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   Exercice 1(6 points) : On considère le programme linéaire (P) : max z = 5x 1   − 2x 2  + 14x 3 2x 1  + 2x 2   − x 3    2 3x 1   − 4x 2     3 x 2  + 3x 3    5 x 1  , x 2  , x 3     0 1.   Résoudre (P) par l’algorithme du simplexe  (3 points). 2.   La solution de (P) est-elle unique ? si oui, dire pourquoi  –   sinon, donner une autre solution optimale (1 point). 3.   Donner Q le dual de (P)(1 point). 4.   Sachant que (13/9,1/3,14/9) est la solution de (P) et en utilisant le théorème des écarts complémentaires, déterminer la solution de Q (1 point). Exercice 2 (3 points) Un fabricant désire produire 100 kg d’une préparation de base pour crème glacée. Cette préparation doit contenir 21,5 kg de mati ères grasses, 21 kg de sucre, 1,2 kg d’œuf et 56,3 kg d’eau. Les ingr  édients dont il dispose figurent en tête de colonne du tableau ci-dessous ; les constituants figurent en ligne. Ce tableau précise également les pourcentages (en  poids) de chaque constituant dans chaque ingrédient ainsi que le cout, au kg, de chaque ingrédient. Ingredients Creme Jaune d’œuf frais Lait entier en  poudre Jaune douef surgele et sucre Sirop de sucre de canne eau constituants Matieres grasses 40 50 12 30 Sucre 14 70 oeuf 40 40 Eau 60 10 88 16 30 100 Cout en Kg en euro 3 4 1 2 0.80 0.00 Université Libanaise ISSAE - Cnam Liban   Centre du Liban associé au Cnam Paris Date : 29 janvier 2018 Durée : 2h00 De ………..  à …………….   Semestre :1 Année : 2017-2018   Code UE : RCP101 Intitule de l’UE  : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision  Ce sujet comporte : 2 pages Type d’examen  :    Semestriel    Partiel     Final    Rattrapage    Annuel    E1      E’1      E2      E’2   Documents autorisés :  Tous    Aucun    Autre (A préciser : ………………………………………..)  Consignes particulières : ……………………………………………………………..   Calculatrice:    Aucune   Programmable      Non programmable  Centres concernés    Beyrouth    Baakline    Baalbeck    Nahr Ibrahim    Bickfaya    Chtaura    Tripoli  1. Le fabricant désire déterminer la composition du mélange de cout minimal. Ecrire le  programme linéaire correspondant à ce problème sans le résoudre. (2 points) 2. Jusqu’ à présent le fabricant produisait le mélange suivant : 50kg de crème, 3kg de jaune d’œuf   frais, 30 kg de sirop, 17 kg d’eau.  Quel est le coût de ce mélange ? (1/2 point) 3. Peut-on dresser le tableau du simplexe associé à cette solution ? Pourquoi ? (ne pas résoudre le problème)(1/2 point) Exercice 3 (4 points): Un projet peut être décomposé en sept tâches élémentaires. Dans le tableau ci- dessous, on indique pour chaque tâche qu’elle est sa durée et quelles sont les conditions de son démarrage. Tâche Conditions de démarrage Durée en jours a Début du projet 3  b Début du projet 6 c Début du projet 5 d a  et  b  terminées 6 e b , c  terminées. 4 f 3 jours après la fin de e 4 g La moitié de d est terminée. 4 1.   Tracer le graphe PERT associé à ce projet. Les tâches fictives introduites dans votre graphe PERT sont-elles indispensables ? Justifier votre réponse pour chacune. (2 points) 2.   Tracer le diagramme de GANT pour les dates au plus tard (1 point). 3.   Un problème est survenu pendant l’ exécution de la tache a. sachant que la résolution de ce  problème va durer un temps t, q u’elle sera l’ influence de ce retard sur la réalisation du projet expliquer votre réponse en fonction de t (1 point). Exercice 4 (4 points) Angèle possède 3 parapluies. Chaque jour, elle va au bureau le matin, et revient à son domicile le soir. Pour chaque trajet, elle emporte avec elle un parapluie s'il pleut, et s'il y en a au moins un sur place. Elle n'emporte pas de parapluie s'il ne pleut pas. On suppose que la probabilité qu'il pleuve au début de chaque trajet est de 1/3, et qu'elle est indépendante de la météo lors de tous les autres trajets. Soit Xn le nombre de parapluies qu'Angèle possède sur place avant de débuter le nième trajet. 1.   Montrer que {Xn}n est une chaine de Markov, et donner sa matrice de transition. (1 point) 2.   Quelle est la probabilité asymptotiquement au bout d'un grand nombre de voyages, qu'Angèle ne dispose pas de parapluie sur place au moment de partir? (2 points) 3.   Quelle est la probabilité asymptotique qu'elle se fasse mouiller bêtement, c'est-a-dire qu'elle n'ait pas de parapluie à sa disposition alors qu'il pleut dès son départ? (1 point) Exercice 5 (3 points) : Une station de service comporte une seule pompe à essence. Des voitures arrivent selon un processus de Poisson de taux 20 voitures par heure. Le temps de service suit une loi exponentielle d'espérance 2 minutes. 1. Donner la distribution stationnaire du nombre de voitures dans la station. 2. Déterminer le temps d'attente moyen avant d'être servi, et le temps de séjour total. 3. Quelle proportion des voitures doit attendre avant de pouvoir faire le plein? 4. On suppose maintenant que tout conducteur trouvant 2 voitures dans la station repart aussitôt. Donner la distribution stationnaire du nombre de voitures dans la station. Quelle est la  probabilité qu'une voiture reparte sans faire le plein?