Transcript
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ Составители : ВН Астахов ГС Буланов ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания, индивидуальные и тестовые задания для студентов-заочников инженерно-экономических специальностей Утверждено на заседании метод совета ДГМА Протокол от Краматорск 6 УДК 57 Высшая математика: Методические указания, индивидуальные и тестовые задания для студентов-заочников инженерно-экономических специальностей /Сост ВН Астахов, ГС Буланов/ Краматорск: ДГМА, 6 8 с Данные методические указания содержат в кратком виде основной теоретический материал по курсу высшей математики для студентов экономического направления Приведены образцы решения контрольных заданий Указаны тематика и примеры заданий для рейтингового тестирования модулей Составители: ВН Астахов, доц, ГС Буланов, доц Отв за выпуск: Шевцов СА Выбор варианта контрольных заданий Комплект контрольных заданий, которые должен самостоятельно выполнить студент-заочник данной специальности, объявляет лектор на установочной сессии Выбор варианта каждого контрольного задания производится в соответствии с таблицей: Две последние 5 цифры в зачётке (студ билете) Номер варианта 5 Например, если Ваш вариант 7, то Вам предстоит решать задания с номерами 7, 7 и тд Методические рекомендации к контрольным заданиям Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом В помощь заочникам ДГМА организует чтение лекций и практические занятия Приступая к изучению курса высшей математики студент должен освоить из учебников [] - 5, гл I, гл III, гл IV (аналитическая геометрия на плоскости), гл II, гл IV (аналитическая геометрия в пространстве); [] - 9, гл II;, глiii;, глv; [] - главы I, II, III В пособии [] имеется большое число решенных задач, с которыми студенту рекомендуется познакомиться при изучении соответствующего материала Ниже мы приведем формулы и понятия, необходимые для решения основных видов задач контрольных заданий Все приложения математики, связанные с постановкой и решением экономических задач по линейной алгебре и математическому анализу, также приведены в данных рекомендациях Основные формулы и понятия «Аналитической геометрии» Длина отрезка находится по формуле d = + +, ( ) ( ) ( ),, ), (,, где ( ) - координаты данных точек Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид = =, m p где М(,, ) - точка на прямой, а m,,p - координаты вектора l Угол между прямыми находим как угол между направляющими векторами по формуле l l cos ( l, l ) = l l где l l - скалярное произведение векторов; l l - произведение длин направляющих векторов Скалярное произведение векторов: a = ( a,a, a ) b = ( b, b, b ) a + b = a b + a b a b Формула длины вектора: a = ( a,a, a ) Угол между прямой A + B + C + D = : где ( m,,p) + a a a = a + l = ; ( A, B, C ) = = m p l si ϕ =, l = Уравнение плоскости через три точки имеет вид = и плоскостью Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов, выходящих из одной вершины: S ABC = AB AC Прямая на плоскости определена следующими параметрами: а) двумя точками M (, ), M (, ) б) точкой и вектором нормали -, A, B = ; M ( ); = ( ); ( ) + B( ) A = ; в) точкой и направляющим вектором - M (, ); l = ( m,) ; = ; m г) угловым коэффициентом k и точкой - M (, ); = k( ) д) отрезками, которые отсекает прямая от осей координат (a,b) - + = a b Все уравнения прямой приводятся к виду A + B + C = - общее уравнение прямой на плоскости Условие параллельности двух прямых - A B = A B Условие перпендикулярности двух прямых - A = A + B B Основные формулы и понятия «Математического анализа» При вычислении пределов часто используют следующие соотношения эквивалентностей: a a + a + + a a - при, 5 k a - - k + a + a + + a a - при ; si = si tg - первый замечательный предел и следствия из него α ( ) α( ), arcsi ( ) α( ) α ( ) α( ), arctg α ( ) α( ) ; = + следствия из него α ( + ) = e α, - второй замечательный предел и ( ( )) ( ) α( ) β( ) β + α = e ( ) ( ), l( + α( ) ) α( ), ( ) m ( ) l a, ( α( ) ) mα( ) e α α a α где α ( ) - бесконечно малая величина;, +, β ( ) - бесконечно большая величина Функция = f() с областью определения D называется непрерывной в точке, если выполняется условие f + ( ) = f ( ) = f ( ) Если в точке нарушено хотя бы одно из условий, то называется точкой разрыва: f ( ) - предел слева; f ( ) + - предел справа Пример Задана функция = f() Найти точки разрыва функции, если они существуют +, если , = +, если ,, если 6 Решение На каждом промежутке изменения независимой переменной функция непрерывна Разрыв может быть только в точках «стыка» Проверим условие непрерывности в точках =, = =, f ( ) = ( +) = + f ( ) = ( +) = + f (, =, ) = f () = ( + ) = В точке = выполняется условие непрерывности =, f ( ) = ( +) = f ( ) f () =, f ( ) = = = + + Пределы слева и справа конечны, но не равны между собой Следовательно, точка = является точкой разрыва первого рода Функции нескольких переменных При изучении этой темы рекомендуется проводить аналогию с уже известными соответствующими фактами дифференциального исчисления функций одной переменной Вместе с тем необходимо представлять, какие особенности возникают в трактовке того или иного понятия при переходе от функции одной переменной к многофакторной зависимости Приведем примеры некоторых функций, встречающихся в экономических задачах: α β Функция Кобба Дугласа - Z = A, где Z величина общественного продукта, х затраты труда, объем производственных фондов Издержки производства данного изделия при данной технике производства есть функция материальных затрат х и расходов на оплату рабочей силы : Z = f (, ) Пусть предметами потребления будут два товара А и В, цены которых P и P соответственно Если цены других товаров постоянны, A B, 7 а доходы потребителей и структура потребностей не изменяются, то спрос и предложение каждого из товаров зависит от их цен: а) A f( PA, PB ) б) f ( P, P ) Z = спрос на товар А; Z B = A B спрос на товар В; в) f ( P, P ) Z = предложение товара А C A B Функция затрат на приобретение товаров и Z = f (, ) Понятие частной производной также находит применение в экономике, например, расчет эластичности (см далее) Основные математические модели в экономике Непрерывное начисление процентов Пусть начальный вклад в банк составил Q H денежных единиц Банк выплачивает ежегодно Р % годовых Необходимо найти размер вклада Q t через t лет Размер вклада ежегодно увеличивается в P ( + ) раз, то есть P Q = Q +, P н Q = Qн +, t P Qt = Qн + Пусть процент начисляют раз в году, тогда за -ю часть года процент начисления составит P, а размер вклада за t лет при t начислениях составит: P Q t = Q н + Примечание При процент начисляется непрерывно, при = - каждое полугодие, = - ежеквартально, = 65 - каждый день Тогда при непрерывном начислении процентов Pt t Pt P Q t = Qн Qнe + = = Qнe Это есть экспоненциальный закон роста (при р ) или убывания (при р ) На практике в финансово-кредитных операциях непрерывное t 8 начисление процентов применяется очень редко Оно эффективно при анализе серьёзных финансовых проблем, в частности, при обосновании и выборе инвестиционных решений Производительность труда Пусть U(t) - количество произведённой продукции U за время t Необходимо найти производительность труда В момент от t до t + t количество произведённой продукции изменится от U = U(t ) до U + U Тогда средняя производительность труда за период t ср U t U = и = = = U ( t ) производительность труда в момент t Примечания: Скорость изменения производительности (t) ср t t t Логарифмическую производную ( l ) = называют относительной скоростью изменения функции или темпом изменения функции В частности, ( l ) = темп изменения производительности Средние и предельные издержки производства Пусть количество выпускаемой продукции; издержки производства Если прирост продукции, а приращение издержек производства, то среднее приращение издержек производства на единицу продукции