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editoÍa scipiono

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josé jakubovic

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6ditoÍa scipione
DIREÇÃO EDITORIAL
Luiz Esteves Sallum
cooBoENAÇÃc EDITORIÀL
Maia Antonia Lobo Jabur
R E S PO N SA BI L I DA D E ED I TO RI A L
Mizue Jyo
REVTSÃO
supervisão: Sâmia Rios
prepanção: Ruth Kluska Rosa
revisão de provas: Denise de Almeida
Oswaldo Aranha de Fa a
COONOENAçAO DE ARTE
Antonio Tadeu Damiani
Alice Reiko Haga
ASSISTENTES DE ARTE
Wilson da Silva Garcia
Joseval Sousa Fernandes
CAPA
projeto grâfico: Sylvio Ulhôa Cintn Filho
ilustração: lvanir lsamu Oka
íoto: Mizue Jyo
ILUSTRAÇÕES
lvanir lsamu Oka
coMPostçÁo E ABTE
Diarte Ed. e Comercial de Livros
cootdenaçào geral: Nelson S. Urata
composiçào: Nelson T. Dehira
coord. arte-linal: Silvio Vivian
atte-íinal: Gutimberg Leme

I
fiIfil!
todo! ot diraitoi .rlcrvldos
aditorâ scipione hda.
PraÇa CaÍlos Gomes, 46
01 5O1 - São Paulo - SP
Caixa Postal 65.1 31
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íruorce

Alternando: azul, rosa, azul, rosa,
azul , ... 5
Zero é Par? Por quê? 10
-2 é Par? 2,6 é Par? 16
Ouantas pessoas cabem nas
mesas? 19
Desenhando sem tiíar o láPis do
paPel 29
Um desenho que ninguém
conseguia fazer 31
Oual é a exPlicação? 34
Brincando com dominós 40
Encerramento 42
Respostas das atividades 4

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ALTERNANDO: AZUL, ROSA, AZUL, RESA,
AZUL, ...
Veja essas faixas, com duas cores que se alternam.
Na primeira faixa, o total das panes é um número paÍ
ou ímpar? E na segunda faixa?

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2,

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I
Eatrn.

Se você contou as paÍtes uma a uma, tudo bem. Se
contou aos pares, melhor. Mas há um jeito mais sim-
ples de responder...
Olhando as coÍes das duas pontas, você pode dizer
se a faixa tem um número par ou ímpar de paÍtes, sem
precisar contá-las. Certo ?

t'F[I| E{Fi Tl-Fffiffi
I 3 5 ...

Observe: na primeira faixa, as partes azuis têm nú-
meros ímpares: 1 , 3, 5, ... As partes rosas têm núme-
ros pares: 2, 4,6,... Como a última parte é azul, o nú-
mero total de partes é ímpar.

5
E._m 23456
El- i

A segunda faixa termina com azul, e as partes azuls
são as de números pares, indicando que ela tem um nú-
meÍo par de partes.
Agora é a sua vez, amigo leitor, mas responda sem
contar as partes. Na próxima faixa, o número total de
partes é par ou ímPar?

iêEflf,lgflEEln§ru[

Atividades

Aqui, temos uma lista de exercícios. Alguns são sim-
ples, outros, nem tanto. Por isso, vá resolvendo deva-
gar. Deixe os mais difÍceis para outro dia, tá?

1 Desenhei uma faixa de 31 partes, usando só duas
cores. Pintei cada parte de uma cor, sempre alteÍ-
nando as cores. Dobrei a folha. para que você não
veja as últimas partes. Oual é a cor da última
parte ?

[Err 3-l I IEI
6
2. A faixa anterior, com 3 1 partes, tem mais partes
rosas que azuis, mais azuis que rosas, ou tem a
mesma quantidade de partes?

3. Uma faixa tem 156 partes e duas cores. Cada
parte tem uma cor e as cores vão se alternando. A
primeira parte é vermelha. A última também é?

4. Uma faixa tem certo número de partes e duas co-
res. Cada paÍte é de uma cor e as cores se alteÍ-
nam. A primeira e a última parte têm a mesma
cor. O que você pode af irmar sobre o número de
partes da faixa ?

5. O avesso do avesso do avesso do avesso do aves-
so do avesso do avesso do avesso (do seu calção)
é o avesso (do calçâol ou é o avesso do avesso
(do calcão)?

6. Desses tabuleiÍos, só um tem mais casas brancas
que rosas. Oual?

2

3

7
7 Joana fez uma Íita para alegrar a sua cabeça. De-
pois de pronta, ela ficou como um anel: sem fim,
nem comeÇo.

vt /-

A fita tinha 37 partes. Será que, usando duas co-
Íes, é possível pintaÍ as partes, cada uma de uma
cor, de modo que duas partes vizinhas nunca te-
nham a mesma cor?

8. Aqui, temos dois círculos.

{
( Í
J I,

{)
Um deles pode ser pintado com duas coÍes, as'
sim: cada parte com uma cor e as cores se alteÍ'
nando. Quanto ao outro círculo, é impossível pin-
tá-lo dessa maneira. Qual é o caso de cada um de'
les?

9. Um garoto dividiu um cíÍculo em partes iguais, co'
mo na questão anterioÍ, mas em um número mui-
to maioÍ de partes. Ele queria pintar cada parte de
uma cor, alternando sempÍe as coÍes verde e
amaÍelo. No fim, ele percebeu que isso não era
possível. Oual foi o seu erro?

