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Tema 2. Geometría de masas
2. GEOMETRÍA DE MASAS 2.1.Introducción 2.1.Introducción La geometría de masas es la parte de la Mecánica que estudia la distribución espacial de la masa en los sistemas materiales. La masa es la magnitud física empleada para expresar la cantidad de materia de un sistema material y es una magnitud escalar no negativa. En la geometría de masas, por lo tanto, sólo intervienen dos magnitudes fundamentales: masa y longitud. La geometría de masas tiene como objeto la definición y el cálculo de los atributos o características másicas de un sistema. Nos interesan fundamentalmente el centro de masas del sistema material y los momentos de inercia i nercia del sistema. La ley de la gravitación establece que dos puntos materiales de masas
y
se atraen con
una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y en la dirección de la recta que uno ambos puntos.
(1)
siendo r la distancia entre los puntos y G es la constante de gravitación universal cuyo valor es 6,67·10
-11
2
-2
N·m ·kg . Si se aplica la expresión para un caso concreto de un punto material
dentro del campo gravitatorio terrestre la expresión se simplifica a:
donde
(2)
es la constante de la gravedad que engloba distintos factores asociados al campo
gravitatorio terrestre.
2.2.Concepto 2.2.Concepto de centro de gravedad Habitualmente, por simplicidad, el peso de un cuerpo se representa como una única fuerza puntual. Sin embargo, la realidad es que la fuerza gravitacional se encuentra distribuida por todo el volumen del cuerpo afectando a cada una de las partículas infinitesimales que lo forman. Se puede suponer la acción de la gravedad como la suma de la totalidad de fuerzas individuales,
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⃗
, actuando sobre cada partícula infinitesimal, A i.
1
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Figura 1. Peso de un cuerpo y sistema de partículas que lo componen.
En el campo gravitacional todas las fuerzas tienen la misma dirección (vertical) y el mismo sentido (hacia abajo). Se puede plantear la obtención de la resultante del campo vectorial como suma de las fuerzas F i sobre cada partícula como:
⃗
(3)
La resultante así definida tiene una interpretación física concreta que se denomina peso del cuerpo. Al ser suma de fuerzas paralelas y del mismo sentido el peso del cuerpo será
igualmente vertical y hacia abajo. Si se toma un punto O cualquiera del sólido, se pueden calcular los momentos de todas las fuerzas
⃗
respecto de él:
Figura 2. Momento de una partícula respecto al punto O .
Donde:
Y puesto que
⃗
debe ser perpendicular a
⃗
, y como
⃗
es vertical,
(4)
debe ser horizontal.
Por otra parte la suma de todos los momentos individuales da lugar al momento total:
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(5)
2
Tema 2. Geometría de masas
Figura 1. Peso de un cuerpo y sistema de partículas que lo componen.
En el campo gravitacional todas las fuerzas tienen la misma dirección (vertical) y el mismo sentido (hacia abajo). Se puede plantear la obtención de la resultante del campo vectorial como suma de las fuerzas F i sobre cada partícula como:
⃗
(3)
La resultante así definida tiene una interpretación física concreta que se denomina peso del cuerpo. Al ser suma de fuerzas paralelas y del mismo sentido el peso del cuerpo será
igualmente vertical y hacia abajo. Si se toma un punto O cualquiera del sólido, se pueden calcular los momentos de todas las fuerzas
⃗
respecto de él:
Figura 2. Momento de una partícula respecto al punto O .
Donde:
Y puesto que
⃗
debe ser perpendicular a
⃗
, y como
⃗
es vertical,
(4)
debe ser horizontal.
Por otra parte la suma de todos los momentos individuales da lugar al momento total:
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(5)
2
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Y puesto que todos los momentos individuales son horizontales (aunque no paralelos) el momento total será también un vector horizontal. Además, al ser la resultante de las fuerzas y el momento resultante dos vectores perpendiculares:
(6)
Figura 3. Sistema fuerza-par equivalente en el punto O.
El esquema de la Figura 3 representa el sistema fuerza-par equivalente a las fuerzas asociadas a cada partícula que compone el sólido. La resultante del sistema de fuerzas es
se toman momentos, el valor del momento posible encontrar un punto fuerzas distribuidas
y no varía. Al modificar el punto respecto del que irá variando y, por tanto, la cuestión será si es
en el sólido tal que
, de manera que el efecto de las
pueda sustituirse únicamente por el vector resultante .
