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SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009 −2010
Problemas Tema 2: Sistemas Dados los siguientes sistemas en tiempo continuo y las señales de entrada indicadas, determine las señales de salida correspondientes:
PROBLEMA 1.
{
}
a) Sistema T 1: y (t ) = x(t ) y señal de entrada: x1 (t ) = e− (t −1) − 1 u (t − 1) . b) Sistema T 1: y (t ) = x(t ) y señal de entrada: x2 (t ) = {u(t + 1) − u (t + 3)} + {u (t − 1) − u (t − 3)} . c) Sistema T 2: y (t ) =
dx(t )
y señal de entrada: x3 (t ) = e
− t
. dt dx(t ) d) Sistema T 2: y (t ) = y señal de entrada: x4 (t ) = Λ(t − 1) + Λ(t − 2) . dt Dados los siguientes sistemas en tiempo discreto y las señales de entrada indicadas, determine las señales de salida correspondientes:
PROBLEMA 2.
a) Sistema T 1: y[n ] =
n
∑ x[k ] y señal de entrada: k = −∞
x1 [n] = δ [n + 2] − 2δ [n + 1] + 3δ [n ] − 2δ [n − 1] + δ [n − 2 ].
b) Sistema T 2: y[n ] =
x[n] ≤ 0
0,
[]
[
]
[ ]
y señal de entrada:
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PROBLEMA 5.
Considere un sistema discreto con entrada x[n] y salida y[n ] . La relación
entrada−salida para este sistema es [ Prob. Prob. 1.16 del Oppenheim ]:
y[n ] = x[n]⋅ x[n − 2 ] a) ¿El sistema es sin memoria? b) Determine la salida del sistema cuando la entrada es A ⋅ δ [n ] , donde “A” es un número real o complejo. c) ¿El sistema es invertible? Considere un sistema continuo con entrada x(t ) y salida y (t ) , estando relacionadas mediante [ Prob. Prob. 1.17 del Oppenheim]:
PROBLEMA 6.
y (t ) = x(sen(t ) ) a) ¿El sistema es causal? b) ¿El sistema es lineal? Determine (argumentando la respuesta) qué propiedades (sin memoria, invariante en el tiempo, lineal, causal, estable) cumplen los siguientes sistemas continuos [ Prob. Prob. 1.27 del Oppenheim]:
PROBLEMA 7.
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Determine si cada uno de los siguientes sistemas es invertible. En caso afirmativo, construya el sistema inverso. Si no, encuentre dos señales de entrada al sistema que den la misma salida [ Prob. 1.30 del Oppenheim ]. PROBLEMA 9.
b) y (t ) = cos[ x(t )]
a) y (t ) = x (t − 4)
t
∫
c) y[n ] = n ⋅ x[n ]
d) y (t ) = x (τ ) ⋅ d τ −∞
x[n − 1] : n ≥ 1 e) y[n ] = 0 : n=0 x[n] : n ≤ −1
f) y[n ] = x[n]⋅ x[n − 1] t
g) y[n] = x[1 − n]
h) y (t ) =
∫ e
− ( t −τ )
⋅ x (τ ) ⋅ d τ
−∞
n − k
1 i) y[n ] = ∑ ⋅ x[k ] k = −∞ 2 x[n + 1] : n ≥ 0 k) y[n ] = : n ≤ −1 x[n] n
m) y[n] = x[2n]
j) y (t ) =
dx(t ) dt
l) y (t ) = x ( 2t )
n x : n par n) y[n ] = 2 0 : n impar
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a) Determine y dibuje cuidadosamente la respuesta del sistema a la entrada x 2 (t ) dibujada en la Figura 1(c). b) Determine y dibuje la respuesta del sistema considerado para la entrada x3 (t ) mostrada en la Figura 1(d). Considere una entrada x[n] y una respuesta al impulso unitario h[n] dadas por [ Prob. 2.3 del Oppenheim]: PROBLEMA 11.