I
10. Observe esses desenhos. Eles são polígonos que
têm um número par de lados.

22 26
4

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6 2
5
3 1
48 I I
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44 ,3
43 qz 15

38
37 32 20

26
25

Agora, faca você um desenho, usando as linhas
da malha. Seu desenho deve ser feito com uma li-
nha fechada, que não pode se cruzar. Oualquer
desenho que você fizer nessas condicões será um
polígono com número par de lados. Explique por
que isso sempre acontece.

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Lt;_: lra:
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9
ZERO É PAR? POR OUÊ?

A garotada estava num campo de futebol. Na hora
do par ou ímpar, os dois colocaram zero. Foi a maior
confusão.
ZERO É PÁR r.rÂo e r.rÂo
GANHÉI I zeco ruÂo e ruaoa '

ô^O
&t
Ê-.----=+

DecidiÍam tiiar o par ou ímpar de novo. Dessa vez
deu 3, e não houve discussâo. Jogaram, mas foi uma
tristeza. Final: O x O.
Por isso, eu lhe pergunto, amigo leitor: zero é par?
E desde já eu lhe garanto: zero é par, slm!
Por quê?
Bem, para início de conveÍsa, precisamos saber o
que é um número par. Há diversas maneiras de definir
número par. Um livro apresenta uma definicão; outro,
dá outra. . . Vou mostrar uma.

Um número é par quando ê divisivel por 2.
Isso significa que, dividindo o número por 2,
encontra-se quociente inteiro e resto 0.

10
Para entender melhor essa def inição, f aça as próxi-
mas divisões. Ouando o resto der zero, o número será
par. Caso contrário, nâo será.
lltr
1012 148 12 15 12 137 12

Agora, faça o mesmo com o número O O que você
conclui: O é par?

et.trÃo,
o l2 O e pac r

o o
aa o

Veja outra definicão que costuma aparecer nos li-
vros.
O É pae ponoqe
i O eo ooano m o.
Urn número é par quando é o do-
bro de um nú mero inteiro. \ o.zxo
Exemplos
't
. lb é par, porque l0 = 2 x 5;
o 15 niio é par, porque 15 não ê o
dobro de nenhum número inteiro. $
11
Veia ainda mais esta definicão. E ESqJISITO
O|ZÊQ CtJÊ.
O renvrruR erut 0
Par e todo número inteiro que
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

r' (*

No entanto, também é estranho dizer que 2 termina
em 2. Mas dá para aceitar, não é?
Agora, vejamos algumas coisas que acontecem com
os números pares. Sào as propriedades dos números
pares. Vamos lá.
-1

Os números pares "saltam" de 2 em 2
L-
I

C

I rO

t'g
I
,
6
_)
5

I

Note que isso também acontece quando se inclui o
zeÍo entre os números pares: O,2,4,6,8, 1O,... Cer-
to?

12
Veja outra pÍopriedade

A soma de dois números pares sempre é um nú-
meÍo par.

.,.{B-
^
'-a'o

d e pe s so

de pessoas

n(lrr1.Íi! rar (|. pessonr

Você percebeu que esta propriedade vale tanto em
'l'12+ 14 = 126, como em 112 + O = 112, e até
mesmo em O + O =O?
Resumindo: zero é par porque se encaixa na defini-
cão e nas propriedades dos números pares.

Atividades

11. Escreva uma deÍinicão de número ímpar

12. A soma de um número par com um número ímpar
o que é: par ou ímpar? E a soma de dois números
ímpares?

13
13. Oue tipo de pessoa você é: das que nos anos pa-
res completam idades ímpares e, nos anos ímpa-
res, idades paÍes ou das que nos anos pares com-
pletam idades pares e, nos anos ímpares, idades
ímpares? O que você pode afirmar sobre os anos
de nascimento das pessoas que são do mesmo ti-
po que você?

14. Uma bandeira Íetangulâr é xadrez: quadrados
brancos e pretos se alternam, na hoÍizontal e na
verlical.

a, r)

Um torcedor percebeu que toda bandeira desse ti-
po tem nos cantos um número pat (O' 2 ou 4) de
quadrados pretos. Você tem uma explicação para
isso?

1 5. Uma adição tem um número ímpar de parcelas.
Todas as paÍcelas sâo números inteiros e a soma
é um número par. Nessa adiÇão, o que se pode
afirmar sobre o número de parcelas ímpares: é par
ou ímpar?

16. O produto de um número par poÍ um número ím-
par é par ou ímpar? E o de dois números pares? E o
de dois ímpares?
14
1 7. Dois números inteiÍos somados dão 4l e multipli-
cados dão 348. Encontre esses números, Íazen-
do tentativas.

1 8. Existem três números inteiros que, somados. dão
142 e, multiplicados, dão 81 375? Dos três,
quantos sâo ímpares?

1 9. Num tabuleiro de xadrez, retiramos duas casinhas
de extremidades opostas. Restou então um tabu-
leiro de 62 casinhas.

1 ,!,
,
í
{:
1'.i

uma licha
o tabulei.o

Temos 3 1 f ichas retangulares, cada uma de tama-
nho exato para cobrir duas casinhas do tabuleiÍo.
Com elas, é possível recobrir totalmente o tabulei-
ro? Mostre como se pode recobri-lo com um dese-
nho, ou então explique a sua resposta.