Figura 4. Sistema fuerza-par equivalente en el punto P.
Como una fuerza es un vector deslizante, la resultante punto de su línea de acción ya que todos los puntos
se puede aplicar sobre cualquier
de esa recta verifican que
. Si
giramos el cuerpo sucesivas veces obtendríamos el lugar geométrico de los puntos que verifican que el sistema equivalente es sólo una fuerza y cuya intersección da como resultado un único punto.
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Figura 5. Sistema fuerza-par equivalente en el punto G.
El punto que verifica este planteamiento es el centro de gravedad del sólido y se identifica mediante la letra G. Físicamente el centro de gravedad es el punto en el que se puede considerar concentrada toda la masa del sólido, de manera que la acción gravitacional, distribuida en realidad por todo su volumen, se puede sustituir por una única fuerza aplicada en dicho punto. El efecto de ambos sistemas fuerzas sobre el cuerpo es el mismo pero, evidentemente, uno de ellos es mucho más sencillo. Simetrías:
Si el cuerpo tiene un centro de simetría, ése es su G.
Si el sólido tiene un eje de simetría, G estará sobre él.
Si el sólido tiene un plano de simetría, G estará en él.
Figura 6. Simetría central, de revolución y respecto a un plano.
2.3.Coordenadas del centro de gravedad A continuación se van a obtener las expresiones matemáticas que permiten calcular la posición del centro de gravedad. Para ello será necesario tener una referencia respecto de la cual calcular dicha posición (Figura 7).
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Puesto que todas las
⃗
Figura 7. Coordenadas del centro de gravedad.
son paralelas y tienen el mismo sentido el vector unitario de cada una
de ellas es el mismo, así se puede escribir que:
⃗
(7)
[ ][ ]
(8)
El momento en un punto cualquiera O:
Tomando el punto O en el origen del sistema de referencia este desarrollo proporcionará las coordenadas del centro de gravedad respecto de dicho sistema. Por otra parte,
⃗
(9)
se puede sacar del sumatorio ya que no depende del subíndice.
Si igualamos ambas expresiones del momento:
Al eliminar
[ ] [ ] ∑∑
(10)
se obtiene una expresión independiente de la orientación del cuerpo y del
sistema de fuerzas paralelas, es decir, válida para cualquier orientación del cuerpo, que
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proporciona un único punto. La ecuación (10) es una ecuación vectorial que se puede expresar escalarmente por componentes:
() ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑ Z
Ai
G
O
X
Y
si suponemos que la partícula
tiene una masa
y puesto que
(11)
En un sólido real, que es un sistema continuo, las masas mi serán infinitamente pequeñas y habrá que hacer la suma para las infinitas partículas. Para poder considerar la suma de las infinitas masas infinitesimales habrá que integrar.
(12)
y las expresiones (11) se convierten en:
Donde:
Siendo
∫∫ ∫∫ ∫∫
(13)
(14)
la masa total del sólido.
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Cuando se ha considerado el sistema discreto formado por partículas, representaba las coordenadas concretas de
. Al pasar al sistema continuo harán referencia a
⃗ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
la posición respecto del sistema de referencia del diferencial de masa
Si además se tiene en cuenta la densidad
.
(15)
del sólido y el volumen del mismo v :
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
(16)
Puesto que una masa diferencial ocupa un volumen diferencial: (17)
Si la densidad es constante se pueden reescribir las expresiones (15) como:
(18)
Siendo V el volumen total del sólido. Con estas expresiones es posible calcular el centro de gravedad de un volumen. Si el sólido tuviera una dimensión despreciable frente a las otras dos como puede ser una placa delgada de superficie
y espesor constante :
e
dA
Figura 8. Placa de espesor constante.
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En este caso al considerar un diferencial de área con el espesor constante, el volumen diferencial será:
∫ ∫ ∫ ∫
(19)
De manera que las expresiones pasan a ser:
(20)
Así estas expresiones nos permiten calcular el centro de gravedad para superficies. Hemos pasado de sólidos con masa a volúmenes y de ahí a superficies geométricas. También se podría obtener, de manera análoga la expresión para las coordenadas del centro de gravedad de un elemento con forma de línea curva, es decir, con dos dimensiones despreciables frente a la tercera:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
(21)
Las expresiones (21) son las que permiten calcular el G de una curva. Conviene destacar que los centros de gravedad de las figuras geométricas, volúmenes, superficies y curvas, que no tienen por qué ser sólidos con masa (materia) se suelen denominar también centroides. El centro de gravedad no tiene por qué estar sobre una zona material del cuerpo, véase, por ejemplo, el caso de una circunferencia o de una esfera hueca.