Тогда = () предельные издержки производства Аналогично можно дать понятие следующим экономическим показателям: предельная выручка, предельный доход и др Предельные издержки приближённо характеризуют дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции Эластичность и её применение в экономике Одним из важнейших применений дифференциального исчисления в экономике является введение с помощью производной понятия эластичности Коэффициент эластичности показывает - 9 относительное изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит Эластичностью функции = f() называется предел отношения относительных изменений переменных и : E ( ) = : = Эластичность спроса по цене dq p E p (q ) = dp q ' f f ( ) ( ) показывает относительное изменение (в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении цены этого блага на один процент и характеризует чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию Эластичность спроса по доходу dq I E I (q) = di q Частная эластичность Рассмотрим функцию = f (, ) Величины E (), () E () E, которые определяются формулами =, () E = называются частными эластичностями функции = f (, ) относительно переменных и Частная эластичность E () приблизительно означает процент роста (или снижения) функции, если аргумент увеличивается на %, а аргумент остается постоянным E B Например, ( ) P A частная эластичность спроса на товар А относительно цены P, приблизительно означает процент роста B (снижения) спроса на товар А, если цена товара В возрастает на %, а цена товара А остается неизменной Пример Опытным путем установлены функции спроса S и предложения П: S = Ρ + 8, П = Р + 5, Ρ + где S и Пколичество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени; Р цена товара Найти: а) равновесную цену, то есть цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной Решение Выполним расчет по пунктам задания: а) Равновесную цену найдем из уравнения Ρ + 8 = P + 5, получим Р = Ρ + б) По формуле частной эластичноости находим E 6Ρ Ρ (S) =, E (П) p Ρ + Ρ + 8 p = Ρ + ( )( ) Для равновесной цены Р = вычисляем частные эластичности спроса - Е p (S)=- и предложения - Еp(П)=8 Так как получено Еp(S) и Еp(П) , то спрос и предложение не эластичны относительно цены Это означает что изменение цены не приведёт к резкому изменению спроса и предложения При увеличении цены Р на % спрос уменьшается на,%, а предложение увеличиться на 8% в) При увеличении цены Р на 5% от равновесной спрос уменьшается на 5%, следовательно доход возрастает на 5% Коэффициент Джини Рассмотрим зависимость процента доходов населения от процента, имеющего эти доходы населения, те, функцию = f () С помощью функции f () (кривая Лоренца) можно оценить степень неравенства в распределении доходов населения При равномерном распределении доходов кривая f () вырождается в биссектрису ОА Площадь сегмента O fa, отнесенная к площади треугольника ОАВ называется коэффициентом Джини Этот коэффициент характеризует степень неравенства в распределении доходов населения: () O Рисунок f A B () если коэффициент Джини не превышает, то распределение доходов можно считать близким к равномерному; если коэффициент Джини находится в пределах от до 67, то распределение доходов считают неравномерным; если коэффициент Джини более 67, то распределение доходов можно считать существенно неравномерным Объем выпускаемой продукции Известно, что производительность труда в течение рабочего дня изменяется Пусть изменение производительности труда определяется функцией f ( t), где t отрезок времени, отсчитываемый от начала рабочего дня, а f ( t) производительность труда в данный момент Тогда величина U = T f ( t) есть объем выпускаемой продукции за время [, T] dt Часто при решении практических задач приходится находить средние значения функции, например, средняя производительность труда, средние издержки производства, средняя мощность двигателя и тд В этих случаях используют теорему о среднем значении (интеграла) a, b, Теорема