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MATEMÁTICAS V Bernardo Acevedo. UNIVERSIDAD NACIONA DE COOMBIA SEDE MANIZAES Junio 5 ii Contenido Series de Fourier. Funciones Pares e Impares Propiedades de las funciones pares e impares Funciones períodicas Algunas Propiedades Criterio de Dirichlet Derivación e integración en series de fourier Serie de Fourier en forma Compleja Integral de Fourier Integral Compleja de Fourier Transformada de Fourier 5. Función escalón Algunas propiedades de las transformadas de Fourier inealidad Dilatación Corrimiento con respecto a la frecuencia Corrimiento con respecto al tiempo Propiedad de la derivada Potencial por f(t) Simetría Integración en el tiempo Transformada de una función periódica Convolución Transformada de fourier del tren in nito de impulso iii iv CONTENIDO 3 Transformada Zeta Generalidades Algunas propiedades Algunos Métodos para hallar la inversa Método de los residuos Método de Fracciones Parciales Método de la división Método de la convolución Ecuaciones derivadas parciales 3 4. Algunas ecuaciones de la física matemática Punto Ordinario Punto singular Ecuación de egendre Polinomios de egendre a fórmula de Rodrigues Algunas propiedades Ortogonalidad de los polinomios de egendre Serie de egendre Ecuación diferencial de Bessel Algunas propiedades Ecuación modi cada de Bessel Problema de Sturm iouville Ortogonalidad de las funciones propias a ecuación de Hermite a ecuación de aguerre Ecuación de Chebyshe De nición de Ecuación diferencial Parcial Métodos para solucionar algunas ecuaciones en derivadas parciales Ecuación de aplace en coordenadas polares Prólogo El objetivo del presente libro, es el de facilitar al estudiante de las carreras de ingeniería, la asimilación clara de los conceptos matemáticos tratados, pues es el fruto de un cuidadoso análisis de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos con sus debidas respuestas, basado en mi experiencia como docente de la Universidad Nacional sede Manizales. Desde luego que los escritos que se presentan no son originales, ni pretenden serlo, toda vez que es una recopilación organizada y analizada de diferntes textos y de mi experiencia personal. Este texto constituye un material de consulta obligada de los estudiantes, el cual les genera un diálogo directo con el profesor. Bernardo Acevedo Frías profesor asociado v vi PRÓOGO Capítulo Series de Fourier. Funciones Pares e Impares De nición f(x) es par sii f( x) f(x) para todo xd f y si f( x) f(x) para todo xd f entonces f(x) es impar Ejemplo. f(x) x ; f(x) jxj ; f(x) cos x; f(x) jxj cos x; f(x) x jxj sin x;son funciones pares y f(x) x 3 ; f(x) x jxj ; f(x) sin x; f(x) sin 3 x cos x; son funciones impares.. Propiedades de las funciones pares e impares. El producto de funciones pares es par. En efecto: (fg)( x) f( x):g( x) f(x):g(x) (fg)(x). El producto de funciones impares es par 3. El producto de una función par por una impar es impar 4. Si f(x) es impar e integrable en [ a; a] entonces R a a f(x)dx 5. Si f(x) es par e integrable en [ a; a] entonces R a a R a f(x)dx f(x)dx CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER En efecto, Z a f(x)dx Z f(x)dx + Z a Z a f(x)dx f(x)dx ya que a Z f(x)dx a Z Z a Z a f( u)du f(u)du f(x)dx (x u; dx du) a a. Funciones períodicas De nición f(x) es periódica de