Transcript
Monika Włodarczyk,Martyna Szczecioska
22. Iloczyn skalarny, baza ortogonalna, baza ortonormalna, iloczyn wektorowy, przekształcenia izometryczne. Iloczyn skalarny
Do przykładu 2) g1,…,gn
R
Monika Włodarczyk,Martyna Szczecioska
Baza ortogonalna i ortonormalna Definicja . W przestrzeni liniowej z iloczynem skalarnym < , > wektory u,v są ortogonalne (lub prostopadłe) gdy =0. Piszemy wtedy u v.
V
Wynika to ze wzoru na iloczyn skalarny w ,który jest postaci = cos(u,v). Jeżeli u i v są prostopadłe to kąt między nimi wynosi ,ponieważ cos = 0 to =0. Definicja . Podprzestrzenie liniowe skalarnym są ortogonalne,gdy .
i
,przestrzeni liniowej V z iloczynem dla , . Piszemy wtedy
Dopełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni liniowej U przestrzeni liniowej nazywamy podprzestrzeo liniową ={ v
V;
}
Definicja . Mówimy, że układ wektorów z przestrzeni V jest układem ortogonalnym gdy < , > = 0 dla j k . Układ jest ortonormalny gdy jest ortogonalny oraz < , > = 1 dla . Układ wektorów jest bazą ortogonalną (odpowiednio bazą ortonormalną )przestrzeni liniowej z iloczynem skalarnym , gdy jest jej bazą oraz układem ortogonalnym (odpowiednio ortonormalnym ).
Przykład. 1. Baza kanoniczna ( ) jest bazą ortonormalną przestrzeni ze standardowym iloczynem skalarnym. 2. Przy iloczynie , ,w baza kanoniczna jest bazą ortogonalną, a bazą ortonormalną jest np.(
).
3. W przestrzeni rodzina ciągów , w której ciąg i-ty ma na i-tym miejscu 1 a na pozostałych 0, stanowi układ ortonormalny w tej przestrzeni.
Monika Włodarczyk,Martyna Szczecioska
Stwierdzenie (Ortogonalizacja Schmidta) Niech ( ) będzie liniowo niezależnym układem wektorów w przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym < , >. Układ wektorów ( ) określony warunkami :
–
dla j= 2,…,k
stanowi bazę ortogonalną podprzestrzni liniowej lin( Ponadto układ (
).
) jest bazą ortonormalną
podprzestrzeni lin (
).
Wniosek. Każda przestrzeo liniowa posiada bazę ortonormalną .
Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektorów a=* ] i b= [ nazywamy wektor, który ma następujące współrzędne : [ I oznaczamy go przez
]
] .
Sposób obliczania iloczynu wektorowego: Iloczyn wektorowy wektorów a=* przez wyznacznik : =
] i b= [
+ można wyrazid
Monika Włodarczyk,Martyna Szczecioska
gdzie i,j,k są wersorami osi . Wyznacznik ten formalnie nie ma sensu (pierwszy wiersz składa się z wektorów) ale pozwala łatwo zapamiętad sposób obliczania iloczynu wektorowego . Można zauważyd,że: (i) (ii) (iii)
| = |a||b| , Wektor jest ortogonalny do wektora a i b , Zwrot wektora jest określony przez regułę śruby prawoskrętnej lub trzech palców lewej dłoni .
Konstrukcja wektora
Przykład
Monika Włodarczyk,Martyna Szczecioska
Przekształcenia Izometryczne
Przykłady : (1) Symetria
(2) Obrót
(3) Przesunięcie o wektor
Monika Włodarczyk,Martyna Szczecioska
Przekształcenie które nie jest izometrią: - rzut prostopadły (zmienia odległosd) -jednokładnośd
