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Mecanica Dos Solidos 1 - Apostila

Descrição: Mastro de vante, mastro principal (do radar), pau da bandeira, pau do “Jack”, guindastes e lanças, paus-de-carga e lanças, monotrilho, turcos das baleeiras e das escadas de portaló

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MEC�NICA DOS S�LIDOS I (RESIST�NCIA DOS MATERIAIS I) Bibliografia: • • • • Ferdinand Beer, E. R���el John��on � Re�i���ncia do� Ma�eriai� Timo�henko � Mec�nica do� S�lido� William Na�h � Re�i���ncia do� Ma�eriai� Vladimir Arri�abene � Re�i���ncia do� Ma�eriai� Profe��or: Ed�ardo Mo�ra Lima 1 ��� �� ��������� ������������ ������������ E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 1 da Li��a de de E�erc�cio� 1. Defini��o de Re�i���ncia do� Ma�eriai�: A Re�i���ncia do� Ma�eriai� (Mec�nica do� S�lido�) � a ci�ncia q�e e���da o� ma�eriai� q�an�o � ��a rigide� e re�i���ncia, q�ando de �e� ��o na� e��r���ra�. Para dimen�ionarmo� q�alq�er �ipo de e��r���ra, n�o le�amo� em con�idera��o �omen�e a Mec�nica, e �im, principalmen�e, a Re�i���ncia do Ma�erial a �er empregado. Mec�nica  ma�eriai� r�gido� (ideai�) Re�i���ncia do� Ma�eriai�  ma�eriai� deform��ei� (reai�) Hip��e�e� �implificadora� Real Ideal Coeficien�e de �eg�ran�a 2 ��� �� ��������� ������������ ������������ E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 1 da Li��a de de E�erc�cio� 1. Defini��o de Re�i���ncia do� Ma�eriai�: A Re�i���ncia do� Ma�eriai� (Mec�nica do� S�lido�) � a ci�ncia q�e e���da o� ma�eriai� q�an�o � ��a rigide� e re�i���ncia, q�ando de �e� ��o na� e��r���ra�. Para dimen�ionarmo� q�alq�er �ipo de e��r���ra, n�o le�amo� em con�idera��o �omen�e a Mec�nica, e �im, principalmen�e, a Re�i���ncia do Ma�erial a �er empregado. Mec�nica  ma�eriai� r�gido� (ideai�) Re�i���ncia do� Ma�eriai�  ma�eriai� deform��ei� (reai�) Hip��e�e� �implificadora� Real Ideal Coeficien�e de �eg�ran�a 2 2. Hip��e�e� Simplificadora�: a. Con�in�idade: o� ma�eriai� �er�o con�iderado� maci�o�, n�o �e le�ando em con�idera��o a de�con�in�idade da ma��ria. b. Homogeneidade: o� ma�eriai� �er�o propriedade� id�n�ica� em �odo� o� pon�o�. c. I�o�ropia: o� ma�eriai� �er�o propriedade� id�n�ica� em �oda� a� dire��e�. 3. Princ�pio� F�ndamen�ai�: a. S�perpo�i��o de carga�: o efei�o da a��o conj�n�a em �m �� corpo � ig�al ao �oma��rio do� efei�o� da� a��e� parciai�. b. Sain��Vennan�: � po����el ��b��i��ir �m �i��ema de for�a� por o��ro, e��a�icamen�e eq�i�alen�e, �ignificando maior �implifica��o no� c�lc�lo�. 