período T, si f(x+t ) f(x) para todo x en el dominio de la función y al menor T , tal que f(x+t ) f(x) se llama el período de la función. gura. y -T T T 3T x.. Algunas Propiedades. Si f(x) es periódica de período T, entonces nt es un período de f; nn. Si f(x) es periódica de período T, entonces f(mx) con M 6, es periódica de período T M En efecto: f(m(x+ T )) f(mx+t ) f(mx) M Ejemplo. f(x) sin x sin(x + ) sin(x + 4) sin(x + n) y f(x) cosx cos(x + ) cos(x + 4) cos(x + n); tienen período T, el menor T .. FUNCIONES PERÍODICAS 3 Ejemplo.3 f(x) cos 3x tiene periódo 3 ; f(x) sin x tiene periódo Nota: Si f(t) sin(w t) + sen(w t) tiene período T, es decir, f(t) sin(w t) + sen(w t) sin(w (t + T )) + sen(w (t + T )) 4 sin(w t + w T ) + sen(w t + w T ) entonces w T n; w T m; por tanto w T w T w n w m n ; en otras palabras, m si f(t) sin(w t)+sen(w t) tiene período T entonces w es un número racional, es decir, w w w n m n m Si w w no es un número racional, entonces f(t) sin(w t) + sen(w t) no es períodica Ejemplo.4 a función f(t) sen tiene período T 4; ya que t t f(t) sen + cos 3 4 t sen 3 + n + cos t t + cos 3 4 t sen 3 + T 3 t 4 + m t + cos 4 + T 4 y así T 3 n y T m luego T 6n 8m y para el menor valor que se da la 4 igualdad es para n 4 y m 3 luego T 4: Ejemplo.5 a función tiene período ; ya que por tanto f(t) sent + sen t + cos t 3 f(t) sent + sen t + cos t 3 sen(t + T ) + sen t + T t + cos 3 + T 3 T T n; m; T l, luego T n 4m 6l 3 y para el menor valor que se da la igualdad es para n6 y m3 y l luego T 4 CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER Ejemplo.6 la función f(t) sent + sen( t ) no es periódica ya que no es un número racional 3. Si f(x) es periódica de período T entonces Z T f(x)dx C Z+T f(x)dx C cualquier número real C De nición 3 Dos funciones f(x) y g(x) se dicen ortogonales en un intervalo a x b si Z b a f(x)g(x)dx Ejemplo.7 f(x) x y g(x) x, son ortogonales en x ; ya que Z Z xx dx x 3 dx Un conjunto de funciones reales f' (x); ' (x); ' (x); :::g se dice ortogonal en un intervalo a x b si Z b ' n (x)' m (x)dx para m 6 n Ejemplo.8 El conjunto de funciones reales n ; sin nx nx ; cos ; es un sistema ortogonal en a x n ; ; 3; :: o En efecto hay que mostrar que :. Z sin nx dx ; (ya que el integrando es una función impar) .. FUNCIONES PERÍODICAS Z cos nx dx Z cos nudu n [sin nx] Z sin nx (ya que el integrando es una función impar) Z cos nx mx cos dx mx cos dx para m 6 n En efecto, si u x entonces Z cos nx mx cos dx Z cos n u cos m u du Z cos(m + n )u + cos(m n)u du 5. (Ejercicio) sin (m + n) u + m + n Z sin nx sin (m n) u m 6 n m n mx sin dx para m 6 n De nición 4 Una función f(x) se dice seccionalmente continua en [a; b] ; si f está acotada en [a; b] y si existe un número nito de discontinuidades, estas deben ser de salto Ejemplo.9 f(x) x es seccionalmente continua en cualquier intervalo [a; b] 6 CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER Ejemplo. f(x) [x] parte entera de x, es seccionalmente continua en cualquier intervalo [a; b] Ejemplo. f(x) es seccionalmente continua en [5; 8], pero no en [ x discontinuidad no es de salto 5; 8], la Ejemplo. a función f(x) si x es irracional si x es racional no es seccionalmente continua en ningún intervalo cerrado, el número de discontinuidades no es nito.3 Criterio de Dirichlet f(x) seccionalmente continua