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Le equazioni di grado superiore al secondo
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COMPETENZA: MATEMATICA NELLA STORIA
Le equazioni di grado superiore al secondo A cura di Annamaria Manenti Calvi matematico Diofanto, che affronto` numerosi problemi anche di secondo o di terzo grado, limitandosi tuttavia all’esame di casi particolari.
Il lungo cammino verso il simbolismo algebrico Si conoscono reperti, sia risalenti all’antico periodo babilonese sia al periodo dell’antico Egitto, che testimoniano come fin da allora fossero noti alcuni metodi per risolvere particolari equazioni di primo grado. Nell’antichita` gli esempi di risoluzione di equazioni, trovati su tavolette o papiri, riguardava casi particolari, legati alla necessita` di risolvere problemi concreti; va inoltre sottolineato che la formulazione delle equazioni era espressa mediante il linguaggio naturale del tipo ‘‘trovare una quantita` che sommata con la sua meta` diventa 16’’ e la loro risoluzione procedeva con metodi empirici, senza utilizzare la simbologia e i metodi che oggi conosciamo. Anche presso gli antichi Greci venne affrontata la risoluzione di particolari equazioni, ma il problema non venne risolto algebricamente, bensı` attraverso un’interpretazione geometrica. Negli Elementi di Euclide (365-300 a.C.), ad esempio, la risoluzione di equazioni che oggi scriveremmo nella forma ax ¼ b, viene affrontata ricercando la misura del secondo lato di un rettangolo avente un lato lungo a e area uguale a b. Il primo ad introdurre il simbolo x per indicare un’incognita sembra essere stato, nel terzo secolo d.C., il
Nel Papiro di Rhind si possono leggere metodi di risoluzione di equazioni di primo grado.
Un importante contributo al passaggio dal linguaggio naturale alla traduzione simbolica viene dato molto piu` tardi da Leonardo Pisano (1170-1250), detto Fibonacci, che impiega le lettere per indicare i dati e le incognite di un problema e introduce delle abbreviazioni per le incognite, giungendo a coniare per il linguaggio algebrico una sorta di scrittura stenografica, detta algebra sincopata.
I grandi matematici del Cinquecento Il Cinquecento e` il secolo che vede il fiorire di numerosi nuovi studi di matematica e che si puo` dire vede la nascita dell’algebra come la conosciamo oggi. Tra i personaggi piu` noti citiamo Luca Pacioli, Gerolamo Cardano, Niccolo` Fontana, detto Tartaglia, Raffaele Bombelli, Francois Vie`te.
Alcuni dei loro nomi appaiono ancor oggi sui testi di scuola perche´ legati a qualche importante risultato; certamente e` noto, fin dai primi anni della scuola superiore, il matematico Tartaglia (1506-1557), il cui nome e` stato dato al triangolo dei coefficienti dello sviluppo della potenza n-esima di un binomio. 1
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Nel triangolo di Tartaglia ciascun numero e` la somma di due numeri immediatamente sovrastanti.
Formule risolutive, molto laboriose, contenenti operazioni razionali ed estrazioni di radici vennero trovate anche per le equazioni di quarto grado e, grazie ai risultati raggiunti per le equazioni di terzo e quarto gado, si susseguirono in seguito numerosi tentativi per la risoluzione di equazioni di grado superiore al quarto. L’algebra trovera` intanto la formulazione della sua espressione simbolica, grazie agli studi del matematico francese Franc¸ois Vie`te (1540-1603), che descrive i suoi risultati in un’opera pubblicata nel 1591.
Nicolo` Tartaglia in una incisione tratta dal frontespizio della sua opera Quesiti ed invenzioni diverse. Nell’opera sono esposte molte dispute, fra cui quella celebre con Cardano, relativa a chi dei due avesse per primo formulato la risoluzione dell’equazione di terzo grado.
Il nome di Tartaglia, insieme a quello di Cardano (1501-1576), e` anche legato alle formule per risolvere equazioni di terzo grado, oggetto di gare e aspre dispute fra i due matematici. Robert Recorde, matematico e astronomo gallese, inventore del segno ‘‘¼’’.
E` curioso inoltre ricordare come persino il segno ‘‘¼’’, per noi cosı` usuale, sia stato ‘‘inventato’’ solo nel 1557, dall’astronomo e matematico gallese Robert Recorde (1510-1558) che scelse due trattini paralleli, in sostituzione del termine aequalis fino ad allora usato, spiegando che ‘‘non possono esserci due cose piu` uguali’’. Ecco come il matematico e scrittore contemporaneo Denis Guedj immagina l’invenzione del simbolo ‘‘¼’’.
Girolamo Cardano matematico, medico, filosofo.
