решени задачи по висша математика 2

Transcript

  Решени изпитни теми по Висша Математика IIза Технически Университет  София Николай Икономов10 декември 2011 г.  Съдържание Указател31 Първа тема42 Втора тема263 Трета тема354 Четвърта тема455 Пета тема546 Шеста тема657 Още теми748 Още задачи79Литература92 Темите са взети от форума на ТУ–София (линк,линк) и от студенти. За контакти: [email protected],justmathbg.info. ã Първа тема (2009) ã Втора тема (Ю. Пешева, 2009) ã Трета, четвърта тема (2009) ã Пета, шеста тема (Л. Бояджиев, 2008, 2010) ã Седма до единадесета тема (нерешени) (2008, 2009)Означения: тангенс tan( x ) , котангенс cot( x ) , аркус тангенс arctan( x ) .  Указател Задачите по категории. Задачите са решени в реда в който са категориите. ã Числови редове 1-1+теория,2-1,3-5,4-3 ã Развитие на функции в ред на Фурие 1-2+теория [0 , 6] ,3-3 [ − π,π ] – по косинуси (четни функции) 4-2 [ − π,π ] ,6-1 [ − 1 , 1] – по синуси (нечетни функции) 5-2 [ − π,π ] ã Екстремуми на функции 1-3+теория,2-2,3-1,4-1,5-4,6-2 ã Диференциални уравнения 2-3+теория,2-4+теория,8-2+теория ã Линейни диференциални уравнения 1-4+теория,3-4,4-4,5-5,6-3 ã Двойни интеграли 3-2+теория,4-5,6-4 ã Тройни интеграли 1-5+теория,5-6,6-5,8-1+теория ã Криволинейни интеграли от I род 2-6+теория ã Криволинейни интеграли от II род 1-6+теория,3-6,5-7 Задачите по теми. Задачите в скоби не са решени. ã Първа тема1,2,3,4,5,6 ã Втора тема1,2,3,4,5,6 ã Трета тема1,2,3,4,5,6 ã Четвърта тема1,2,3,4,5,6 ã Пета тема {1},2,3,4,5,6,7 ã Шеста тема1,2,3,4, 5,{6} ã Още задачи1,2  1 Първа тема Задача 1. Даден е редът ∞  n =1 ( − 1) n x n − 4 4 n − 3 (а) Да се намери радиусът на сходимост R на този ред.(б) Да се установи какъв е редът при x = 1 , x = − 3 / 2 , x = 1 / 2 (абсолютносходящ, условно сходящ или разходящ). Задача 2. Нека f  : R → R е периодична функция с период T  = 6 , за която е дадено,че f  ( x ) = x/ 3 − 1 за x ∈ (0 , 6] . Да се представи f  ( x ) в ред на Фурие. Задача 3. Дадена е точката A (1 , − 1 , 1) и функциите f  ( x,y ) = x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 7 ,F  ( x,y,z  ) = f  ( x,y ) + e 2 x 2 +3 y 2 +4 z 2 . Да се намерят:(а) Локалните екстремуми на f  и вида им.(б) g = grad F  ( A ) и ∂F  ( A ) ∂g Задача 4. Да се намери общото решение на следното диференциално уравнение. y  + 4 y =6cos(2 x )+ (2 x − 3) e 2 x Задача 5. Да се пресметне обема на тялото T  , заградено от следните две повърх-нини. T  : z  = 6 − x 2 − y 2 , z  2 = x 2 + y 2 ( z  ≥ 0) Задача 6. Като се използва формулата на Грийн, да се пресметне криволинейнияинтеграл от втори род   C  xdy − ydx по кривата линия C  с уравнение x 2 16+ y 2 9= 1 , описана еднократно в положителна посока.Всяка задача е по 10 точки.