Transcript
P R E S E N T A C I Ó N Este material de prácticas se ha proyectado de forma tal que pueda usarse como Manual de Trabajo para un Curso sobre Matemáticas Financieras. El mismo contiene una variada selección de problemas que abarcan los conceptos generales propios de un nivel básico de Matemáticas Financieras: Porcentajes, Interés Simple y Compuesto, Descuento de Pagarés, Descuentos Comerciales, Pagos Parciales, Ecuaciones de Valores Equivalentes, Descuento Bancario, Anualidades, Amortización de Deudas, Constitución de Fondos de Amortización, etc. Nos hemos esforzado por presentar un conjunto ordenado de Diez (10) Prácticas que ilustran y amplían los principios claves de la asignatura que son tratados por el docente en el aula, y de cuya solución dependerá el aprendizaje efectivo por parte del estudiante. Agradecemos las colaboraciones recibidas y esperamos que el presente material pueda ser usado por docentes y alumnos(as), al tiempo que nos comprometemos a revisarlo periódicamente tomando en cuenta las críticas, sugerencias, así como los requerimientos curriculares de la Academia. PROF. TULIO MATEO DUVAL 1 2 Manual de Prácticas de Matemáticas Financieras C O N T E N I D O Pág. 1. PRESENTACIÓN 1 2. CONTENIDO 3 3. PRÁCTICA No.1 5 Porcentajes Logaritmos, Progresiones Aritméticas y Geométricas. Expresiones Algebraicas y Ecuaciones. Uso de la Calculadora. Problemas. 4. PRÁCTICA No.2 9 Interés Simple. Monto y Valor Actual a Interés Simple. Problemas. 5. PRÁCTICA No.3 13 Tiempo en Días entre dos Fechas. Tiempos Exacto (Real) y Aproximado. Interés Ordinario e Interés Exacto. Combinaciones de Interés (Io, Ie) y Tiempos (te, ta). Elección entre Opciones de Pago o Alternativas de Inversión. Descuento Racional o Matemático. 6. PRÁCTICA No.4 19 Ecuaciones de Valores Equivalentes a Interés Simple. Pagos Parciales. Regla Comercial y Regla de los Saldos a Interés Simple. Ventas a Plazos a Interés Simple. Interés Global e Interés sobre Saldos Insolutos. 7. PRÁCTICA No.5 27 Descuento Simple. Descuento Bancario. Tasas Equivalentes de Interés y de Descuento. Descuento de Pagarés con Descuento Bancario. Descuentos Comerciales. 8. PRÁCTICA No.6 37 Interés Compuesto. Monto y Valor Actual a Interés Compuesto. Equivalencia entre Tasa de Interés Simple y Tasa de Interés Compuesto. Equivalencia entre Tasas de Interés Compuesto. Tasa de Interés Nominal y Tasa de Interés Efectiva. Elección entre Opciones de Pago o Alternativas de Inversión. 3 Manual de Prácticas de Matemáticas Financieras C O N T E N I D O Pág. 9. PRÁCTICA No.7 45 Descuento de Pagarés a Interés Compuesto. Ecuaciones de Valores Equivalentes a Interés Compuesto. Tiempo Equivalente. Pagos Parciales. Regla Comercial y Regla de los Saldos a Interés Compuesto. 10. PRÁCTICA No.8 51 Anualidades. Monto de Anualidades Simples, Ciertas, Vencidas e Inmediatas 11. PRÁCTICA No.9 57 Anualidades (cont). Valor Actual de Anualidades Simples, Ciertas, Vencidas e Inmediatas. Anualidades Diferidas Simples. 12. PRÁCTICA No Monto y Valor Actual de Anualidades Simples, Ciertas, Vencidas e Inmediatas. Amortización de Deudas. Cuadro de Amortización. Constitución de Fondos de Amortización. Cuadro de Acumulación de un Capital. Anualidades Vencidas Generales. Anualidades Anticipadas Simples. Monto y Valor Actual. Anualidades Anticipadas Generales. Anualidades Diferidas Generales. Anualidades Perpetuas. 13. BIBLIOGRAFÍA FÓRMULAS TABLA PARA EL CÁLCULO DEL TIEMPO EXACTO ENTRE DOS FECHAS 81 4 MATEMÁTICAS FINANCIERAS PRÁCTICA No. 1 T.A.M.D. 1.- Exprese cada uno de los siguientes porcentajes en la forma decimal: a) 9% = g) 4 ½% = b) 31.4% = h) ⅞% = c) % = i) 20 ¾% = d) 235% = j) 3/5% = e) 6.235% = k) 15 ⅔% = f) 0.5% = l) 14 1/5% = 2.- Exprese cada una de las siguientes cantidades en porcentajes: a) 0.02 = f) 0.8 = b) = g) = c) = h) 10 ½ = d) 17.3 = i) 3/8 = e) 6.9 = j) 8 ¾ = 3.