2.4.Momento estático Las integrales que aparecen en el numerador de las expresiones que permiten obtener el centro de gravedad reciben el nombre de momentos estáticos,
. En el caso tridimensional, se
trataría del momento estático respecto a un plano, y la coordenada que aparece en la integral
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es la distancia entre el elemento diferencial y el plano respecto del que se define el momento estático:
(22)
Sería en este caso el momento estático respecto de un plano perpendicular a la dirección X, es decir, el YZ. En este caso se ha definido el momento estático para el caso con masa pero se define exactamente igual para los vol úmenes (dv ), superficies (dA) y líneas ( dL).
Figura 9. Momento estático respecto a un plano.
En el caso plano, el momento estático se define respecto de un eje, y la coordenada que aparece en la integral es la distancia entre el elemento diferencial y el eje respecto al cual se define el momento estático:
Y dA
X Figura 10. Momento estático respecto a un eje.
Y representa el momento estático del área considerada respecto al eje que se mide la distancia:
(23)
Para una figura tridimensional (volumen, superficie o curva no planas) el momento estático respecto de un eje que pasa por el centro de gravedad es nulo. Igualmente, para una figura plana (superficie o curva), el momento estático respecto de un eje que pasa por el centro de gravedad es nulo:
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9
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Por una parte:
Y
G
El momento estático respecto de Y G es:
dA
X
Y respecto del eje
∫
paralelo al eje
que pasa por
(24)
el resultado es exactamente el mismo.
2.5.Momentos de inercia de superficies planas De manera análoga a lo hecho para el desarrollo del momento estático, se va a definir ahora una propiedad característica de los sistemas con masa, aunque también lo es para las
entidades geométricas, denominado momento de inercia, . De forma general se definie como el producto de una masa y una distancia al cuadrado:
De esta definición se desprende que las unidades del momento de inercia serán S.I. y que se trata de una magnitud siempre positiva.
(25)
en el
Pero al igual que en el momento estático se debe concretar con respecto a qué es esa distancia. El momento de inercia siempre será respecto a algo. Se pueden definir así los siguientes casos: m
Momento de inercia
d
respecto de un plano
m
Momento de inercia d
respecto de un eje
m
Momento de inercia respecto de un punto
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d O
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A continuación se presentan los momentos de inercia respecto de un sistema de referencia Cartesiano como el de la Figura 11:
Figura 11. Sistema de referencia Cartesiano.
En primer lugar los momentos de inercia respecto de los tres planos cartesianos
,
e
:
(26)
Respecto a los tres ejes coordenados:
√
(27)
De las expresiones (27) se desprende que el momento de inercia respecto de un eje es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de los dos planos perpendiculares que intersecan a lo largo de dicho eje. El momento de inercia respecto al origen O del sistema de referencia será:
(28)
Luego también se verifica que el momento de inercia respecto de un punto es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de tres planos perpendiculares que intersecan en dicho punto. Si se particulariza lo expuesto al caso plano según dos ejes perpendicualres cualesquiera:
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Figura 12. Sistema de ejes en el plano.
( )
(29)
Y se vuelve a verificar que el momento de inercia respecto de un punto es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de dos ejes perpendiculares que se cortan en dicho punto. Si en lugar de una masa continua se tuviera un sistema formado por varias masas discretas:
e2 mi
e1
O
Figura 13. Sistema formado por varias masas.
El momento de inercia total será la suma de los momentos de inercia de cada una de las masas:
(30)
Y cuando se tenga un sistema continuo el concepto es aplicable igualmente sin más que pasar del discreto al continuo. Para ello basta con sustituir los sumatorios por integrales y las masas puntuales por un diferencial de masa,
y la distancia
a tener en cuenta será la que haya
entre dicho diferencial de masa y la referencia respecto de la cual se desee calcular el momento de inercia.
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A continuación se va a plantear el caso de superficies planas. Sin más que aplicar consideraciones de densidad y espesor constantes como las presentadas en las ecuaciones (18) y (20) se deriva el cálculo del momento de inercia para una superficie plana como la de la Figura 14:
Y
dA
X O Figura 14. Superficie continua.