4. Tipo� de Carregamen�o: a. Carga concen�rada: F b. Carga �niformemen�e di��rib��da: q L c. Carga momen�o: M 3 � 5. Tipo� de Apoio�: a. 1� g�nero (Charrio�): F V b. 2� g�nero (R���la): F H V F OU H V c. 3� g�nero (Enga��e): F M H V 4 6. Cla��ifica��o do� E�for�o�: A�i�o� � Dado� E��eriore� Rea�i�o� � Calc�lado� pela� eq�a��e� de Eq�il�brio do� Corpo� (ΣFX , ΣFY , ΣMP) Solici�an�e� � ��o o� e�for�o� a��an�e� em cada pon�o do corpo. Dependem do� In�eriore� e�for�o� e��eriore� (��o calc�lado�). Re�i��en�e� � ��o o� maiore� e�for�o� q�e podem ocorrer no� pon�o�. Dependem do ma�erial (��o b��cado� em �abela�). Condi��o de e��abilidade: E�for�o� �olici�an�e� ≤ E�for�o� re�i��en�e� para �odo� o� pon�o� 5 7. C�lc�lo do� E�for�o� Solici�an�e� (na �e��o re�a S): F1 F4 F5 S F6 F2 F7 F3 F8 Corpo em eq�il�brio For�a� F1 , F2 , F3 ...... F8 � e�for�o� e��eriore� (a�i�o� o� rea�i�o�) O corpo � �eparado em d�a� par�e�, na �e��o S: F4 S F5 V F6 F1 CG S F7 R R R F2 F3 6 F8 R = re��l�an�e da� for�a� F1 , F2 e F3 OU F4 , F5 , F6 , F7 (�an�o fa�, poi� o corpo e��� eq�ilibrado) e F8 A��o da carga R (no bloco da direi�a): Ob�er�a��o: O de�alhamen�o da� carga�, na fig�ra, �er� apena� repre�en�ado no bloco da direi�a. No bloco da e�q�erda, a a��o �er� e�a�amen�e ig�al na dire��o, com �en�ido con�r�rio. F4 F5 S F6 Vi��a A CG N Q 2 F7 Q 1 R F8 Vi��a B Faremo� a decompo�i��o da for�a R em 3 dire��e� or�ogonai�: Q 1 , Q 2 e N. CG NX N Q 2 Q 2 X Q 1 Q 1 Vi��a de A Vi��a de B 7 Q 1 e Q 2 � e�for�o� cor�an�e� (for�a� paralela� � �e��o) N � e�for�o normal (for�a� perpendic�lare� � �e��o) A��o do momen�o V (no bloco da direi�a): Ob�er�a��o: O de�alhamen�o da� carga�, na fig�ra, �er� apena� repre�en�ado no bloco da direi�a. No bloco da e�q�erda, a a��o �er� e�a�amen�e ig�al na dire��o, com �en�ido con�r�rio. F4 F5 V S M2 M1 F6 Vi��a A CG T F7 F8 Vi��a B Faremo� a decompo�i��o do momen�o M em 3 dire��e� or�ogonai�: M1 , M2 e T. M2 M2 M1 T CG T X Vi��a de A M1 Vi��a de B 8 M1 e M2 � momen�o� fle�ore� (giro de �ma �e��o em �orno de �m ei�o colocado no plano da pr�pria �e��o) T � momen�o �or�or (giro de �ma �e��o em �orno de �m ei�o perpendic�lar � �e��o). Concl���o: O� e�for�o� �olici�an�e� ��o: • • • • E�for�o Normal E�for�o Cor�an�e Momen�o Fle�or Momen�o Tor�or Como calc�l��lo�? Para calc�lar o� e�for�o� �olici�an�e� em �ma de�erminada �e��o: • • Selecionar a par�ir de q�e lado da �e��o o� e�for�o� �er�o calc�lado� (como o corpo e��� eq�ilibrado, o c�lc�lo fei�o por �m lado �er� ig�al ao fei�o pelo o��ro lado) Para cada carga e�i��en�e no lado e�colhido, calc�lar o �alor do e�for�o �olici�an�e na �e��o (N, Q, M o� T), a�rib�indo�lhe �m �inal conforme a con�en��o de �inai� a �eg�ir. O �oma��rio do� �alore� calc�lado� �er� o �alor do e�for�o �olici�an�e na �e��o. 9 ��������� �� ������ + � N: Q: M: T: 10 ��� ��� ���������� E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 1 da Li��a de E�erc�cio� Obje�i�o: Tra�ado do� diagrama� do� e�for�o� �olici�an�e� (N, Q, M e T) Faremo� o e���do em cima