о среднем Если функция непрерывна на отрезке [ ] то найдется такое значение c [ a, b], что f b = b a ( c) f ( t) dt = L Число L называется средним значением функции (t) a f на отрезке [, b] a Дисконтированный доход При изучении экономической эффективности капитальных вложений встречаются задачи, связанные с определением начальной суммы по ее конечной величине, полученной через t лет при годовом проценте Р (процентная ставка) Такая задача называется дисконтированием Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f ( t) при удельной норме процента, P равной i = Процент начисляется непрерывно Тогда дисконтированный доход К за время Т вычисляется по формуле T K = f e it dt ( t) Если базовое капиталовложение составляет N (усл ед) и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на m (усл ед), то f t = N + ( ) mt Издержки производства Закономерность, определяющая зависимость между издержками производства определенного товара и объемом производства, называется функцией издержек Если через К обозначить суммарные издержки производства х единиц продукта, то функцию суммарных издержек можно записать в виде K = f ( ) Функция К П = = f ( ) называется функцией средних или условных издержек Пусть f ( ) K = переменные издержки производства Средние издержки производства, если объем производства составляет от а до b единиц вычисляются по теореме о среднем (см п Объем выпускаемой продукции ) Прогнозирование экономических показателей Прежде чем рассматривать какие-либо методы прогнозирования необходимо выяснить, чего от них можно ожидать Ввиду того, что прогнозы основываются на информации о поведении объекта в прошлом, они всегда будут иметь ошибку Поэтому все математические подходы в прогнозировании основываются на идее минимизации этих ошибок Так как ошибки могут быть как положительными, так и отрицательными, то обычная сумма этих ошибок не может служить удовлетворительным критерием их малости (их обычная сумма будет стремиться к нулю) Более адекватная мера качества прогноза сумма квадратов ошибок Любой прогноз характеризуется двумя основными показателями: первый значение прогнозируемого показателя на будущий момент времени; второй отклонение прогноза, которое характеризует разброс прогнозируемого значения вокруг реального Обычным методом прогнозирования будущего значения показателя является усреднение его прошлых значений Формально его можно определить формулой t + U t = d i i= t В частности, при = 6 ожидаемое значение спроса в следующем месяце равно среднему арифметическому спросов последних шести месяцев: U 6 ( d + d + d + d + d d ) t+ = t t t t t + t5 Эта формула имеет ряд особенностей: Для того, чтобы начать процесс прогнозирования необходимо иметь в запасе прошлых значений наблюдений Всем данным, входящим в процесс прогнозирования,, а остальным нулевой вес При присваивается одинаковый вес ( ) этом более свежие данные имеют тот же вес, что и старые, вместе с тем понятно, что свежие данные имеют более важное значение и поэтому должны иметь больший вес Для устранения этого недостатка можно предложить процедуру усреднения с разными весами: U 6 6 t = d t + d t + d t + d t, или U t =,d t +,d t +,d t +,d t Важным обстоятельством является лишь то, что сумма этих весов равна единице (необходимое условие того, чтобы соответствующие величины были средними значениями) Чувствительность прогноза обратно пропорциональна числу точек, входящих в среднее Отмеченные недостатки устраняются в схеме, если система весов экспоненциальна Можно рассматривать ряд весов, убывающих во времени по экспоненциальному закону Определим этот ряд следующим образом: Тогда прогноз α + α ( α) + α( α) + + α( α) + U t можно записать в виде U = αd + α U ( ) t t t Это и есть основное уравнение, определяющее простое экспоненциально взвешенное среднее (эвс) Можно отметить ряд преимуществ экспоненциально взвешенного среднего перед предыдущими формулами прогнозирования: Для построения прогноза