Transcript
9.2 Series y convergencia Entender la definición de una serie infinita convergente. Usar propiedades de las series infinitas geométricas. Usar el criterio del término n-ésimo para la divergencia de una serie infinita.
• • •
Series infinitas Una aplicación importante de las sucesiones infinitas es la representación de “sumas infinitas”. Informalmente, si
{a n }
es una sucesión infinita, entonces
∞
a =a + a + a +… + a + … Series Seriesinfi infinita nitass ∑ = n
1
2
3
n
n 1
es una una serie infinita (o simplemente una serie). Los nmeros serie. En algunas series es conveniente conveniente empe!ar con el "ndice "ndice
a1 , a2 , a3
son los términos de la
n =0 (o algn otro entero). #omo
convenio de escritura, es comn representar una serie infinita simplemente como
∑a
n
. En tales
casos, el valor inicial para el "ndice de$e deducirse del conte%to esta$lecido. &ara encontrar la suma de una serie infinita, considerar la siguiente sucesión de sumas parciales. S 1= a 1
S 2 = a 1 + a2 S 3= a1+ a2 + a3 ⋮
S n= a1+ a2 + a3 + …+ an
'i esta sucesión de sumas parciales converge, se dice ue la serie converge tiene la suma indicada en la definición siguiente.
SERIES INFINITS El estudio de las series infinitas fue considerado toda una novedad en el siglo *I+. El lógico icard 'uiset, cuo apodo era el #alculador, resolvió este pro$lema. Si durante la primera mitad de un intervalo de tiempo una variación tiene cierta intensidad, durante el siguiente cuarto la intensidad es el doble, en el siguiente octavo la intensidad es el triple, y así de forma infinita, entonces, la intensidad media durante todo el intervalo será la intensidad de la variación durante el segundo subintervalo.
Esto es lo mismo ue decir ue la suma de las series infinitas 1 2 3 n + + +…+ n + … 2
4
Es .
8
2
!EFINI"I#N !E SERIE "$N%ER&ENTE ' !I%ER&ENTE ∞
/ada una serie infinita
a ∑ = n
la n(ésima suma parcial est0 dada por
n
1
S n= a1+ a2 + a3 + …+ an
'i la sucesión de sumas parciales El l"mite
S
{ Sn }
∞
converge a S entonces la serie
a ∑ = n
1
n
converge.
se llama suma de la serie. ∞
S n= a1+ a2 + a3 + …+ an + … , S=
∑= a
n
n 1
'i
{ Sn }
diverge, entonces la serie diverge.
medida ue se estudie este cap"tulo, se ver0 ue a dos preguntas $0sicas ')! !E EST)!I$ 1 medida relacionadas con series infinitas. 2Una serie converge o diverge3 'i una serie converge, 2cu0l es su suma3 Estas preguntas no siempre son f0ciles de contestar, so$re todo la segunda.
E*+,$R"I#N 4allllar ar la su suma ma de cada cada seri serie e infi infini nita ta.. E%pl E%plic icar ar su Enco En cont ntra rarr la su suma ma de un unaa se seri riee in infi fini nita ta 4a ra!onamiento.
a ¿ 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 +…
b¿
3 3 3 3 + + + +… 10 100 1000 10000
1 1 2 4
1 8
c ¿1 + + + +
d¿
1 +… 16
15 15 15 + + +… 100 10000 1000000
TE"N$,$&- La figura 5.6 muestra las primeras 76 sumas parciales de la serie infinita en el e8emplo 7a. 9$servar cómo los valores parecen tender acia la recta y =1.
!EFINI"I#N !E SERIE "$N%ER&ENTE ' !I%ER&ENTE ∞
/ada una serie infinita
a ∑ = n
la n(ésima suma parcial est0 dada por
n
1
S n= a1+ a2 + a3 + …+ an
'i la sucesión de sumas parciales El l"mite
S
{ Sn }
∞
converge a S entonces la serie
a ∑ = n
1
n
converge.
se llama suma de la serie. ∞
S n= a1+ a2 + a3 + …+ an + … , S=
∑= a
n
n 1
'i
{ Sn }
diverge, entonces la serie diverge.
medida ue se estudie este cap"tulo, se ver0 ue a dos preguntas $0sicas ')! !E EST)!I$ 1 medida relacionadas con series infinitas. 2Una serie converge o diverge3 'i una serie converge, 2cu0l es su suma3 Estas preguntas no siempre son f0ciles de contestar, so$re todo la segunda.
E*+,$R"I#N 4allllar ar la su suma ma de cada cada seri serie e infi infini nita ta.. E%pl E%plic icar ar su Enco En cont ntra rarr la su suma ma de un unaa se seri riee in infi fini nita ta 4a ra!onamiento.
a ¿ 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 +…
b¿
3 3 3 3 + + + +… 10 100 1000 10000
1 1 2 4
1 8
c ¿1 + + + +
d¿
1 +… 16
15 15 15 + + +… 100 10000 1000000
TE"N$,$&- La figura 5.6 muestra las primeras 76 sumas parciales de la serie infinita en el e8emplo 7a. 9$servar cómo los valores parecen tender acia la recta y =1.
Figura 9. EJEMPLO 1 Series convergente y divergente a) La serie ∞
1 1 1 1 1 = + + + +… ∑ 2 4 8 16 = 2 n 1
n
tiene las sumas parciales siguientes. S 1=
1 2
1 2
S 2= +
1 4
1 1 2 4
1 8
1
1
1
1
2
4
8
2
S 3= + + =
7 8
⋮
S n= + + + … +
n
#omo
lim n →∞
2
−1 n
2
= n
n
2
−1 n
2
=1
se sigue ue la serie converge su suma es 7.
