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Noción de variable regionalizada.
En un gran número de actividades humanas, principalmente en las ciencias de la tierra, el arte de las minas, Interesa estudiar la variación espacial de ciertas magnitudes, que llamaremos, de manera general, variables regionalizadas. Como ejemplos simples de variables regionalizadas, citemos entre otras: las densidades de población humana en una zona geográfica, la potencia (o el espesor) de una formación geológica, la ley de un metal dado en un yacimiento minero, etc. El técnico se puede interesar a estas magnitudes por razones de tipo puramente utilitario. Por ejemplo, para un minero, se puede tratar de estimar las reservas de un yacimiento, en tonelaje y en ley, a partir de un muestreo fragmentario, y, en la medida de lo posible, acompañar estas estimaciones de un cálculo de error. pero también de una manera más general, puede interesarse en estas magnitudes para tratar de hacer comprensible el fenómeno natural (regionalizado) que estas magnitudes representan. Se trata entonces de extraer de la masa de datos numéricos brutos disponibles, los grandes rasgos estructurales y las características mayores de un fenómeno natural. Estos dos puntos de vista no se oponen entre sí. en efecto, para resolver correctamente un problema esencialmente práctico, como el cálculo del error posible cometido en la estimación de un yacimiento minero, es imperativo tomar en cuenta ciertas características estructurales de la variable regionalizada, tal como su continuidad. el ejemplo elemental siguiente lo muestra de manera clara. supongamos que se han realizado medidas, a intervalos regulares, a lo largo de una línea, las cuales han proporcionado, en el terreno, en un primer lugar, la secuencia a de valores numéricos: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1
Y, en un segundo caso, la secuencia b:
1 – 4 – 3 – 6 – 1 – 5 – 4 – 3 – 2 – 5 – 2
En el caso a, se tiene claramente una estructura simétrica muy fuerte, caracterizada por un decrecimiento muy regular a partir del punto central. en el segundo caso, la estructura, si es que existe, es muy débil, y la impresión que se tiene es la de una extrema irregularidad. a pesar que las once medidas tienen, en ambos casos, los mismos valores numéricos (en un orden diferente), es claro que la estimación de un valor medio puede ser hecha, en el caso a, con una muy mejor precisión que en el caso b. la precisión depende, en efecto, de la continuidad en el espacio de la variable regionalizada. En este ejemplo simple, se ve también, que la descripción puramente estadística del fenómeno es enteramente insuficiente. el estadístico que se conformaría con la construcción de los histogramas de las secuencias a y b concluiría, debido a que estos dos histogramas son idénticos, equivocadamente, a la identidad de los dos fenómenos naturales observados. En el tratamiento estadístico ordinario, en el
cual se conformaría con clasificar en forma de histogramas las muestras disponibles, se hace abstracción del lugar donde han sido tomadas. Se destruyen las estructuras espaciales. Por otra parte, es claro que no basta con saber con qué frecuencia se repite una ley dada en un yacimiento minero. es también importante saber de qué manera las leyes se suceden en el espacio, y, principalmente, cuál es el tamaño y la posición de las zonas explotables, etc…aparece así que las variables regionalizadas no pueden ser asimiladas a variables aleatorias, cuyo estudio es el objetivo de la estadística habitual. de hecho, la noción de variable aleatoria solo tiene un sentido concreto si se cumplen las dos condiciones siguientes: posibilidad, por lo menos teórica de repetir indefinidamente el experimento que Atribuye un valor numérico definido a la variable aleatoria. independencia mutua de estos experimentos, el resultado de uno de estos no puede Estar de ninguna manera influenciado por el resultado de los experimentos precedentes. Una variable regionalizada no puede verificar estas dos condiciones. si el experimento consiste, por ejemplo, en tomar una muestra de características definidas en un punto de coordenadas xyz, al interior de un yacimiento, la ley de esta muestra es única, físicamente bien determinada y de ninguna manera aleatoria. no hay ninguna posibilidad de repetición, y la condición 1 no se verifica. Sin embargo es posible tomar una nueva muestra, no en el mismo punto, sino en un punto vecino del precedente: a pesar que no se trata, estrictamente, del mismo experimento, se podría en rigor, admitir que la condición
se respeta de manera aproximada. Pero ahora la condición no lo será de ninguna manera. Si la primera muestra ha sido tomada en una zona rica, la segunda implantada en su vecindad, tendrá tendencia, en promedio, a ser rica igualmente, y esta tendencia será más pronunciada cuando la mineralización será más continua.