20. Um tabuleiro quadrado e xadrez, com um número
enorme de casinhas (brancas e pretas se alternan-
do), Íoi mostrado a um matemático.
Este tabuleiro tem 1O OOO casinhas - lhe dis-
-seram.
15
O matemático bateu os olhos no tabuleiro e, ime-
diatamente, respondeu :
- Você está enganado. O número das casinhas
não é 1O OOO.
O que o matemático deve ter percebido? Explique
a sua Íesposta.

_2 É PAR? 2,6 E PAR?
Como vimos, O e par porque se encaixa na definicão
e propriedade dos números pares. Agora eu lhe pergun-
to, amigo leitor: - 2, -4, -6 etc. são números pares?
Analise a deÍinicão e as propriedades dos números
pares antes de resPonder.

./2-
-\-- í: 1.,-

i:-:--1
I

)

-)
'<,]-\ ./

-4 e pee,
rcRQUE Ê O
crfJRO DE-2

16
E, os números inteiros negativos - 2, -. 4, 6 etc.
tambem são números pares.
-
Foi surpresa? Então responda essa: o número deci-
mal 2,6 é par?
Para responder, você pode comecaÍ efetuando a di-
visão de 2,6 por 2:

2,6 2,O O resto não dá 0.
61 Logo, 2,6 não é par

E se você continuasse essa divisâo, colocando uma
vírgula no quociente ?

2,6 2,O O quociente nâo e inteiro
60 1,3 Logo. 2,6 não é par.
o

Observe então como e importante a exigência de que
o quociente seja inteiÍo. Se nâo Íosse isso, daria a
maior confusão. Ouem não seria par?

3 12_
10 1.5
3
É pan2
o QUE E ISSO 2

À'-

\-q I

:_/'
...>'.. -'z- ffi 17
Mais uma vez, veia como é importante que a palavra
inteiÍo esteia nessa definrcão:

Par é todo número inteiro que termina em 0, 2,
4,6ou8.

Tirando daí a palavra inteiro, também daÍia a maior
conÍusão
ACONTECC OLC 2,7O
E e MEsMo oué Q7
27 reera,na ey 7 .l
I
CNTÃO, Z,/ NAO E PAR' J 2,V27O .\ (,

2.7O rtevr,,va en O.
.i,-.;", Z,fO E PAR?

/

\
\

)-

Por essas e outras, concluímos: nÚmeros decimais
como 2 ,6 e 2 ,? não são PaÍes
Serão ímpares, então ?

impar é todo número inteiro que nâo é par.

Portanto 2,6 não é par, nem ímpar. Eo mesÍno acon-
tece com 2,7 . Certo?
18
Atividades

21 . -7 épar?-7éímpai
22. Existe algum número que não se;a par, nem ím-
par?

23. Existe algum número que seja par e ímpar?

24. O algarismo das unidades de 61 7 é 7 . Então, a
soma de 61 7 com o algarismo das unidades dele
é 624.
Agora, responda:
r--, Existe algum número
inteiro que, somado com
o algarismo das unidades dele, dê 3 2 8 ? Ouan-
tos? (Atencão: há mais de um!)
i ; Existe algum número inteiro que, somado com
o algarismo das unidades dele, dê 3 2g ? Ouan-
tos ?

OUANTAS PESSOAS CABEM NAS MESAS?

Vou contar uma história. que comeca numa escola. E
aula, adivinhem, de Matemática, e a professora Rena-
te, muito querida dos alunos, sugeÍe:
- Oue tal formarmos um grupo para estudar Mate-
mática f ora do horáÍio das aulas ? Poderemos estudar
assuntos que não temos oportunidade de ver na escola.
Fez uma pausa e continuou:
- Nas quartas-feiras, no comeco da tarde, tenho um
horário livre. Poderíamos aproveitar. Mas é bom repe-
tir: nâo é para ficar vendo a matéÍia das aulas. Alguém
se interessa ?

19
Ouviram-se uns poucos "eu, eu": o Dino, muito bom
aluno; a Sueli, esperta e conversadora; o André, curio-
so, que nem gostava de Matemática; e mais um ou
outro.
Dirigindo-se aos inteÍessados, Renate convidou:
comeÇar na próxima semana? Acabando
- Vamos quarta-feira,
as aulas da almocamos na cantina e de'
pois nos reunimos. Enquanto houver interesse, a gente
vai se reunindo. Tá?
A semana passou e chegou o dia combinado. Só
Sueli, André e Dino ficaram após o Íinal das aulas. Al-
mocaram com a professora. Ouem observasse, os ve'
ria conversando. Sueli rindo o tempo todo; Renate com
ar sempre sério. Foram para uma sala de aula vazia e
arrumaram quatÍo carteiras, em círculo.
Renate disse:
- Para começaÍ, vamos estudar o número de pes-
soas que costumam se sentar nas mesas de um bar...
Vamos lá - disse a Sueli.
- Ótimo. pequena
- Numa mesa, sentam-se 4 pessoas -
disse Renate

._....)

U

20
- Juntando duas mesas, podeÍão se sentar 6 pes-
soas. E com três mesas em fila, poderão se sentar B.

