ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล1

Transcript

1. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันลอการิทึม สมบัติที่สาคัญของลอการิทึม เมื่อ a , M , N เป็นจานวนจริงบวกที่ 1a และ k เป็นจานวนจริง 1. 1log aa 2. 01log a 3. NMMN aaa logloglog  4. NM N M aaa logloglog  5. MkM a k a loglog  6. N M M a a N log log log  7. NN N a a a loglog 1 log 1  8. a b b a log 1 log  9. Ma Ma log 10. M k M aak log 1 log  บทนิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชัน ข้อสังเกต 1. ฐานของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ต้องเป็นจานวนจริงบวกและไม่เท่ากับ 1 2. พิจารณา เมื่อ x เป็นจานวนจริงใด ๆ ถ้า จะได้ ซึ่งเป็นฟังก์ชันคงที่ จึงไม่ใช่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล บทนิยาม ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ข้อสังเกต ความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y ที่เขียนในรูป เขียนในรูปลอการิทึม ได้ เช่น เขียนในรูปลอการิทึม ได้ เขียนในรูปลอการิทึม ได้ 2. ลอการิทึมสามัญและลอการิทึมธรรมชาติ ฟังก์ชันลอการิทึมที่สาคัญมีอยู่ 2 ชนิด คือ ลอการิทึมฐานสิบ หรือลอการิทึมสามัญ กับ ลอการิทึมฐาน e หรือลอการิทึมธรรมชาติ ลอการิทึมสามัญ ลอการิทึมสามัญ คือลอการิทึมที่มีฐานเท่ากับ 10 และนิยมเขียนลอการิทึมสามัญโดยไม่ต้องมี ฐานกากับไว้ เช่น 5log10 เขียนแทนด้วย 5log , N10log เขียนแทนด้วย Nlog ,  RN การหาค่าลอการิทึมสามัญของจานวนจริงบวก N โดยที่ 101  N โดยใช้ตารางลอการิทึม สิ่งที่ควรทราบจากตาราง 1. ค่าลอการิทึมที่ปรากฏในตารางเป็นค่าประมาณที่อยู่ในรูปทศนิยม 4 ตาแหน่ง 2. ตารางลอการิทึมที่กาหนดให้ จะแสดงค่าลอการิทึมสามัญของจานวน (N) ที่มีทศนิยม 2 ตาแหน่งและมี ขอบเขตตั้งแต่ 1.00 – 9.99 เท่านั้น 3. แสดงว่าเราสามารถหาค่าลอการิทึมสามัญของจานวน (N) ที่มีทศนิยม 2 ตาแหน่ง และมีขอบเขตตั้งแต่ 1.00 – 9.99 จากตารางได้ทันที เช่น 34.1log = ………………… 4. ถ้าเราต้องการหาค่าลอการิทึมสามัญของจานวน (N) ที่มีทศนิยมมากกว่า 2 ตาแหน่ง และมีขอบเขตตั้งแต่ 1.00 – 9.99 จะหาจากตารางโดยตรงไม่ได้ เช่น N = 1.437 จะพบว่า 1.43 < 1.437 < 1.44 การหาค่าลอการิทึมสามัญของจานวนจริงบวกใด ๆ กาหนดให้ x เป็นจานวนจริงบวกเราสามารถหาค่า xlog ได้โดย เขียน x ให้อยู่ในรูป n Nx 10 เมื่อ 101  N และ n เป็นจานวนเต็ม หลังจากที่เราเขียนจานวนจริงบวก x ให้อยู่ในรููป n N 10 เมื่อ 101  N และ n เป็นจานวน เต็มแล้วการหาค่า xlog สามารถทาได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลอการิทึม ดังนี้ x = n N 10 xlog =  n N 10log  = n N 10loglog  นั่นคือ xlog = nN log ซึ่งเราเรียกค่าของ Nlog ว่า แมนทิสซา ( mantissa ) ของ xlog 3. และเรียกจานวนเต็ม n ว่า แคแรกเทอริสติก ( characteristic ) ของ xlog แอนติลอการิทึม เป็นการดาเนินการที่ตรงข้ามกับการหาค่าลอการิทึม กล่าวคือ แทนที่จะกาหนดค่า x แล้วให้หาค่า xlog แต่กลับกาหนดค่า xlog แล้วให้หาค่า