en el intervalo [ ; ] y periódica de período, entonces la serie ( a + X a n cos nx + b n sin nx f(x) si f(x) es continua en x f(x + )+f(x ) si f(x) no es continua en x n A la expresión a se llama la serie de Fourier y a + X n a n cos nx + b n sin nx a, a n, b n se llaman los coe cientes de Fourier y están dados por a n o en forma más general Z f(x) cos nx dx; b n Z f(x) sin nx dx a n Z C+ C f(x) cos nx dx b n Z C+ Ahora mostremos como se halla el valor de a n. C f(x) sin nx dx para C un número real .3. CRITERIO DE DIRICHET 7 Como entonces D por lo tanto f(x); cos nx Z Z D * a Z Z + a f(x) a + X a n cos nx E * a n + X f(x); cos nx + X a n + X n E a n cos nx n Z nx cos dx + a n cos nx a n cos nx Z dx a n a n cos nx a n cos nx Z + b n sin nx + + b n sin nx nx ; cos f(x) cos nx dx + + b n sin nx nx ; cos y! + b n sin nx cos nx dx a cos x + b sin x + b n sin nx (pues las demás integrales son cero) luego D f(x); cos nx entonces E Z f(x) cos nx Z dx a n cos nx dx + :: + cos nx C A dx a n Z a n cos nx Z dx a n f(x) cos nx dx cos nx dx + ::::: + cos nx C A dx a n 8 CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER Se ha utilizado el desarrollo ortogonal en [ ; ] de f; sin nx nx ; cos ; con cos nx ; en forma análoga para calcular a ; hacer el desarollo ortogonal de f; sin nx nx ; cos ; n ; ; 3; ::; g n ; ; 3; ::; g con en [ ; ], y para hallar b n hacer el desarollo ortogonal de f; sin nx nx ; cos ; n ; ; 3; ::; g con sin nx en [ ; ] Ejemplo.3 Hallar la serie de Fourier de la función f(x) si x x si x f(x + ) f(x) gura. En efecto: El período de la función es T entonces y π x 3π-x 5π-x π π π 3π 4π 5π x a Z Z f(x)dx f(x)dx 4 Z dx + Z 3 ( x)dx5 x x .3. CRITERIO DE DIRICHET 9 a n Z f(x) cos nx dx Z f(x) cos nxdx ( x) n En forma análoga b n sin nx n cos nx n Z 4 Z + n Z cos n n sin nxdx ( )n n f(x) sin nx dx Z f(x) sin nxdx 3 dx + Z ( x) sin nxdx5 4 Z 4 Z dx + Z ( x) sin nxdx5 3 ( x) cos nxdx5 3 ( x) cos nx + n sin nx n n Por lo tanto la serie de Fourier está dada por 4 + X n ( ) n n cos nx + sin nx n 8 : si x x si x + si x + si x Observe que f(+ ) + f( ) f(+ ) + f( ) lim x! f( + ) + f( ) +( x) + lim () x! lim + lim ( x) x! + x! lim + lim x! + x! ( x) CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER Ahora si en la igualdad 4 + X n ( ) n n cos nx + sin nx n 8 : si x x si x + si x + si x remplazamos x por x obtenemos 4 + X ( ) n cos n + n n sin n 4 + X ( ) n n n n + luego es decir y así es decir 4 + X ( ) n n n X ( ) n n n X ( ) n n 4 n :::::: 7 8 Ejemplo.4 Hallar la serie de Fourier de la función f(x) jxj x f(x + ) f(x) figura :3 En efecto: El período de la función es T ; entonces Z Z Z Z Z a f(x)dx f(x)dx jxj dx jxj dx xdx .3. CRITERIO DE DIRICHET y -x π x π π-x 4π-x x π π 3π 4π x a n Z f(x) cos nx dx Z x sin nx + n b n Z Z cos nx n por lo tanto la serie de Fourier está dada por + X (( ) n ) cos nx n n jxj cos nxdx Z x cos nxdx (cos n ) (( )n ) n n f(x) sin nx dx Z f(x) sin nxdx jxj sin nxdx ( jxj sin nx es Impar) jxj si x Si se desea hallar la serie de Fourier de la función x 6 si 6 x 7 f(x) f(x + ) f(x) 8 x si 7 x 8 ésta coincide con la serie anterior, pues por ejemplo a Z f(x)dx a Z f(x)dx +7 Z f(x)dx T Z 8 f(x)dx +7 6 Z 7 Z 8 (x 6) dx + (8 x)dx 6 7 CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER a n Z Z 8 f(x) cos nx dx Z f(x) cos nxdx f(x) cos nxdx Z 7 (x 6) cos nxdx + Z 8 (8 x) cos nxdx 6 (( )n ) n b n Z 6 f(x) sin nx dx Z f(x) sin nxdx 7 Z 8 Z 7 Z 8 6 f(x) sin nxdx 6 (x 6) sin nxdx + (8 x) sin nxdx + X n (( ) n ) n cos nx ( x 8 6 x 7 si si 6 x 7 7 x 8 Ejemplo.5 Hallar la serie de Fourier de la función f(x) x x f(x + ) f(x) En efecto: El período de la función es T ; entonces Z Z Z a f(x)dx f(x)dx xdx a n b n Z Z f(x) cos nx dx Z f(x) cos nxdx Z x cos nxdx f(x) sin nx dx Z f(x) sin nxdx Z x sin nxdx .3. CRITERIO DE DIRICHET 3 Z x sin nxdx x cos nx n + sin nx n cos n n entonces la serie de Fourier es 8 x si x X ( ) n+ sin nx si x n n : si x Ejemplo.6 Hallar la serie de Fourier de la función f(x) x x f(x + ) f(x) ( )n+ n En efecto: El período de la función es T ; entonces a Z Z a n x sin nx + n b n f(x)dx Z f(x) cos nx dx Z Z x cos nx n f(x)dx Z f(x) cos nxdx sin nx n 3 x dx 3 4( )n n Z f(x) sin nx dx Z f(x) sin nxdx por lo tanto, la serie de Fourier de la función está dada por 3 + X n Ahora podemos a rmar que 4( ) n x + x 4 + X cos nx ( ) n n n n cos nx x si x sin nx n x cos nxdx x 4 CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER Ejemplo.7 Hallar la serie de Fourier de la función f(x) x x f(x + ) f(x) En efecto: El período de la función es T ; entonces Z Z Z Z a f(x)dx f(x)dx f(x)dx xdx a n Z x sin nx + n f(x) cos nx dx Z cos nx n f(x) cos nxdx Z x cos nxdx b n Z f(x) sin nx dx Z x cos nx n + sin nx n n f(x) sin nxdx por lo tanto, la serie de Fourier de la función está dada por + X n n 8 x si x sin nx si x : si x Z x sin nxdx Ejemplo.8 Hallar la serie de Fourier de la función f(x) x x f(x + ) f(x) gura.4 .3. CRITERIO DE DIRICHET 5 En efecto: El período de la función es T ; entonces a a n Z f(x)dx Z Z f(x)dx f(x) cos nx dx Z x sin nx + n b n Z x cos nx n Z f(x)dx f(x) cos nxdx sin nx 4 n 3 n f(x) sin nx dx Z f(x) sin nxdx x cos nx n + x sin nx n + Z x dx 8 3 Z Z cos nx 4 n 3 n x cos nxdx x sin nxdx por lo tanto, la serie de Fourier de la función está dada por 8 x si x X 4 4 cos nx n n + 4 sin nx si x n + 4 : si x Si en la igualdad anterior se reemplaza x por cero se obtiene X 4 4 cos n n n n 4 sin n 3 + X 4 n n 6 CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER es decir y así X n Si se reemplaza x por se obtiene luego por tanto X 4 4 cos n n n X n 4 n X n n n 6 4 sin n 3 + X 4 cos n n n 4 n cos n X ( ) n+ n n Ejemplo.9 Hallar la serie de Fourier de la función si x f(x) f(x + ) f(x) si x En efecto: El período de la función es T entonces Z Z Z Z a f(x) dx f(x) dx ( ) dx + dx ( ) + () .3. CRITERIO DE DIRICHET 7 a n Z f(x) cos nx dx Z f(x) cos nx dx pues f(x) cos nx es impar b n Z f(x) sin nx dx Z h cos nx n i + h cos nx n i f(x) sin nxdx Z sin nxdx + Z ( cos n) n n ( ( )n ) por lo tanto la serie de Fourier de la función esta dadá por X n ( ( ) n ) n 8 sin nx : si x si x si x + si x : sin nxdx Si reemplazamos en la igualdad anterior x por x, obtenemos X n ( ( ) n ) n sin nx X n ( ( ) n ) n sin n ::: luego 4 X n ( ) n n + X n ya que ( ) n n + 4 Ejemplo. Hallar la serie de Fourier de la función 8 si x f(x) si x : si x En efecto: El período de la función es T 4 entonces f(x + 4) f(x) gura.6 8 CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER y x Z Z Z a f(x)dx dx + Z Z dx + dx dx a n h n b n Z sin nx Z f(x) cos nx dx Z cos nx Z dx cos nx dx i sin n n f(x) sin nx dx Z sin nx dx por lo tanto la serie