4àr.
1...
.eL,, lq
l!,
!:-. € F
P trF
w-
Se o garcão fizer uma fila com l O mesas, do mo-
-que
do eu expliquei, quantos serão os lugares?
Os três ficaram a pensêr... Caro leitor, que tal entrar
nesse simpático gÍupo e ir respondendo às perguntas ?
- 22 - disseram Dino e Sueli, quase ao mesmo
tempo.
- Espera ... É, ZZ - confirmou André.
- Como vocês fizeram? - perguntou Renate.
- Nas duas mesas das pontas, 6 pessoas. Nas ou-
tras oito, 16. E' 16 mais 6 dá 22 - disse André.
- Você f ez assim, Sueli?
- Nâo. Pensei nos quatro lados do mesão: lO pes-
soas de um lado, 1O de outro e 2 nas cabeceiras. Total:
22.
- Eu fiz diferente - disse Dino.
- Tirando os dois
lugares das cabeceiras, ficarão 2 pessoas em cada me-
sa. São 1O mesas, vezes 2,2O. Mais os 2 das cabecea-
ras, 22. Compliquei, né?
Era visível que Renate tinha gostado das explica-
cões. Ela pediu a cada um que. usando o próprio méto-
do, escrevesse no caderno as contas que faria para en-
contrar o número de lugares disponíveis numa fila com
5 7 mesas.

21
Em pouco tempo, vela o que cada um escreveu

6 I'f"", 57
x2
114
+2-
55 x 2.11O 116 â€-'"^
lttt",,t^ 57 *rr," 2/"
íÍ0+6: lí6 +57 r-o,b {& ô^â
2 .-<zlarz*t
t/6
ltw
-1

- Muito bem - disse Renate - Agora. a fila tem
um ceÍto número de mesas, mas não digo qual é Ape-
nas vou chamá-lo de n. Quero que vocês indiquem as
contas que devem fazer com n para obter o númeÍo de
lugares. Na resposta, ainda apaÍecerá a letÍa n'
Sueli e Dino fizeram bem rápido, mas André se en-
roscou .

n*ní2 =2'nt

22
Renate deu uma força:
- Vamos lá, André. Nas mesas das pontas...
- 6lugares - disse André.
- E nas outras mesas? - perguntou Renate.
- E isso que eu nâo sei.
- E o número total de mesas?
-En-disseSueli.
- Então, André. Desse total, tiÍe as duas mesas das
pontas.
- Como, se o total eu nâo conheco?
- Conhece, sim. E n. Agora, tire 2': tica n - 2 - dis-
se Renate.
- Aht
- Em cada uma delas, 2 lugares. Multiplique por 2.
- Só indicando a conta ?

- E, isso.
Correu mais um tanto de conversa, até André escre-
ver o que queria.

-rror. .nr,^,,o.r, /o,r f.-f, 6 )fft
^
..^ -l,.,,..2'G-2)
,",Lrto1 )" l-n-r'^. 2' G -2 )+6

Renate prosseguiu:
- Vocês já calcularam antes: 1O mesas assim dis-
postas têm 22 lugarcs. Então, na expressão que cada
um escreveu, trocando n por 1O e fazendo as contas,
deve dar 2 2. Conf iram!
Os três conferiram: dava 22 Ínesmo.

23
Renate se levantou, foi até a lousa e escÍeveu

2'n+2 (D,^")
F
,., L @ ntn+2 (d-1.)
(
2.G-2)+6 (c^l*l
i

Aparentemente. André obteve uma expressão di-
-
ferente das outras. Mas, Íazendo as contas, veiam o
que aconteceÍá:

i]n--zt+6=2 n 4 + 6 = 2.n + 2

Então, todos chegaram à mesma expressão, não é?
Agora, usando essa expressão, tudo fica mais simples'
Por exemplo, quantos lugares tem uma fila de 33 me-
sas, Sueli?
- 68.
- E uma Ítla de 44 mesas, André?
- 90. bem disse Renate. Vejam:
-Muito - -
n.o de mesas nl de lugares
n 2-n+2
1 4
2 6
3 I
10 22
33 68
44 90

24
E prosseguiu:
- Nessas filas, o número de lugares seÍá sempre
par?
De cara, Dino respondeu:
- Claro. Na frente de cada lugar há outro. Então o
número de lugares é par.
- O meu par terá de ser tão inteligente quanto você
- disse Sueli, brincando, para Dino.

VEJAM !

-J

) trr Á 2'n+2

Í lugares =2.n
Y' vezes
é par
n

lugares 2 n+2
mais 2,
continua par

O horário livre de Renate estava chegando ao fim.
- Para terminar, quero mostrar como se costuma
Íepresentar um número par genérico, quer dizer, qual-
quer. Todo par é o dobro de um número inteiro; então,
escrevemos: 2 vezes n.

25
ATRTBUTNDO PARA 3 e 4, .
n. os vAto Res 1. 2,
àiu-*o. 2 1=2, 2'2=4,2'3=6e24=6
veter.t : 2,4, 6 e I szr'-t,'lÚrvenos pqres.

/')
:^" l)gaJ1=l'Y1.
! I

-/

- E, para se obter um número ímpar. é só pegar um
númeÍo par e dele subtrair ou somar 1 disse Renate' -
Sueli se levantou, pegou um giz e, imitando o ieito da
professora, disse:
- Por isso, representamos um número ímpar qual-
querpor2.n-1.
Ela própria foi escrevendo na lousa '

nr Ílon=2'n
n. r j./rJr,^ro q,'olaPr
,r.^"- ;ü; ='2 'n -/
n1 ,rYA)"

I

AÍRIBUINOO A T 6
2.3 Ê4
vA/-oRÉs 1
oareaerqos í,3 5 e Z
Ve.,qN i sao rÍ,rpnRES , )
26
Todos aplaudiram Sueli, e assim, alegres, termina-
ram a primeira reuniâo. Na saída, Renate, rápida, entre-
gou uma folha com uma lista de exercícios para os três.
A seguir, apresentaremos essa lista. Assim, você
também poderá Íazê-la.

