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Movimiento Armonico Amortiguado De La Barra

Descripción: Informe de Física

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 MOVIMIENTO OSCILATORIO DE UN CUERPO RÍGIDO Estudiar el movimiento oscilatorio simple y amortiguado de un cuerpo rígido ligado a un resorte y un dispositivo de amortiguamiento.   Determinar el valor de la constante elástica del resorte. Determinar el valor de la constante de amortiguamiento viscosa del sistema (la paleta en el agua). La estática es la rama de la mecánica clásica que analiza las cargas (fuerza, par / momento) y estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas físicos en equilibrio estático, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los subsistemas no varían con el tiempo. La primera ley de Newton implica que la red de la fuerza y el par neto (también conocido como momento de fuerza) de cada organismo en el sistema es igual a cero. De esta limitación pueden derivarse cantidades como la carga o la presión. La red de fuerzas de igual a cero se conoce como la primera condición de equilibrio, y el par neto igual a cero se conoce como la segunda condición de equilibrio. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO El resultado de la suma de fuerzas es nulo. SEGUNDA CONDICION DE EQUILIBRIO El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo. Para una partícula de masa m, que gira como se muestra en la figura 1, en una circunferencia de radio r con la acción de una fuerza tangencial F t , además de la fuerza centrípeta necesaria para mantener la rotación. La fuerza tangencial se relaciona con la aceleración tangencial at por Ft  =  = mat . El torque alrededor del centro del círculo producido por F t  es:  es:      Como la at   se relaciona con la aceleración angular por at  = r α, α, el torque se puede escribir como:      Figura 1 Y como mr 2  es el momento de inercia de la masa m  que gira en torno al centro de la trayectoria circular, entonces:    El torque que actúa sobre una partícula es proporcional a su aceleración angular α, donde Ι es la constante de proporcionalidad. Observar que τ  = Ια es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton F = ma. Se puede extender este análisis a un cuerpo rígido arbitrario que rota en torno a un eje fijo que pase por Ο, como se ve en la figura 2. El cuerpo rígido se puede considerar formado por elementos de masa dm, que giran en torno a Ο en una circunferencia de radio r , por efecto de alguna fuerza tangencial externa dF t   que actúa sobre dm. Por la segunda ley de Newton aplicada a dm, se tiene:    El torque d τ  producido por la fuerza dF t   es:          Figura 2 El torque neto se obtiene integrando esta expresión, considerando que α tiene el mismo valor en todo el cuerpo rígido,   ∫  ∫  ∫  Pero la integral es el momento de inercia I del cuerpo rígido alrededor del eje de rotación que pasa por Ο, entonces:    Observar que aunque la deducción es compleja, el resultado final es extremadamente simple, como todas las ecuaciones de la Física. “El momento de inercia del cuerpo respecto a un eje es igual al momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masa es el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre los ejes”.    +  Para realizar la demostración utilizaremos el siguiente ejemplo, para ilustrarlo mejor:  Por ley de cosenos:    +   2 ∙ cos   Aplicando la fórmula para hallar el momento de inercia:   ∫ ∫[ +   2 ∙ cos]  ∫  +  ∫ ∴    +  En el movimiento armónico simple la amplitud es constante al igual que la energía del oscilador. Sin embargo sabemos que la amplitud del cuerpo en vibración, como un resorte, un péndulo, disminuye gradualmente, lo que indica una pérdida paulatina por parte del oscilador. Decimos que el movimiento oscilatorio es amortiguado. Cuando el sistema oscilador que se considera está sometido a rozamientos, la descripción del movimiento resulta algo más complicada. Refiriéndonos en concreto al caso del péndulo simple, si se tiene en cuenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad (buena aproximación en muchos casos). Sea la fuerza amortiguadora    , donde el signo menos indica que esta fuerza tiene sentido opuesto al movimiento de cuerpo oscilante: Para una barra con ángulos de oscilaciones pequeñas la ecuación diferencial del movimiento es la siguiente:  + 2  +   0 Donde   es la frecuencia angular sin amortiguamiento La solución de esta ecuación tiene la forma matemática de oscilaciones amortiguadas, es decir, oscilaciones en que la amplitud decrece con el tiempo. Usando un ingenioso cambio de variable (este se encuentra con la resolución del sistema de ecuación diferencial el cual su procedimiento no compete mucho en este informe) haciendo que   −  se obtendrá: ̈ +     0 √   Denominamos al término cual será la frecuencia del sistema.  