Transcript

Digitalizado

Mecánica de
Fluidos

Victor L. Streeter
E. Benjamin Wylie
Keith W. Bedford
Novena edición

MECÁNICA DE FLUIDOS
Novena edición

Victor L. Streeter
Professor Emeritus of Hydraulics
University of Michigan

E. Benjamin Wylie
Professor of Civil and Environmenta/ Engineering
University of Michigan

Keith W. Bedford
Professor of Civil Engineering
Ohio State University

Traducción

Juan G. Saldarriaga V.
Profesor de ingeniería hidráulica
Universidad de los Andes
Revisión técnica

Germán R. Santos G.
Profesor titular
Escuela Colombiana de Ingeniería

Santafé de Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Guatemala • Lisboa • Madrid • México
Nueva York • Panamá • San Juan • Santiago de Chile • Sao Paulo
Auckland • Hamburgo • Londres • Milán • Montreal • Nueva Delh:i • París
San Francisco • San Luis • Singapur • Sidney • Tokio • Toronto

MECÁNICA DE FLUIDOS, NOVENA EDICIÓN
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro. ni <;u tratamiento informático. ni la
transm1sión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por
registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de lo~ titulares del Copyright.
DERECHOS RESERVADOS. Copyright© 2000. por McGraw-Hilllnteramericana. S.A.
Avenida de las Américas 46-41. Santafé de Bogotá, Colombia

Traducido de la novena edición en inglés de
FLUID MECHANICS
Copyright© MCMXCVlll, por The McGraw-Hill Companies, lnc.
ISBN: 0-07-062537-9
Editora: Emma Ariza H.

9123456780

213457890

ISBN: 958-600-987-4
Impreso en Colombia

Printed in Colombia

Se imprimieron 11.000 ejemplares en el mes de noviembre de 1999
Impreso por Quebccor lmpreandes

A nuestras familias, estudiantes y maestros

PREFACIO
En esta, la novena edición, se han hecho un gran
número de cambios importantes al texto en cuanto a
su alcance, organización. enfoque y a las habi lidades
requeridas.
El alcance del texto se ha ampliado para incluir
el transporte de calor y de masa. Por consiguiente, se
h an añadido dos nuevos capítulos so bre los
fundamentos y las api icaciones del transporte y se han
ampliado los ca pítulos concernientes a las
propiedades, las ecuaciones básicas, el análisis dimensional y las medi cio nes para cubrir e l material
relevante sobre transporte. Con este nuevo material
ahora es posible enseñar dos cursos inlroductorios
completos de penúltimo y último año de carrera, uno
en mecánica de fluidos y otro en fenómenos de
transporte.
Otros cambios importantes en contenido incluyen
la eliminación del capítulo sobre flujos compresibles,
la combinación del flujo permanente y no permanente
en tuberías, en un capítulo actualizado, la separación
del capítulo de ecuaciones rectoras en uno para las
ecuaciones de volumen de control y en otro para los
métodos de ecuaciones de continuo. un ca pítulo
revisado en métodos de medición y la incorporación
de casi 400 problemas nuevos.
Con respecto a las habilidades requeridas, la
segunda serie de cambios sustantivos está motivada
por la rápida infusión e implementación de la
computación y de la transferencia de información. Tal
como se menciona en todo el texto. la octava edición
fue una de las primeras en introducir técnicas de
computación integradas completamente e n s u
presentación. Esto se hizo cuando BASIC y FORTRAN eran los lenguajes de computador dominantes,
cuando los cálculos se hacían en computadores de
gran tamaño (mainframe) en serie (batch) y todo e l
mundo escribía sus propios programas. La
disponibilidad actual d e computadores baratos,
poderosos y conectados a la red, así como el trabajo
en los cursos han producido dos cambios adicionales
al texto. En primer lugar, no creemos que el libro
necesite enseñar métodos numéricos; en lugar de esto,
creemos que la existencia de cursos previos en
programación de computadores y métodos numéricos
en la mayoría de los planes de estudio técnicos de
pregrado, nos permiten concentrarnos en el uso
rutinario de técnicas numéricas para a nalizar
problemas. Adicionalmente, hemos eliminado los
programas en BASIC presentes en la octava edición y

se dan soluc iones a problemas complejos utilizando
Microsoft EXCEL.
El segundo cambio, basado en computadores. se
origina en la disponibilidad de la l nternet-World Wide
Web y en e l hecho adicional d e q ue la nueva
información utilizada en cursos usualmente se genera
a velocidades mayores que el ciclo de cuatro o cinco
años requeridos para incorporar la información en un
texto reimpreso. También existe información de
relevancia para el texto que puede ser muy grande,
muy costosa o muy efímera en su naturaleza para ser
incluida en ltn texto. Por estas razones ahora existe
una página Web para el li bro, que servirá como una
ayuda para la rápida presentación de información y
comunicaciones.
La página Web también contiene información
sustancial sobre computación, archivos principales e
información para ser transferida al usuario sobre
programas importantes utilizados en el texto. Los
tutoriales también se incluyen en el uso de lenguajes
estructurados tales como MATHCAD, MATLAB y
MATHEMATICA para analizar la mecánica de fluidos
y el transporte. Nuestro uso de estos lenguajes no es
ni una recomendación ni una evaluación final de los
méritos relativos de éstos sobre cualquier otro. Estas
e scogencias se hici eron deb ido a s u amplia
d isponibilidad para el estudiante uni versitario y a sus
faci lidades computacionales.
Recomendamos enfáticamente a los estudiantes
y a Jos instructores mirar el material de la Web antes
y durante el curso. Vemos estos tutoria les como
información de soporte únicamente y no es necesario
utilizarlos para adqui rir una maestría en fluidos o en
transporte. Sin embargo, son herramientas poderosas
para facilitar el trabajo, que hacen e l análisis numérico
más agradable, y pedimos al lector investigar estos
lenguajes.
Finalmente, los autores desean agradecer a Sean
O 'Neil y Panagiotis Velissariou por su gran ayuda en
la preparación de este libro. Ha sidQ un placer trabajar
con ellos.
K. W Bedford, Columbus, Ohio
E. B. Y\ylie, Ann Arbor, Michigan
Noviembre 1997

Dirección de la página Web:
http://www.mhhe.com
V

CONTENIDO
PARTE

1

3.5

Fundamentos de mecánica de fluidos
y transporte 1
3.6
Capítulo

1

Propiedades de los fluidos 2
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6

1.7
1.8
1.9
1.10

3.7

Continuo 3
Definición de un fluido 3
Dimensiones y unidades 5
Viscosidad 8
Masa, peso y variables de
concentración 11
Temperatura y variables
tennodinárnicas 14
Presión y un gas perfecto 15
Módulo de elasticidad volumétrico 18
Presión de vapor 19
Tensión superficial 20

Capítulo

3.8
3.9

Aplicación de la ecuación de
energía para situaciones de
flujo pennanente de fluidos 124
La ecuación de momentum lineal
del volumen de control 133
Aplicaciones de la ecuación de
momentum lineal 136
La ecuación de momento de
momentum 155
Transferencia de calor y de masa 158

Capítulo

Ecuaciones diferenciales básicas 185
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

2

Estática de fluidos 30
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
Capítulo

Fuerza, esfuerzo y presión de punto 31
Ecuación básica de la estática
de fluidos 35
Unidades y escalas para la medida
de la presión 40
Manómetros 44
Fuerzas sobre áreas planas 49
Componentes de fuerzas sobre
superficies curvas 58
Fuerza de boyarniento 65
Estabilidad de cuerpos flotantes
y sumergidos 68
Equilibrio relativo 71

4.6
4.7
4.8
Capítulo

3.3
3.4

Cinemática, movimiento y
deformación 186
Ecuación general de transporte
de Reynolds 195
La ecuación de continuidad 196
La ecuación de momentum 198
La conservación de energía mecánica y
la ecuación de Bernoulli 202
La ecuación de energía 208
La ecuación diferencial de calor 21 1
Balance diferencial de masa para una
especie 212
5

Análisis dimensional y similitud
dinámica 224
5.1
5.2
5.3
5.4

3

Conceptos del flujo de fluidos y
ecuaciones básicas de volumen de
control 102
3. 1
3.2

4

5.5
5.6

Conceptos de flujo y cinemática 103
La ecuación general de conservación
en un volumen de control 113
La conservación de la masa 115
La ecuación de energía 118

Capítulo

Homogeneidad dimensional y
relaciones adimensionales 225
Dimensiones y unidades 227
El Teorema Il: momentum y
energía 228
El Teorema II: transporte de calor
y de masa 240
Análisis adimensional de
ecuaciones rectoras 243
Estudios en modelos y similitud 247
6

Flujo viscoso: tuberías y canales 259
6.1

VIl

Flujos laminares y turbulentos: flujos
internos y externos 260

Contenido

VIII

6.2
6.3

6.4
6.5
6.6
6.7
6.8

Flujo laminar, incompresible y
permanente entre placas paralelas 263
Flujo laminar en tuberías y anillos
circulares 268
Relaciones para flujo turbulento 273
Pérdidas de energía en flujo turbulento
en conductos abiertos y cerrados 283
Flujo permanente uniforme en
canales abiertos 285
Flujo permanente incompresible
a u_;avés de tuberías simples 288
Pé1didas menores 298

Capítulo

7

Flujos externos 315
7.1

7.2
7.3
7.4
7.5
7.6

7.7

Fuerzas de corte y de presión 316
Conceptos de capa límite: placas
planas 318
Flujo y arrastre: esferas 325
El efecto de los gradientes de presión:
separación y estelas 328
Arrastre sobre cuerpos sumergidos 332
Sustentación 337
Aceleración y fuerzas inerciales 340

Capítulo

8

Flujo de fluidos ideales 346
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7

Capítulo

Requisitos para el flujo de un
fluido ideal 347
Ecuación de movimiento de Euler 347
Flujo irrotacional: potencial
de velocidad 350
Integración de la ecuación de Euler:
ecuación de Bemoulli 352
Funciones de corriente y condiciones
de frontera 354
Flujos en dos dimensiones 359
Ondas de agua: un problema
de frontera móvil 370

9.2

9.3
9.4

9. 7

Difusión y conducción molecular
permanente 379
Advección y convección:
aproximaciones globales 389
Transporte en la capa límite
laminar 398
Relaciones de transporte
turbulento 402

Difusión turbulenta 405
Difusión y dispersión en canales 416
Aplicaciones de técnicas de difusión y
dispersión 424

PARTE

2

Aplicaciones de la mecánica de fluidos
y transporte 443
Capítulo

10

Mediciones 444
10.1
10.2

10.3
10.4
10.5
10.6

10.7
10.8
10.9
10.10

Atributos y funciones del sistema 445
Medición de la presión 451
Medida de la elevación 453
Medición de temperatura 456
Medición de velocidad 456
Aparatos de medida de caudal:
orificios 466
Medidor venturi, boquillas y otros
aparatos de tasa para conductos 4 7 4
Aparatos de medida de caudal de tasa
para canales abiertos 479
Medida de concentración de partícula<; 487
Medida de la viscosidad 493

Capítulo

11

Turbomaquinaria 505
11.1

11.2
11.3
11.4
11.5
11.6

11.7

Unidades homólogas: velocidad
específica 506
Teoría elemental de álabes 5 12
Teoría de turbomáquinas 514
Turbinas de reacción 51 8
Bombas y ventiladores 522
Turbinas de impulso 529
Cavitación 534

Capítulo

12

Flujo en conductos cerrados 541
12.1

9

Transporte por advección y difusión 378
9.1

9.5
9.6

12.2
12.3
12.4
12.5

Flujo permanente: fórmulas
exponenciales para la fricción
en tuberías 542
Flujo permanente: líneas piezométricas
y de energía 543
Flujo permanente: sistemas de
tuberías 550
Flujo permanente: redes de
tuberías 559
Flujo permanente: metodologías
para redes hidráulicas complejas 561

Contenido
12.6

12.7
12.8
12.9
12.10

12.11

Flujo permanente: conductos no
circulares, envejecimiento de
tuberías y aditivos 566
Flujo no permanente: oscilación
de un Líquido en un tubo en U 568
Flujo no permanente:
establecimiento del flujo 576
Flujo no permanente: descripción
del fenómeno de golpe de ariete 578
Flujo no permanente: ecuaciones
diferenciales para el cálculo del
golpe de ariete 580
Flujo no permanente: solución
por el método de las características 583

Capítulo

13

Flujo en canales abiertos 605
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7

13.8

13.9
13.10
13.11
13.12

Clasificación del flujo 606
Secciones transversales hidráulicas
óptimas en canales 607
Flujo permanente uniforme en
una llanura de inundación 609
Resalto hidráulico y piscina de
disipación 61 O
Energía específica y profundidad
crítica 614
Transiciones 617
Flujo gradualmente variado 620
Clasificación de perfiles
superficiales 626
Secciones de control 628
Cálculo en computador del flujo
g radualmente variado 629
Frente de onda positivo sin fricción en
un canal rectangular 631
Frente de onda negativo sin fricción en
un canal rectangular 633

Capítulo

14

Aplicaciones de fenómenos de
transporte 643

14.1

Transporte producto de la ingeniería
versus transporte geoambiental 643

14.2

Flujos multifase: transporte de

14.3
14.4
14.5
14.6

partículas 646
Flujo y transporte simultáneo: capa
límite estratificada 660
Transferencia interfase:
evaporación 671
Reactores de proceso y tanques 685
Mezcla mecánica y agitación 695

Apéndices
Apéndice

A

Sistemas de fuerza, momentos
y centroides 707
A. l
A.2

Sistemas de fuerzas simples 707
Primero y segundo momentos:
centroides 707

Apéndice

B

Ayudas para la programación de
computadores 711
Apéndice

C

Propiedades físicas de fluidos 712
Apéndice

D

Notación de variables 717
Apéndice

E

Operaciones y notación vectoriales 722
E.1
E.2
E.3
E.4
E.5

Notación y definiciones 722
Álgebra vectorial 723
Operaciones vectoriales 724
Vectores unitarios, normales y
planos 725
Operaciones diferenciales 726

Apéndice ... F

a

Respuestas problemas pares 728

IX

PARTE

1
FUNDAMENTOSDEMEC~CA

DE FLUIDOS Y TRANSPORTE

En los primeros cuatro capítulos de la parte 1 se estudian las propiedades de
los fluidos, la estática de los fluidos y la estructura subyacente de conceptos y
definiciones de la dinámica de los fluidos y del transporte de calor y de masa
asociados. En el capítulo 3 se presentan los métodos integrales que llevan a
las ecuaciones de volumen de control, y en el capítulo 41as descripciones del
continuo que llevan a las ecuaciones diferenciales parciales no lineales.
Posteriormente se introduce el análisis de parámetros adimensionales y de
ecuaciones. Los capítulos 6 y 7 tratan los efectos de la fricción en flujos
reales, ya sea en tuberías y canales (flujos internos) o sobre superficies tales
como esferas (flujos externos). El caso especial del flujo sin fricción se presenta
posteriormente mientras que el capítulo final introduce los principios de
transporte de calor y de masa.

capít-ulo

1
Propiedades de los fluidos

La ciencia de la ingeniería de la mecánica de fluidos se ha desarrollado gracias
al entendimiento de las propiedades de los fluidos, a la aplicación de las leyes
básicas de la mecánica y la termodinámica y a una experimentación ordenada.
Las propiedades de densidad y viscosidad juegan papeles principales en flujos
de canales abiertos y cerrados y en flujos alrededor de objetos sumergidos.
Los efectos de tensión superficial son importantes en la formación de gotas,
en el flujo de pequeños chorros y en situaciones donde ocurren interfaces
líquido-gas-sólido o líquido-líquido-sólido, al igual que en la formación de
ondas capilares. La propiedad de presión de vapor, la cual considera los
cambios de fase de líquido a gas, se vuelve importante cuando se encuentran
presiones bajas.
En este capítulo se define un fluido y se discuten los sistemas consistentes
de fuerza, masa, longitud, tiempo y temperatura antes de presentar las
propiedades y la defrnición de ténninos.

Propiedades de los fluidos

1.1

CONTINUO

Al tratar las relaciones de flujo de un fluido con bases matemáticas o analíticas, es necesario considerar
que la estructura molecular real es remplazada por un medio hipotético continuo, conocido como el
continuo. Por ejemplo, la velocidad en un punto del espacio es indefinida en un medio molecular, ya
que siempre sería cero, excepto cuando una molécula ocupe ese punto exacto; en ese momento sería
la velocidad de la molécula y no la velocidad media de masa de las partículas que están a su alrededor.
Este dilema se evita si se considera que la velocidad en un punto es la velocidad promedio o velocidad
de masa de todas las moléculas que rodean dicho punto, es decir, dentro de una esfera con un radio
grande comparado con la distancia media entre moléculas. Con n moléculas por centímetro cúbico,
la distancia media entre ellas tiene un orden de magnitud de n- 113 cm. Sin embargo, la teoría molecular
debe utilizarse para calcular las propiedades de los fluidos (por ejemplo la viscosidad) asociadas con
movimientos moleculares, mientras que las ecuaciones de continuo pueden emplearse con los
resultados de los cálculos moleculares.
En gases rarificados, tales como la atmósfera a 50 millas por encima del nivel del mar, se utiliza
la relación entre la trayectoria libre mediat del gas a una longitud característica del cuerpo o conducto
para distinguir el tipo de flujo. El régimen de flujo se conoce como dinámica de gas en valores muy
pequeños de esa relación; el siguiente régimen se conoce como flujo deslizante; y para valores grandes
de la relación se conoce como flujo de molécula libre. En este texto únicamente se estudia el régimen
de dinámica de gas.
Se supone que las cantidades densidad, volumen específico, presión, viscosidad, velocidad,
aceleración, etc., pueden variar continuamente a lo largo de un fluido (o permanecer constantes).

EJERCICIO
1.1.1 ¿Bajo cuáles dos de los siguientes regímenes de flujo sería razonable la suposición de un
continuo? (1) flujo de molécula libre, (2) flujo deslizante, (3) dinámica de gases, (4) vacío completo,
(5) flujo de un líquido. (a) 1, 2; (b) 1, 4; (e) 2, 3; (á) 3, 5; (e) 1, 5.

1.2

DEFINICIÓN DE UN FLUIDO

Un fluido es una sustancia que se deforma continuamente cuando se somete a un esfuerzo cortante,
sin importar qué tan pequeño sea ese esfuerzo cortante. Un esfuerzo cortante es la componente de
fuerza tangente a una superficie, y esta fuerza dividida por el área de la superficie es el esfuerzo
cortante promedio sobre dicha superficie. El esfuerzo cortante en un punto es el valor límite de la
fuerza por unidad de área a medida que el área se reduce a un punto.
En la figura 1.1 se ha colocado una sustancia entre dos placas paralelas muy cercanas, tan grandes
que las condiciones en sus bordes pueden ser despreciadas. La placa inferior se fija y se aplica una
fuerza Fa la placa superior, la cual ejerce un esfuerzo cortante F/A sobre cualquier sustancia que se
encuentre entre las placas. A es el área de la placa superior. Si la fuerza F hace que la placa superior
se mueva con una velocidad permanente (diferente de cero) sin importar qué tan pequeña sea la
magnitud de F, la sustancia entre las dos placas es un fluido.
El fluido en contacto inmediato con una frontera sólida tiene la misma velocidad que la frontera;
es decir, no existe deslizamiento en la frontera [1]~. Esta es una observación experimental que ha

1

t la trayectoria libre media es lo distancio promedio que uno moléculo viaja entre colisiones.
f Los referencias numerados se encuentran al final del capítulo.

3

4

CAPÍTULO

•

Mecánica de fluidos
y

---t.Figura 1.1

X

Deformación resultante de lo aplicación de uno fuerzo cortante constante.

sido verificada en numerosas pruebas con diferentes clases de fluidos y de materiales sólidos en las
fronteras. El fluido en el área abcd fluye a la nueva posición ab' e' d, cada una de las partículas de los
fluidos se mueve paralelamente a la placa y la velocidad u varía uniformemente desde cero en la
placa fija hasta U en la placa superior. Los experimentos demuestran que, manteniendo otras cantidades
constantes, Fes directamente proporcional a A y a U y es inversamente proporcional al espesor t. En
forma de ecuación:

AU
F = Jlt

donde ¡.¿ es el factor de proporcionalidad el cual incluye el efecto del fluido particular. Si -r = FIA
para el esfuerzo cortante,

u

'l'=Jlt

La relación U/tes la velocidad angular de la línea ab o la tasa de deformación angular del fluido, es
decir, la tasa de decrecimiento del ángulo bad. También se puede escribir la velocidad angular como
du/dy, ya que tanto Ult como duldy expresan el cambio de velocidad dividido por la distancia en que
éste ocurre. Sin embargo duldy es más general debido a que se mantiene para aquellas situaciones en
las cuales la velocidad angular y el esfuerzo cortante cambian con y. El gradiente de velocidad du/dy
también puede visualizarse como la tasa a la cual una de las capas se mueve con relación a otra
adyacente. En forma diferencial,
!'

du

= f.ldy

(1.2.1)

es la relación entre el esfuerzo cortante y la tasa de deformación angular para el flujo unidimensional
de un fluido. El factor de proporcionalidad 1-L se conoce como la viscosidad del fluido y la ecuación
(1.2.1) es la ley de viscosidad de Newton.
Aquellos materiales diferentes a los fluidos no pueden satisfacer la definición de un fluido. Una
sustancia plástica se deformará una cierta cantidad proporcional a la fuerza, pero no continuamente
cuando el esfuerzo aplicado se encuentra por debajo de su esfuerzo cortante de fluencia. Un vacío
completo entre las placas causará una deformación con una tasa siempre creciente. Si se colocara
arena entre las dos placas, la fricción de Coulomb requerirá una fuerza finita para causar un movimiento
continuo. Por consiguiente, los plásticos y los sólidos se excluyen de la clasificación de fluidos.
Los fluidos se clasifican como newtonianos o no newtonianos. En un fluido newtoniano existe
una relación lineal entre la magnitud del esfuerzo cortante aplicado y la tasa de deformación resultante
[¡.¿en la ecuación (1.2.1) es constante], tal como se muestra en la figura 1.2. En un fluido no newtoniano
existe una relación no lineal entre la magnitud del esfuerzo cortante aplicado y la tasa de deformación
angular. Un plástico ideal tiene un esfuerzo de fluencia definido y una relación lineal constante de r
a duldy. Una sustancia tixotrópica, tal como la tinta de una impresora, tiene una viscosidad que

Propiedades de los fluidos

Esfuerzo
de fluencia
Figuro 1.2

Esfuerzo cortante

r

Diagrama reológico.

depende de la deformación angular inmediatamente anterior de la sustancia y tiene una tendencia a
solidificarse cuando se encuentra en reposo. Los gases y los líquidos más comunes tienden a ser
fluidos newtonianos, mientras que los hidrocarburos espesos y de cadenas largas pueden ser no
newtonianos.
Para propósitos de análisis, frecuentemente se hace la suposición de que un fluido es no viscoso.
Con una viscosidad nula el esfuerzo cortante siempre es cero, sin importar el movimiento del fluido.
Si se considera que el fluido también es incompresible, entonces éste se conoce como un fluido ideal
y se representa gráficamente como la ordenada de la figura 1.2.

EJERCICIOS
1.2.1 Un fluido es una sustancia que (a) siempre se expande hasta llenar cualquier contenedor; (b)
es prácticamente incompresible; (e) no puede someterse a esfuerzo cortante; (d) no puede permanecer
en reposo bajo la acción de cualquier fuerza cortante; (e) tiene el mismo esfuerzo cortante en un
punto sin importar su movimiento.
1.2.2 La ley de viscosidad de Newton relaciona (a) presiones, velocidad y viscosidad; (b) esfuerzo
cortante y tasa de deformación angular en un fluido; (e) esfuerzo cortante, temperatura, viscosidad y
velocidad; (d) presión, viscosidad y tasa de deformación angular; (e) esfuerzo cortante de fluencia,
tasa de deformación angular y viscosidad.

1.3

DIMENSIONES Y UNIDADES

Las unidades consistentes de fuerza , masa, longitud, tiempo y temperatura simplifican notablemente
la solución de problemas en mecánica; también, las deducciones pueden ser llevadas a cabo sin hacer
referencia a un sistema consistente particular si las unidades se utilizan en forma consecuente. Se

5

6

CAPÍTULO

•

Mecánica de fluidos

dice que un sistema de unidades mecánicas es consistente cuando una fuerza unitaria hace que una
masa unitaria experimente una aceleración unitaria. El sistema internacional (SI) ha sido adoptado
en la mayoría de los países y se espera que lo sea en los Estados Unidos en un futuro próximo. Este
sistema tiene el newton (N) como la unidad de fuerza, el kilogramo (kg) como la unidad de masa, el
metro (m) como la unidad de longitud y el segundo (s) como la unidad de tiempo. Con el kilogramo,
el metro y el segundo como unidades básicas, el newton se deriva para satisfacer exactamente la
segunda ley de movimiento de Newton
m

1 N= 1 kg· l -

(1.3. 1)

s2

Hoy en día el conjunto consistente de unidades en los Estados Unidos es la libra (lb) para la
fuerza, el slug para la masa, el pie para la longitud y el segundo (s) para el tiempo. El slug es la unidad
derivada; es la unidad de masa a la cual una libra se acelera a un pie por segundo cuadrado, o
1 lb

= 1 slug ·lp1e
s2

(1.3.2)

En este texto el sistema libra-pie-slug-segundo se llamará sistema común US (USC, por sus siglas en
inglés).
Algunos grupos profesionales de ingeniería en los Estados Unidos utilizan el sistema inconsistente
de unidades libra (lb) fuerza, libra (lb) masa, pie longitud y segundo (s) tiempo. Con el sistema
inconsistente de unidades se requiere una constante de proporcionalidad en la segunda ley de Newton, la cual usualmente se escribe como

m

F =-a
go

( 1.3.3)

Cuando una libra fuerza actúa sobre una libra masa en el vacío con gravedad estándar, la masa se
acelera a 32.174 pies/s2 , o
1 lb = 1 lb m • 32.174 pies

go

s2

de donde g11 puede determinarse:

g0

=

32.174 lbm ·lb/pies·s 2

(1.3.4}..

g0 tiene este valor fijo para este conjunto de unidades, ya sea aplicado bajo condiciones estándar o en

la Luna.
La masa M de un cuerpo no cambia con su localización, pero el peso W de un cuerpo se determina
mediante el producto de la masa y de la aceleración local de la gravedad g:

W = Mg

(1.3.5)

Por ejemplo, donde ~ = 9.806 mis~ un cuerpo con una fuerza de gravedad de 1O N tiene una masa de
M= 10/9.806 kg. En un lugar donde g = 9.7 m/s2, el peso Wes
W

=

lO N
(9.7m/s2 )
2
9.806 rn/s

= 9.892 N

La gravedad estándar, la cual es la aceleración debida a la gravedad a nivel del mar, es 9.806 rn/s2 en
SI. En la parte interna de la cubierta frontal de este texto, se dan varias conversiones para diferentes
sistemas de unidades. Debido a que se presentan en forma de relaciones adimensionales iguales a 1,
pueden ser utilizadas en cualquier lado de la ecuación, como multiplicador o divisor, para convertir
las unidades.

Propiedades de los fluidos
En la tabla 1.1 se muestran las dimensiones y las unidades de los sistemas, así como los valores
para g0 • Las unidades de temperatura, grados Kelvin (K)t y grados Rankine (0 R), se discuten en la
sección 1.6.

Tabla 1.1

Sistemas comunes de unidades y valores de g0

Slskma
Sl

Maa

LoaaUwJ

'nempo

F~

Temperatu.-.

kg

m
pie
pie

S

N

K

5
5

lb
lb

OR
<>R

S

dina

K
K

use

slug

US. inconsistente
Métrico, cgs.
Métrico, mks

lb,
g
kg

k&r

g.
1 ks·lllfN·~1
1 slug·piellb-sl

32.174lb,.·piellb·s 1
1 g-cm/dina.¡,1
9.806lg-m/ksrs1

Las abreviaturas para las unidades SI se escriben en minúsculas para aquellos términos como
horas (h), metros (m) y segundos (s). Cuando la unidad tiene el nombre de una persona, la abreviatura
(pero no el nombre completo) se coloca en mayúsculas; algunos ejemplos son el vatio (W), el pasea)
(Pa) y el newton (N). La abreviatura L para el litro es una excepción, hecha con propósitos de claridad.
Los múltiplos y submúltiplos en potencias de 1()3 se indican mediante prefijos, los cuales también se
abrevian. En la tabla 1.2 se muestran prefijos comunes. Nótese que los prefijos no se pueden repetir:
la forma correcta para I0-9 es el prefijo nano, como en nanómetros; combinaciones de, por ejemplo,
milimicro, aceptadas anteriormente no se usan hoy en día.

h
Tabla 1.2

"

/

':. 1,,/

.........

)

1 Múltiplos

Principales prefijos poro potencias de 1O en unidades SI

PrelijoSI

Abreviatura

Preftjo SI

Abreviatura

mili
micro

01

t()'<~

~~
J()'-12

nano
pico

n

10~

giga

G

Múltiplos
10' !

t~

mega

M

1()1

kilo

k

Jo-l

centi

e

1-'

p

EJERCICIOS
1.3.1 Un objeto tiene una masa de 2 kg y pesa 19 N en una balanza de resortes. El valor de
la gravedad en este lugar. en metros por segundo cuadrado, es (a) 0 .105; ( b) 2 ; (e) 9.5; (d) 19;
(e) ninguna de estas respuestas.
1.3.2 Una fuerza no balanceada de 10 N ejercida sobre una masa de 2 kg produce una aceleración
en m/s2 , de (a) 0.2; (b) 2.0; (e) 5.0; (d) 20.0; (e) ninguna de estas respuestas.
1.3.3 La fuerza de gravedad, en newtons, de una masa de 3 kg en un planeta donde g = 1O mis~ es
(a) 0.30; (b) 3.33; (e) 29.42; (d) 30; (e) ninguna de estas respuestas.
1.3.4 Una presión de 109 Pa puede ser escrita como (a) gPa; (b) GPa ; (e) kMPa; (d) ¡.LPa;
(e) ninguna de estas respuestas.
t En 1967 el nombre grado Kelvin (°K) se cambió por kelvin (K).

7

8

CAPÍTULO

1.4

•

Mecánica de fluidos

VISCOSIDAD

Viscosidad absoluta
La viscosidad de un fluido es una propiedad importante en el estudio del flujo de fluidos. En esta
sección se analizan la naturaleza y las características de la viscosidad al igual que las dimensiones y
los factores de conversión tanto para la viscosidad absoluta como para la cinemática. La viscosidad
es aquella propiedad del fluido mediante la cual éste ofrece resistencia al esfuerzo cortante. La ley de
viscosidad de Newton [ecuación ( 1.2.1)] establece que para una tasa dada de deformación angular
del fluido. el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la viscosidad. La melaza y la brea son
ejemplos de Jos líquidos altamente \'Íscosos: el agua y el aire tienen viscosidades muy pequeñas.
La viscosidad de un gas se incrementa con la temperatura. mientras que la de un líquido disminuye.
Estas variaciones causadas por la temperatura pueden explicarse examinando las causas de la
viscosidad. La resistencia de un fluido al corte. depende de su cohesión y de la tasa de transferencia
de momentum molecular. Un líquido. con moléculas mucho más cercanas que un gas, tiene fuerzas
cohesivas mayores que las de un gas. Por consiguiente la cohesión parece ser la causa predominante
de la viscosidad en un líquido y puesto que disminuye con la temperatura, la viscosidad también lo
hace. Un gas. por otro lado, tiene fuerzas cohesivas muy pequeñas. La mayoría de su resistencia al
esfuerzo cortante es el resultado de la transferencia de momentum molecular.
Un modelo simplificado de cómo la transferencia de momentum causa un esfuerzo cortante
aparente considera dos vagones de ferrocarril idealizados, cargados de esponjas sobre rieles paralelos,
tal como se muestra en la figura 1.3. Se supone que cada vagón tiene un tanque de agua y una bomba
de tal forma que el agua puede dirigirse mediante boquillas formando ángulos rectos con respecto a
las carrileras. En primer lugar, se considera A quieto y B moviéndose hacia la derecha, con el agua de
sus boquillas chocando con A y absorbida por las esponjas. El vagón A e pondrá en movimiento
debido a la componente del momentum de los chorros que es paralela a las carrileras, creando de esta
manera un esfuerzo cortante aparente entre A y B. Ahora. si A está bombeando agua hacia B a la
misma tasa, esta acción tenderá a desacelerar B y resultarán fuerzas cortantes aparentes iguales y
opuestas. Cuando tanto A como B están en reposo o tienen la misma velocidad, el bombeo no ejerce
un esfuerzo cortante aparente en ninguno de los vagones.
Dentro de un fluido siempre existe transferencia de moléculas a través de cualquier superficie
ficticia dibujada en él. Cuando una capa se mueve con respecto a otra adyacente, la transferencia de
momentum molecular mueve momentum de un lado a otro, de tal manera que se genera un esfuerzo
cortante aparente que resiste el movimiento relativo y tiende a igualar las velocidades de las dos
capas adyacentes de forma análoga a la de la figura 1.3. La medida del movimiento de una capa con
respecto a la capa adyacente es duldy.
La actividad molecular causa un esfuerzo cortante aparente en gases, que es más importante que
el de las fuerzas cohesivas, y puesto que la actividad molecular se incrementa con la temperatura, la
viscosidad del gas también.

A

8

Figura 1.3

Modelo que ilustra la transferencia
de momenlum.

Propiedades de los fluidos
Para presiones ordinarias, la viscosidad es independiente de la presión y depende únicamente de
la temperatura. Para presiones muy grandes, los gases y la mayoría de los líquidos muestran variaciones
erráticas de la viscosidad con la presión.
Un fluido en reposo o en movimiento de tal manera que ninguna capa se mueva con respecto a
las capas adyacentes, no generará fuerzas cortantes aparentes, a pesar de la viscosidad, debido a
que duldy es cero a través del fluido. Por consiguiente, en el estudio de la estática de fluidos no se
pueden considerar fuerzas cortantes debido a que ellas no ocurren en un fluido estático, y los
únicos esfuerzos que permanecen son los normales, o presiones. Esto simplifica notablemente el
estudio de la estática de fluidos. debido a que cualquier cuerpo libre de un fluido puede tener
únicamente fuerzas gravitacionales y fuerzas normales a sus superficies que actúan sobre él.
Las dimensiones de la viscosidad se determinan utilizando la ley de viscosidad de Newton
[ecuación (1.2.1)). Resolviendo para la viscosidad¡..¡..
!'

J.1

=

du/dy

e insertando las dimensiones F, L y T para fuerza, longitud y tiempo, respectivamente

r :

FL-~

u : LT- 1

y: L

muestra que¡..¡.. tiene las dimensiones FL-2T. Con la dimensión fuerza expresada en términos de masa,
utilizando la segunda ley de movimiento de Newton, F = MLT 2, las dimensiones de la viscosidad
pueden expresarse como ML- 1T- 1•
La unidad de viscosidad del SI, newton-segundo por metro cuadrado (N·s/m 2) o kilogramo por
metro-segundo (kg/m·s), no tiene nombre. La unidad de viscosidad USC (también sin nombre) es
llb·s/pie2 o 1 slug/pie·s (estas dos son idénticas). Una unidad común de viscosidad en el sistema cgs,
se conoce como el poise (P); este es 1 dina·s/cm2 o 1 g/cm·s. La unidad SI es 10 veces mayor que la
unidad poiset.

Viscosidad cinemática
La viscosidad ¡..t.. frecuentemente se conoce como viscosidad absoluta o viscosidad dinámica para
evitar confundirla con la viscosidad cinemática v, que es la relación de la viscosidad con la densidad
de masa:
V

=

( 1.4.1)

J.1

p

La viscosidad cinemática aparece en muchas aplicaciones, por ejemplo, en el número adimensional
de Reynolds para el movimiento de un cuerpo dentro de un fluido, Vl/v, en donde V es la velocidad
del cuerpo y Les una medida lineal representativa del tamaño de éste. Las dimensiones de v son UT~ 1 •
La unidad SI de la viscosidad cinemática es 1 m 2/s, y la unidad USC es 1 pie2/s. La unidad cgs,
llamada el stoke (St) es 1 cm2/s.
En unidades SI, para convertir de va ¡..¡.., es necesario multiplicar v por p, la densidad en kilogramos
por metro cúbico. En unidades use J.L se obtiene multiplicando V por la densidad en slugs por pie
cúbico. Para cambiar de stokes a poises, se multiplica por la densidad en gramos por centímetro
cúbico, la cual es numéricamente igual a la densidad relativa.

t

Lo conversión de lo unidad de viscosidad USe al SI es

l slug 14.594 kg
pie·s
slug

l pie
= 47 .9 k /m·s
0.3048 m
9

o

l unidad viscosidad use
47.9 unidades viscosidad SI

=

1

9

10

•

CAPÍ T UtO

1Ejemplo

1.1

Mecánica de fluidos

Un líquido tiene una viscosidad de 0.005 kg/m·s y una densidad de 850 kg/m3 • Calcular la
viscosidad cinemática en (a) unidades SI y (b) unidades USC, y (e) la viscosidad en unidades

use.
Solución
(a) v

=

J.1
p

=

(b) v = (5.882 X 10-6 m 2 /s)(

(e)

J..L

=

0.005 kg/m. s
850 kg/m 3

= (0.005 kg/m · s)

5.882 J..Lm2fs
2

1

pie )
0.3048 m

1
slug/pie · s
47.9 kg/m · s

= 6.331 X I0-5 pie 2 /s

= 0.0001044 slug/pie · s

La viscosidad es prácticamente independiente de la presión y depende únicamente de la
temperatura. La viscosidad cinemática de Jos líquidos y de los gases a una presión dada es
sustancialmente una función de la temperatura. En el apéndice C, las figuras C.1 y C.2 muestran
cartas para la determinación de las viscosidades absoluta y cinemática, respectivamente.

1Ejemplo

1.2

En la figura 1.4 un eje lubricado rota dentro de una camisa concéntrica a 1200 rpm. La luz
Bes pequeña con respecto al radio R, de tal manera que se puede suponer una distribución
lineal de velocidad en el lubricante. ¿Cuáles son los requerimientos de potencia para rot&r
el eje? R = 2 cm, L = 6 cm, S= 0.1 mm y¡..¡..= 0.2 N·s/m2 .
Solución

La pérdida de energía, debida al esfuerzo cortante viscoso por unidad de tiempo, impone
los requerimientos de potencia. Esto estará dado por el torque requerido para rotar el eje a
la velocidad designada.
Potencia = Tw
El torque aplicado está dado por el esfuerzo cortante que actúa sobre el área superficial
multiplicado por el brazo de momentum R.
-r

=

u du
f4'

Figura 1.4

dy

=

wR

J.1 8

0 02
·
60 0.0001

= 0.2(1200) 2 7r

Eje que rota en una camisa.

=

5026.5 Nlm 2

Propiedades de los fluidos
T

=

r(2nRL)R

= (5026.5)(2n)(0.02)(0.06)(0.02) = 0.758 Nm

Potencia

= T(J) = 0.758(1200) 2 n = 95.3 W
60

EJERCICIOS
1.4.1

La viscosidad tiene dimensiones (a) FL-' T; (b) FL-' T

1
;

/

(e) FLT -2 ; (d) FUT; (e) FLT 2.

1.4.2 Seleccione el complemento incorrecto. Las fuerzas cortantes aparentes (a) no pueden ocurrir
cuando el fluido está en reposo; (b) pueden ocurrir debido a la cohesión cuando el líquido se encuentra
en reposo; (e) depende del intercambio molecular de momentum; (el) depende de las fuerzas cohesivas;
(e) nunca puede ocurrir en un fluido sin fricción, independientemente de su movimiento.
1.4.3 Las unidades correctas para la viscosidad dinámica son (a) m·s/kg; (b) N·m/s2; (e) kg·s/N;
(d) kg/m·s; (e) N·s/m.
1.4.4 La viscosidad, expresada en poi ses, se convierte en unidades USC de viscosidad multiplicando
por (a) l/479; (b) 479; (e) p; (d) llp; (e) ninguna de estas respuestas.
1.4.5

Las dimensiones de la viscosidad cinemática son (a) FL 2T; (b) ML-' T

(e)

2

1
;

(e) UT 2 ; (d) UT ';

ur - .

1.4.6 Con base en la figura C.l la viscosidad del querosene a 20°C, en newton-segundos por metro
cuadrado es (a) 4 X 10-5 ; (b) 4 X 10-4; (e) 1.93 X 10-3; (d) 1.93 X I0-2; (e) 1.8 X 10- 2•
1.4.7 La viscosidad cinemática para aire seco a 30°C y 760-mm de mercurio (Hg), en metros
cuadrados por segundo, es (a) 1.7 X I0-5 ; (b) 1.7 X IQ-4; (e) 1.73 X lQ-<i; (d) 1.92 X 10 ·5 ; (e) ninguna
de estas respuestas.
1.4.8 Para J.L = 0.06 kg/m·s y una densidad relativa de 0.60, ves, en stokes, (a) 2.78; (b) 1.0;
(e) 0.60; (d) 0.36; (e) ninguna de estas respuestas.
1.4.9 Para J.L = 2.0 X 10·4 slug/pie·s, el valor de J.L en libras-segundos por pie cuadrado es (a) 1.03 X
10-4; (b) 2.0 X 10-''; (e) 6.21 X lQ-4; (d) 6.44 X 10- 3 ; (e) ninguna de estas respuestas.
1.4.10 Para v = 3 X 10 8 m 2/s y p = 800 kg/m3 , J.L es igual a (a) 3.75 X 10-" ; (b) 2.4 X 10 ·5 ; (e) 2.4 X
105 ; (d) 2.4 X 10 12; (e) ninguna de estas respuestas.