x แทน ซึ่งจานวนจริง x ที่ได้เราเรียกว่า แอนติลอการิทึม ของ xlog เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ antilog ( xlog ) เมื่อกาหนดค่า xlog เรามีวิธีการหาค่า x ได้ดังนี้ 1. เขียน xlog ให้เป็นผลบวกของแมนทิสซา และแคเรกเทอริสติกของ xlog ดังนี้ xlog = Nlog + n 2. ใช้ตารางลอการิทึมสามัญหาจานวนจริง N ที่ทาให้ N = M ดังนี้ xlog = Nlog + n = n N 10loglog  xlog =  n N 10log  เพราะฉะนั้น n Nx 10 ลอการิทึมธรรมชาติ ลอการิทึมธรรมชาติ หมายถึง ลอการิทึมที่มีฐานเป็น e โดยที่ e เป็นสัญลักษณ์แทน จานวนอตรรกยะจานวนหนึ่งซึ่งมีค่าประมาณ 2.7182818 ( โดยประมาณ ) และนิยมเขียน ln x แทน xelog การหาค่า ln x เมื่อ x เป็นจานวนจริงบวก หาได้โดยอาศัยลอการิทึมสามัญ ดังนี้ ln x = xelog ln x = e x log log ( แต่ 4343.0718.2loglog e ) ดังนั้น ln x = 4343.0 log x =   xlog3026.2 สมการเอกซ์โพเนนเชียล และสมการลอการิทึม สมการเอกซ์โพเนนเชียล สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือ สมการที่มีตัวแปรเป็นเลขชี้กาลัง ถ้าทั้งสองข้างของสมการ สามารถทาให้ฐานของเลขยกกาลังเท่ากันได้ก็จะแก้สมการเพื่อหาคาตอบได้ ซึ่งอาศัยสมบัติของฟังก์ชัน เอกซ์โพเนนเชียล โดยเฉพาะสมบัติความเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ช่วยในการแก้สมการ สมการลอการิทึม 4. สมการลอการิทึม คือ สมการที่มีลอการิทึมของตัวแปร การแก้สมการเพื่อหาคาตอบของสมการ ลอการิทึมทาได้โดยการกาจัดลอการิทึม ซึ่งอาศัยสมบัติต่าง ๆ ของลอการิทึม โดยเฉพาะสมบัติการเป็นฟังก์ชัน ***************************************************** การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และ ฟังก์ชันลอการิทึม เป็นการนาความรู้เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึมไปประยุกต์ใช้ใน สาขาวิชาอื่น ๆ ได้แก - การเติบโตของประชากร ณ เวลาหนึ่งในกรณีที่การเพิ่มไม่ได้เป็นไปอย่างต่อเนื่องตลอดเวลา มีสูตรดังนี้    t rntn  10 เมื่อ n ( t ) แทน จานวนประชากรเมื่อเวลาผ่านไป t 0n แทน จานวนประชากร ณ จุดเริ่มต้น r แทน อัตราการเติบโตของจานวนประชากรต่อเวลา t แทน เวลา - การสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสี ที่มีครึ่งชีวิตเท่ากับ h ปริมาณสารที่เหลืออยู่ มีสูตรดังนี้   rt emtm   0 เมื่อ m ( t ) แทน ปริมาณของสารกัมมันตภาพรังสีที่เหลืออยู่เมื่อเวลาผ่านไป t 0m แทน ปริมาณของสารกัมมันตภาพรังสี ณ จุดเริ่มต้น h r 2ln  - การวัดระดับความเข้มเสียง เป็นการวัดความเข้มเสียงโดยเทียบกับความเข้มเสียงที่หูคนปกติเริ่ม ได้ยินเป็นเกณฑ์อ้างอิง ระดับความเข้มเสียง มีสูตรดังนี้ 0 log10 I I  เมื่อ  แทน ระดับความเข้มเสียงมีหน่วยเป็นเดซิเบล I แทน ความเข้มเสียงที่ต้องการวัด 0I แทน ความเข้มเสียงที่หูคนปกติเริ่มได้ยิน ซึ่งเท่ากับ 12 10 วัตต์/ ตร.ม. - ระดับความเป็น กรด – ด่าง ของสารละลาย มีสูตรดังนี้    HpH log เมื่อ pH แทน ระดับความเป็น กรด – ด่าง ของสารละลาย   H แทน ความเข้มข้นของประจุไฮโดรเจนในสารละลาย 1 ลิตร มีหน่วยเป็นโมล