como la frecuencia angular con amortiguamiento ( w ), la ̈ +   0 Esta es una ecuación diferencial homogénea cuya solución será:    cos +  Este valor se puede reemplazar para hallar el valor de x, que pertenece a una ecuación diferencial no homogénea. Su posible solución entonces será:   − cos +  Barra metálica de longitud L agujerada Soporte de madera con cuchilla Dos mordazas simples Resorte Cronómetro Regla milimetrada Balanza Nivel de burbuja Pesas de 50, 100, 200 g Un soporte universal Una paleta amortiguadora Para realizar adecuadamente esta experiencia debemos de seguir los siguientes pasos. 1. 2. 3. 4. Medir las dimensiones de la barra así como su peso. Pesar las masitas y el balde. Medir la longitud inicial del resorte y después colgarlo. Colocar las masitas empezando con un peso de 150g y medir la deformación. 5. Colocar un punto de apoyo de la barra y equilibrarlo con el resorte de manera q la barra este horizontal. 6. Colocar la paleta en un punto y hacer oscilar la barra con un ángulo pequeño y medir el tiempo de 3 oscilaciones (hacer 5 veces para un promedio). 7. Repetir el procedimiento con un recipiente de agua q sumerja la paleta y amortigüe el movimiento oscilatorio. 8. Se formaran tablas con los datos de masa y deformación para hallar la constante del resorte (k) como un 1er método. 9. Se usara la ecuación de la barra oscilante sin amortiguador para hallar otro valor k. 10. Con la ecuación de la barra oscilante se tendrá una frecuencia angular, esta servirá para hallar el valor de la constante del amortiguador en el agua. Tabla  caso Masa (Kg) Peso (N) 1 2 3 4 5 0,172 0.2182 0,2694 0,322 0,3732 1.68732 2.140542 2.642814 3.15882 3.661092 Longitud estirada Deformación (m) (m) 0.128 0.021 0.146 0.039 0.166 0.059 0.186 0.079 0.207 0.1 Masa de la barra pesada en laboratorio: m=1.7662 kg Ancho de la barra=3.62 cm Largo de la barra=109.95 cm Podemos determinar la constante de un resorte suspendiendo en él diferentes masas (que pesan P), y midiendo después los alargamientos que se producen en cada caso . Para calcular k aplicamos la ley de Hooke: ∆   ∆ Al colgar una masa el resorte se estira y después de una ligera oscilación se para. En estas condiciones estáticas se realiza la medida del alargamiento: a la longitud del resorte estirado (l) se le resta la longitud inicial (lo). Ambas medidas se realizan desde el punto de amarre del resorte hasta su extremo. Medimos la longitud inicial del resorte, lo. Colgamos distintas masas conocidas. Podemos empezar, por ejemplo, con 100 g e ir añadiendo masas de 50 en 50g. Medimos en cada caso la longitud del resorte estirado, l. Calculamos el peso de cada masa, (mg) y tomamos en cuenta el peso del balde. Calculamos ∆  = l – lo en cada caso. Para poder hallar el valor de k podemos usar el método de mínimos cuadrados para ver la tendencia lineal de la gráfica de peso vs deformación. La pendiente obtenida de la gráfica será el primer valor obtenido de k, este es un método antiguo o clásico pero tiene una buena aprox. Para hallar la ecuación de la recta utilizamos el método de la recta mínimo cuadrática, que tiene por ecuación:   F(x)= y =  + a Donde las constantes y  se determinan resolviendo las ecuaciones normales. ∑=    ∑=  ∑=    ∑=   ∑=   =  +  =  + Los cálculos necesarios para expresar las ecuaciones normales se disponen en la siguiente tabla: X Y XY X^2 0.021 0.039 0.059 0.079 0.1 0.298 1.68732 2.140542 2.642814 3.15882 3.661092 13.290588 0.03543372 0.083481138 0.155926026 0.24954678 0.3661092 0.890496864 0.000441 0.001521 0.003481 0.006241 0.01 0.021684 A partir del cual se obtiene: 13.290588  5 +0.298 0.890496864  0.298+0.021684 Utilizando la regla de Cramer: 13. 2 90588 0. 2 98   | | 0. 8 90496864 0. 0 21684   | 5 0.298 |  00..002282504   1.16359323 19616 0.298 0.021684 5 13. 2 90588   | | 0. 2 98 0. 8 90496864   | 5 0.298 |  00..40918891   25.07591252 19616 0.298 0.021684 Por tanto la ecuación de la recta es:     25.07591252 + 1.16359323 Gráfica Peso vs Deformación 4 3.5 3 2.5     )    N     (    o    s    e    P 2 y = 25.076x + 1.1636 1.5 1 0.5 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Deformación (m) Valor de k por el 1er método: K=25.076 N/m El segundo método para hallar k será usando la ecuación de oscilación de la barra. Cuando la barra está en una posición horizontal en equilibrio, el torque generado por el peso de sí mismo (y la paleta) se equipara con el torque de la fuerza elástica del resorte con una deformación inicial . Usando la segunda ley de Newton para rotación: cos    Para resolver esta ecuación contamos con las siguientes mediciones: Distancia del centro de masa al eje de rotación= 0.4015 m Distancia del punto de aplicación de la fuerza elástica al eje de rotación que denotamos d=0.8525 m Amplitud inicial =0.041 m La ecuación del M.A.S de la barra será Como x = d  0.8525 cos   ̈ cos  1  0.8525   ̈  y el valor de  cuando  tiende a 0. Recordando que el momento de inercia de la barra con largo y ancho considerables es:   121  +   Con L=1.0995 m y b=0.0362 m de datos, se obtiene que el   se hallara despreciando los momentos de los agujeros de la siguiente forma:   121 1.76621.0995 + 0.0362+1.76620.4015   0.4628382573 . Reemplazando los datos y pasando todos los términos a un solo miembro obtenemos: Donde k (1.57021646) =  ̈  + 1.57021646  0   Usando los tiempos obtenidos en un solo caso Tiempo (s) 2.95 3.01 3.01 2.91 3.05 Periodo (s) 0.983 1.003 1.003 0.970 1.016 Como se menciona estos se hicieron bajo las mismas condiciones, el número de oscilaciones fue 3, se realizó 5 para tener un buena aproximación al verdadero periodo el cual es el promedio. A este periodo lo denotamos  .  