1.5

MASA, PESO Y VARIABLES DE CONCENTRACIÓN

Los ingenieros tienen que analizar no solamente fluidos simples con una estructura molecular única
(por ejemplo, agua) sino también mezclas de dos o más componentes que pueden ser diferentes en
estructura molecular pero similares en fase (por ejemplo, agua y aceite) o diferentes tanto en estructura
como en fase (por ejemplo, agua y sedimentos). La medida de la masa y el peso para fluidos simples
son directas mientras que medidas similares para mezclas binarias (dos componentes) o
multicomponentes usualmente requieren de medidas aditivas basadas en fracciones de masa o
relaciones de fracciones de masa.

11

12

CAPÍ T LLO

•

Mecánica de fluidos

Fluidos simples
La densidad p de un fluido se define como su masa por unidad de volumen. Para definir la densidad
en un punto, la masa Am de un fluido contenido en un volumen pequeño AV que rodea dicho punto
se divide por A't/ y se toma el límite a medida que AV tiende a ser el valor é en el cual E es todavía
grande comparado con la distancia media entre las moléculas,
(1.5.1)

Para agua a presión estándar (760-mm Hg) y 4°C (39.2°F), p = 1000 kg/m3 o 1.94 slug/pie3•
El volumen específico V 5 es el inverso de la densidad p. Es decir, es el volumen ocupado por una
masa unitaria de fluido. Por consiguiente,
VS

1

=

( 1.5.2)

p

El peso específico y de un fluido es el peso por unidad de volumen. Éste cambia con la localización,
ya que depende de la gravedad. Por consiguiente,

r = pg

( 1.5.3)

Esta es una propiedad útil cuando se trabaja con estática de fluidos o con líquidos con una superficie
libre.
La densidad relativa S de una sustancia es la relación entre su peso y el peso de un volumen igual
de agua en condiciones estándar. También puede ser expresada como la relación entre su densidad o
su peso específico con aquellos correspondientes al agua.

Mezclas multicomponentes
Suponga que en lugar de un fluido único, otras formas de masa también están contenidas en el
depósito de dicho fluido. Por ejemplo, un lago puede contener diferentes clases de sedimento, oxígeno
disuelto y algunas formas moleculares de nitrógeno y fósforo. La especificación de las medidas de
diferentes masas y pesos puede hacerse ya sea analizando los valores para la mezcla total o las
cantidades de masa y peso para cada clase o fracción de masa.
La densidad de mezcla se define como
11

p

=

I

t:.m¡
lim __,_;_ _
ó'V~é

6,'1;/

(1.5.4)

=

En la ecuación ( 1.5 .4) el subíndice i se refiere a todas las sustancias en la mezcla, ó.m. y p.son la masa
y la densidad de la i-ésima fracciones, respectivamente, y ó. Y, es el volumen total de la i-ésima
fracción.
La fracción de masa de la i-ésima componente no tiene unidad y está definida por
1

(J) .
1

=

1

!::.m,.
P. ó.'!;/ . = __
1

1

pó.'l;/

m

(1.5.5)

y tal como se puede ver, w; no puede ser mayor que l. La concentración de masa se define como
t:.m.
P. sv .
C.=--'= 1
1
'
ó.V
6.'1;/
y tiene unidades de (M/U). La concentración de volumen se define como e 1 = ó.\11 1AV.

( 1.5.6)

Propiedades de los fluidos
Hay que anotar que mientras la densidad de cada material en la mezcla, p,. será una propiedad del
material, w, y e , no son propiedades de la mezcla sino variables que cambian en el espacio y el
tiempo. Al estudiar la literatura técnica existente en diferentes campos, se debe ser cuidadoso al
determinar cuál de las dos medidas relativas está siendo utilizada debido a que la notación simbólica
no es universal entre los diferentes campos del conocimiento. La notación utilizada aquí es la que
comúnmente usan ingenieros civiles y ambientales.
Las unidades de e,se seleccionan con base en la magnitud numérica de la masa de la componente
relativa a la densidad de la mezcla. Por ejemplo, en el análisis de calidad de agua potable o de
aguas residuales es común ver las concentraciones expresadas en unidades de mg/L en lugar de kg/m3 .
Esto obedece a que el valor en las últimas unidades es muy pequeño y causa dificultades cuando
se utiliza en anál isis matemáticos (por ej emplo, multiplicación de números grandes y pequeños).
Un contenido de 10 mg/L de oxígeno disuelto será equivalente a 0.01 g/L, 0.00001 kg/L y
0 .00000001 kg/m' .
Ocasionalmente, ciertos cálculos de fracciones de masas, se usan con tanta frecuencia que se
expresan mediante siglas. Por ejemplo, los términos partes por mil (ppt, por sus siglas en inglés) o
partes por millón (ppm) se refieren a concentración de fracciones de masa, por ejemplo, un contenido
de sal de 24 g por kg de mezcla es
24 g

1 kg

=

24

g

1000 g

= 24 ppt

(1.5.7)

Mientras que fracc iones de sal o sedimentos, a menudo son lo suficientemente grandes como para
permitir el uso de ppt. ciertas variables de calidad del agua tales como fracciones de compuestos
orgánicos o inorgánicos son lo suficientemente pequeñas como para requerir una descripción en
partes por millón (ppm). Por ejemplo, 0.005 g por kg es 0.005 ppt o 5.0 ppm.

Relación entre densidad, temperatura y concentración
Al añadir calor a un volumen dado, la mayoría de los fluidos disminuirán su densidad, mientras que.
como es bien sabido por los oceanógrafos, al añadir sal al agua fresca, es decir. añadir masa. causará
un incremento en la densidad. La relación detallada entre temperatura y densidad para un gas también
depende del estado de la presión, y esta relación se analiza en la siguiente sección.
La relación entre densidad y temperatura o masa añadida para los líquidos también es bien conocida.
Si nuestra atención se concentra en el agua fresca, la relación entre densidad (kg/m3 ) y temperatura
(°C) es
P ..

= 999.939900

+ 4.216485(10 })T - 7.097451(10 3 )T2 +

( 1.5.8)

3.509571(10 5 )T' - 9.9037785(10-li)P
Tal como se muestra en la figura 1.5. el valor máximo de la densidad para el agua fresca, en
condiciones estándar, ocurre a 4°C mientras el congelamiento se produce a 0°C. Esta pequeña
diferencia en densidad, es decir, ¡X,T = 4°C)- ¡X,T =0°C) =(1000.0000 - 999.9399) kg/m3 =0.06 kg/m\
es la responsable de las diferencias físicas importantes en el comportamiento de lagos, ríos y estuarios
durante el ciclo estacional de calentamiento y enfriamiento. De hecho, estas pequeñas diferencias en
densidad causan una complejidad dinámica considerable en cuerpos de agua. Por consiguiente, al
llevar a cabo cálculos de densidad es necesario conservar hasta 6 cifras significativas, para mantener
la exactitud.
La adición de masa en forma de sal o de sedimentos también puede causar cambios en la densidad.
Una relación aproximada entre densidad, temperatura y salinidad, s, (en ppt) para mezclas a baja
presión, tomada de la comunidad oceanográfica [2] es

13

14

C APÍ TULO

•

Mecánica de fluidos

1001

1000

999

"5.

.

~

~

998

997

996

o

Figura 1.5

p(s, T)

5

15
Temperatura (0 C)
lO

20

25

Densidad del agua versus temperatura .

= p". + s{0.824493

- 4.0899(1 0-3 )T + 7 .6438( 1O 5 )T2

-

{1.5a.9)

8.2467(10-7 )T' + 5.3875(10-9 )T4 } + s 312 {-5.72466(10 -' ) +
1.0227(10-4 )T - 1.6546(10-ó )P} + s 2 {4.8314(1Q-4 )}
La adición de sal suprime tanto la temperatura a la cual ocurre la densidad máxima como el punto
de congelamiento del agua; sin embargo esta discusión está por fuera del alcance de este texto, y por
consiguiente se debería consultar un texto de oceanografía.
Tal como se puede ver en la figura 1.5, una porción considerable de la curva de densidad versus
temperatura es lineal. Si el análisis se restringe a una pequeña variación en la densidad alrededor de
una densidad fija o de referencia, entonces se puede utilizar una forma lineal de estas relaciones de
densidad.

p

= p,(l

- f3r !1T)

{1.5.10)

P

= Pr(l

+ f3s !1s)

{1.5.11)

p

= p,(l

+ {3r /1C)

{ 1.5.12)

Aquí {31, f3 } f3 se refieren a los "coeficientes de expansión" de volumen para concentraciones de
temperatura, sal y sedimentos, respectivamente; pr representa la densidad de referencia alrededor de
la cual ocurren las perturbaciones lineales; y D.T, As yAC se refieren a las diferencias en temperatura,
salinidad o concentración, respectivamente, las cuales causan los cambios de densidad. Hay que
tener en cuenta que P, no debe estar cerca del valor máximo de la densidad en la curva temperaturadensidad debido a que en este régimen la relación es no lineal.

1.6

TEMPERATURA Y VARIABLES TERMODINÁMICAS

El contenido de calor en un volumen, AV, de fluido es igual a

QH = pcPT !1T:j

( 1.6. 1)

Propiedades de los fluidos
donde cP es el calor especifico a presión constante y Tes la temperatura absoluta. El calor se mide en
dimensiones de julios (J) en el sistema de unidades SI, pies-lb en el sistema USC y unidades térmicas
británicas (Btu) en el sistema inconsistente americano.
La temperatura absoluta en el sistema SI (y cgs) tiene dimensiones de kelvins (K ) mientras que
la dimensión de temperatura en el sistema británico está dada en grados Rankine (0 R). El uso de
escalas relativas de temperatura es más común, es decir, los grados centígrados (°C) y los grados
Fahrenheit (°F). Estos dos sistemas se relacionan tal como se muestra a continuación
0

R

= (°F)

K

=

+ 460

(1 .6.2)

(°C) + 273

(1.6.3)

Las temperaturas centígrados y Fahrenheit están relacionadas por

op = 2coc)

+ 32

(1.6.4)

oc = ~(0 f -

32)

(1.6.5)

5

9

El calor específico a presión constante, cP y su compañero el calor específico a volumen constante,
e, , son propiedades que describen la energía interna del volumen, particularmente para gases ideales.
Éstos se pueden entender en forma elemental como capacidades de calor, dado que cPrepresenta la
cantidad de calor que debe añadirse a una masa unitaria de fluido para aumentar su temperatura una
unidad. En condiciones estándar, 4187 J de calor aumentan la temperatura de 1 kg de agua 1 K,
mientras que la adición de 1 Btu de calor aumenta la temperatura de una lb-masa de agua 1 grado
Fahrenheit. Las unidades son Jlkg·K, pie-lb/slug·0 R o Btu/lbm·0 R. En el apéndice C se encuentran
valores para gases seleccionados. Se debe tener especial cuidado asegurándose que g 0 haya sido
utilizada si las unidades de masa están dadas en slugs. Para un gas ideal e,. y e,, están relacionados por
(1.6.6)

y la relación de calores específicos, c,Jc,, se define como k el cual tiene un valor de 1.4 para muchos
gases (ver apéndice C).
Otras dos variables utilizadas en termodinámica son la energía intrínseca, u··. y la entalpía. h. La
energía intrínseca depende de p, p y T y es la energía por unidad de masa debido a las fuerzas de
escala molecular y a los espaciamientos moleculares. La entalpía se define como

h

= u*'

+ plp

(1 .6 .7)

y se utiliza en esta forma debido a su presencia frecuente en cálculos de termodinámica.

1.7

PRESIÓN Y UN GAS PERFECTO

Tal como se desarrollará en el capítulo 2, la presión en un punto es causada por una fuerza normal
que empuja contra un plano definido en el fluido o contra una superficie plana que está en contacto
con el fluido. La presión en un punto es la relación entre la fuerza normal y el área del plano a medida
que dicha área se aproxima a un valor muy pequeño que incluya el punto. La presión, p , tiene unidades
de fuerza por unidad de área, las cuales pueden ser newtons por metro cuadrado, llamadas pascales
(Pa), libras por pie cuadrado (psf) o libras por pulgada cuadrada (psi).
Normalmente los líquidos no pueden soportar esfuerzos de tensión porque se vaporizarían. Por
consiguiente, las presiones absolutas utilizadas en este libro nunca son negativas, debido a que esto

15

16

CAPÍ T ULO

•

Mecánica de fluidos

implicaría que el fluido está soportando un esfuerzo de tensión. Con frecuencia, los líquidos pueden
soportar una presión considerable o una fuerza de compresión con un pequeño o ningún cambio
observable en la densidad. Sin embargo, no existen relaciones universales entre la presión y la densidad
para un líquido.
Los gases responden a cambios en la presión o a fuerzas de compresión. Para gases ideales se
puede establecer en forma explícita una relación entre la presión y la densidad. El gas perfecto, usado
de aquí en adelante, se define como una sustancia que satisface la ley del gas perfecto
pv,

= RT

(1.7. 1)

y que tiene calores específicos constantes; pes la presión absoluta, v, es el volumen específico, R es
la constante del gas y Tes la temperatura absoluta. El gas peifecto debe distinguirse cuidadosamente
del fluido ideal. Un fluido ideal no tiene fricción y es incompresible. El gas perfecto tiene viscosidad
y por consiguiente puede desarrollar esfuerzos cortantes. y es compresible de acuerdo a la ecuación
(1.7.1 ).
La ecuación (l. 7.1) es la ecuación de estado para un gas perfecto. Se puede escribir como
p

= pRT

( 1.7.2)

Las unidades de R pueden determinarse de esta ecuación cuando se conocen las otras unidades. Para
p en pascales, p en kilogramos por metro cúbico, y Ten kelvins (K)

R
Para unidades use, 0 R

=

m1
N
-m 2 kg·K

-

=

m·N
kg· K

o

m·Nikg·K

= op + 459.6

R

lb
=pie2

pie 3
slug· 0 R

=

pie ·lb
slug· 0 R

o

pie ·lb/slug · 0 R

=

pie ·lb
lb m · 0 R

O

pie · lb/lb m· 0 R

Para p en libras masa por pie cúbico
R

lb
=pie 2

pie 3
lb m· 0 R

La magnitud de R en slugs es 32. 174 veces mayor que en libras masa. En la tabla C.3 del apéndice C
se dan los valores de R para algunos gases comunes.
Los gases reales por debaj o de la presión crítica y por encima de la temperatura crítica tienden a
obedecer la ley del gas perfecto. A medida que la presión se incrementa, aumenta la discrepancia y se
complica cerca al punto crítico. La ley del gas perfecto incluye tanto la ley de Charles como la de
Boyle. La ley de Charles establece que para una presión constante, el volumen de una masa dada de
gas varía proporcionalmente con su temperatura absoluta. La ley de Boyle (ley isotérmica) establece
que para una temperatura constante la densidad varía directamente con la presión absoluta. El volumen
't/ de m unidades de masa de gas es mv ; por consiguiente

•

p"i/ = mRT

(1.7.3)

Algunas simplificaciones son el resultado de escribir la ley del gas perfecto en una base molar. Un
kilogramo mol de gas es el número de kilogramos masa de gas igual al peso molecular; por ejemplo,
un kilogramo mol de oxígeno O~ es 32 kg. Con v\ siendo el volumen por mol. la ley del gas perfecto
se convierte en
pv, =M RT

(1.7.4)

si M es el peso molecular. En general, si n es el número de moléculas de gas en el volumen 't/,
entonces
p"i/

= nM RT

(1.7.5)

Propiedades de los fluidos

17

debido a que nM = m. Ahora, según la ley de Avogadro, volúmenes iguales de gases, a la rrúsma
temperatura y presión absolutas, tienen el mismo número de moléculas; por consiguiente, sus masas
son proporcionales a los pesos moleculares. Utilizando la ecuación (1.7 .5) se ve que MR debe ser
constante, debido a que p'VInT es el mismo para cualquier gas perfecto. El producto MR, conocido
como la constante universal del gas, tiene un valor que depende únicamente de las unidades utilizadas.
Este es
MR

= 8312 m·Nikg·mol · K

(1.7.6)

La constante del gas R puede ser deterrrúnada de
R

=

8312
--m·Nikg ·K

(1.7.7)

M

En unidades USC
. · lb/s1ug· OR
R -- 49,709 p1e
M

(1.7.8)

En unidades de libras masa
R =

1545

0
M pie ·lb/lb m · R

(1.7.9)

de tal manera que al conocer el peso molecular se puede encontrar el valor de R. La tabla C.3 del
apéndice C, muestra los pesos moleculares de algunos gases comunes. En el capítulo 3 se introducen
algunas relaciones y definiciones adicionales utilizadas en el flujo de gases perfectos.

Un gas con un peso molecular de 44 se encuentra a una presión de 0.9 Mpa y a una
temperatura de 20°C. Deterrrúnar su densidad.

Ejemplo 1.3

Solución

De la ecuación (1.7 .7)
R = 8312 = 188.91 m·Nikg ·K

44

Entonces, de la ecuación (1.7.2)
0.9 X 106 N/m2
(188.91 m· N/kg · K)(273 + 20 K)

= 16.26 kg/m 3

EJERCICIOS
1.7.1

Un gas perfecto (a) tiene viscosidad cero; (b) tiene viscosidad constante; (e) es incompresible;
pp = RT; (e) no cumple ninguno de estos principios.

(d) satisface

1.7.2 El peso molecular de un gas es 28. El valor de R en metros-newtons por kilogramo-kelvin es
(a) 29.7; (b) 297; (e) 2911 ; (d) 83 12; (e) ninguna de estas respuestas.

1.7.3 La densidad del aire a l0°C y 1-Mpa absoluta (abs) en unidades SI es (a) 1.231; (b) 12.31;
(e) 65.0: (d) 118.4; (e) ninguna de estas respuestas.
1.7 .4 ¿Cuántos kilogramos masa de gas monóx.ido de carbono a 20°C y 200-kPa abs están contenidos
en un volumen de 100 L? (a) 0.00023; (b) 0.23; (e) 3.367; (d) 3367; (e) ninguna de estas respuestas.

18

CAPÍTULO

•

Mecánica de fluidos

1.7.5 Un recipiente contiene 1-kg de aire a 30°C y 9-MPa abs. Si se añaden 1.5-kg de aire y la
temperatura fmal es ll0°C, la presión absoluta final es (a) 7.26 MPa; (b) 25.3 MPa; (e) 73.4 MPa;
(d) indeterminable; (e) ninguna de estas respuestas.

1.8

MÓDULO DE ELASTICIDAD VOLUMÉTRICO

En la sección precedente. la compresibilidad de un gas perfecto se describió mediante la ley del gas
perfecto. Para la mayoría de los propósitos un líquido puede considerarse como incompresible, pero
para aquellas situaciones que involucren cambios súbitos o grandes en la presión, la compresibilidad
se vuelve importante. La compresibilidad de líquidos (y de gases) también es importante cuando se
involucran cambios en la temperatura, por ejemplo, en el caso de la convección libre. La
compresibilidad de un líquido se expresa mediante su módulo de elasticidad volumétrica. Si la presión
de un volumen unitario de líquido se incrementa en dp, esto causará un decrecimiento en el volumen
de -eN; la relación -dp/cN es el módulo de elasticidad volumétrica K. Para cualquier volumen V de
líquido
dp
K= - - cft//':1

Como eNN es adimensional, K se expresa en unidades de p. Para agua a 20°C (tabla C.l, apéndice
C) K= 2.2 GPa o, de la tabla C.2, K= 311,000 lb/pulg2 para agua a 60°F.
Para hacerse una idea acerca de la compresibilidad del agua, considérese la aplicación de 0.1
MPa (alrededor de 1 atm) a un metro cúbico de agua.

-cftl = V dp = (1.0 m 3 )(0.1 MPa)
K
2.2 GPa

=

1
- - - m3

22,000

o alrededor de 45.5 cm3 . A medida que el líquido se comprime, su resistencia a la compresión adicional
se incrementa. A 3000 atm el valor de K para el agua se duplica.

1Ejemplo

1.4

Un líquido comprimido en un cilindro tiene un volumen de !litro (L = 1000 cm1 ) a 1 MN/m~
y un volumen de 995 cm3 a 2 MN/m2• ¿Cuál es su módulo de elasticidad volumétrico?
Solución

óp
K =---=

óVM

(2 - 1) MN/m 2

(995 - 1000)/1 000

=

200MPa

Para la mayoría de los ingenieros civiles y ambientales, el agua se considera esencialmente
incompresible; sin embargo, las comunidades oceanográficas y limnológicas con frecuencia trabajan
con profundidades de agua suficientemente grandes para generar pequeños pero importantes cambios
en el volumen debido a la compresión. Dos consecuencias prácticas son: la variación de la densidad
con la temperatura y la sal deben modificarse para incluir la presión local, y los cambios en volumen
pueden dar como resultado lecturas irregulares de las concentraciones medidas en aguas profundas,
donde los datos fueron tomados, con respecto al análisis realizado a bordo.
La corrección de la función de densidad por causa de la compresión está fuera del alcance de este
texto y se puede encontrar en cualquier libro de oceanografía moderna. A continuación se muestra un
ejemplo de anomalía en la medición de concentración.

Propiedades de los fluidos

Con respecto al ejemplo 1.4, suponer que el cilindro es una botella muestreadora de calidad
de agua utilizad a para recolectar muestras a una profundidad predeterminada. A
profundidades altas, la botella muestreadora tiene un menor volumen para colectar (995
cm' ) debido a la compresión. Suponer que el análisis revela que 15 mg de sedimento han
sido recolectados. ¿Cuál sería la diferencia en los datos de concentración medidos a bordo
del buque donde la presión es atmosférica con respecto a las profundidades in-situ donde la
muestra fue recogida?

Ejemplo 1.5

Solución

A bordo:
c abordu

=

15 mg
1L

= 1.5( 1Q- 2 ) kg/m '

Sitio de recolección:

c~iho

=

15 mg
0.995 L

= 1.507(10- 2 ) kg/m·1

En otras palabras, a pesar de que la diferencia es pequeña, la información in-situ para la
concentración es mayor que a bordo, debido al efecto de la compresión de volumen. Este problema
se vuelve más pronunciado cuando se están midiendo concentraciones químicas muy pequeñas, como
por ejemplo. para propósitos de regulación.

EJERCICIOS
1.8.1 El módulo de elasticidad volumétrico K para un gas a temperatura constante T0 está dado por
(a) p/p; (b) RT0 ; (e) pp; (d) pRT0 ; (e) ninguna de estas respuestas.
1.8.2

El módulo de elasticidad volumétrica (a) es independiente de la temperatura; (b) se incrementa con la presión; (e) tiene dimensiones de llp; (d) es mayor cuando el líquido es más compresible;
(e) es independiente de la presión y la viscosidad.

1.8.3 Para un incremento de 70 atm en la presión, la densidad del agua ha aumentado en porcentaje,
de aproximadamente (a) 11300; (b) 1/30; (e) 113; (d) 112; (e) ninguna de estas respuestas.
Una presión de 1 MPa aplicada a 300 L de líquido causa una reducción en volumen de 0.6 L.
El módulo de elasticidad volumétrica en GPa es (a) -0.5; (b) 0.5; (e) 50; (d) 500; (e) ninguna de estas
respuestas.

1.8.4

1.9

19

PRESIÓN DE VAPOR

Los líquidos se evaporan porque las moléculas se escapan desde la superficie líquida. Las moléculas
de vapor ejercen una presión parcial en la superficie, conocida como presión de vapor. Si el espacio
por encima del líquido se encuentra confinado, después de un tiempo suficientemente largo, el número
de moléculas de vapor que chocan contra la superficie líquida y se condensan es exactamente igual al
número de moléculas que escapan en cualquier intervalo de tiempo y, por consiguiente, existe un
equilibrio. Debido a que este fenómeno depende de la actividad molecular, la cual es una función de
la temperatura, la presión de vapor de un líquido dado depende de la temperatura y se incrementa con

20

•

CAP Í T U LO

Mecánica de fluidos

cualquier aumento de ésta. Cuando la presión por encima del líquido es igual a la presión de vapor
del líquido, se produce la ebullición. Por ejemplo, la ebullición del agua puede ocurrir a temperatura
ambiente si la presión se reduce suficientemente. A 20°C el agua tiene una presión de vapor de
2.451-k.Pa absoluta y el mercurio tiene una presión de vapor de 0.173-Pa absoluta.
En muchas situaciones de flujo de líquidos es posible producir presiones muy bajas en ciertos
lugares del sistema. En tales circunstancias. las presiones pueden ser iguales o menores que la presión
de vapor. Cuando esto ocurre, el líquido se convierte rápidamente en vapor. Este fenómeno se conoce
como cavilación. Se forma una bolsa o caYidad de vapor en expansión rápida, la cual usualmente es
arrastrada desde su punto de origen y entra a regiones en donde el flujo tiene presiones mayores que
la presión de vapor. La cavidad colapsa. Este crecimiento y decaimiento de burbujas de vapor afecta
el comportamiento de bombas hidráulicas y turbinas y puede erosionar partes metálicas dentro de la
región de cavitación.

EJERCICIO
1.9.1

La presión de vapor del agua a 30°C. en pascales, es (a) 0.44; (h) 7.18; (e) 223; (d) 43 15;
(e) ninguna de estas respuestas.

1.10 TENSIÓN SUPERFICIAL
En la interface entre un líquido y un gas. o dos líquidos no miscibles, parece formarse una película o
capa especial en el líquido, aparentemente deb1da a la atracción de las moléculas del líquido por
debajo de la superficie. Colocar una pequeña aguja sobre una superficie de agua en reposo y observar
que es soportada por la película, es un experimento ~encillo.
La formación de esta película puede visualizar e con base en la energía superficial o el trabajo
por unidad de área requerido para lleYar las moléculas a la superficie. La tensión superficial entonces
es la fuerza de tensión requerida para formar la película. obtenida dividiendo el término de energía
superficial por unidad de longitud de la película en equilibrio. La tensión superficial del agua varía
entre 0.074 N/m a 20°C hasta 0.059 N/m a 100°C. En la tabla 1.3 están dadas tensiones superficiales,
en conjunto con otras propiedades, para algunos líquidos comunes.

Tabla 1.3

Propiedades aproximados de líquidos comunes a 20•C y presión atmosférico
estándar

Uquido

Alcohol, etílico
Benceno
Tetracloruro de
carbono
Querosene
Mercurio
Petróleo
Crudo
Lubricante
Agua

Densidad
Módulo de
relativa S elasticidad volumétrica K,
GPa

Presión de
vaporp ••

0.79
0.88

1.21

1.03

kPa
5.86
10.0

1.59
0.81
13.57

1.10

13.1

26.20

0.00017

0.85-0.93
0.85-0.88

t En contacto con aire.

1.00

2.2

2.45

Tensión
superllclalt u,
N/m

0J)223
0.0289
0.0267
0.023-0.032

9.51
0.023-0.038
0.023-0.038
0.074

Propiedades de los fluidos

21

h =elevación o depresión capilar, mm

o

§ 20

i.2

2

3

4

-3c.. 0.8 H~--:J,.<:_¡....o.....:..¡----1---+--+--l

<>

-o

g
<>

~ 10

a

5

0.02

0.04

0.06

0.1 o

0.08

0.12

0.14

0.16

0. 18

0.20

h = elevación o depresión capilar, pulg.

Figura 1.6

Capilaridad en tubos de vidrio circulares. {Con autorización de P. L. Daugherfy.

"Hydraulics", McGraw-Hi/1, New York, 1937).

La acción de la tensión superficial es incrementar la presión dentro de una pequeña gota de
líquido o dentro de un pequeño shorro de líquido. Para una pequeña gota esférica de radio r la
presión interna p necesaria paraAJalancear la fuerza de tensión debida a la tensión superficial a se
calcula en función de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre semiesférico (ver sección 2.6),
pn r 2

= 2n ra

o p

2a

=-

r

Para un chorro cilíndrico de radio r, se puede aplicar la ecuación de tensión superficial [ecuación
(2.6.5)]:
p

=

r

Ambas ecuaciones muestran que la presión se incrementa para radios muy pequeños tanto de la gota
como del cilindro.
La atracción capilar es causada por la tensión superficial y por el valor relativo de la adhesión
entre líquido y sólido con respecto a la cohesión del líquido. Un líquido que moja el sólido tiene
mayor adhesión que cohesión. La acción de la tensión superficial en este caso hace que el líquido
suba dentro de un pequeño tubo vertical que se encuentra parcialmente sumergido en él. Para líquidos
que no mojan el sólido, la tensión superficial tiende a deprimir el menisco en un pequeño tubo
vertical. Cuando se conoce el ángulo de contacto entre el líquido y el sólido, la altura capilar puede
calcularse para una forma supuesta del menisco. La figura 1.6 muestra la altura capilar para agua y
mercurio en tubos circulares de vidrio, en contacto con aire.

El tubo cónico de la figura 1.7 tiene su eje horizontal y contiene una gota alargada de
líquido, tal como se muestra. Encontrar la fuerza que tiende a mover la gota hacia la derecha
para ángulos a entre O y 12°; r = 3 mm, x = 15 mm, 8 = 25° y a= 0.05 N/m.
Solución

Para la cara izquierda de la gota dentro del tubo cónico donde el radio es r, la fuerza está dada
por 2n ra. La componente de fuerza a lo largo del eje longitudinal x es 2n ra cos( 8- a). El
balance de fuerzas en la dirección x arroja:
F

= 2mr[(r

+ x tana) cos(8 + a) - r cos(8 - a)]

Ejemplo 1.6

22

CAP Í TU LO

•

Mecánica de fluidos

~------x---------

Figura 1.7

Gota en un

tubo cónico.

Una calculadora o una hoja de cálculo puede utilizarse para producir los siguientes resultados:
a , grad

o

3

F(lOf, N

o

176

6
341

9

12
634

PROBLEMAS
1.1
Si aire a temperatura y presión estándar tiene por el orden de 10 18 moléculas por milímetro
cúbico, estimar la trayectoria libre media, t!J.s, utilizando la información dada en la sección l. l. El
régimen de flujo estudiado en este libro, conocido como dinámica de gases, ¿es válido para cuerpos
de qué longitud característica, t? Suponer que la relación apropiada es mayor que 1OO.
1.2
Clasificar la sustancia que tiene las siguientes tasas de deformación y esfuerzos cortantes
correspondientes:
duldv,radls
T,

1.3

O

3

J5

kPa

20

30

Clasificar las siguientes sustancias (las cuales se mantienen a temperatura constante):

(a)

duldy, rad/s

o

3

4

T, tblpie2

2

4

4

(h)
du/dy, radls

o

o.s

1.1

1.8

T, N/m~

o

2

4-

{)

(e)
cluldy, rad/s

o

T , U:l/pie2

o

~

Propiedades de los fluidos

Figura 1.8

Problema 1.4.

1.4
Un fluido newtoniano fluye hacia abajo, a lo largo de un plano inclinado, formando una
lámina delgada de espesor t (figura 1.8). La superficie superior se encuentra en contacto con aire, el
cual casi no ofrece resistencia al flujo. Utilizando la ley de viscosidad de Newton, decidir qué valor
de duldy, donde y se mide perpendicular al plano inclinado, debe existir en la superficie superior. ¿Se
esperaría una variación lineal de u con respecto a y?
1.5

¿Qué clase de materiales reológicos son la pintura y la grasa?

1.6

Determinar el peso en libras de una masa de 3 slugs en un lugar donde g

=31.7 pies/s2•

1.7
Cuando se utilizan un dinamómetro y una balanza estándar, se encuentra que la atracción
gravitacional de un cuerpo equivale a la de dos de los pesos de una lb de la balanza en un lugar donde
g = 31.5 pies/s2• ¿Cuál es el peso del cuerpo en un dinamómetro correctamente calibrado (al nivd del
mar) en este lugar?
Una masa de gasolina de 450 kg se encuentra almacenada en un tanque. ¿Cuál es su peso en
1.8
newtons y en libras en la superficie de la Tierra? ¿Cuál sería la masa y el peso si estuviera localizada
en la superficie de la Luna donde la aceleración local debida a la gravedad es aproximadamente 1/6
de la correspondiente a la superficie de la Tierra?
1.9
En otro planeta, donde la gravedad estándar es 3 mls2, ¿cuál debería ser el valor de la constante
de proporcionalidad g0 en términos de kilogramo fuerza, gramo, milímetros y segundos?
1.10

Una balanza de resorte correctamente calibrada registra el peso de un cuerpo de 2 kg como

17 .O N en un lugar lejos de la Tierra. ¿Cuál es el valor de g en ese lugar?
1.11
¿El peso de una bolsa de 20 N de harina a nivel del mar denota la fuerza o la masa de la
harina? ¿Cuál es la masa de la harina en kilogramos? ¿Cuál es la masa y el peso de la harina en un
lugar donde la aceleración de la gravedad es 117 de la correspondiente a la estándar de la Tierra?
Un fluido newtoniano se encuentra en el espacio entre un eje y una camisa concéntrica.
1.12
Cuando se aplica una fuerza de 600 N a la camisa en forma paralela al eje, la camisa adquiere una
velocidad de 1 mis. Si se aplica una fuerza de 1500 N, ¿cuál será la velocidad que adquiere la camisa?
La temperatura de la camisa permanece constante.
1.13
Convertir 10.4 unidades SI de viscosidad cinemática a unidades USC de viscosidad dinámica
si S= 0.85.
1.14
Un esfuerzo cortante de 4 N/m2 produce una deformación angular de 100 rad/s en un fluido
newtoniano. ¿Cuál es la viscosidad?
1.15
Una placa localizada a una distancia de 0.5 mm de una placa fija se mueve a una velocidad
de 0.25 mis y requiere una fuerza por unidad de área de 2 Pa (N/m2) para mantener esta velocidad.
Determinar la viscosidad fluida de la sustancia entre las placas, en unidades SI.

23

24

CAP Í TU LO

•

Mecánica de fluidos
3 pulg diam
V= 0.4 pies/s

20 Jb

1-s
Figura 1.9

1.16

0.003 pulg
pulgJ

Problema 1.16.

Determinar la viscosidad del fluido entre el eje y la camisa mostrados en la figura 1.9.

1.17
Un volante con un peso de 600 N tiene un radio de giro de 300 mm. Cuando rota a 600 rpm,
su velocidad se reduce en 1 rprnlrnin debido a la viscosidad del fluido entre la camisa y el eje. La
longitud de la camisa es 50 mm; el diámetro del eje es 20 mm; la luz radial es 0.05 mm. Determinar
la viscosidad del fluido.
1.18
Un cilindro de acero de 25 mm de diámetro y 300 mm de longitud cae, debido a su propio
peso, a una tasa uniforme de 0.1 m/s dentro de un tubo con un diámetro ligeramente mayor. Entre el
cilindro y el tubo hay una película de aceite de castor de espesor constante. Determinar la luz entre el
tubo y el cilindro. La temperatura es 38°C. La densidad relativa del acero es 7.85.
Un pistón de 60.00 mm de diámetro se mueve dentro de un cilindro de 60.10 mm. Determinar
1.19
el porcentaje de decrecimiento de la fuerza necesaria para mover el pistón cuando el lubricante se
calienta de O a 120°C. Utilizar la viscosidad de petróleo crudo de la figura C.l, apéndice C.

1.20
Un cubo de 12 kg se desliza hacia abajo a lo largo de un plano inclinado que hace un ángulo
de 30° con respecto a la horizontal. Una película de fluido de 0.1 mm de espesor separa el sólido y la
superficie. La viscosidad del fluido es 0.04 N ·s/m2• Suponiendo que la distribución de velocidad en la
película es lineal, encontrar la velocidad terminal del bloque. El área del cubo en contacto con la
película es 0.25 m2•
1.21
¿Cuánto más grande es la viscosidad del agua a ooc que a 100°C? ¿Cuánto más grande es la
viscosidad cinemática para el mismo rango de temperatura?
1.22
Un fluido tiene una viscosidad de 6 cP y una densidad de 50 lbm /pie3 . Determinar su viscosidad
cinemática en unidades use y en stokes.
1.23
Un fluido tiene una densidad relativa de 0.83 y una viscosidad cinemática de 4(10)-4 m 2/s.
¿Cuál es su viscosidad en unidades USC y SI?
1.24
Un cuerpo con un peso de 120 lb con un área superficial plana de 2 pies2 se desliza hacia
abajo a lo largo de un plano inclinado lubricado que hace un ángulo de 30° con respecto a la horizontal. Para una viscosidad de 0.002 lb·s/pie2 y una velocidad del cuerpo de 3 pies/s, determinar el
espesor de la película de lubricante.
1.25 _ ¿Cuál es la viscosidad de la gasolina a 25°C en paises? Utilice la figura C.l apéndice C.

1.26
Un líquido tiene un peso específico de 48lb/pie3 y una viscosidad dinámica de 3.05 lb·s/pie2 •
¿Cuál es la viscosidad cinemática?
1.27
¿Cuál es el volumen específico en pies cúbicos por libra masa y pies cúbicos por slug de una
sustancia que tiene una densidad relativa de 0.75?
1.28

¿Cuál es la relación entre el volumen específico y el peso específico?

1.29
La densidad de una sustancia es 2.94 g/cm3. En unidades SI, ¿cuál es su (a) densidad relativa,
(b) volumen específico y (e) peso específico?

Propiedades de los fluidos
1.30

Calcular el valor de la constante de gas R en unidades SI siR = 1545/M pie·lb/lb"'· 0 R.

1.31
¡oc?

¿Qué cantidad de energía térmica se necesita para elevar la temperatura de un litro de agua

1.32
Una bolsa de aire se infla aproximadamente con 0.15 kg de gas en 50 ms. Si el cambio de
temperatura es alrededor de 200°C, calcular la potencia promedio asociada con este desarrollo.
1.33
Una fuerza expresada mediante F = 41 + 3j + 9k actúa sobre un área cuadrada de 2 por 2
pulgadas en el plano xy. Descomponer esta fuerza en sus componentes normal y cortante. ¿Cuáles
son la presión y el esfuerzo cortantes? Repita estos cálculos para F = -4i + 3j- 9k.
1.34
Una "botella Niskin" se utiliza para muestrear agua en un punto localizado a 30m por encima
del fondo, en un sitio a 100m de profundidad en el Golfo de México. Cuando se toma la muestra, la
botella se trae inmediatamente a la superficie a bordo de un barco. La temperatura de la muestra es de
ll.6°C. Utilizando el valor típico de salinidad para el agua del Golfo de México de 33 ppt, ¿cuál es
la densidad del agua en el punto de muestreo?
1.35
Para el problema anterior se determinó que existe 1.42 g de sedimento en la muestra. La
distribución de tamaños del sedimento en suspensión se determina utilizando un analizador de tamaño
de partículas tipo láser (ver capítulo 9) con los siguientes resultados:

fe.;,;
1
2
3
4
S
6
7
8
9

JO

..

.. .........
)

l"ned6e

•...-.rt

<lO
18

0.1650

2S

70

0.2650
0.1500
0.0850
0.0465
0.0250
0.0220

80
90

0.0195
0.0110

30
40

so
60

0.2100

t I • 1.0000

Completar la tabla determinando la masa, el volumen y la concentración para cada uno de los
componentes de la muestra (incluyendo el componente de agua salada) y determinar la densidad de
la mezcla. Suponer que el sedimento es cuarzo.
1.36
Una represa contiene una mezcla de dos componentes, agua y sedimentos. La densidad del
agua es p... y la de las partículas de sedimento es p1 Suponiendo mezcla completa, encontrar la densidad
de la mezcla, pm, si la fracción de masa de sedimento es ws .

e

1.37
Un embalse contiene una mezcla multicomponente de agua y varias especies. La densidad
del agua es P,.. y la densidad de cada una de las especies es P; (donde i = 1, 2, ... , n). Suponiendo
mezcla completa, encontrar la densidad de la mezcla, p"' (agua y especies), si la fracción de masa de
cada especie es wr Esto es una generalización del problema 1.36.
1.38
La densidad del agua dulce depende de la temperatura tal como se describe mediante la
ecuación (1.5.8). Demostrar que la máxima densidad del agua dulce ocurre a T= 4°C y encontrar ese
valor.

25

26

C A P Í T U LO

1.39

•

Mecánica de fluidos

Para una mezcla multicomponente de n especies demostrar que:

m, + m2 + . . . + m"

=1

e, + e2

+ . . . + e" = p,.
donde Pm es la densidad de la mezcla y w, y e ; son la fracción de masa y la concentración de las
especies, i, respectivamente.
1.40
Para una mezcla binaria de las especies A y B, con w/w 8 =Á, calcular Á, de tal manera que
la densidad de la mezcla (p111) sea máxima. ¿Cuál es este valor máximo?

1.41

Al analizar una muestra de agua residual en el laboratorio, se obtuvieron los siguientes datos:

Si la densidad relativa de los sólidos suspendidos es 1.58, determinar el volumen y la concentración
de los sólidos suspendidos, así como la densidad de la muestra del agua residual.

1.42
En un mismo sitio y en el mismo instante de tiempo se tomaron tres muestras de aguas
residuales; después de analizarlas en el laboratorio se obtuvieron los siguientes resultados:
j l\laestra

Voaatea (IIIL)

1

;s

2
3

83.2

80

Mua de sólidos suspeadldos (gl
23.0
35.6
Vaso de vidrio roto

Las tres muestras tienen la misma densidad (p), y la primera contiene sólidos con una densidad
relativa de l. 93. Encontrar la densidad p y la concentración de sólidos suspendidos en las tres muestras.
Tomar la fracción de masa de sólidos en la muestra tres, como el promedio de las primeras dos.