de 3 carregamen�o� �imple�. O� re��l�ado� encon�rado� �er�o generali�ado� para carregamen�o� mai� comple�o�. Ob�er�a��o: Para �implifica��o do e���do, inicialmen�e colocaremo� �oda� a� carga� em �m plano �er�ical (plano �olici�an�e), q�e e��ar� pa��ando �obre o ei�o da barra. A��im, e��aremo� eliminando o� momen�o� �or�ore�, q�e �er�o e���dado� n�m cap���lo � par�e (Tor��o Simple�): 1. Carga concen�rada: P � S � HB Σ FX = 0  HB = 0 Σ FY = 0  VA + VB = P VA VB a Σ MB = 0  b VA . (a + b) = P.b VA DEC + VA  = P.b / (a + b) P � VB = P.a / (a + b) � VB M S = VA . �  eq�a��o da re�a DMF + VA  . a = VB .b Concl���e�: Todo� o� diagrama� come�am e �erminam em ZERO 11 a. Em �recho� �em carga: DEC � con��an�e DMF � re�a q�alq�er b. Carga concen�rada = P pro�oca: No DEC: de�con�in�idade (�degra��) = P No DMF: di�cord�ncia (�bico�) • • • • 2. Carga �niformemen�e di��rib��da: Σ FX = 0  H B = 0 q � Σ FY = 0  VA + VB  = qL HB � S VA Σ MB = 0  VB L VA  . L = qL2 / 2 VA = VB  = qL/2 qL/2 + DEC � Q S = qL/2 � q�  re�a � qL/2 MS = qL/2. X � q�2 / 2  par�bola 2� gra� m��imo: dM/d� = qL/2 � q� = 0  Q = dM/d� 2  � = L/2  Mm�� = qL / 8 DMF + Concl���e�: c. Em �recho� de carga �niformemen�e di��rib��da: DEC � re�a q�alq�er DMF � par�bola do 2� gra�, com f m�dio = qL2 / 8 d. Q = dM/d� • • 12 3. Carga momen�o: Σ FX = 0  HB = 0 Σ FY = 0  VA + VB = 0 Σ MB = 0  VA . (a + b) � M = 0  VA = M /(a + b) = � VB M � a VA b VB VA + DEC �VB. b � DMF M + VA . a Concl���e�: e. Em �recho� de carga momen�o M: DEC n�o �e al�era DMF apre�en�a de�con�in�idade (�degra��) = M • • 13 ��� ���� ����������� ����� (������ � ����������) E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 2 da Li��a de E�erc�cio� N � for�a e����ica N N Si b a L N N Sf L + ΔL b � Δb a � Δa 1. Deforma��e� lineare�: Longi��dinal: ε = ΔL/L  deforma��o �ni��ria longi��dinal Tran��er�al : ε�= Δa/a = Δb/b = ..... �ran��er�al   deforma��o �ni��ria ε � ε� : ε� = �μ ε (eq�a��o emp�rica), onde μ � � o coeficien�e de Poi��on do ma�erial (�abelado) 2. Deforma��e� el���ica� � Deforma��e� pl���ica� (o� re�id�ai�) A B C D Def.�o�al � BD Def.pl���ica � BC Def.el���ica � CD 14 3. Ten��e�: FN � for�a normal FN � for�a normal FT � for�a �angencial S σ = FN / S (�en��o normal) (le�ra grega �igma) τ = FT / S (�en��o �angencial) (le�ra grega �a�) 4. Rela��o en�re σ e ε: Do en�aio de �ra��o: σ No� in��an�e� 1, 2 e�c: N1  σ1 e ΔL1  ε1 N2  σ2 e ΔL2  ε2 re�a θ ε Eq�a��o da re�a: σ = E ε (lei de Hooke), onde E = �g θ E  m�d�lo de ela��icidade longi��dinal do ma�erial (o� Yo�ng) Veremo� o e���do do gr�fico comple�o no i�em 9. 