N$T &uede determinar geométricamente las sumas parciales de la serie del e8emplo 7 a usando la figura 5.:.
Figura 9./ $) La n-ésima suma parcial de la serie ∞
1 1 1 1 1 1 1 − =( 1− )+( − )+ ( − )+ … ∑ ( ) n n +1 2 2 3 3 4 = n 1
est0 dada por S n=1 −
1
n+ 1
#omo el l"mite de
Sn
es 7, la serie converge su suma es 7.
c) La serie ∞
1= 1+ 1 + 1 + 1 + … ∑ = n 1
S n= n
diverge porue
la sucesión de sumas parciales divergen.
La serie en el e8emplo 7 b es una serie telescópica de la forma Serie telescó telescópica pica.. ( b −b ) + ( b −b ) + ( b − b ) + ( b −b )+ … Serie 1
2
2
;ótese ue
3
b2
3
4
4
5
es cancelada por el segundo término,
b3
es cancelada por el tercer término,
as" sucesivamente. #omo la suma parcial n-ésima de esta serie es S n = b 1 −b n + 1
se sigue ue una serie telescópica converger0 si sólo n→∞.
Es m0s, si la serie converge, su suma es
bn
si tiende a un nmero finito cuando
S =b 1− lim bn +1 . n→ ∞
EJEMPLO 2 E0presar una serie en forma telescópica Encuentre la suma de la serie ∞
2 . ∑ = 4 n −1 2
n 1
Solución Usando fracciones parciales, puede escri$irse an =
2 2
4n
2
=
− 1 ( 2 n−1 ) ( 2 n + 1 )
=
1 2 n −1
−
1 2 n +1
.
En esta forma telescópica, puede verse ue la n-ésima suma parcial es S n=
( )( ) ( 1 1 − 1 3
+
1 1 − 3 5
+ …+
1 2 n −1
−
1 2 n +1
)
= 1−
1 2 n +1
1s" pues, la serie converge su suma es 7. Es decir, decir, ∞
2 1 = lim S = lim (1− =1. ∑ ) 2 1 n + = 4 n −1 2
n 1
n→ ∞
n
n→ ∞
Series geométricas La serie dada en el e8emplo 7 a es una serie geométrica. En general, la serie dada por ∞
a r =a + ar + a r + … + a r + … , a ≠ 0 Seriegeomét Serie geométrica rica.. ∑ = n
2
n
n 1
es una serie geométrica de ra!ón r .
E*+,$R"I#N En “&roof . ?lein e Irl #. =ivens, los autores presentan el diagrama siguiente. E%plicar por ué la ltima afirmación $a8o el diagrama es v0lida. 2#ómo est0 relacionado este resultado con el teorema 5.:3
∆ PQR ∆ TPS 1 +r +r
2
3
+r +…=
1 1 −r
Ejercicio tomado de “Proof Without Words” de Benjamin G. Klein e Irl C. Bivens, Mathematics Magazine , octubre de !"", con #ermiso de los autores.
TE$RE1 9./ "$N%ER&EN"I !E )N SERIE &E$1TRI" Una serie geométrica de ra!ón
r
diverge si
|r| 1. 'i
0 <|r|< 1,
entonces la serie converge a
la suma ∞
a ar = , 0 <|r|< 1. ∑ 1 −r = n
n 0
!E1$STR"I#N Es f0cil ver ue la serie diverge si r =! 1. 'i r ≠! 1 entonces n −1 2 S n= a + ar + a r + … + a r . @ultiplicando por r se o$tiene 2
3
n
r S n=ar + a r + a r + … + a r .
estando la segunda ecuación de la primera resulta S n (1 −r )= a− a r
n
la n-ésima suma parcial es
S n−r Sn =a− a r
n
&or consiguiente,
S n=
a 1 −r
( 1−r n ) .
0 <|r|< 1,
'i
lim S n= lim
n →∞
n→∞
n se sigue ue r → 0 cuando n → ∞ se o$tiene
[− a
1 r
]
( 1−r n ) =
a 1−r
[
lim ( 1 −r
n
n→ ∞
]
)=
a 1−r
a
lo cual significa ue la serie es convergente ue su suma es demostración de ue la serie diverge cuando
1 −r
'e de8a al lector la
|r|> 1 .
EJEMPLO 3 Series geométricas convergentes y divergentes a) La serie geométrica ∞
∑ = n 0
∞
3
∑
r=
tiene ra!ón S=
()
n
1 = 3 n 2 n= 0 2
a 1−r
=
( ) ( )+
1 =3 ( 1 ) + 3 2
1 2 con
3 1−( 1 / 2)
1 +3 2
2
…
a =3 #omo
0 <|r|< 1,
la serie converge su suma es
=6
$) La serie geométrica ∞
∑ ( = n 0
3 2
)= + n
1
3 9 27 + + +… 2 4 8
tiene ra!ón de r =3 / 2 . #omo
|r| 1, la serie diverge.
TE"N$,$&- Usar una erramienta de graficación o escri$iendo un programa de computadora para calcular la suma de los primeros A términos de la sucesión en el e8emplo B a. 'e de$e o$tener una suma de apro%imadamente 6.55555C. La fórmula para la suma de una serie geométrica puede usarse para escri$ir un decimal periódico como el cociente de dos enteros, como muestra el pró%imo e8emplo.
