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Geometría Página 368 SEMANA 4 POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS 1. Calcule el número de diagonales medias de un polígono, en donde el número de diagonales es el cuádruple del número de ángulos internos. A) 20 B) 27 C) 35 D) 44 E) 55 RESOLUCIÓN Dato: NºDiag.= 4(Nºs internos) Piden: NºDiag.Medias= n(n )? 12 Reemplazando en el dato: n nn 342 n n 3 8 11 D.M. = 11 11 1552 RPTA.: E 2. Se tienen los polígonos regulares ABCDE y ABPQRSTU, ambos en un mismo semiplano respecto a AB , Calcule: m UAE . A) 72º B) 45º C) 20º D) 24º E) 27º RESOLUCIÓN Externo * ºe ;n 360 Piden x=? En el Octógono: ºe º 360458 En el Pentágono e x º 360725 º x º 45 72 x=27º RPTA.: E 3. Un icoságono regular ABC… y un pentadecágono regular ABMN… están ubicados en distintos semiplanos respecto a AB Calcule: m MCB A) 72º B) 36º C) 24º D) 69º E) 60º RESOLUCIÓN * Piden: x=? * e º 1 3601820 * e º 2 3602415 15 LADOS20 LADOSNMCB Axx e 1 e 2 B APQRSTUEDCex Geometría Página 369 e e º 1 2 42 e BMC x e e º 1 2 2 180 42º x = 69º RPTA.: D 4. 9 es un número de diagonales que se pueden trazar desde 5 vértices consecutivos de un polígono regular de “n” lados. Calcul e “n” . A) 5 lados B)7 lados C) 6 lados D) 8 lados E) 9 lados RESOLUCIÓN Piden: Nº lados =n=? Dato: Nº Diag. Trazados Desde 5 vértices =9 * Recordando: Nº Diag. Trazados desde “k” vértices consecutivos = k knk 1 22 En un polígono de “n” lados. * Reemplazando: n( ) 5 1 5 29 52 n = 6 RPTA.: C 5. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un Polígono Regular ABCDE…, de “n” lados; si AC CE A) 540º B) 720º C) 900º D) 1080º E) 1260º RESOLUCIÓN Dato: AC CE Piden: i S 180º n 2 ? * ABC CDE ..............(L.A.L.) m BCA m DCE ºen 3602 En c: º 4 90 ººn 3602 45 n 8 i S 180º 8 2 1080º RPTA.: D 6. En un decágono convexo, calcule el máximo número de ángulos internos de medida 100º. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 RESOLUCIÓN Bea A ae a aCDe e “n” lados E 100º100º100º100º80º80º80º100º80º Geometría Página 370 Piden: máx. Nºsi=100º * Para 1 i 100º 1 e 80º * Para 4 i 100 4e 320º * Para i e º 5 5 400 (Esto es imposible) Por que: e S 360º A lo máximo Solo se pueden conseguir 4 ángulos. RPTA.: B 7. Calcule el perímetro de un octógono equiángulo ABCDEFGH, AB=EF= 2 2 ; HG 2 , AH 3, DE 1 y GF=8. A) 16+6 2 B) 18+6 2 C) 16+8 2 D) 8 2 10 E) 18+8 2 RESOLUCIÓN Pide: Perímetro octógono=? * Calculando: en 360 - e º 360458 - Se determinan 4 triángulos notables de 45º y un rectángulo. PQ=RS=6 RD=3 y CD= 3 2 PS=QR=11 BC=6 Perímetro= 18 +8 2 RPTA.: E 8. La suma de las medidas de cinco ángulos internos de un polígono convexo es 760º.Calcule la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes. A) 190º B) 200º C) 210º D) 220º E) 230º RESOLUCIÓN Dato: 1 2 5 i i ...i 760º Piden: n e e ...e ? 6 7 * Se sabe: n e e ...e º...(I) 1 2 360 * 11 i e 180º 22 i e 180º . . . . . . 5n i e 180º 1 2 5 760 e e ...e 180º(5) 1 2 5 e e ...e 140º QH A 2 2 DeBSFG 6 CeeeR 3 2 1 231Peeee2 32 2 2 28 E3 3 ee 1 n e 6 e 5 e 4 e 2 e 3 i 4 i 5 i 6 i n i 1 i 2 i Geometría Página 371 Reemplazando en (I) 140º + n e e ...e º 6 7 360 n e e ...e º 6 7 220 RPTA.: D 9. En un polígono regular cuyo semi-perímetro es p, el número que expresa su perímetro es el igual al número de diagonales. Además la medida del ángulo interior es p veces la medida del ángulo exterior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular? A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E)1 RESOLUCIÓN * Sea “n” es Nº lados. Datos: semiperí metro: “p”= nx 2 * 2p=Nº Diagonales= n(n ) 32 * m i p p e Piden: x=? Reemplazando en los datos: n(n )p ...(I) 322 º 180 nn 2 ºP 360 n...(II) n p...(III) 2 2 (I) =(III) n nn 322 n 4 Reemplazando:”p” en (III) nx 1n 2 2 x2 2 RPTA.: D 10. Si un polígono de n lados tuviera (n-3) lados, tendría (n+3) diagonales menos. ¿Qué polígono es? A) Triángulo B) Cuadrilátero C) Pentágono D) Hexágono E) Octógono RESOLUCIÓN Piden: “n” (¿Qué polígono es?) Dato: Para: “n” lados Nº Diagonales. = n n 32 -(n+3) Reemplazando el Nº lados en el 2do polígono n n 3 n 3 n 3 3NºDiag n 32 2 Resolviendo: n 2 n n n 2 3 2 6 n 9 18 n 4 24 n 6 (Hexágono) RPTA.: D 11. Por el vértice B de un triángulo ABC, se traza una recta exterior. Calcule la distancia del punto medio de la mediana BM a la recta, sabiendo que las distancias de los vértices A y C a dicha recta miden 8 y 12 respectivamente. A)2 B) 10 C) 3 D)5 E) 7 n LADOS
