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Mec´anica de S´olidos Cap´ıtulo VI: M´etodo de Elementos Finitos para Elasticidad No Lineal
V´ıctor Fachinotti, Benjam´ın Tourn Programa de Doctorado en Ingenier´ıa Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias H´ıdricas (FICH) Universidad Nacional del Litoral (UNL)
13 de noviembre de 2015
V´ıctor Fachinotti, Benjam´ın Tourn ( Programa de Doctorado Mec´ en anica Ingenier´ de S´ oıalidos Facultad de Ingenier´ıa13 y Ciencias de noviembre H´ıdricas de 2015 (FICH) Universidad 1 / 12
M´ etodo de los Elementos Finitos
Principio de los Trabajos Virtuales
Principio de los Trabajos Virtuales
Partimos del PTV: Z Z δW dV = ∂B0σ
B0
Z σ ¯ · δχ dS +
ρ0 b · δχ dV B0
con δW = tr (SδA) = tr (T(n) δE(n) ) Introducimos el desplazamiento u = χ − X y su gradiente D = Grad u(X) = A − I. Dada la DCA χ∗ resulta: δχ = χ∗ − χ = (χ∗ − X) − (χ − X) = u∗ − u = δu
(1)
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M´ etodo de los Elementos Finitos
Notaci´ on de Voigt
Notaci´on de Voigt Trabajemos con el par conjugado (T(2) , E(2) ): δW = tr (T(2) δE(2) ) 1 1 E(2) = (AT A − I) = (D + DT + DT D) ≡ E 2 2 ∂W (2) T = ∂E
Notaci´ on de Voigt: ordenamos los componentes de los tensores T(2) y E en los vectores h iT ˜ (2) = T (2) T (2) T (2) T (2) T (2) T (2) T 11 22 33 12 23 31 ˜ = [E11 E22 E33 2E12 2E23 2E31 ]T E
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M´ etodo de los Elementos Finitos
Variaci´ on de la deformaci´ on
Variaci´on de la deformaci´on La variaci´on de E: 1 1 δEαβ = (δAkα Akβ + Akα δAkβ ) = (δuk,α Akβ + δuk,β Akα ) 2 2 se expresa en notaci´on de Voigt como: δE11 Ai1 δui,1 δE22 A i2 δui,2 δE33 Ai3 δui,3 ˜= δE 2δE12 = Ai1 δui,2 + Ai2 δui,1 2δE23 Ai2 δui,3 + Ai3 δui,2 Ai3 δui,1 + Ai1 δui,2 2δE31
(2)
Luego, la variaci´on de W puede escribirse como (2) ˜ (2)T δ E ˜ = δE ˜T T ˜ (2) δW = Tij δEij = T
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M´ etodo de los Elementos Finitos
Aproximaci´ on por MEF
Aproximaci´on por MEF
Usando MEF est´andar (Galerkin), aproximamos u como " u= |
1
N 0 0
0 N1 0
0 0 N1
2
N 0 0
0 N2 0
0 0 N2
{z N
... ... ...
n
N 0 0
0 Nn 0
1 # u2 0 u 0 . .. Nn } un | {z }
(3)
U
N I (X): funci´ on de forma asociada al nodo I = 1, 2, . . . , n, t.q. N I (XJ ) = δIJ . uI ≈ u(XI ): aproximaci´ on al desplazamiento del nodo I (inc´ognita).