Considerando el sistema de referencia de la Figura 14 se pueden definir los momentos de inercia:
( )
(31)
Nota: en este punto se ha presentado el caso que se desarrollará en los sucesivos apartados. Conviene tener en cuenta que en el cálculo de los momentos de inercia se ha sustituido el sistema másico por un sistema matemático de tipo superficie. Por tanto, el momento de inercia que se calcula es un momento de inercia de una superficie plana que es función exclusivamente del área de la superficie y no de la masa ni del material del sistema. En este caso las unidades del momento de inercia son las del producto de superficie por distancia al cuadrado, que en el Sistema Internacional serán:
.
Hasta ahora se ha hablado de los momentos de inercia con respecto a los ejes del sistema Cartesiano pero se puede definir con respecto a un eje cualquiera:
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Y dA
e
d
(32)
X O Figura 15. Momento de inercia respecto de un eje cualquiera.
Análogamente se va a definir otra propiedad de los sólidos y que nosotros vamos a emplear particularizada para el caso de superficies planas. Se trata del producto de inercia C z y se define de la siguiente manera:
(33)
El producto de inercia también se puede definir tanto para una pareja de ejes cartesianos así como para una pareja de ejes perpendiculares cualesquiera:
Y
e2
dA
e1
X O Figura 16. Producto de inercia respecto de ejes perpendiculares.
Las unidades del producto de inercia para una superfici e matemática en el S.I. son también son 4
m . El producto de inercia, sin embargo, puede ser positivo, negativo o nulo. Siempre que se plantee el cálculo del producto de inercia con respecto a una pareja de ejes mutuamente perpendiculares, tales que al menos uno de ellos sea eje de simetría de la figura, el producto de inercia será nulo: C z=0.
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e2
-
+
+
+
e1
Figura 17. Producto de inercia respecto de un eje de simetría.
Cuando se trate de calcular el producto de inercia respecto de una pareja de ejes como la de la Figura 17 será posible encontrar una pareja de diferenciales de área a ambos lados del eje de simetría de manera que tengan una de sus dos coordenadas iguales y de signos opuestos. Al integrar para obtener el producto de inercia este hecho deriva en que la integral será nula. En el resto de casos dependerá de la posición relativa entre la superficie y la pareja de ejes con respecto a la cual se calcule el producto de inercia:
Y
-
+
X
+
-
Figura 18. Signo del producto de inercia.
2.6.Teorema de Steiner También conocido como Teorema de ejes paralelos, relaciona el momento de inercia respecto
de un eje cualquiera ( ) con el momento de inercia respecto de otro eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de gravedad de la superficie (
).
Para obtener la expresión vamos a plantear el caso plano de una superficie respecto de un sistema de referencia Cartesiano:
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Y dA G (Gx, Gy)
X O Figura 19. Relación entre los momentos de inercia de dos ejes paralelos.
Se va a plantear la relación entre los momentos de inercia respecto del sistema Cartesiano con origen en O y el sistema paralelo que tiene origen en el centro de gravedad, G, de la superficie. Se plantea el desarrollo para uno de los ejes y el resultado es completamente análogo para el otro. Por definición
(34)
Si se desarrolla la expresión del momento de inercia respecto de O, teniendo en cuenta la relación geométrica entre las distancias:
( ) ( ) Donde el tercer sumando es el momento estático respecto del centro
(35)
(36)
de gravedad que como se ha demostrado es nulo, luego:
Por tanto,
(37)
Y para una pareja de ejes paralelos cualesquiera:
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eG
A G
d
e
De este resultado se deduce que, de todos los ejes paralelos entre sí, aquel respecto del cual el momento de inercia es menor es el que pasa por el centro de gravedad de la superficie. Y para el producto de inercia:
Donde
y
(38)
son respectivamente los productos de inercia respecto de una pareja de ejes
perpendiculares que pasan por O y por G. La expresión del primero se puede desarrollar como sigue:
( ) ( ) ( )
(39)
Como las dos integrales son los momentos estáticos respecto de ejes que pasan por el centro de gravedad
Habrá que prestar especial atención al signo de las coordenadas del centro de gravedad ya que en función del sistema de referencia respecto al que estén referidas podrán tomar valores positivos o negativos.