Sabiendo que      0.995 podemos hallar el valor de k  2 1.57021646  (0.995)   25.39534105   6.314759103 Este es el valor de k por el segundo método. Además el valor de PORCENTAJE DE ERROR 25. 3 953410525. 0 76 %  ( 25.39534105   )100% %  1.257478879% GRÁFICA DE X (cm) VS TIEMPO (s)   4.1cos6.314759103 + CALCULO DEL VALOR DE LA CONSTANTE DE AMORTIGUAMIENTO Usaremos la ecuación del movimiento armónico amortiguado para la barra.  cos ̇ cos   ̈   0.8525   0.6015    ̇   ̇ cos  1  Se tiene que Con pequeño. y y  y una aproximación de  para  muy   0.4628382573 0.8525 0.6015 ̇  0.4628382573 ̈ Y también el valor de hallado en el caso anterior. Pasando todos los términos a un solo miembro y dividiendo entre obtendrá:  se  ̈  + 0.7817034229 ̇ + 1.57021646  0   El término que acompaña a  es el  hallado en el caso del movimiento oscilatorio sin amortiguador, el valor de k será igual al valor obtenido en dicho caso asique la ecuación se puede expresar como:  ̈  + 0.7817034229 ̇ + 39.87618253  0  ̇ 2 Además sabemos que el término que acompaña a  es conocido como , con esta información podemos calcular el valor de la constante de amortiguamiento de la paleta en el agua (c) si se hallara el valor de .   Sabemos por la teoría que existe una relación entre el valor de  y el valor de la frecuencia angular del oscilador.        Para hallar el valor de  es conocido el valor de , solo faltaría hallar el valor de w, para ello recurrimos a los datos obtenidos en el laboratorio acerca del tiempo de la barra en dar tres oscilaciones. Tiempo (s) 3.23 3.18 3.19 3.16 3.15 Periodo (s) 1.076 1.060 1.063 1.053 1.050 Al igual que en el procedimiento del movimiento oscilatorio sin amortiguador, estas mediciones se realizaron con las mismas condiciones, el número de oscilaciones fue 3 en cada caso. Se realizaron 5 mediciones para tener una buena aproximación al valor verdadero del periodo. Este será.   1.0604  Siendo este el periodo podemos hallar el valor de la frecuencia angular w de la siguiente manera:   2  Y despejando el valor de  tendremos.   √    Reemplazando los respectivos valores.  2    39.87618253 (1.0604)   2.183353814 − Ahora usando este valor podemos hallar el valor de la constante de amortiguamiento de la paleta en el agua (c) con la siguiente relación. 2  0.7817034229  22.183353814  0.7817034229   5.586143669 / Y reemplazando el valor de  tenemos: La ecuación de la gráfica que expresa el decremento logarítmico será la amplitud general ( ) que se va reduciendo al transcurrir el tiempo, esta es con los datos obtenidos.  −    4.1    2.183353814 −   4.1−. GRÁFICA X (cm) VS TIEMPO (s)   4.1−. cos6.314759103 +  Se usó las unidades del x en cm para tener una mejor visualización y comprensión de la gráfica.  Los métodos para hallar el valor de k tienen un buen acercamiento entre si alegando que son efectivos.  La gráfica del movimiento armónico amortiguado se acerca al reposo de una forma ni tan leve ni tan brusca. Se obtiene que el valor de   , lo que indica que es un movimiento armónico sobre amortiguado. La frecuencia angular sin amortiguamiento es mayor que la frecuencia angular con amortiguamiento. La teoría aplicada tiene una buena representación experimental si se omite ciertos defectos como rozamientos pequeños del aire.          <  Nivelar adecuadamente la barra metálica en forma horizontal para que las condiciones iniciales sean las supuestas en la teoría. Tomar un buen número de periodos para obtener el mejor promedio del periodo del sistema. Despreciar los momentos de inercia de los agujeros por ser muy pequeños en comparación con la magnitud de los datos. En la gráfica de posición vs tiempo usar las unidades de posición en centímetros para que sea notable el cómo varia la gráfica. Llenar el balde con agua lo suficiente para q al momento de oscilar la paleta este siempre sumergida, así se asemeja al campo teórico.      Hugo Medina Guzmán (2012) Física 2, Fondo Editorial Optaciano Vásquez García Física General II M. Alonso, E. J. Finn. ¨ Física Vol I¨ . Georgetown University. Addison-Wesley 1995 A.P. French ; Vibraciones y ondas (Massachusetts Institute of Tecnology, Editorial Reverte S.A. https://es.slideshare.net/andysarangoveliz/inform e-de-fsica-ii