Nel suo studio, arredato in modo spartano e illuminato solo dalla luce di una candela, Robert Recorde era chino su un foglio fitto di cifre e di lettere, con la penna d’oca in mano sospesa a mezz’aria, pronto a scri-
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Le equazioni di grado superiore al secondo vere. Stava riflettendo. Dopo aver preso una decisione, immerse risoluto la penna nel calamaio e disegno` un piccolo tratto orizzontale. Proprio al di sotto appose con diligenza un secondo tratto della stessa lunghezza, rigorosamente parallelo al precedente. Posata la penna, prese il foglio, tenendolo a braccio teso. Socchiudendo gli occhi, esamino` a lungo il segno che aveva appena tracciato, prima di posare il foglio, soddisfatto. Aveva buoni motivi per esserlo: sotto gli occhi aveva quello che sarebbe divenuto il segno piu` celebre della matematica, il segno di uguale. (Denis Guedj, Il Teorema Del Pappagallo)
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JeanleRond d’Alembert, scienziato francese, fondatore, con Diderot, dell’Enciclopedia
Le equazioni algebriche Le ‘equazioni’ cui ci siamo finora riferiti sono le equazioni, dette algebriche, che si possono scrivere nella forma: f ðxÞ ¼ 0 dove f ðxÞ e` un polinomio avente come coefficienti dei numeri reali; per grado n di un’equazione algebrica si intende il grado del polinomio stesso. Risolvere un’equazione vuol dire trovare tutti quei valori (reali o complessi) che, sostituiti alla x, annullano il polinomio f ðxÞ. Le equazioni algebriche di primo e secondo grado e alcuni tipi di equazioni di grado superiore al secondo, si studiano fin dai primi anni della scuola superiore; dalla loro risoluzione nascono spontanee alcune domande: Tutte le equazioni algebriche ad un’incognita, di qualsiasi grado, ammettono radici? Quante sono le eventuali radici? I matematici sono riusciti a trovare delle formule risolutive per equazioni algebriche di ogni grado? Cioe` sono riusciti a trovare, come per quelle di 1o e 2o grado, delle espressioni nei coefficienti dell’equazione stessa, che permettano mediante un numero finito di operazioni razionali e di estrazioni di radice, di determinare tutte le soluzioni di un’equazione di qualunque grado? La risposta alle prime due domande e` data da un celebre teorema, detto teorema fondamentale dell’algebra, dimostrato dallo scienziato francese d’Alembert (1717-1783). In base a questo teorema viene stabilito che: ogni equazione algebrica in un’incognita ha nel campo complesso tante radici (non necessariamente distinte) quant’e` il suo grado. E siamo ora di fronte a uno degli aspetti sorprendenti della matematica: un conto e` sapere che esistono soluzioni per ogni equazione di grado n, un conto e`
trovarle. Formule, pur se laboriose sono state trovate, come abbiamo detto, per la risoluzione di equazioni di terzo e quarto grado, ma ne esistono anche per equazioni di grado superiore al quarto? La risoluzione delle equazioni di grado superiore al quarto: un problema impossibile? I tentativi di risoluzione delle equazioni di grado superiore al quarto continuarono a lungo, finche´ nel 1799 il matematico italiano Paolo Ruffini pubblico` un lavoro molto importante nel quale dimostro` che e` impossibile risolvere, mediante un numero finito di operazioni razionali e di estrazioni di radice, (operate sui coefficienti), le equazioni generali di grado superiore al quarto.
Paolo Ruffini (1765-1822) laureato in filosofia, medicina e matematica; asserı` per primo la non risolubilita` con radicali delle equazioni generali di grado superiore al quarto. Il suo nome e` legato anche alla regola che consente di trovare il resto della divisione di un polinomio nella variabile x per un binomio del tipo x þ a.
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E un altro matematico, N. H. Abel (1802 1829), uno dei piu` brillanti del diciannovesimo secolo, conferma, con una dimostrazione piu` soddisfacente e completa, le conclusioni esposte da Ruffini. Gli studi di Abel danno anche l’avvio a un piu` vasto programma di ricerca, che viene ripreso dal matematico francese Evariste Galois (1811-1832), ed e` grazie alle ricerche sulle equazioni algebriche di questo geniale matematico che nasce una nuova algebra, detta algebra astratta, basata sulla parte della matematica detta teoria dei gruppi.
Francobollo emesso in Norvegia in onore del matematico N.H. Abel.
Il matematico francese Evariste Galois (1811-1832) morı` appena ventenne in un duello. Secondo la leggenda il giovane matematico avrebbe formulato la teoria dei gruppi nella notte precedente il tragico duello, ma ricerche piu` recenti dimostrano che la sua geniale idea era invece nata da lunghi studi effettuati nel tempo.
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