1.43
En una planta de procesamiento de jugos, se produce una mezcla de jugo concentrado de
naranja, piña y kiwi mediante el paso de una mezcla de jugo fresco a través de un evaporador. Las
fracciones de masa de los sólidos contenidos en la mezcla son: w . = 6.7 %, w .• = 4.35% y w, . .
naranJa
~""
= 7.83 %. En el evaporador se elimina el agua y la fracción de masa total de sóli os se incrementa a
wT =48.45 %. Si la mezcla de jugo fresco se conduce al evaporador a una tasa de 850 kglh (1.43 m 3/h),
determinar:

J'"a

(a) La concentración de naranja, piña y k.iwi en el jugo fresco.
(b) La concentración de naranja, piña y kiwi en el jugo concentrado.
(e)

La densidad del jugo fresco.

(d) La densidad del jugo concentrado.

1.44
Un gas a 20°C y 0.2-MPa abstiene un volumen de 40 L y una constante de gas de R = 210
m·Nikg·K. Determinar la densidad y la masa del gas.
1.45

¿Cuál es el peso específico del aire a 40-kPa abs y 30°C?

1.46

¿Cuál es la densidad de vapor de agua a 0.4-MPa abs y l5°C en unidades SI?

1.47
Un gas que tiene un peso molecular 28 tiene un volumen de 4.0 pies3 y una presión y
temperatura de 2000 psfa (lb/pies2 abs) y 600°R respectivamente. ¿Cuáles son su volumen y su peso
específicos?
,¡

Propiedades de los fluidos
Un kilogramo de hidrógeno se encuentra confinado en un volumen de 150 La -40°C. ¿Cuál
1.48
es la presión?
1.49
Una llanta de automóvil tiene un volumen de 20 L cuando la presión del aire es 180 kPa y la
temperatura es 21 °C. ¿Cuál es la densidad y el peso del aire? Después de rodar durante dos horas, la
temperatura de la llanta ha aumentado 30 grados. Estimar la presión en la llanta y expresar cualquier
suposición que se haga.
1.50
En un intercambiador de calor se calienta aire a una presión de 45 lePa. Si la masa del aire es
4.35 kg, calcular la cantidad de calor requerido para calentar el aire de 45°C a 250°C .
Una mezcla de gas contiene 15-g H2, 25-g NH, y 21-g CO::. Calcular las fracciones molares
1.51
YNH3' Yco 2 , YYH 2,y el peso molecular promedio de la mezcla de gas.
1.52
El volumen de la mezcla gaseosa descrita en el problema 1.51 es 250 cm3• ¿Cuál es la densidad
de la mezcla? Para una temperatura de 32°C encontrar la presión de la mezcla de gas. ¿Cuáles son las
presiones parciales PNH3, Pco 2 , YPH 2?
1.53
Un tanque abierto contiene agua a 22°C que tiene un 32.7% (por peso) de sólidos suspendidos
con una densidad relativa de 2.32. Si el volumen de la mezcla es 1.2 m\ calcular la concentración de
sólidos en lb)pie3 y kg/m3 .
1.54
Expresar el módulo de elasticidad volumétrica en función del cambio de densidad en lugar
del cambio de volumen.
Para un módulo de elasticidad volumétrica constante, ¿cómo varía la densidad de un líquido
1.55
con respecto a la presión?
1.56
¿Cuál es el módulo de elasticidad volumétrica de un líquido que tiene un incremento de
densidad de 0.02% para un incremento de presión de 1000 lb/pie2 ? ¿Para un incremento de presión
de 60 lePa?
1.57
Si el módulo de elasticidad volumétrica del agua es K= 2.2 GPa, ¿cuál es la presión requerida
para reducir su volumen en un 0.5%?
1.58
Un tanque de acero se expande en volumen en 1% cuando su presión interior se incrementa
en 10,000 psi. A presión estándar, 14.7 psi absoluta, éste contiene 0.5 slug de agua; p = 1.94 slug/pie3 •
Para K= 300,000 psi cuando está lleno, ¿cuántos slugs de agua deben añadirse para incrementar la
presión a 10,000 psi? ¿Cuál es el peso del agua añadida?
1.59
Para una sustancia que sigue la ley del gas perfecto, demostrar que e, = dhldT y e,. = dulár.
[Ayuda: diferenciar la ecuación (1.6.7) con respecto a Ty comparar el resultado con la ecuación (1.6.6)].
1.60

Para un gas perfecto demostrar que cP = kRI(k - 1) y e,. = Rl(k- 1) .

Un ensamblaje pistón-tanque contiene gas de nitrógeno con una masa de 6.73 kg, con un
1.61
volumen inicial de 0.3 m 3 y una presión inicial de 450 lePa. Se sabe que el gas sigue la ley pV J.J =
constante, adicionalmente a la ley del gas perfecto. Determinar la presión en el tanque cuando el
volumen del gas se reduce a 0.15 m 3• ¿Cuáles son las correspondientes temperaturas inicial y final en
el tanque?
1.62

¿Cuál es el módulo de elasticidad volumétrica isotérmico para el aire a 0.4-MPa abs?

¿A qué presión se puede esperar cavitación en la entrada de una bomba que está impulsando
1.63
agua a 20°C?
1.64
En un oleoducto horizontal largo, las estaciones de bombeo se localizan cada 60 km. Si la
pérdida de presión en la tubería es 100 lePa/km, ¿cuánta presión debe producir cada bomba con el fin
de evitar la vaporización del petróleo?

27

28

CAP Í TU LO

•

Mecánica de fluidos

F

Agua

Figura 1. 1O

Problema 1.70.

1.65

¿Cuál es la presión dentro de una pequeña gota de agua de 0.002 pulg de diámetro a 68°F, si
la presión en el exterior de la gota corresponde a la presión atmosférica estándar de 14.7 psi?

1.66

Un pequeño chorro circular de mercurio de 0.1 mm de diámetro sale por una abertura. ¿Cuál
es la diferencia de presión entre el interior y el exterior del chorro a 20°C?

1.67
Determinar la altura capilar para agua destilada a 104°F en un tubo de vidrio de
pulgada de diámetro.

~

de

1.68
¿Qué diámetro se requiere para un tubo de vidrio si se espera que los efectos de capilaridad
del agua dentro de éste no excedan 0.5 mm?
1.69

Utilizando los datos suministrados en la figura 1.6, estimar la altura capilar de la lámina de
agua entre dos placas paralelas de vidrio separadas 0.20 pulgadas.

1.70

Un método para determinar la tensión superficial de un líquido es encontrar la fuerza necesaria
para halar un anillo de alambre de platino desde la superficie (figura 1.1 0). Estimar la fuerza necesaria
para sacar un anillo de 20 mm de diámetro de la superficie de agua a 20°C.

1.71

Calcular la altura capilar h en el tubo de la figura 1.11 en términos de O, cr, 'Y y r.

1.72

¿Por qué una burbuja de jabón tendría la siguiente relación
p

=

4a
r

2r

Figura 1.11

Problemas 1.71 y 1.73.

Propiedades de los fluidos
si una gota esférica tiene la relación
p

=

2<1
r

donde pes la presión interna, <J es la tensión superficial y res el radio?
l.73
¿Qué fuerza vertical debida a la tensión superficial se requeriría para mantener quieto el tubo
de la figura 1.11? Considerar que el espesor de la pared del tubo es muy pequeño.
1.74
Encontrar el ángulo de tensión superficial para un tubo vertical sumergido en agua, si el
diámetro del tubo es 0.2 pulgadas y la altura capilar es 0.09 pulgadas; u= 0.005 lb/pie.
1.75
Desarrollar una fórmula para la altura capilar h entre dos tubos de vidrio concéntricos de
radios R y r y ángulo de contacto fJ.

REFERENCIAS
l. S. Goldstein, Modern Developments in Fluid Dynamics, vol. II, pp. 676-680, Oxford University
Press, London, 1938.
2. A. Gill, Atmosphere-Ocean Dynamics, App. C, Acadernic Press, New York, 1982.

LECTURAS ADICIONALES
Cohen, E. and Taylor, B.: "The Fundamental Physical Constants," Physics Today, pp. 9-16, August
1994.
Lide, D.: Handbook ofChemistry and Physics, 74th ed., CRC Press lnc., Boca Raton, 1993.
W. D. McComb, The Physics of Fluid Turbulence, p. 12, Oxford Science Publications, Clarendon
Press, Oxford, 1990.

29

capítulo

2
Estática de fluidos

Así como se hace en mecánica de sólidos, construiremos nuestro conocinúento
de mecánica de fluidos considerando, en primer lugar, la e~tática y luego el
problema más difícil de la dinámica. Teniendo en cuenta la segunda ley de
Newton, es decir, d(mv)ldt = F, el objetivo de este capítulo es considerar el
caso cuando d(mv)ldt = O. Esto ocurre cuando la velocidad del fluido es
constante o, en un caso muy especial, cuando la aceleración es constante en
todo el flujo. El primer caso corresponde a la estática de fluidos, mientras que
el segundo es el caso especial de aceleración como cuerpo sólido. La suposición
fundamental necesaria para alcanzar estas dos condiciones es que no existe
movimiento relativo entre capas de fluido adyacentes y, consecuentemente,
los esfuerzos cortantes (ver capítulo 1) son cero. Por consiguiente, se considera
que fuerzas normales o fuerzas de presión son las únicas que actúan sobre las
superficies fluidas. Antes de proseguir con la distribución de fuerzas de presión
simplificadas, se resumen las definiciones y la terminología para las fuerzas
fluidas comprometidas en el vector fuerza, F .

Estática de fluidos

2.1

FUERZA, ESFUERZO Y PRESIÓN DE PUNTO

En un paquete de fluido existen dos clases generales de fuerzas: las fuerzas de cuerpo y las de
superficie. Una fuerza de cuerpo actúa sobre el paquete mediante una acción a distancia. Las fuerzas
electromagnéticas y gravitacionales son las únicas dos fuerzas de cuerpo consideradas en fluidos. La
fuerza gravitacional es responsable del peso del paquete y es la única fuerza de cuerpo considerada
en este texto.
Una fuerza de superficie existe como resultado del contacto directo entre paquetes de fluido.
Considérese un grupo de partículas todas unidas tal como se muestra en la figura 2.la; cada una de
ellas tiene una velocidad que puede ser diferente tanto en magnitud como en dirección a la de sus
vecinas. Para proceder con el análisis, se debe reemplazar el efecto de las partículas alrededor del
paquete por un sistema de fuerzas resultantes equivalentes, que actúan sobre el área de contacto entre
las partículas alrededor y la partícula central (figura 2.1b). El problema aqui, en primer lugar, es
definir una terminología para la distribución del vector fuerza en términos del sistema global de
coordenadas. En los capítulos posteriores se detallará cómo este vector fuerza se relaciona con el
movimiento de fluidos.

y

)-,
z
(a)

...,.

Movimiento

~.,

/

z
(b)

Figura 2.1

Movimiento de un paquete de fluido y distribución de
fuerza equivalente.

31

32

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

Considérese una de las áreas de contacto, por ejemplo entre los paquetes 1 y 6, tal como se
muestra en la figura 2.2a. El vector unitario normal al área superficial se define con respecto a un
plano definido por los vectores direccionales unitarios s 1 y s 2 que son tangentes al punto de contacto.
Por consiguiente, se puede definir un sistema coordenado local en el plano local y el vector fuerza,
F 6 , se descompone en tres direcciones ortogonales, M,., ~~ YM;2 , M,,es la fuerza normal mientras
~~ YM'.52 son las fuerzas tangenciales.
Dado que el área es una cantidad vectorial y que las áreas superficiales están rotando y cambiando
con el tiempo, es extremadamente difícil seguir la trayectoria del vector área. Por consiguiente, conviene
definir una representación intensiva conocida como esfuerzo. Ocurren dos clases generales de
esfuerzos, normales y cortantes. Ambos se definen en un sentido de límites a medida que el área de
contacto incremental tiende a cero, es decir,
~11

Mn
= rrm-A-tO

M

rIm -M.s,rss, = A-tO
M
r ss2

=

M.s2
¡·lm -

A-tO M

y

)- ,
z
(a)

y

)- ,
z
(b)

Figura 2.2

Definición de fverza y esfuerzo para un 6rea de contacto de paquete
elemental.

(2.1.1 )

Estática de fluidos
Aquí el área específica para el ejemplo es ~, a", r ••• y r ,'2 son, respectivamente, el esfuerzo
normal y los dos esfuerzos cortantes tal como se define en coordenadas locales (figura 2.2b). La
dimensión de esfuerzo es fuerza por unidad de área.
Existe un número muy grande si no infinito de planos (áreas) que pueden aparecer en un punto en
el continuo fluido y, tal como se anotó, es aconsejable eliminar el proceso analítico de guardar la
información requerida para seguir la trayectoria de las coordenadas locales del área. Por consiguiente
es necesario defmir el esfuerzo en términos de un sistema ortogonal de fuerzas, referenciado a
coordenadas globales y a una serie de planos ortogonales asociados que pasen a través del origen. Al
hacer esto, el estado de esfuerzos puede definirse sin ambigüedades con un número rrúnimo de
componentes.
Para llegar a esta descripción se requiere una derivación geométrica extensa que puede encontrarse
en un gran número de libros de mecánica (ver, por ejemplo, Mecánica de Fluidos de l. H. Shames),
y aquí solamente se da una descripción conceptual. Con referencia a la figura 2.3, el campo de
esfuerzos del ejemplo en coordenadas locales se proyecta a coordenadas globales siguiendo dos
pasos. En primer lugar, el plano local definido por s 1 y s2 se proyecta en sus tres componentes
ortogonales que pasan a través del origen. Luego, cada uno de los tres esfuerzos locales a n, rs.1•1 Y r.u2
se proyecta en tres componentes, en cada uno de los planos ortogonales que pasan a través del origen.
Dado que existen tres planos con tres sistemas de esfuerzos acompañantes, se requiere un total de
nueve componentes de esfuerzo para describir completamente el estado de esfuerzo en un punto
sobre una superficie arbitraria, en términos de un sistema global de coordenadas fijo. La ecuación
(2. 1.2) contiene el tensor total que contiene los nueve esfuerzos requeridos

[a"

ry.,

'·· J= r

r.y

a yy

ru

'C'xz

ryz

a z:.

(2.1.2)

La notación aquí es como sigue: 1'.vx es el esfuerzo cortante que actúa en la dirección x, en un plano
perpendicular al eje y (es decir, el plano xz) y u~. . es el esfuerzo normal que actúa en la dirección y, en
un plano perpendicular al eje y. Todos los vectores ésfuerzos de la figura 2.3 están definidos como
positivos. El lector notará que el esfuerzo normal positivo se dirige hacia fuera del plano mientras
y

---x

Figura 2.3

Definición de distribución de esfuerzos.

33

34

C A PÍ T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

que la regla del tornillo de la mano derecha se utiliza para definir los valores positivos para los
esfuerzos cortantes.
El promedio de los esfuerzos normales se conoce como esfuerzo volumétrico, u, el cual a su vez
se utiliza para definir la presión, p.
p

= - - = - -31 (
(J

(J ..
M

+

(J\'1.
.

+

(J -- )

(2.1 .3)

C•

Mientras que los esfuerzos normales positivos se definen como positivos hacia afuera de la superficie,
la presión es positiva hacia el centro de masa de la superficie sobre la que actúa.
Un punto de un fluido en equilibrio tiene la misma presión en todas las direcciones. Esto significa
que un elemento 8A de área muy pequeña, libre para rotar alrededor de su centro, cuando se sumerge
en un fluido en reposo, tendrá una fuerza de magnitud constante que actúa en cualquiera de sus lados,
sin importar su orientación.
Para demostrar lo anterior, se toma un cuerpo libre en forma de cuña, de ancho unitario en el
punto (x, y) de un fluido en reposo (figura 2.4). Como no pueden existir fuerzas cortantes, las únicas
fuerzas son las fuerzas normales a la superficie y las fuerzas gravitacionales; entonces las ecuaciones
de movimiento en las direcciones x y y son, respectivamente,

8x8y
"LE: = p t8y - p/is sen e = -2-pax = o
y

8x 8y
8x 8y
"LF_, = p\'8x - p/Jscos e -r-- = - - pa\ =o
-

.

2

2

donde p r' p y P, son las presiones promedio en las tres caras; y es el peso específico del fluido; pes
su densidad; y aAy a 1 son las aceleraciones. En el límite que el tamaño del cuerpo libre tienda a O,
permitiendo que la cara inclinada se aproxime a (x, y) manteniendo el mismo ángulo 8 y utilizando
las relaciones geométricas
1

& sen e= 8y

& cose= &

la ecuación se simplifica a

P_.Oy - p~8y

Figuro 2.4

=O

p\& - p,& -

8x8y

r -- = o
2

Diagrama de cuerpo libre de uno
partícula en formo de cuña.

Estática de fluidos
El último término de la segunda ecuación es un infinitesimal de orden superior que puede ser
despreciado. Si las ecuaciones se dividen por 8y y 8x, respectivamente, se obtiene:
Ps = Px

= P"

(2.1.4)

Como (}es un ángulo arbitrario, esta ecuación prueba que la presión es igual en todas las direcciones
en un punto, en un fluido estático. A pesar de que la prueba fue desarrollada para un caso en dos
dimensiones, para uno en tres dimensiones se puede demostrar con las mismas ecuaciones de equilibrio
para un pequeño tetraedro de fluido con tres caras en los planos coordenados y una cuarta cara
inclinada arbitrariamente.
Si el fluido se encuentra en movimiento, de tal manera que una capa se mueve respecto a una
adyacente, ocurren esfuerzos cortantes y los esfuerzos normales, en general, no tienen la misma
magnitud en todas las direcciones en un punto. En este caso la presión se define como el promedio de
los tres esfuerzos de compresión normales, mutuamente perpendiculares en un punto [ecuación (2.1.3)].
En un fluido ficticio de viscosidad cero, es decir, un fluido sin fricción, no ocurre ningún esfuerzo
cortante para cualquier movimiento del fluido, de tal manera que la presión es la misma en todas las
direcciones.

EJERCICIOS
2.1.1 El esfuerzo normal es el mismo en todas las direcciones en un punto de un fluido (a) solamente
cuando el fluido no tiene fricción; (b) sólo cuando el fluido no tiene fricción y es incompresible;
(e) únicamente cuando el fluido tiene viscosidad cero y se encuentra en reposo; (d) cuando no
existe movimiento de una capa de fluido con relación a una capa adyacente; (e) sin importar el
movimiento de una capa en fluido con relación a una capa adyacente.

2.2

ECUACIÓN BÁSICA DE LA ESTÁTICA DE FLUIDOS

Variación de la presión en un fluido estático
Las fuerzas que actúan sobre un elemento de fluido en reposo (figura 2.5) consisten en fuerzas de
superficie y fuerzas de cuerpo. Si la gravedad es la única fuerza de cuerpo que actúa, tomando el eje
y verticalmente hacia arriba, ésta vale --y8x8y8z en la dirección y. Con una presión p en su centro
(x, y, z), la fuerza ejercida en el lado perpendicular al eje y más cercano al origen es aproximadamente

y la fuerza ejercida en el lado opuesto es

donde 8y/2 es la distancia desde el centro a una cara perpendicular a y. Sumando las fuerzas que
actúan en el elemento en la dirección y se obtiene

35

36

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

y

roxoy&
oy
()poy)
- - oxoz
(p -ay
2
0;-------------------------~
X

Figura 2.5

Paralelepípedo rectangular elemental de un fluido en reposo.

Para las direcciones x y z, debido a que no actúa ninguna fuerza de cuerpo,

8F
X

= - ()p
ax 8x 8y &

El vector de fuerza elemental 8F está dado por

óF

= ic5F,

+ jc5f; + kOF,

=(i:

+ j

~

+

k:)

& Oy & - j¡& Oy &

Si el elemento se reduce a un tamaño cero, después de dividir toda la ecuación por 8x8y8z
expresión se vuelve exactamente

bF
ov
= - (·•ax.a + J. ()ya

+

k

a)

<k P -

.
Jr

lim lN ~ O

= 8\1, la
(2.2.1)

Ésta es la fuerza por unidad de volumen resultante en un punto, que es igual a cero para un fluido en
reposo. La cantidad entre paréntesis es el gradiente, conocido como V (nabla),

V =

.a

1-

dx

.a

+ J-

()y

+

ka
-

(2.2.2)

(}z

y el gradiente negativo de p, -Vp, es el vector de campo f de la fuerza de presión superficial por
unidad de volumen,

f

=

-Vp

(2.2.3)

Estática de fluidos

37

Por consiguiente, la ley de fluido estático de variación de presión es
f - jy

=o

(2.2.4)

Para un fluido no viscoso en movimiento o para un fluido en movimiento de tal manera que el
esfuerzo cortante es cero en cualquier parte, la segunda ley de Newton toma la forma
f - jy = pa

(2.2.5)

donde a es la aceleración del elemento de fluido y f - jyes la fuerza resultante cuando la gravedad es
la única fuerza que actúa sobre el cuerpo. La ecuación (2.2.5) se utiliza para estudiar el equilibrio
relativo en la sección 2.9 y en la deducción de las ecuaciones de Euler en los capítulos 4 y 7.
En forma de componente, la combinación de las ecuaciones (2.2.3) y (2.2.4) se convierte en

éJp

dX

éJp

=o

-dy = -r

éJp

-=o
dz

(2.2.6)

Las ecuaciones diferenciales parciales, para variaciones en las direcciones horizontales, son una

forma de la ley de Pascal; éstas establecen que dos puntos a la misma elevación, en la misma masa
continua de fluido en reposo, tienen la misma presión.
Corno p es función únicamente de y
dp

=

-ydy

(2.2.7)

Esta ecuación diferencial simple relaciona el cambio de presión con el peso específico y el cambio de
elevación, y es válida tanto para fluidos compresibles como irncornpresibles.

Variación de la presión en un fluido incompresible
Para fluidos que puedan ser considerados como homogéneos e incompresibles, y es constante, y la
ecuación (2.2.7), una vez integrada, se convierte en
p

=

-yy + e

en la cual e es la constante de integración. La ley hidrostática de la variación de la presión
frecuentemente se escribe en la forma
p

=

yh

(2.2.8)

en la cual h se mide verticalmente hacia abajo (h =-y) a partir de una superficie libre de líquido y p
es el incremento en la presión desde aquélla encontrada en la superficie libre. La ecuación (2.2.8)
puede ser deducida tomando como cuerpo libre de fluido una columna vertical de líquido de altura
finita h con su superficie superior en la superficie libre. Esto se deja como un ejercicio para el estudiante.

Un oceanógrafo necesita diseñar un laboratorio marino de 5 m de altura que debe soportar
una inmersión hasta 100 m, medida desde el nivel del mar hasta la parte superior del
laboratorio. Encontrar la variación de la presión en el lado del contenedor y la presión en su
parte superior, si la densidad relativa del agua salada es 1.020.
Solución

y= 1.020(9806 N/m3 ) = 10 kN/m3
En la parte superior h = 100 m, y
p =

yh

= 1 MN/m 2 = 1 MPa

Ejemplo

2.11

38

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

Si y se mide desde la parte superior del laboratorio marino hacia abajo, la variación de la presión es
p = lO(y + 100) kPa

A menudo debido a calentamiento diferencial o a la presencia de masa añadida, como sal o
sedimento, la densidad en un fluido incompresible homogéneo estático puede estratificarse o
reordenarse así misma en capas donde las capas más pesadas o más densas de fluidos quedan por
debajo de las más livianas. La densidad en cada capa permanece constante y la presión varía linealmente
o hidrostátícamente con la profundidad en la columna de agua. La figura 2.6 contiene un diagrama
idealizado de densidad versus profundidad para un cuerpo de agua salada con tres regiones de densidad
constante. La figura también contiene una gráfica de distribución de presiones con respecto a la
profundidad y se nota que la presión es constante en las interfaces. En la práctica, la difusión molecular y turbulenta de la sal marginalmente "suavizará" las discontinuidades en la interfaz de densidad,
pero este enfoque de analizar por capas las distribuciones de presiones en condiciones de estratificación
en capas ha sido fundamental para los limnólogos y oceanógrafos por más de 100 años.
Algunos aspectos se pueden notar en la figura 2.6. En primer lugar, la presión en cada capa se
incrementa linealmente con la profundidad. Por consiguiente, dentro de la capa 1 y las capas
subsecuentes, las variaciones de presión son
p(O < h < h¡) =Po +
p(h1 < h < ~)

p1g(h)

= P1 + p2g(h

- h¡)

(2.2.9)
{2.2.1 O)

o para cualquier capa n,
(2.2.11)

Ejemplo 2.2

En un lugar del océano en donde la profundidad total es 450 m, los oceanógrafos miden
datos a h 1 = 100 m, h 2 =300 m, y h3 = 450 m. Los valores de densidad relativa para el agua
salada en cada una de las capas de densidad constante son 1.01, 1.02 y 1.025, respectivamente.
1---• P

Figura 2.6

Distribución de presión en un Auido con
estratificación de densidad en reposo.

Estática de fluidos
Encontrar las presiones en las interfaces. Suponer que existe presión atmosfénca en la
superficie, p 0 =O.
Solución

Pt

= Po + Ptg(ht - O) = Po + Stpg~
= O + 9.904(100) = 990.4 kPa

P 2 = P t + P2g(~ - h,) = Pt + S2 pg(~ - h1)

= 990.4

+ 10.0(200)

= 2990.8 kPa

P3 = P2 + P18(~ - ~) = P2 + S3pg(h¡ - ~)

= 2990.8

+ 10.05(150)

= 4498.5 k.Pa

Variación de la presión en un fluido compresible
Cuando el fluido es un gas perfecto en reposo a temperatura constante de la ecuación (l. 7 .2)
P = Po
P
Po

(2.2.12)

en la cual pes la presión absoluta. Cuando el valor de y en la ecuación (2.2.7) se reemplaza por pg y
p se elimina entre las ecuaciones (2.2.7) y (2.2.9),
dy

=-

Po dp
8Po P

(2.2.13)

Se debe recordar que si p se expresa en libras masa por pie cúbico, entonces y= gplg0 con g0 = 32.174
lb, pie/lb s2• Si p = p 0 entonces p = p0, la integración entre los límites

r

dy

= _ _&_
8Po

YO

arroja

=

Y- Yo

r

dp

Po

P

- _&_ In _p_
8Po
Po

(2.2.14)

en donde ln es el logaritmo natural. Entonces
p

= Po exp(- y

-

Yo )

(2.2.15)

Po 18Po
que es la ecuación para la variación de la presión con la elevación en un gas isotérmico.
Frecuentemente se supone que la atmósfera tiene un gradiente de temperatura constante que
puede expresarse por
(2.2.16)

Para la atmósfera estándar, {3 = --0.00357 grados Fahrenheit por pie (--0.00651 K/m) hasta la
estratosfera. La densidad puede expresarse en términos de la presión y la elevación utilizando la ley
del gas perfecto:
p

=

p

RT

=

p

R(Ta + {3y)

(2 .2 . 17)

39

40

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

La sustitución en dp = -pgdy [ecuación (2.2.7)] permite que las variables se separen y que p se
encuentre en función de y mediante integración.

1Ejemplo

2.3

Suponiendo que en la atmósfera prevalecen condiciones isotérmicas, calcular la presión y
la densidad a una elevación de 2000 m si p = 105Pa abs y p = 1.24 kg/m3 a nivel del mar.
Solución

De la ecuación (2.2.15)

P =

(105 N/ 2)
{
2000 m
}
·
m exp - (105 N/m 2 )/((9.806 rnls 2 )(1.24 kg/m3 )]

= 78.4 kPa abs
Por consiguiente, de la ecuación (2.2.12),

p = Po

Po

p = (1.24 kg/m 1 )

78 400
•
100,000

= 0.972 kg/m3

Cuando se tiene en cuenta la compresibilidad de un líquido en equilibrio estático, se utilizan las
ecuaciones (2.2.7) y (1.8. 1).

EJERCICIOS
2.2.1 La presión del aire por encima de una superficie de petróleo (S= 0.75), en un tanque, es 115kPa abs. La presión 2.0 m por debajo de la superficie del petróleo, en lePa, es (a) 14.71; (b) 116.5;
(e) 129.71; (d) 134.1; (e) ninguna de estas respuestas.
2.2.2 La presión manométrica, en milímetros de mercurio, equivalente a 80-mm H20 más 60 mm
de fluido manométrico, con densidad relativa 2.94, es (a) 10.3; (b) 18.8; (e) 20.4; (d) 30.6; (e) ninguna
de estas respuestas.
2.2.3 La ecuación diferencial para la variación de la presión en un fluido estático (y medido
verticalmente hacia arriba) puede escribirse como (a) dp = - y dy; (b) dp = - y dy; (e) dy = - pdp;
(d) dp = - pdy ; (e) dp = - ydp.

2.2.4 En una atmósfera isotérmica, la presión (a) permanece constante; (b) disminuye linealmente
con la elevación; (e) se incrementa exponencialmente con la elevación; (d) varía en la misma forma
que la densidad; (e) permanece constante, al igual que la densidad.

2.3

UNIDADES Y ESCALAS PARA LA MEDIDA DE LA PRESIÓN

La presión puede expresarse con respecto a cualquier nivel de referencia arbitraria. Los niveles
arbitrarios de referencia más usuales son el cero absoluto y la presión atmosférica local. Cuando la
presión se expresa como una diferencia entre su valor y un vacío completo, se conoce como presión
absoluta. Cuando se expresa como la diferencia entre su valor y la presión atmosférica local, se
conoce como presión manométrica.
El manómetro bourdon (figura 2.7) es típico de los aparatos utilizados para medir presiones
manométricas. El elemento de presión es un tubo metálico plano, hueco y curvado, cerrado en uno de
sus extremos; el otro extremo se conecta a la presión que va a ser medida.

Estática de fluidos

e__)
Sección
trnns versal

del tuho

Figuro 2.7

Esquema de un tubo bourdon.

Cuando la presión interna se incrementa, el tubo tiende a enderezarse, arrastrando un mecanismo de
conexión que se encuentra unido a un indicador y haciendo que éste se mueva. La escala marca O
cuando las partes internas y externas del tubo están a la misma presión, sin importar su valor particular. La escala puede graduarse a cualquier sistema de unidades convenientes, las más comunes son ·
pascales, libras por pulgada cuadrada, libras por pie cuadrado, pulgadas de mercurio, pies de agua,
centímetros de mercurio y milímetros de mercurio. Debido a su construcción inherente, el manómetro
mide la presión relativa a la presión del medio alrededor del tubo, la cual es la atmósfera local.
La figura 2.8 ilustra la información y las relaciones entre las unidades comunes de medidas de
presión. La atmósfera estándar es la presión media al nivel del mar, 29.92 pulg Hg. Una presión,
expresada en términos de longitud de una columna de líquido, es equivalente a la fuerza por unidad
de área en la base de la columna. La relación de variación de la presión con la altura en un líquido
p = yh [ecuación (2.2.8)] muestra la relación entre la cabeza h en longitud de columna de flu ido de
peso específico y, y la presión p. En unidades consistentes, p está dado en pascales, y en newtons por
metro cúbico y h en metros, o p está dado en libras por pie cuadrado, 'Y en libras por pie cúbico y h en
pies. Con el peso específico de cualquier líquido expresado como su densidad relativa S multiplicada

--~--~~~-------2
·¡;;

e ~

Presión atmosférica estándar

~

----~r------+--~ o~---------------------------------------~~--

__ :- -~---r------- ________P~~i~~~r:~~~~~a~~~-~---~

1 atmósfera
760-mm Hg
101,325 Pa
10.34-m H20
14.7 psi
2 116 lb/pic2
29.92-pulg Hg
33.91-pie H 20

S

o

i

j

Lectura

Vacío }
de ~u~ión Presión manométrica
negativa

local
del barómetro
Presión ab!>Oluta

Cero absoluto (vac(o completo)

Figura 2.8

Unidades y escalos poro lo medido de lo presión.

41

42

C A PÍ T U l O

2

•

Mecánica de fluidos

por el peso específico del agua, la ecuación (2.2.8) se conviexte en

p
3

= YwSh

(2.3.1)

Para agua 'Y~ puede tomarse como 9806 N/m o
Cuando se quiere dar la presión en libras por pulgada cuadrada, ambos lados de la ecuación se
dividen por 144:
Prr-,

=

62.4lb/pie3 •

62
.4 Sh
144

= 0.433Sh

(2.3.2)

en la cual h permanece en piest.
La presión atmosférica local se mide mediante un barómetro de mercurio (figura 2.9) o a través
de un barómetro aneroide, que mide la diferencia de presión entre la atmósfera y una caja o tubo
vacío en forma análoga al manómetro bourdon, excepto en que el tubo se encuentra vacío y sellado.
Un barómetro de mercurio está compuesto por un tubo de vidrio cerrado en uno de sus extremos,
lleno de mercurio e invertido, de tal forma que su extremo abierto se sumerge en mercurio. Tiene una
escala colocada de tal manera que se puede determinar la altura de la columna R (figura 2.9). El
espacio por encima del mercurio contiene vapor de mercurio.

Figura 2. 9

Barómetro de mercurio.

t En lo ecuación {2.3.2) se puede expresar lo presión atmosférico estóndor en libros por pulgada cuadrado,
p""

= 62.4{13.6)29.92 = 14.7
144
12

cuando 5 = 13.6 poro mercurio. Cuando 14.7 se multiplico por 144, lo atmósfera estóndor se convierte en 2116 lb/ pie2. Luego
2116 dividido por 62.4 arrojo 33.91 pies de H20 . Cualquiera de estos designaciones es poro la atmósfera estándar y puede
llamarse uno atmósfera si siempre se entiende que es la atmósfera est6ndar y se mide desde el cero absoluto. Estos diferentes
designaciones poro uno atmósfera estándar (figuro 2.8) son equivalentes y dan un medio conveniente para convertir de un
conjunto de unidades o otro. Por ejemplo, para expresar 100 pies de H20 en libros por pulgada cuadrada se uso
100
- - (14.7) = 43.3 psi
33.91
debido a que 100/33.91 es el número de atmósferas estándar y cado atmósfera estándar es 14.7 psi.

Estática de fluidos

43

Si la presión del vapor de mercurio hv está dada en milímetros de mercurio y R se mide en las mismas
unidades, la presión en A puede expresarse como

= hA

h, + R

mm Hg

A pesar de que hves una función de la temperatura, es muy pequeña a temperaturas atmosféricas
usuales. La presión barométrica varía con el lugar, es decir con la elevación y con las condiciones del
tiempo.
En la figura 2.8 una presión se puede localizar verticalmente, lo cual indica su relación con
respecto al cero absoluto o a la presión atmosférica local. Si el punto se encuentra por debajo de la
línea de presión atmosférica local y se utiliza el nivel de referencia manométrico, la presión es negativa,
de succión o de vacío. Por ejemplo, la presión de 460-mm Hg abs, como en 1, con una lectura
barométrica de 720-mm Hg, puede expresarse como - 260-mm Hg, 11 pulg Hg de succión o como 11
pulg Hg de vacío. Se debe notar que

= P bar

+ P man
Para evitar cualquier confusión, en este texto se adopta la convención de que una presión es
manométrica a menos que específicamente se marque como absoluta, con excepción de la atmósfera,
la cual es una unidad de presión absoluta.
P abs

La tasa de cambio de la temperatura en la atmósfera, con respecto a cambios en elevación,
se conoce como la tasa de lapso. El movimiento de un paquete de aire depende de la
densidad del paquete con respecto a la densidad del aire que lo rodea (ambiente). Sin embargo, a medida que el paquete asciende a través de la atmósfera, la presión del aire
disminuye, el paquete se expande y su temperatura disminuye a una tasa conocida como la
tasa de lapso seca adiabática. Una compañía desea quemar una gran cantidad de basura.
Se estima que la temperatura de la columna de humo a 1O m por encima del suelo será 11 °C
mayor que la del aire ambiente. Determinar qué pasará con el humo (a) a una tasa de lapso
atmosférica estándar {3 = -0.00651 oc por metro y t0 = 20°C y (b) a una tasa de lapso
invertida {3 = 0.00365°C por metro.
Solución

Combinando las ecuaciones (2.2.7) y (2.2.17) se obtiene

dy

o

To + {3y

La relación entre la presión y la temperatura, para una masa de gas que se expande sin
transferencia de calor, es

!_

= (}!_J(k-1)/ k

1;

Po

en donde T 1 es la temperatura absoluta inicial del humo; p 0 es la presión absoluta inicial, y
k es la relación de calor específico, 1.4 para aire y otros gases diatómicos. Eliminando p/p0
en las últimas dos ecuaciones da como resultado
f3yJ-[(k-l)lkj(g/R{j)

T=7;1+
(

1'o

Debido a que el gas ascenderá hasta que su temperatura sea igual a la temperatura ambiente,

T=To+f3y

Ejemplo 2.4

44

C A PÍ T U l O

2

•

Mecánica de fluidos

Las últimas dos ecuaciones pueden ser resueltas para y. Sea
a=

-1

(k - l)glk R/3 + 1

entonces,

(a) Para {3 = - 0.00651 °C por metro, R = 287 m·N/(kg·K), a= 2.002, y y= 3201 m.
(h) Para la inversión de temperatura atmosférica {3 = 0.00365 °C por metro , a= - 0.2721, y
,. = 809.2 m.

EJERCICIOS
2.3.1 Seleccionar la frase correcta: (a) La presión atmosférica local se encuentra siempre por debajo
de la presión atmosférica estándar. (b) La presión atmosférica local depende únicamente de la elevación
del lugar. (e) La presión atmosférica estándar es la presión atmosférica local media al nivel del mar.
(d) Un barómetro lee la cllierencia entre la presión local y la presión atmosférica estándar. (e) La
presión atmosférica estándar absoluta es 720 mm Hg.
-* 2.3.2 Seleccionar las tres presiones que son equivalentes: (a) 10.0 psi, 23.1 pies H20 , 4.91 pulg
Hg ; (h) 10.0 psi, 4.33 pies H 20, 20.3 pulg Hg; (e) 10.0 psi, 20.3 pies H20 , 23.1 pulg Hg; (d) 4.33 psi,
10.0 pies H20, 20.3 pulg Hg; (e) 4.33 psi, 10.0 pies H 20, 8.83 pulg Hg.

2.3.3 Cuando el barómetro lee 730 mm Hg, 10 k.Pa de succión es igual a (a) -10.2 m
0.075 m Hg; (e) 8.91 m H20 abs; (d) 107 kPa abs; (e) ninguna de estas respuestas.
2.3.4

H~O; (b)

Con el barómetro leyendo 29 pulg Hg, 7.0 psia es equivalente a (a) 0.476 atm; (b) 0.493 atm;

(e) 7.9 psi en succión; (d) 7.7 psi; (e) 13.8 pulg Hg abs.

2.4

MANÓMETROS

Manómetros estándar
Los manómetros son aparatos que emplean columnas de líquido para detenninar diferencias de presión.
El manómetro más elemental, usualmente llamado piezómetro, se ilustra en la figura 2.10a; mide la
presión de un líquido cuando éste se encuentra por encima del cero manométrico. Un tubo de vidrio
se coloca verticalmente de tal manera que esté conectado al espacio dentro del tanque. El líquido
sube por el tubo hasta que alcanza su equilibrio. La presión está dada por la distancia vertical h desde
el menisco (superficie líquida) hasta el punto donde se mide la presión, expresada en unidades de
longitud del líquido dentro del tanque. Es obvio que el piezómetro no trabaja para presiones
manométricas negativas, porque fluiría aire hacia el tanque a través del tubo. También es impráctico
para medir grandes presiones en A, debido a que el tubo vertical tendría que ser muy largo. Si la
densidad relativa del líquido es S, la presión en A es hS unidades de longitud de agua.

\

Estática de fluidos

1
(a)

Figura 2.10

h

(b)

Manómetros simples.

Para medir presiones negativas pequeñas o presiones manométricas positivas en un líquido, el
tubo puede tomar la forma que se muestra en la figura 2.10b. Con este arreglo, el menisco puede
llegar a reposo por debajo de A, tal como se muestra. Debido a que la presión en el menisco es O
manométrica y que la presión disminuye con la elevación,
unidad de longitud de H 2O
Para presiones negativas grandes o presiones manométricas positivas se emplea un segundo líquido
de densidad relativa mayor (figura 2.10c). Éste debe ser no miscible con el primer fluido, el cual
ahora puede ser gas. Si la densidad relativa del fluido en A es S 1 (con base en agua) y la densidad
relativa en líquido manométrico es S2, se puede escribir la ecuación para la presión en A, empezando
ya sea en A o en el menisco superior y procediendo a través del manómetro como
hA + ~S1 - h,S2 = 0
en donde hA es la presión desconocida, expresada en unidades de longitud de agua, y h 1 y h 2 están
expresadas en unidades de longitud. Si A contiene un gas, generalmente S 1 es muy pequeña, de tal
manera que h2S1 puede despreciarse.
Se puede seguir un procedimiento general al trabajar con todos los problemas de manómetros:

l . Empezar en un extremo (o en cualquier menisco si el circuito es continuo) y escribir la presión en
ese punto en una unidad apropiada (por ejemplo pascales) o utilizando un símbolo apropiado si
es desconocida.
2. Añadir a ésta el cambio en presión, en la misma unidad, desde uno de los meniscos hasta el
siguiente (más si el siguiente menisco se encuentra por debajo y menos si se encuentra por encima).
3. Continuar hasta el otro extremo del manómetro (o el menisco inicial) e igualar la expresión a la
presión en ese punto, conocida o desconocida.
La expresión contendrá una incógnita para un manómetro simple o dará la diferencia de presiones
para el manómetro diferencial. En forma de ecuación

Po - (y¡ - Yo)Yo -(y2 - Y1)r1 - (y3 - Y2)Y2
-(y4 - Y3)r3 -· .. -<Y,

-

y,_¡)r ,-1

= P,

donde yo, y 1, .•• , y 11 son las elevaciones de cada menisco en unidades de longitud y )lo, y 1, J12, ... , 'Yn- l son
los pesos específicos de las columnas fluidas. La anterior expresión da la fuerza por unidad de área y
puede convertirse en otras unidades utilizando la figura 2.8.