EJEMPLO 4 Series geométricas para un decimal periódico ´ 0. 08 Usar una serie geométrica para e%presar
Solución El decimal periódico se puede escri$ir 0.080808 …=
8 10
2
+
8 10
4
+
8 10
6
+
8 10
+…
6
como cociente de dos enteros.
∞
¿∑
n= 0
( )( ) 8
n
1
2
.
2
10
10
a=
En esta serie, se tiene
8 10
2
r=
1 10
2
. 1s" ue,
8 0.080808 …=
a 1− r
10
=
1−
2
=
1
8 . 99
2
10
&ro$ar dividiendo D entre 55 en una erramienta de graficación para ver ue resulta
´ . 0. 08
La convergencia de una serie no es afectada por la eliminación de un nmero finito de términos iniciales de la serie. &or e8emplo, las series geométricas ∞
∑ ( = n 4
∞
) ∑( ) n
1 1 y 2 n =0 2
n
a
am$as convergen. 1dem0s, como la suma de la segunda serie es
1 −r
=2
se puede concluir ue
la suma de la primera serie es
[( ) ( ) ( ) ( ) ]
S =2 −
0
1 2
+
1 2
1
+
1 2
2
+
1 2
3
=2−
15 1 = 8 8
')! !E EST)!I$ 1l estudiar este cap"tulo es importante distinguir entre una serie infinita una sucesión. Una sucesión es una colección ordenada de nmeros a1 , a2 , a3 , … , a n , …
mientras ue una serie es una suma infinita de los términos de una sucesión a1 + a 2+ a3 + … + a n+ …
Las propiedades siguientes son consecuencias directas de las propiedades correspondientes de l"mites de sucesiones.
TE$RE1 9.3 +R$+IE!!ES !E SERIES INFINITS
∑a
'ea
∑ b =# n
n
∑b
n
una serie convergente sea A, B c nmeros reales. 'i
, entonces la serie siguiente converge a las sumas indicadas.
∑ a = " n
∞
1.
∑= c a =c" n
n 1
∞
2.
∑= ( a +b )= " + # n
n
n 1
∞
3.
∑= ( a −b ) = " − # n
n
n 1
"riterio del término n(ésimo para la divergencia El siguiente teorema esta$lece ue si una serie converge, el l"mite de su término n-ésimo de$e ser A.
TE$RE1 9.4 ,-1ITE !E, TR1IN$ N (SI1$ !E )N SERIE "$N%ER&ENTE lim an= 0. ∑ an 'i
converge, entonces
n →∞
!E1$STR"I#N 'uponga ue ∞
a = lim S = $ . ∑ = n
n 1
n
n→ ∞
Entonces, como
S n= S n+ 1 + an
lim S n= lim Sn−1= $
n →∞
n→∞
se sigue ue $= lim Sn= lim ( S n−1+ an ) n→ ∞
n→ ∞
¿ lim S n−1+ lim an n →∞
n→ ∞
¿ $+ lim an n →∞
lo cual implica ue converge a
0.
El contrarrec"proco del teorema 5.D proporciona un criterio til para demostrar la divergencia. Este criterio del término n(ésimo para la divergencia esta$lece ue si el l"mite del término n-ésimo de una serie no converge a A, la serie de$e divergir.
N$T 1segurarse de ver ue el rec"proco del teorema 5.D generalmente no es verdad. Es decir, si la sucesión
{a n }
converge a 0 , entonces la serie puede converger o puede divergir.
TE$RE1 9.9 "RITERI$ !E, TR1IN$ N (SI1$ +R , !I%ER&EN"I
lim
'i
n →∞
an ≠ 0
entonces
∑a
n
diverge.
EJEMPLO 5 plicación del criterio del término n(ésimo para la divergencia ∞
2 ∑ =
n
a) En la serie
lim 2
n
n 0
se tiene
=∞ .
n →∞
1s" pues, el l"mite del término n-ésimo no es
0
, la serie diverge.
0,
la serie diverge.
∞
$) En la serie lim n % n→ ∞
2 n %+1
n% ∑ = 2 n% + 1 n 0
se tiene
1 2
= .
1s" pues, el l"mite del término n-ésimo no es ∞
c) En la serie
1 ∑ = n n 0
se tiene
lim 1 n→ ∞
n
=0 .
#omo el l"mite del término n-ésimo es
0,
el criterio del término n-ésimo para la divergencia no es
aplica$le no se puede o$tener alguna conclusión so$re convergencia o divergencia. (En la pró%ima sección se ver0 ue esta serie particular diverge.)
')! !E EST)!I$ La serie del e8emplo 6 c 8ugar0 un papel importante en este cap"tulo. ∞
1 1 1 1 =1 + + + + … ∑ 2 3 4 = n n 0
'e ver0 ue esta serie diverge aunue el término n-ésimo tienda a A cuando n tiende a
∞ .
EJEMPLO 6 +ro5lema de la pelota 6ue 5ota Una pelota se de8a caer de una altura de : pies empie!a a $otar, como se muestra en la figura 5.. La altura de cada salto es de tres cuartos la altura del salto anterior. Encontrar la distancia vertical total recorrida por la pelota.
