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TALLER VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS, DISTRIBUCION NORMAL ESTADISTICA INFERENCIAL 1. Explique el significado del siguiente enunciado: “No existe sólo una distribución de probabilidad normal, sino una ‘familia’”. 2. Enumere las características más importantes de una distribución de probabilidad normal. 3. La media de una distribución de probabilidad normal es de 500; la desviación estándar es de 10. a. ¿Entre qué par de valores se localiza alrededor de 68% de las observaciones? b. ¿Entre qué par de valores se localiza alrededor de 95% de las observaciones? c. ¿Entre qué par de valores se localiza casi la totalidad de las observaciones? 4. La media de una distribución de probabilidad normal es de 60; la desviación estándar es de 5. a. ¿Alrededor de qué porcentaje de las observaciones se encuentra entre 55 y 65? b. ¿Cerca de qué porcentaje de las observaciones se encuentra entre 50 y 70? c. ¿Alrededor de qué porcentaje de las observaciones se encuentra entre 45 y 75? 5. La familia Kamp tiene gemelos, Rob y Rachel. Ambos se graduaron de la universidad hace dos años y actualmente cada uno gana $50 000 anuales. Rachel trabaja en la industria de las ventas de menudeo, donde el salario medio de ejecutivos con menos de cinco años de experiencia es de $35 000, con una desviación estándar de $8 000. Rob es ingeniero. El salario medio de los ingenieros con menos de cinco años de experiencia es de $60 000, con una desviación estándar de $5 000. Calcule los valores z de Rob y de Rachel, y comente los resultados. 6. Un artículo reciente que apareció en el Cincinnati Enquirer informó que el costo medio de la mano de obra para reparar una bomba de calefacción es de $90, con una desviación estándar de $22. Monte’s Plumbing and Heating Service terminó la reparación de dos bombas de calefacción por la mañana. El costo de la mano de obra de la primera bomba fue de $75, y de la segunda, de $100. Calcule los valores z de cada caso y comente sobre sus resultados. 7. Una población normal tiene una media de 20.0 y una desviación estándar de 4.0. a. Calcule el valor de z asociado con 25.0. b. ¿Qué proporción de la población se encuentra entre 20.0 y 25.0? c. ¿Qué proporción de la población es menor que 18.0? 8. Una población normal tiene una media de 12.2 y una desviación estándar de 2.5. a. Calcule el valor de z asociado con 14.3. b. ¿Qué proporción de la población se encuentra entre 12.2 y 14.3? c. ¿Qué proporción de la población es menor que 10.0? 9. Un estudio reciente con respecto a salarios por hora de integrantes de equipos de mantenimiento de las aerolíneas más importantes demostró que el salario medio por hora era de $20.50, con una desviación estándar de $3.50. Suponga que la distribución de los salarios por hora es una distribución de probabilidad normal. Si elige un integrante de un equipo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que gane: a. entre $20.50 y $24.00 la hora? b. más de $24.00 la hora? c. menos de $19.00 la hora? 10. La media de una distribución de probabilidad normal es de 400 libras. La desviación estándar es de 10 libras. a. ¿Cuál es el área entre 415 libras y la media de 400 libras? b. ¿Cuál es el área entre la media y 395 libras? c. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un valor al azar y descubrir que es menor que 395 libras? 11. Una distribución normal tiene una media de 50 y una desviación estándar de 4. a. Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 44.0 y 55.0. b. Calcule la probabilidad de un valor mayor que 55.0. c. Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 52.0 y 55.0. 12. Una población normal tiene una media de 80.0 y una desviación estándar de 14.0. a. Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0. b. Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 o menor. c. Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0. 13. De acuerdo con el Internal Revenue Service (IRS) el reembolso medio de impuestos en 2007 fue de $2 708. Suponga que la desviación estándar es de $650 y que las sumas devueltas tienen una distribución normal. a. ¿Qué porcentajes de reembolsos son superiores a $3 000? b. ¿Qué porcentajes de reembolsos son superiores a $3 000 e inferiores a $3 500? c. ¿Qué porcentajes de reembolsos son superiores a $2 500 e inferiores a $3 500? 14. El número de espectadores de American Idol tiene una media de 29 millones, con una desviación estándar de 5 millones. Asuma que esta distribución sigue una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que el programa de la próxima semana: a. tenga entre 30 y 34 millones de espectadores? b. tenga cuando menos 23 millones de espectadores? c. sobrepase los 40 millones de espectadores? 15. WNAE, estación de AM dedicada a la transmisión de noticias, encuentra que la distribución del tiempo que los radioescuchas sintonizan la estación tiene una distribución normal. La media de la distribución es de 15.0 minutos, y la desviación estándar, de 3.5. ¿Cuál es la probabilidad de que un radioescucha sintonice la estación: a. más de 20 minutos? b. 20 minutos o menos? c. entre 10 y 12 minutos? 16. Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250 000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos. a. ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? b. ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? c. ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? 17. Una distribución normal tiene una media de 50 y una desviación estándar de 4. Determine el valor por debajo del cual se presentará 95% de las observaciones. 