45

46

C A P Í T U LO

•

2

Mecánica de fluidos

Y2 oS2

1

r 1 os,

S3o Y3
h3

!

h3

t

(a)

Figura 2.11

(b)

Manómetros diferenciales.

Un manómetro diferencial (figura 2.11) determina la diferencia de presión en dos puntos A y B
cuando no puede determinarse la presión real en cualquier punto del sistema. Aplicando el
procedimiento descrito anteriormente a la figura 2.11a tenemos
PA - h,'){ - ~'M + ~~ = Po

O

PA - Pn = h,)( + ~"h - ~'X

Similarmente, para la figura 2.11 b
PA + h,')( - ~'Yl - ~~ =Po

o

P... - Ps

=

-~X + ~'M + ~1'3

No se deben memorizar fórmulas para manómetros particulares. Es mucho más satisfactorio deducirlas
utilizando el procedimiento general para cada caso.
Si las presiones en A y B se expresan en longitudes de columna de agua, los anteriores resultados
pueden escribirse, para la figura 2.11a, como
hA - h8

= h1S1

+ ~S2

~S3

-

unidades de longitud de H 2 0

Similarmente, para la figura 2.llb
h... - h8

= - ~s,

+ ~S2 + ~S3

en donde S,, S2 y S3 son las densidades relativas de los líquidos del sistema.

Ejemplo 2.5

En la figura 2.lla, los líquidos en A y B son agua y el líquido manométrico es petróleo.
S= 0.8; h 1 = 300 mm; h 2 = 200 mm; y h3 = 600 mm. (a) Determinar P..,- p 8 , en pascales. (b) Si
p 0 =50 kPa y la lectura barométrica es 730 mm Hg, encontrar la presión absoluta en A en
metros de agua.
Solución

(a)

h... (m H 2 0) - h1SH2o - ~Spetróleo + h 3 SH20
hA - 0.3(1) - 0.2(0.8) + 0.6(1)

hA- h8
P... - P8

= y(h...

- h8 )

=

= h8 (m H 2 0)
= h8

-0.14-mH 2 0

= (9806 N/m 3 )(-0.14 m)

= - 1373 Pa

Estática de fluidos

(b)

h8

= p 8 /y = 5 X

104 N/m2 /9806 N/m 3

h8 (m H 2 0 abs)

= h8 (m H 2 0

= 5.099- m H 2 0

man) + (0.73 m)(l3.6)

= 5.099 + 9.928 = 15.027-m-H2 0abs
De (a):

hA,
a .s

= h a,s
8 •

- 0.14

= 15.027-0.14 = 14.89-m-H 0abs
2

Micromanómetros
En el mercado se encuentran varios tipos de manómetros para determinar muy pequeñas o grandes
diferencias de presión en forma precisa. Un tipo mide las diferencias de elevación de dos meniscos
en un manómetro, con exactitud. Por medio de pequeños telescopios con hilos horizontales montados
a lo largo de los tubos sobre una plataforma que sube y baja, mediante un piñón y un tomillo de ajuste
fino, de tal manera que los hilos pueden colocarse de forma precisa, se puede leer la diferencia de
elevación de los meniscos (la diferencia manométrica) utilizando vemiers.
Se puede producir una diferencia manométrica grande R (figura 2.12) con dos líquidos
manométricos no miscibles para medir pequeñas diferencias de presión. El líquido manométrico más
pesado llena el tubo en U hasta 0-0. El líquido manométrico más liviano se añade a los dos lados,
llenando los tanques más grandes hasta 1-1. El gas o el líquido en el sistema llena el espacio por
encima de 1-1. Cuando la presión en Ces ligeramente mayor que en D, los meniscos se mueven tal
como se indica en la figura 2.12. El volumen de líquido desplazado en cada uno de los tanques es
igual al desplazamiento en el tubo en U; por consiguiente,
~yA=

e

D

R
-a
2

-------f

A

Figura 2.12

Micromonómetro que utilizo dos
líquidos manométricos.

47

48

C A PÍ T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

donde A y a son las áreas transversales de los tanques y el tubo en U, respectivamente. Se puede
escribir la ecuación del manómetro, empezando en C, en fuerza por unidad de área, como

Pe + (k1 + óy)y¡ + ( k2

-

óy +

~ )~

- RYJ

-(ls -

~

+ ó y )1'2

-

(kl - óy)yl

= PD

donde -y 1, -y2 y y , son los pesos especfficos tal como se indica en la figura 2.12. Simplificando y
sustituyendo ó y se llega a
Pe + PD

= R[~

- ~ (1- :) - r :]

(2.4. 1)

La cantidad entre corchetes es una constante para un manómetro y fluidos específicos; por consiguiente,
la diferencia de presión es directamente proporcional a R.

Ejemplo 2.6

En el micromanómetro de la figura 2.12, encontrar la diferencia de presión, en pascales,
cuando hay aire en el sistema; S2 = 1.0, S3 = 1.10, alA= 0.01, R = 5 mm, y T= 20°C, el
barómetro lee 760 mm ~g .
Solución

p
(0.76 m)[l3.6(9806 N/m' )]
= 1.
kg/m'
205
=
(278 N· mlkg · K)(273 + 20 K)
RT
y 1 !!_
A

r~ -

y2

= ( 1.205 kg/m 3 )(9.806 rnls 2 )(0.01) = 0.118 N/m 3

(1- :) = (9806 N/m )(1.10 3

0.99)

= 1079 N/m 3

El término y 1(a/A) puede ser despreciado. Sustituyendo en la ecuación (2.4.1 ) se encuentra
Pe - PD = (0.005 m)(1079 N/m 3 ) = 5.39 Pa

Frecuentemente se utiliza el manómetro inclinado (figura 2.13) para medir pequeñas diferencias
de presión en gases. Se ajusta para leer cero, moviendo la escala inclinada, cuando A y B se encuentran

Figura 2.13

Manómetro inclinado.

Estática de fluidos
abiertos. Para una diferencia de presión dada el desplazamiento del menisco en un tubo inclinado es
mayor que en un tubo vertical, lo que permite una mayor precisión en la lectura de la escala.
La tensión superficial causa una elevación capilar en pequeños tubos. Si se utiliza un tubo en U
con un menisco en cada uno de sus extremos, los efectos de tensión superficial se cancelan. La altura
capilar es despreciable en tubos con diámetros internos de 15 mm o mayores.

EJERCICIOS
2.4.1 El líquido en la figura 2.10b es petróleo, S= 0.80. Cuando h = 60 cm, la presión en A puede
expresarse como (a)- 48-cm H~O abs; (b) 48-cm-H~O; (e) 48-cm-H20 de succión; (d) 52-cm-H~O de
vacío: (e) ninguna de estas respuestas.
2.4.2 En la figura 2.1 Oc la tubería contiene aire, y el líquido manométrico es agua, h 1 =500 mm y
h 1 = 200 mm. La presión en A es (a) 10.14-m-H20 abs; (b) 0.2-m-H:O de vacío: (e) 0.2-m-H~O;
(d) 4901 Pa; (e) ninguna de estas respuestas.
2.4.3 En la figura 2.1la h 1 = 2.0 pies, h2 =1.0 pies, h 3 =4.0 pies, S, = 0.80, S2 = 0.65 y S,= l .0. Por
consiguiente hfl-hA en pies de agua es (a) - 3.05; (b) -1.75; (e) 3.05; (d) 6.25; (e) ninguna de estas
respuestas .
.> 2.4.4

En la figura 2.1lb h 1 = 38 cm, h2 = 33 cm, h3 = 60 cm, S, = 0.80, S,= 3.00 y S2 = 1.0. Entonces
pA- p8 en kilopascales es (a) -7.55; (b) 0.098; (e) 11.86; (d) 19.32; (e) ninguna de estas respuestas.

2.4.5 Un manómetro de mercurio-agua tiene una diferencia manométrica de 500 mm (diferencia
en la elevación de los meniscos). La diferencia de presión, medida en metros de agua. es (a) 0.5;
(b) 6.3; (e) 6.8; (d) 7.3; (e) ninguna de estas respuestas .
2.4.6 En el manómetro inclinado de la figura 2.13 el tanque es tan grande que se puede suponer
que su superficie permanece constante en una elevación fija, () = 30°. Utilizado como un manómetro
simple para medir la presión del aire, contiene agua y R =40 cm. La presión en A en centímetros de
agua es (a) -40; (b) 20 de vacío; (e) 20; (d) 40; (e) ninguna de estas respuestas.

2.5

FUERZAS SOBRE ÁREAS PLANAS

En las secciones precedentes se han considerado variaciones de la presión a través de un fluido. Las
fuerzas distribuidas producidas por la acción de un fluido sobre un área finita pueden reemplazarse
convenientemente por una fuerza resultante, en lo que respecta a las reacciones externas al sistema de
fuerzas. En esta sección se determina la magnitud de la fuerza resultante y su línea de acción (centro
de presión) mediante integración, ecuaciones y utilizando el concepto del prisma de presión.

Superficies horizontales
Una superficie plana en una posición horizontal en un fluido en reposo está sujeta a presión constante.
La magnitud de la fuerza que actúa sobre la superficie es

J p dA

=p j

dA

= pA

Todas las fuerzas elementales pdA que actúan sobre A son paralelas y tienen el mismo sentido. Por
consiguiente, la suma escalar de todos estos elementos es la magnitud de la fuerza resultante.

49

50

C APÍTUl O

2

•

Mecánica de fluidos

y

y

X

Figura 2.14

Notación poro determinar lo línea
de acción de uno fuerzo.

Su dirección es perpendicular a la superficie y hacia ésta si p es positiva. Para encontrar la línea de
acción de la resultante, es decir, el punto en el área donde el momento de la fuerza distribuida alrededor
de cualquier eje a través del punto es O, se seleccionan arbitrariamente los ejes xy, tal como se muestra
en la figura 2.14. Puesto que el momento de la resultante debe ser igual al momento del sistema de
fuerzas distribuidas alrededor de cualquier eje, por ejemplo el eje y,
pAx' = J xp dA
¡\
1

donde X es la distancia desde el eje y hasta la resultante. Como p es constante,
l J Ax dA =x
x ' =A

en la cual x es la distancia al centroide del área (ver apéndice A). Por consiguiente, para un área
horizontal sujeta a una presión estática, la resultante pasa a través del centroide del área.

Superficies inclinadas
En la figura 2.15 se indica una superficie plana por la línea A 1 B 1 • Ésta se encuentra inclinada ff' desde
la horizontal. La intersección del plano del área y la superficie libre se toma como el eje x. El eje y se
toma en el plano del área, con el origen O, tal como se muestra, en la superficie libre. El área inclinada
arbitraria está en el plano xy . Lo que se busca es la magnitud, dirección y línea de acción de la fuerza
resultante debida a/ líquido, que actúa sobre un lado del área.
La magnitud de la fuerza 5F que actúa sobre un elemento con área oA en forma de banda con
espesor 5y con sus bordes largos horizontales es:

8F

= p 8 A = y h 8 A = y y sen (J 8 A

(2 .5 . 1)

Debido a que todas estas fuerzas elementales son paralelas, la integral sobre el área es la magnitud de
la fuerza F, que actúa sobre un lado del área.
F

=J

p dA

= y sen (J J

y dA

= y sen (J y A = y hA = Pe A

(2 .5 .2 )

Estática de fluidos

/
/
/

/
/
/
/

y"
Figura 2.15

Notación para la fuerza de un líquido en
un lado de un plano inclinado.

con las relaciones tornadas de la figura 2.15: Ysen8 = h y Pe = yh la presión en el centroide del
área. En palabras, la magnitud de la fuerza ejercida en uno de los lados del área plana sumergida en
un líquido es el producto del área por la presión en su centroide. En esta forma, se debe notar que la
presencia de una superficie libre no es necesaria. Para determinar la presión en el centroide cualquier
medio se puede utilizar. El sentido de la fuerza es empujar el área si pe es positiva. Corno todos los
elementos de fuerza son perpendiculares a la superficie, la línea de acción de la resultante también es
perpendicular a la superficie. Cualquier superficie puede rotarse alrededor de cualquier eje que pase
por su centroide sin cambiar la magnitud de la resultante, si el área total permanece sumergida en el
lfquido estático.

Centro de presión
La linea de acción de la fuerza resultante tiene su punto de aplicación sobre la superficie en un punto
conocido como centro de presión, con coordenadas (x", y") (figura 2.15). A diferencia de lo que
ocurre en una superficie horizontal, el centro de presión de una superficie inclinada no se encuentra
en el centroide. Para encontrar el centro de presión, se igualan los momentos de la resultante x,,F y
yp F al momento de las fuerzas distribuidas alrededor de los ejes y y x, respectivamente; por consiguiente,
x"F = jAxpdA

(2.5.3)

Y,F; j/pdA

(2.5.4)

El elemento de área de la ecuación (2.5.3) debe ser SxSy y no la banda mostrada en la figura 2.15.
Al resolver las coordenadas para el centro de presión se obtiene

x" = _!_
F
y"

=

1xpdA

lj
F

A

(2.5.5)

y p dA
A

(2.5.6)

51

52

C A PÍ T U l O

•

2

Mecánica de fluidos

En muchas aplicaciones las ecuaciones (2.5.5) y (2.5.6) pueden ser evaluadas en una forma más
conveniente a través de una integración gráfica; para áreas simples, éstas pueden transformarse en
ecuaciones generales tal como sigue (ver apéndice A):
1

X I' =

f
r.vA sen e

X

YY sen

A

1
y_A

edA =

f A X y dA =

y~Af)'

(2.5 .7)

En las ecuaciones (A. lO) y (2.5.7)

=

Xp

(2.5.8)

yA

Cuando cualquiera de los ejes centroidales x =x y y = y se encuentra sobre un eje de simetría de la
superficie, l ...desaparece y el centro de presión se encuentra en x = x. Debido a que 1,1• puede ser
positivo o negativo, el centro de presión puede estar en cualquier lado de la 1ínea x = .X. Pára calcular
yp utilizando una fórmula, con las ecuaciones (2.5.2) y (2.5.6),
_ l
yyA sen e

Y,, =

f y r y sen ed A

=

A

(2 .5.9)

l
yA

En el teorema de ejes paralelos para momentos de inercia
lx

= 1e

y"

=

+ .)1. 2 A
en la cual!e es el segundo momento de área alrededor de su eje centroidal horizontal. Si l, se elimina
de la ecuación (2.5.9),

!_g_ +y

(2.5. 10)

yA

o

y" -y

=

le

(2.5 . 11)

yA

IGsiempre es positivo; por consiguiente, y"- y siempre es positivo y el centro de presión siempre
está por debajo del centroide de la superficie. Se debe enfatizar que y y Y,- y son distancias en el
plano de la superficie.

Ejemplo 2.7

La compuerta triangular CDE (figura 2.16) se encuentra pivoteada a lo largo de CD y se
abre mediante una fuerza normal P aplicada en E. La compuerta contiene el petróleo por
encima, con densidad relativa de 0.80, y está abierta a la atmósfera en su lado inferior. Sin
tener en cuenta el peso de la compuerta, encontrar (a) la magnitud de la fuerza ejercida
sobre la compuerta mediante integración, y a través de la ecuación (2.5 .2); (b) la localización
del centro de presión; (e) la fuerza p necesaria para abrir la compuerta.
Solución
(a) Mediante integración y con referencia a la figura 2.16

F

~

L

p dA = ysen e

j

yXdy =

ysen e

e
X

18

y d y + ysen e

J 13

X

y dy

Cuando y= 8, x =O y cuando y= 13, x = 6 con x variando linealmente con y; luego,
x

= ay

+ b

O = 8a + b

6

= 13a

+ b

Estática de fluidos

Figura 2.16

Compuerta triangular.

en la cual las coordenadas han sido sustituidas para calcular x en términos de y. Resolviendo para
ayb
48
5
5
Similarmente, para y = 13, x = 6 y y = 18, x =O, se obtiene x
a

=

6

F=rsene

b

=

6
-(y - 8)

5
= 6/5(18 - y). Por consiguiente,

6[JI3(y -8)ydy+ Jl8(18-y)ydy ]
5 8
13

Integrando y sustituyendo 'Y sen 9 se encuentra:
F = 624(0 8)(0

=

X

50)~[ ( ~

_ 4 y2

r

+ (9y2

_

~

rJ

= 97344lb

Mediante la ecuación (2.5.2)
F = PeA

= y y sen 8 A

(b) Con los ejes tal corno se muestra,

= 62.4(0.80)(13)(0.50)(30)

= 9734.4 lb

x =2.0 y y = 13 . En la ecuación (2.5.8)
l,.,.

X 1,

= yÁ

+X

l ,es cero debido a la simetría alrededor del eje centroidal paralelo al eje x; por consiguiente, x= x,, =
2.0 pies. En la ecuación (2.5.11)
53
- - = J..s¿_ = 2 1(6 )( ) = 0.32 ies
Yp
y
yA
12(13)(30)
p
es decir, el centro de presión está 0.32 pies por debajo del centroide, medido en el plano del área.
(e) Cuando se tornan los momentos alrededor de CD y la acción del petróleo se reemplaza por la
resultante, entonces
(P)(6)

= 9734.4(2)

p

= 3244.8lb

53

54

C A PÍTU l O

2

•

Mecánica de fluidos

Figura 2. 17

Prisma de presión.

El prisma de presión
Otro enfoque al problema de determinar la fuerza resultante y la línea de acción de la fuerza sobre
una superficie plana está dado por el concepto de un prisma de presión. Éste es un volumen prismático
con su base conformada por el área superficial dada y con altitud sobre cualquier punto de la base
dada por p = yh. hes la distancia vertical hasta la superficie libre (figura 2.17). (Se puede utilizar una
superficie libre imaginaria para definir h si no existe una superficie libre real). En la figura, yh puede
dibujarse en cualquier escala conveniente de tal manera que su traza sea OM. La fuerza que actúa
sobre un elemento de área diferencial 8A es
8F = yh8A = 8"d

(2.5.12)

el cual es un elemento de volumen del prisma de presión. Después de integrar, F =V, el volumen del
prisma de presión es igual a la magnitud de la fuerza resultante que actúa en uno de los lados de la
superficie.
De la ecuaciones (2.5.5) y (2.5.6)
(2.5.13)

la cual muestra que x1, y Y, son las distancias al centroide del prisma de presión [ecuación (A.5)]. Por
consiguiente, la línea de acción de la resultante pasa a través del centroide del prisma de presión.
Para algunas áreas simples, el prisma de presión es más conveniente que la integración o que el uso
de ecuaciones. Por ejemplo, un área rectangular con uno de sus bordes en la superficie libre tiene un
prisma en forma de cuña. Su centroide está a 1/3 de la altitud desde la base; por consiguiente, el
centro de presión se encuentra a 1/3 de la altitud desde su borde más bajo.

je¡emplo 2.8

A lo largo de un canal se construye una estructura de tal forma que verterá el agua hacia
fuera si se alcanza cierta altura y (figura 2.18a). La compuerta está hecha de placas de acero
que pesan 2500 N/m2• Determinar la altura y .
Solución

Utilizando los conceptos de prisma de presión, para un ancho unitario perpendicular a la
página, la fuerza sobre la placa horizontal (figura 2.18b) está dada por el volumen de un
prisma de base 1.2 m 2 y una altura constante yy N/m2 , lo cual arroja Fv= 1.2 yy N que actúa
en el centro de la base. El prisma de presión para la cara vertical (figura 2.18c) es una

Estática de fluidos

1.2yy

yy2

2

j_
y

3

Bisagm

A= 1.2 m2

T

yy

0.6m
3000
(a)

Figura 2.18

(e)

(b)

(d)

Ensamblaje de compuerta ollado de un canal.

cuña con base y m 2 y una altura que varía desde O hasta yy N/m2• La altura promedio es yy/2 de tal
manera que F.x = yy112 N. El centroide del prisma en forma de cuña es y/3 medido desde la bisagra. El
peso del piso de la compuerta ejerce una fuerza de 3000 N en su centro. La figura 2.18d muestra
todas las fuerzas y sus correspondientes brazos de momento. Para el equilibrio, es decir, el valor de y
para movimiento inminente, los momentos alrededor de la bisagra deben ser O.
M

= (3000 N)(0.6 m)

+ (1.2yy N)(0.6 m) - (

y~

2

N) ( ; m)

=O

o

M

=y

3

-

4.32y - 1.1014

=O

Esta ecuación tiene únicamente una raíz positiva, y fácilmente se ve que está entre y
Utilizando el método de Newton-Raphson (apéndice B.5)

y

=y

-

M(y)
M'(y)

y3

=y

-

-

= 2 y y = 3.

4.32y - 1.1014
3y 2 - 4.32

el cual es un procedimiento interactivo. Un valor de prueba para y se supone, por ejemplo y = 2.5.
Sustituyendo en la parte derecha en la ecuación se encuentra un valor más aproximado de y. Repitiendo
este procedimiento tres veces se encuentra que la raíz es y= 2.196 m. Una ecuación cúbica se resuelve
fácilmente con una calculadora programable. Preparar el programa no requiere más esfuerzo que
resolver la ecuación de una vez, utilizando la calculadora.

Efectos de la presión atmosférica sobre las fuerzas en áreas planas
En la discusión sobre fuerzas de presión, la presión datum no se mencionó. Las presiones se calcularon
mediante p = -yh en donde h es la distancia vertical por debajo de la superficie libre. Por consiguiente,
el datum tomado fue una presión manométrica O, o la presión atmosférica local. Cuando el lado
opuesto de la superficie se encuentra abierto a la atmósfera, se ejerce una fuerza sobre ésta, causada
por la atmósfera, igual al producto de la presión atmosférica p0 y al área, prf., basado en el O absoluto
como datum. En el lado líquido la fuerza es:

J (p0 + ¡h) dA = p 0 A + y f h dA
El efecto de prf. de la atmósfera actúa en forma igual a ambos lados y no contribuye a la fuerza
resultante o a su localización.

55

56

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

Mientras se seleccione la misma presión datum para todos los lados de un cuerpo libre, la fuerza
resultante y el momento pueden determinarse construyendo una superficie libre a presión O de este
datum y utilizando los métodos anteriores.

Ejemplo 2.9

Una aplicación de las fuerzas de presión sobre áreas planas está dada en el diseño de una
presa de gravedad. Los esfuerzos de compresión máximos y mínimos en la base de la presa
se calculan utilizando las fuerzas que actúan en ella. La figura 2.19 muestra una sección
transversal a través de una presa de concreto en la cual el peso específico del concreto se
toma como 2.5y y y es el peso específico del agua. Se considera una sección de la presa de
un pie de ancho como cuerpo libre. Las fuerzas son causadas por el concreto, el agua, la
presión en la cimentación y el empuje hidrostático hacia arriba. Determinar la magnitud del
empuje hidrostático hacia arriba está por fuera del alcance de este texto, pero se supondrá
que es igual a la mitad de la cabeza hidrostática del borde de aguas arriba, decreciendo
linealmente hasta cero en el borde de aguas abajo de la presa. Se debe desarrollar suficiente
fricción o esfuerzo cortante en la base de la presa para balancear el empuje debido al agua;
es decir, Rx = 5000y. La fuerza hacia arriba, resultante en la base, es igual al peso de la
presa menos el empuje hidrostático hacia arriba, R, = 6750y + 2625y - 1750y = 7625-y lb.
La posición de Rr es tal que el cuerpo libre se encuentra en equilibrio. Al tomar momentos
alrededor de O, ·
rM0 = O = R>'x - 5000y(33.33) - 2625y(5) - 6750y(30) + 1750y(23.33)
y

x = 44.8 pies
Es usual suponer que la presión en la cimentación varía linealmente sobre la base de la
presa, es decir, que el prisma de presión es un trapezoide con un volumen igual a R,,; por
consiguiente,

"'o
·a.

o
o

5000y

Figuro 2.19

Presa de gravedad de concreto.

Estática de fluidos

57

en la cual u núx y u mín son, respectivamente, los esfuerzos de compresión máximos y mínimos en libras
por pie cuadrado. El centroide del prisma de presión se encuentra en un punto donde x = 44.8 pies.
Tornando momentos alrededor de O para expresar la posición del centroide en función de u m:lx y u mrn'

Simplificando se obtiene
Entonces
crmáx

=

210y = 12,500 lb/pie2

= 17.1y = 1067lb/pie 2

crmáx

Cuando la resultante cae dentro del tercio medio de la base de la presa, u mrn siempre será un esfuerzo
a compresión. Las pobres propiedades a tensión del concreto implican que un buen diseño requiere
que la resultante caiga dentro del tercio medio de la base.

Dentro del tubo mostrado en la figura 2.20 se mantiene agua hasta alcanzar una profundidad
y que produce suficiente momenturn para sobreponerse al contrapeso. Despreciando el peso

de la estructura, calcular y .
Solución

El momento alrededor del pasador causado por la fuerza de presión sobre la compuerta es
Momento = -y

;,
j

t

R cos 611

zhx dz

=

j

60

z0 + R

F(e) de

O

en la cual
z = z0 + R cos e

dz = - R sen e de

h = R(cos e - cos eo)

X

= 2 R sen e

Por consiguiente
F(e) = y (z0 + R cos e)R(cos e - cos

e )2R

2

0

sen2 e

Bh.agra W = 5000 N

z
h

Figura 2.20

Compuerta en el extremo de una tubería.

Ejemplo

2.101

58

C A PÍ T U l O

2

•

Mecánica de fluidos

Se puede utilizar el método de la bisección para encontrar 80 de tal manera que el momento causado
por el líquido sea igual al momento debido al contrapeso. Dado que se está buscando una respuesta
entre 8o = O y 80 = 7T, se toma 8omáx = 7T y 8omín = O. El intervalo d8 es 8ofn, con n el número de
intervalos. La contribución de momentum para uno de los intervalos es
d(}

Momento = - [ F((J) + F((} - dO)]
2
el cual se suma para todos los n intervalos. Si el momento es muy grande, el siguiente 8o se reduce de
acuerdo con el método de la bisección. Una hoja de cálculo, usando un optimizador o una función de
solución, se puede utilizar para producir los siguientes resultados:
Profundidad = 0.9027 m

(}0 = 143.64°

EJERCICIOS
2.5.1 La magnitud de la fuerza en uno de Jo. lados de una superficie circular de área unitaria, con
centroide localizado 1O pies por debajo de una superficie libre de agua, es (a) menor que 1Oy;
(b) depende de la orientación del área; (e) mayor que 1Oy, (d) el producto de 'Y y la distancia vertical
desde la superficie libre hasta el centro de presión; (e) ninguna de las anteriores.
2.5.2 Una superficie rectangular de 3 X 4 m tiene su borde inferior de 3 m horizontal y 6 m por
debajo de una superficie libre de petróleo, S= 0.80. La superficie se encuentra inclinada 30° con
respecto a la horizontal. La fuerza en uno de los lados de la superficie es (a) 38.4y; (b) 48y, (e) 51.2y;
(d) 60y; (e) ninguna de estas respuestas.
2.5.3 El centro de presión para la superficie del ejercicio 2.5.2 se encuentra verticalmente por
debajo de la superficie líquida (a) 10.133 m; {b) 5.133 m; (e) 5.067 m; (d) 5.00 m; (e) ninguna de
estas respuestas.
2.5.4 El centro de presión (a) está en el centroide del área sumergida; (b) está en el centroide del
prisma de presión; (e) es independiente de la orientación del área; (d) está en un punto sobre la línea
de acción de la fuerza resultante; (e) siempre se encuentra por encima del centroide del área.
2.5.5 ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre el área anular vertical enmarcada por círculos concéntricos
de radios 1.0 y 2.0 m? El centro se encuentra 3.0 m por debajo de la superficie libre de agua. (a) 37TY,
(b) 97T)'; (e) 10.257TY, (d) l27TY, (e) ninguna de estas respuestas.
2.5.6 El centro de presión para el área anular del ejercicio 2.5.5 está por debajo del centroide del
área (a) O m; (h) 0.42 m; (e) 0.44 m; (d) 0.47 m; (e) ninguna de estas respuestas.
2.5.7 Un área triangular vertical tiene uno de sus lados en una superficie libre, y su vértice apunta
hacia abajo. Su altura es h. El centro de presión se encuentra por debajo de la superficie libre (a) h/4;
(b) h/3; (e) h/2; (d) 2h/3; (e) 3h/4;

2.5.8 Una compuerta vertical de 4 X 4 m mantiene agua con la superficie libre en su parte superior. El momentum alrededor del fondo de la compuerta es (a) 42.7y, (b) 57 y, (e) 64y; (d) 85.3y; (e)
ninguna de estas respuestas.

2.6

COMPONENTES DE FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS

Cuando las fuerzas elementales p8A varían en la dirección, como es el caso de una superficie curva,
se deben sumar como cantidades vectoriales; es decir, sus componentes en tres direcciones, mutuamente
perpendiculares, se suman como escalares y luego las tres componentes se suman vectorialmente. Si

Estática de fluidos
~consideran

dos componentes horizontales formando ángulo recto y la otra componente vertical
-que se calculan fácilmente para una superficie curva- se puede determinar la resultante. Las líneas
de acción de las componentes también se determinan con facilidad.

Componente horizontal de la fuerza sobre una superficie curva
La componente horizontal de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual a la fuerza de
presión ejercida sobre la proyección de la superficie curva. El plano vertical de la proyección es
nomzal a La di recci6n de la componente. La superficie de la figura 2.21 representa cualquier superficie

tridimensional y 8A es un elemento de su área, su normal hace un ángulo 8 con la dirección x negativa.
Entonces

8 F, = p 8 A cos

e

es la componente x de la fuerza ejercida sobre uno de los lados de oA. Sumando las componentes x de
la fuerza sobre toda la superficie se obtiene
F, =

t

edA

p cos

(2.6. 1)

en la cual cos 8 oA es la proyección de 8A en un plano perpendicular a x. El elemento de fuerza sobre
el área proyectada es p cos 8 M, el cual también se encuentra en la dirección x. Proyectando cada
elemento en un plano perpendicular a x es equivalente a proyectar la superficie curva como un todo
en el plano vertical. Por consiguiente, la fuerza que actúa sobre esta proyección de la superficie curva
es la componente horizontal de la fuerza ejercida sobre la superficie curva en la dirección perpendicular al plano de proyección. Para encontrar la componente horizontal perpendicular a la dirección
r. la superficie curva se proyecta en un plano ve11ical paralelo a x y se determina la fuerza sobre la
proyección.
Cuando se quiere encontrar la componente horizontal de la fuerza de presión sobre un cuerpo
cerrado, la proyección de la superficie curva sobre un plano vertical es siempre O. debido a que en los
lados opuestos del cuerpo, las proyecciones de elementos de área tienen signos opuestos, tal como se
md.ica en la figura 2.22. Sea un pequeño cilindro de sección transversal 8A con su eje paralelo a x que
mterseca el cuerpo cerrado en B y C. Si el elemento de área del cuerpo cortado por el prisma en Bes
M 8 y en Ces 8Ac entonces

8A8 cos e 8 = - 8Ac cose< = 8A
debido a que cos 8ces negativo. Por consiguiente, como la presión es la misma en cada extremo del
cilindro
p 8A8 cosen + p 8Ac cos ec = 0

}' similarmente para todos los otros elementos del área.
Para encontrar la línea de acción de la componente horizontal de la fuerza sobre una superficie
curva, se requiere la resultante del sistema de fuerza paralelo, compuesto por las componentes de
fuerza para cada elemento de área. Esto es exactamente la resultante de la fuerza sobre el área
proyectada, debido a que los dos sistemas de fuerza tienen una distribución idéntica de componentes

t
Figura 2.21

==~-.
--

-~

--•x

....

·~..-..---.....

Componente horizontal sobre una superficie curvo.

59

60

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

Figura 2.22

Proyecciones de elementos de área
sobre los lados opuestos de un
cuerpo.

de fuerza elementales horizontales. Por consiguiente, el centro de presión se localiza en el área
proyectada utilizando los métodos de la sección 2.5.

Ejemplo 2.11

La ecuación de un elipsoide en revolución, sumergido en agua, es r/4 + y2!4 + z2/9 = l. El
centro del cuerpo se localiza 2m por debajo de la superficie libre. Encontrar las componentes
horizontales de fuerza que actúan sobre la superficie curva localizada en el primer octante.
Considerar que el plano xz es horizontal y que y es positivo hacia arriba.
Solución
La proyección de la superficie sobre el plano yz tiene un área de ( 1r /4)(2)(3) m 2 • Su centroide
se localiza 2- (4/37T)(2) m por debajo de la superficie libre. Por consiguiente

F.. =

-[:(6)](2-

:)r=

3

-(-5.425m 3 )(9806N/m3 )

=

- 53.2kN

Similarmente,

Componente vertical de la fuerza sobre una superficie curva
La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual al peso del
líquido que se encuentra verticalmente por encima de dicha superficie y se extiende hasta la superficie
libre. La componente vertical de la fuerza sobre una superficie curva puede determinarse sumando
los componentes verticales de la fuerza de presión sobre áreas elementales 8A de la superficie. En la
figura 2.23 se muestra un área elemental con la fuerza p 8A que actúa perpendicularmente. Sea 8 el

ángulo de la normal al área con respecto a la vertical. Entonces la componente vertical de la fuerza
que actúa sobre el elemento del área es p cos 88A, y la componente vertical de la fuerza sobre la
superficie curva está dada por

F.,.

=

L

p cos ()dA

(2.6.2)

Estática de fluidos

figura 2.23

Componente vertical de lo fuerzo
sobre uno superficie curvo.

Debido a que p -que es equivalente a yh, en la cual h es la distancia desde el elemento de área hasta
la superficie libre-, y a que cos 08A es la proyección de 8A sobre un plano horizontal, la ecuación
(2.6.2) se convierte en

F.. = y JA h cos e d A = y J"' d 'V

(2.6.3)

en la cual 8V es el volumen del prisma de altura h y base cos 08A, o el volumen de líquido verticalmente
por encima del elemento de área. Al integrar se obtiene

F,.

= y'V

(2.6.4)

Cuando el líquido se encuentra por debajo de la superficie curva (figura 2.24) y se conoce la
magnitud de la presión en algún punto, por ejemplo O, se puede construir una superficie libre
imaginaria o equivalentes - s, p/y por encima de O, de tal manera que el producto del peso específico
y la distancia vertical a cualquier punto del tanque sea la presión en ese punto. El peso del volumen
imaginario de líquido verticalmente por encima de la superficie curva es, entonces, la componente
vertical de la fuerza de presión sobre la superficie curva. Al construir una superficie libre imaginaria,

Figura 2.24

líquido con uno superficie
libre equivalente.

61

62

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

el líquido imaginario debe tener el mismo peso específico que el que está en contacto con la superficie
curva; de otra manera la distribución de presión sobre la superficie no sería representada en forma
correcta. Con un líquido imaginario sobre la superficie, la presión en cualquier punto de la superficie
curva es igual a ambos lados, pero las componentes elementales de la fuerza en la dirección vertical
tienen signos opuestos. Por consiguiente, la dirección de la componente vertical de la fuerza se
invierte cuando se encuentra un fluido imaginario sobre la superficie. En algunos casos un líquido
confinado puede estar por encima de la superficie curva, y se debe añadir (o sustraer) un líquido
imaginario para determinar la superficie libre.
La línea de acción de la componente vertical se determina igualando los momentos de las
componentes verticales elementales alrededor de un eje conveniente, con el momento de la fuerza
resultante. Con el eje en O (figura 2.23),

F,X. = y
en la cual

fv

xdV

x es la distancia desde O a la línea de acción. Entonces, debido a que F,. = y'V,
x=_.!_J

V v

xdV

la distancia al centroide del volumen. Por consiguiente, la línea de acción de la fuerza vertical pasa a
través del centroide del volumen, real o imaginario, que se extiende por encima de la superficie curva
hasta la superficie libre, real o imaginaria.

!ejemplo 2.12

Una barrera cilíndrica (figura 2.25) mantiene el agua tal como se muestra. El contacto entre
el cilindro y la pared es suave. Considerar un cilindro de 1 m de longitud; determinar (a) su
peso y (b) la fuerza ejercida contra la pared.
Solución

(a) En el estado de equilibrio el peso del cilindro es igual a la componente vertical de la
fuerza ejercida por el agua sobre él. (La superficie libre imaginaria para CD se encuentra en
la cota A). La fuerza vertical sobre BCD es
F,.ocn

= (n

;2

+ 2r2

)r = (2n + 8) y

La fuerza vertical sobre AB es

A

Figura 2.25

Cuerpo semiAotante.

Estática de fluidos
Por consiguiente, el peso por metro de longitud es
F..BCD

+ F...I\IJ

= (37! + 4)y = 0.132 MN

(b) La fuerza ejercida contra la pared es la fuerza horizontal sobre ABC, menos la fuerza horizontal
sobre CD. Las componentes horizontales de la fuerza sobre BC y CD se cancelan; la proyección de
BCD sobre un plano vertical es cero. Por consiguiente,
F.H

= F.HAR = 2y = 19.6 kN

debido a que el área proyectada es 2 m 2 y la presión en el centroide del área proyectada es 9806 Pa.

Para encontrar las reacciones externas a fuerzas de presión, se puede reemplazar la acción de un
fluido por dos componentes horizontales y una componente vertical que actúan a lo largo de sus
Líneas de acción.

Esfuerzo de tensión en una tubería y en una concha esférica
Una tubería circular bajo la acción de una presión interna se encuentra a tensión alrededor de su
periferia. Suponiendo que no existen esfuerzos longitudinales, las paredes están en tensión, tal como
se muestra en la figura 2.26. Se considera una sección de tubería de longitud unitaria, es decir, el
anillo entre dos planos perpendiculares al eje y apartados una unidad de longitud. Si la mitad de este
anillo se toma como cuerpo libre, las tensiones por unidad de longitud en la parte superior e inferior
son respectivamente T1 y T2, tal como se muestra en la figura. La componente horizontal de la fuerza
actúa a través del centro de presión del área proyectada y vale 2pr en donde pes la presión en la línea
media y r el radio interno de la tubería.
Para altas presiones, el centro de presión puede tomarse en el centro de la tubería; por consiguiente
T 1 = T2 y
T

= pr

(2.6.5)

en la cual Tes la fuerza de tensión por unidad de longitud. Para un espesor de pared e, el esfuer::_o de
tensión en la pared de la tubería, u, es

T
pr
(2.6.6)
e
e
Para grandes variaciones de presión entre la parte superior e inferior de la tubería, se debe calcular
la ubicación del centro de presión y. Se requieren dos ecuaciones,
a=

T¡ +

~

= 2pr

2rT¡ - 2pry = O

-------r-r-------1 1
1
1

1
1

1
1

1
1

1

1

1
1

1
1

1

1

1
1

1
1

1

1

1
1

1
1

------~-T--------

Figura 2.26

Esfuerzo de tensión en uno tubería.

..

63

64

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

La segunda ecuación es la de momento alrededor del extremo inferior del cuerpo libre, despreciando
la fuerza vertical. Resol viendo se obtiene

7; = py

!Ejemplo 2.13

r; = p(2r

- y)

Una tubería de acero de 100 mm de diámetro interno (DI) tiene un espesor de pared de
6 mm. Para un esfuerzo de tensión permisible de 70 MPa, ¿cuál es la máxima presión?
Solución

De la ecuación (2.6.6)

p

= ar e =

(70 MPa)(0.006 m)
0.1 m

= 4.2 MPa

Si una concha esférica delgada se somete a una presión interna, despreciando el peso del fluido
dentro de la esfera, el esfuerzo en sus paredes puede encontrarse considerando las fuerzas sobre un
cuerpo libre que consta de un hemisferio de la esfera cortado por un plano vertical. La componente
de fuerza del fluido perpendicular al plano que actúa en el interior del hemisferio es pm2, en donde
res el radio. El esfuerzo a-multiplicado por el área de la pared cortada 271Te, en donde e es el espesor,
debe balancear la fuerza del fluido. Por consiguiente

a=

pr

2e

EJERCICIOS
2.6.1 La componente horizontal de la fuerza sobre una superficie curva es igual (a) al peso del
líquido verticalmente por encima de la superficie curva; (b) al peso del líquido retenido por la superficie
curva; (e) al producto de la presión en su centroide y en el área; (d) a la fuerza sobre una proyección
de la superficie curva en un plano vertical; (e) a la suma escalar de todas las componentes horizontales
elementales.
2.6.2 Una tubería de 5 m de diámetro debe mover agua a 1.4 MPa. Para un esfuerzo de tensión
admisible de 55 MPa, el espesor de la pared de la tubería, en milímetros, es (a) 32; (b) 42; (e) 64;
(d) 80; (e) ninguna de estas respuestas.
2.6.3 La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva sumergida es igual
(a) a su componente horizontal; (b) a la fuerza sobre una proyección vertical de la superficie curva;
(e) al producto de la presión en su centroide y al área superficial; (d) al peso del líquido verticalmente
por encima de la superficie curva, (e) ninguna de estas respuestas.
2.6.4 La componente vertical de la fuerza sobre la mitad superior de un cilindro recto circular
horizontal, de 3 pies de diámetro y 10 pies de longitud, lleno de agua y con una presión de 0.433 psi
en su eje, es (a) -458 lb; (b) -333 lb; (e) 124.8lb; (d) 1872lb; (e) ninguna de estas respuestas.
2.6.5 Un barril cilíndrico de madera se mantiene unido mediante dos zunchos en sus partes superior e inferior. Cuando el barril se llena de líquido, la relación de la tensión en el zuncho superior con
respecto a la del zuncho inferior, debida al líquido, es (a)
(b) 1; (e) 2; (d) 3; (e) ninguna de estas
respuestas.

t;

2.6.6 Una tubería de 50 mm DI con un espesor de pared de 5 mm transporta agua con una presión
de 0.89 MPa. El esfuerzo de tensión en la pared de la tubería, en megapascales, es (a) 4.9; (b) 9.8;
(e) 19.6; (d) 39.2; (e) ninguna de estas respuestas.