La altura de cada salto es tres cuartos la altura del salto anterior
Figura 9.3 Solución #uando la pelota toca por primera ve! el suelo, a recorrido una distancia de &1=6 pies. &ara los saltos su$secuentes, sea & 2
& 3
&i
la distancia recorrida al su$ir $a8ar. &or e8emplo,
son como sigue. & 2=6
() () () 3 4
+6
3 4
=12
3 4
( )( ) ( )( ) ( )
3 &2=6 4
3 4
3 +6 4
3 4
3 = 12 4
2
#ontinuando este proceso, puede determinarse ue la distancia total vertical recorrida es
( ) ( ) ( )+
3 & =6 + 12 4
∞
¿ 6 + 12 ∑
n =0
∞
¿ 6 +∑ n= 0
¿ 6 +8
3 + 12 4
n +1
() 3 4
() 3
n
4
( ) 1
1−
3 4
2
3 + 12 4
3
…
¿ 6 + 9 (4 ) ¿ 42 pies
9.2 E7ercicios En los e7ercicios 8 a / encontrar los primeros cinco términos de la sucesión de las sumas parciales S 1 , S2 , S 3 , S 4 , y S 5 . 1.1 +
1 1 1 1 + + + +… 4 9 16 25
'oluciónF
2.
1 2 3 4 5 + + + + +… 2 '3 3 ' 4 4 '5 5 '6 6 '7
'oluciónF
3.3 −
9 27 81 243 + − + +… 2 4 8 16
'oluciónF
4.
1 1 1 1 1 1 + + + + + … 1 3 5 7 9 11
'oluciónF
∞
5.
∑= 2 1− n 1
n 1
'oluciónF
∞
6.
∑= n
1
( −1 ) n + n%
'oluciónF
1
En los e7ercicios 3 y 4 determinar si {a n } y 7. an=
∑a
n
son convergentes.
n+1 n
'oluciónF
()
4 8. an=3 5
n
'oluciónF
En los e7ercicios 9 a 84 verificar 6ue la serie infinita diverge. ∞
9.
∑= ( n 0
7 6
)
n
'oluciónF
∑= 5 ( 10 ) ∞
10.
n
11
n
0
'oluciónF ∞
∑= 1000 ( 1.055 )
11.
n 0
'oluciónF
n
∞
12.
∑= 2 (−1.03 ) n 0
'oluciónF
∞
13.
∑= n +n 1 n 1
'oluciónF
∞
14.
∑= 2 nn+3 n 1
'oluciónF
∞
15.
n
2
∑= n +1 2
n 1
'oluciónF
n
∞
16.
∑= n 1
n 2 √ n +1
'oluciónF
∞
17.
∑= n 1
n
2
+1
n+ 1
2
'oluciónF
∞
18.
∑= n2 % n 1
n
'oluciónF
En los e7ercicios 89 a 2: asignar la serie a la gr;fica de su sucesión de sumas parciales. <,as gr;ficas se eti6uetan a= b= c = d = e= y f =.> )sar la gr;fica para estimar la suma de la serie. "onfirmar la respuesta anal?ticamente.
∑= 4 ( 4 ) ∞
19.
9 1
0
n
'oluciónF
∑= ( 3 ) ∞
20.
n
2
0
'oluciónF
n
n
∞
21.
∑= n 0
5 4
( ) −1
n
4
'oluciónF
∞
22.
∑= 0
n
( )
17
−8
3
9
n
'oluciónF
∞
23.
∑= n 0
( )
17 3
'oluciónF
−1 2
n
∞
24.
∑= ( n 0
2 5
)
n
'oluciónF
En los e7ercicios 2 a @A verificar 6ue la serie infinita converge.
∑= ( 5 ) ∞
25.
n
2
n
0
'oluciónF ∞
26.
∑= 2 ( 2 ) n 0
'oluciónF
−1
n
∞
27.
∑= ( 0.9 ) =1 +0.9 + 0.81+ 0.729 +… n
n 0
'oluciónF
∞
28.
∑= (−0.6 ) =1− 0.6 +0.36 −0.216 +… n
n 0
'oluciónF
∞
29.
∑= n (n1+1 ) ((sar fracciones parciales ) n 1
'oluciónF
∞
30.
∑= n ( n1+2 ) ((sar fracciones parciales ) n 1
'oluciónF
Análisis numrico! "ráfico # anal$tico En los e7ercicios @8 a @/ a= Ballar la suma de la serie b= usar una Berramienta de graficación para encontrar la suma parcial indicada y completar la ta5la c = usar una Berramienta de graficación y representar gr;ficamente los primeros 8A términos de la sucesión de sumas parciales y una recta BoriContal 6ue represente la suma y d = e0plicar la relación entre las magnitudes de los términos de la serie y la tasa a la 6ue la sucesión de sumas parciales se apro0ima a la suma de la serie.
∞
31.
∑= n ( n6+3 ) n 1
'oluciónF
∞
32.
∑= n ( n6+4 ) n 1
'oluciónF
∞
33.
∑= 2 ( 0.9 ) − n 1
'oluciónF
n 1
∞
34.
∑= 3 ( 0.85 ) −
n 1
n 1
'oluciónF
∞
35.
∑= 10 ( 0.25 ) −
n 1
n 1
'oluciónF
∞
36.
∑= n 1
5
n −1
( )
'oluciónF
−1 3
En los e7ercicios @3 a 2 encontrar la suma de las series convergentes. ∞
37.
∑= ( n 0
1 2
)
n
'oluciónF
∑= 6 ( 5 ) ∞
38.
n
n
4
0
'oluciónF
∞
39.