2.7.Ejes principales de inercia. Círculo de Mohr El momento de inercia de un área respecto de un eje, o el producto de inercia respecto de una pareja de ejes, depende de la posición relativa entre los ejes y el área. Mediante la aplicación de los Teoremas de Steiner se puede obtener la relación entre los momentos y producto de
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inercia de ejes paralelos, o lo que es lo mismo, cómo varían el momento y el producto de inercia al trasladarse paralelamente a sí mismos los ejes con respecto a los que están referidos. A continuación se va a plantear el desarrollo que permite obtener cómo varía el momento o el producto de inercia cuando se giran los ejes con respecto a los que están calculados.
Figura 20. Variación de los momentos de inercia por traslación y giro de ejes.
Para obtener la relación entre los momentos y/o productos de inercia entre ejes girados se va a suponer inicialmente una pareja de ejes mutuamente perpendiculares, sistema Cartesiano habitual
. Respecto de esta pareja de ejes se conocen los valores de
será obtener la expresión de los valores referidos a otra pareja de ejes
respecto del sistema Cartesiano.
,
y
y el objetivo
girados un ángulo
Y Y’
X’
X
O Figura 21. Relación entre ejes girados.
En concreto nos va a interesar encontrar los valores de los momentos de inercia para una orientación determinada de la segunda pareja de ejes. El objetivo es determinar el valor de la
( )
orientación
para la cual el producto de inercia
se anula. A la pareja de ejes girados que
verifica que el producto de inercia respecto de ellos es nulo se le denomina ejes principales de inercia
, y a los momentos de inercia respecto de ellos se los denomina momentos
principales de inercia
. Para una superficie dada, los momentos principales de inercia
verifican que uno de ellos es el momento de inercia máximo y el otro mínimo.
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Tema 2. Geometría de masas
La condición para que el producto de inercia respecto de una pareja de ejes se anule responde a cuestiones puramente geométricas. En concreto a la distribución del área de dicha superficie respecto de uno de los ejes. De hecho, se cumple que si alguno de los ejes con respecto a los cuales se calcula el producto de inercia es un eje de simetría, dicho eje es un eje principal de inercia y el perpendicular a él también lo es. Para calcular los valores respecto de los ejes girados se debe partir de los valores de los ejes originales,
. Con ellos se realiza una construcción gráfica que recibe el nombre de
Círuclo de Mohr (ver Figura 22) y que nos servirá para obtener el valor del ángulo a girar para obtener los ejes principales así como el valor de los momentos de inercia principales máximo y mínimo. La construcción gráfica comienza definiendo una pareja de ejes en la que se acota, en la horizontal, el valor de los momentos de incercia y en la vertical el producto de inercia respecto de los ejes de partida. Sobre estos ejes se ubican dos puntos A y B que responden a las siguientes coordenadas:
Se deduce, por tanto, que el punto
(40)
está asociado al eje
y el
al eje
. Además, es
determinante el signo del producto de inercia. Con estos valores conocidos se representan ambos puntos en el sistema de ejes anteriormente indicado:
Figura 22. Construcción gráfica Círculo de Mohr.
El punto C será el centro del Círculo de Mohr y se obtiene como intersección del eje horizontal con el segmento que une los puntos A y B. En función del valor de los momentos y productos de inercia se pueden dar varias situaciones distintas de la Figura 23 que se corresponde con la situación de
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y
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Tema 2. Geometría de masas
Figura 23. Ubicaciones de los puntos de partida.
Con centro en C y diámetro el segmento
̅
se construye el Círculo de Mohr:
Figura 24. Círculo de Mohr.
̅
Las coordenadas del punto C son
La orientación del segmento
y los otros dos parámetros geométricos del dibujo:
definida por el ángulo
ejes originales XY. Un giro de valor
(41)
está relacionada con el giro de los
en el círculo de Mohr equivale a un giro de
en el
sistema de ejes XY. Es decir, para obtener el valor de los momentos de inercia respecto de una pareja de ejes X’Y’ que forman un ángulo
ángulo
en el sistema coordenado se deberá girar un
en el sistema de ejes del círculo de Mohr y e l giro se efectúa en el mismo sentido en
ambos diagramas.
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20
Tema 2. Geometría de masas
Figura 25. Correspondencia entre orientaciones.
Las nuevas coordenadas de A son A’
y las de B son B’
.
Por otra parte, si se gira el diámetro hasta ponerlo horizontal:
Figura 26. Orientación de los ejes principales.