Estática de fluidos

2.7

FUERZA DE BOYAMIENTO

La fuerza resultante ejercida sobre un cuerpo por un fluido estático que se encuentra sumergido o
flotando se conoce como la fuerza de boyamiento . Ésta siempre actúa verticalmente hacia arriba. No
puede existir componente horizontal de la resultante debido a que la proyección del cuerpo sumergido
o la porción sumergida de un cuerpo flotante sobre un plano vertical siempre es cero.
La fuerza de boyamiento sobre un cuerpo sumergido es la diferencia entre la componente vertical
de la fuerza de presión en su lado superior y la componente vertical de la fuerza de presión en su lado
mferior. En la figura 2.27, la fuerza hacia arriba sobre el lado inferior es igual al peso del líquido, real
o imaginario, que se encuentra verticalmente por encima de la superficie ABC, indicada por el peso
del líquido dentro de ABCEFA. La fuerza hacia abajo, sobre la superficie superior, es igual al peso del
líquido en ADCEFA. La diferencia entre estas dos fuerzas es una fuerza, verticalmente hacia arriba,
debida al peso del líquido en ABCD, es decir el desplazado por el sólido. En forma de ecuación

F8

= 'V y

(2.7.1)

en la cual F8 es la fuerza de boyamiento, V es el volumen de fluido y 'Y es el peso específico del
fluido. La misma ecuación se mantiene para cuerpos flotantes cuando 'V se toma como el volumen
del líquido desplazado. Esto resulta evidente inspeccionando el cuerpo flotante de la figura 2.27.
En la figura 2.28 la fuerza vertical ejercida sobre un elemento del cuerpo, en forma de un prisma
vertical de sección transversal 8A es
oFn

= (p2

- p 1) oA

=

yh oA

= yO'if

en donde 8V es el volumen del prisma. Integrando para el cuerpo completo se obtiene

Fe

=y

L,.

rN

= "f:/

cuando 'Y se considera constante a través del volumen.
Para encontrar la línea de acción de la fuerza de boyamiento se toman momentos alrededor de un
eje conveniente O y se igualan al momento de la resultante; luego
o

Figura 2.27

Fuerzo de boyomiento sobre cuerpos flotantes y sumergidos.

65

66

C A PÍ T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

Figura 2.28

Componentes de fuerza vertical sobre
elementos de un cuerpo.

en la cual .X es la distancia desde el eje hasta la línea de acción. Esta ecuación da la distancia al
centroide del volumen; por consiguiente, la fuerza de boyamiento actúa a través del centroide del
volumen del fluido desplazado. Esto se mantiene tanto para cuerpos sumergidos como para cuerpos
flotantes. El centroide del volumen de fluido desplazado se conoce como el centro de boyamiento.
Al resolver un problema de estática que involucra objetos sumergidos o flotantes, generalmente
el objeto se toma corno un cuerpo libre y se dibuja un diagrama de cuerpo libre. La acción del fluido
se reemplaza por la fuerza de boyamiento. Se debe mostrar el peso del objeto (que actúa a través de
su centro de gravedad) al igual que las demás fuerzas de contacto.
Si se pesa un objeto de forma extraña, suspendido en dos líquidos diferentes, se obtiene suficiente
información para determinar su peso. volumen, peso específico y densidad relativa. La figura 2.29
muestra dos diagramas de cuerpo libre para un mismo objeto suspendido y pesado en dos fluidos. F 1
y F2 son los pesos cuando se sumerge. y y 1 y y 2 son los pesos específicos de los fluidos. W y V el peso
y el volumen del objeto, respectivamente. son hallados.
Se escriben las ecuaciones de equilibrio

F;

Figura 2.29

+ 'i/y) =

w

F;_ + 'i/y2 =

w

Diagramas de cuerpo libre para un cuerpo suspendido en un fluido.

68

C A PÍ T U L0

2

•

Mecánica de fluidos

EJERCICIOS
2.7.1 Una tabla de madera de 1 por 1 por 0.25 m, S= 0.50, flota en agua con una carga de 400 N
sobre ella. El volumen sumergido de la tabla, en metros cúbicos, es (a) 0.043; (b) 0.125 ; (e) 0.166;
(d) 0.293; (e) ninguna de estas respuestas.
2.7.2 La lfnea de acción de la fuerza de boyamiento actúa a través de (a) el centro de gravedad de
cualquier cuerpo sumergido; (b) el centroide del volumen de cualquier cuerpo flotante; (e) el centroide
del volumen de fluidos desplazados; (d) el centroide del volumen de fluido verticalmente por encima
del cuerpo; (e) el centroide de la proyección horizontal del cuerpo.
2.7.3 La fuerza de boyamiento es (a) la fuerza resultante sobre un cuerpo debido al fluido que lo
rodea; (b) la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo flotante; (e) la fuerza necesaria para mantener
un cuerpo sumergido en equilibrio; (d) una fuerza no vertical para cuerpos no simétricos; (e) igual al
volumen del líquido desplazado.

2.8

ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES Y SUMERGIDOS

Un cuerpo que flota en un líquido estático tiene una estabilidad vertical. Un pequeño desplazamiento
hacia arriba disminuye el volumen del líquido desplazado, lo cual da como resultado una fuerza no
balanceada hacia abajo que tiende a retornar el cuerpo a su posición original. Similarmente, un pequeño
desplazamiento hacia abajo genera una fuerza de boyarniento mayor, la cual causa un desbalance
hacia arriba.
Un cuerpo tiene una estabilidad lineal cuando un pequeño desplazamiento lineal, en cualquier
dirección, genera fuerzas de restablecimiento que tienden a retornarlo a su posición original. Tiene
estabilidad rotacional cuando se genera un par restaurador por cualquier pequeño desplazamiento
angular.
En la siguiente discusión se desarrollan métodos para determinar la estabilidad rotacional. Un
cuerpo puede flotar en equilibrio estable, inestable o neutro. Cuando un cuerpo se encuentra en
equilibrio inestable, cualquier pequeño desplazamiento angular genera un par que tiende a incrementar
dicho desplazamiento. Si el cuerpo se encuentra en equilibrio neutral, cualquier pequeño
desplazamiento angular no genera ningún par. Se ilustran los tres casos de equilibrio; en la figura
2.3la, una ligera pieza de madera con un contrapeso metálico en su parte inferior es estable. En la
figura 2.3lb cuando el contrapeso metálico se encuentra en la parte superior, el cuerpo está en equilibrio,

(a) Estable

Figura 2.31

(b) Inestable

(e) Neutro

Ejemplos de equilibrio estable, inestable e
indiferente (neutro).

Estática de fluidos

(a)

Figura 2.32

(b)

Cuerpos sumergidos con estabilidad rotacional.

pero cualquier pequeño desplazamiento angular haría que tomara la posición de a; en la figura 2.31c,
se muestra una esfera homogénea o un cilindro recto circular homogéneo, el cual está en equilibrio
para cualquier rotación angular, es decir, de cualquier desplazamiento angular no resulta un par.
Un objeto completamente sumergido es rotacionalmente estable solamente cuando su centro de
gravedad se encuentra por debajo del centro de boyamiento, tal como se muestra en la figura 2.32a.
Cuando el objeto rota en el sentido contrario al de las agujas del reloj, como en la figura 2.32b, la
fuerza de boyarniento y el peso producen un par en la dirección de las manecillas del reloj.
Normalmente, cuando un cuerpo es demasiado pesado para flotar, se hunde y baja hasta el fondo.
A pesar de que el peso específico del líquido aumenta ligeramente con la profundidad, las altas
presiones tienden a comprimir el cuerpo o hacen que el líquido penetre en los poros de sustancias
sólidas y, por consiguiente, disminuye el boyamiento del cuerpo. Por ejemplo, es seguro que un
barco se hunda hasta el fondo una vez que se encuentre completamente sumergido, debido a la
compresión del aire atrapado en sus diferentes partes.
Cualquier objeto flotante con su centro de gravedad por debajo de su centro de boyarniento
(centroide del volumen desplazado) flota en equilibrio estable, tal como se muestra en la figura
2.3la. Sin embargo, ciertos objetos flotantes se encuentran en equilibrio cuando su centro de gravedad
está por encima del centro de boyamiento. En primer lugar se considera la estabilidad de cuerpos
prismáticos, seguida por un análisis de cuerpos flotantes generales para pequeños ángulos de
inclinación.
La figura 2.33a muestra la sección transversal de un cuerpo que tiene sus otras secciones
transversales paralelas idénticas. El centro de boyarniento siempre es el centroide del volumen

Figura 2.33

Estabilidad de un cuerpo prismático.

69

70

C A PÍ TU l O

2

•

Mecánica de fluidos

desplazado, el cual es el centroide del área de la sección transversal por debajo de la superficie
líquida en este caso. Por consiguiente, cuando el cuerpo se inclina, como en la figura 2.33b, el centro
de boyamiento está en el centroide B' del trapezoide ABCD, la fuerza de boyamiento actúa hacia
arriba a través de B' y el peso actúa hacia abajo a través de G, el centro de gravedad del cuerpo.
Cuando la vertical que pasa a través de B' interseca la linea central original por encima de G, como
en M , se produce un par restaurador; el cuerpo se encuentra en equilibrio estable. La intersección de
la fuerza de boyamiento y la línea central se conoce como el metacentro, denominado M . Cuando M
se encuentra por encima de Gel cuerpo es estable. Cuando se encuentra por debajo de G es inestable;
y cuando se encuentra en G, está en equilibrio neutral. La distancia MG se conoce como la altura
metacéntrica y es una medida directa de la estabilidad del cuerpo. El par restaurador es
W MG sen()

en la cual 8 es el desplazamiento angular y W es el peso del cuerpo.

!Ejemplo 2.15

En la figura 2.33 un planchón de 20 pies de ancho y 60 pies de longitud tiene un peso bruto
de 225 toneladas (1 tonelada= 2000 lb). Su centro de gravedad se encuentra 1.0 pie por
encima de la superficie del agua. Encontrar la altura metacéntrica y el par restaurador cuando
!:iy = 1.0 pies.
Solución

La profundidad de sumergencia h en el agua es
h =

225(2000) = 6_0 pies
20(60)(62.4)

El centroide en la posición inclinada se localiza tomando momentos alrededor de AB y BC,
5{20){10) + 2{20)(t)(~)
X =

y =

6{20)

5{20)(~) +

2(2o)(! )(s t )

6(20)

= 9.46 pies

= 3.03 pies

Utilizando los triángulos similares AEO y B' PM,
!:i y

b/2
!:iy

= 1, b/2 = 10, B' P = 10 -

B'P
=~

MP

9.46 = 0.54 pies; entonces

MP

=

0 ·54(!0)
1

= 5.40 pies

G es 7 .O pies desde el fondo; por consiguiente

GP = 7.00 - 3.03 = 3.97 pies
y
MG = MP - GP = 5.40 - 3.97 = 1.43 pies
El planchón es estable debido a que MG es positivo. El momento restaurador es
W MG sen() = 225(2000)(1.43)

~ - = 64,000 lb · pie
-v lOl

Estática de fluidos

EJERCICIOS
2.8.1 Un cuerpo flota en equilibrio estable (a) cuando su altura metacéntrica es O; (b) únicamente
cuando su centro de gravedad se encuentra por debajo del centro de boyamiento; (e) cuando GB IN es positivo y G se encuentra por encima de 8; (d) cuando IN es positivo; (e) cuando el metacentro
se encuentra por encima del centro de gravedad.
2.8.2 Una caja metálica cúbica cerrada de 1 m de lado está hecha de una lámina uniforme y tiene
una masa de 550 kg. Su altura metacéntrica cuando se coloca en aceite, S = O. 90, con sus lados
verticales, es (a) -0.058 m; (b) 0.078 m; (e) 0.33 m; (d) 0.467 m; (e) ninguna de estas respuestas.

2.9

EQUILffiRIO RELATIVO

En estática de fluidos la variación de la presión es simple de calcular, gracias a la ausencia de esfuerzos
cortantes. En el movimiento de fluidos dado que ninguna capa se mueve con relación a capas
adyacentes, el esfuerzo cortante también es cero en todo el fluido. Un fluido en translación con
\'elocidad uniforme sigue aún las leyes de la variación estática de la presión. Cuando el l fquido se
acelera de tal forma que ninguna capa se mueve relativamente hacia una capa adyacente, es decir,
cuando el fluido se mueve como si fuera un sólido, no ocurren esfuerzos cortantes y se puede determinar
la variación de la presión planteando la ecuación de movimiento para un cuerpo libre apropiado.
Existen dos casos de interés, una aceleración lineal uniforme y una rotación uniforme alrededor de
un eje vertical. Cuando se mueve de esta manera, se dice que el fluido se encuentra en equilibrio
relativo.
A pesar de que el equilibrio relativo no es un fenómeno de estática de fl uidos, se discute aquí
dado la similitud de las relaciones.

Aceleración lineal uniforme
C n líquido en un recipiente abierto se somete a una aceleración lineal uniforme a , tal como se muestra
en la figura 2.34. Después de un tiempo. el líquido se ajusta a la aceleración de tal manera que se
mueve como un sólido. Es decir, la distancia entre cualquier par de partículas fluidas permanece
constante y, por consiguiente, no ocurre ningún esfuerzo cortante.
Seleccionando un sistema coordenado cartesiano con y vertical y x. de manera que el vector
aceleración a se encuentra en el plano xy (figura 2.34a), el eje .:: es perpendicular a a y no existe

o

(a)

Figura 2.34

(b)

Aceleración con una superficie libre.

71

72

C AP ÍTU LO

•

2

Mecánica de fluidos

componente de aceleración en esa dirección. A esta situación se aplica la ecuación (2.2.5),
f - jy = - \lp - jy = pa

(2.2.5)

Luego el gradiente de presión Vp es la suma vectorial de - pa y - j y, tal como se muestra en la figura
2.34b. Debido a que Vp se encuentra en la dirección de máximo cambio de p (el gradiente), en
ángulos rectos a Vp, no existe cambio en p . Las superficies de presión constante, incluyendo la
superficie libre, deben por consiguiente ser perpendiculares a Vp. Para obtener una expresión algebraica
conveniente para la variación de p con respecto a x , y y z, es decir, p = p(x, y, z), se debe escribir la
ecuación (2.2.5) en forma de componentes:

reIax + Jav
. .)

\1p = 1
.dp- + j dp + k dp
= - j y- -g
(k
()y
dx

o

dp
dx

=

r

dp
=
d}'

- - ax
g

-r(I +

:J

dp

ék

=o

Dado que p es una función de la posición (x, y , : ), su diferencial total es
dp

=

dp dx + dp dv + dp dz

dx

a:

(f..·
. •

~

Sustituyendo para los diferenciales parciales se encuentra
dp

= -

r-;a r(

a,)

1 + -; dy

dx -

(2.9.1)

la cual puede integrarse para un fluido incompresible,

= - r ~ x-

P

r(t

+ : } +e

Con el fin de evaluar la constante de integración e, sea x =O , y= O , p = p 0 ; entonces e= p 0 y

P

= Po - r a;

x -

r( 1 +

a,.J

-; y

(2.9.2)

Cuando el fluido incompresible que se acelera tiene una superficie libre, su ecuación se obtiene
haciendo que p =O en la ecuación (2.9.2). Despejando y en la ecuación (2.9.2) se encuentra
y = -

Las líneas de presión constante, p

ax X
aY + g

+

Po - P
y(l + a_/g)

= constante, tienen como pendiente
a.
a, + g

y son paralelas a la superficie libre. El intercepto de y en la superficie libre es

Po
y(l + a_/g)

(2.9.3)

Estática de fluidos

73

4.903 mJs2

•

mm

e
Figura 2.35

Tanque completamente lleno de líquido.

El tanque mostrado en la figura 2.35 está lleno de petróleo, densidad relativa 0.8, y se
acelera tal como se muestra. Existe una pequeña abertura en el tanque, en el punto A.
Determinar la presión en B y C y la aceleración a, requerida para hacer que la presión en B
sea igual a O.

Ejemplo 2.161

Solución

Seleccionando el punto A como el origen y aplicando la ecuación (2. 9 .2) para a_,. =Ose llega
a

p = - r ax X

3

-

yy = - 0.8(9806 N/m )(4.903 rnls

2
) X -

0.8(9806 Nfm3)

9.806 m/s 2

g

Y

o
p = - 3922.4 x - 7844.8 y

Pa

EnB,x= 1.8 m,y=-1.2 m y p =2.35 kPa. En C,x=-0.15 m, y =-1.35 m y p= 11.18 kPa.
Para presión cero en B, de la ecuación (2.9.2) con el origen en A,
0.0 = 0.0 -

3
0 8 9806
· (
N/m ) 1.8a - 0.8(9806 N/m 3)(-1.2)
9.806 m/s2
x

o

ax = 6.537 m/s 2

Una caja cerrada con base horizontal de 6 por 6 unidades, y una altura de 2 unidades se
encuentra llena de un líquido hasta la mitad (figura 2.36). Se le da una aceleración lineal
constante a, = g/2 y a> =-g/4. Desarrollar una ecuación para la variación de la presión a lo
largo de su base.
Solución

La superficie libre tiene la pendiente
a.r + g

=

-g/2
- g/4 + g

=

2

3

por consiguiente, la superficie libre se localiza tal como se muestra en la figura. Cuando el
origen se toma en O, la ecuación (2.9.2) se convierte en

P = Po- ~

X -

r(

1+

~) Y = Po- ; (X + %Y)

Ejemplo 2.17

74

C A P 'TU LO

2

•

Mecánica de fluidos

Figura 2.36

Aceleración lineal uniforme de un tanque.

Debido a que p =O en el punto y =O y x = 4.5, entonces p0 = 2.25-y. Entonces, para y= O, a lo largo
del fondo,
p

= 2.25y -

O.S¡x

() :5

X

:5 4.5

Rotación unüorme alrededor de un eje vertical
La rotación de un fluido que se mueve como un sólido, alrededor de un eje, se conoce como movimiento
de vórtice forzado. Cada partícula del fluido tiene la misma velocidad angular. Este movimiento debe
distinguirse del movimiento de vórtice libre, en el cual cada partícula se mueve en una trayectoria
circular, con una velocidad que varía inversamente a la distancia desde el centro. El movimiento de
vórtice libre se plantea en los capítulos 8 y 11. Un líquido dentro de un contenedor. cuando se rota
alrededor de su eje vertical a velocidad angular constante. se mueve como un sólido después de un
cierto intervalo de tiempo. No existen esfuerzos cortantes en el líquido y la única aceleración que
ocurre se dirige radialmente hacia adentro y hacia el eje de rotación. Si se selecciona un sistema de
coordenadas (figura 2.37a) con el vector unitario i en la dirección 1; y el vector j verticalmente hacia
arriba con y como el eje de rotación, se puede aplicar la ecuación (2.2.5) para determinar la variación
de la presión a través del fluido
Vp

= - jy - pa

(2.2.5)

Para velocidad angular constante, w, cualquier partícula del fluido P tiene una aceleración w2r dirigida
radialmente hacia adentro, igual a a = - ici'r. La suma vectorial de -jy y - pa (figura 2.37b) es el
gradiente de presión \p. La presión en el punto no varía en la dirección perpendicular a esta línea.
y

o-pa ::dpolr

-jr

(a)

Figura 2.37

(b)

Rotación de un Ruido alrededor de un eje
vertical.

Estática de fluidos
Por consiguiente, si P se toma en la superficie, la superficie libre es perpendicular a Vp . Expandiendo
la ecuación (2.2.5) se obtiene

.dp

1-

dr

.dp
kdp
+ ()y
(k

+ J-

• 2
= - J. y + 1pm
r

donde k es el vector unitario a lo largo del eje z (o dirección tangencial). Luego

dp
()y

-= - y

Dado que p es función de y y r únicamente, el diferencial total dp es

dp = dp dy + dp dr
()y
dr
Sustituyendo 8p/8y y 8p/8r da como resultado
dp

= - ydy

+ I_ m 2 r dr

(2.9.4)

g

Para un líquido (y= constante) la integración arroja
p

y

r2

g

2

= - m2- -

yy +

e

donde e es la constante de integración. Si el valor de la presión en el origen (r
entonces e =p 0 y

P

= Po +

y ' r2
- - YY
g
2

- m~

= O , y = O) es p 0
(2.9.5)

Cuando se selecciona el plano horizontal particular (y = 0) para el cual p 0 = O y se divide la
ecuación (2.9.5) por y, entonces
P

h= -

m2r 2

= -y
2g

(2.9.6)

la cual muestra que la cabeza de presión, o profundidad vertical, varía con el cuadrado del radio. Las
superficies de igual presión son paraboloides de revolución.
Cuando una superficie libre ocurre en un contenedor que está rotando, el volumen del fluido por
debajo del paraboloide de revolución es el volumen de fluido original. La forma del paraboloide
depende únicamente de la velocidad angular w.
Para un cilindro circular que rota alrededor de su eje (figura 2.38), la elevación del líquido desde
su vértice hasta la pared del cilindro es, de acuerdo con la ecuación (2.9.6) m 2 r~ /2g. Debido a que
el volumen de un paraboloide de revolución es igual a la mitad del cilindro que lo circunscribe, el
volumen del líquido por encima del plano horizontal que pasa por el vértice es
7 '
1 m-r¡,
2 2g

2
nr--

0

Cuando el líquido se encuentra en reposo, este mismo líquido está por encima del plano que pasa por
el vértice con una profundidad uniforme de
1 _
m2_
¡ oz
2 2g

75

76

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

<L

Lro

1

1
1

1
1

+w2r6

1

2g

__1

Figura 2.38

Rotación de un cilindro circular
alrededor de su eje.

Por consiguiente, el líquido sube a lo largo de las paredes en la misma cantidad que baja el centro,
permitiendo localizar el vértice si se conocen w, r0 y la profundidad antes de la rotación.

!Ejemplo 2.18

Un líquido, S= 1.2, rota a 200 rpm alrededor de un eje vertical. En un punto A del fluido
localizado a 1 m del eje, la presión es de 70 k.Pa. ¿Cuál es la presión en un punto B, que se
encuentra a 2m por encima de A y a 1.5 m del eje?
Solución

Cuando se escribe la ecuación (2.9.5) para los dos puntos,
p A = Po +

w2r2
r __
2g
A

-

YY

PB

= Po +

m2r2
8

r--

2g

-

y(y + 2)

Entonces w =200(2 n /60) = 20.95 rad/s, y= 1.2(9806) = 11,767 N/m3, rA= 1 m y r8 = 1.5
m. Cuando de la primera ecuación se resta la segunda y se sustituyen los valores,
70,000 - p 8

= (2 m)(ll , 767 N/m 3 )

+

3
767
ll ,
N/m (20.95/s)2 [1 m 2
2(9.806 rnls 2 )

-

(1.5 m)2 ]

Por consiguiente
p8

= 375.6 kPa

Si un contenedor cerrado no tiene una superficie libre o tiene una superficie libre parcialmente
expuesta, se rota uniformemente alrededor de un eje vertical, se puede construir una superficie libre
imaginaria; su forma es la del paraboloide de revolución dado por la ecuación (2.9.6). La distancia
vertical, desde cualquier punto del fluido a esta superficie libre, es la cabeza de presión en el punto.

Estática de fluidos

Figura 2.39

Rotación de un tubo indinado con
líquido alrededor de un eje vertical.

Un tubo recto de 4 pies de longitud cerrado en el fondo y lleno de agua, se inclina 30° con
respecto a la vertical y se rota alrededor de un eje vertical que pasa a través de su punto
medio a 8.02 rad/s. Dibujar el paraboloide de presión cero y determinar la presión en el
fondo del tubo y en el punto medio de éste.

Ejemplo 2.1 9

Solución

En la figura 2.39 el paraboloide de presión cero pasa a través del punto A. Si el origen se
toma en el vértice, es decir, p0 =O, la ecuación (2.9.6) se convierte en
h

m 2r~
=- =
2g

(8.02)2 (2 sen 30o)2
64.4

.
= 1.Op1e

la cual localiza el vértice en O, 1.0 pie por debajo de A. La presión en el fondo del tubo es
Y(CD), o

= 216lb/pie 2

(4 cos 30°)(62.4)
En el punto medio, OB

=0.732 pies y
p8

77

= 0.732(62.4) = 45.6lb/pie

2

Fuerzas de presión en equilibrio relativo
La magnitud de la fuerza que actúa sobre un área plana, en contacto con un líquido que se acelera
como un cuerpo rígido, puede obtenerse integrando sobre la superficie
F

= J pdA

La naturaleza de la aceleración y la orientación de la superficie dicta la variación particular de p
sobre la superficie. Cuando la presión varía linealmente sobre el plano de la superficie (aceleración
lineal), la magnitud de la fuerza está dada por el producto de la presión en el centroide y en el área,
debido a que el volumen del prisma de presión está dado por pcJ.. Para distribuciones no lineales, la
magnitud y la línea de acción pueden encontrarse mediante integración.

78

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

EJERCICIOS
2.9.1 Una caja cúbica cerrada, cada uno de sus lados de 1 m, se encuentra llena de agua hasta la
mitad y la otra mitad está llena de petróleo, S= 0.75. Cuando se acelera verticalmente hacia arriba, a
4.903 m/s2 , la diferencia de presión entre el fondo y la parte superior, en kilopascales, es (a) 4.9;
(b) 11; (e) 12.9; (d) 14.7; (e) ninguna de estas respuestas.
2.9.2 Cuando la caja del ejercicio 2.9.1 se acelera uniformemente en una dirección horizontal,
paralela a uno de sus lados, con una magnitud de 16.1 pies/s2, la pendiente de la interfaz es (a) O;
(b) -1/4; (e) -1/2; (d) -1; (e) ninguna de estas respuestas.
2.9.3 Cuando la presión manométrica rninima en la caja del ejercicio 2.9.2 es cero, la presión
máxima en metros de agua es (a) 0.94; (b) 1.125; (e) 1.31; (d) 1.5; (e) ninguna de estas respuestas.
2.9.4 El líquido dentro de un cilindro de 10m de longitud se acelera horizontalmente 20g m/s2 a lo
largo del eje del cilindro. La diferencia de presión en los extremos del cilindro, en pascales es (a)
20y, (b) 200y, (e) 20gy, (d) 200-y/g; (e) ninguna de estas respuestas.
2.9.5 Cuando un líquido rota a velocidad angular constante, alrededor de un eje vertical como un
cuerpo rígido, la presión (a) disminuye con el cuadrado de la distancia radial; (b) se incrementa
linealmente con la distancia radial; (e) disminuye con el cuadrado del incremento de elevación a lo
largo de cualquier línea vertical; (d) varía inversamente con la elevación a lo largo de cualquier línea
vertical; (e) varía con el cuadrado de la distancia radial.
2.9.6 Cuando un líquido rota alrededor de un eje vertical como un cuerpo sólido, de tal manera
que los puntos en el eje tengan la misma presión que los puntos que están 2 pies más alto y a 2 pies
del eje, la velocidad angular en radianes por segundo es (a) 8.02; (b) 11.34; (e) 64.4; (d) no se puede
determinar con los datos suministrados; (e) ninguna de estas respuestas.
2.9.7 Un cilindro recto circular, abierto en su parte superior, se llena de líquido, S= 1.2, y se rota
alrededor de su eje vertical a tal velocidad que la mitad del líquido se derrama. La presión en el
centro del fondo es (a) O; (b) .X del valor cuando el cilindro estaba lleno; (e) no se puede determinar
debido a la insuficiente información; (d) mayor que un caso similar cuando el líquido es agua; (e)
ninguna de estas respuestas.
2.9.8 Un vórtice forzado (a) se mueve en dirección opuesta a una libre; (b) siempre ocurre junto
con un vórtice libre; (e) tiene su velocidad disminuyendo con el radio; (d) ocurre cuando el fluido
rota como un sólido; (e) tiene su velocidad disminuyendo inversamente con el radio.

PROBLEMAS
2.1
Probar que la presión es la misma en todas las direcciones en un punto dentro de un fluido
estático para el caso tridimensional.
2.2
¿El edificio Empire S tate tiene 1250 pies de altura. ¿Cuál es la diferencia de presión en libras
por pulgada cuadrada de una columna de agua de la misma altura?
2.3
¿Cuál es la presión en un punto 10 metros por debajo de la superficie libre de un fluido que
tiene una densidad variable en kilogramos por metro cúbico dada por p = 450 +ah, en la cual a= 12
kg/m4 y hes la distancia en metros, medida desde la superficie libre?
2.4
Una tubería vertical de gas en un edificio contiene gas p = 0.002 slug/ pie3 y p = 3.0 pulgH20 manométrica en el sótano. Determinar la presión del gas en pulgadas de agua en la parte superior del edificio que tiene 800 pies de altura, (a) suponiendo que el gas es incompresible y (b)
suponiendo que el gas es isotérmico. La presión barométrica es 34 pies de H20 y t = 70°F.

Estática de fluidos
2.5
Deducir las ecuaciones que dan la presión y la densidad en cualquier elevación en un gas
estático cuando se conocen las condiciones en una elevación y el gradiente de temperatura {3.
2.6
Mediante un proceso de límite cuando {3 ~ O, deducir el caso isotérmico a partir de los
resultados del problema 2.5.
2.7
Utilizar los resultados del problema 2.5 para determinar la presión y la densidad en (a) una
elevación de 3000 m cuando p = 100 kPa abs y T = l5°C y (b) una elevación de 300m para aire y

f3 = -0.005°Cim.
2.8
Para aire isotérmico a 0°C, determinar la presión y la densidad a 4000 m cuando la presión al
nivel del mar es 0.1-MPa abs.
2.9
En aire isotérmico a 80°F, ¿cuál es la distancia vertical necesaria para que haya una reducción
en densidad del 10%?
Expresar una presión de 50 kPa en (a) milímetros de mercurio, (b) metros de agua, (e) me2.10
tros de tetrabromuro de acetileno, S= 2.94.
Un manómetro Bourdon marca 2 psi de succión y la lectura del barómetro es 29.5 pulg. de
2.11
Hg. Expresar la presión en otras 6 formas usuales.
2.1Z
Expresar 4 atm como presión manométrica en metros de agua cuando el barómetro marca
750mmHg.
2.13
Un manómetro Bourdon A dentro de un tanque a presión (figura 2.40) marca 12 psi. Otro
manómetro Bourdon B fuera del tanque de presión, y conectado a éste, marca 20 psi, y un barómetro
aneroide marca 29 pulg Hg. ¿Cuál es la presión absoluta medida por A expresada en pulgadas de
mercurio?
2.14
Determinar las alturas de columna de agua; querosene, S= 0.83; y tetrabromuro de acetileno,
S = 2.94 equivalentes a 300 mm Hg.
2.15
A, B,

El tanque de la figura 2.41 contiene agua y aire tal como se muestra. ¿Cuál es la presión en

e y D en libras por pie cuadrado y en pascales?

2.16

El tubo de la figura 2.42 se llena de petróleo. Determinar la presión en A y B en metros de agua.

2.17

Calcular la presión en A, B , e y D de la figura 2.43 en pascales.

2.18
Para una lectura de h = 20 pulg, en la figura 2.10a, determinar la presión en A, en libras por
pulgada cuadrada. El líquido tiene una densidad relativa de 1.90.
2.19
Determinar la lectura h en la figura 2.1 Ob para p A =30 kPa a succión, si el líquido es querosene,
S= 0.83.
2.20
En la figura 2.10b, para h =8 pulg y una lectura de barómetro de 29 pulg Hg, si el líquido es
agua, encontrar la presión absoluta p A en pies de agua.

Figura 2.40

Problema 2.13.

79

80

C A PÍ TU LO

2

•

Mecánica de fluidos

T

¡

] P,IC

+

T
3 pies

j_
Figura 2.41

Problema 2. 15

A

2m

Figura 2.42

Problema 2.16.

e
Petróleo
'
S0.9

..
D

Figura 2.43

Problema 2.1 7.

2.21
En la figura 2.10c S 1 = 0.86, S2 = 1.0, h 1 = 150 mm y h2 = 90 mm. Encontrar la presión
manométrica pA en milímetros de mercurio. Si la lectura del barómetro es 720 mm Hg, ¿cuál es la
presión absoluta pA en metros de agua?
El tanque A de la figura 2.10c contiene gas. Si el fluido manométrico es agua y h 1 = 75 mm,
2.22
determinar la presión en A, en pulgadas de mercurio.
En la figura 2.lla SI= 1.0, s2= 0.95, s3= 1.0, h ! = h2 = 280 mm y h3=1m. Calcular PA- Ps
2.23
en milímetros de agua.

Estática de fluidos

-o

Figura 2.44

2.24

Problema 2.27.

En el problema 2. 23 encontrar la diferencia manométrica h 2 para pA - p8 = -350-mm H 2O .

En la figura 2.llb SI = s3 = 0.83 , s2 = 13.6, hl = 150 mm, h2 = 70 mm y h3 = 120 mm. (a)
2.25
Encontrar p A si p 8 = 1Opsi. (b) Para p A = 20 psia y una lectura barométrica de 720 mm Hg, encontrar
la presión manométrica p 8 en metros de cabeza de agua.
2.26

Encontrar la diferencia manométrica h2 en el problema 2.25 para p A = p 8 •

2.27
En la figura 2.44, A contiene agua y el fluido del manómetro tiene una densidad relativa de
2.94. Cuando el menisco izquierdo se encuentra en cero de la escala, p A = 100-mrn H 20. Encontrar la
lectura del menisco derecho para p A = 8 lePa, si no se ajusta ni el tubo en U ni la escala.
2.28
tubo?

En la figura 2.45 encontrar la presión en A, en pascales. ¿Cuál es la presión del aire en el

T

30cm

T

1

50 cm

1
S= 2.94
Agua

Figura 2.45

Problemas 2.28 y 2.29.

81

82

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

2.29
En la figura 2.45, si el agua se reemplaza por mercurio y las medidas permanecen iguales,
¿cuál sería la presión en A y cuál la presión del aire en el tubo?
2.30
En la figura 2.12, deteililinar R la diferencia manométrica, para una diferencia en la presión
del gas de 9-mm H20 , y1 = 9.8 kN/m3 , y 3 = 10.5 kN/m3 y alA= 0.01.
2.31
El manómetro inclinado de la figura 2.13 lee cero cuando A y B se encuentran a la misma
presión. El diámetro del tanque es 2 pulgadas y el del tubo inclinado es de ,Y,; de pulgada. Para (} =
30° y un fluido manométrico con S= 0.832, encontrar pA - p 8 en libras por pulgada cuadrada como
una función de la lectura del manómetro R en pies.
2.32
Deteililinar el peso W que puede ser sostenido mediante la fuerza que actúa en el pistón de la
figura 2.46.
2.33
Sin tener en cuenta el peso del tanque (figura 2.47), encontrar (a) la fuerza que tiende a
levantar la tapa circular CD y (b) la carga compresiva en la pared de la tubería en A -A.
2.34
Encontrar la fuerza causada por el aceite en la superficie superior CD de la figura 2.47, si el
nivel del líquido en la tubería abierta se reduce en 1 m.
2.35
El tanque mostrado en la figura 2.48 tiene una sección transversal circular. Determinar la
fuerza hacia arriba sobre la superficie cónica ABCD. ¿Cuál es la fuerza hacia abajo sobre el plano EF?
¿Es esta fuerza igual al peso del fluido? Explicar.
240-mmdiam
40-mmdiam

lMN

figura 2.46

Problema 2.32.

2 pulg
diam

Figura 2.47

Problemas 2.33 y 2.34.

Estática de fluidos

2 pies diam - -o-f

4 pies diam

Figura 2.48

Problema 2.35.

l
J

250mm

Figura 2.49

Problema 2.36.

2.36
El tanque cilíndrico de la figura 2.49 pesa 400 N cuando está vacío. Se llena de agua y se
coloca sobre el pistón. (a) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre el extremo superior del cilindro? (b) Si un
peso adicional de 600 N se coloca sobre el cilindro, ¿cuánto se incrementará la fuerza causada por el
agua contra la parte superior del cilindro?
2.37
Un barril de 600 mm de diámetro, lleno de agua, tiene un tubo vertical de 12 mm de diámetro
unido a su parte superior. Sin tener en cuenta la compresibilidad, ¿cuántos kilogramos de agua deben
añadirse al tubo para ejercer una fuerza de 4 kN sobre la parte superior del barril?
2.38
Una superficie en forma de triángulo rectángulo vertic-al tiene un vértice en la superficie
libre de un líquido (figura 2.50). Encontrar la fuerza en uno de los lados (a) mediante integración y
(b) utilizando ecuaciones.
2.39
Determinar la magnitud de la fuerza que actúa en uno de los lados del triángulo vertical ABC
de la figura 2.51. (a) mediante integración y (b) utilizando ecuaciones.
2.40
Encontrar el momento alrededor de AB de la fuerza que actúa en uno de los lados de la
superficie vertical ABC de la figura 2.50. y= 9000 N/m ~ .
2.41
La compuerta triangular en el extremo de un tanque se encuentra piboteada a lo largo del eje
horizontal AB, figura 2.52. Encontrar el momento necesario para mantener la compuerta en la posición
Yertical.
2.42
Encontrar el momento alrededor de AB de la fuerza que actúa en uno de los lados de la
superficie vertical ABC de la figura 2.Sl. ·
2.43
Localizar una línea horizontal por debajo de AB en la figura 2.51, de tal manera que la
magnitud de la fuerza de presión sobre la superficie vertical ABC sea igual por encima y por debajo
de la línea.

83

84

C A PÍ T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

Figura 2.50

Problemas 2.38, 2.40, 2.50 y 2.51 .

Figura 2.51

Problemas 2.39, 2.42,
2.43, 2.48 y 2.49.

j-6m
Figura 2.52

•1

Problema 2.41 .

2.44
Determinar la fuerza que actúa sobre uno de los lados de la superficie vertical OABCO de la
figura 2.53. -y= 9 kN/m3•
2.45
Calcular la fuerza ejercida por el agua en uno de los lados del área anular vertical mostrada
en la figura 2.54.
2.46
Determinar el momento alrededor de A, requerido para mantener la compuerta tal como se
muestra en la figura 2.55.
2.47
Si existe agua en el otro lado de la compuerta (figura 2.55) hasta A, determinar la fuerza
resultante debida al agua sobre ambos lados de la compuerta, incluyendo su línea de acción.

Estática de fluidos

A

y

Figura 2.53

Problemas 2.44, 2.55 y 2.80.

Figura 2.54

Problemas 2.45 y 2.52.

Figura 2.55

Problemas 2.46, 2 .47 y
2.53.

85

86

C A P 1T U L O

2

•

Mecánica de fluidos

2.48
Localizar la distancia del centro de presión por debajo de la superficie líquida del área triangular ABC de la figura 2.51 (a) mediante integración y (b) utilizando ecuaciones.
2.49
Local izar, mediante integración, el centro de presión en sentido horizontal del área triangular ABC de la figura 2.51.
2.50
Utilizar el prisma de presión para determinar la fuerza resultante y la localización para el
triángulo de la figura 2.50.
2.51

Determinar mediante integración el centro de presión para la figura 2.50.

2.52

Localizar el centro de presión del área anular de la figura 2.54.

2.53

Localizar el centro de presión para la compuerta de la fi gura 2.55.

2.54
Un cuadrado vertical de área 6 por 6 pies se sumerge en agua con su borde superior 3 pies
por debajo de la superficie. Localizar una linea horizontal sobre la superficie del cuadrado de tal
forma que (a) la fuerza en la porción superior sea igual a la fuerza en la porción inferior y (b) el
momento de la fuerza alrededor de la linea debido a la porción superior sea igual al momento debido
a la fuerza en la porción inferior.
2.55

Localizar el centro de presión del área vertical OABCO de la figura 2.53.

2.56

Localizar el centro de presión para el área vertical de la figura 2.56.

En la figura 2.57 la compuerta OBC, tiene 4 m de ancho y es rígida. Sin tener en cuenta el
2.57
peso de la compuerta, y suponiendo que la fricción en la bisagra es despreciable, ¿cuál es la fuerza P
necesaria para mantener la compuerta cerrada?

Figura 2.56

Problema 2.56.

1

3m

_1
8

Figura 2.57

Problema 2.57.

Estática de fluidos

1
y

Figura 2.58

Problema 2.58.

Figura 2.59

Problema 2.59.