- Efectúe las operaciones indicadas: a) 13.5% de 90,000 = h) Qué porcentaje de 560 es 207.2? b) 0.5% de $60,000 = i) Qué porcentaje es 279 de 900? c) 35% de 4,000 = j) Qué porcentaje es 24.9 de 166? d) 20% de $1, = k) Qué porcentaje de 18,500 es 2,220? e) 33 ⅓% de $9,720 = l) De qué número es 3,570 el 40%? f) 12 ¼% de $15,600 = m) De qué número es 4,914 el 35%? g) 320% de 900 = n) De qué número es 3,198 el 13%? 5 4.- Efectuar las operaciones indicadas (usando calculadora) sin escribir resultados intermedios. Redondee a dos decimales cuando sea necesario. Pr. #1 a) 1, = f) ( 201e ) = ( ) 4 b) ⅜ 3 ½ = g) 24,000 [ ( ) 1/8 1] = 3 30,060 c) 14,500 ( /360 ) = h) ,657 = d) 37,583 ( /12 ) 21, = i) 53,400 * 0.02 = [1 ( ) 30 ] e) (1, ) = 3.15 j) 4,600 log * = log Resuelva las siguientes ecuaciones: a) 17x 8 = 3(5x 2 3 ) b) 3 ( y + 4) 2.8 = 1. 4 c) Z 2,450 = 1, d) 2 5 P 4,200 = 1,800 ( ) 1 10 P e) 9,800(1 3d ) = 4, 508 x f) 1 + = g) w = 2 6 Pr. #1 2 h) x + 5 = 3 i) 2 x 2 + 7x 15 = 0 j) log 2 (3x 4) = 5 k) 24, = 18,000( ) n 4x+ 1 l) 10 = 132 3x 4 m) 5 = 25 2x 6 n) e = ñ) 6 ln x = Resuelva: a) Cuánto se paga por un artículo que se vende con un 30% de descuento, si su precio es de $3,640.00? b) Cuál era el precio de un escritorio que ahora cuesta $8,512.00, si recientemente se había aumentado su valor en un 12%? c) Un vendedor gana $26, mensuales más el 4.8% de comisión por ventas realizadas. Si el mes pasado percibió $34,832.00, cuánto totalizaron sus ventas en dicho mes? d) Si un porcicultor vendió el 70% de sus cerdos y se quedó con 186, cuántos cerdos tenía? 7 Pr. #1 x e) Cómo se escribe A = en forma logarítmica? 2 f) Cómo se expresa log ( x 3) en forma exponencial? 6 = g) Cuál es el valor de la base a si log (142.06) = 7 a? h) Determine el octavo término y la suma de los primeros doce términos de la progresión aritmética: 1, 4, 7,... i) Hallar la diferencia común de una progresión aritmética de 6 términos cuya suma es 129 y su primer término es 4. j) Determine el décimo término y la suma de los primeros seis términos de la progresión geométrica: 6, 3, 3/2, CONTESTE CORRECTAMENTE: a) Qué es una expresión algebraica? b) Qué es una ecuación? c) Qué es la solución de una ecuación? d) Cuándo una ecuación es lineal y cuándo es cuadrática? e) En qué consiste el logaritmo decimal de un número? f) Qué es una progresión aritmética? g) Qué es una progresión geométrica? 8 MATEMÁTICAS FINANCIERAS PRÁCTICA No. 2 T.A.M.D. 1.- Luís Mena obtiene un préstamo por $120, pagadero en tres años. Si acordó pagar mensualmente los intereses generados a razón del 17% simple semestral, cuánto deberá pagar de intereses cada mes? 2.- Un señor dispone para invertir la cantidad de $500, Coloca el 60% de su capital al 10% simple anual y desea invertir el resto a una tasa anual que produzca igual interés semestral que el generado por la primera inversión. Determine a qué tasa de interés anual debe efectuar la segunda inversión. 3.- Marta Soto se divorcia y al dividir los bienes del patrimonio matrimonial recibe la suma de $700, Decide invertir dicha suma para recibir los intereses producidos trimestralmente, por lo que coloca el 55% de los $700, en una cuenta de ahorros que abona el 14% simple anual y el resto en una financiera que paga el 1.5% simple mensual. Cuánto recibirá por concepto de interés total cada trimestre? 4.- Carlos Hidalgo recibe $4, cada bimestre por concepto de los intereses producidos por una inversión efectuada al 12% simple anual. Qué capital tiene invertido el Sr. Hidalgo? 5.- Un señor deposita un capital en una cuenta bancaria que abona el 11% simple anual, generándole $ de interés mensual. Si el banco aumenta la tasa pagada, llevándola al 12% simple anual, qué cantidad debe retirar dicho señor del capital depositado para seguir cobrando el mismo interés mensual? 9 6.- José García, antes de viajar al exterior, depositó $20, en una cuenta de ahorros. Tres meses y medio más tarde regresa al país y verifica que en ese plazo la cuenta generó intereses ascendentes a $ Determine qué tasa de interés simple anual le abonaron a la cuenta. Pr. #2 7.