1 x[n ] = 2
n −2
⋅ u[n − 2 ]
h[n] = u[n + 2] Determine y dibuje la salida y[n ] = x[n] * h[n] . PROBLEMA 12.
Suponga que [ Prob. 2.10 del Oppenheim]:
1 : 0 ≤ t ≤ 1 x (t ) = 0 : resto y que h(t ) = x (t α ) donde 0 < α ≤ 1 .
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Para cada uno de los siguientes pares de formas de ondas, use la integral de convolución para encontrar la respuesta y (t ) a la entrada x (t ) del sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t ) [ Prob. 2.22 del Oppenheim]. PROBLEMA 14.
a)
b)
α x (t ) = e − t ⋅ u (t )
h(t ) = e
− β t
para α ≠ β , y para α = β ⋅ u (t )
x (t ) = u (t ) − 2 ⋅ u (t − 2) + u (t − 5) h(t ) = e 2 t ⋅ u (1 − t )
c) x (t ) y h(t ) son como se muestra en la Figura 3(a). d) x (t ) y h(t ) son como se muestra en la Figura 3(b). e) x (t ) y h(t ) son como se muestra en la Figura 3(c). x(t)
h(t)
1
0
1
Un periodo de sen( πt)
1
2
0
t
(a)
1
2
3
t
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Examine la interconexión en cascada de los tres sistema LTI causales ilustrados en la Figura 4(a). La respuesta al impulso h2 [n] es [ Prob. 2.24 del Oppenheim ]: PROBLEMA 16.
h2 [n] = u[n] − u[n − 2] y la respuesta total al impulso es como se muestra en la Figura 4(b). a) Encuentre la respuesta al impulso h1 [n ] . b) Encuentre la respuesta del sistema total a la entrada
x[n] = δ [n ] − δ [n − 1] x[n]
h 1[n]
h 2[n]
h2 [n]
(a)
h[n] 10
11 8
5
4
y[n]
SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009 −2010 PROBLEMA 18.
Considere la siguiente interconexión de sistemas LTI. [ Septiembre 2001 ]. ¿ h 1 [n] ?
h 2 [n]
Σ h 3 [n]
h 4 [n]
donde se sabe que h3 [n ] = h4 [− n] y las respuestas al impulso h2[n] y h4[n] están representadas en las figuras siguientes: h 2 [n]
h 4 [n]
13
3
7
...
7
2
2 -4
-3
...
2 -2
-1
0
1
2
3
4
... n
...
1 -1
0
1
2
3
4
5
n
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Soluciones PROBLEMA 1.
a)
b)
c)
PROBLEMA 2.
a)
b)
PROBLEMA 3.
a) y (t ) = 2d { x (t − 2)} dt + x(− t + 1) ; b) y (t ) = 2δ (t − 2) + u(− t + 1) .
PROBLEMA 4.
a) y[n ] y [n + 4 ] x[n 1] 3
d)
SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009 −2010 PROBLEMA 10. y2(t) 2
y3(t)
1
2 0
1
2
3
4
t
-1
-1
a)
-2
0
1
2
t
b)
1 n+1 PROBLEMA 11. y[n ] = 2 ⋅ 1 − ⋅ u[n] 2 PROBLEMA 12.
t α a) y (t ) = 1 + α − t 0
: 0 ≤ t ≤ α : α ≤ t ≤ 1 : 1 ≤ t ≤ (1 + α )
; b) α = 1 .
: resto
β n +1 − α n +1 n ⋅ u[n ]; b) y[n ] = α ⋅ (1 + n) ⋅ u [n ] ; PROBLEMA 13. a) y[n ] = β − α
4n 4.608 c) y[n ] = n
: n≤6 ; d) y[n ] = h[n ] + h [n − 1] + h [n − 2 ] + h [n − 3] + h [n − 4 ] .
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a) Causal, estable; b) No causal, estable; c) No causal, no estable; d) No causal, estable; e) Causal, no estable; f) No causal, estable; g) Causal, estable; h) Causal, estable; i) No causal, no estable; j) No causal, estable; k) No causal, estable; l) No causal y estable; m) Causal y no estable; n) Causal y no estable. PROBLEMA 17.