2.58
En la figura 2.58 determinar y, de tal manera que las tablas se volteen cuando el agua alcance
su parte superior.
2.59
Determinar la localización y del pivote de la compuerta rectangular de la figura 2.59, de tal
manera que ésta se abra cuando la superficie líquida sea tal como se muestra.
2.60
Utilizar el prisma de presión para demostrar que el centro de presión se aproxima al centroide
de un área a medida que la profundidad de sumergencia aumenta.
2.61
Demostrar que la magnitud de la fuerza resultante, en un área plana completamente sumergida,
no cambia si el área se rota alrededor de un eje que pasa por su centroide.
2.62
Un triángulo equilátero, con uno de sus bordes en la superficie de agua, se extiende hacia abajo
formando un ángulo de 45°. Localizar el centro de presión en función de la longitud de un lado b.
2.63
El eje de la compuerta mostrada en la figura 2.60 fallará con un momento de 150 kN·m.
Determinar el valor máximo de la profundidad del líquido h.
2.64

En la figura 2.60 desarrollar una expresión para y p en función de h.

2.65
La presa de la figura 2.61 tiene un contrafuerte AB cada 6 metros. Determinar la fuerza de
compresión en el contrafuerte, despreciando el peso de la presa.
2.66
La compuerta mostrada en la figura 2.62 pesa 300 lb/pie en dirección perpendicular al papel.
Su centro de gravedad se encuentra 1.5 pies desde la cara izquierda y 2.0 pies por encima de la cara

87

88

CAPÍTUlO

2

•

Mecánica de fluidos

1 Compuerta
1

de2 m

1 de ancho
1

: 2.8m
1
1

1

2.1 m
Figura 2.60

Problemas 2.63 y 2.64.

Contrafuerte

Figura 2.61

Figura 2.62

Problema 2.65.

Problemas 2.66·2.68 y 2.149.

Estática de fluidos
inferior, y está pivoteada en O. Determinar la posición de la superficie del agua cuando la compuerta
está a punto de abrirse. (La superficie de agua se encuentra por debajo de la bisagra).
2.67
Encontrar h en el problema 2.66 para que la compuerta esté a punto de volver a la posición
vertical mostrada.
2.68
Determinar el valor de h y la fuerza contra el tope, cuando esta fuerza es máxima para la
compuerta del problema 2.66.
2.69
(a) Encontrar la magnitud y la línea de acción de la fuerza en cada lado de la compuerta de la
figura 2.63. (b) Hallar la fuerza resultante debida al liquido sobre ambos lados de la compuerta. (e)
Determinar F para abrir la compuerta si ésta es uniforme y tiene una masa de 2000 kg.
2.70
Para una variación lineal de esfuerzo en la base de la presa de la figura 2.64 (a) localizar el
punto donde la resultante cruza la base y (b) calcular los esfuerzos de compresión máximos y mínimos
en la base. Ignorar el empuje hidrostático hacia arriba.
2.71
Resolver el problema 2.70 teniendo en cuenta el empuje hidrostático hacia arriba, el cual
varía linealmente de 20 m en A hasta cero en el pie de la presa.
2.72

Encontrar el momento M en O (figura 2.65) para mantener cerrada la compuerta.

Figura 2.63

Problema 2.69.

l-J-J-_11 m--J

13ml4m 1
Figura 2.64

Problemas 2.70 y 2.71 .

1

89

90

C A PÍ T U l O

2

•

Mecánica de fluidos

Compuerta
de 6 pies
de ancho

S0 =6

Figura 2.65

Problema 2.72.

2.73
La compuerta de la figura 2.66 se encuentra en equilibrio. Calcular W, el peso del contrapeso
por unidad de ancho, sin tener en cuenta el peso de la compuerta. ¿Está la compuerta en equilibrio
estable?
2.74
¿Hasta qué altura h tendría que subir el agua, en el lado derecho, para abrir la compuerta
mostrada en la figura 2.67? La compuerta tiene 5 pies de ancho y está construida en un material con
una densidad relativa de 2.5. Utilizar el método del prisma de presión.
2.75
Calcular la presión de aire requerida para mantener cerrada la compuerta de 700 mm de
diámetro de la figura 2.68. La compuerta es una placa circular que pesa 1800 N.
2.76
Una bola de acero de 20 mm de diámetro cubre un agujero de 10 mm de diámetro en una
cámara de presión donde la presión es 30 MPa. ¿Cuál es la fuerza requerida para despegar la bola de
la abertura?
2.77
Si la componente horizontal de la fuerza sobre una superficie curva no fuera igual a la fuerza
de la proyección de la superficie hacia un plano vertical, ¿qué conclusiones puede sacar usted con
respecto a la propulsión de un bote? (Figura 2.69).
2.78
(a) Determinar la componente horizontal de la fuerza que actúa sobre la compuerta radial
(figura 2.70) y su linea de acción. (b) Determinar la componente vertical de la fuerza y su línea de

Figura 2.66

Figura 2.67

Problema 2.73.

Problema 2.74 .

Estática de fluidos

Figura 2.68

Figura 2.69

Problema 2.75.

Problema 2.77.

o
Compuerta
de 2m
de ancho

e
•

F1gura 2.70

f

Problema 2.78.

acción. (e) ¿Cuál es la fuerza F requerida para abrir la compuerta, despreciando su peso? (d) ¿Cuál es
el momento alrededor de un eje perpendicular al papel y a través del punto O?
2.79
Encontrar la componente vertical de la fuerza sobre la compuerta curva de la figura 2.71,
incluyendo su línea de acción.
2.80
¿Cuál es la fuerza sobre la superficie cuya trayectoria es OA en la figura 2.53? La longitud
perpendicular al papel es 3 m y 'Y= 9 kN/m3 .
2.81
Determinar el momento necesario para mantener en su sitio la compuerta de la figura 2.72,
sin tener en cuenta su peso.
2.82
La compuerta curva de 2m de longitud de la figura 2.73 se encuentra pivoteada en O. Si el
líquido es agua, encontrar la componente horizontal de la fuerza que actúa sobre la compuerta y su
línea de acción. Encontrar la componente vertical de la fuerza y su línea de acción. ¿Cuál es la fuerza
requerida para abrir la compuerta, sin tener en cuenta su peso?
2.83
Determinar el momento M para mantener la compuerta de la figura 2. 71, sin tener en cuenta
su peso.
2.84
Calcular la fuerza F requerida para mantener la compuerta de la figura 2.74 en una posición
cerrada cuando R = 2 pies.
2.85
Calcular la fuerza F requerida para abrir o mantener cerrada la compuerta de la figura 2.74
cuando R = 1.5 pies.
2.86
¿Cuál es R en la figura 2.74 si no se requiere fuerza F para mantener cerrada o abierta la
compuerta?

91

92

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

X

Figura 2.71

Figura 2.72

Problemas 2.79 y 2.83.

Problema 2.81.

F

Figura 2.73

Problema 2.82.

2.87
En la figura 2.75 se ilustra un cilindro circular recto. La presión, en libras por pie cuadrado,
debida al flujo alrededor del cilindro, varía sobre el segmento ABC como p =2p(l - 4 sen2 8) +50.
Calcular la fuerza sobre ABC.
2.88
Si la variación de la presión sobre el cilindro de la figura 2.75 es p
50, determinar la fuerza sobre el cilindro.

= 2p[l -

4(1 + sen 8) 2] +

2.89
Un tronco mantiene agua y petróleo, tal como se muestra en la figura 2.76. Determinar (a) la
fuerza por metro que empuja contra la presa, (b) el peso del cilindro por metro de longitud y (e) su
densidad relativa.
2.90
El cilindro de la figura 2.77 está lleno de líquido tal como se muestra. Encontrar (a) la
componente horizontal de la fuerza sobre AB por unidad de longitud, incluyendo su línea de acción,

Estática de fluidos

Compuena
de 4 pies
de ancho

F

2 pies

_¡
5=3.0

Figura 2.74

Problemas 2.84-2.86.

e
Figura 2.75

Figura 2.76

Problemas 2.87 y 2.88.

Problema 2.89.

93

94

C A PÍ TU LO

2

•

Mecánica de fluidos
A

B

e
Figura 2.77

Figura 2.78

Problema 2 90

Problema 2.91.

y (b) la componente vertical de la fuerza sobre AB por unidad de longitud, incluyendo su línea de
acción.
2.91
El domo semiesférico de la figura 2.78 se encuentra lleno de agua. Tal como se muestra, el
ensamblaje del domo pesa 28 kN y está unido al suelo mediante tornillos igualmente espaciados
alrededor de la circunferencia de la base. Encontrar la fuerza total requerida para sostener el domo.
Un cable y un anillo semicircular suspenden un tanque esférico mediante un pequeño tubo
2.92
piezométrico, figura 2.79. La parte superior del tubo se encuentra abierta a la atmósfera. Calcular (a)
la fuerza sobre la mitad inferior de la esfera, (b) la fuerza sobre la mitad superior de la esfera y (e) la
tensión total en el cable. Ignorar el peso del tanque.
2.93
Encontrar la fuerza resultante, incluyendo su línea de acción, que actúa sobre la superficie
exterior del primer cuadrante de una concha esférica de radio 600 mm con centro en el origen. Su
centro se encuentra 1.2 m por debajo de la superficie de agua.
El volumen del elipsoide dado por x 2/a 2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 es 4rc abc/3 , y el área de la elipse
x 2/a 2 + z2/c2 = 1 es 1Cac . Determinar la fuerza vertical sobre la superficie dada en el ejemplo 2.10.
2.94

2.95
Una tubería a presión, de 16 pies de diámetro, mueve líquido a 200 psi. ¿Cuál es el espesor
de la pared de la tubería requerido para un esfuerzo máximo de 10,000 psi?
Para obtener la misma área de flujo, ¿qué sistema de tubería requiere la menor cantidad de
2.96
acero, una tubería simple o cuatro tuberías con la mitad del diámetro? En cada caso el esfuerzo de
pared de tubería máximo permisible es el mismo.

Estática de fluidos

Figura 2.79

Figura 2.80

Problema 2. 92.

Problema 2.99.

2.97
Una esfera hueca con paredes delgadas de 3 m de diámetro mantiene un gas a 1.5 MPa. Para
un esfuerzo permisible de 60 MPa, determinar el espesor de pared mínimo.
2.98
Un tanque cilíndrico de 7 pies de altura y 4 pies de diámetro tiene 2 zunchos, a un pie de cada
extremo, para soportar la tensión en la tubería. Cuando se llena de agua, ¿cuál es la tensión en cada
zuncho?
2.99
La compuerta cilíndrica mostrada en la figura 2.80 está hecha de un cilindro circular y de
una placa unida a la presa por un pivote. La posición de la compuerta se controla bombeando agua
hacia dentro y hacia fuera del cilindro. El centro de gravedad de la compuerta vacía está sobre la línea
de simetría a 4 pies del pasador. Se encuentra en equilibrio cuando está vacía en la posición mostrada.
¿Cuántos pies cúbicos de agua deben añadirse por pie de cilindro, para mantener la compuerta en su
posición cuando la superficie del agua aumenta 3 pies?

2.100 Una esfera de 250 mm de diámetro, S= 1.4, se sumerge en un líquido con una densidad que
varía con la profundidad y por debajo de la superficie como p = 1000 + 0.03y kg/m3 . Determinar la
posición de equilibrio para la esfera en el líquido.
2.101 Repetir los cálculos del problema 2.100 para un cilindro circular horizontal con una densidad
relativa de 1.4 y un diámetro de 250 mm.
2.102 Un cubo de 2 pies de lado tiene su mitad inferior con S= 1.4 y su mitad superior con S= 0.6.
Se sumerge en un fluido de dos capas, la inferior con S= 1.2 y la superior con S= 0.9. Determinar la
altura de la parte superior del cubo por encima de la interfase.
2.103 Determinar la densidad, el volumen específico y el volumen de un objeto que pesa 3 N en
agua y 4 N en petróleo, S= 0.83.
2.104 Dos cubos del mismo tamaño, 1m3 , uno de S= 0.8 y otro de S= 1.1, se conectan mediante un
cable corto y se localizan en agua. ¿Qué porción del cubo más liviano se encuentra por encima de la
superficie de agua y cuál es la tensión en el cable?

95

96

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

2.105 En la figura 2.81 un prisma triangular hueco se encuentra en equilibrio, como se muestra
cuando z = 1 pie y y = O. Encontrar el peso del prisma por pie de longitud y z en términos de y para
equilibrio. Ambos líquidos son agua. Determinar el valor de y para z = 1.5 pies.
2.106 ¿Cuántas libras de concreto, y= 25 kN/rn\ deben unirse a una viga que tiene un volumen de
0.1 m 3 y S= 0.65 para hacer que el conjunto se hunda en el agua?
2.107 La madera de la figura 2.82 se mantiene en una posición horizontal mediante el ancla de
concreto. La madera de 120 mm por 120 mm por 5 m tiene una densidad relativa de 0.6, mientras que
la del concreto es 2.5. ¿Cuál debería ser el peso total mínimo del concreto?
2.108 Un globo esférico de 15 m de diámetro se encuentra abierto en su parte inferior y lleno de
hidrógeno. Para una lectura de barómetro de 28 pulg Hg y 20°C, ¿cuál es el peso total del globo y la
carga que lo mantiene estacionario?
2.109 Un globo de aire caliente pesa 600 lb, incluyendo el peso de la canasta, de una persona y del
globo. El aire caliente dentro del globo tiene una temperatura de 155°F y la temperatura del aire es
75°F. Suponiendo presión atmosférica estándar tanto adentro como afuera del globo, ¿cuál debería
ser el diámetro requerido del globo suponiendo una forma esférica? Si la temperatura del aire afuera
fuese 35°F, ¿cuál debería ser el tamaño del globo?
2.110 Un hidrómetro pesa 0.035 N y tiene un tronco de 6 mm de diámetro. Calcular la distancia
entre las marcas de densidades relativas 1.0 y 1.1.
2.111 Diseñar un hidrómetro para leer densidades relativas en el rango 0.80 a 1.10 cuando la escala
debe tener 75 mm de longitud.
2.112 La compuerta de la figura 2.83 pesa 150 lb/pie perpendicular a la página. Se encuentra en
equilibrio, tal como se muestra. Despreciando el peso del brazo y el cable que soportan el contrapeso,

Figura 2.81

Problemas 2.105 y 2.150.

Figura 2.82

Problema 2.1 07.

Estática de fluidos

-~
5 p ie ~

Figura 2.83

Problema 2. 112.

(a) encontrar W y (b) determinar si la compuerta está en equilibrio estable. El contrapeso está hecho

de concreto, S

=2.50.

2.113 Un tronco cilíndrico de 600 mm de diámetro, S= 0.50, tiene un cilindro de concreto de 600
mm de longitud del mismo diámetro, S = 2.50, amarrado en uno de sus extremos. Determinar la
longitud del cilindro de madera para que el sistema flote en equilibrio estable con su eje vertical.
2.114 ¿Una viga de 4 m de longitud con sección transversal cuadrada, S= 0.75, flotará en equilibrio
estable en agua con los dos lados horizontales?
2.115

Determinar la altura metacéntrica del toro mostrado en la figura 2.84.

2.116 La compuerta plana (figura 2.85) pesa 2000 N/m perpendicular al papel y su centro de gravedad
se encuentra 2m desde la bisagra en O. (a) Encontrar h como una función de() para equilibrio de la
compuerta. (b) ¿La compuerta se encuentra en equilibrio estable para cualquier valor de 6?

r=30 cm

Figura 2.84

Figura 2.85

Problema 2.115.

Problema 2.116.

97

98

C A P Í T U LO

2

•

Mecánica de fluidos

2.117 Un tanque de líquido S= 0.88 se acelera uniformemente en una dirección horizontal, de tal
manera que la presión disminuye dentro del liquido 20 lePa/m en la dirección del movimiento.
Determinar la aceleración.
2.118 La superficie libre de un líquido hace un ángulo de 20° con respecto a la horizontal cuando
se acelera uniformemente en una dirección horizontal. ¿Cuál es la aceleración?
2.119 Un automóvil acelera uniformemente hasta 60 mph en 5 segundos, en una carretera horizontal. ¿Cuál es la pendiente de la superficie libre en el tanque de gasolina del vehículo?
2.120 En la figura 2.86, ax = 12.88 pies/s2 y a,. = O. Encontrar la superficie libre líquida imaginaria
y la presión en B, e, D y E.
.
2.121

En la figura 2.86, ax =O y a, = -8.05 pies/s2 • Encontrar la presión en B,

e, D y E.

2.122 En la figura 2.86, ax= 8.05 pies/s2 y a,. = 16.1 pies/s 2. Encontrar la superficie libre imaginaria
y la presión en B, e, D y E.
.
2.123

En la figura 2.87, a.. = 9.806 rn/s 2 y a_,. = O. Encontrar la presión en A, By C.

Figura 2.86

Problemas 2.1 20·2.122 y
2.126.

r
B

~-+1•- - 1 . 3 m.--+-~•1

Figura 2.87

e

Problemas 2.123 y
2.124.

Estática de fluidos

A

Figura 2.88

Problemas 2.127, 2.133, 2.134
y 2.144.

2.124

En la figura 2.87, a.t = 4.903 m/s2 y a 1, = 9.806 rn/s 2. Encontrar la presión en A, By C.

2.125 Un tanque de sección transversal circular, de 6 pies de profundidad y 4 pies de diámetro, se
encuentra lleno de un líquido y acelera uniformemente en una dirección horizontal. Si la tercera parte
del líquido se derrama, determinar la aceleración.
2.126

Determinar ax y a>" en la figura 2.86 si las presiones en A, B y C son iguales.

2.127 El tubo de la figura 2.88 está lleno de un líquido, S = 2.40. Cuando se acelera hasta la
derecha a 8 .05pie/s2 , dibujar la superficie libre imaginaria y determinar la presión en A. Para p A = 8psi vacío determinar ax.
2.128 Una caja cúbica de 1 m de lado, abierta en la parte superior y llena de agua hasta la mitad, se
coloca en un plano inclinado que hace un ángulo de 30° con respecto a la horizontal. La caja vacía
pesa 500 N y tiene un coeficiente de fricción de 0.30 con el plano. Determinar la aceleración de la
caja y el ángulo que la superficie libre del agua hace con respecto a la horizontal.
2.129 Demostrar que la presión es igual en todas las direcciones en un punto dentro de un líquido
que se mueve como un sólido.
2.130 Una caja cerrada contiene dos líquidos no miscibles. Demostrar que cuando se acelera
uniformemente en la dirección x, la interfaz y la superficie de presión cero son paralelas.
2.131 Verificar la afirmación hecha en la sección 2.9 sobre rotación uniforme alrededor de un eje
vertical, es decir que, cuando un fluido rota en la misma forma que un cuerpo sólido, no existe
esfuerzo cortante en el fluido.
2.132 Un tanque que contiene líquido, S= 1.3, rota alrededor de un eje vertical. La presión en un
punto localizado a 0 .6 m radialmente desde el eje es igual a la de otro punto 1.2 m desde el eje con
una elevación 0.6 m mayor. Calcular la velocidad de rotación.
2.133 El tubo en U de la figura 2.88 rota alrededor de un eje vertical 6 pulg a la derecha de A, a tal
velocidad que la presión manométrica en A, es cero. ¿Cuál es la velocidad de rotación?
2.134 Localizar el eje vertical de rotación y la velocidad de rotación del tubo en U de la figura 2.88,
de tal manera que la presión del líquido en el punto medio del tubo en U y en A sean ambas cero.
2.135 Un fluido incompresible de densidad p, moviéndose como un sólido, rota a una velocidad w
alrededor de un eje inclinado fr con respecto a la vertical. Conociendo la presión en un punto en el
fluido, ¿cómo calcularía la presión en otro punto?

99

100 C A P Í T U L O 2

•

Mecánica de fluidos

2.136 Un cilindro circular recto de radio r 0 y altura h0 , con su eje vertical, se encuentra abierto en la
parte superior y lleno de líquido. ¿A qué velocidad debe rotar para que la mitad del área del fondo
quede expuesta?
2.137 Un líquido rotando como un sólido alrededor de un eje horizontal tiene una presión de 10 psi
en el eje. Determinar la variación de la presión a lo largo de una línea vertical a través del eje para una
densidad p y una velocidad w.
2.138 Determinar la ecuación de las superficies de presión constante para la situación descrita en el
problema 2.137.
2.139 Probar mediante integración que un paraboloide de revolución tiene un volumen igual a la
mitad del cilindro que lo circunscribe.
2.140 Un tanque contiene dos líquidos no miscibles y rota alrededor de un eje vertical. Demostrar
que la interfaz tiene la misma forma que la superficie de presión cero.
2.141 Una esfera hueca de radio r0 se llena de un líquido y rota alrededor de su eje vertical con una
velocidad w. Localizar la línea circular de máxima presión.
2.142 Un gas que sigue la ley pp-n = constante rota alrededor de un eje vertical como un sólido.
Deducir una expresión para la presión en una dirección radial para velocidad w, presión p 0 y densidad
Po. en un punto sobre el eje.
2.143 Un tanque que contiene agua rota alrededor de un eje vertical con una velocidad angular de
50 rad/s. Al mismo tiempo, el tanque tiene una aceleración hacia abajo de 16.1 pies/s2 • ¿Cuál es la
ecuación para una superficie de presión constante?
2.144 El tubo en U de la figura 2.88 rota alrededor de un eje vertical a través de A con una velocidad
tal que el agua en el tubo empieza a vaporizarse en el extremo cerrado por encima de A, el cual se
encuentra a 70°F. ¿Cuál es la velocidad angular? ¿Qué pasaría si la velocidad angular fuera
incrementada?
2.145 Una caja cúbica de 1.3 m de lado se encuentra abierta en la parte superior y llena de agua.
Cuando se acelera hacia arriba a 2.45 rn/s~, encontrar la magnitud de la fuerza causada por el agua
sobre uno de los lados de la caja.
2.146 Un cubo de 1 m de lado se llena de líquido, S= 0.65, y se acelera hacia abajo a 2.45 rn/s2•
Encontrar la fuerza resultante de uno de los lados del cubo debida a la presión del líquido.
2.147 Un cilindro de 2 pies de diámetro y 6 pies de longitud se acelera uniformemente a lo largo de
su eje en una dirección horizontal 16.1 pies/s1 . Está lleno de un líquido, y = 50 lb/pie3 y tiene una
presión, alrededor de su eje, de 1O psi antes que la aceleración empiece. Encontrar la fuerza horizontal neta ejercida contra el líquido en el cilindro.
2.148 Un cubo cerrado, de 300 mm de lado, tiene una pequeña abertura en el centro de su cara
superior. Cuando está lleno de agua y rota uniformemente alrededor de un eje vertical a través de su
centro a w rad/s, encontrar la fuerza en uno de los lados debida al agua en función de w.
2.149 Preparar un programa pararesolver (a) el problema 2.66 y (b)el problema 2.67. (e) Determinar
la cabeza h en la figura 2.62 para que la compuerta empiece a cerrarse.
2.150 Con referencia al problema 2.105, utilizar una hoja de cálculo para encontrar y para
incrementos de z de 0.5 pies desde 1.10 hasta 3.0 pies. La compuerta pesa 2.722-y libra por pie de
longitud. Encontrar también z para incrementos de y de 0.5 pies.
2.151 En el ejemplo 2.10 se realizó una integración numérica de ()desde O hasta 80 con el fin de
encontrar el momento sobre la compuerta para valores de prueba de 80 o y. En este problema integre

Estática de fluidos

la ecuación de momentum entre O y la incógnita 80 • Verifique los resultados del ejemplo 2.10 por el
método de bisección.

LECTURAS ADICIONALES
Aris, R.: Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, Dover Publications, New
York, 1989.
Long, R.: Mechanics of Solids, Prentice Hall, New Jersey, 1961.
Shames, 1.: Mechanics of Fluids, 3rd ed., McGraw-Hill, New York, 1992.

1O1

- capítulo

3
Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones
básicas de volumen de control
La estática de fluidos, tratada en el capítulo precedente, es casi una ciencia
exacta donde el peso específico (o la densidad) es la única cantidad que debe
determinarse experimentalmente. Por otro lado, la naturaleza del flujo de un
fluido real es muy compleja. Este capítulo introduce los conceptos necesarios
para el análisis del movimiento de un fluido. Se deducen las ecuaciones básicas
que permitirán predecir el comportamiento del fluido; éstas son las ecuaciones
de continuidad y momentum, la primera y segunda leyes de la termodinámica
y la conservación de la masa en mezclas. En este capítulo se utiliza el enfoque
de volumen de control para estas deducciones. Los efectos viscosos, la
determinación experimental de pérdidas y la presentación adimensional de
información de pérdidas se presentan en los capítulos 6 y 7 después de que el
análisis dimensional haya sido introducido en el capítulo 5. En general, la
teoría del flujo unidimensional se desarrolla en este capítulo, con aplicaciones
principalmente limitadas a casos incompresibles donde no predominan los
efectos viscosos. El capítulo 8 trata el flujo en dos dimensiones. Un repaso de
la notación vectorial que se utiliza tanto en este capítulo como en el capítulo
4 se presenta en el apéndice E.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

3.1

CONCEPTOS DE FLUJO Y CINEMÁTICA

Enfoques de análisis
Para expresar las leyes de la mecánica en una forma útil para la mecánica de fluidos y transporte ...e
requiere un punto de vista diferente al utilizado para deducir las leyes de mecánica de sólidos. En
mecánica de sólidos se utiliza el enfoque lagrangiano (por Joseph-Louis Lagrange, 1736-1 813) en
donde las ecuaciones básicas se deducen para una masa de fluido dada. Esta aproximación es análoga
al "sistema cerrado" utilizado en termodinámica. La energía y el rnomenturn pueden transferirse
hacia el sistema y desde éste, y se pueden utilizar ya sea sistemas de coordenadas fijas o móviles para
deducir las ecuaciones. Haciendo referencia a la figura 3.1, el ladrillo sólido contiene una masa
conocida, m b, en el tiempo 10 , y en los tiempos t 1 y t 2 posteriores el ladrillo ha cambiado de posición,
de rnomentum lineal y angular y de energía, que pueden describirse mediante las leyes simples de la
mecánica de sólidos. También se debe notar que en un sólido la posición relativa de las diferentes
partículas que componen la masa permanecen en la misma posición relativa durante el movimiento
subsecuente.
Al aplicar el concepto lagrangiano a un fluido, el diagrama de cuerpo libre se utilizó en el capítulo
2 como una forma conveniente para mostrar las fuerzas ejercidas sobre una masa fija arbitraria. Esto
es un ejemplo de un sistema. Un sistema se refiere a una masa fija definida de material y se distingue
de toda la demás materia, conocida como sus vecinos. Las fronteras del sistema forman una superficie
cerrada. Esta superficie puede variar con el tiempo, de tal manera que contenga la misma masa
durante los cambios en su condición. Por ejemplo, un kilogramo de gas puede confinarse en un
cilindro y comprimirse por el movimiento de un pistón; el sistema de frontera que coincide con el
extremo del pistón se mueve con éste. El sistema puede contener ya sea una masa infinitesimal o una
gran masa finita de fluidos y sólidos tal como lo requiera el investigador.
Desde el punto de vista del sistema, la ecuación de consenación de la masa establece que la masa
dentro del sistema permanece constante con el tiempo (sin tener en cuenta los efectos de relatividad).
En forma de ecuación

dm
dt

=o

(3.1.1)

donde m es la masa total.
La segunda ley de movimiento de Newton usualmente se expresa para un sistema como
d
(mv)
(3.1.2)
dt
en la cual se debe recordar que m es la masa constante del sistema. IF se refiere a la resultante de
todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, incluyendo las fuerzas de cuerpo tales corno la
gravedad, y v es la velocidad del centro de masa del sistema.
Sin embargo, la vida no es tan ordenada para la mayoría de los casos de dinámica de fluidos. La
figura 3.l b representa el mismo "ladrillo" que en la figura 3.1a pero en este caso compuesto por un
cierto número de paquetes de fluido, definidos lo suficientemente grandes como para tener propiedades
definidas en el sentido del continuo pero que son muy pequeñas en comparación con la geometría del
flujo. Cuando ocurre el movimiento de los paquetes de fluido, el movimiento subsecuente rápidamente
se vuelve desordenado. Los paquetes pierden contacto entre sí, cambian su orientación y posición y
rápidamente están inmersos, mezclados o dispersos entre otros paquetes de fluidos de sus alrededores.
Luego, es particularmente difícil si no imposible utilizar un sistema de masa fija para deducir las
ecuaciones de dinámica de fluidos.
Por consiguiente, el enfoque euleriano (por Leonhard Euler, 1707-1783) se adopta para la mayoría
de los análisis. Considera un volumen ae control fijo o un punto fijo en el espacio y las ecuaciones se

2:F =

-

103

1 04

C A PÍ TU l O

•

3

Mecánica de fluidos

'o
(a)

(b)

Figuro 3.1

Trayectorias de paquetes de sólidos y Auidos.

deducen para expresar cambios en masa, momentum y energía a medida que el fluido pasa a través o
cerca del volumen o punto fijo. La frontera de un volumen de control es la superficie de control. El
tamaño y la forma del volumen de control son completamente arbitrarios, pero frecuentemente se
hacen coincidir con las fronteras sólidas; en otros casos, se dibujan perpendiculares a la dirección del
flujo para simplificar problemas.
Este enfoque euleriano conduce a una descripción de sistema abierto. Tal como se sugirió
anteriormente con los métodos lagrangianos o eulerianos, existen dos posibles niveles de abstracción
matemática, el nivel macroscópico y el nivel de campo. En. el nivel macroscópico las leyes son
deducidas para sistemas o volúmenes de control con masa finita y se calculan una serie de integrales
o valores promedio de las variables. Este nivel de análisis no arroja información acerca de la
variación de los parámetros punto a punto dentro del sistema o volumen de control; por consiguiente,
este nivel de abstracción es útil para las estimaciones iniciales de ingeniería. A menudo se necesitan
análisis más elaborados que permitan calcular la variación puntual de los parámetros dentro del
dominio para obtener la solución final al problema. Por ejemplo, se puede hacer un análisis de una
descarga de aguas residuales utilizando el volumen de control mostrado en la figura 3.2. Desde el
punto de vista de regulación, es deseable conocer la distribución del contaminante a lo largo del
borde en todos los puntos de la orilla del río. Sin embargo el análisis del volumen de control
únicamente servirá para predecir los valores promedio de concentración en las superficies de control a la entrada A y a la salida B. Es más, únicamente se puede calcular la concentración promedio
en volumen de contaminante dentro del volumen de control. La variación punto a punto no puede
calcularse.
Para calcular la variación punto a punto de la variable del flujo sobre todo el rango de dominio, se
utiliza el enfoque de campo. Este enfoque, esencialmente consiste en el dominio de un número grande

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

1

,""f' ..... _,"'
;
,"'

....._

,"'

;

;

'

1
1
\
1
1

1

Penacho

Figura 3.2

Volumen de control paro el problema del río y el penacho.

de ,·olúmenes de control o sistemas. de tal manera que cuando tiendan a cero formen un sistema no
lineal de ecum.:iones diferenciales parciales. Estas ecuaciones son tan difíciles de resolver que una
solución general de la distribución tridimensional de \·ariables relevantes para los tipos de geometrías
complejos. encontrados en la práctica. toda\'Ía no se ha logrado, ni siquiera utilizando los
supercomputadores de procesamiento paralelo más poderosos.
Toda la dinámica de fluidos y el transporte asociado varían esencialmente de punto a punto en
todo el dominio espacial y de un momento a otro. Estas variaciones pueden ser especialmente rápidas
en las e~calas de Yariabi lidad más pequeñas (por enc ima de la escala molecular), siendo
aproximadamente 0.1 segundo y 0.1 cm. Por consiguiente, el mayor interés está en describir en
forma precisa todos los posibles tipos de procesos físicos que causan esta variabilidad, así como en
identiticar procesos Yálidos para simplificar la complejidad matemática sin alterar los procesos físicos
dominante~.

Descripciones del movimiento de fluidos
Antes de proceder a describir los procesos. es útil explicar algunos conceptos geométricos que
permitirán la Yisualización del campo de flujo. Los conceptos de línea de corriente. línea de trayectoria
y /{neo defilomento se utilizan para representar ,·isual y analíticamente los patrones del flujo.
Si se toma la Yelocidad del fluido en el enfoque euleriano. entonces el vector velocidad se define
como '" (o algunas \'eces q ) donde
v(x.y . .::.f)

= ui

+ ¡•j + 11·k

(3.1.3)

En la ecuación (3.1.3 ). u. 1' y 1r son las Yelocidades en las direcciones x, y y~ respectivamente, y cada
una de ellas puede ,·ariar en el tiempo o el espacio.
Una /(neo de corriente es una línea continua que se dibuja en el fluido, de tal manera que tenga la
dirección del ,·ector ,·elocidad en cada punto. No puede existir flujo a través de una línea de corriente .
Debido a que una partícula se mue\'e en la dirección de la línea de corriente, en cualquier instante, su
de~plaza miento Os. con componentes ox. oy. o:.. tiene la dirección del vector \'elocidad v con
componentes u. 1·. 1r en las direcciones x. y y :. respecti\'amente. Entonces

/(

=

8r
\'

=

105

106 C A P Í T U L 0

3

•

Mecánica de fluidos

establece que las componentes correspondientes son proporcionales y, por consiguiente, que
tienen la misma dirección. Al expresar los desplazamientos en forma diferencial
dx

=

dy

dz

os y v
(3.1.4)

w
se obtiene la ecuación diferencial de una línea de corriente. Las ecuaciones (3 .1.4) son dos ecuaciones
independientes. Cualquier línea continua que las satisfaga es una línea de corriente.
En fluj o permanente, ya que no existe cambio en la dirección del vector velocidad en ningún
punto, la línea de corriente tiene una inclinación fija en cada punto y, por consiguiente, está fija en el
espacio. Una partícula siempre se mueve tangente a la línea de corriente; por lo tanto, en flujo
permanente, la trayectoria de una partícula es una linea de corriente. En flujo no permanente, debido
a que la dirección del vector velocidad en cualquier punto puede cambiar con el tiempo, una línea de
corriente puede moverse en el espacio de un instante a otro. Luego, una partícula sigue una línea de
corriente un instante, otra en el instante siguiente y así sucesivamente, de tal manera que la trayectoria
de la partícula puede no parecerse a ninguna línea de corriente instantánea dada.
Frecuentemente se inyecta tinta o humo en un fluido con el fin de seguir su movimiento. Los
rastros resultantes de la tinta o del humo se conocen como líneas de filamento. En flujo permanente,
una línea de filamento es una línea de corriente y una trayectoria de la partícula.
Las líneas de corriente en dos dimensiones pueden obtenerse incorporando partículas finas y
brillantes (polvo de aluminio) en el fluido, iluminando brillantemente uno de los planos y tomando
una fotografía de los rastros hechos en pequeños intervalos de tiempo. Trazando sobre la fotografía
líneas continuas con la dirección de los rastros en cada punto se obtienen las líneas de corriente ya
sea para flujo permanente o no permanente.
Un tubo de corriente es un tubo hecho por todas las líneas de corriente que pasan a través de una
pequeña curva cerrada. En flujo permanente, éste se encuentra fijo en el espacio y no puede haber
flujo a través de sus paredes debido a que el vector velocidad no tiene componente perpendicular a la
superficie del tubo.
La figura 3.3 presenta un esquema de las líneas de corriente alrededor de un cilindro entre paredes
paralelas. Las líneas de corriente se dibujan de tal manera que el volumen 4ue fluye entre líneas de
corriente adyacentes por unidad de tiempo es el mismo (suponiendo una profundidad unitaria). Luego,
donde la separación entre líneas de corriente es menor, la velocidad es mayor y viceversa.
La representación y visualización de flujo ha mejorado significativamente debido al uso de
modernas técnicas de gráficas y de animación en computador, que permiten observar patrones de
flujo en geometrías altamente complejas. Hasta hace poco, únicamente eran posibles las representaciones de flujos en geometrías simples con análisis matemáticos simples de sus comportamientos
físicos o datos de laboratorio simples.
u

Figuro 3.3

V

Líneas de corriente poro flujo
permanente alrededor de un
cilindro entre paredes paralelas.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

Descriptores de procesos fluidos y simplificaciones
El tlujo puede clasificarse de muchas formas: turbulento rersus laminar: real \'ersus ideal; reversible
rersus irreYersible: permanente rersus no permanente: uniforme \'ersus no uniforme; rotacional ''erStls irrotacional. En esta sección se di stinguen diferentes tipos de flujo.
En.fli~jo !ominar. las pa11ículas fluidas se mueYen a lo largo de trayectorias suaves en láminas, o
capas. con una capa deslizándose suaYemente sobre otra adyacente. Las tendencias para movimientos
laterales o giros son fuertemente atenuadas por la Yiscosidad. El flujo laminar está gobernado por la
ley de \ iscosidad de Newton [ecuación ( 1.2.1) o sus extensiones a flujos tridimensionales], la cual
relaciona el esfuerzo cortante con la tasa de defmmación angular. El flujo laminar no es estable en
situaciones que im·olucran combinaciones de baja Yiscosidad. alta \'elocidad o grandes caudales, y se
rompe en tlujo turbulento.
Las situaciones de flujo !1/rbu/emo son las más comunes en la práctica de la ingeniería. En el
flujo turbulento las partículas de flu ido (pequeñas masas molares) se mueven en trayectorias
arremolinadas muy irregul ares. causando intercambios de momentum desde una porción de fluido a
otra. en forma similar a la transferencia molecular de momentum, descrita en la sección 1.4, pero en
una escala mucho más grande. Los remolinos turbulentos cambian continuamente su tamaño desde
muy pequeños (por ejemplo desde algunos miles de moléculas de fluidos) hasta muy grandes (un
remolino muy grande en un río o en una ráfaga en la atmósfera). En una situación en la cual el flujo
pudiera ser ya sea turbulento o laminar. la turbulencia produce unos esfuerzos cortantes mayores a
trmés del fluido y causa mayores irre\·ersibilidades y pérdidas. Además. en flujo turbulento las pérdidas
\·arían con una potencia que oscila entre 1.7 y 2 de la Yelocidad: en flujo laminar éstas varían con la
primera potencia de la \·elocidad.
El cálcu lo del esfuerzo cortante producido por e l flujo turbulento. r,, es un problema
extremadamente retador. Basado en analogías con el flujo laminar y con la ley de viscosidad de
Ne\\ ton. al igual que en conceptos de teorías estadísticas o de cinética de dinámica de partículas, la
hipóte~is de Boussinesq -.e ha util izado a menudo con un razonable grado de éxito. Aquí

dll

r , -- r¡ -dr -- r \.'

(3.1.5)

donde r¡ se conoce como la riscosidad de remolino. La Yiscosidad de remolino no es una propiedad
del fluido. sino que \·aría tanto en el tiempo como en el espacio y, por consiguiente, debe ser
parametrizada (Usualmente con funciones realmente diferentes) para cada campo de flujo. Este tema
se desarrolla detalladamente en el capítulo 6.
Debido a que la distinción física entre estos tipos de flujo es un procedimiento netamente
cuantitatiYO. su clasificación se trata en el capítulo 6.
Un .fluido ideo! no tiene fricción y es incompresible. y no debe confundirse con un gas perfecto
(sección l. 7 ). La suposición de un fluido ideal es útil al analizar flujos en situaciones que involucran
grandes cantidades de fluido. como los océanos. Un fluido sin fricción es no viscoso y sus procesos
de flujo son reYersibles y libres de pérdidas.
La capa de fluido en la Yecindad inmediata a una frontera real del flujo, que tiene su velocidad
relath·a a la frontera afectada por esfuerzos cortantes viscosos, se conoce como la capa ltnzite. Las
capas límites pueden ser laminares o turbulentas. dependiendo generalmente de su longitud, viscosidad,
Yelocidad del flujo cerca de ellas y de la rugosidad de la frontera.
La rotación de una partícula de fluido alrededor de un eje dado, por ejemplo el eje z, se define
como la Yelocidad angular promedio de dos elementos lineales infinitesimales en la partícula, que
originalmente se encuentran haciendo ángulo recto el uno con respecto al otro y con relación al eje
dado. Si las partículas de fluido dentro de una región tienen rotación alrededor de cualquier eje, el
tlujo se conoce como .f71~jo rotacional. o flujo \'Órtice. Si el fluido dentro de una región no tiene

107

108

C A PÍ TU l O

3

•

Mecánica de fluidos

rotación, el fluido se conoce como flujo irrotacional. Si un fluido se encuentra en reposo y no tiene
fricción, cualquier movimiento subsecuente de este fluido también será irrotacional. Sin embargo, en
la mayoría de las circunstancias prácticas los esfuerzos cortantes introducidos por la presencia de
fronteras sólidas, de gradientes de densidad u otras interacciones entre procesos fluidos dará como
resultado una rotación.
El flujo adiabático es el flujo de un fluido en el cual no ocurre transferencia de calor hacia el
fluido o desde éste. El flujo adiabático reversible (adiabático sin fricción) se conoce como flujo
isentrópicot.
Como la gran mayoría de los problemas de fluido son tridimensionales y altamente variables en
el tiempo, usualmente no es posible obtener soluciones generales. Han surgido ciertas clasificaciones
espaciales y temporales las cuales permiten y describen procedimientos para llevar a cabo análisis
simplificados. La definición de dichas clasificaciones concluyen esta sección.
Existen dos clasificaciones temporales. El flujo permanente ocurre cuando las condiciones en
cualquier punto del fluido no cambian con el tiempo. Por ejemplo, si la velocidad en cierto punto es
3 m/s en Ja dirección +x en un flujo permanente, permanece exactamente igual en cantidad y en
dirección indefinidamente. Esto puede expresarse como CJv!()r =O, en donde el espacio (coordenadas
x, y, z del punto) se mantiene constante. Igualmente, en flujo permanente no existe cambio en la
densidad p, en la presión p, en la temperatura T o en la concentración C, en ningún punto; luego

dT
-=o
ar

dp

-ar =o

ac
-=o
éJt

En el flujo turbulento, debido al movimiento errático de las partículas del fluido, siempre existen
pequeñas fluctuaciones en cualquier punto. La definición de flujo permanente debe generalizarse de
alguna forma para tener en cuenta esas fluctuaciones. Con el fin de ilustrar esto, una gráftca de la
velocidad contra el tiempo, en algún punto en flujo turbulento, se da en la figura 3.4. Cuando la
velocidad media temporal
-V=

1
tp

-

Jl+lp V dt
1

indicada en la figura, mediante la línea horizontal, no cambia con el tiempo, se dice que el flujo es
permanente. Aquí tp se conoce como el periodo de promedio. La misma generalización se aplica a la
densidad, a la presión, a la temperatura, etc., cuando se sustituyen en lugar de v, en la ecuación
anterior.
El flujo es no permanente cuando las condiciones en cualquier punto cambian con el tiempo,
CJv/at-:;:. O, (ff¡(}r-:;:. O, etc. Cuando se bombea agua por un sistema fijo con un caudal constante, el flujo
es permanente. Pero si se bombea agua por un sistema fijo con un caudal creciente, el flujo es no
permanente. La figura 3.4 ilustra un flujo turbulento no permanente en donde aún (}vf()r-:;:. O.
La descripción de la estructura espacial es más compleja ya que los flujos, espacialmente, se
pueden comportar en una, dos o tres dimensiones. A continuación se dan esas definiciones.
El flujo uniforme ocurre cuando, en cualquier punto, el vector velocidad o cualquier otra variable
del fluido es siempre la misma (en magnitud y dirección) para cualquier instante. En forma de ecuación,
CJv!()s =O. en donde el tiempo se mantiene constante y ses un desplazamiento en cualquier dirección.
La ecuación establece que no existe cambio en el vector velocidad en ninguna dirección a través del
fluido ni en cualquier instante. No dice nada acerca del cambio de la velocidad en un mismo punto
con el tiempo.

t

Sin embargo, un proceso isentrópico puede ocurrir en un flujo irreversible con la cantidad apropiada de transferencia de
color. (lsentrópico = entropía constante).