Atividades

25. As mesas do bar serão colocadas lado a lado, em
Íila. Quem quiser, pode usar a fórmula que vimos:
número de lugares = 2.n + 2
Agora responda:
I Se houver 58 mesas, quantos serão os luga-
res ?

l.- Quantas màsas são necessárias para se ter S I
lugares ?

26. Temos 3 cubos enfileirados

q,
a

I
§
Íi
Algumas faces estão escondidas: paÍa seÍem vis-
tas, alguém precisaÍá separar ou levantaÍ os
cubos. Outras estâo expostas: podem ser vistas
poÍ uma pessoa, se ela der uma volta ao redor da
mesa.
No caso da figura, existem 11 faces expostas.
Conf ira.

27
Agora, resPonda:
tr Com 4 cubos assim enfileirados, quantas são
as faces exPostas? E com 5 cubos? E com
16?
! Com um número par de cubos assim enfileira-
dos, o número das faces expostas será par ou
ímpar? E se o número de cubos for ímpar?

27. Aqui temos 3 cubos empilhados, com 13 faces
expostas. Conf ira!

,:áai':íi:r

! Com 15 cubos assim empilhados, quantas fa-
ces ficarão expostas?
! Com n cubos assim empilhados. quantas fa-
ces ficarão expostas?
I Com cubos assim empilhados, é possível ter
1OO faces expostas? E 195? E 197?
fi Nessas pilhas, o que se pode afirmar sobre o
número de faces expostas: Será sempre par?
Será sempre ímpar?

28. O primeiro cubo foi colocado no chão, no canto de
uma sala. Os outros também serão colocados no
chão. encostados numa parede, formando uma
fila.
2A
.:

Só qr.re não serão 3 cubos, como na figura, e sim n
cubos.
tr Oual será então o número de faces expostas
dos cubos?
f O que se pode afirmar sobre o número de fa-
ces expostas: Será sempre par? Será sempre
ímpar?

DESENHANDO SEM TIRAR O LÁHS DO PAPEL

Na escola das nossas personagens apareceu uma
brincadeira: fazer desenhos sem tiraÍ o lápis do papel.
Como este, por exemplo:

29
As regras da brincadeira eram simples. Primeira re-
gra: é proibido tirar o lápis do papel. Segunda: é proibi-
ào pa.sar, duas vezes pela mesma linha (mas vale cru-
zar as linhas).
O desenho anterior pode ser feito assim:

I

I

t.
c- -_)

Para indicar toda essa seqüência, numeÍamos os tÍa-
cos no própno desenho, assim:

Atividade

29. Desenhe essas figuras sem tirar o lápis do papel e
sem passaÍ duas vezes pela mesma linha. Não es-
queça de numerar os traços para mostÍaÍ a ordem
em que eles foram desenhados.

30
UM DESENHO OUE NINGUEM
CONSEGUIA EAZER

A brincadeira de desenhar sem tiÍar o lápis do papel
vinha ganhando adeptos na escola dos nossos amigos
Sueli, Dino e André. Quando apareceu um desenho que
ninguém conseguia tazee , ai então virou uma mania,
uma verdadeira obsessão. Nas aulas, nos intervalos,
na cantina. nos banheiros, em todos os cantos da es-
cola viam-se alunos tentando fazer esta simples figura,
sem tiraÍ o lápis do papel:

E você. leitoÍ, não quer tentar?
Disseram que o Maranhão, o melhor aluno da 8.' sé-
rie, tinha feito logo na primeira, mas que não conseguia
fazer de novo. lsso só serviu paÍa atiçar mais ainda a
garotada.

31
O fato é que, apesar das tentativas, ninguém, 6as
ninguém mesmo, conseguia Íazê-la.
O tempo passou e a questão iá estava quase esque-
cida quando, numa daquelas reuniôes, André tocou no
assunto.
Renate, que tinha acompanhado toda aquela onda,
Íoi à lousa, fez um desenho e comentou:

-queO número 5 que eu coloquei ao lado do ponto indi-
ca dele saem 5 linhas. São as 5 que estão marca-
das com um tracinho.
E prosseguiu:
- vamos fazer essa contagem em todos os pontos
por onde passam duas ou mais linhas. Veiam:

E continuou:
- Observem que temos quatro números ímpares.
Agora, atenção: sempre que fizermos isso numa figura,
se apareceÍem mais de dois números ímpares, será im-
possível desenhar a figura sem tiraÍ o lápis do papel.
Os três se entreolharam. lmpossível? Teriam escuta-
do bem ?
- lmpossível? - Perguntou Sueli.
-E-disseRenate.
32
- Não é à toa que ninguém na escola íe2...
Dino.
- disse

- E o Maranhão, hein ? Conseguiu o impossível logo
de cara... - comentou Sueli.
Todos riram, já pensando nas gozacões que fariam
com Maranhão.
- Quando mesmo que é impossível? - per guntou
André
- Ouando apareceÍem mais de dois números ímpa_
Íes, como nesta figura
do para o número 5.
- respondeu Renate, apontan-
- Por que, quando aparecem mais de dois números
ímpares, é impossível desenhar a figura? _ peÍguntou
Dino.
- É essa pergunta que deixo para vocês. Tenho cer_
teza de que, na próxima Íeunião, vocês me trarão a res-
posta. Vamos. Por hoje está ótimo...
Dessa vez, os três saíram intrigados.