2.- características cualitativas de las variables regionalizadas. Las variables regionalizadas que se presentan a observación, poseen características cualitativas, ligadas estrechamente a la estructura del fenómeno natural que ellas representan. Entre estas características que la estadística ordinaria es incapaz de expresar, y que deben, obligatoriamente ser tomadas en cuenta por la teoría de las variables regionalizadas, examinemos, usando como referencia el ejemplo ya dado de una ley en un yacimiento minero, algunas de las características más importantes: a) localización. Una variable regionalizada no toma sus valores en cualquier lugar, sino más bien, en una región bien determinada del espacio, que se llama campo geométrico: El campo es en general una formación geológica, por ejemplo el espacio mineralizado del yacimiento mismo. Pero a veces es necesario limitar el estudio de la variable a una porción, o panel, de su campo geométrico natural. Igualmente, la variable será a veces definida como una función f(m) del punto m. sin embargo, a menudo, no habrá interés en los valores puntuales, sino en los valores medios de la variable al interior de un dominio pequeño, o soporte geométrico. Para una ley, el soporte será el volumen v de la muestra tomada. El volumen v debe estar definido de manera precisa, con sus
dimensiones, su forma geométrica, y su orientación en el espacio. si se cambia el soporte v se obtiene una nueva regionalización, que presenta analogías con la primera, pero que no es idéntica. es así como los bloques de algunos metros cúbicos no se distribuyen en el espacio de la misma manera que los testigos de sondajes de algunos kilos. Una de las tareas de la teoría de las variables regionalizadas, que se llama a veces también geo estadística cuando se aplica a problemas geológicos y mineros, consiste en prever las características de la variable definida sobre un soporte v y en un campo v, conociendo, por ejemplo, las de la variable puntual en un campo diferente v’. b) continuidad.- una segunda característica esencial es el grado de mayor o menor continuidad de la regionalización en el espacio. en ciertos casos, por ejemplo, para variables que poseen una significación puramente geométrica, como la potencia de una formación geológica, se observará la continuidad estricta de los matemáticos, que se define con ε y δ. lo más corriente, es observar una continuidad más floja, llamada continuidad en media. En este caso, cuando el punto m tiende hacia m0, solamente el valor medio de [f(m) – f(m0)]2 tiende a cero. La repartición en le espacio toma ahora una forma más irregular y discontinua. Finalmente puede suceder que la continuidad en media no se verifique. En este caso de extrema irregularidad, nosotros hablaremos de efecto de pepita. Los yacimientos de oro pepitico proporcionan un ejemplo clásico. c) anisotropía.- en tercer lugar, una regionalización puede ser anisótropa. puede existir, por ejemplo, una dirección privilegiada, a lo largo de la cual los valores se modifican lentamente, mientras que éstos varían mucho más rápido en la dirección perpendicular. Este tipo de fenómenos conocidos con el nombre de corridas, de zonaciones, etc… está, en general asociado a la existencia de ciertas estructuras geológicas. d) fenómeno de transición.- otros tipos de estructuras se pueden manifestar, ligados a la aparición en el campo geométrico de la variable, de una red de discontinuidades: se habla entonces, de una manera general, de fenómenos de transición. como ejemplos simples, se pueden citar, para las formaciones sedimentarias, las estratificaciones y las repeticiones lenticulares de los estratos. Puede suceder que la variable la cual es constante o casi constante al interior de los estratos, tenga cambios bruscos al pasar de un estrato a otro. A estas discontinuidades verticales, materializadas en el espacio por las uniones estratigráficas, a menudo se adicionan discontinuidades horizontales, debidas al término lenticular y a la repetición de los estratos individuales. esta red compleja de discontinuidades realiza una partición del espacio mineralizado en compartimientos casi independientes entre sí (correspondientes, por ejemplo, a antiguos microcuencas, donde las condiciones de depositación han evolucionado de manera más o menos autónoma). se puede observar que el efecto de pepita de origen granulométrico está también ligado a un fenómeno de transición. la red de discontinuidad es en este caso lo que separa, en el espacio, los diferentes granos de estéril y de mineral. la naturaleza del fenómeno es la misma, pero la escala es bastante diferente. el efecto de pepita aparece como una forma de fenómeno de transición ligado a la presencia de micro-estructuras discontinuas en el campo de la regionalización. 3.- los esquemas teóricos. Para elaborar una representación matemática de las variables regionalizadas, capaz de tomar en cuenta las características estructurales mencionadas anteriormente, se
puede pensar en utilizar la teoría probabilística de las funciones aleatorias. sin embargo, es necesario ver bien, que los naturalistas tienen aquí una objeción muy fuerte, ligada a la unicidad de los fenómenos naturales y a la imposibilidad de la inferencia estadística. Recordemos, en efecto, rápidamente la noción de función aleatoria. Partiendo de la noción de variable aleatoria simple x, definida por su ley de distribución probabilística f(x), los matemáticos han introducido a continuación las variables aleatorias con varias componentes (x1, x2, …, xn) descritas por leyes de distribución simultáneas f(x1, x2, …,xn), luego ellos han examinado lo que se produce cuando n es infinito. una función aleatoria es, si se quiere, una variable aleatoria con una infinidad de componentes. en el caso que nos ocupa, estas componentes, en número infinito, serían los valores tomados por la variable regionalizada en cada uno de los puntos de su campo geométrico. se ve cuál es la objeción de los naturalistas. los valores tomados por la variable en