∑= ( 3 )
n
−1
n 0
'oluciónF
∞
40.
3 ∑ ( = n 0
)
−6 7
'oluciónF ∞
41.
1 ∑ = n −1 2
n 2
'oluciónF
n
∞
42.
n ∑ = n (n +2 ) n 1
'oluciónF
∞
43.
8 ∑ = ( n + 1 )( n + 2 ) n 1
'oluciónF
∞
44.
1 ∑ = ( 2 n + 1 )( 2 n+ 3 ) n 1
'oluciónF
45.1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + …
'oluciónF
46.8 + 6 +
9 27 + +… 2 8
'oluciónF
47.3−1 +
'oluciónF
1 1 − +… 3 9
48.4 −2 + 1 −
1 +… 2
'oluciónF
∞
49.
∑ = n 0
(
1 n
2
−
1 n
3
)
'oluciónF
∞
50.
∑= [ ( 0.7 ) +( 0.9 ) ] n
n
n 1
'oluciónF
∞
51.
∑= ( sen 1 )
n
n 1
'oluciónF
∞
52.
∑= 9 n +13 n −2 2
n 2
'oluciónF
En los e7ercicios @ a 4 a= e0presar el decimal periódico como una serie geométrica y b= e0presar su suma como el cociente de dos enteros. 53. 0. ´4
'oluciónF
´ 54. 0.9 'oluciónF
´ 55.0. 81 'oluciónF
´ 56.0. 01 'oluciónF
´ 57. 0.0 75 'oluciónF
´ 58. 0.215 'oluciónF
En los e7ercicios 9 a 3/ determinar la convergencia o divergencia de la serie. ∞
59.
∑= (1.075 ) n 0
'oluciónF
∞
n
3 60. n= 0 1000
∑
'oluciónF
n
∞
61.
∑= 10n +n10 +1 n 1
'oluciónF
∞
62.
∑= 34 nn−+11 n 1
'oluciónF
∞
63.
∑= ( 1n − n 1+2 ) n 1
'oluciónF
∑= ( n 1+1 − n 1+2 ) ∞
64.
1
n
'oluciónF ∞
65.
∑= n (n1+3 ) n 1
'oluciónF
∞
66.
∑= 2 n (1n+ 1) n 1
'oluciónF ∞
67.
∑= 32nn−+11 n 1
'oluciónF
∞
68.
3
∑= n
n 3
n 1
'oluciónF
∞
69.
∑= 24 n 0
n
'oluciónF
∞
70.
∑= 53 n 0
n
'oluciónF
∞
71.
∑= lnnn n 2
'oluciónF
∞
72.
∑= ln 1n n 0
'oluciónF
∑= ( ∞
73.
n
1+
1
'oluciónF
)
) n
n
∞
74.
∑= e−
n
n 1
'oluciónF
∞
75.
∑= arctan n n 1
'oluciónF
∞
76.
∑= ln ( n +n 1 ) n 1
'oluciónF
!esarrollo de conceptos 33. Enunciar las definiciones de series convergente divergente. 'oluciónF
34. /escri$ir la diferencia entre 'oluciónF
lim n →∞
an=5
∞
a =5 . ∑ = n
n 1
39. /efinir una serie geométrica, enuncie cu0ndo converge dar la fórmula para la suma de una serie geométrica convergente. 'oluciónF
!esarrollo de conceptos Dcontinuaci%n= 4A. /é el criterio del término n-ésimo para la divergencia. 'oluciónF
48. E%plicar todas las diferencias entre las series siguientes. ∞
a¿
∞
a b¿∑ a ∑ = = n
n 1
) 1
∞
)
c¿
a ∑ =
)
n 1
'oluciónF
42. a) 'e elimina un nmero finito de términos de una serie divergente. 2La nueva serie an diverge3 E%plicar el ra!onamiento. b) 'e agrega un nmero finito de términos a una serie convergente. 2La nueva serie an converge3
E%plicar el ra!onamiento. 'oluciónF
En los e7ercicios 4@ a 9A encontrar todos los valores de & para los cuales las series convergen. +ara estos valores de & escri5ir la suma de la serie como una función de & . ∞
83.
*
n
∑= 2 n 1
n
'oluciónF
∞
84.
∑= ( 3 * )
n
n 1
'oluciónF
∞
85.
∑= ( * −1 ) n 1
'oluciónF
n
∑= 4 ( ∞
86.
n
* −3 4
0
)
'oluciónF
∞
87.
∑= (−1 ) * n
n
n 0
'oluciónF
∞
88.
∑= (−1 ) * n
n 0
'oluciónF
∑= ( * ) ∞
89.
n
1
0
'oluciónF
n
2n
n
∞
90.
∑=
n 1
(+) *
*
2
n
2
4
'oluciónF
En los e7ercicios 98 y 92 encontrar el valor de indicada. ∞
91.
c
para el cual la serie iguala a la suma
∑= ( 1+ c )− =2 n
n 2
'oluciónF ∞
92.
∑= e
cn
=5
n 0
'oluciónF
9@. Para 'ensar #onsiderar la fórmula 1 1 − *
=1 + * + * 2 + *3 + …
/ados
* =−1
* =2
2se puede concluir ue alguna de las afirmaciones siguientes son
verdaderas3 E%plicar el ra!onamiento.