5. C�lc�lo de ΔL: σ=Eε ε = ΔL/L σ = N/S N/S = E ΔL/L  15 ΔL = NL / ES 6. Deforma��e� ��perficiai�: a Si b a + Δa Sf b + Δb εS = ΔS / Si = (Sf  � Si ) / Si = 0 = ((a + Δa)(b + Δb) � ab) / ab = (ab + a Δb + b Δa + Δa. Δb � ab) / ab = = (a Δb + b Δa) / ab = Δb/b + Δa/a = ε� + ε� = 2 ε� = �2 � ε εS = ΔS / S = �2 � ε 7. Deforma��e� �ol�m��rica�: εV = ΔV / V = �(1 � 2 �) ε 8. Po�encial el���ico ac�m�lado (Energia de deforma��o) F F W=F.d W =(F . d) / 2 d d For�a din�mica For�a e����ica Como e��amo� �rabalhando com for�a e����ica, o �rabalho e�ec��ado pela for�a q�e deforma �ma barra, na �olici�a��o a�ial (Po�encial el���ico ac�m�lado o� Energia de deforma��o) �: W = N.ΔL / 2 16 9. Diagrama de �en��e� (σ) � deforma��e� (ε) σ 5 X 3 X 2 X 1X 0 X 4 ε X Trecho 0�1: re�il�neo  σ = E ε (lei de Hooke) σ em 1 : limi�e de proporcionalidade (σP) Trecho 0�2: a�� 2, e�i��em �omen�e deforma��e� el���ica�. A par�ir de 2, come�am a ��rgir a� deforma��e� pl���ica� σ em 2 : limi�e de ela��icidade (σE) σE ≈ σP Trecho 3�4: pa�amar de e�coamen�o σ em 3 : limi�e de e�coamen�o ��perior (σS) σ em 4 : limi�e de e�coamen�o inferior (σi) Em 5: in�cio da da r�p��ra σ em 5 : limi�e de re�i���ncia (σR) 17 10.Barra� ro��lada�: Barra Fio F F Em ambo� o� ca�o�, h� �m alinhamen�o da barra o� do fio com a for�a. Tan�o o fio como a barra �� recebem e�for�o� normai�. A��im �endo, podemo� afirmar q�e, no ca�o abai�o, �oda� a� barra� �� recebem e�for�o� normai� (a� for�a� a��am apena� no� n�� da� barra�). N�o pode 18 11.Efei�o da �empera��ra: N L A barra de comprimen�o L, enga��ada en�re d�a� parede�, recebe �m aq�ecimen�o de ΔT. Q�ai� a� rea��e� q�e ��rgem na� parede�? Dado�: E, L, ΔT, S e α (coeficien�e de dila�a��o linear do ma�erial) Ca�o n�o ho��e��e a parede � direi�a, a barra �ofreria �ma dila�a��o de ΔL T = L. α . ΔT. Como e�i��e a parede, ela e�erce �ma for�a �obre a barra q�e �eria re�pon���el pela deforma��o da barra dila�ada, fa�endo�a �ol�ar ao �e� �amanho original: 0 ΔL (pela a��o da for�a) = N (L + ΔL T ) / ES = ΔL T = L. α . ΔT N = E.S. α . ΔT 19 ��� ��� ����� E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 3 da Li��a de E�erc�cio� Q�ando a��a �omen�e o e�for�o cor�an�e, o� q�ando a��a �amb�m o momen�o fle�or, ma� e��e pode �er de�pre�ado. M e Q 1. J�n�a� rebi�ada�: Di�me�ro do� rebi�e�: φ C B A 1 d2 P/2 d1 2 e2 2 1 P/2 e2 e1 P 2 a. Cor�e no� rebi�e�: Se��e� de cor�e For�a a��an�e em cada �e��o de cor�e: For�a �o�al na barra/n��e��e� de cor�e For�a de cor�e �rea de cor�e: πφ2 / 4 20 Barra 1: τ = (P/12) / (πφ 2 / 4 ) ≤ τ Barra 2: τ = (P/2/6) / (πφ 2 / 4 ) ≤ τ b. E�magamen�o da� chapa�: Vi��a de cima F�ro na chapa Rebi�e �rea� de e�magamen�o Para facilidade no� c�lc�lo�, e a fa�or da �eg�ran�a (�rabalharemo� com �rea menor), a �rea de e�magamen�o �er� a �rea reba�ida no plano (pon�ilhada na fig�ra � �m re��ng�lo). For�a a��an�e em cada �e��o de e�magamen�o: For�a �o�al na barra / n� �e��e� de e�magamen�o �rea de e�magamen�o: �rea