Se aprecia en la Figura 26 que las nuevas coordenadas de los puntos A y B son precisamente AP y BP. Estas nuevas posiciones, al estar sobre el eje horizontal, cumplen que el producto de inercia es nulo. Por tanto este giro es el que nos da la dirección de los ejes principales de inercia sin olvidar que en el diagrama de ejes XY tendrá el mismo sentido pero valor la mitad. Así es como se determina gráficamente la orientación de los ejes principales de inercia. El valor numérico del giro se puede obtener como:
(42)
O también:
y los momentos principales de inercia:
donde
y
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(43)
son respectivamente el momento de inercia máximo y mínimo.
21
Tema 2. Geometría de masas
2.8.Cálculo de centros de gravedad y momentos de inercia de áreas simples por integración 2.8.1. Reglas generales En primer lugar se van a comentar algunas cuestiones generales aplicables al cálculo de la mayoría de las figuras que se van a estudiar. Para calcular tanto los centros de gravedad como los momentos de inercia por integración se van a establecer unas reglas en cuanto a las características geométricas que se deben considerar para cada figura geométrica. En primer lugar la notación:
En la Figura 27, al eje e, e
Figura 27. Nomenclatura.
representa la posición del centro de gravedad de la superficie con respecto
es el momento de inercia de la superficie respecto de dicho eje. Además
la distancia al eje e del diferencial de área
. Los valores se obtienen según:
El diferencial de área
El área total se va a obtener como suma de las áreas infinitesimales
es un área infinitamente pequeña, un área infinitesimal.
integración. El
es
(44)
mediante
puede tener cualquier forma pero será interesante escoger aquel que
simplifique el cálculo a la hora de operar. En la mayor parte de los casos el
consistirá en una tira que equidiste del eje respecto del
que queremos calcular la propiedad, es decir, todo el respecto de dicho eje:
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se encontrará a la misma distancia
22
Tema 2. Geometría de masas
Donde
y
Figura 28. Diferencial de área para superficies planas.
son respectivamente el ancho del diferencial de área y su altura que es
infinitesimal, y se puede escribir también como los parámetros geométricos se traduce en:
. Con estas consideraciones la obtención de
(45)
El diferencial de una integral define la variable de integración y, por tanto, los límites de integración. En este caso, los límites de integración son
y
y representan respectivamente
la altura mínima y máxima entre las que hay que barrer con el diferencial de área para cubrir toda la superficie. Al realizar ese barrido, la variable de integración, la que varía, es precisamente la distancia
. Y en que tener en cuenta si
también varía.
Figura 29. Barrido de los diferenciales de área.
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Tema 2. Geometría de masas
Para el producto de inercia se platea la siguiente figura:
Figura 30. Diferencial de área general para el producto de inercia.
Y según la definición el producto de inercia será:
(46)
Para simplificar el cálculo se plantea una tira diferencial de área paralela a uno de los ejes, por ejemplo a e1 de manera que dicho diferencial equidiste de uno de los ejes
en este caso:
Figura 31. Diferencial de área general para el producto de inercia.
Para determinar la distancia del
al otro eje basta con considerar la posición de su centro de
gravedad respecto a e2 que en este caso será
. Y se sigue verificando que
.
Vistas estas pautas generales se van a determinar a continuación las propiedades geométricas de varias figuras geométricas simples.
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Tema 2. Geometría de masas
2.8.2. Rectángulo
b
G
h
Figura 32. Rectángulo.
Obviamente, puesto que el rectángulo tiene dos ejes de simetría, el centro de gravedad deberá estar en la intersección de ambos,
. Aprovechando este resultado se obtendrá la
posición mediante el método general de integración. Se propone, por tanto, obtener la posción del centro de gravedad (en adelante
) respecto de un eje que pasa por la base:
b
G
h GY
dy
dA
y X
El
Figura 33. Obtención del G del rectángulo.
se plantea de manera que todo él equidiste del eje respecto del que se desea calcular la
posición de , en este caso el eje
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. El área del
es
, por tanto:
25
Tema 2. Geometría de masas
(47)
Y para el momento de inercia del rectángulo con respecto a un eje que pasa por su base:
para el eje Y, por analogía:
(48)
(49)
Y de forma general, el momento de inercia de un rectángulo respecto de un eje que pasa por uno de sus lados será:
(50)
Para calcular el momento de inercia respecto de los ejes que pasan por el centro de gravedad se aplicará el Teorema de Steiner:
YG b
XG
G
h GY
dy
dA
y X
Figura 34. Propiedades respecto del G del rectángulo.