по эвс необходимо задать лишь начальную оценку прогноза В эвс значения весов убывают со временем, поэтому здесь нет точки, на которой веса обрываются Для вычисления эвс требуются лишь два значения: прошлое U t и текущее значение ( d ) t значение среднего ( ) Наиболее типичные значения, используемые в области экономического и промышленного прогнозирования, лежат в пределах от 5 до На практике не рекомендуется брать значения ниже 5, как и выше В решении практических задач значение α находят исходя из минимума суммы квадратов ошибок Основная причина зависимости меры разброса от суммы квадратов ошибок (а не просто от суммы ошибок) в том, что возведение в квадрат делает результат положительным Для большинства прогнозов сумма ошибок стремится к нулю Поэтому сумма ошибок не может служить удовлетворительной мерой разброса 5 Решение типовых заданий Пример Известны данные спроса на продукцию в некоторые месяцы: месяц 5 спрос Оценить путем интерполирования методом Лагранжа спрос в промежуточные месяцы Построить на одном чертеже графики вспомогательных полиномов, а на другом интерполяционного полинома Лагранжа Решение Введем обозначения х =, х = 5, х =, у = 7, у = 6, у = 5 и вычислим вспомогательные полиномы ( )( ) ( 5)( ) Q () = = =, ( )( ) ( )( 8) 6 Q Q ( )( ) ( )( ) + () = = =, ( )( ) ( 6) ( )( ) ( )( 5) ( ) = = = ( )( ) Запишем и упростим полином Лагранжа: L() = Q () + Q() + Q() = ( ) 5( + ) + 5( 8 + 5) + 5 = = = + + = = + + = Проверка: L () = + 7 = = 7, L(5) = = = 6, L () = + 7 = = 5 6 Вычислим таблицы полиномов по месяцам Q () Q () Q () L () Таким образом, в промежуточные месяцы получаем следующие оценки спроса на продукцию: Месяц Спрос Построим графики полиномов, выбирая подходящий масштаб оси ординат Рисунок Вспомогательные полиномы 7 L Рисунок Интерполяционный полином Пример Капитал в 7 млн грн может быть размещен в банке под % годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 5% Издержки задаются х квадратичной зависимостью Прибыль облагается налогом в p% При каких значениях р вложение в производство является более эффективным, чем чистое размещение капитала в банке? Решение Весь капитал 7 (млн грн) разделим на части: х(млн) в производство, (7 х) в банк под проценты Тогда через год из банка можно взять: (7 ) ( 7 ) + = (7 ) 8 Доход от производства через год составит: 5 + = 5 Прибыль от вложения в производство: 5 Чистая прибыль окажется равной: p p 5 (5 ) = (5 )( i), где i = Через год общая сумма составит: S( ) =, (7 ) + (5 )( i) Необходимо найти максимальное значение этой функции на отрезке [; 7] Необхо-димое условие экстремума ( S () = ) дает критическую точку о = 5 Так как х i о , то i 6 или p 6% Достаточное условие экстремума S ( o ) (так как i ) Ответ: p 6% Пример 5 Кривая Лоренца задана уравнением = - -, где доля населения, доля доходов населения Вычислить коэффициент Джини S K = S S Решение OAf OAB S = OAB S S OAB OfAB S = S OfAB OAB d = d = OfAB = l l = l 69 = ( ) 8 K 8 = 76 = Так как K = S OfAB d = l, =, то распределение доходов населения данной страны близко к равномерному = 9 Пример 6 Дан динамический ряд Первые 8 элементов обучающая выборка, оставшиеся экзаменующая Составить прогноз по обучающей выборке и сравнить результаты с экзаменующей выборкой Расчеты иллюстрировать графичеки u u Решение Рассчитываем прогнозы показателей по формуле ) U = ( α) U + α U + ) Рассчитываем прогноз для α = : U) = 8, U ) = , = U ) = , = U ) = , 5 = U ) = 9 + 5, 6 = U ) = 9 +, 7 = U ) = = ) Рассчитываем прогноз для α = : U) = 8, U ) = , = U ) = , = U ) = , 5 = U ) = 8 + 5, 6 = U ) = 8 +, 7 = U ) = = ) ) Рассчитываем прогноз для α = : U) = 8, U ) = , = U ) = , = U ) = , 5 = U ) = 7 + 5, 6 = U ) = 7 +, 7 = U ) = = ) Рассчитываем прогноз для α = : U) = 8, U ) = , = U ) = , = U ) = , 5 = U ) = , 6 = U ) = , 7 = U ) = = 5) Рассчитываем прогноз для α = 5 : U) = 8, U ) = , = U ) = , = U ) = , 5 = U ) = , 6 = U ) = , 7 = U ) = = Полученные результаты записывае