reba�ida do rebi�e (o� do f�ro) na barra Barra 1: σE = (P/6) / (φ.e1 ) ≤ σE1 Barra 2: σE = (P/2/6) / (φ.e2 ) ≤ σE2 c. Tra��o na� chapa�: For�a a��an�e em cada �e��o �racionada: for�a a��an�e na fileira A, B o� C (fileira de rebi�e�) �rea ��jei�a � �ra��o: �rea ��il em cada barra (�em o� f�ro�) na� fileira� A, B e C. 21 Barra 1: Se��o A: σA = P / ((d1  � φ).e1 ) ≤ σT1 Se��o B: σB = (P � P/6) / ((d1  � 2φ).e1 ) ≤ σT1 Se��o C: σC = (P � 3P/6) / ((d1  � 3φ).e1 ) ≤ σT1 H� nece��idade de �e calc�lar na� 3 �e��e�, poi� � medida q�e a for�a dimin�i, a �rea dimin�i  a �rea cr��ica preci�a �er calc�lada Barra 2: Se��o C: σC = (P/2) / ((d2  � 3φ).e2 ) ≤ σT2 Na� �e��e� A e B, a for�a a��an�e � menor e a �e��o re�a � maior �e��o C � a cr��ica  d. Arrancamen�o na� chapa�: garan�ido pelo� e�pa�amen�o� m�nimo� en�re o� rebi�e�. 2. Liga��e� �oldada�: a. Solda de �opo: S N N N / S ≤ σT(�olda) 22 b. Cord�o de �olda: N N �rea a �er ci�alhada � m m=� √   � Carga cen�rada: L F1 = F2  = F/2 F1 (F/2)/(mL) = √  F (F/2)/(�   .L) ≤ τ  Lnec ≥ F / (�√�. τ) F2 L L�o�al Carga n�o cen�rada: L1 F1 e1 e2 F F2 L2 23 = 2 Lnec F1 + F2 = F F1 = ( F. e2 ) / (e1 + e2 ) F1 . (e1 + e2 ) = F. e2 F2 = ( F. e1 ) / (e1 + e2 ) √  τ = F / (�  .L)  √  L = F / (�  . τ ) L1 + L2 = L √  τ = F1 / (�  .L1)   √  √    L1 = F1 / (� . τ ) = (F . e2 ) /((e1 + e2 ) (� . τ )  L1 = (L. e2 ) / (e1 + e2 ) √  τ = F2 / (�  .L2)   √  √    L2 = F2 / (� . τ ) = (F . e1 ) /((e1 + e2 ) (� . τ ) L2 = (L. e1 ) / (e1 + e2 ) 24  ��� �� ��������� ��� ����� (Re�i��o) 1. Momen�o e����ico: a. de �ma ��perf�cie em rela��o a �m ei�o: � S � X CG dS � ρ � � � Fig�ra 1 Defini��o: M  � = � dS = �. S = � dS = �. S M  � b. de �ma ��perf�cie compo��a em rela��o a �m ei�o: S1 � �1 CG1 � S2 CG �2 �1 M  �  (�o�al) � CG2 �2 � = M  � (�e��o 1) + M  �  (�e��o 2) (S1 + S2  ) . � = S1 . �1 + S2 . �2 25  � = Σ M  � / Σ S 2. Momen�o de in�rcia: a. de �ma ��perf�cie em rela��o a �m ei�o (fig�ra 1): Defini��o: J� = �2 dS J� = �2 dS b. de �ma ��perf�cie compo��a em rela��o a �m ei�o: J�  (�o�al) = J� (�e��o 1) + J�  (�e��o 2) 3. Momen�o de in�rcia polar: a. de �ma ��perf�cie em rela��o a �m ei�o (fig�ra 1): Defini��o: JP = ρ2 . dS = (�2 + �2 ) dS = = �2 dS + �2 dS = J� + J� b. de �ma ��perf�cie compo��a em rela��o a �m ei�o: JP  (�o�al) = JP (�e��o 1) + JP  (�e��o 2) 4. Tran�la��o de ei�o�: S dS � XCG CG a X// JCG = �2 dS J// = (� + a)2 dS = (�2  + 2 a � + a 2  ) dS = 0 = �2 dS + 2a J// = JCG + a2 S � dS + a2 dS  Teorema de S�einer 26 5. Momen�o de in�rcia do re��ng�lo: � dS = b.d� dS d� h �2 dS = J�1 = h h 0 � h h = b.�3 /3 0 0 X1 b J�1  = b.h3 /3 � dS +h/2 2 J� = � h X J�  = b.h3 /12 b 27 +h/2 3 � dS = b.