y en general:
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(51)
(52)
26
Tema 2. Geometría de masas
Y por último se va a calcular el producto de inercia del rectángulo. Puesto que se trata de una figura con ejes de simetría, el producto de inercia respecto de la pareja de ejes que pasa por el centro de gravedad sera nulo:
. Conocido este resultado y sin más que aplicar el
Teorema de Steiner para productos de inercia:
También se podría calcular integrando sin más que tener en cuenta que
(53)
:
(54)
2.8.3. Triángulo Consideremos ahora la figura geométrica compuesta por tres lados y el eje que contiene a la base:
El
Figura 35. Triángulo.
se plantea de manera que todo él equidiste del eje respecto del que se desea calcular la
posición de la anchura
, en este caso el eje
que contiene la base. El área del
es
. Pero
depende ahora de la altura a la que se considere. Esa variación está
determinada por la ley de proporcionalidad de los triángulos:
El área de un triángulo es
(55)
así que para obtener la posición respecto del eje que
pasa por la base se tendrá que:
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27
Tema 2. Geometría de masas
(56)
Independientemente de la orientación del triángulo, su centro de gravedad estará siempre a respecto de la base:
Figura 36. Triángulo general.
Por lo tanto, para un triángulo rectángulo es posible ubicar las dos coordenadas del centro de gravedad dando la posición completa del mismo:
Figura 37. Triángulo rectángulo.
Momento de inercia del triángulo con respecto a un eje que pasa por su base:
(57)
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28
Tema 2. Geometría de masas
Y el momento de inercia respecto de un eje paralelo a la base que pasa por el centro de
gravedad (
), teniendo en cuenta el Terema de Steiner:
Figura 38. Momento de inercia respecto de
(58)
.
Producto de inercia de un triángulo rectángulo respecto de una pareja de ejes que contienen los dos catetos:
Figura 39. Producto de inercia.
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(59)
29
Tema 2. Geometría de masas
Se ha obtenido el producto de inercia para una disposición de área concreta respecto de unos ejes concretos pero se debe recordar que el producto de inercia tiene signo y en función de la ubicación del área con respecto a los ejes que se calcula dicho producto influye en el signo del producto. Puesto que el producto de inercia implica el producto de dos coordenadas, si el área se encuentra en el primer cuadrante del sistema de ejes respecto de los que se calcula el producto, el signo será positivo. En el resto de casos basta con tener en consideración en base al siguiente criterio:
Figura 40. Criterio de signos para el producto de inercia para ejes que contienen a los catetos
Para el caso en el que los ejes son paralelos a los catetos pasando por el
del triángulo:
Figura 41. Ejes en el centro de gravedad del triángulo.
Aplicando el Teorema de Steiner para el producto de inercia se tiene que:
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(60)
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Tema 2. Geometría de masas
En este caso el signo negativo indica que el área que queda en los cuadrantes negativos es mayor que el de las zonas que quedan en cuadrantes positivos (primero y tercero) como se ilustra en la siguiente figura:
Figura 42. Distribución de áreas respecto de los ejes.
Así que habrá que tener en cuenta la orientación del triángulo con respecto a los ejes:
Figura 43. Criterio de signos en función de la orientación del triángulo.
Si el triángulo no es rectángulo se considerará uno de los ejes el que pasa por la base y el otro el perpendicular que pasa por el vértice:
Figura 44. Producto de inercia para el triángulo escaleno.
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(61)
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Tema 2. Geometría de masas
Si el triángulo es isósceles, condiciones el eje
, y entonces
es eje de simetría.
. Resultado esperable ya que en estas
2.8.4. Sectores circulares
Cálculo del centro de gravedad, , de un cuarto de círculo:
Figura 45. Centro de gravedad de un cuarto de círculo.
En este caso se va a plantear un
alternativo y que difiere ligeramente de la propuesta
establecida en el apartado de reglas generales. El objetivo es obtener una formulación matemática algo más sencilla. El diferencial que se va a considerar para el sector circular es un triángulo de altura R, el radio del sector, base diferencial y origen en el centro del sector como se muestra en la Figura 46:
Figura 46. Centro de gravedad de un cuarto de círculo.
