f 2. Analice la continuidad de las siguientes funciones: a. 2 1; 0()23; 0 x x f x x x b. 2;2;1228)( 3 x x x x x f c. 2;12;3)( 2 x x x x x f d. 2;22;43 )( x x x x f e. 1 ; 1()1; 1 x x f x x x f. 3 2 7( )11 3 x f x x x x 3 x 3. Establezca la discontinuidad de las siguientes funciones: a. 1;31;2)( x x x x f b. 4;4;2443)( 2 x x x x x x f c. 3;3;5334)( 2 x x x x x x f d. 1;11;11;1)( x x x x x x f NIVEL II 1. Calcule las asíntotas de cada una de las siguientes funciones: a. x x x x f 213)( 23 b. 122)( 2 x x x x f c. 2115)( 2 x x x x f d. 2132)( 2 x x x x f 2. Dadas las función f definidas por: 2 (1)3; ;1(); 1;51 x x f x x a b x a) Halle los valores de a y b para que f sea una función continua e indique el rango de f . b) Los intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva e negativa. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 3 FACULTAD DE INGENIERÍA 3. Señale el tipo de discontinuidad de las siguientes funciones: 3. Determine el valor de “a” para que la siguiente función sea continua: 2 1 ; 1()3; 1 x x f xax x 4. Los ingresos de una empresa, en función del número de años que lleva funcionando, viene dada por: 0;730490 ; )( x x x x x xh Donde x en años, f(x) en millones de dólares. Analizar la continuidad de f(X) e intérprete la función ingreso. NIVEL III 1. Determine los puntos de discontinuidad de la siguiente función: 2 ( ) 1 2 1 f x x x 2. Los gastos mensuales en soles que la familia Pérez tiene en alimentación viene dada por la función: 1000;3000200010000;4.0 )( x x x xk x x f Donde x son los ingresos de la familia en soles. Determine: a) El valor de k para que los ingresos sean continuos; es decir, no haya salto en x = S/.1000 b) ¿Hacia qué valor se estabilizan los gastos de alimentación de las familias con ingresos más altos? 3. En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que el número de habitantes evoluciona según la función : P(t)= 22 )50(2500500 t t t Donde t es el número de años transcurridos desde que se hace el censo, P (t) representa el número de habitantes en millones. a) ¿Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo inicial? b) ¿Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años? c) Con el paso del tiempo, ¿Hacia qué población se estabilizará? d) Halle la asíntota horizontal para comprobarlo. 4. Encuentre los valores de las respectivas constantes para los cuales las funciones dadas a continuación son continuas : a. 2;52 22;2;)( 2 x x xbax x x x f b. 5;253;3;12 )( 2 x x xbax x x x f – 2 2 4 5 1 3 y x DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 3 FACULTAD DE INGENIERÍA c. 3;1233;73 3;63 )( xb x xbax xa x x f d. 2 1 ; 0 1() ; 03 5 ; 3 x x f x ax b x x x 5. La fuerza gravitacional ejercida por la tierra sobre una masa unitaria a una distancia r del centro del planeta es: Rr sir GM Rr si RGMr r F 23 )( Donde M es la masa de la Tierra, R su radio y G es la constante gravitacional ¿f es una función continua de r? 6. Suponga que la temperatura de un día dado es 30°F. Entonces la temperatura (en °F), que se siente por efectos del viento que sopla con una velocidad v, en millas por hora (mph), está dada por: 30 ; 0 4( ) 1.25 18.67 62,3; 4 457 ; 45 si vW v v v si v siv a) ¿Cuál es la temperatura que se siente cuando v =20 mph, y cuando v =50 mph? b) ¿Cuál es la velocidad del viento que produce una temperatura equivalente a 0°F? c) ¿Es la función de temperatura equivalente W(v) continua en v =4, y en v =45? 7. Dibuje la gráfica de una función que cumpla cada una de las siguientes condiciones: El dominio de f es , ; ;2)4( f los puntos -2; 0; 2; 4 y 6 son las únicas raíces de f; ;5)()(;)(;0)(;3)(;0)( limlimlimlimlimlim 422400 x f y x f x f x f x f x f x x x x x x Además f es continua en todos los números excepto -4,-2,0 y 4. 8. Investigue la continuidad de las funciones compuestas f o g y g o f donde: a) 010001)( x si x si x si x f y 2 1)( x x g b) 00;)( 2 x si x x si x x f y 2)( x x x g 9. Sea f (x) = x 4 - 5x + 3 , localice un intervalo [a; b] en donde f tiene una única raíz real. Justifique su respuesta. Bibliografía: N° Código - L Autor Título Paginas [1] 515 STEW/D JAMES STEWART CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 132 - 139 [2] 515 HOFF/C 2006 LAURENCE D. HOFFMANN GERAND L. BRADLEY KENNETH H. ROSEN CÁLCULO APLICADO 65,187,216-219 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 3 FACULTAD DE INGENIERÍA