1 2
a ¿ =1 −1 + 1−1 + …
b ¿−1=1 + 2 + 4 + 8 + …
'oluciónF
+ara discusión 9:. Para 'ensar 2'on verdaderos los siguientes enunciados3 2&or ué s" por ué no3 1
a) Ga ue
4
n
se apro%ima a
0
cuando
n
se apro%ima al
∞ ,
∞
1 = 0. ∑ = n 4
n 1
lim 1 n→ ∞
b) Ga ue
∞
=0 la serie
4 n √
∑ = n 1
1 4
√ n
converge
'oluciónF
En los e7ercicios 9 y 9/ a= Ballar la raCón comn a las series geométricas b= escri5ir la función 6ue da la suma de la serie y c = usar una Berramienta de graficación para representar la función y las sumas parciales y Gué se puede notarH 95.1+ * + *
2
+ * 3+ …
'oluciónF
96.1−
* * 2
'oluciónF
+
2
4
−
*
3
8
+…
En los e7ercicios 93 y 94 usar una Berramienta de graficación para representar la función. Identificar la as?ntota BoriContal de la gr;fica y determinar su relación con la suma de la serie. Función 97. f ( * )=3
Series
[
1−( 0.5 )
] ∑ ( )
[
1 −( 0.8 )
*
1 −0.5
∞
1 3 2 n =0
n
'oluciónF
98. f ( * )=2
'oluciónF
]∑ ( ) *
1− 0.8
∞
4 2 5 n =0
n
(edacci%n En los e7ercicios 99 y 8AA usar una Berramienta de graficación para Ballar el primer término menor 6ue A.AAA8 en cada una de las series convergentes. Notar 6ue las respuestas son muy diferentes. E0plicar cómo afecta esto a la raCón en 6ue converge la serie.
∑= n (n +1 ) , ∑= ( 8 ) ∞
99.
n
∞
1
n
1
1
n
1
'oluciónF
∞
100.
1
∞
( 0.01 ) ∑= 2 , ∑ = n 1
n
n
n 1
'oluciónF
8A8. )omercio Un fa$ricante de 8uegos electrónicos ue produce un nuevo producto estima ue las ventas anuales ser0n D AAA unidades. #ada aHo 6 de las unidades ue se an vendido de8an de funcionar. 1s" pues, D AAA unidades estar0n en uso después de un aHo,
[ 8000+ 0.95 (8000 )]
unidades estar0n en uso después de aHos, as" sucesivamente. 2#u0ntas unidades estar0n en uso después de n aHos3 'oluciónF
8A2. *e'reciaci%n Una compaH"a compra una m0uina por JC6 AAA, la cual se deprecia a un ritmo o velocidad de BA por aHo. Encontrar una fórmula para el valor de la m0uina después de n aHos. 2#u0l es su valor después de 6 aHos3 'oluciónF
8A@. Efecto multi'licador El ingreso anual por turismo en una ciudad es de JAA millones. 1pro%imadamente 6 de ese ingreso se reinvierte en la ciudad, de esa cantidad apro%imadamente 6 se reinvierte en la misma ciudad, as" sucesivamente. Escri$ir la serie geométrica ue da la cantidad total de gasto generado por los JAA millones encontrar la suma de la serie. 'oluciónF
8A:. Efecto del multi'licador epetir el e8ercicio 7AB si el porcenta8e del ingreso ue es gastado de nuevo en la ciudad decrece a :A. 'oluciónF
8A. *istancia Una pelota se de8a caer de una altura de 7: pies. #ada ve! ue cae desde h pies, re$ota A.D7h pies. Encontrar la distancia total recorrida por la pelota. 'oluciónF
8A/. +iem'o La pelota en el e8ercicio 7A6 tarda los tiempos siguientes en cada ca"da. 2
s 1=−16 t + 16, s 1=0 sit =1 2
s 2=−16 t + 16 ( 0.81) , s 2=0 sit =0.9 2
2
2
2
3
3
2
n−1
s 3=−16 t + 16 ( 0.81) , s 3=0 sit =( 0.9 )
s 4 =−16 t +16 ( 0.81 ) , s 4=0 sit =( 0.9 ) ⋮⋮
s n=−16 t + 16 ( 0.81 )
, s 2=0 sit =( 0.9 )
n−1
Empe!ando con la pelota toma la misma cantidad de tiempo para $otar acia arri$a ue para caer, de tal modo ue el tiempo total ue tarda asta uedar en reposo est0 dado por ∞
t =1 + 2
∑= ( 0.9 )
n
n 1
Encontrar este tiempo total. 'oluciónF
Probabilidad En los e7ercicios 8A3 y 8A4 la varia5le aleatoria n representa el nmero de unidades de un producto vendidas por d?a en una tienda. ,a distri5ución de pro5a5ilidad de n est; dada por "alcular la pro5a5ilidad de 6ue se vendan dos unidades en un d?a determinado y demostrar 6ue P ( 0 ) + P ( 1 ) + P ( 3 ) +… =1. 1 107. P ( n ) =
()
1 2 2
n
'oluciónF
()
1 2 108. P ( n ) = 3 3
'oluciónF
n
8A9. Probabilidad Una moneda es lan!ada repetidamente. La pro$a$ilidad de ue se o$tenga la primera cara en el lan!amiento n-ésimo est0 dada por
P ( n )=
() 1 2
n
, donde n 1.
a) @ostrar ue ∞
∑ ( = n 1
1 2
)= n
1.