Atividade
30. Das figuras a seguir, quais podem ser desenhadas
sem tirar o lápis do papel e sem passar duas vezes
pela mesma linha ?

\
_l
I
i\L_!
-t

I -.1

33
r,,^,'-/
:I À 1I
I

I

_1 J i_l i

1
\.i

)

-§N
ri

ouAL É A EXPLICAÇÃo?
Vamos voltar um pouco na nossa históÍia ' Renate
ti-
nha dito:
"Temos uma figura. Ao lado de um ponto' escÍeve'
mos o número de linhas que saem desse ponto' Faze-
mos isso com todos os pontos da figura onde duas ou
mais linhas se encontÍam' Dessa maneira' se houver
mais de dois números ímpares, será impossível dese-
nhar a figura sem tirar o lápis do papel"

34
E ela tinha perguntado:
"Por que isso acontece ? ".
A semana se foi e chegou o dia da reunião. Nem Di-
no, nem Sueli, nem Andre tinham encontrado a expli-
cação pedida.
Parece que Renate não se surpreendeu. Ela disse:
- E muito interessante. Escrevemos uns números
na figura, contamos os números ímpares e aí sabemos
se a figura pode ou não ser desenhada sem trrar o lápis
do papel. Mas qual será a ligacão desses números ím-
pares com a possibilidade de se fazer o desenho ?
os três estavam quietos. Renate continuou:
- Vou Íazer uma figura sem tiíar o giz da lousa. Meu
desenho vai passar por muitos pontos, entre os quais
os pontos A, B e C. Enquanto eu for desenhando, o
André terá a tarefa de contar, bem alto, quantas linhas
já passaram pelo ponto A. Use os dedos para não per-
der a contagem. Dino, conte as linhas que Íorem pas-
sando por B e você, Sueli, as que passarem por C.
Renate desenhou:

comeÇo + utq,m6t').-- UÍí, OOIS !
. UM, OoiS !

-{&-, t
q'rut''
/=
C e

Ouando ela passou o giz pelo ponto A, o André disse
alto:
- Um, dois!
Depois foi a vez do Dino dizer a mesma coisa. E, de-
pois, a Sueli.

35
glz
Renate continuou o desenho, sempre sem tlraÍ o
da lousa.
rnês or.rarco,
, QUÁTRO í
{*
começo TRêS, qJÁTRO '

à

fr

\
Ao retornar ao ponto onde tinha começado. ela dis'
se:
- Pronto. O desenho está completo' São 6 linhas
passando por A, 6 Por B, e 6 Por C'

c
)

o

Sueli deu o maior gÍito:
sei exPlicar!
- Eu sei. àEulousa,
Dirigiu-se mas ninguém sabia se ela estava
falando sério. Sueli Íoi explicando:
- Vou desenhar sem tirar o giz da lousa, certo? Vou
36
chegar no ponto A. Para prosseguir, precisarei sair des-
se mesmo ponto A. Serão então duas linhas passando
por A.

A

2

Agora, todos escutavam Sueli:
- Aí continuo o desenho, passando por outros pon_
tos da figura. Ouando retornar ao ponto A, terei traça_
do a terceira linha que passa por A. Mas, saindo de A
para continuar o desenho, terei a quarta linha.

3

.J
v ã,
2

4

- Cheguei em A e saÍ: sâo duas linhas. Retornei ao
ponto A esaí novamente: mais duas. De duas em duas,
o número das linhas por A será par.
- Com duas possíveis exceções - disse Renate.
- O ponto onde se começa o desenho... - disse
Dino.
- Se não terminarmos o desenho nesse ponto
- in-
terÍompeu André.

37
.. . e o ponto onde se termina o desenho - com-
-
pletouDino.
- Se não tivermos comecado nele, disse André'
Renate comentou:
- Todo esse raciocínio vale quando não se tiÍa o lá-
pis do papel. Aí, no máximo, poderão apaÍecer dois
pontos com números ímpares: onde se comeca o dese-
nho, e onde ele termina.
- Conclusão: se a figuÍa tiver mais de dois pontos
com números ímpares e porque ela não foi desenhada
assim, sem tiÍar o lápis do papel - disse Andre'
- Aí f ica imPossível - disse Sueli' Einstein disse
- A Sueli e uma gênia. E a Íilha do -
Dino.
- Aliás, o Einstein teve filhos, Renate? - pergun-
tou André, sempÍe curioso.
- Sei lá - ela resPondeu.
Estavam contentes. Sueli organrzou um coro' Todos'
até Renate, na maior alegria, comemoraram, gritando:
- Vival Viva! Viva o Maranhãol Viva, viva '

,í \§ :-" \
i..\ C r
ru r
',r

zü\-
il-i§,
t'' '-{-
\.)-.1..' 1

\-}.
,v'' .\\
-i-- ',''-- /')' l'',
\
-
\

38
Atividades
31 . Há diversas maneíras de desenhar essa figura
"sem tiraÍ o lápis do papel". Mas não são muitos
os pontos por onde podemos comecar o desenho.