- Calcule durante qué tiempo (meses) debería de estar invertido un capital al 18% simple anual para generar intereses ascendentes al 15% del capital. 8.- Complete la siguiente tabla. [ Sugerencia: Trabajar con la fórmula I = P i t ] Capital P ($) i (%) anual Tiempo Interés I ($) a) 130, /4 2 años b) 20 1 mes c) 20,600 1½ años 3, d) 80, meses 10, e) 10, /8 1 año 2 meses f) 32, semanas g) 106, quincenas 12, h) 20 1/5 10 meses 33, i) 75, años meses 26, j) 290,100 3 semanas 4, 9.- Ángel Acosta obtiene un préstamo por $84, a 8 meses de plazo, con una tasa de interés simple del 28.2% anual. Cuánto deberá pagar en total por concepto de intereses? Con qué cantidad se liquida el préstamo al final del plazo? Pr. # Carmen Abreu al recibir su bono navideño por $120, decidió entregar a su esposo la quinta parte del valor recibido para que reparara su vehículo y darles a sus padres el 30% del valor restante. Si lo que le quedó lo invirtió al 3% simple trimestral, de qué cantidad dispondrá al cabo de 1 año y 3 meses? 11.- Juan Martínez compra a crédito una lavadora valorada en $32, Acuerda efectuar un pago de contado de $20, y un pago final en 3 meses. Si acepta pagar un 3.5% simple bimestral sobre el saldo deudor, cuánto deberá pagar dentro de 3 meses para saldar la deuda? 12.- Un señor desea invertir una cantidad tal que, acumulada al 4% simple mensual, ascienda a la suma de $150, dentro de 10½ meses. Cuánto tendría que invertir? 13.- Una deuda contraída al 21% simple anual se saldó al cabo de 16 quincenas pagando la suma de $83, Determine a cuánto ascendía la deuda y cuánto se pagó por concepto de intereses Un préstamo por $135, pagadero en 15 meses se saldó mediante un pago único de $163, Cuál fue la tasa de interés simple trimestral aplicada? 15.- Un señor compra a crédito un escritorio valorado en $14, Paga un 15% del valor por concepto de inicial y el resto lo salda al cabo de 1½ meses con un recargo del 5% sobre el precio de contado. Qué cantidad pagó para saldar la deuda? Qué tasa de interés simple anual pagará el comprador? 11 Pr. # A qué tasa de interés simple anual se duplica un capital en 48 meses? 17.- Si se invierten $60, al 13% simple anual, cuánto tiempo (semanas) se requerirá para que la inversión alcance la suma de $64,350.00? 18.- En qué tiempo (años) se aumenta en un 40% una inversión efectuada al 8% simple anual? 19.- Un padre de familia deposita $300, en una cuenta de ahorros en la fecha de cumpleaños de su hijo menor. Si el banco abona el 10½% de interés simple anual y al momento del chico cumplir los 19 años la cuenta dispone de un balance de $552,000.00, qué edad tenía el niño al efectuarse el deposito de los $300,000.00? 20.- CONTESTE CORRECTAMENTE: b) A qué se llama interés? b) Cuál es la diferencia entre el interés simple e interés compuesto? c) Qué es mayor, el capital o el monto? d) Qué otro nombre se le da al monto de un capital? e) Qué produce más intereses: invertir al 24.76% simple anual o al 6.19% simple trimestral? f) En qué tiempo (meses) se duplica un capital que se invierte a una tasa del 24% simple anual? 12 MATEMÁTICAS FINANCIERAS PRÁCTICA No. 3 T.A.M.D. 1.- Determine el tiempo exacto y tiempo aproximado entre las siguientes fechas: a) Del 13/5/2009 al 30/12/2009 b) Del 20/6/2003 al 14/11/2004 c) Del 23/10/2001 al 8/3/ Calcule el interés simple ordinario y exacto generados por un préstamo de $90,000.00, del 17 de enero al 13 de octubre del 2008, si la tasa de interés fue del 18% simple anual. Use te 3.- Un señor desea depositar $400, por un periodo de 140 días y dispone de dos opciones para colocar su dinero: El Banco del Norte que paga el 15.25% anual de interés ordinario y el Banco Capital que paga el 15.32% anual de interés exacto. Qué banco le conviene elegir? 13 4.