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ONDAS PROBLEMAS
1.
La función función de de onda correspondi correspondiente ente a una una onda onda armónica armónica en una una cuerda cuerda es Ψ (x, t) = 0,001 sen(314t+62,x), escrita en e! "#. a) $%n &u' sentido se muee !a onda *) $u! es su e!ocidad c) $u! es !a !on-itud de onda, frec frecue uenc ncia ia peri period odo o d) $u $u!! es e! desp desp!a !a/a /ami mien ento to mxi mximo mo de un se-mento cua!&uiera de !a cuerda e) $u! es !a ecuación de !a e!ocidad ace!eración de una partcu!a de !a cuerda &ue se encuentre en e! punto x = 3 cm "o!ución
El sentido en que se propaga una onda de función: 0,001 sen (62,8x ± 314t es, de!ido al signo", el sentido negati#o del e$e %& El per'odo, frecuencia, #elocidad de propagación longitud de onda se o!tienen de dic)a función: 2 π
*e +
62,8
λ
2 π
-
*e
62.8
ω=
2 π
2 π
T
314
1
*e
=0.1 m
=314 → T =
=0.02 s
1
= → f = = =50 Hz f = T 0.02
. al ser:
λ 0.1 =5 m / s v = → v = 0.02 T
El despla/aiento xio de un segento cualquiera de la cuerda #iene dado por la aplitud de la función (x, t& Es decir: 0,001 & a función de onda de una part'cula de la cuerda que se encuentra en el punto x 50,03 es:
ψ (−0.03, t ) =ψ ( t )=0.001 sen ( 62.8 (−0.03 )+ 314 t ) =0.001 sen (−1.89 + 314 t )
a ecuación de su #elocidad: dψ =0.001∗314 cos (−1.89 + 314 t )= 0.314 cos (−1.89+ 314 t ) dt
. la de su aceleración: 2
d ψ 2
d t
=−0.314∗314 sen (−1.89 + 314 t )=−98.60 sen (−1.89 + 314 t )
2. %scri*ir una función &ue interprete !a propa-ación de una onda &ue se muee acia !a dereca a !o !ar-o de una cuerda con e!ocidad de 10 ms, frecuencia de 60 / amp!itud 0,2 m. "o!ución
a función de onda, en general, #iene dada por: (/, t sen (+ / 7 t siendo en este caso: 7 29f 1209 rad s 3;; rad s
κ =
2 π 6.28
uego
λ
=
(
10 60
=37.68 rad / s
)
0,2 & rinos se o!tiene:
De
De
2 π
T
= 2 π →T =1 s
2 π
π
λ
0.1
=
→ λ =0.2 m
a #elocidad de propagación de la onda resulta entonces igual a:
λ 0.2 = 0.2 m / s v = = T 1
a #elocidad con que se ue#e una part'cula cualquiera de la cuerda es:
dψ πx =20 π cos ( −2 πt ) dt 0.1
s. "o!ución
a na onda de este tipo resulta de la superposición de dos o#iientos ondulatorios:
y 1= Asen ( kx −ωt ) y 2= Asen ( kx − ωt + φ )
*e igual frecuencia, aplitud #ector +, propagndose en sentidos opuestos& Feniendo en cuenta que la fora general de la ecuación de la onda resultante de la superposición es:
y 2=2 Asenkxcosωt
Bdentificando, resulta:
κ =
π 3
−1
m
.
−1
ω =40 π s
Gor otra parte, desarrollando la expresión:
y m= y 1 + y 2
E identificando es: 5
A = mφ = π 2
a #elocidad de fase ser:
ω 40 π = 120 m / s ν = = κ π
( ) 3
! a distancia entre nodos es:
λ 2 π d = = =3 m 2 2 κ
c a #elocidad de las part'culas de la cuerda se o!tiene deri#ando respecto del tiepo la ecuación de la onda& Es decir:
dy πx = 5∗40 π ∗sen ( ) cos ( 40 π ) 3 dt
a #elocidad de la part'cula considerada en el instante t C8 s e x 1,@ es entonces:
(
) (
)
dy π ∗9 1,5∗ π = 200 π ∗sen =200 π m / s cos 40 3 8 dt
>. 7na cuerda con am*os extremos fi:os i*ra con su modo fundamenta!. Las ondas tienen una e!ocidad de 32 ms una frecuencia de 20 /. !a amp!itud de !a onda estacionaria en su antinodo es 1,20 cm a) a!cu!ar !a amp!itud de! moimiento de !os puntos de !a cuerda a distancias de a) 0 cm *) 40 cm c) 20 cm de! extremo i/&uierdo de !a cuerda. "o!ución
a onda resultante es: y =2 Asen (kx )cos ( ωt )
a aplitud en un antinodo es la xia 1,20
v 3200 =160 cm λ =v .T = = 20 f ω =2 π ∗20= 40 π =125,6 rad / s
la ecuación de la onda
y =2 ( 1,2 ) sen (
a aplitud es:
2 πx 160
) cos ( 125,6 t )
x =80 cm y 0=2 ( 1,2 ) sen
x =40 cm y 0=2,4∗sen
(
x =20 cm y 0=2.4∗sen
(
(
2 π ∗80 160
2 π 160
2 π 160
)=
.40
)
.20
)=
2,4 sen ( π )= 0 cm
=2.4 sen
2.4 sen
( )= π 2
2.4 cm
( )= ( )= π 4
2.4
√ 2 2
1.69 cm
