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MÉTODO DE POTHENOT Pothenot, Laurent (1650-1732)
Matemático francés, miembro de la Real Academia de Ciencias y profesor en el Royal College. Famoso por resolver el problema que lleva su nombre, también conocido como Problema de la Carta, Trisección Inversa, Problema del Vértice de la Pirámide, Problema de los Tres Vértices o simplemente Intersección Inversa. En realidad, el primero en resolver el Problema de la Intersección Inversa, tanto geométricamente como por cálculo trigonométrico, fue el holandés Willebrord Snellius, en su obra "Eratosthenes batavus", publicada en 1.624. Este mismo problema fue tratado en 1.671 por John Collins en su obra "Transactions philosophiques". Laurent Pothenot, que trabajaba en la definición del meridiano al Norte de París, presentó un trabajo sobre el tema en 1.692. Pero según opinión de W. Jordan en su Libro
"Tratado General de Topografía", Pothenot no aportó nada nuevo a la solución del problema y lo único que hizo fue publicar con su nombre los trabajos de Snellius y Collins. Otros autores han estudiado esta materia, entre los que desatacan: Lambert (1765), Cagnoli (1786), Bessel (1813), Gauss (1823) y Gerling (1840). A pesar de todo, el problema de la Intersección Inversa sigue conociéndose popularmente como Problema de Pothenot.
B - Intersección Inversa. En la intersección inversa estacionamos el instrumento en el punto que desea levantarse sin estacionar en los extremos de la base. Si se utiliza una brújula se obtienen los rumbos PA y PB. Se calculan los rumbos recíprocos AP y BP y se representan gráficamente, o se realizan los cálculos de las coordenadas cartesianas. Utilizando un teodolito o un taquímetro el problema de intersección inversa adopta dos formas: el problema de Pothenot y el problema de Hansen.
Fig. Nº 11. Intersección inversa.
C - Problema de Pothenot. El problema de Pothenot se denomina también de las siguientes maneras: trisección inversa, resección, problema de la carta o vértice de pirámide. Mediante este método se obtienen las coordenadas de un punto P a partir de tres puntos de coordenadas conocidas. Los tres puntos de coordenadas conocidas (A,B y C) tienen que ser visibles desde el punto P. No es necesario que sean accesibles. El método consiste en estacionar el instrumento en el punto de coordenadas desconocidas (P) y tirar visuales a los tres puntos de coordenadas conocidas (A, B, C). De esta manera se obtienen los ángulos a y b que resultan de las tres direcciones angulares (PA, PB y PC)
Fig. Nº 12. Problema de Pothenot. A, B y C: p untos de coordenadas conocidas.
P: estación, coordenadas a determinar. a y b : ángulos a medir
C-1. Resolución gráfica Una de las soluciones gráficas consiste en representar las dos circunferencias definidas por los puntos A, B y P y B, C y P. Teniendo en el papel marcados los puntos A, B y C, se representan con un círculo graduado los ángulos medidos: a, partiendo del segmento AB y b, partiendo del segmento CB. Luego se trazan las perpendiculares a las rectas obtenidas, por el punto A y C. La intersección de las perpendiculares con la mediatrices de los lados AB y BC nos dan los centros de las dos circunferencias. Trazando dichas circunferencias obtenemos la posición del punto P
Fig. Nº 13. Problema de Pothenot. Resolución gráfica
Circunferencia peligrosa. La denominada circunferencia peligrosa es la definida por los puntos A, B y C. Si el punto P pertenece a esta circunferencia no puede resolverse el problema por que no puede definirse su posición. En este caso se debe cambiar el punto P o cambiar algunos de los tres puntos de coordenadas conocidas.
Método del papel transparente. Este método consiste en representar las direcciones a los puntos A, B y C desde el punto P en un papel transparente. Luego se superpone el pape l transparente sobre las representación de los puntos A, B y C y se lo gira hasta que las tres direcciones coincidan a la vez con los tres puntos. Solo hay una posición posible. De esta manera, con una punta seca se marca el punto P en el plano, a través del papel transparente.
C-2. Resolución del problema de Pothenot con plancheta. Método del triángulo de error. Teniendo los tres puntos de coordenadas conocidas representados en la plancheta, se estaciona el instrumento en el punto P de coordenadas desconocidas. Se efectúa la centración según un punto
P’
previamente
marcado en forma aproximada en el papel. Se orienta la plancheta en forma grosera, de modo
que se puedan realizar las visuales a los puntos A, B y C, desde P. Se bisectan los tres puntos y se marcan las direcciones en el papel. Las intersecciones de las direcciones forman un triángulo. Se designan con un número cada una de las intersecciones ( dirección de A con dirección de B: 1, etc.) Luego se gira ligeramente el tablero de la plancheta. Seguidamente se hacen nuevamente las visuales a los tres puntos (A, B y C) dibujándolas con líneas de trazos. Se identifican cada una de las intersecciones y se anotan con su número correspondiente. Luego se unen los puntos de intersección equivalentes (1 con 1; 2 con 2; 3 con 3). La intersección de estos tres segmentos define la posición del punto P en el plano.
Fig. Nº 14. Problema de Pothenot. Resolución con plancheta. Mét odo del triángulo de error.