- Una deuda por $36, contraída el 8 de febrero quedó saldada el 8 de julio del mismo año. Determine el monto ordinario y exacto, si la tasa de interés fue del 2.5% simple mensual. Use ta Pr. #3 5.- El 15/4/2009, Gustavo Ochoa obtuvo un préstamo por $70, a una tasa del 22½% de interés simple anual. Si el préstamo fue saldado en fecha 25/2/2010, cuánto debió pagar por concepto de intereses? Qué cantidad tuvo que pagar el Sr. Ochoa para liquidar el préstamo? Use Io, te 6.- El 20/9/2008 se efectuó una inversión de $300, a una tasa de interés simple del 1.3% mensual con rendimiento liquidable al vencimiento. A cuánto ascendió el monto (inversión + intereses) para la fecha de vencimiento de la inversión que era el 13/4/2009? Use Io, ta 7.- Nelson Marrero debía pagar $78, en fecha 18/6/2007. Al no poder saldar en dicha fecha, renegoció la deuda pagando un 40% del valor inmediatamente, comprometiéndose a pagar intereses sobre el valor restante a razón del 2.15% de interés simple mensual. Si la deuda se saldó al cabo de 125 días, cuál fue la fecha de saldo? Cuánto debió pagar el Sr. Marrero para saldar la deuda? Use Ie, te 8.- Cuánto se debe invertir el 9 de noviembre en una cuenta de ahorros que paga el 14½% simple anual para disponer de $155, el 23 de abril del año siguiente? Use Ie, ta 14 9.- El 10/2/2009 se obtuvo un préstamo al 17 3/8% simple anual, el cual fue saldado con el pago de $61, en fecha 25/6/2009. Determine la cuantía del préstamo y el interés total pagado. Use Io, te Pr. # Teresa Villar efectuó una inversión de $450, en fecha 21/2/2008. Si dicha inversión, con rendimiento liquidable al vencimiento, alcanzó la suma de $499, en su fecha de vencimiento que era el 28/10/2008, determine qué tasa de interés anual ganó. Use Ie, te 11.- Un comprador adquirió a crédito una bicicleta valorada en $4, Si el 23/4/2009 abonó un 30% del valor y luego en fecha 10/7/2009 liquidó la deuda pagando $3,213.54, calcule qué tasa de interés anual le aplicaron. Use Io, ta 12.- Calcule durante qué tiempo (días) estuvo invertido un capital al 21.95% simple anual si se aumentó en un 5% Ana Olivares invirtió $66, a una tasa del 1.45% simple mensual en fecha 8/9/2009. Qué día retiró su inversión si ésta se había capitalizado hasta alcanzar la suma de $70,515.00? Use Ie, te 14.- El 21/5/2009 un señor efectuó la compra de un equipo de música valorado en $38,000.00, realizando un pago inicial del 65% del valor, comprometiéndose a abonar el 29% simple anual sobre el valor restante. Si el balance (deuda + intereses) fue saldado posteriormente mediante un pago único de $14,317.82, determine: Use Io, te a) El valor del pago inicial. b) El valor de la deuda justamente después de efectuado el pago inicial. c) Qué cantidad se pagó por concepto de intereses? d) La fecha de cancelación de la deuda. 15 15.- Un comerciante mayorista efectuó una compra de artículos comestibles por valor de $300,000.00, pagando de contado el 70% del valor de la compra y acordando abonar el 27% de interés anual sobre el valor restante. Si la deuda fue saldada el 22/2/2010 mediante el pago de $101,137.50, determine en qué fecha se realizó la compra. Use Io, te Pr. # En qué tiempo (a/m/d) se duplicaría un capital que se invierta al 38.5% de interés simple anual? 17.- Ramón Cruz compró un auto pequeño en el dealer AGUILA MOTORS y el vendedor le dio a elegir entre dos formas de pago: a) $615, de contado, o b) Pagar un inicial del 20% del precio de contado y firmar un pagaré a 120 días por $532, Qué forma de pago le resultaría más ventajosa al Sr. Cruz, si pudiera invertir en forma segura el dinero disponible a un 26% simple anual? 18.- El 10 de abril una señora evaluaba 3 opciones para pagar una lavadora: a) $30, de contado; b) $12, de inicial y $20, a pagar el 10 de junio; o c) Efectuar 3 pagos de $10, cada uno en fechas: 10 de mayo, 10 de junio y 10 de julio. Compare los valores de las opciones en la fecha de compra considerando que la señora dispone de los fondos para comprar de contado y de las facilidades para invertir su dinero con un rendimiento del 2% simple mensual. 