b) El nmero esperado de lan!amientos reueridas asta ue la primera cara ocurra en el
e%perimento est0 dado por n( ) ∑ 2 = ∞
n
1
n
1
2Es geométrica esta serie3 c ) Usar un sistema alge$raico por computadora para encontrar la suma en el apartado b). 'oluciónF
88A. Probabilidad En un e%perimento, tres personas lan!an una moneda, una de ellas cae cara. /eterminar, para cada persona, la pro$a$ilidad ue él o ella lance la primera cara. +erificar ue la suma de las tres pro$a$ilidades es 7. 'oluciónF
888. ,rea Los lados de un cuadrado son de 7: pulgadas de longitud. Un nuevo cuadrado se forma uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado original, dos de los tri0ngulos fuera del segundo cuadrado est0n som$reados (ver la figura). /eterminar el 0rea de las regiones som$readas a) si este proceso se repite cinco veces m0s b) si este patrón de som$reado se repite infinitamente.
Figura para 888 'oluciónF
882. Lon"itud Un tri0ngulo rect0ngulo se muestra arri$a, donde | + |= -
+ = . 'egmentos
∠
de recta son continuamente di$u8ados perpendiculares al tri0ngulo, como se muestra en la figura. y + * y + * y + … en términos de a) 4allar la longitud total de los segmentos perpendiculares | 1| | 1 1| | 1 2| -
.
b) 'i - =1
= / / 6 encontrar la longitud total de los segmentos perpendiculares.
Figura para 882 'oluciónF
En los e7ercicios 88@ a 88/ usar la fórmula para la n(ésima suma parcial de una serie geométrica n− 1 n a ( 1−r ) i ar = ∑ 1 −r i =0 'oluciónF
88@. -alor 'resente 1l ganador de J AAA AAA de una loter"a se le pagar0 J7AA AAA por aHo durante A aHos. El dinero gana : de interés por aHo. El valor presente de las ganancias es 20
( )
1 100000 1.06 n= 1
∑
n
#alcular el valor presente e interpretar su significado. 'oluciónF
88:. )o'o esfrico Un copo esférico (mostrado a$a8o) es un fractal generado por computadora creado por Eric 4aines. El radio de la esfera grande es 7. 1 la esfera grande se unen nueve esferas de radio
1 3
1
. 1 cada una de éstas se unen nueve esferas de radio
9
. Este proceso es
infinitamente continuo. /emostrar ue el copo esférico tiene una superficie de 0rea infinita.
'oluciónF
88. .alario Una persona va a tra$a8ar en una compaH"a ue paga A.A7 de dólar el primer d"a, A.A el segundo, A.AC el tercero, as" sucesivamente. 'i el salario se mantiene as", do$l0ndose cada d"a, 2cu0nto a$r0 co$rado en total por tra$a8ar a) 5 d"as, b) BA d"as c ) B7 d"as3 'oluciónF
88/. Anualidades 1l reci$ir a fin de mes su paga, un empleado invierte P dólares en un plan de pensiones. Los depósitos se acen cada mes durante t aHos la cuenta gana interés a un ritmo o tasa porcentual anual r . 'i el interés es compuesto mensualmente, la cantidad " en la cuenta al final de t aHos es r r + … + P 1 + " = P + P 1+
( )
12 t −1
( )
12
12
= P
( )[( + ) − ] 12
r
1
r
12 t
12
'i el interés es compuesto continuo, la cantidad " " = P + P e
'oluciónF
r / 12
2 r / 12
+ P e
+ P e
( 12 t −1) r /12
rt
=
P ( e −1 ) e
r /12
−1
.
1
en la cuenta después de
t aHos es
Anualidades En los e7ercicios 883 a 82A considerar 6ue se efectan depósitos mensuales de P dólares en una cuenta de aBorro a una tasa de interés anual r . )sar los resultados del e7ercicio 88/ para encontrar el 5alance A después de t aos si el interés se compone a= mensualmente y b= continuamente. 117. P= 0 45, r = 3 , t =20 a1os
'oluciónF
118. P= 0 75, r =5.5 , t =25 a1os
'oluciónF
119. P= 0 100, r =4 , t =35 a1os
'oluciónF
120. P =0 30, r =6 , t =50 a1os
'oluciónF
828. .alario Una persona acepta un tra$a8o cuo salario es de 6A AAA dólares para el primer aHo. /urante los siguientes B5 aHos reci$e C de aumento cada aHo. 2#u0l ser"a su compensación total en el periodo de CA aHos3 'oluciónF
822. .alario epetir el e8ercicio 77 si el aumento ue reci$e la persona cada aHo es de C.6. #omparar los resultados. 'oluciónF
/-erdadero o falso0 En los e7ercicios 82@ a 824 determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa e0plicar por 6ué o dar un e7emplo 6ue lo demuestre. 82@. 'i
lim an= 0,
n →∞
∞
a ∑ =
entonces
n 1
n
converge.
'oluciónF
∞
82:. 'i
a = $ ∑ = n
n 1
∞
entonces
a = $ + a . ∑ = n
n
0
'oluciónF
∞
82. 'i |r|< 1 entonces
a ar = . ∑ 1 r − = n
n 1
'oluciónF
∞
82/. La serie 'oluciónF
n ∑ = 1000 ( n + 1 ) n 1
diverge.
0
823.
0.75= 0.74999999 … .
'oluciónF
824. #ada decimal con un con8unto de d"gitos periódico es un nmero racional. 'oluciónF ∞
829. @ostrar ue la serie
a ∑ = n 1
n
puede e%presarse en forma telescópica
∞
∑ [ ( c − S − )−( c − S ) ]=¿ = n 1
n
n 1
/onde
S 0=0
Sn
es la n-ésima suma parcial.