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

\ =Cnn,t.ullt:>

,

P~rnt.m~nll~

-:n la mL•tk._a

/
'

lt

¡ - - - - - - -- - - - -- - -- - -- --

Ti.:mp<l. r

ltl)

n t' ~ \ d< ,,:l(l.ld nh:Jta "' p.:rnt<ull· nt<'
1 '"

Figuro 3.4

Trozos temporales de datos de velocidades turbulentos y medios poro flujo medio permanente y no permanente.

El tlujo en el que el ,·ector ,·elocidad varía de un lugar a otro, en cualq uier instante (dv!ds "# 0) es
un .fll(iO no un{(onne. Un líquido que se bombea por un largo tubo recto tiene flujo uniforme. Un
líquido que tluye a tra,és de una sección reduc ida o de un tubo curvo es un flujo no uniforme.
Algunos ejemplo:. de flujos permanentes y no permanentes y uniformes y no unifo rmes son:
•

El líquido que fluye a lo largo de un tubo largo con un caudal constante es flujo uniforme

pe m w nente.
•

El líquido que tluye por un a tubería larga con un caudal decreciente es flujo uniforme no

pennw1en te.
•

El flujo a tra,·és de un tubo que se expande y fluye con un caudal constante esflujo no uniforme

pemumente.
•

El flujo a tra,·é<> de un tubo que se expande y fluye con un caudal que se incrementa es flujo no
un Uá rm e no ¡u:> nn m 1en re.

El fluio en una dimensión ( lD ) no tiene en cuenta las variaciones o cambios en la velocidad, la
presión. etc .. en un plano transversal a la dirección principal del flujo. Las condiciones en una sección
transversal se expresan en términos de valores promedio de velocidad, densidad y otras propiedades.
Por ejemplo. e l flujo a través de una tubería usualmente puede car acterizarse como unidimensional.
Muchos pro blemas prácticos pueden tratarse mediante este método de análisis, que es mucho más
simple que los métodos de análisis bi y tridimensionales. En unflujo bidimensional (2D ) y en transporte
bidimensional se supone que todas las partículas fluyen en planos paralelos a lo largo de trayectorias
idénticas en cada uno de e stos planos; por consiguiente. no existen cambios de flujo en la dirección
perpendicular a e~tos planos. La figura 3.5 es un ejemplo de flujo bidimensional de una velocidad de
o nda de agua. La onda se dibuja en el plano vet1ical de la "página" con variaciones verticales y
hori zontales en la trayectoria y velocidad de la partícula. Se supone que estas variaciones son idénticas
a aquéllas en otros planos paralelos localizados al fre nte o detrás de la figura. Eljlujo tridimensional
(3D ) es el flujo más general y complejo y típicamente sólo se pueden tratar el flujo y el transporte en
geometrías muy simples.
Cualquier persona q ue haya observado un río, fácilm ente puede decir que el flujo es tridimensional y. sin embargo. la descripción de éste, en términos de flujos en una o dos dimensiones, sugiere
que la física sólo se puede comprender en procesos con una o dos dimensiones. El puente matemático,

109

110 CAPÍTULO

3

•

Mecánica de fluidos

Distancia

/Velocidad vertical

Velocidad horizontal , u

Figura 3.5

Alturas y velocidades en ondas de aguo.

que muchas veces permite el análisis de un flujo complejo tridimensional, en una forma simplificada
espacialmente, es el promedio espacial. Asf como el promedio temporal suprime la variabilidad
temporal, el promedio espacial "suprimirá" la complejidad espacial. Por ejemplo, un campo de
velocidad 3D definido como v (x =x" y, z. t) puede promediarse espacialmente a través de la sección
transversal A 1(x =x 1) como
v 1A 1

= JJ

v(x, t) dA

Similarmente, velocidades promedio pueden identificarse en cada posición x en la corriente. El flujo
y el transporte resultantes son, por consiguiente, considerados unidimensionales y no tridimensionales.
La anterior definición de flujo uniforme puede igualmente extenderse a flujos promediados en el
espacio. Si las secciones transversales paralelas a través de un conducto, un río o un canal de estuario
son idénticas o prismáticas y la velocidad promedio en cada sección transversal es la misma en
cualquier instante dado, entonces, se dice que el flujo y el transporte lD también son uniformes.

Resumen de las aproximaciones de análisis y solución
Tal como se mencionó anteriormente, las soluciones exactas o determinísticas de flujos
tridimensionales y variables en el tiempo generalmente no están disponibles, especialmente para
flujos que son naturalmente gobernados por geometrías muy complejas. Típicamente, el ingeniero o
el analista emplea cualquiera de las estrategias de análisis y solución simplificadas. En este libro se
presentarán tres enfoques diferentes de simplificación, cada uno de ellos dependerá, de alguna forma,
de la construcción de un modelo del proceso y de su uso para resolver el problema. Los tres enfoques
son soluciones matemáticas exactas, experimentos o simulaciones en laboratorio y soluciones
numéricas o computacionales. Usualmente, partes de estos enfoques o los tres juntos se aplican al
problema con la esperanza de alcanzar credibilidad para con la solución propuesta, mediante la
observación de las consistencias en las respuestas de los diferentes métodos. El proceso de comparación
de información de laboratorio con un modelo o una solución exacta, se conoce como validación. En
otros casos un enfoque puede utilizarse para extender la región de validez de una solución anterior
obtenida mediante otro enfoque. Con frecuencia esto sucede cuando se elaboran soluciones exactas
basadas en modelos numéricos o simulaciones de laboratorio.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control
Mientras no exista una solución general 3D. ninguno de estos enfoques dará una solución general
al problema. Hay tres consideraciones generales para saber qué enfoque utilizar. La primera es cuánto
se conoce acerca de los procesos físicos que gobiernan el campo de flujo y si las ecuaciones gobernantes
están bien establecidas y aceptadas: la segunda consideración es qué tan variable es la física en el
espacio y en el tiempo; mientras que la tercera consideración se refiere a qué tan compleja o simple
es la geometría del flujo. En general, si las ecuaciones o funciones matemáticas aún tienen que
establecerse para una geometría o proceso de flujo dados, tradicionalmente se llevan a cabo
experimentos en laboratorio. Los procedimientos para asegurar que el modelo de laboratorio y el
mundo real o prototipo sean similares se establecen mediante un análisis adimensional. El capítulo 5
introduce estos procedimientos.
Las soluciones exactas o los modelos numéricos se utilizan cuando la física del flujo y el transporte
pueden representarse matemáticamente. Sólo se retienen matemáticamente los procesos que
contribuyan al problema, siendo identificados nuevamente mediante el análisis dimensional. En general, entre más procesos interactúen en el problema. más difícil será el análisis exacto, y lo óptimo será
el empleo de la solución numérica. Como ejemplo, el flujo viscoso permanente del agua sobre una
superficie lisa que involucra fricción e inercia tiene una solución exacta. La predicción del
compm1amiento de un penacho de efluente caliente en un río frío durante un evento de tormenta,
involucra difusión turbulenta, inercia, estratificación y propagación de ondas largas, lo cual se maneja
mejor con un modelo numérico.
Las fronteras complejas o las funciones forzadas también sugieren modelación numérica. Las
condiciones permanentes son matemáticamente simples pero condiciones múltiples o que varían en
el tiempo son difíciles y algunas veces no lineales. La predicción de la erosión sobre el lecho de un
río durante una tormenta se debe resolver utilizando el conocimiento acerca del cambio temporal de
las corrientes, al igual que la variación temporal en las ondas superficiales causadas por el viento y,
por consiguiente, requiere un enfoque numérico.
El tipo de geometría de flujo tiene un impacto fuerte en la selección del procedimiento para
encontrar una solución exacta o computacional. Los flujos pueden ser externos cuando fluyen sobre
un objeto. por ejemplo una esfera o una pa11ícula de sedimento. La geometría que confina el flujo se
encuentra tan lejos que no tiene impacto sobre el flujo local. Los flujos a través de tuberías y canales
se conocen como .flujos internos. A menudo, como por ejemplo en las ondas causadas por el viento o
el flujo en aguas subterráneas, la posición de la frontera se convierte en el objeto de la solución. Tales
problemas de superficie libre son altamente no lineales. Si existen altos gradientes en la geometría de
flujo, se recomiendan procedimientos numéricos. Cambios dramáticos en la profundidad o en la
geometría del canal, regularmente se encuentran en las geometrías naturales y se puede decir que los
modelos en computador se utilizan en casi todos los casos de flujo natural y de cálculos de transp01te.
Tal como se mencionó, las ecuaciones se pueden simplificar promediándolas espacialmente. Tal
es el caso del flujo en ríos y de los flujos en tuberías, los cuales pueden ser ampliamente manejados
con enfoques unidimensionales. Aquellos flujos con estructuras verticales importantes, debido a
gradientes de densidad, a estratificación o a contraflujos, no se pueden manejar con aproximaciones
unidimensionales. Los flujos en lagos y estuarios, es decir, los flujos naturales son típicos de esta
clase de excepciones.

EJERCICIOS
3.1.1 Un flujo unidimensional es (a) un flujo uniforme permanente; (b) un flujo uniforme; (e) un
flujo que no tiene en cuenta cambios en una dirección transver.sal;..(d) un flujo restringido a una línea
recta; (e) ninguna de estas respuestas.
3.1.2 Un flujo isentrópico es (a) un flujo adiabático irreversible; (b) un flujo de gas perlecto; (e)
un flujo de fluido ideal; (d) un flujo adiabático reversible; (e) un flujo reversible sin fricción.

111

112 CAPÍlULO

3

•

Mecánica de fluidos

3.1.3 En flujo turbulento (a) las partículas de fluido se mueven en forma ordenada; (b) la cohesión
es más efectiva que la transferencia de momentum para causar esfuerzo cortante; (e) el momentum se
transfiere en una escala molecular únicamente; (d) una lámina de fluido se desliza suavemente sobre
otra lámina; (e) los esfuerzos cortantes generalmente son mayores que en un flujo laminar similar.
3.1.4 La relación r¡ = -rl(du/dy) para flujo turbulento es (a) una propiedad física del fluido;
(b) depende del flujo y de la densidad; (e) es la viscosidad dividida por la densidad; (d) es una
función de la temperatura y la presión del fluido; (e) es independiente de la naturaleza del flujo.
3.1.5 El flujo turbulento generalmente ocurre para casos que involucran (a) fluidos muy viscosos;
(b) pasajes muy angostos o tubos capilares; (e) movimientos muy lentos; (d) combinaciones de (a)
(b) y (e); (e) ninguna de estas respuestas.
3.1.6 En flujo laminar (a) se requiere experimentación para los casos de flujo más simples; (b) se
aplica la ley de viscosidad de Newton; (e) las partículas de fluido se mueven en trayectorias irregulares
y azarosas; (d) la viscosidad no es importante; (e) la relación rl(duldy) depende del flujo.
3.1.7 Un fluido ideal es (a) muy viscoso; (b) un flujo que obedece la ley de viscosidad de Newton;
(e) una suposición útil en problemas de flujo en conductos; (d) sin fricción e incompresible; (e)
ninguna de estas respuestas.
3.1.8

¿Cuál de los siguientes literales debe satisfacerse para el flujo de cualquier fluido, real o ideal?

l. Ley de viscosidad de Newton
2. Segunda ley de movimiento de Newton
3. La ecuación de continuidad
4. r = (J-1- + r¡) du/dy
5. El requerimiento de que la velocidad en la frontera sea cero relativa a la frontera
6. La regla de que un fluido no puede penetrar una frontera
(a) 1, 2, 3; (b) 1, 3, 6; (e) 2, 3, 5; (d) 2, 3, 6; (e) 2, 4, 5.
3.1.9 El flujo permanente ocurre cuando (a) las condiciones no cambian con el tiempo en cualquier
punto; (b) las condiciones son las mismas en puntos adyacentes en cualquier instante; (e) las
condiciones cambian uniformemente con el tiempo; (d) ()v¡()r es constante; (e)
es constante.

avtas

3.1.10 El flujo uniforme ocurre (a) siempre que el flujo es permanente; (h) cuando CJvléJt es cero en
todas partes; (e) únicamente cuando el vector velocidad en cualquier punto permanece constante;
(d) cuando Jv/
O; (e) cuando la descarga, a través de un tubo curvo de sección transversal constante,
es constante.

as=

3.1.11 Seleccionar el ejemplo práctico correcto de flujo no uniforme permanente: (a) el movimiento
del agua alrededor de un barco en un lago; (b) el movimiento de un río alrededor de las pilas de
puente; (e) un flujo cuyo caudal se incrementa constantemente a través de una tubería; (d) un flujo
con caudal decreciente constantemente a través de una sección que se reduce; (e) caudal constante a
través de una tubería larga y recta.
3.1.12 Una línea de corriente (a) es la línea que conecta dos puntos medios de secciones transversales
del flujo; (b) se define únicamente para flujo uniforme; (e) se dibuja perpendicular al vector velocidad
en cada punto; (d) siempre es la trayectoria de una partícula; (e) se encuentra fija en el espacio para
flujo permanente.
3.1.13 En el flujo bidimensional alrededor de un cilindro, las líneas de corriente se encuentran
separadas 2 pulg, a una distancia lejana del cilindro, donde la velocidad es 100 pies/s. En un punto
cerca al cilindro, las líneas de corriente se encuentran separadas 1.5 pulg. La velocidad promedio en
ese sitio es (a) 75 pies/s; (b) 133 pies/s; (e) 150 pies/s,; (d) 200 pies/s; (e) 300 pies/s.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

3.1.14 La pérdida de cabeza en flujo turbulento en una tubería (a) varía directamente con la velocidad:
(b) varía inversamente con el cuadrado de la velocidad; (e) varía inversamente con el cuadrado del
diámetro; (d) depende de la orientación de la tubería; (e) varía aproximadamente con el cuadrado de
la velocidad.

3.2

LA ECUACIÓN GENERAL DE CONSERVACIÓN EN UN VOLUMEN
DE CONTROL

Sin importar su naturaleza, todas las situaciones de flujo están sujetas a las siguientes relaciones, las
cuales pueden expresarse en forma analítica:
l. Las leyes de movimiento de Newton, las cuales deben cumplirse para cualquier partícula en
cualquier instante.
2. La relación de continuidad, es decir, la ley de conservación de la masa.
3. La conservación de la masa aplicada a mezclas de componentes dentro del fluido.
4. La primera y segunda leyes de la termodinámica.
5. Las condiciones de frontera: declaraciones analíticas como por ejemplo que un fluido real tiene
velocidad cero con respecto a una frontera en la frontera o que los fluidos sin fricción no pueden
penetrar una frontera.
También pueden entrar otras relaciones y ecuaciones, tales como una ecuación de estado o la ley de
viscosidad de Newton.
En la deducción que sigue, el concepto de volumen de control se relaciona con el sistema en
términos de una propiedad general del sistema. En las secciones subsiguientes se aplica específicamente
para obtener relaciones de continuidad, energía y momentum lineal.
Para establecer la relación entre las ecuaciones que se aplican a un sistema y aquellas que se
aplican a un volumen de control, considérese algunas situaciones generales de flujo, figura 3.6, en las
cuales la velocidad de un fluido está dada con respecto a un sistema coordenado xyz. En el tiempo t

y

X

Tícmpot

Tiempot+ot
(b)

(a)

dA
Áreu de efluente
(e)

Figura 3.6

Áreu de influenle
(d)

Sistema con volumen de control idéntico en el tiempo ten un campo de velocidad.

113

114 CAPÍTULO

3

•

Mecánica de fluidos

considérese una cierta masa de fluido contenida dentro de un sistema, el cual tiene las fronteras de
líneas punteadas indicadas. También considérese un volumen de control, fijo con relación a los ejes
xyz, que coincide exactamente con el sistema en el tiempo t. En t + 8t el sistema se ha movido un
poco, debido a que cada partícula de masa se mueve a una velocidad asociada con su posición.
Sea N la cantidad total de alguna propiedad (por ejemplo, masa, energía o momentum) dentro del
sistema en el tiempo t y sea 77 la cantidad de esta propiedad, por unidad de masa, a través del fluido.
La tasa temporal de incremento de N para el sistema se formula ahora en términos del volumen de
control.
En t + 8t (figura 3.6b) el sistema comprende los volúmenes II y III, mientras que en el tiempo t
éste ocupa el volumen II (figura 3.6a). El incremento en la propiedad N en el sistema en el tiempo 0t
está dado por

N,,¡,t+ot

= Nsis, = (J 7Jpd'<i/ + f
lf

7Jpát/J

t+&

11/

(J

7Jpát/J
lf

,

en donde eN es el elemento del volumen. Reordenado, después de sumar y restar

(L

r¡pcN

L.

en la derecha y luego dividiendo todo por 0t se llega a
(3.2.1)

El término a la izquierda es la tasa temporal promedio de incremento de N dentro del sistema durante
el tiempo 8t. En el límite, a medida que 8t se aproxima a cero, éste se convierte en dN/dt. Si se toma
el límite a medida que 8t se aproxima a cero en el primer término del lado derecho de la ecuación, las
primeras dos integrales son la cantidad de N dentro del volumen de control en t + 0t y la tercera
integral es la cantidad de N en el volumen de control en el tiempo t. El límite es

~r

ve

7JrxN

donde se han utilizado derivadas parciales debi~o a que el tamaño del volumen de control se mantiene
constante a medida que & ---? O.
El siguiente término es la tasa temporal del flujo de N hacia fuera del volumen de control, en el
límite y puede escribirse como

.
lim

ot->0

(L TJrxN) • = f
8f

7Jpv · dA

t+ut

=f

T]pv cosa dA

área de OUJO de <al ida

(3.2.2)

en la cual dA, figura 3.6.c es el vector que representa un elemento de área del área de salida de flujo.
Éste tiene una dirección perpendicular al elemento de área superficial del volumen de control, siendo
positivo hacia fuera, y a es el ángulo entre el vector velocidad y el vector de área elemental.
Similarmente, el último término de la ecuación (3.2.1), el cual es la tasa de flujo de N hacia
adentro del volumen de control, es, en el límite, igual a
lim
ot-+0

(f,TJP<NL¡;,
=-J
Dt

TJpv · dA =
área de Oujo de entrada

-J

1Jpv cosa dA
(3.2.3)

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control
El signo negativo es necesario debido a que v ·dA (o cosa) es negativo para el flujo de entrada,
figura 3.6d. Los dos últimos términos de la ecuación (3.2.1), dados por las ecuaciones (3.2.2) y
(3.2.3), pueden combinarse en un término único que es una integral sobre toda la superficie del
volumen de control (se)

En donde no exista flujo de entrada o de salida v · dA = O; por consiguiente la ecuación puede
evaluarse sobre toda la superficie de control. Reuniendo y reorganizando los términos de la ecuación
(3.2. 1) lleva a
_dN = -()
dt
dt

J . rypd'r:l
\'(

+

J

rypv . dA

(3.2.4)

S('

En palabras, la ecuación (3.2.4) establece que la tasa temporal de incremento de N dentro de un
sistema es exactamente igual a la tasa temporal de incremento de la propiedad N dentro del volumen
de control (fijo con respecto a xyz) más la tasa neta de flujo de N a través de la frontera del volumen
de control.
La ecuación (3.2.4) se usa para convertir de la forma de sistema a la forma de volumen de control.
La forma de sistema, la cual en efecto sigue el movimiento de los paquetes, se conoce como el método
lagrangiano de análisis; la aproximación de volumen de control se conoce como el método euleriano
de análisis, ya que observa el flujo desde un sistema de referencia fijo relativo al volumen de control.
Dado que al marco de referencia xyz se le puede dar una velocidad constante arbitraria sin afectar
la dinámica del sistema o sus alrededores, la ecuación (3.2.4) es válida si el volumen de control, fijo
en tamaño y forma, tiene una velocidad de translación uniforme.

3.3

LA CONSERVACIÓN DE LA MASA

La forma de sistema de la conservación de la masa es
dm
dt

=0

La cual establece que la masa, m, dentro del sistema permanece constante en el tiempo. En la ecuación
(3.2.4) sea N= m, entonces r¡ es la masa por unidad de masa de r¡ = l . Entonces
O=

~ L. pd'r:l +

tepv · dA

(3.3.1)

La ecuación de conservación de la masa establece que la tasa temporal de cambio de La masa en el
volumen de control, más la tasa neta a la cual la masa sale del volumen de control a través de su
superficie es igual a cero.
Considérese el tubo cilíndrico de la ftgura 3.7. El flujo entra al tubo en la sección 1 y sale en la
sección 2. No se permite flujo a través de la superficie sólida que describe el tubo. La aplicación de
la conservación de la masa prosigue así:
l. El volumen de control se define de tal manera que incluya todo el f4Jido en el tubo dentro de la
pared sólida y desde la sección 1 a la 2. Si es posible, todas las secciones de entrada y salida
deben definirse o localizarse en regiones donde las líneas de corriente (o tubos) sean paralelas a
la frontera, de tal manera que las velocidades de entrada y salida sean perpendiculares a las
respectivas áreas.

115

116 CAPÍTULO

3

•

Mecánica de fluidos

(b)

(a)

Figura 3.7

Representación de volumen de control de un Rujo o través de una tubería. (a) C<!mpo de flujo.
(b) Representación de cuerpo libre.

2. Si el enunciado del problema lo permite, es útil suponer flujo permanente, en cuyo caso la ecuación
(3.3.1) se reduce a
O

=J

(3.3.2)

pv ·dA

se

3. La ecuación (3.3.2) se debe aplicar a cada superficie de control (se) donde la masa de fluido (o en
secciones posteriores, el momentum y la energía) está entrando o saliendo; por consiguiente

Jscl

p 1v 1 • dA 1 +

p 2v 2

f

•

dA 2 = O

sc2

4. Si los vectores de velocidad a la entrada y a la salida son, en cada entrada y salida, perpendiculares
a sus respectivas áreas, entonces en las salidas las integrales de los productos puntos (figura 3.6c)
se evalúan como p 2v 2 • dA 2 = p2v2dA¿y en las entradas se evalúan como p 1v 1 • dA 1 = -p 1v 1dA 1•
Por consiguiente,
(3.3.3)

Nótese que p y v todavía son funciones de A 1 y A2 y podrían variar dentro de sus respectivas áreas.
Esto es especialmente cierto para las velocidades.
5. Si p 1 y p2 no varían en las secciones transversales de entrada y salida, entonces

P.

L.v,dA. = P2 L 2 v2dA2

6. Conviene evitar velocidades que varíen espacialmente en los cálculos iniciales. Por consiguiente,
se invoca la velocidad promedio espacial para reducir el problema a una representación
unidimensional. Luego

"V;A, = J

V¡dA¡

sd

y
(3.3.4)

Aquí mes la tasa de flujo de masa en kg/seg o s1ugs/seg. Para el problema de flujo permanente
planteado aquí, la ecuación de continuidad dice que la tasa de flujo de masa es constante.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

117

Si el caudal Q (también conocido como tasa de flujo volumétrico o flujo o descarga ) se define
como

Q =AV

(3.3.5)

la ecuación de continuidad puede tomar la forma

m = P1Q1 = P2Q2

(3.3.6)

Para flujo incompresible permanente
(3.3.7)

es una forma muy útil de la ecuación.
Para flujo con densidad constante, permanente o no permanente, la ecuación (3.3. 1) se convierte en

L

V .

dA

=o

(3.3.8)

la cual establece que el flujo de volumen neto es cero. (Esto implica que el volumen de control está
lleno de líquido en todo momento).

En la sección 1 de un sistema de tuberías que mueve agua (figura 3.8), la velocidad es 3.0
pies/s y el diámetro es 2.0 pies. En la sección 2 el diámetro es 3.0 pies. Encontrar el caudal
y la velocidad en la sección 2.

Ejemplo

Solución

De la ecuación (3.3.7)

= (3.0 pies/s) 1r (2 pies) 2 = 9.42 pies3/s
4

y

Q = (9.42 pies3 /s)

~

4
rr(3 pies)2

=

1.33 pies/s

Si existen múltiples entradas y salidas, la ecuación de volumen de control puede extenderse.
Suponga una intersección en T tal como se nota en la figura 3.9; también se denotan las condiciones
en las entradas (secciones 1 y 3) y en la salida (sección 2). Adicionalmente, suponga que la densidad
en cada sección es constante (aunque no necesariamente igual); que los vectores de velocidad son
perpendiculares a sus respectivas áreas; y que las velocidades promedios en las secciones transversales,
en cada sección, están definidas. Entonces la ecuación (3.3.2) se reduce a

- pi V¡AI - P3li¡A3 + p2V2A2

=o

o
(3.3.9)

Figura 3.8

Volumen de control para el
flujo a través de una serie
de tuberías.

3.11

118 CA? Í TLLO

3

•

Mecánica de fluidos

V3, A3.P3
Figura 3.9

Definición de volumen de control para una geometría de entrada múltiple y salida único.

Para el caso en el cual todas las densidades son iguales
~A 1

= lt;A2

+ V,A 3

(3.3.10)

o la suma de las tasas de flujo de volumen de entrada es igual a la suma de las tasas de flujo de
volumen hacia fuera del volumen de control.

3.4

LA ECUACIÓN DE ENERGÍA

\
La ecuación básica
La primera ley de la termodinámica para un sistema establece que el calor QHañadido a un sistema,
menos el trabajo W hecho por el sistema, depende únicamente de los estados inicial y final del sistema.
La diferencia en el estado del sistema, siendo independiente de la trayectoria desde el estado inicial
al final , debe ser una propiedad del sistema. Ésta se conoce como la energía interna E. La primera ley
en forma de ecuación es
(3.4. 1)

La energía interna por unidad de masa se denota por e: por consiguiente, aplicando la ecuación
(3.2.4), N = E y rJ =e,

dE
dt

= l._ J
dt

J

petN +

(3.4.2)

pev · dA

>C

I'C

o utilizando la ecuación (3 .4.1 )

OQH _ 8W = dE = l._
&
&
dt
dt

J

petN +

f

pev · dA

(3.4.3)

>t

I'C

El trabajo hecho por el sistema sobre sus alrededores puede dividirse en dos partes: el trabajo WP,
hecho por las fuerzas de presión sobre las fronteras móviles y el trabajo Ws hecho por las fuerzas
cortantes tales como el torque ejercido sobre un eje que rota. El trabajo hecho por las fuerzas de
presión en el tiempo & es
8WP,

= Ot J pv

(3.4.4)

· dA

Utilizando las definiciones de los términos de trabajo, la ecuación (3.4.3) se convierte en

OQH Ot

~ = l._
8t

J

dt n

peeN +

J. ( p
"

p

+

eJpv · dA

(3.4.5)

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control 119
En ausencia de efectos nucleares, eléctricos, magnéticos o de tensión superficial, la energía interna
e de una sustancia pura es la suma de las energías potencial, cinética e "intrínseca". La energía
intrínseca por unidad de masa está causada por el espaciamiento molecular y las fuerzas moleculares
(dependientes de p, p o T ). Luego, la energía interna se define como

u··

V2
••
+u
(3.4.6)
2
Las dimensiones de e son unidades de trabajo por unidad de masa o [FL/M], que se reduce a
dimensiones de [ U/t2]. Se debe notar que la variable de elevación, z, en el término de energía potencial
requiere la definición de un nivel de referencia o datum para cada problema. Como se necesitan
elevaciones relativas, el datum no tiene que ser absoluto o universal. La velocidad en el término de
energía cinética es la magnitud de la velocidad total en el punto en cuestión en el campo de flujo, es
decir, V2 = v · v = u2 + v2 + w 2•
Al aplicar la ecuación (3.4.5) a un volumen de control, se puede considerar la cámara de mezcla
definida en la figura 3.10. Utilizando los procedimjentos para la aplicación y simplificación del
volumen de control de la sección anterior, la ecuación de energía se desarrolla como sigue.
l. Establecer las fronteras del volumen de control, de tal manera que las áreas de entrada y de salida
sean regiones de flujo uniforme donde, hasta donde sea posible, las líneas de corriente sean
paralelas a la pared de entrada y los vectores de velocidad sean perpendiculares a sus respectivas
áreas superficiales.

e= gz + -

2. Establecer un datum para la medida de elevación.
3. Si el flujo es permanente, entonces la ecuación (3.4.5) se convierte en

8QH _ ~ = J ( p +
8t
&
se
P

e)pv · dA

(3.4.7)

4. Luego se aplica la ecuación (3.4.7) a cada área de superficie de control

8QH
_
s.-~
"'

~
t'.
(}{;

=

J
scl

(Ji
A

+ e1

)p

V

1 1

·

dA l +

(3.4.8)

5. Con los vectores de velocidad perpendiculares a las áreas, se evalúan los productos punto, como
en el paso número 4 de la sección previa (ecuación 3.3.3)

Volumen de control

Figura 3. 1O

Volumen de control con flujo o través de una superficie
de control perpendicular a la superficie.

120 C A P Í T U L O

3

•

Mecánica de fluidos

z

----+~~-~~~--~----~D~a_w~m
Figura 3. 11

Energía potencial.

6. Sustituir la definición de e en la anterior ecuación hasta obtener

/jQH
&

~
&

=

- tcl
+

L2

(:' +

gz,

(: +

+

gz,

~ + u;' )r,v,dA,
+

~

+

(3.4.9)

u," }'v,dA,

La simplificación de los ténninos en la ecuación (3 .4.9) requerirá algún procedimiento matemático
cuidadoso o algunas suposiciones, pero tal como se plantea ahora, la ecuación (3.4.9) es completa
y válida para la cámara de mezcla.
En la ecuación (3.4.9), los tres términos de energía gz + Vl-12 + p/p se conocen como la energía
disponible. El primer término, gz, es la energía potencial por unidad de masa. Con referencia a la
figura 3.1 1, el trabajo necesario para levantar W newtons una distancia z metros es Wz. La masa de W
newtons es W/g kg; por consiguiente, la energía potencial, en metros-newtons por kilogramo es

-Wz = gz
W/g

El siguiente término, v2/2 se interpreta como sigue: la energía cinética de una partícula de masa es
8mv2/2. Al expresarlo respecto a la masa unitaria, se divide por 8m; luego Vl/2 es la energía cinética
en metros-newtons por kilogramo.
El término p/p es el trabajo de flujo o energía del flujo por unidad de masa. El trabajo de flujo es
el trabajo neto hecho por el elemento de fluido sobre sus alrededores, a medida que fluye. Por ejemplo,
en la figura 3.12 se presenta una turbina que consta de una unidad con álabes la cual rota a medida
que el fluido pasa a través de ella, ejerciendo un torque sobre su eje. Para una pequeña rotación la
caída de presión a través de los álabes multiplicada por el área expuesta del álabe es una fuerza sobre
el rotor. Cuando se multiplica por la distancia desde el centro de la fuerza hasta el eje del rotor se
obtiene un torque. El trabajo elemental p8Ads es hecho por p8Ads unidades de masa del fluido que
fluye; por consiguiente, el trabajo por unidad de masa es pip.

Ecuación de energía de estado permanente
Debido a que la distribución de p, p, v y u·· son variables a través de cada área, el análisis de un
problema es difícil. Para obtener una forma de la ecuación (3.4.9) útil para cálculos, se requieren los

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

Figura 3.12

Trabajo hecho por una presión sostenida.

siguientes pasos o suposiciones. La energía intrínseca,
través de cada área; por consiguiente,

u··pv dA

J

= u••

u··, se supone como constante o uniforme a
pv dA

J

(3.4. 10)

se

.re

Con el fin de determinar los términos de energía de presión y energía potencial es necesario un
poco más de razonamiento. Aquí el término de energía potencial puede aproximarse tomando la
altura promediada en el área, zc o altura del centroide del área de entrada. Entonces

gzpv dA

J

= gzc J

se

pv dA

se

(3.4.11)

Con el fin de determinar la presión, cualquier distribución arbitraria de presiones puede ser aproximada
calculando la presión promedio sobre el área, utilizando los métodos del capítulo 2. Sin embargo,
corrientemente se hacen suposiciones simplificadoras. En primer lugar, si el diámetro de la entrada o
de la salida es pequeño, como en la mayoría de las tuberías o conductos típicos, entonces para la
mayoría de los propósitos la presión y la densidad están uniformemente distribuidas a través de cada
área de superficie de control. En este caso

ppvdA

f

P

.<e

=

p

P

f

pvdA

(3.4.12)

se

Para conductos con grandes diámetros, donde prevalece una componente hidrostática importante, se
puede calcular la presión promedio utilizando los métodos del capítulo 2. Si se seleccionan las áreas
de entrada y salida, de tal manera que las líneas de corriente sean paralelas a la pared de la tubería y
perpendiculares a la gravedad (+ z), entonces la suma de pi 'Y+ z será constante en cualquier coordenada
vertical en la sección; consecuentemente, se puede escribir
f

~

(

P + gzJpv dA = ( P + gzJ J pv dA

p

p

r

El término de energía cinética no se puede calcular tan fácilmente. La función de velocidad en
presencia de paredes sólidas varía considerablemente y no puede, tal como ya se discutió, ser supuesta
como uniforme. Sin embargo, a diferencia del ejemplo de continuidad
v2

fsc

-pv dA =
2

J p-dA
v3
V3
"* p-A
se

2

2

121

•

122 C A P Í T U L O 3

Mecánica de fluidos

Se debe notar que el producto de los promedios no es igual al promedio del producto. La parte
izquierda de la ecuación define la energía cinética real que pasa a través de una sección transversal
por unidad de tiempo, en la cual pvd.A es la masa por unidad de tiempo que pasa a través de dA, y
v2/2 es la energía cinética por unidad de masa. Es necesario calcular un factor de corrección a para
V!/2, de tal manera que aV212 sea la energía cinética promedio por unidad de masa que pasa a través
de la sección, o

a=
Si finalmente f pvd.A se define como

~"

+ (

~

+

gz,

+a,

~l

+

~J(~)dA

(3.4.14)

mo como pVA (ver la ecuación 3.3.6), entonces

u;•) p, V, A,

i

=

(3.4.1 S)

+ (

~

+

gz,

+

a, ~l +U;·

)r,

V, A,

Usualmente es conveniente dividir por la tasa de flujo de masa; por consiguiente la ecuación se
convierte en
qH +

P
A
+ 8Z1
1

+

V 21

a l

2

+

••
ul

= w.. +

p2

p;

+ 8Z2 +

V 22

a 2

2

••

(3.4.16)

+ u2

donde qH es el calor añadido por unidad de masa de flujo, y w, es el trabajo de eje por unidad de masa.
Si el trabajo es hecho sobre el fluido en el volumen de control, como con una bomba, entonces w S es
negativo, o si el trabajo es hecho por el volumen de control o extraído del volumen de control como
es el caso de una turbina, entonces w, es positivo. Para que la convención de signos sea aplicada en
forma consistente, la sección 1 se encuentra aguas arriba y la 2 aguas abajo. La ecuación (3.4.16) es
la ecuación de energía para flujo permanente a través de un volumen de control.
La ecuación (3.4.7) puede extenderse al caso donde existan múltiples entradas o salidas. Si existe
una segunda entrada (sección 3), como en el ejemplo de continuidad, entonces para las secciones 1 y
3 como secciones de entrada y la 2 como sección de salida la ecuación (3.4.15) es

~"

+ (

~

+ gz, +

a,

".¡ + u;·) p, V, A, + ( :
=

8W,
& +

+ gz3 +

(P2
p;

a, ~l

+ 8Z2 +

+

u;•)p

3

V, A,

2
V
2
a22 + ··)P 2 V.
u2

Á
2 • "2

(3.4.17)

Reversibilidad, irreversibilidad y pérdidas
Un proceso puede definirse como la trayectoria de una sucesión de estados a través de los cuales el
sistema pasa, tales como los cambios en velocidad, elevación, presión, densidad o temperatura. La
expansión de aire en un cilindro, a medida que el pistón se mueve hacia fuera y el calor es transferido
a través de las paredes, es un ejemplo de un proceso. Normalmente, el proceso produce algunos
cambios en sus alrededores, por ejemplo, desplazándolos o transfiriendo calor hacia las fronteras y
desde éstas. Cuando logra que un proceso se dé en forma tal que pueda ser revertido, es decir, que
pueda retomar a su estado original sin un cambio final en el sistema o en sus alrededores, se dice que
es reversible. En cualquier flujo real de un fluido real o en cualquier cambio en un sistema mecánico,
el efecto de la fricción viscosa, de la fricción de Coulomb, la expansión no restringida, la histéresis,
etc., impide que un proceso sea reversible. Sin embargo, para propósitos de diseño es ideal suponer

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control
que lo es, y la eficiencia del proceso usualmente se define en términos de su proximidad a la
reversibilidad.
Cuando cierto proceso tiene un único efecto sobre sus alrededores, equivalente a la elevación de
un peso, se dice que ha hecho un trabajo sobre sus alrededores. Cualquier proceso real es irreversible. La diferencia entre la cantidad de trabajo que una sustancia puede hacer cambiando de un estado
a otro, a lo largo de una trayectoria reversiblemente y el trabajo real que produce en la misma trayectoria
es la irreversibilidad del proceso. Ésta se puede definir en términos de trabajo por unidad de masa o
peso, o trabajo por unidad de tiempo. Bajo ciertas condiciones, la irreversibilidad de un proceso se
conoce como el trabajo perdido, es decir, la pérdida de habilidad para hacer trabajo debido a la
fricción y a otras causas. En la ecuación (3.4.16) los términos gz + Vl/2 +pip son términos de energía
disponible o términos de energía mecánica, debido a que directamente pueden hacer trabajo a través
de la energía potencial, la energía cinética o la presión sostenida. En este libro, cuando se haga
referencia a pérdidas, éstas significarán irreversibilidad o trabajo perdido, o transformación de energía
disponible en energía térmica.
Al observar la ecuación (3.4.5) existen términos que no son los de energía disponible. En la
forma de volumen de control estos son: el término de trabajo de eje 8WJ&, el término de intercambio
neto de calor 8QHI8t y el término de intercambio neto de energía intrínseca

Jse

u**pv · dA

En aquellos casos donde u•• es uniforme a través de la frontera de la superficie de control, v es
perpendicular a la entrada o a la salida y se puede calcular la velocidad promedio sobre el área,
entonces para un volumen de control entrada-salida la suma
-

~H

+ (u;• -

u~* )pVA

(3.4.18)

representa las pérdidas desde el sistema debido a la irreversibilidad, al trabajo perdido o a la
transformación.
En ciertos casos se puede trabajar directamente con variables de energía intrínseca. Por ejemplo,
los libros de texto en fenómenos termodinámicos o de transporte desarrollan una relación para un
líquido incompresible tal que
u•• = eV T = e p T
(3.4.19)
donde Tes la temperatura promediada del área sobre la superficie del volumen de control. En término
de pérdidas, ecuación (3.4.18), convierte en

- {jQH
pVA
& + (T.2 - T.)c
1 p
Para un gas ideal que se puede comprirrúr, la situación es un poco más compleja debido a que
-p +u•• = e T

p

p

con la presión constante.
Sin embargo, para la mayoría de los flujos pueden ocurrir otras pérdidas que son complejas y no
se pueden parametrizar tan fácil y específicamente. La conversión a calor de la fricción en las paredes,
los cambios rápidos en la geometría del flujo y los esfuerzos cortantes fluidos internos causados por
rápidas aceleraciones o desaceleraciones, darán como resultado pérdida de energía. Mientras que las
pérdidas por fricción en las paredes serán explicadas en detalle en el capítulo 6, aquí se introduce un
término de pérdidas empírico para la ecuación de energía de volumen de control de la forma
~

V2

-~-H +(u;· - u~)pVA = K-pVA

&

2

123

124 C A P Í T U L O

3

•

Mecánica de fluidos

o en una base por unidad de masa (ecuación 3.4.16)
qH

+ ( U2••

V2

ul**) = K -

-

2
En esta ecuación, K se conoce como el coeficiente de pérdidas y es (con excepción de la fricción en
pared) especificado, utilizando correlaciones con numerosos experimentos de laboratorio. Su uso
primordial en análisis de volumen de control se reduce a describir las pérdidas locales que ocurren en
lugares dentro del campo de flujo donde la geometría del flujo cambia rápidamente, por ejemplo, en
difusores, codos y salidas. Ocasionalmente, el término de pérdida también puede utilizarse para
especificar las pérdidas totales del sistema en forma volumétrica o agregada. Por consiguiente, la
ecuación (3.4.16) puede ser reescrita para incluir las pérdidas,

= ws

p2

V2
V2
+ gz2 +a - 2 +K-

+ -

~

2

2

2

(3.4.20)

Aquí, V, en términos de pérdidas, es la velocidad promedio en el punto entre la sección 1 y la 2 donde
ocurren las pérdidas. La ecuación (3.4.20) está expresada en términos de energía por unidad de masa.
También se puede obtener una forma de esta ecuación en términos de energía por unidad de peso,
dividiendo la ecuación (3.4.20) por g. Esto da como resultado
PI
- +
r~

V2
1

z + a 1

1

2g

=H

p2

+ S

r 2

+

V22
V2
+ K2g
2g

z + a 2

2

(3.4.21)

En esta última ecuación, las dimensiones ahora son N· m/N o pies ·lb/lb, dejando la dimensión total
de cada término como una longitud. Esta longitud también se conoce como "cabeza"; por ejemplo, la
cabeza de energía cinética es V2/2g. El término Hs es el trabajo de eje, w.~, dividido por g y se conoce
como la cabeza de eje. Este término puede representar la cabeza de una bomba, en cuyo caso H. sería
negativo, o la cabeza de una turbina, donde Hr sería positivo.