�  /3 �h/2 = 0 �2 d� = b. = �2 b.d� �h/2 ��� ��� ������ ���� ������� E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 4 da Li��a de E�erc�cio� Plano da� Carga� (Solici�an�e) Vi��a B CG a a' b b' c c' Fig�ra 1 Ei�o da barra Plano Ne��ro Vi��a A Toda� a� carga� e���o n�m plano �er�ical (Plano Solici�an�e), q�e pa��a pelo ei�o da barra. Nenh�ma da� carga� �em proje��o hori�on�al. Ei�o Solici�an�e CG Linha Ne��ra Se��o Re�a Vi��a de B A in�er�e��o do Plano Solici�an�e com o plano da �e��o re�a em e���do recebe o nome de Ei�o Solici�an�e (ES). Concei��a��o: Ob�er�e q�e o �ipo de carregamen�o definido �� implica na e�i���ncia de Q e M (n�o e�i��em N nem T) Fle��o Simple� 28 Fle��o Simple�: �omen�e Q e M A fle��o �er� re�a q�ando o Ei�o Solici�an�e coincidir com �m do� 2 ei�o� cen�rai� principai� de in�rcia da �e��o: Fle��o Re�a: ES coincide com �m do� 2 ei�o� cen�rai� principai� de in�rcia Vi��a de A : a a' b b' c c' ρ dθ a � a' b' b c � c' dθ/2 � aa' � �ofre� enc�r�amen�o (compre���o) bb' � pra�icamen�e n�o �ofre �aria��o de �amanho � �en��o n�la � fa� par�e de �ma regi�o ne��ra � Plano Ne��ro cc' � �ofre� alongamen�o (�ra��o) 29 Fibra cc�: Y � di���ncia da fibra � LN ρ � raio de gira��o da regi�o ne��ra Є = ΔL / L: ΔL = 2.� = 2.�. dθ/2 = �. dθ Є = (�. dθ)/( ρ. dθ) Є = �/ ρ L = ρ. dθ Como σ = E Є (Lei de Hooke) E���do de �ma �e��o S: σ = E. �/ ρ  ES (�) M � P (pon�o) σ.dS � CG � dS LN (�) Q Se��o S Fig�ra 2 Condi��e� de eq�il�brio da �e��o S: • Σ F� = 0   σ. dS = 0  (E. �/ ρ). dS = (E / ρ) �.dS = 0 �.dS = 0 momen�o e����ico da �e��o S em rela��o ao ei�o � (LN) 30 Q�ando o momen�o e����ico de �ma �e��o em rela��o a �m ei�o � ZERO, en��o o ei�o pa��a pelo CG da �e��o. Como o ei�o � � a LN  LN pa��a pelo CG • Σ M� = 0 σ. dS. � = 0  �.�.dS = 0 ei�o� � (E. �/ ρ). dS . � = (E /ρ) �� dS = 0   o prod��o de in�rcia da �e��o em rela��o ao� e � � n�lo  � (LN) e � (ES) ��o ei�o� cen�rai� principai� de in�rcia da �e��o (ei�o� conj�gado� da elip�e cen�ral de in�rcia da �e��o) • Σ M� = 0  M� σ. dS. � = 0 (E /ρ) �2 dS = M  (E. �/ ρ). dS . � = JLN M = (E /ρ) . J LN σ = E. �/ ρ σ = (M. �) / JLN Com a eq�a��o acima, podemo� de�erminar a �en��o normal n�m pon�o q�alq�er P, per�encen�e a �ma �e��o S (�ide fig�ra 2), onde: σ � �en��o normal a��an�e no pon�o P, da �e��o S M � momen�o fle�or a��an�e na �e��o S Y � di���ncia do pon�o P � LN JLN � momen�o de in�rcia da �e��o S em rela��o � LN 31 Sinal da �en��o σ : No e�emplo apre�en�ado na fig�ra 1, ob�er�amo� q�e o� pon�o� acima da regi�o ne��ra ��o comprimido�, e o� q�e e���o abai�o, �racionado�. I��o ocorre porq�e a barra fa� �ma �barriga� para bai�o. A forma q�e a barra �oma pela aplica��o da carga � chamada de linha el���ica (�er� e���dada no pr��imo cap���lo). Se p�dermo� ob�er�ar claramen�e a el���ica, como no e�emplo, con�eg�imo� iden�ificar onde ocorrem a �ra��o e a compre���o. No en�an�o, nem �empre � �imple� iden�ificar a el���ica. Saberemo� a re�po��a a�ra��� do momen�o fle�or. Linha el���ica T C C T � DMF DMF + Ob�er�e q�e, embora �ejam coi�a� comple�amen�e diferen�e�, a� conca�idade� da el���ica e do DMF ��o �emelhan�e�. A��im, �e �o�bermo� o �inal do Momen�o Fle�or, poderemo� �aber o �inal da �en��o normal. M+ M �   C T T C 32 Diagrama da� Ten��e� Normai� (DTN): Anali�emo� a eq�a��o de �en��e� normai� ded��ida an�eriormen�e: σ = (M. �) / JLN E���dando a� �en��e� normai� no� pon�o� �� ��� ����� ����� ����, �erificamo� q�e o� �alore� de M e JLN ��o ig�ai� para �odo� o� pon�o�, e �omen�e � �aria de acordo com o pon�o. En��o, a eq�a��o acima � repre�en�ada por �ma re�a, por �e �ra�ar de �ma f�n��o linear. Por i��o, o diagrama q�e repre�en�a a di��rib�i��o da� �en��e� normai� ao longo de �ma �e��o � repre�en�ado por �ma re�a. O� �inai� + o� � depender�o do �inal + o� � do Momen�o Fle�or, conforme LN anali�ado no par�grafo an�erior. � o� + Se��o re�a DTN Ten��e� Normai� M��ima� n�ma �e��o: Sendo o� �alore� de M e JLN ig�ai� para o c�lc�lo da� �en��e� normai� em �odo� o� pon�o� de �ma �e��o, e � �endo �ari��el, ob�er�amo� q�e a� maiore� �en��e� normai� ocorrer�o no� pon�o� mai� di��an�e� da LN, como confirma o �ra�ado do DTN, acima. � ���� ��������� �� ������� ������� �������� �� ������ � ����������� ���� ��������� ��������� ���� ��������� 33 Ten��e� Tangenciai� Acabamo� de �erificar q�e o momen�o fle�or M � o re�pon���el pelo ��rgimen�o de �en��e� normai� em �m pon�o. Como e��amo� e���dando a fle��o re�a �imple� (M e Q), �eremo� agora o q�e ocorre pela a��o do Q. 2 P 1 N1 N2 N3 �0 h d� b N2 N1 b d� M2 = M1 + dM h/2 σ1 = (M1 . �) / JLN σ2 = (M2 . �) / JLN  N1  N2 = �0 σ1 . dS = h/2 = σ2. .dS= �0 h/2 = �0 h/2 �0 (M1 . �.dS) / JLN h/2 (M2 . �.dS) / JLN = �0 h/2 ((M1 + dM).�.dS) / JLN = (M1 . �.dS) / JLN + �0 N1 34 h/2 �0 (dM.�.dS)/ JLN N 2 = N1 + h/2 �0 (dM.�.dS)/ JLN N3 � ��rgir� pela a��o da� fibra� abai�o do bloco (for�a �angencial) h/2 N3 = (dM.�.dS)/ JLN �0 h/2 τ. bd� = (dM.�.dS)/ JLN �0 h/2 τ = N3 / (bd�) τ = (Q M LN ) / (b. JLN ) τ = ((1 / b. JLN)) . (dM/d�). �.dS �0 , onde: τ � �en��o �angencial no pon�o P de �ma �e��o S Q � e�for�o cor�an�e na �e��o S M LN  � momen�o e����ico, em rela��o � LN, da �rea delimi�ada en�re a hori�on�al q�e pa��a no pon�o P e a e��remidade adjacen�e b � e�pe���ra ��il da �e��o re�a na al��ra do pon�o P JLN � momen�o de in�rcia da �e��o S em rela��o � LN 35 Diagrama da� Ten��e� Tangenciai� na �e��o (DTT): Se��o re�ang�lar: �P h � LN b τ = DTT (Q M LN ) / (b. JLN ) JLN = (b.h3 ) / 12 M LN = b . (h/2 � �). (� + ((h/2 � �) / 2))  par�bola do 2� gra� Onde ocorrem a� maiore� �en��e� �angenciai� na� �e��e� abai�o? LN LN � ���� ��������� �� ������� ������� ����������� ���� ��������� ��������� ���� ��������� 