todos los puntos de su campo deben ser considerados como el resultado de una prueba al azar, en un experimento único, efectuado según la ley de probabilidad con una infinidad de componentes que definen la función aleatoria. pero el paso inverso no es posible. El experimento es único y no se puede remontar, a partir de los valores experimentales, la distribución teórica, como tampoco se puede inferir la ley de probabilidad f(x) de una variable aleatoria ordinaria x cuando solo se dispone del resultado de un solo experimento, el cual ha dado un valor numérico particular (por ejemplo x = 98).a pesar que la inferencia estadística no está fundamentada, es claro que los valores numéricos tomados efectivamente por la variable regionalizada, es decir, el fenómeno natural mismo, poseen una realidad física, y todo recurso a una interpretación probabilística aparece como perfectamente arbitraria. Este es el punto de vista adoptado por la teoría de las variables regionalizadas en un primer grupo de métodos llamados representaciones transitivas. estos métodos que son el objeto de la primera parte de la obra, no hacen ninguna referencia a alguna hipótesis probabilística, ni tampoco a algún principio determinístico: el determinismo no es negado a priori, pero solo puede ser puesto en evidencia con la ayuda de estudios específicos, respecto de cada categoría de fenómenos naturales, y no serviría de nada invocarlos, in abstracto, a nivel de generalidades. el punto de vista puramente descriptivo y formal , adoptado en las representaciones transitivas, puede ser comparado con el de la cinemática, que desarrolla las leyes generales y formales que todo movimiento debe cumplir, cualesquiera que sean las causas y contenido físico, del solo hecho que se trata de movimiento. el punto esencial consiste en asociar, a toda variable regionalizada, una función g(h) más simple, llamada covariograma transitivo, capaz de expresar, de una forma sintética, las características mayores enumeradas Anteriormente, y al mismo tiempo, de formular y de resolver los problemas importantes propuestos por la práctica, respecto de las variables regionalizadas. Pero hay un caso particular en el cual la objeción de los naturalistas puede ser levantada. Es el caso llamado estacionario. en términos abstractos, se dice que una función aleatoria es estacionaria, si la ley de probabilidad de los valores tomados por esta función en k puntos arbitrarios es invariante para toda traslación del conjunto de estos puntos. Dicho de otra manera, el carácter estacionario implica la homogeneidad del fenómeno en el espacio. si se tienen sólidas razones para pensar, por ejemplo, que las condiciones físico-químicas del depósito, o de la génesis, de una mineralización son, efectivamente, homogéneas en el espacio del yacimiento, esta hipótesis puede ser adoptada, por lo menos en primera aproximación. En virtud del carácter estacionario, se puede decir que el fenómeno se repite en el espacio, y se concede que la inferencia estadística es ahora posible, y con ella una interpretación del fenómeno, fundada en la teoría clásica de las
funciones aleatorias. Un papel determinante juega, en esta teoría, la función de autocorrelación k(h) , que representa la covarianza de los valores tomados por la función aleatoria en dos puntos distintos distantes de h , y que constituye el equivalente probabilística del vario grama g(h) de las representaciones transitivas. sin embargo, la teoría de la auto correlación se puede aplicar solamente en el caso en que la función aleatoria tiene una varianza a priori finita, mientras que muchos fenómenos naturales tienen una capacidad de dispersión casi ilimitada, y no pueden ser descritos correctamente si se les atribuye una varianza finita. Pero, a pesar que la varianza de la función aleatoria misma puede ser considerada como infinito, sus incrementos, o diferencias que la función aleatoria toma en dos puntos distintos, conservan, en general, una varianza finita. la teoría de los esquemas estocásticos intrínsecos, que es el objeto de la segunda parte de la obra, está consagrada al estudio de esta clase particular de funciones aleatorias accesibles solamente por sus incrementos. El papel mayor del covariograma transitivo g(h), o la covarianza estacionaria k(h), incumbe ahora a una función de dispersión intrínseca γ(h), o variograma , la cual representa el incremento cuadrático medio de la función entre dos puntos distantes de h. la teoría intrínseca postula la homogeneidad del fenómeno en el espacio y se formula en términos probabilísticos. Esta teoría se opone fuertemente a las representaciones transitivas. Es a la vez menos general y más potente. menos general, porque grandes clases de fenómenos regionalizados que manifiestan, por ejemplo, un aspecto zonal en el interior de su campo geométrico, no pueden ser considerados como estacionarios, ni descritos por un esquema intrínseco, mientras que permanecen accesibles a las representaciones transitivas. Más potente, en el fondo por la misma razón, porque las representaciones transitivas no son capaces de distinguir, en una regionalización, lo que es imputable a la variable «misma», y lo que resulta de la geometría de su campo, mientras que la teoría intrínseca elimina de oficio toda interferencia geométrica, y permite, cuando ella es aplicable, un estudio más fino y más profundo de la variable «misma». a pesar de esta oposición, se constata una convergencia remarcable entre los resultados de los dos métodos, y un parentesco profundo de sus formalismos matemáticos. Se puede pensar que las representaciones transitivas poseen un carácter probabilístico implícito, o, al contrario, que la teoría intrínseca no utiliza realmente el contenido probabilístico de sus hipótesis de base, sino solamente su carácter estacionario. En efecto, covariogramas, auto correlaciones y funciones intrínsecas poseen significaciones muy cercanas, ligadas estrechamente, como lo muestra la física, a la energía de dispersión del fenómeno representado.