PROBLEMA 18.
h1[n] = δ [n+2] + δ [n+1] + 2 δ [n] + 3 δ [n-1] +5 u[n-2].
PROBLEMA 19.
h(t ) = e −t u (t ) − 2e −(t −2 )u (t − 2 ) + e − (t − 4 )u (t − 4) + δ (t ) − 2δ (t − 10) .
´ – Sistemas y Circuitos INGENIER´IA DE TELECOMUNICACION Propiedades de los sistemas
1. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y (t) = x(t2 )
(a) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (b) ¿El sistema es causal? (c) ¿El sistema es estable? Sol. NO, NO, SI
2. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y (t) = t2 x2 (t)
(a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es invertible? (d) ¿El sistema es estable?
Problemas – 14/10/2008
5. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida
t
y (t) =
t−1
x(τ ) dτ
(a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. NO, SI, SI, SI, SI
6. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y(t) =
t−1
t−2
(a) ¿El sistema es sin memoria? (b) ¿El sistema es invariante con el tiempo? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? (e) ¿El sistema es lineal? Sol. NO, SI, SI, SI, NO
x3 (τ ) dτ
´ – Sistemas y Circuitos INGENIER´IA DE TELECOMUNICACION Propiedades de los sistemas LIT
1. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y[n] = x[n] +
1 x[n − 1] 2
(a) Halle la respuesta al impulso (b) ¿El sistema es causal? (c) ¿El sistema es estable? Sol. h[n] = δ[n] + 12 δ[n − 1], SI, SI
2. Considere el sistema con respuesta al impulso h[n] = δ[n] − (a) ¿El sistema es sin memoria?
π π δ[n − 1] − δ[n + 1] 2 2
Problemas – 14/10/2008
5. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida n−1
y[n] =
2 x[k]
k=−∞
(a) Halle la respuesta al impulso. (b) ¿El sistema es sin memoria? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. h[n] = 2 u[n − 1], NO, NO, SI
6. Considere el sistema con relaci´on entrada-salida y(t) = x(t) + x(t − 0.5) + x(t − 1) + x(t − 1.5) (a) Halle la respuesta al impulso (b) ¿El sistema es sin memoria? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. h(t) = δ(t) + δ(t − 0.5) + δ(t − 1) + δ(t − 1.5), NO, SI, SI
(b) ¿El sistema es sin memoria? (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. h(t) = π Π(t − 3/2), NO, SI, SI
10. La respuesta de un sistema al ingreso x(t)=4 u(t+1) es y(t) = 8 t2 u(t) (a) Halle la respuesta al escal´on unitario (b) Halle la respuesta al impulso (c) ¿El sistema es estable? (d) ¿El sistema es causal? Sol. s(t) = 2 (t − 1)2 u(t − 1), h(t) = 4(t − 1), NO, SI
´ – Sistemas y Circuitos INGENIER´IA DE TELECOMUNICACION
Problemas – 27/10/2008
Sistemas – Propiedades y convoluci´ on 1. Considere el sistema cuya relaci´on entrada-salida es y(t) = x3 (t) y considere la se˜nal peri´odica x(t) x(t) 6 2 1
−1
1
2
3
4
t
−1
(a) Encuentre y dibuje la salida del sistema a la se˜nal x(t).