36 ��� ���� ������ ���� ������� � ����� �������� E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 4 da Li��a de E�erc�cio� � � Re�a hori�on�al θ Re�a �angen�e � el���ica θ Re�a �er�ical Re�a normal � el���ica � � flecha � de�locamen�o �er�ical � o de�locamen�o hori�on�al � de�pre���el Θ � ro�a��o Obje�i�o�: Ob�en��o da� eq�a��e�: � = f(�) � eq�a��o da linha el���ica �� = f� (�) = �g Θ ≈ Θ � eq�a��o da� ro�a��e� 37 Є = �/ ρ (do e���do da Fle��o Re�a Simple�) σ = (M. �) / JLN  (Idem) σ = E . Є (Lei de Hooke) (M. �) / JLN = E �/ ρ ρ = (E . JLN ) / M  Da Ma�em��ica: ρ = ((1 + (��)2 )3/2 ) / ��� Como �� = Θ 2  (��)   << 1  ρ = 1 / ��� 1 / ��� = (E . JLN ) / M  E . JLN . ��� = M 38 (eq�a��o diferencial da el���ica) ��� ����� ������ ������� E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 5 da Li��a de E�erc�cio� O e���do q�e faremo� �er� para pe�a� cil�ndrica� (oca� o� maci�a�). Di�emo� q�e a barra e��� �orcida q�ando a� a��e� e�ercida� de �m lado de �ma �e��o em e���do d�o l�gar a �m conj�gado con�ido no plano da �e��o. Podemo� repre�en���lo como: . Con�ideramo� como po�i�i�o q�ando o �e�or ��air� da �e��o (m�o direi�a). X Q�ando �emo� apena� ocorrendo o momen�o �or�or na �e��o, di�emo� e�i��ir TOR��O SIMPLES. Na �or��o o compor�amen�o da� pe�a� depende da forma de ��a �e��o �ran��er�al, �endo fei�o para cada �ipo de �e��o �ran��er�al �m e���do con�enien�e. No��o obje�i�o �er� o e���do da� pe�a� c�ja� �e��e� �ran��er�ai� �ejam circ�lare� o� coroa� circ�lare�. A Re�i���ncia do� ma�eriai� chega a re��l�ado� e�a�o� �omen�e para �ai� �e��e�. 39 Diagrama do� Momen�o� Tor�ore� (DMT): Tra�ado a par�ir do� me�mo� concei�o� do DEN, DEC e DMF, ��ando a con�en��o definida no Cap���lo I. C�lc�lo da� �en��e� na� barra� de �e��o circ�lar: � E E φ F F� E� F . � . Ap�� o en�aio, ob�er�amo� q�e a rede re�ang�lar �e �ran�forma em rede de paralelogramo�. I��o indica q�e na� �e��e� �ran��er�ai� da barra e�i��em �en��e� de ci�alhamen�o (�angenciai�). Ob�er�amo�, ainda, q�e a� di���ncia� en�re a� circ�nfer�ncia� q�e repre�en�am a� �e��e� �ran��er�ai� n�o �ariam e nem �e modifica o comprimen�o da pe�a, logo n�o e�i��e �en��o normal. O di�me�ro EF gira de φ rela�i�amen�e � po�i��o E�F�, permanecendo re�o. 40 ρ dφ γ d� γ. d� = ρ . dφ  γ = (ρ . dφ) / d� Lei de Hooke: σ = E . Є  τ = G . γ (por analogia) m�d�lo de ela��icidade �ran��er�al τ = G . (ρ . dφ) / d� deforma��o �ni��ria ang�lar (1) Anali�ando �omen�e �m do� lado� da pe�a: MT dS τ ρ Σ M� = 0 �  τ . ρ. dS = MT = G. (dφ / d�)  G . (ρ2 . dφ.dS) / d� = MT = ρ2  .dS = G. (dφ / d�). J P dφ / d� = MT / (G. JP ) (1) E (2): τ = G. ρ . MT / (G. JP ) De (2): dφ = (MT . d�) / (G. JP ) (2)  τ = (MT . ρ) / JP  φ = (MT .�) / (G. JP ) 41 φ = (MT  / (G. JP )) (radiano�) d