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2º grado PROBLEMAS SEGUNDO GRADO 1. Observa la secuencia de los primeros cuatro pasos que siguió Bernardo al construir un sólido formado en cinco pasos similares con cubos de 1 centímetro de arista. (El quinto y último paso lo tendrás que imaginar pues no cupo aquí.) Una vez construido este objeto con cinco de éstos pasos, Bernardo decidió pintarlo de color rojo y, mientras lo pintaba, se preguntó cuánto mediría el volumen de la figura que había construido. Bernardo nos ha solicitado que preguntemos a los participantes de este XXI Concurso Estatal de Matemáticas ¿cuánto mide el volumen del sólido formado en cinco pasos? 2. En la figura, AE es paralelo a BC y BD es paralelo a CE ; la altura que pasa por B , del triángulo ADB , mide 10 cm , DE mide 6 cm y el área del triángulo AEC es de 65 cm 2 . a) ¿Cuánto mide el área del triángulo BDC ? b) ¿Cuánto mide el área del cuadrilátero AECB ? 3. Un tetraedro regular, es un poliedro con cuatro caras (idénticas) que son triángulos equiláteros. Una de las propiedades del tetraedro es que puede acomodarse en el interior de un cubo, de tal forma que las aristas del tetraedro coinciden con diagonales de cada una de las caras del cubo, tal como se ve en la figura. Si el cubo tiene 6 decímetros de arista, ¿cuál es el volumen del tetraedro? 2º grado 4. Se tiene un cuadrilátero con todos sus lados distintos que está circunscrito a una circunferencia y se colorean alternadamente sus lados de rojo y de azul (En la figura adjunta vemos un ejemplo, sabemos que hay una infinidad de cuadriláteros circunscritos distintos). Si el lado más grande se pinta de azul, ¿cómo será la suma de los lados pintados de azul, respecto a la suma de los lados pintados de rojo?: Más grande, más pequeña, igual, o no puede saberse. Justifica tu respuesta. 5. Un tanque tiene forma de paralelepípedo rectangular, y es tal que las medidas de sus aristas, en decímetros, son números enteros diferentes que están en progresión aritmética con una de ellas de 1.70 metros, la cual no es la menor . a) ¿Cuántas posibilidades distintas hay para las dimensiones de un tanque así? b) Supón ahora que la arista de 1.70 metros no es la menor ni la mayor. Da el mayor volumen posible, en metros cúbicos , que puede tener un tanque así. 2º grado SOLUCIONES 1. El volumen de cada uno de los cubos es de 1 cm 3 , así, bastará contar los cubos del sólido que hizo Bernardo. Si vemos la figura por arriba, ésta se verá así, y una manera de contarlos será por “pisos”, además esta figura es equivalente a dos pirámides iguales más el piso central. Es decir, los cubos del piso central (la primera figura) sólo los contaremos una vez, y los otros habrán de contarse dos veces. Entonces, 41 + 2 × (1 + 5 + 13 + 25) = 129. Por tanto, el volumen del sólido que construyó Bernardo es de 129 cm 3 . N OTA PARA EL J URADO : Es importante que el alumno señale las unidades, aquí está en centímetros cúbicos. No pueden darse los 20 puntos si faltan las unidades. 2. Observemos que al ser paralelos los lados BC y AE , la altura dada del triángulo ADB coincide con la altura del triángulo AEC , coincide también con la altura del triángulo BDC y con la altura del trapecio AECB , cuya área se pide. a) Por otra parte, según los datos que nos dieron, el cuadrilátero DECB es un paralelogramo ya que sus lados opuestos son paralelos, por tanto, los lados opuestos miden lo mismo, es decir, el lado BC mide 6 cm . Así el área el área del triángulo BDC es 6 × 10 / 2 = 30 cm 2 b) Como el área del triángulo AEC es 65 cm 2 y su altura es de 10 cm , entonces la base AE de dicho triángulo mide 13 cm . Pero ésta es la base mayor del cuadrilátero AECB que es un trapecio con base menor BC de 6 cm y con altura de 10 cm . Así, el área pedida es (6 + 13) × 10 / 2 = 95 cm 2 . N OTA PARA EL J URADO : Es importante que el alumno señale las unidades, aquí está en centímetros cuadrados y centímetros, respectivamente. No pueden darse los 20 puntos si faltan las unidades. 2º grado 3. El cubo, que tiene 216 dm 3 , puede descomponerse en cinco sólidos que son: el tetraedro regular señalado y cuatro pirámides congruentes. El volumen del tetraedro regular es el volumen del cubo, menos el volumen de las cuatro pirámides (que por cierto son también tetraedros, pero no son regulares pues sólo una cara es un triángulo equilátero y las otras tres son triángulos rectángulos isósceles). El volumen de una pirámide está dado por = h B /3 , donde B es el área de la base de la pirámide y h es la altura. En el caso de las cuatro pirámides, podemos considerar que la base es uno de los triángulos rectángulos isósceles con catetos de 6 decímetros. Así, B = 6 × 6 / 2 = 18 dm 2 . Como h = 6 dm , el volumen de cada pirámide es V = 18 × 6 / 3 = 36 dm 3 . El volumen del tetraedro será: 6 3 – 4(36) = 216 – 144 = 72 dm 3 . 4. Son iguales. Primero observemos que al ser pintados alternadamente, tenemos dos lados azules y dos rojos, y siempre un lado tiene por vecinos a dos de distinto color. También vemos que a cada vértice convergen dos lados de distinto color. Si A es uno cualquiera de los vértices del polígono, y P y Q son los puntos de tangencia de los lados consecutivos, se sabe* que AP = AQ ; además, uno de estos segmentos es rojo y el otro es azul, y esto pasa con todos los vértices del polígono y sus tangentes. Así, la suma las longitudes de dichos segmentos azules (que es igual a la suma de las longitudes de los lados azules) es igual a la suma de las longitudes de los segmentos rojos (que es igual a la suma de las longitudes de los lados rojos). * N OTA : Siempre se cumple que AP = AQ , pues si C es el centro de la circunferencia, los triángulos rectángulos CPA y CQA son congruentes al tener un lado en común (la bisectriz del ángulo PAQ , que también es bisectriz del ángulo PCQ ); además los lados CP y CQ , son congruentes (porque son radios).
