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Modelos Estocásticos
Ayudantía N°3
Modelos Estocásticos Ayudantía N°3
1. A un paradero de taxis llegan pasajeros de acuerdo a un Proceso de Poisson a tasa λ. Suponga que existen suficientes taxis de modo que siempre que llega un pasajero al paradero, hay un taxi disponible. La capacidad de cada taxi es de 5 personas y, éste inicia su recorrido cuando ha completado su capacidad. a) Suponga que se sabe que durante las primeras 2 horas de operación de sistema, llegaron 80 personas al paradero. Calcule la probabilidad de que durante la siguiente media hora lleguen 20 personas. Calcule esta probabilidad en el caso en que se sabe que durante las 2 primeras horas llegaron al menos 80 personas. Sea X(t): Personas que llegan en hasta t. ࢄ[ ܚ۾ሺ࢚ + ሻ − ࢄሺ࢚ሻ = / ࢄሺ࢚ሻ = ૡ] Eventos Independientes, entonces: = ࢄ[ ܚ۾ሺ࢚ + ሻ − ࢄሺ࢚ሻ = ] = ࢄ[ ܚ۾ሺሻ = ] =
ࢋିࣅ ∗ ሺࣅሻ !
En el caso que ࢄሺ࢚ሻ ≥ ૡ , el resultado es el mismo, ya que son eventos independientes. b) Sean T1, T2, …, Ti los tiempos entre sucesivas salidas de taxis desde el paradero. Determine las propiedades de estas variables. Dado que la llegada de pasajeros corresponde a un Proceso de Poisson, el tiempo entre llegadas distribuye Exponencial. Al distribuir Exponencial, el conjunto de tiempos entre llegadas que siguen esta distribución, en este caso M= 5 pasajeros, distribuye Gamma. ࡳሺࡹ, ࣅሻ
Profesor: Camilo Salazar
Ayudante: Ray Gallegos A.
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Dado esto, las variables de la distribución son independientes e idénticamente distribuidas. Sin embargo, no son exponenciales, por lo cual, no es un Proceso de Poisson. c) Calcule E(T1) E(T1) = ? Sea Wj : Tiempo entre llegadas del periodo j. ࢀ = ࢃ + ࢃ + ࢃ + ࢃ + ࢃ ࡱሺࢀ ሻ = ࡱሺࢃ ሻ + ࡱሺࢃ ሻ + ࡱሺࢃ ሻ + ࡱሺࢃ ሻ + ࡱሺࢃ ሻ Dado que ࢃ ~ ࡱࢄࡼሺࣅሻ ࡱ൫ࢃ ൯ =
ࣅ
Entonces, ࡱሺࢀ ሻ =
+ + + + = ࣅ ࣅ ࣅ ࣅ ࣅ ࣅ
d) Si N(t) representa el número de taxis que han salido del paradero en [0,t], determine a qué tipo de proceso corresponde. Es un proceso de conteo, no es un proceso de Poisson pues los tiempos entre eventos no son exponenciales. Dado esto, no es posible saber si tiene incrementos independendientes y/o estacionarios con la información que existe.
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2. Suponga que a un camping turístico de la 4ta región llegan familias a buscar un sitio para acampar, de acuerdo a un Proceso de Poisson a tasa λ. El camping cuenta con un total de M sitios de camping. Si al llegar, una familia observa que hay hasta K sitios ocupados, siempre ingresa (y ocupa un sitio); si hay n sitios ocupados (en que n es mayor que K y menor que M) ingresa con una probabilidad p(n). Si están todos los sitios ocupados, las familias no ingresan al camping. Suponga que cada familia permanece en el camping por un tiempo indefinido. Sea N(t) el proceso que cuenta el número de sitios que han sido ocupados por familias entre 0 y t. a) Se desea analizar los tiempos entre eventos de este proceso. Obtenga la distribución de probabilidades de cada uno de estos tiempos. b) Obtenga una expresión para el tiempo esperado hasta que se copa el camping.
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Ayudante: Ray Gallegos A.
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