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M´ etodo de los Elementos Finitos
Variaci´ on de la deformaci´ on
Variaci´on de la deformaci´on Usando (3): δu = NδU
⇒
δu,α = N,α δU
Luego, la variaci´on (2) se escribe:
˜ = [B1 B2 . . . δE | {z B
δu1 δu2 Bn ] . } .. δun
| {z } δU
I A11 N,1 I A12 N,2 I A N 13 ,3 I A11 N,2 + A12 N,1I I I A12 N,3 + A13 N,2 I I A13 N,1 + A11 N,3
con BI =
I A21 N,1 I A22 N,2 I A23 N,3 I I A21 N,2 + A22 N,1 I I A22 N,3 + A23 N,2 I I A23 N,1 + A21 N,3
I A31 N,1 I A32 N,2 I A33 N,3 I I A31 N,2 + A32 N,1 I I A32 N,3 + A33 N,2 I I A33 N,1 + A31 N,3
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M´ etodo de los Elementos Finitos
Variaci´ on de la deformaci´ on
Variaci´on de la deformaci´on Haciendo Aiα = ui,α + δiα , resulta B = I
|
I N,1 0 0 I N,2 0 I N,3
0 I N,2 0 I N,1 I N,3 0
0 0 I N,3 0 I N,2 I N,1
{z
+ }
BIlin
|
I u1,1 N,1 I u1,2 N,2 I u1,3 N,3 I I u1,1 N,2 + u1,2 N,1 I I u1,2 N,3 + u1,3 N,2 I I u1,3 N,1 + u1,1 N,3
I u2,1 N,1 I u2,2 N,2 I u2,3 N,3 I I u2,1 N,2 + u2,2 N,1 I I u2,2 N,3 + u2,3 N,2 I I u2,3 N,1 + u2,1 N,3
{z
BInolin
I u3,1 N,1 I u3,2 N,2 I u3,3 N,3 I I u3,1 N,2 + u3,2 N,1 I I u3,2 N,3 + u3,3 N,2 I I u3,3 N,1 + u3,1 N,3
}
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M´ etodo de los Elementos Finitos
Forma MEF de la ecuaci´ on de equilibrio
Forma MEF de la ecuaci´on de equilibrio Introducimos las aproximaciones por MEF en el PTV: Z Z Z (2) tr (T δE) dV − σ ¯ · δu dS − ρ0 b · δu dV = 0 ∂B0σ
B0
Z
˜T T ˜ (2) dV − δE
Z
δU
δuT σ ¯ dS −
∂B0σ
B0 T
B0
Z
Z
T
˜ (2)
B T B0
Z dV −
δuT ρ0 b dV = 0
B0
Z
T
N σ ¯ dS − ∂B0σ
! T
N ρ0 b dV
=0
B0
Siendo δU arbitrario, llegamos a la forma discreta en versi´ on MEF de la ecuaci´ on de equilibrio: ! Z Z Z ˜ (2) dV − R= BT T NT σ ¯ dS + NT ρ0 b dV = 0 (4) B0 ∂B0σ B0 | {z } | {z } Fint
Fext
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Resoluci´ on de la ecuaci´ on no lineal de equilibrio
Resoluci´on de la ecuaci´on no lineal de equilibrio La ecuaci´on (4) define un sistema no lineal de ecuaciones algebraicas para las inc´ognitas Ui , i = 1, 2, . . . , dim × n (dim = 3 en 3D), con n n´ umero total de nodos de la malla que representa a B0 . Ese sistema debe resolverse iterativamente. Partiendo de U(k) conocido para la iteraci´ on k, se actualiza U para la iteraci´on k + 1 resolviendo el sistema lineal R(U(k+1) ) = R(U(k) ) + K(U(k) )(U(k+1) − U(k) ) = 0
(5)
donde K es la matriz jacobiana tangente: K=
dR dFint dFext = − dU dU dU
M´ etodo de Newton-Raphson: K se calcula exactamente.
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C´ alculo de la matriz jacobiana tangente
C´alculo de la matriz jacobiana tangente La contribuci´on de las fuerzas internas a K es: Z Z dFint d T ˜ (2) T B CB dV + = dV Bnolin T ˜ (2) dU B B dU | 0 {z } | 0 {z T =const. } Kmat
Kgeo
donde C es la matriz en que se ordenan siguiendo la notaci´on de (2)
Voigt los m´odulos el´asticos de primer orden Aαβγδ = C=
A1111 A2211 A3311 A1211 A 2311 A3111
A1122 A2222 A3322 A1222 A2322 A3122
A1133 A2233 A3333 A1233 A2333 A3133
A1112 A2212 A3312 A1212 A2312 A3112
A1123 A2223 A3323 A1223 A2323 A3123
∂Tαβ ∂Eγδ :
A1131 A2231 A3331 A1231 A2331 A3131
Notar: como Aαβγδ = Aγδαβ , C es sim´etrica.
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C´ alculo de la matriz jacobiana tangente
C´alculo de la matriz jacobiana tangente
La contribuci´on de las fuerzas externas: Z Z dFext ¯ ∂b T ∂σ = N dS + NT ρ0 dV dU ∂U ∂U ∂B0σ B0 En caso de cargas muertas, no hay contribuci´ on de las tracciones σ. ¯
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Proyecci´ on nodal
Proyecci´on nodal Se define el campo continuo φ∗ usando las mismas funciones de interpolaci´on que para u: φ∗ (X) = N I (X)φI φ∗ aproxima en sentido d´ebil al campo discontinuo φ (ej., componentes de tensi´ on y deformaci´ on) si: Z Z I ∗ N φ dV = N I φ dV B0 B0 Z I J N N dV φJ = FI B | 0 {z } MIJ
Si MIJ est´a diagonalizada: φI =
FI MII
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