16 19.- Cuál de las formas siguientes conviene más a los intereses de un empleado para recibir una gratificación? a) Recibir ahora $38,500.00; b) Recibir $20, ahora y otros $20, en 2 meses; o c) Recibir 3 pagos de $14, cada uno a 30, 60 y 90 días. Suponga que al invertir el dinero se gana un interés del 31.4% simple anual. Pr. # Qué es más conveniente: a) depositar en un certificado financiero que abona el 3.4% simple trimestral, o b) invertir en una industria chocolatera que garantiza que la suma invertida se aumente en un 70% cada 5 años? 21.- Un pagaré por valor de $174, con vencimiento el 24/11/2009 se descontó el 20/9/2009 con una tasa del 20¾% simple anual. Determine el valor líquido o efectivo del pagaré y el descuento racional aplicado al mismo. Use Ie, te 22.- El 20/7/2008 un pagaré fue firmado por $96, con un 24% de interés simple anual y vencimiento en 190 días. Faltando 70 días para su vencimiento, el pagaré fue vendido descontándolo al 26½% simple anual. Determine: Use Io, te a) La fecha de vencimiento del pagaré. b) El valor del pagaré al vencimiento. c) La fecha de venta del pagaré. d) El valor de venta (líquido o efectivo) del pagaré. e) El valor del descuento racional aplicado. 17 23.- Qué descuento racional se hace a un pagaré cuyo valor de vencimiento es de $120,000.00, 45 días antes de vencer y con una tasa del 26.5% simple anual? Pr. # VEFISA, S.A. descontó el 2/12/2009 un pagaré por valor de $114, con vencimiento el 4/2/2010 y sólo recibió $110, A qué tasa anual de descuento racional se descontó el pagaré? 25.- Elsa Díaz compra un juego de comedor de 8 sillas a TITO MUEBLES, S.A. Paga $20, de inicial y firma un pagaré por el 75% restante, el cual genera intereses a una tasa de interés anual hasta el vencimiento que será en 9 meses. El pagaré luego fue vendido por la mueblería a FINACOM, S.A. por $65,367.36, al ser descontado racionalmente con una tasa del 20% anual, faltando 2½ meses para su vencimiento. Determine; a) El precio de contado del juego de comedor. b) La tasa de interés simple anual que devengaba el pagaré CONTESTE CORRECTAMENTE: a) Qué es más productivo para el inversionista, el interés exacto o el ordinario? b) Qué forma de calcular el tiempo, aproximado o exacto, produce una cantidad mayor de intereses? c) Qué es un pagaré? d) Obtenga el valor líquido o descontado de un pagaré con valor de vencimiento de $75,600.00, 3 meses antes del vencimiento y una tasa de descuento racional del 32% simple anual. 18 MATEMÁTICAS FINANCIERAS PRÁCTICA No. 4 T.A.M.D. 1.- Carmen Gómez adquiere una lavadora valorada en $34,000.00, pagando un inicial del 30% de su valor y comprometiéndose a saldar el resto en un plazo de 6 meses con intereses al 21% simple anual. Si abona $8, al cabo de 1 mes y $10, al cabo de 4 meses, qué suma deberá pagar al vencimiento para saldar totalmente la deuda? Use como FF: a) El mes seis b) El momento de la compra 2.- El 13/10/2009 se contrajo una deuda por $110, con un 2.5% de interés simple mensual y vencimiento el 10/3/2010. Si la deuda se saldó mediante dos abonos iguales en fechas 16/12/2009 y 15/1/2010 y un pago final al vencimiento por $28,728.80, obtenga la cuantía de los abonos. Use Io, te y FF el 15/1/ 3.- Por la compra de una caja fuerte se pagó $5, de inicial y 3 mensualidades iguales de $3, Si la tasa de interés aplicada fue de un 24% simple anual, calcule el precio de contado de la caja fuerte. Use como FF el día de la compra. Pr. #4 4.- El 20/7/2009 una persona tenía las siguientes deudas con un mismo acreedor: $35, a pagar el 15/9/2009; $40, el 20/11/2009 y $60, el 30/1/2010. Si posteriormente acuerda cancelar dichas deudas mediante un pago único, equivalente a la suma de los valores de los señalados pagos, determine la fecha de vencimiento d