'oluciónF
8@A. 'ea ∑ a n una serie convergente, sea R 2 = a 2 + 1 + a 2 +2+ …
el resto de la serie después de los N primeros términos. /emostrar ue
lim 2 → ∞
R 2 =0.
'oluciónF
∑a
8@8. Encontrar dos series divergentes
n
∑b
n
tales ue
∑ (a +b ) n
n
conver8a.
'oluciónF
8@2. /adas dos series infinitas demostrar ue
∑ (a + b ) n
∑a
n
∑b
n
tales ue
∑a
n
converge
∑b
n
diverge,
diverge.
n
'oluciónF
8@@. 'uponer ue
∑ca
n
'oluciónF
diverge.
∑a
n
diverge
c
es una constante distinta de cero. /emostrar ue
∞
a ∑ =
8@:. 'i
∞
converge, donde
n
n 1
an
es distinta de cero, demostrar ue
1/a ∑ = n 1
n
diverge.
'oluciónF
8@. La sucesión de Ki$onacci se define recurrentemente mediante an +2=a n+ an+1 , donde a1=1 a = 1. 2 a) @ostrar ue 1
an+1 an +3
=
1
an+1 an +2
b) @ostrar ue ∞
∑ = a n 0
1
n +1
a n+ 3
'oluciónF
=1.
−
1
a n+ 2 an+ 3
8@/. Encontrar los valores de x para la cual la serie infinita 2 3 4 5 6 1 + 2 * + * + 2 * + * + 2 * + * +… converge. 2#u0l es la suma cuando la serie converge3 'oluciónF
8@3. /emostrar ue para 1 1 1 1 + 2 + 3 + …= , para|r|> 1 r r r r −1 'oluciónF
8@4. Encontrar la suma de la serie ∞
1 ∑ = n ( n + 1)( n + 2) n 1
Sugerencia Encontrar las constantes A, B ! tales ue " # 3 1 . = + + n ( n + 1 )( n + 2 ) n n + 1 n + 2
'oluciónF
8@9. a) El integrando de cada integral definida es una diferencia de dos funciones. ra!ar la gr0fica de cada función som$rear la región cua 0rea esté representada por la integral. 1
1
1
∫ ( 1− * ) d*∫ ( * − * ) d* ∫ ( * − * ) d* 2
0
0
2
3
0
b) Encontrar el 0rea de cada región en el apartado a). 1
∫ ( * − − * ) d* n 1
c ) 'ea Evaluar
0
n
2Mué se puede o$servar3
'oluciónF
8:A. (edacci%n La figura de a$a8o representa una manera informal de demostrar ue ∞
1 <2 ∑ = n 2
n 1
E%plicar cómo la figura implica esta conclusión.
PA(A MAO( NO(MA)N &ara m0s información so$re este e8ercicio, ver el art"culo “#onvergence Nit &ictures” de &. O. ippon en American "athematical "onthly. 'oluciónF
8:8. (edacci%n Leer el art"culo “e E%ponential-/eca LaN 1pplied to @edical /osages” de >erald @. 1rmstrong #alvin &. @idgle en "athematics #eacher . /espués escri$ir un p0rrafo so$re cómo una sucesión geométrica puede usarse para encontrar la cantidad total de una droga ue permanece en el sistema de un paciente después de ue se le an administrado n dosis iguales (en iguales intervalos de tiempo). 'oluciónF
+reparación del e0amen +utman 8:2. E%presar 3 )
6
(¿ ¿ ) + 1 −2) +1 )( 3) − 2) ) ∞
¿ ∑ = ) 1
como un nmero racional. 'oluciónF
8:@. 'ea f ( n ) la suma de los primeros n términos de la sucesión
0,1,1,2,2,3,3,4, . . . ,
donde el
término n-ésimo est0 dado por n , sines par 2 an = n −1 ,sinesimpar
{
2
@ostrar ue si *
y
son enteros positivos * > y , entonces *y = f ( * + y ) −f ( * − y ) .
Este pro$lema fue preparado por el #ommittee on te &utnam &ri!e #ompetition. P e @atematical 1ssociation of 1merica. odos los derecos reservados. 'oluciónF
+R$'E"T$ !E TRJK$ ,a mesa 6ue desaparece El procedimiento siguiente muestra cómo acer desaparecer una mesa Quitando sólo la mitad de éstaR a) La mesa original tiene una longitud
1
b) Eliminar
menor de
c ) Eliminar
4
de la mesa centr0ndose en el punto medio. #ada parte restante tiene una longitud
1 $ . 2
1 8 de la mesa tomando secciones de
1 $ de longitud de la parte central de cada 16
una de las dos pie!as restantes. 1ora, usted a eliminado tiene una longitud menor de
d ) Eliminar
1 16
1 1 + 4 8 de la mesa. #ada pie!a restante
1 $ . 4
de la mesa tomando secciones de longitud
1 $ de las partes centrales de cada 64
uno de los cuatro fragmentos restantes. 1ora, usted a eliminado 1
tro!o restante tiene una longitud menor de
8
1 1 1 + + 4 8 16
de la mesa. #ada
$ .
#ontinuando este proceso 2ocasionar0 ue desapare!ca la mesa, aunue se aa eliminado sólo la mitad3 2&or ué3