Ouais são esses pontos de partida? para cada
ponto de partida, aponte o de chegada.

32. Alice no país das maravithas. Este é o nome de um
livro muito Íamoso no mundo todo. O seu autor foi
um matemático, chamado Lewis Carroll. Um dos
seus passatempos era desenhar esta figura:

í

i

Desenhe essa figura. sempre "sem tirar o lápis do
papel". Faca diversos desenhos, comecando cada
um por um ponto diferente. Ao fazer essa Íigura
"sem tiÍar o lápis do papel", sempre terminamos
no mesmo ponto em que iniciamos. Você sabe ex-
plicar por que rsso acontece?

39
2
BRINCANDO COM DOMINOS

O dominó é um iogo muito conhecido, de 28 peças'

-:-.
:t'.'

Uma trilha é uma linha formada por peças que se
"casam": nas ligaÇões, as duas partes sempre devem
ter o mesmo número de Pontos.
E Er
Ê L
re;ffi
,E ;ãE
I E! LG
n
iffiGt É
Nessa trilha, observe inicialmente os zeros' Por cau-
sa dos casamentos, eles aparecem de dois em dois: o
número de vezes que o zero aparece é par. Assim, to-
dos os números - exceto cinco e seis. que estão nas
pontas - aparecem um número par de vezes. E o cinco
e o seis aparecem um número ímpar de vezes.
Com isso, iá podemos passaÍ às atividades.

40
Atividades
33. Num jogo de dominó, quantas vezes apaÍece o
número cinco?

34. Formei uma tÍilha com as 2g peças do dominó.
Ela começa com o número cinco.
Mesmo sem conhecer a trilha toda, você deve
descobrir com que número termina essa trilha. Ex-
plique sua resposta.

35. Às 28 peças do dominó, vamos acrescentar es-
sas:

rii oji--i
i:: 1. .,
aí-r -.
i...t . E-.
,:-:-!-:t
6:i;..:.!
t. :_l_ ,r.--.1.-:!
;;:;.-;-.1
..t..
Ê-.
:tsr::-
.a.. í;<-

É possÍvel formar uma trilha com as 36 peças des-
se dominó? Explique sua resposta.

36. lmagine agoÍa um dominó em que as partos dâs
peças tenham de O a n pontos. Nesse jogo, quan-
tas vezes aparece cada número? Se for possível
fazer uma tÍilha com todas as peças desso domi-
nó, o que se pode afirmar a respeito de n: é par ou
Ímpar?

41
ENCERRAMENTO

Muitas pessoas pensam que os números paÍes e im-
pares só servem para tirar o "par ou ímpar" ou para se-
paraÍ as casas dos dois lados da rua. Quando muito, re-
paÍam que nos livros. revistas e iornais as páginas ím-
pares ficam à direita e as paÍes, à esquerda.
Nesse livro, você viu muitas outras situações envol-
vendo números pares e ímpares. Para terminar, vou lhe
propor ainda mais dois problemas. Divirta-se.

Atividades

37. Ouero desenhar um caminho de P para C, passan-
do por todos os quadradinhos.

parr,da P

c cheqada

O caminho não pode passaÍ duas vezes pelo mes-
mo quadradinho, nem passar de um para outro em
diagonal. Também não pode dar saltos, nem pas-
sar por f ora do tabuleiro.

f Existe um caminho assim? Explique.
42
tr E se o tabuleiro for esse, 7 por 7?

P

I I
I I tI
rI I I II II
II II
I IIII Ic
38. Esse tabuleiro representa um hotel. Em cada quarto
há um hóspede, sendo que o de A é um assassino.

A
+++++++
+++++++
+++++++
+++++++
+++++++
+++++++
+++++++ B

Ele quer matar todos os outros hóspedes, deixan-
do por último o que está em B. Mas há um proble-
ma: o assassino não pode ver sangue! Por isso, ele
nunca volta a um quarto depois de ter matado o
seu hóspede. Para planeiar seu percuÍso, o assas-
sino precisou bolar um ceÍto aÍtifício. Oual?

43
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES
1. Rosa.
2. Tem uma paÍte Íosa a mais
3. Nâo.
4. É ímpar.
5. O avesso do avesso do calção
6. O tabuleiro 3.
7. Náo. Sugôstâo: Pense na Íita aberta, antes de costuÍar as
pontas.
8. O primerro ciÍculo pode seÍ pintado do modo descrito; o se'
gundo, não.
9. O erro Íoi dividiÍ o cíÍculo em um número ímpaÍ de paÍtês.
lO. Vamos supoÍ que seu 1: tÍaÇo seia hoÍi2ontat Êntáo, o últr-
mo tÍaÇo será veÍtical. Assim, seu desenho será uma suces'
são de lados horizontais (Hl e veÍticars (Vl do tipo:

H V H V H V,..H V

Por isso, qualquer Íigura fechada nessas condiÇôes tem um
número de lados ssmpre PaÍ
1l impar é todo númêro inteiÍo que teÍmina em l, 3, 5. 7 ou 9'
(Há outÍas deÍiniÇôes equivalentes.l
12 É ímpar. É par.
r3 Resposta indavidual.
l4 Este esquema nos mostÍâ o quê pode acontecer nos cantos
da bandeiÍa:
impâí
fr
pàt

,E I it.. /
muda muda
de coÍ de coí

\6 t: ,

44
a I
t a
ir--i
E
mosma
\ r
coí
n
Ét J/

Conclusão: nos cantos da bandeiÍa sempÍe se tem um núme.
ro paÍ de quadrados pretos.

l5 E par. Nessaresposta está rncluida â possibilidade de se têÍ O
paÍcelas ímpaÍes, ou seja, nenhuma parcela ímpar.
16 É par. É par. E ímpar.
17 12 e 29.