Para barrer todo el área con este diferencial es necesario variar el ángulo que el
es pequeño se puede considerar que el
entre
es un triángulo cuya base es un
diferencial de arco
, así:
. Puesto
(62)
además es un resultado conocido que el centro de gravedad de un triángulo se encuentra a dos tercios de su vértice:
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Tema 2. Geometría de masas
Por tanto,
(63)
(64)
Este resultado es respecto de los radios que delimitan el cuarto de cículo por lo que el resultado es válido independientemente de la orientación del sector circular:
Figura 47. Centro de gravedad de un cuarto de círculo arbitrario.
Y para el semicírculo el cálculo de barrido de
para el
es totalmente análogo, sólo será necesario modificar el
y tener en cuenta que el área total es el doble:
Figura 48. Centro de gravedad de un semicírculo.
Puesto que el semicírculo tiene un eje de simetría el
está en el eje y por tanto
Para el caso del círculo completo, como tiene centro de simetría
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(65)
.
coincide con dicho centro.
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Tema 2. Geometría de masas
Se van a plantear a continuación los momentos de inercia de estas figuras elementales.Se va a plantear el momento de inercia del círculo completo respecto de un eje que contiene a un diámetro. Como punto de partida para plantear el momento de inercia con respecto al origen (momento respecto a un punto) se va a utilizar un nuevo espesor
y está situado a una distancia genérica
que es un anillo circular. Tiene un
del origen
:
(66)
Figura 49. Momento de inercia de un círculo.
(67)
Se ha demostrado previamente que el momento de inercia respecto de un punto es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de dos ejes perpendiculares que se cortan según dicho punto:
(68)
Además, dada la simetría de la figura:
luego,
quedando:
siendo
(69)
(70)
(71)
cualquier eje diametral del círculo.
Veamos a continuación el caso del semicírculo:
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Tema 2. Geometría de masas
Figura 50. Momento de inercia de un semicírculo.
se puede descomponer el círculo en dos semicírculos de manera que el momento de inercia de todo el sistema con respecto a un eje
se puede obtener como:
(72)
(73)
y puesto que ambos semicírculos son iguales:
que es el momento de inercia de un semicírculo respecto de un eje que pasa por su díametro. Y, por tanto, este resultado es exactamente el mismo para el eje perpendicular:
(74)
Siguiendo el mismo razonamiento se puede descomponer el semicírculo en dos cuartos de círculo quedando así:
(75)
Figura 51. Momento de inercia de un cuarto de círculo.
A continuación se presenta la obtenición de los productos de inercia: Por existir ejes de simetría, tanto para el semicírculo como para el círculo el producto de inercia es nulo.
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Tema 2. Geometría de masas
Figura 52. Producto de inercia de figuras con s imetría.
Para el cuarto de círculo se va a emplear el diferencial de área propuesto en las reglas generales:
Figura 53. Producto de inercia del cuarto de círculo.
La ecuación de una circunferencia es:
Por lo que para definir el ancho del diferencial de área, basta con despejarla de la ecuación anterior:
(76)
, en función de la coordenada
√ √ √ √
(77)
y para plantear el diferencial de área,
(78)
Así para calcular el producto de inercia,
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(79)
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Tema 2. Geometría de masas
Y nuevamente habrá que tener en cuenta la posición del cuarto de círculo con respecto a los ejes para determinar el signo del producto de inercia:
Figura 54. Signo del producto inercia para el cuarto de círculo.
Las expresiones respecto de los ejes que pasan por el centro de gravedad no son tan inmediatas. Se obtendrán por aplicación del Teorema de Steiner a partir de los valores que se han calculado para los ejes diametrales.
2.8.5. Áreas parabólicas La ecuación general de una parábola es:
si se desea que pase por el punto
(80)
, entonces
(81)
y resulta la siguiente ecuación:
(82)
Figura 55. Área parabólica.
Obtenida la función se va a plantea el diferencial de área:
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Tema 2. Geometría de masas
Figura 56. Diferencial de área para el caso de área parabólica.
donde
puesto que
(83)
(84)
es un punto de la parábola.
Puesto que se trata de una figura simple continua habrá que plantear su G por integración:
∫
(85)
así que será necesario obtener el área:
y el momento estático
por tanto,
(86)
:
(87)
(88)
Y si se desea obtener el área superior:
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