de Fourier de la función está dada por n 8 si x + X sin cos nx si x n si x n : si x Ejemplo. Hallar la serie de Fourier de la función f(x) sin x El período de la función f(x) sin x es T (haga el grá co) luego b n Z f(x) sin nx dx Z f(x) sin nxdx Z sin x sin nxdx .3. CRITERIO DE DIRICHET 9 y a Z f(x)dx Z f(x)dx Z f(x)dx Z sin x dx Z cos x dx a n Z f(x) cos nx dx Z sin x cos nxdx Z Z Z f(x) cos nxdx Z cos x cos nxdx (cos nx (cos( + n)x + cos( n)x) dx sin nx n y si n entonces sin( + n)x + + n f(x) cos nxdx Z (cos nx cos x cos nx)dx sin( n)x si n 6 y n 6 n a y si n entonces Z f(x)dx Z f(x)dx Z cos x a Z Z f(x) cos x dx Z ( cos x) cos xdx Z f(x) cos xdx Z (cos x cos x)dx por tanto la serie de Fourier de la función f(x) sin x es a + X n a n cos nx + b n sin nx a + a cos x cos x cos xdx Z + cos 4x cos x cos x dx sin x CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER Ejemplo. Hallar la serie de Fourier de la función f(x) cos x + cos 4x El período de la función f(x) cos x es T (haga el grá co) luego b n a n 8 Z Z4 Z f(x) sin nx dx 4 f(x) cos nx dx 4 + cos 4x 4 sin 4nx + 4n Si n entonces a Z y si n entonces a 8 Z Z4 Z4 4 Z4 4 cos 4nxdx 4 sin(4 + 4n)x (4 + 4n) f(x)dx 4 Z4 4 f(x) cos x dx 4 + cos 4x por tanto la serie de Fourier es a + X n a n cos nx + f(x) sin 4nxdx 4 f(x) cos 4nxdx 8 Z4 sin(4 4n)x (4 4n) + cos 4x Z4 4 cos 4xdx 4 + b n sin nx Z4 4 Z4 cos x sin 4nxdx cos x cos 4nxdx (cos 4nx + cos 4x cos 4nx)dx 4 dx 4 si n 6 y de Z4 f(x) cos 4xdx 8 Z4 + a cos 4x ( + cos 4x) dx Z4 cos x cos 4xdx ( + cos 4x) cos 4xdx + cos 4x + cos 4x .3. CRITERIO DE DIRICHET.3. Derivación e integración en series de fourier Si f(x) es continua en todas partes y tiene una expansión en serie de fourier f(x) a + X a n cos nx n + b n sin nx entonces si f (x) satisface las condiciones del criterio de Dirichlet se tiene que: f (x) X n b n n cos nx a n n sin nx es la serie de Fourier de la función derivada y si f(x) satisface las condiciones del criterio de Dirichlet en [ ; ] y tiene una expansión en serie de fourier para Z x f(x) a + X a n cos nx x f(t)dt Z x n x x se x Z x x a es la serie de Fourier para la integral + X n a dt + X n x + b n sin nx a n cos nt Z x tiene que entonces # + b n sin nt dt a n cos nt + b n sin nt dt Ejemplo.3 Sabemos que la serie de Fourier de la función f(x) jxj para está dada por + X n (( ) n ) n x cos nx jxj si x f(x + ) f(x) Observe quef(x) jxj si x con f(x + ) f(x) es una función continua en todo R, luego derivando ambos miembros de la igualdad anterior se tiene si x f (x) si x X (( ) n ) sin nx n n CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER así que X ( ( ) n ) sin nx n n X ( ( ) n ) si x sin nx n si x n es la serie de Fourier de su derivada Ahora hallemos la serie de Fourier de la función si x f (x) si x integrando. Integremos entre y x, la serie de fourier de f (x) X n Z x ( ( ) n ) n X ( ( ) n ) n 4 4 : 8 n X sin ntdt X n n n ( ( ) n ) ::: X n n X ( ( ) n ) cos nx n n X ( ( ) n ) cos nx n n Ahora si integramos la función derivada 8 Z x f (t)dt : Z x Z x ( ( ) n ) n cos nx ( ( ) n ) n dt x si x dt x si x # x cos nt cos nx jxj .3. CRITERIO DE DIRICHET 3 por lo tanto jxj X ( ( ) n ) cos nx si x f(x + ) f(x) n n Pero podemos también integrar entre - y x la serie y la función, f (x); así X n n Z x ( ( ) n ) n X sin ntdt X ( ( ) n ) cos nx + n X n 4 4 : 