Sol. (sin dibujo) y[n] =
0 n < −1 ; SI; SI. − n−1 n ≥ −1 −500 e
3. Considere el sistema LIT con la respuesta al escal´on unitario s(t) representada s(t) 6 3 2 1
−1
1
2
3
4
(a) Encuentre y dibuje la respuesta al impulso. (b) ¿El sistema es estable? (c) ¿El sistema es causal? h(t) 3 6 2
5
t
Sol. (sin dibujo) z(t) =
⎧⎪⎨ ⎪⎩
(t+1)2 (2−t) 6 t3 t 1 6 − 2 + 3
0
−1 < t < 0 0 < t < 1 ; z(t) = 0. otros
6. Encuentre y dibuje la convoluci´on z[n] = x[n] ∗ y[n] con (a) x[n] =
⎧⎪⎨ ⎪⎩
(b) x[n] = e jπ
2 −2 < n < 1 −1 n = 1 0 otros 8π 3
cos[ 43π n]
Sol. (sin dibujo) z[n] =
y[n] =
−n −3 < n < 2 0 otros
y(t) = u[n + 1] − u[n − 1]
⎧⎪⎪ ⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎩
4 6 0 −3 −2 1 0
n = −3 n = −2 n = −1 n = 0 ; z[n] = n=1 n=2 otros
1 jπ 83 2e
π
.
7. Considere la conexi´o n en serie de un sistema T 1 {·} con relaci´on entrada-salida y1 (t) = 2 x21 (t) y un sistema T 2 {·} con relaci´on entrada-salida y2 (t) = x32 (t). (a) ¿Se puede representar la conexi´on en serie de T 1 {·} y T 2 {·} como un u ´ nico sistema
Sistemas y Circuitos Curso Académico 2008 2009 Segunda Entrega de Problemas Tema 2: Sistemas.
Apellidos y Nombre 1: _____________________________________________________________
Apellidos y Nombre 2: _____________________________________________________________
Ejemplo:
x [n]
s [n]
2
...
1
...
-2
-4 -3
-1
1 2
3
4
1
... -3
n
5
...
-2 -1
1 2
3
-1
-1
x[n ]
s[n ]
y [n] 2
...
1
1 -2
-1
3
-4 -3
1 2 -1
4
5
6
-1
-2
y[n ] = x[n ]∗ s[n ]
Pág. 2
7
... n
n
CUESTIÓN 5: h [n]
x [n] 2
3 2 1
...
-3 -4
3 -2
-1
-2 -1
1
1 2
n
1 2
-1
...
...
2 1
-1
x[n ]
h[n ]
y[n ] = x [n ]∗ h [n ]
Pág. 3
... 3
n
Ejemplo:
x[n ] = α n ⋅ u[n ]
y[n ] = x[n ] ∗ h[n] =
h[n ] = u[n ]
CUESTIÓN 6:
⎛ 1 ⎞ x[n ] = ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
n−2
⋅ u[n − 2]
h[n ] = u[n + 2]
Pág. 4
1 − α n +1 1− α
⋅ u[n]
Ejemplo: x(t)
h(t)
1
-3
1
1
t
-1
y(t)
1
x(t)
2
t
-2
-1
1
y( t ) = x ( t ) ∗ h ( t )
h(t)
CUESTIÓN 7:
h(t)
x(t) 1
2
-1 -3 -2
-1
x(t)
2
t
-2 - 1 -1
1 2
h(t)
Pág. 5
t
y( t ) = x ( t ) ∗ h ( t )
t
x(t)
h(t) 1
1
1
t
2
t
-2 -1
-1
x(t)
h(t)
x(t) (periódica)
...
1
1 1 -1
y( t ) = x ( t ) ∗ h ( t )
h(t)
2
4 3
5
... t -2
x(t )
2
h(t)
Pág. 6
t
y( t ) = x ( t ) ∗ h ( t )
Ejemplo:
x ( t ) = e − ( t − 2) ⋅ u ( t − 2)
0 : t <1 ⎧ ⎪ 1− t y( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) = ⎨ 1 − e : 1≤ t ≤ 4 ⎪e 4− t − e1− t : t>4 ⎩
⎧1 : − 1 ≤ t ≤ 2 h(t) = ⎨ resto ⎩0 :
CUESTIÓN 8:
x ( t ) = sen ( π ⋅ t ) ⋅ [u ( t ) − u ( t − 2)]
⎧2 : 1 ≤ t ≤ 3 h(t ) = ⎨ ⎩0 : resto
Pág. 7