18. Una distribución normal tiene una media de 80 y una desviación estándar de 14. Determine el valor por encima del cual se presentará 80% de las observaciones. 19. Suponga que el costo medio por hora de operación de un avión comercial se rige por una distribución normal, con una media de $2 100 y una desviación estándar de $250. ¿Cuál es el costo de operación más bajo de 3% de los aviones? 20. La Prueba de Razonamiento SAT (antes conocida como la Prueba de Aptitudes Escolares) es quizás la prueba más amplia y la que más se utiliza para la admisión en las universidades de Estados Unidos. Las puntuaciones se basan en una distribución normal, con una media de 1 500 y una desviación estándar de 300. Clinton College desearía frecer una beca honorífica a aquellos estudiantes que obtengan puntuaciones que los coloquen en el 10% más alto. ¿Cuál es la puntuación mínima que se requiere para obtener la beca? 21. De acuerdo con una investigación de medios de comunicación, el estadounidense común escuchó 195 horas de música durante el año pasado. Este nivel se encuentra por debajo de las 290 horas de hace cuatro años. Dick Trythall es un gran aficionado de la música country y del oeste. Escucha música mientras trabaja en casa, lee y maneja su camión. Suponga que la cantidad de horas que escucha música tiene una distribución de probabilidad normal, con una desviación estándar de 8.5 horas. a. Si Dick se encuentra por encima de 1% en lo que se refiere al tiempo que escucha música, ¿cuántas horas al año escucha música? b. Suponga que la distribución de tiempos de hace cuatro años también tiene una distribución de probabilidad normal, con una desviación estándar de 8.5 horas. ¿Cuántas horas en realidad escucha música 1% de los que menos lo hacen? 22. Según los datos más recientes disponibles, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $26 889. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4 500. Noventa y cinco por ciento de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿qué cantidad? 23. En teoría económica, una “tasa mínima de retorno” es, como su nombre lo indi ca, el retorno mínimo que una persona necesita antes de hacer una inversión. Una investigación revela que los retornos anuales de una clase especial de acciones comunes se distribuye de acuerdo con una distribución normal, con una media de 12% y una desviación estándar de 18%. Un corredor de bolsa desearía identificar una tasa mínima de retorno que esté por encima de ese valor en sólo 1 de 20 acciones. ¿En cuánto debería establecer la tasa mínima de retorno? 24. Suponga una distribución de probabilidad binomial con n 50 y 0.25. Calcule lo siguiente: a. La media y la desviación estándar de la variable aleatoria. b. La probabilidad de que X sea 15 o mayor. c. La probabilidad de que X sea 10 o menor. 25. Suponga una distribución de probabilidad binomial con n 40 y 0.55. Calcule lo siguiente: a. La media y la desviación estándar de la variable aleatoria. b. La probabilidad de que X sea 25 o mayor. c. La probabilidad de que X sea 15 o menor. d. La probabilidad de que X se encuentre entre 15 y 25 inclusive. 26. Dottie’s Tax Service se espec ializa en declaraciones del impuesto sobre la renta de clientes profesionales, como médicos, dentistas, contadores y abogados. Una auditoría reciente de las declaraciones que elaboraba la empresa, que llevó a cabo el Internal Revenue Service, IRS, indicó que 7% de las declaraciones que había elaborado durante el año pasado contenía errores. Si esta tasa de error continúa este año y Dottie’s elabora 80 declaraciones, ¿cuál es la probabilidad de que cometa errores en: a. más de seis declaraciones? b. por lo menos seis declaraciones? c. seis declaraciones exactamente? 27. Shorty’s Muffler anuncia que puede instalar un silenciador nuevo en 30 minutos o menos. No obstante, hace poco el departamento de estándares laborales de las oficinas centrales realizó un estudio y descubrió que 20% de los silenciadores no se instalaba en 30 minutos o menos. La sucursal Maumee instaló 50 silenciadores el mes pasado. Si el informe de la empresa es correcto: a. ¿Cuántas instalaciones de la sucursal Maumee se esperaría que tardaran más de 30 minutos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que ocho o menos instalaciones tarden más de 30 minutos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 de las 50 instalaciones tarden más de 30 minutos? 28. Un estudio que realizó Taurus Health Club, famoso en Estados Unidos, reveló que 30% de sus nuevos miembros tiene un significativo exceso de peso. Una campaña de promoción de membresías en un área metropolitana dio como resultado la captación de 500 nuevos miembros. a. Se sugirió utilizar la aproximación normal de la distribución binomial para determinar la probabilidad de que 175 o más de los nuevos miembros se encuentren muy excedidos de peso. ¿Es este problema de naturaleza binomial? Explique. b. ¿Cuál es la probabilidad de que 175 o más de los nuevos miembros se encuentren muy pasados de peso? c. ¿Cuál es la probabilidad de que 140 o más de los nuevos miembros se encuentren muy pasados de peso? 29. Un número reciente de Bride Magazine sugirió que las parejas que planean su boda deben esperar que dos terceras partes de las personas a las que envían invitación confirmen su asistencia. Rich y Stacy tienen planes de casarse este año y piensan enviar 197 invitaciones. a. ¿Cuántos invitados esperaría que aceptaran la invitación? b. ¿Cuál es la desviación estándar?