18 + + E = t +2 rpar)

tr tr = Br 37s (ímpaÍ)

PaÍâ esse pÍoduto seÍ ímpaÍ, os tÍês númeÍos têm dê seÍ ím-
paÍês. Mâs. se os tÍês forem impaÍes, a soma sêrá ímpar. En-
tão, nâo existem esses númeÍos.
19 E impossível recobÍiÍ o tabuloiro dessa Íorma. Em qualquer
posiÇão. cada Íicha vâi côbÍir duas câsinhâs de coÍes diÍeron.
tes. E acontece que o tabuleiío tem 32 casinhas bÍancas e 30
pretas.
20 Nos cantos do tabuleiÍo. o matemático devê ter visto 4 câsr-
nhas da mesma coÍ. Nesse caso, cada lanha e cada coluna te-
riam um númeÍo ímpaÍ de casinhas. Assim, o total de casr-
nhas seria também um númêro impaÍ.
21 Não. É.

?2 Sim; poÍ exemplo, 3.5.

45
23. Não.
24. ! Sim: 324 e 319.
I Não.

25. c I 1 8 lugares.
! 28 mesas.
26. C 14; 17; 5O
a Par; ímpar.
27. C 61
x 4.n + 1

C Não; Não; Sim, com 49 cubos
- Sêmpre ímpaÍ.
28. ! 2.n + 1

! Sempre ímpar.
29

l 2 l0
,l
I

3
5

,.t 5 3

30

46
31. Os únicos pontos de pâÍtida são A ou g. partindo de A, che-
ga-se em B; e vicê-veÍsâ.
A

B

32
12

r6
2 2
3 9 3 6
8 ia I l.i
6
),, 1
2l
it r5

Porque de todos os pontos da figura saêm númeÍos pares de
linhas.
33. 8 vezes.
34. A tÍilha teÍmina com cinco pontos
Explicação: O númeÍo cinco, como os outros, apaÍece g ve.
zes numa tÍilha completa. Comc, 9le começa â trilha, sobram
7 números cinco. No mrolo da tÍilhâ, por causa dos ,,casa-
mentos", ele aparece um númeÍo par de vezes, ou seia, 6 vê-
zes. Logo, sobÍâ o número cinco paÍa o fim da trilha.
35. Não.
ExplicaÇâo: Nesse jogo, cada número apaÍece êm 9 peças.
Vamos supoÍ que a tÍilha comece com cinco pontos e teÍmine
com quatro.

I I

47
Observe o que acontece com o número um: Como ela está no
miolo da tÍilha. ele teíá de apaÍecêr um númêro paÍ de ve2as,
ou seia, no máximo I vezês. Então, pelo menos uma peça
com número um Íicará fora da trilha.
O mesmo acontace com os números dois, três, seis e sete'
PoÍ isso, é impossivel Íormar uma tÍilha com todas as peÇas
dêsse iogo.
36. Catla númeÍo apârêce n + 2 vezes.
Então, n é par, com êxceção do caso n= 1'
37. tr Não.
Explicação: O caminho pedido deve comêçat numa casinhâ
azúl (A), passaÍ paÍa uma bÍanca (81 etc. Ele sêrá assim:
A8 AB AB ... AB
2 4 6 64
Então, qualqueí caminho Íiscado dessa manêiía vai teÍminaÍ
numa casinha branca. Ou seia, é impossível desenhaÍ um
desses caminhos têrminando êm C.
! No tabuleiro 7 Por 7 , é tudo simples:
? II
II
I I! II
L
=
U c

38. O detalhe que diÍeÍencia esta questão da anteíioÍ é que o as-
sassino pode passaÍ duâs vezes pelo quarto de um certo hós'
pede, matando-o na sêgunda passagem. Aí, seu caminho
passaíá poí 65 quartos!

A
++++ +++
++++ +++
+++t +++
++++ +++
+t++ +++
++++ +++
++++ +++
48
I

Sou matêmático e me guio Pêla €mo-
ção.
ParE mim, Matomática é ao mesmo
t€mpo cotidiano € aventura, raciocÍnio
e intuição, soírimento e prazer de ven-
cer os desafios. EnÍim, é vida.
Gosto de lecionar, Porque ensinar
t6m mais vida ainds: a amizade dos alu-
nos, o s6u aprendizado, o convÍvio com
o§ professoros... Tambám são espê-
=U
ciais os mom€ntos em qus os alunos se
alegram com suas descobertas, mate-
máticas ou não.
Ser autor já é diferente. Atinge um
númêro maior dg pessoas, mas gsse ofÍ-
cio é mais solitário. Sentar e €screvor,
como agora. O prazer? Fica nas linhas'

Jakubo

DISTBIBUIDOBES

=ts.*,-,.,-

ffitr
adiloi! Ecipionc lsEN 85-262-1672-4

I