8 (( ) n ) n n X n n n ( ( ) n ) n ( ( ) n ) ( ) n n X ( ( ) n ) cos nx n ::: n Ahora si x entonces n X ( ( ) n ) cos nx n n # x cos nt X ( ( ) n ) cos nx n n X ( ( ) n ) cos nx Z x f(t)dt Z dt + Z x dt + x pero + x luego despejando x se obtiene x + X ( ( ) n ) n n X (( ) n ) n n n X ( ( ) n ) cos nx n cos nx cos nx X ( ( ) n ) cos nx n n 4 CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER Si x entonces Z x f(t)dt Z x dt x pero luego despejando así + n x x obtenemos n x + n X ( ( ) n ) cos nx n n n X ( ( ) n ) cos nx X (( ) n ) cos nx n X (( ) n ) cos nx jxj si x f(x + ) f(x) n Ejemplo.4 a serie de fourier de f(x) x x f(x + ) f(x) viene dada por x X n ( ) n cos nx Como f(x) es continua dentro y en los extremos del intervalo x entonces la serie de Fourier de su derivada viene dada por X n( ) n X ( ) n+ x 4 sin nx 4 sin nx por tanto n n x n n X ( ) n+ sin nx x f(x + ) f(x) n n Ahora integrando entre y x ambos miembros de la igualdad anterior se tiene Z x tdt X n Z x n ( ) n+ sin ntdt n por tanto .3. CRITERIO DE DIRICHET 5 Z x tdt x X ( ) n cos nt n X ( ) n n n n cos nx + 6 # x X ( ) n X ( ) n cos nx n n luego n n x X Si integramos entre obtenemos que Z x tdt x n ( ) n n cos nx si x f(x + ) f(x) y x cada término de la igualdad Z x x 6 + X n x tdt x X n Z x X ( ) n+ sin nx n n X ( ) n cos nt n n X n ( ) n+ sin ntdt n # x ( ) n cos nx n n por tanto X ( ) n X cos nx n n 3 entonces n luego ( ) n cos nx y así obtenemos la serie de Fourier para x así n x X Si integramos entre Z x n ( ) n n cos nx si x f(x + ) f(x) y x cada término de la igualdad anterior, se obtiene t dt Z x 3 dt + 4 X n Z x x x X n ( ) n cos ntdt luego n ( ) n sin nx por tanto n 3 6 CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER x 3 3 g(x) x 3 x x 3 4 X n X ( ) n n ( ) n sin nx y así obtenemos n 3 n 3 sin nx si x g(x + ) g(x) que la serie de Fourier de la función g(x) x 3 x si x Ejercicio. Hallar el período de las funciones siguientes a) f(x) sin 3x b) f(x) cos x c) f(x) jcos 3xj d) f(x) cosh 3x. Hacer un bosquejo del grá co de las siguientes funciones periódicas en el intervalo [ ; ] a) f(x) e x x T b) f(x) e x x T c) f(x) e x 4 x 6 T d) f(x) x 4 x 6 T e) f(x) x( x) x T f) f(x) x x 4 T 5 + x si x g) f(x) f(x + ) f(x) x si x cos x si x h) f(x) f(x + ) f(x) si x 3. Mostrar que los resulados siguientes son válidos a) 4 X ( ) n+ n n sin nx x si x si x b) 3 + X n 3( cos n) n sin nx 5 8 : si 5 x 3 si x 5 3 si x 5 3 si x .3. CRITERIO DE DIRICHET 7 c) d) e) sin h X n ( ) n n + sin x + y deduzca X n que cos nx sin nx n ( ) n + n cos nx 4 + :3 8 : 8 : si x x si x si x si x sin x si x si x 3:5 + 5:7 :::::: # + X ( ) n e x si x (cos nx n sin nx) + n cosh si x n f) 6 + X ( ) n ( cos nx + n n si x x si x ) n+ n + # n 3 (( )n ) sin nx h) i) y deduzca 3 +4 X n que ( ) n :::: n cos nx x si x X ( ) n+ sin nx x si x f(x+) f(x) n n X n ( ) n y deduzca que n cos nx 8 X (n ) n si x sin nx n x si x 8 CAPÍTUO. SERIES DE FOURIER j) X n ( ) n sin nx x jxj n 3 n n 3 k) Mostrar que la serie de Fourier de sin 3 es 3 sin sin Es decir, muestre que x Indicación a n Z sin sin sin 3 x f(x + ) f(x) 4 sin 3 x cos nxdx (impar) b n Z sin 3 x sin nxdx Z sin 3 x sin nxdx Z cos (x nx) 3 8 cos (x + nx) + 8 cos (3x + nx) cos (3x nx) dx 8 sin (x nx) n para n 6 y n 6 3 Si 3 sin (x + nx) + sin (3x + nx) 8 + n n 8 sin (3x nx) 3 n n ; b