3.5

APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE ENERGÍA PARA SITUACIONES
DE FLUJO PERMANENTE DE FLUIDOS

Los siguientes son una serie de ejemplos que utilizan, clarifican o amplían el material de la sección 3.4.

Embalses y grandes tanques de almacenamiento
Las condiciones de entrada-salida del volumen de control para las que se dedujo la ecuación de
energía, automáticamente incluyeron tanto energía potencial como energía cinética en las entradas y
salidas. Considérese un embalse muy grande como el de la figura 3.13, del cual sale agua a través de
una pequeña abertura (con respecto al embalse). Aquí, existen dos superficies de volumen de control,

Figura 3.13

Flujo a través de una
boquilla desde un embalse.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

125

una en la salida (2) y la "entrada" que se considera ser toda la superficie del embalse. Si se dibuja un
datum a través de la línea central de la salida, entonces la cabeza piezométrica en la entrada (pi-y+ z)
es constante y el punto 1 puede establecerse esencialmente en cualquier parte de la superficie del
embalse. La suposición importante es que el volumen del material que pasa a través de la salida es
extremadamente pequeño comparado con el volumen del embalse; tanto así, que la superficie del
agua para todos los propósitos nunca se mueve y V1, la velocidad de "entrada", es cero.

Responder las siguientes preguntas con respecto a la figura 3.13: (a) Determinar la velocidad
del flujo de salida de la boquilla en la pared del embalse. (b) Encontrar el caudal a través de
la boquilla.

Ejemplo

3.21

Solución

(a) El chorro o chorro libre sale como un cilindro con una presión atmosférica uniformemente
distribuida a través de la salida y alrededor de su periferia. Se aplica la ecuación de
energía, ecuación (3.4.21) sin pérdidas ni trabajo de eje, en un punto de la superficie del
agua y un punto aguas abajo de la boquilla.

v;

2g

+ .f!J._ +

r

z = Vi

+ P2 + Z

r

2g

1

2

Con la presión de referencia igual a la presión atmosférica local, p 1 = p 2 = O; con el
datum de elevación a través del punto 2, z2 =O y z, =H. La velocidad en la superficie del
embalse es cero (prácticamente); luego,

V2
O+O+H= - 2 +0+0

2g

y

V2

= ~2gH = ~2(9.806)(4) = 8.86 rnls

la cual establece que la velocidad del flujo de salida es igual a la velocidad de caída
libre desde la superficie del embalse. Esto se conoce como el teorema de Torricelli.
(b) El caudal Q es el producto de la velocidad del flujo de salida y el área de la corriente,

Q

= A2 V2 = 7r(0.05 m)2 (8.86 rn/s) = 0.07 m 3/s = 70 Us

Promedio de área y el factor de corrección de energía cinética
La ecuación (3.4.14) da un factor de corrección de energía cinética de tal manera que la energía
cinética calculada con la velocidad promedio en el área de flujo es igual que la energía cinética real,
físicamente presente en la velocidad real. Más adelante se demostrará que para flujo laminar en una
tubería, a= 2. Para flujo turbulento [l]t en una tubería, a varía entre 1.01 y 1.10.

La distribución de velocidad en flujo turbulento en una tubería está dada aproximadamente
por la ley de la potencia 117 de Prandtl,
1/7

V:ax = (

~

)

t Los referencias numerados se encuentran al final de este capítulo.

Ejemplo

3.31

126

•

3

CAPÍTULO

Mecánica de fluidos

en donde y es la distancia desde la pared de la tubería y r0 es el radio de la tubería. Encontrar el factor
de corrección de energía cinética.
Solución
La velocidad promedio V se expresa por

nr5V
en donde r = r0

-

= 2n J:"rv dr

y. Sustituyendo parar y v,

JEr¡ V=

21rv=

J>• -y{~)"'

dy

= nr

2
O

98
120

vmax -

o

98
V= - v
120 max

(z)"
7

v = 120
V

98

r0

Sustituyendo en la ecuación (3.4.14)

a = _ 1 r'"2n r ( 120 )3(1._)317 dr
nr5 Jo
98
r0

zC:~)' r~ [<r. -

=

yt f

dy

= 1.06

Pérdidas y eficiencia
Cuando turbinas o generadores están intercambiando energía a través del volumen de control, existen
varias medidas de comportamiento del sistema. En ambos casos de conversión de energía, el trabajo
en el eje, W 5 , representa la energía por unidad de masa que los álabes o el impulsor suministran al
fluido (bomba) o extraen del fluido (turbina). Este valor se conoce como la cabeza de la bomba, HP,
o la cabeza de la turbina, H ,, y tiene unidades de trabajo por unidad de peso, es decir, [P.UF] o [L].
Las cabezas HPy H, son variables de comportamiento deducidas para las máquinas. La potencia total
inyectada o extraída del sistema se calcula con yQHp y yQH,1 respectivamente.
Desde el impulsor hasta el ambiente externo, la eficiencia del sistema está afectada por dos pasos
de conversión. Haciendo referencia a la figura 3.14, la potencia en forma de electricidad, P~,u' se
r;---:::1: -;:---:::.·

~'~;o;.'"-t

Bomba

·-··~.
1

--.

~,.... ...~ <

'~

'!

~ti;f~

(a)

P,

Turbina

(b)
Figura 3.14

Esquemas de Ruja de energía para configuración de bomba y de turbina.

\

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control 127
lleva a la bomba, P.n. A su tumo, la bomba manda la potencia al impulsor, PP, y éste lleva la potencia
al fluido. La potencia en la bomba es mayor que la potencia en los álabes, que a su vez es mayor que
la potencia entregada al fluido. Lo contrario es cierto para la turbina. Para la bomba P<'<'<"
> Pen > Pp >
1
-vQH
, mientras que para la turbina, -vQH
> Pr > P.m1 > Pe1ec• Se ha encontrado que las ineficiencias del
f
p
f
r
sistema se pueden calcular tomando las relaciones de las potencias en diferentes partes del sistema.

Una planta hidroeléctrica (figura 3.15) tiene una diferencia de elevación desde el agua,
aguas arriba, hasta el agua a la salida de H = 50 m y un caudal Q = 5 m3/s de agua a través
de la turbina. El eje de la turbina rota a 180 rpm y el torque en el eje, una vez medido, es
T = 1.16 X 105 N · m. La salida del generador es 2.100 kW. Determinar (a) la potencia
reversible para el sistema, (b) la irreversibilidad, o pérdidas en el sistema y (e) las pérdidas
y la eficiencia en la turbina y en el generador.
Solución
(a) La energía potencial del agua es 50 m · NIN. Por consiguiente, para una conversión
perfecta la potencia reversible es

yQH = (9806N/m 3)(5m3 /s)(50 m·N/N) = 2,451,500N·rnfs = 2451.5kW
(b) La irreversibilidad o pérdida de potencia en el sistema es la diferencia entre la potencia
de entrada y la potencia de salida en el sistema, o

2451.5 - 2100 = 351.5 kW
(e) La tasa de trabajo hecha por la turbina es el producto del torque en el eje y la velocidad
de rotación:
180 2
( n) s- 1 = 2186.5 kW
60
Por consiguiente, la irreversibilidad a través de la turbina es 2451.5-2186.5
kW, o, cuando se expresa como trabajo por unidad de peso del fluido,
Tw

= 1.16 x

105 N· m

(265.0 kW) 1000 N. mis
1
1
1 kW
9806 N/m 3 5 m3 /s

= 5.4 m. NIN

H=50m

Figura 3.15

Irreversibilidad en una planta hidroeléctrica.

= 265.0

Ejemplo

3.41

128 C A P Í T U l O

3

•

Mecánica de fluidos

La pérdida de potencia en el generador es 2186.5-2100 = 86.5 kW, o
86.5(1000) = 1.76 m. NIN
9806(5)
La eficiencia de la turbina 17, es
1],

= 100 50m·N/N

- 5.4m·N/N
50 m·N/N

=

89.19 por ciento

y la eficiencia del generador 178 es

1Jg

Ejemplo 3.5

5
76
.4 - 1.
= 96.05 por ciento
50 - 5.4

= 100 50 -

La planta de agua para enfriamiento de un edificio grande se localiza en un pequeño lago
alimentado por una corriente, tal como se muestra en la figura 3.16. El caudal de aguas
bajas de diseño es 5 pes y, en esta condición, el caudal de salida del lago únicamente es 5
pes a través de una estructura de compuertas cerca del canal de descarga del sistema de
agua de enfriamiento. La temperatura de la corriente de entrada es 80°F. La tasa de flujo del
sistema de enfriamiento es 1O pes, y el intercambiador de calor del edificio eleva la
temperatura del agua de enfriamiento en 1O grados Fahrenheit. ¿Cuál es la temperatura del
agua de enfriamiento recirculada a través del lago, sin tener en cuenta las pérdidas de calor
hacia la atmósfera y hacia el fondo del lago, si estas condiciones existen por un periodo
prolongado?

Solución
En la figura 3.16 se muestra el volumen de control con las variables tasa de flujo volumétrico
Q y temperatura T. No existe cambio en la presión, densidad, velocidad o elevación entre
las secciones 1 y 2. La ecuación (3.4.18) aplicada al volumen de control es

8QH
&

+ u,•• PQ1

= U2•• PQ2

En la cual 8Qj &es la tasa temporal de adición de calor hecha por el intercambiador de calor.
La energía intrfuseca por unidad de masa, a presión y densidad constantes, es una función de la
temperatura únicamente; ésta es u2 ** - u1** = c/T2 - T1), en donde cPes el calor específico o

Al edificio
----Desde el edificio
Vertedero controlado

(a)

Figura 3.16

(b)

Sistema de enfriamiento de agua.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control 129
capacidad de calor del agua. Por consiguiente, la ecuación de energía aplicada al volumen de control
es

i" =

cP(I; - T¡)pQ,

Similarmente, el calor añadido en el intercambiador de calor está dado por

DQH = e !lTp Q
8t
p
~
en la cual 11T = 10 es el aumento de temperatura y Q~ = 10 pes es la tasa de flujo volumétrico a través
del intercambiador de calor. Luego,

cP!lTp Q~ = cP(I; - T¡)p Q1
o

T.2

= T.

+ !lTQe

= 80

+ 10(1 0)

Q,
5
Debido a que T2 = T + AT , la temperatura T del lago es 90°F.

=

lOOoF

1

Todos los términos en la ecuación de energía (ecuación 3.4.21) excepto la cabeza en el eje y los
términos de pérdida de energía son la energía disponible. Para fluidos reales que fluyen a través de
un sistema, la energía disponible disminuye en dirección aguas abajo; ésta está disponible para ha(;er
trabajo, como cuando se pasa a través de una turbina de agua. Una gráfica que muestre la energía
disponible a lo largo de un tubo de corriente esquematiza la Unea de energía (ver sección 11.2). Una
gráfica de los dos ténninos z +pi y a lo largo del volumen de control esquematiza la cabeza piezométrica
o línea piezométrica. La línea de energía siempre tiene una pendiente hacia abajo en el flujo de
fluidos reales, excepto en donde haya una bomba o cualquier otra fuente de energía. Las reducciones
en la línea de energía también se conocen como las pérdidas de cabeza.

En la figura 3.17, una bomba con una potencia de agua (WHP) de 1O hp toma agua desde la
represa tal como se indica, y lleva el agua a una salida que se encuentra 15 pies por encima de
la superficie del embalse, con propósitos de irrigación. ¿Cuál es el caudal a la salida? Dibujar
e identificar las líneas piezométricas y de energía. Las pérdidas totales del sistema desde la
bomba hasta la salida se parametrizan como 8 V212g, pero no existen pérdidas desde la
entrada en el embalse hasta la bomba. El diámetro de la tubería de descarga es 4.67 pulg.
Solución
Suponer flujo permanente y posicionar un nivel de referencia en la superficie del agua del
embalse. Se aplica la ecuación de energía entre el nivel de la superficie del embalse (1) y la
salida (2). En la superficie del embalse la presión es atmosférica, p 1 = O y se conoce la
elevación (z 1 = 0). Se considera que el volumen del embalse es tan grande que durante el
bombeo del agua el volumen extraído es tan pequeño que la caída en el nivel del agua es
cero y por consiguiente la velocidad en la superficie es cero (V1 = 0). A la salida, la única
presión que se opone al flujo de salida en la boquilla como un chorro libre es la atmosférica;
por consiguiente, p 2 =O. La ecuación de energía, (ecuación 3.4.21), se convierte en

V2

K-

2g

en la cual HPes la cabeza de la bomba, HP=-Hs y [(Vl/2g representa las pérdidas entre 1 y 2.

Ejemplo

3.61

130

C A PÍ TU LO

3

•

Mecánica de fluidos

P~rdida!'

= 29.5'

- - Unea de energ{a
----- Unea piezo~trica

figura 3.17

Líneas piezométricas y de energía para un sistema de bombeo.

El caudal a través del sistema es constante; por consiguiente, debido a que el diámetro de tubería
es constante en cualquier parte, las pérdidas del sistema pueden expresarse en términos de la velocidad
constante a la salida, Vr Luego,
O+ O+ O+ Hp

V2

= _2g2

+ 15 +

o+ o+

8 Vi

2g

Como

WHP

= 10 =

yQHPpies ·lb/s
550 pies ·lb/s/HP

Entonces
5500
HP = - - pies
r~A

Por consiguiente,
5500
yy;A

= 9 Vi

2g

+ 15

Resolviendo para la raíz real de la ecuación cúbica se obtiene
y;

= 15.4 pies/s

y
Q = y;A = 1.83 pies 3 /s

En unidades de energía/peso o [F·UF] o dimensiones de longitud, los términos en la ecuación de
energía pueden expresarse en unidades de cabeza equivalente
pérdida de cabeza

V2

= 8 -2 = 29.5 pies
2g

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

cabeza de energía cinética
cabeza de la bomba

V2
2

=-

=

2g

131

3.7 pies

= HP = 48.2 pies

Por consiguiente, se pueden dibujar las líneas piezométrica y de energía.

El sifón mostrado en la figura 3.18 se encuentra lleno de agua y descarga 150 Us. Encontrar
las pérdidas desde el punto 1 hasta el punto 3 en términos de la cabeza de velocidad V212g.
Encontrar la presión en el punto 2 si dos terceras partes de las pérdidas ocurren entre los
puntos 1 y 2.

Ejemplo 3.7

Solución

En primer lugar se aplica la ecuación de energía, ecuación (3.4.21), al volumen de control
que consta de toda el agua dentro del sistema aguas arriba del punto 3, colocando el datum
de elevación en el punto 3, y la presión manométrica cero se escoge como el datum de
presión:
V2
V2
P3
_1 + !2
+ z3 + pérdidas 1_ 3
+ zl = _ 3 +
2g
2g
o

r

r

o+ o+

1.5

V2
= _3

V2
+O+ O+ K - 3
2g
2g

en donde las pérdidas desde 1 hasta 3 se expresan como K )l2g. Utilizando el caudal

~3

= Q = I50Us
A

1
n(O.l m)2 1000 Llm 3

= 4.77m/s

y Vsl2g = 1.16 m. Luego, K= 0.29 y las pérdidas son 0.29 Vsl2g =0 .34 m· NIN.
La ecuación de energía aplicada al volumen de control entre los puntos 1 y 2, con
pérdidas ! KV j/2g = 0.23 m, es
O+ O+ O

=

1.16 + p 2 + 2 + 0.23

r

La cabeza de presión en 2 es -3.39-m H20 o p 2 = - 33.2 kPa.

El aparato mostrado en la figura 3.19 (conocido como tubo de Pitot) se utiliza para determinar
la velocidad de un líquido en el punto l. Es un tubo con su extremo inferior dirigido hacia
aguas arriba y su otro extremo vertical y abierto a la atmósfera. El impacto del líquido
contra la apertura 2 obliga al líquido a levantarse en el extremo vertical hasta una altura .tlz
por encima de la superficie libre. Determinar la velocidad en l .
Solución
El punto 2 es de estancamiento, donde la velocidad del flujo se reduce a cero. Esto crea una
presión de impacto, conocida como la presión dinámica, la cual forza el fluido hacia el
extremo vertical. Escribiendo la ecuación de energía entre los puntos 1 y 2 sin tener en
cuenta las pérdidas, por ser éstas muy pequeñas, se llega a

Vf
2g

+

!2

r

+ O = O + P2 + O

r

Ejemplo

3.81

132 C A P Í T U L O

3

•

Mecánica de fluidos

Fronterd del volumen de control 1-2

1.5 m

t

Figura 3.18

Figura 3.19

Sifón.

Tubo de Pitot.

P/Y está dado por la altura del fluido por encima del punto 1 y es igual a k pies del fluido.pj'Y está
dado por el manómetro como k + Az, sin tener en cuenta la altura capilar. Después de sustituir estos
valores en la ecuación,
V2
_1

2g

=~z

y

Este es el tubo de Pitot en una forma simple.

EJERCICIOS
3.5.1

El factor de corrección de energía cinética (a) se aplica a la ecuación de continuidad; (b)
tiene las unidades de cabeza de velocidad; (e) se expresa mediante 1/A JA (v/V) dA (d) se expresa
mediante 1/A JA (v/V) 2 dA ; (e) se expresa mediante 1/A JA(v/V)3dA.

3.5.2 El factor de corrección de energía cinética para la distribución de velocidad dada en la figura
l. l. es (a) O; (b) 1; (e) 4/3; (d) 2; (e) ninguna de estas respuestas.
3.5.3

Un tubo de vidrio con una curva de 90° se encuentra abierto en sus dos extremos. Se inserta
en una corriente de aceite, densidad relativa 0.90, que fluye de tal manera que la abertura se dirige
hacia aguas arriba y el otro extremo es vertical hacia arriba. El aceite dentro del tubo se encuentra 50
mm por encima de la superficie del aceite que fluye. La velocidad medida por este tubo es, en metros
por segundo, (a) 0.89; (b) 0.99; (e) 1.10; (d) 1.40; (e) ninguna de estas respuestas.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control
3.5.4 En la figura 10.9a, la diferencia manométrica R' para v1 = 5 pies/s, S= 0.08 y S0 = 1.2 es, en
pies, (a) 0.39; (b) 0.62; (e) 0.78; (d) 1.17; (e) ninguna de estas respuestas.
3.5.5 La velocidad teórica del aceite, densidad relativa 0.75, fluyendo desde un orificio en un
embalse bajo una cabeza de 4 m es, en metros por segundo, (a) 6.7; (b) 8.86; (e) 11.8; (d) no se puede
determinar con los datos dados; (e) ninguna de estas respuestas.
3.5.6 ¿En cuáles de los siguientes casos es posible que un flujo ocurra desde una presión baja
hasta una presión alta? (a) El flujo a través de una sección convergente; (b) el flujo adiabático en una
tubería horizontal; (e) el flujo de un líquido hacia arriba en una tubería vertical; (d) el fl ujo de aire
hacia abajo en una tubería; (e) es imposible en un conducto de sección transversal constante.
3.5.7 Si se desprecian todas las pérdidas, la presión en la parte más alta de un sifón (a) es un
mínimo para el sifón; (b) depende de la altura del punto más alto por encima del embalse aguas arriba
únicamente; (e) es independiente de la longitud del extremo aguas abajo; (d) es independiente del
caudal a través del sifón; (e) es independiente de la densidad del líquido.

3.6

LA ECUACIÓN DE MOMENTUM LINEAL DEL VOLUMEN
DE CONTROL

Ecuación básica
La segunda ley de Newton se utiliza para un sistema como la base para detenninar la forma de
volumen de control de la ecuación de momentum lineal. En la ecuación (3.2.4), sea N el momentum
lineal del sistema mv y 17 el momentum lineal por unidad de masa pv/p = v. Entonces, la ecuación
(3.2.4) se convierte en
F

=

d(mv)
dt

= -a J

af

pv d'V +

\'C

1

vpv · dA

(3.6.1)

SC

En palabras, la suma vectorial de las fuerzas externas reales aplicadas que actúan sobre el volumen
de control es igual a la tasa temporal de incremento del momentum lineal dentro del volumen de
control, más la tasa neta a la cual el momentum está dejando la superficie de control.

Análisis de la ecuación de estado permanente
Para analizar esta ecuación se utilizará el enfoque usado en las dos ecuaciones previas. Considérese
una sección de tubería como la mostrada en la figura 3.20 con la entrada en 1 y la salida en 2.
l. Definir el volumen de control al igual que antes, con las superficies de control localizadas donde
el área sea perpendicular a las líneas de corriente y el campo de flujo esté bien definido con las
líneas de corriente paralelas a la pared de la sección de flujo.
2. Suponer que el flujo es permanente.
3. Se establece el sistema de fuerzas equivalentes o resultantes y los parámetros del flujo sobre el
volumen de control, el cual consta tanto de las fuerzas resultantes como de los intercambios de
momentum equivalentes en la entrada y la salida.
4. La suma vectorial de las fuerzas externas reales aplicadas consta de los siguientes componentes

F

=w +

FPI + FP2 + F'TO + F,..

(3.6 .2)

133

1 34 C A P Í T U l O

3

•

Mecánica de fluidos

Figura 3.20

Volumen de control para el flujo a través de una tubería.

Cada uno de los términos se define como sigue:

w
Fp1

es la fuerza de peso. El fluido dentro del volumen de control tiene un peso que actúa en la
dirección de la gravedad, y la magnitud es igual al volumen del volumen de control multiplicado
por el peso específico.
y FP2 son las fuerzas de presión en los extremos. La presión del fluido en la entrada y la salida
crea una fuerza de presión en cada cara. La fuerza vectorial total es igual a

FP =

F.,.0

L. pdA =

L

pn · dA

(3.6.3)

donde n es la normal unitaria del área superficial la cual siempre se dirige positivamente hacia
fuera del área superficial. Al igual que en el capítulo 2, la fuerza de presión puede calcularse
utilizando los métodos para encontrar las fuerzas individuales vertical y horizontal, o el vector
completo Fp puede calcularse. En la mayoría de los casos la presión promedio de área es p o la
presión es constante, entonces FP= pA y el vector F11 es perpendicular al área de entrada y se
dirige hacia el volumen de control.
y Fw son las fuerzas de presión y el corte en las paredes, respectivamente. Las paredes ejercen
tanto esfuerzos cortantes como normales sobre el fluido. El esfuerzo cortante en la pared r 0 ,
ejerce una fricción sobre el fluido y actúa en el plano de la superficie del volumen de control
para retardar el flujo. El esfuerzo cortante en la pared es una función del tipo de material de la
frontera y de su rugosidad, de la densidad del fluido y su velocidad y de la geometría de flujo.
En general varía de punto a punto dentro del flujo. Flujos en tuberías y ciertos flujos en capas
límites son los únicos donde puede hacerse un cálculo exacto de r 0 y F r o (ver los capítulos 6
y 7). El esfuerzo normal, F, , en la pared o en la superficie de control es el responsable primor-

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control 135
dial de mantener la geometría del campo de flujo. Por ejemplo, el flujo de la figura 3.20 se
curva a la salida 2 debido a que el esfuerzo normal es mayor en la parte superior, dando como
resultado una deflexión del flujo. Así mismo, si no existiese esfuerzo normal en la "parte
inferior" del flujo, éste simplemente "caería" bajo el efecto de la gravedad.
La fuerza de esfuerzo normal, junto con FT0 , es muy difícil de separar; por consiguiente, éstas se
unen en este punto en una fuerza de reacción resultante, F, la cual actuará en el centro de gravedad
del volumen de control. Típicamente la dirección y la intensidad de F se determinarán en la
solución.
5. El intercambio de momentum, M 1 y~. a la entrada y salida, respectivamente, deben ser analizados
ahora. Para flujo permanente, la parte derecha de la ecuación (3.6.1 ) se escribe en la entrada y en
la salida como

M, + M 2 =

f

v 1(p1v 1 ·dA) +

f

v 2 (p2v 2 ·dA)

(3.6.4)

'<'"2

se¡

Si la velocidad en la superficie de control es perpendicular al área, y la velocidad es uniforme a
través del área respectiva, entonces la forma más simple de la ecuación (3.6.4) es

= - (pV¡A¡) V,

+ (p~~)V2
(3.6.5)
Aquí el signo menos indica que el momentum está entrando al volumen de control. Debido a que
los términos han sido analizados únicamente con respecto al sistema local de coordenadas de la
superficie de control, se debe mantener el vector velocidad. Cada término individual de la ecuación
(3.6.5) se define como el vector de intercambio de momentum

M, + M 2

M,

= - p,QV,

M2

= P2QV2

(3.6.6)

Por consiguiente, en cada área, M es perpendicular a la superficie y se dirige hacia afuera de la
superficie de control sin importar si se está a la entrada o a la salida.
6. La forma final de la forma de volumen de control permanente, de la segunda ley de Newton, es
(3.6.7)

El factor de corrección de momentum
En la ecuación de energía, el producto de los promedios de área no es igual al promedio de los
productos. Cuando la velocidad varía en el plano de la sección transversal de la superficie de control,
se debe introducir un factor de corrección de momentum f3 antes de que la velocidad promedio se
pueda utilizar.

t

pv 2 dA

= {3 pV 2 A

(3.6.8)

en la cual f3 es adimensional. Resolviendo para f3 se encuentra
(3.6.9)

la cual es análoga a a, el factor de corrección de energía cinética, ecuación (3.4.14). Para flujo
laminar en un tubo redondo recto se demostrará que f3 es igual a 4/3 en la sección 6.3. Éste es igual
que 1 para flujo uniforme y nunca puede tomar un valor menor que l. La ecuación (3.6.7) ahora se
conviene en
(3.6.1 O)

136

C A PÍ TUl O

3

•

Mecánica de fluidos

Superficies de control múltiples
Con solamente una entrada y una salida, el flujo a través del sistema es constante y V 1A 1 = Q 1 = V:zA 2
= Q2 = Q. La ecuación (3.6.10) con {3 = 1, puede escribirse como

w

+ FPI + F P2 + F

= pQ(V2 -

VI)

(3.6.11}

Si existe una entrada adicional, por ejemplo en la sección 3, como se muestra en la figura 3.9, entonces
la ecuación (3.6.11) requiere una fuerza de presión en el extremo adicional Fp3 (que apunta hacia el
volumen de control y es perpendicular a la superficie de control 3) y un vector de intercambio de
momentum adicional. La ecuación vectorial final entonces se convierte en
(3.6. 12}

o

W + FPJ + FP2 + FPJ + F

= p 2Q2V2

-

(p1Q1V1 + p 3 Q3V3 )

(3.6.13)

Una extensión similar ocurre para una salida adicional en la sección 4

w+

Fp¡ + FP2 + FPJ + FP4 + F

= MI +

M 2 + M 3 + M4

(3.6.14)

o
(3.6.15)

3.7

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE MOMENTUM LINEAL

La siguiente es una serie de ejemplos que ilustra algunos aspectos del uso de la ecuación de momentum lineal.

Una solución básica
Cuando la ecuación (3.6.7) se escribe en la forma de D' Alembert, todos los términos se reúnen en el
mismo lado de la ecuación, entonces

w + FPI

+ FP2 + F - M I - M2

=o

Esto esencialmente tiene el efecto de invertir las direcciones de las flechas de los vectores de
intercambio de momentum, de tal manera que ambos apunten hacia el centro de volumen de control,
al igual que lo hacen los vectores de fuerza de presión.

!Ejemplo 3.9

Suponga que en las figuras 3.20 y 3.21 se aplican las siguientes condiciones de tubería. Los
radios de entrada y salida del flujo son 25 y 15 cm, respectivamente; los ángulos de entrada
y salida del flujo con respecto a la horizontal (01 y 02) , son 45° y 30°, respectivamente; Q
es 50 Us; las presiones promediadas en las áreas de entrada y salida son 8.5 kPa y 5.83 kPa;
y el peso total del fluido dentro de la tubería es 2.0 N. Encontrar las fuerzas horizontal y
vertical requeridas para mantener quieta la tubería (es decir, el vector fuerza F resultante).
Solución

Los vectores de intercambio de momentum y de fuerza se dibujan en la figura 3.21. Las
direcciones de los vectores (FP y M) siempre son conocidas como en la deducción original.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

Figuro 3.21

Definiciones vectoriales de fuerza y momentum
para el valumen en la figura 3.20.

La dirección de los vectores de reacción F_, y FYno son conocidas, por consiguiente, se supondrán y
se procederá con el cálculo. Si la suposición es incorrecta, los valores de F, y Fv serán negativos
sugiriendo que las direcciones originales tienen que ser invertidas. Las magnitudes de Fx y F,
permanecen iguales en cualquier caso.
·
Los valores de las magnitudes de FP1 y FP2 se calculan como
F P!

FP2

= p¡A¡ = (8500)7r(.25)2 = 1669.0 N
= p 2 A2 = (5830)n(.15) 2 = 412.1 N

La magnitud de los valores de M se calcula como sigue
~

M1
~

M2

:;; Q/A1 = 0.255 mis

= p QV¡ = pA1V¡V¡ = (1000)(0.196)(0.255) 2 = 12.75 N
:;;

Ql~

= 0.707 m/s

= pQ~ = p~~~ = (1000)(0.071)(0.707) 2 = 13.48N

Las componentes de F se calculan corno

- F'.t - FP2 cos 30 + Fp¡ cos 45
-W +

F;. -

FP2 sen 30 + FP1 sen 45

=

- MI cos 45 + M2 cos 30

= - M 1 sen 45

+ M 2 sen 30

Sustituyendo los valores encontrados anteriormente y resolviendo para Fwy FYlleva a

-F.. -

412.1(0.866) + 1669.0(0.707)

- 2.0 +

~

=

- 12.75(0.707) + 35.48(0.866)

- 412.1(0.500) + 1669.0(0.707)

= - 12.75(0.707) +

35.48(0.500)

o

F_.

=

-801.4 N

~·

=

-963.2N

Los signos negativos indican que las direcciones supuestas para Fx y FYson incorrectas. Las fuerzas
reales actúan hacia la derecha y hacia abajo con magnitudes de 801.4 y 963.2 N, respectivamente.

137

138

C A PÍ T U LO

3

•

Mecánica de fluidos

Figura 3.22

!Ejemplo 3.10

Fuerzas sobre un codo reductor, que incluyen lo solución vectorial.

El codo reductor de la figura 3.22 se encuentra en un plano vertical. En él fluye agua con
D , = 6 pies, D 2 = 4 pies, Q = 300 pes, W = 18,000 lb, z = 10 pies, ()= 120°, p 1 = 40 psi, x = 6
pies, y las pérdidas a través del codo son 0.5 Vi 12g pies · lb/lb. Determinar Fx y Fr y la
línea de acción de la fuerza resultante. {3 1 = {32 = l.
·
Solución

La superficie interior del codo reductor define la superficie del volumen de control para la
porción de la superficie que no tiene flujo a través de ella. Las secciones perpendiculares 1
y 2 completan la superficie de control.

V¡

= .Q
A,

=

300
n-(6 2 )/4

= 10.61 pies/s

V. 2 -

R
Az --

300
= 23.87 pies/s
n-(42)/4

Aplicando la ecuación de conservación de energía, ecuación (3.4.21), con H, =O,

V2
P
-'
+ - ' +z
y
2g
1
40(144) + 10.6P + O = ....!!.L + 23.87
62.4
64.4
62.4
64.4

2

+ 10 + 0. 5 23.87

2

64.4

en donde p 2 = 4420 lb/pie2 = 30.7 psi.
Para determinar Fx, la ecuación (3.6.7) arroja

p,A, - p2 Az cos (} -

E:

= pQ (V2 cos (} - V¡)

40(144)(n-6 2 )/4 - 4420(n-42 )/4 cos 120° -

E:

= 1.935(300)(23.87 cos 120° - 10.61)
debido a que cos 120° = - 0.5, entonces
162,900 + 27,750 -

Para la dirección y

E: = 580.5(- 11.94
E: = 230,740 lb

- 10.61)

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

1: ~·
~·

- W - p2 ~ sen (}
~·

139

= pQ(V,'2 - ~.1 )
= pQV2 sen (}
= 18,000 - 4420n(4 2 )/4 sen 120°
= 1.935(300)(23.87) sen 120°

~·

= 78,100 lb

Para encontrar la línea de acción de la fuerza resultante, utilizando los vectores de flujo de momentum (figura 3.22), pQV1 =6160 lb, pQV2 = 13,860 lb,p 1A 1 = 162,900 lb y p.J. 2 =55,560 lb. Combinando
estos vectores y el peso W, en la figura 3.22, se calcula la fuerza final de 218,000 lb, la cual debe estar
opuesta por Fx y F-".

Tal como se demostró en el ejemplo 3.10, un cambio en la dirección de una tubería causa fuerzas
que se ejercen sobre la línea, a menos que la curva o el codo se encuentre anclada en su sitio. Estas
fuerzas se deben tanto a la presión estática en la línea como a las reacciones dinámicas en la corriente
curvada del fluido. En tuberías grandes se colocan juntas de expansión para evitar esfuerzos en la
tubería, en una dirección axial, ya sea causados por el fluido o por cambios en la temperatura. Estas
juntas de expansión permiten un movimiento relativamente libre de la tubería en la dirección axial, y
por consiguiente las fuerzas estáticas y dinámicas deben ser soportadas en la curva.

Un chorro de agua de 80 mm de diámetro con una velocidad de 40 rn/s se descarga en una
dirección horizontal desde una boquilla montada en un bote. ¿Cuál es la fuerza requerida
para mantener quieto el bote?

Ejemplo 3.11 1

Solución

Cuando se selecciona el volumen de control mostrado en la figura 3.23, el flujo neto de
momentum hacia fuera es [ecuación (3.6.6)]

p QVsaJ = (1000 kg/m3 ) n (0.08 m) 2 (40 rn/s)2
4

= 8.04 leN

La fuerza ejercida contra el bote es 8.04 kN en la dirección x.

Encontrar la fuerza ejercida por la boquilla de la tubería mostrada en la figura 3.24a. No
tener en cuenta las pérdidas. El fluido es aceite, con una densidad relativa de 0.85 y P , =
100 psi.
/ lC

'r---~---------, ' , , XI

1
1
1
1
1

',

1
1

1
1

•--Figura 3.23

Boquilla ensamblada en un

bate.

Ejemplo 3.121

140

C A PÍ TUl O

3

•

Mecánica de fluidos

Solución

Para determinar el caudal, se escribe la ecuación de energía para la corriente desde la sección 1 hasta
el extremo de aguas abajo de la boquilla, donde la presión es cero.

V?

z, + -

2g

Debido a que z,

( 100 lb/pulg 2 )( 144 pulg2 /pie 2 )
0.85(62.4 lb/pie 3 )

+

= z? +
-

V~

2g

+

0

= z2 y V2 = (D /D/V, = 9V,, después de sustituir,
V? (1 _
2g

=0

) + (100 lb/pulg 2 )(144 pulg2fpie 2 )
81
0.85(62.4lb/pie 3 )

y

= 14.78 pies/s
v2 = 133 pies/s 2
~

Q

= 14.78: ( ~

J=

0.725 pies3 /s

Sea F (figura 3.24b) la fuerza ejercida sobre el volumen de control líquido por la boquilla; entonces,
con la ecuación (3.6.7),
.\

( 100 lb/pulg 2 )

¡n (3 pulg)

2

-

E: =
(1.935 slug/pie3 )(0.85)(0.725 pies3 /s)(l33 pies/s - 14.78 pies/s)

o F ( =565 lb. El aceite ejerce una fuerza sobre la boquilla de 565 lb hacia la derecha; y una fuerza de
tensión de 565 lb es ejercida por la boquilla sobre la tubería.

En muchas situaciones, un problema de flujo no permanente puede convertirse en un problema
de flujo permanente superponiendo una velocidad constante al sistema y a sus alrededores, es decir,
cambiando la velocidad de referencia. La dinámica de un sistema y sus alrededores no cambia por la
superposición de una velocidad constante; por consiguiente las presiones y las fuerzas no cambian.
En la siguiente situación de flujo estudiada, se hace uso de este principio.

La teoría de momentum para hélices
La acción de una hélice es cambiar el momentum de un fluido en el que se encuentra sumergida y,
por consiguiente, desarrollar un empuje que sea útil para propulsión.

1 pulg diam

*
t
(a)

Figuro 3.24

(b)

Boquilla en el extremo de uno tubería.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control
Las hélices no pueden diseñarse de acuerdo a la teoría de momentum, pero sin embargo algunas
relaciones que las gobiernan se hacen evidentes mediante su aplicación. Una hélice, con la corriente
de deslizamiento y la distribución de velocidades en dos secciones a una distancia fija de ella, se
muestra en la figura 3.25. La hélice puede ser (1) estacionaria en un flujo, tal como se indica, o (2)
moviéndose hacia la izquierda con una velocidad V1 a través de un fluido estacionario, debido a que
la imagen relativa es la misma. Se supone que el fluido no tiene fricción y es incompresible.
El flujo no se encuentra perturbado en la sección 1 aguas arriba de la hélice y es acelerado a
medida que se aproxima a ella, debido a la presión reducida en el lado de aguas arriba de la hélice. Al
pasar a través de la hélice, el fluido incrementa su presión, lo cual acelera más el flujo y reduce la
sección transversal en 4. La velocidad V no cambia a través de la hélice, de 2 a 3. La presión en 1 y en
4 es la del fluido no perturbado, que también es la presión a lo largo de la frontera de la corriente de
deslizamiento.
Cuando se aplica la ecuación de momentum, ecuación (3.6.7), al volumen de control entre las
secciones 1 y 4 y la frontera de la corriente de deslizamiento de la figura 3.25, la fuerza F ejercida por
la hélice es la fuerza de reacción y es la única fuerza externa que actúa en la dirección axial, debido
a que la presión es la misma en cualquier lugar de la superficie de control. Por consiguiente,
(3.7.1)

en la cual A es el área de barrido sobre los álabes de la hélice. El empuje de la hélice debe ser igual y
opuesto a la fuerza sobre el fluido. Después de sustituir Q =AV y simplificando,
pV(V4 - lt;) = P3 - P2
(3.7.2)
Cuando se escribe la ecuación de energía para la corriente entre las secciones 1 y 2 y entre las
secciones 3 y 4,

debido a que z 1 =

~

= z3 = z4 • Resolviendo parap3 - p 2 con p 1 = p 4 se encuentra que

P3 - P2

=

1

2

(3.7.3)

P (V¡ - Vf)

Eliminando p 3 - p 2 en las ecuaciones (3.7.2) y (3.7.3) se encuentra

.... ..... ..... _

---

F

Empuje
de la lltlíce

... ~---­

Figura 3.25

Hélice en una corriente de fluido.

141

142

C A PÍ TUl O

•

3

Mecánica de fluidos

V= ~+V4
2

(3.7.4)

la cual muestra que la velocidad a través del área de la hélice es el promedio de la velocidad aguas
arriba y aguas debajo de ésta.
El trabajo útil por unidad de tiempo hecho por una hélice que se mueve a través de un fluido
quieto (potencia transferida) es el producto del empuje de la hélice y la velocidad, es decir,
Potencia = FV¡ = p Q(~ - V¡)\1;

(3.7.5)

La potencia de entrada es la requerida para incrementar la velocidad del fluido de V1 a V4 • Debido a
que Q es la tasa de flujo volumétrico,
Potencia de entrada

p Q(V2
- V2)
4
1

=

(3.7.6)

2