Transcript
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Μαθηματική Προσομοίωση σε Προβλήματα της Μηχανικής των Συζευγμένων Πεδίων και Μηχανικής των Σεισμών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Γεώργιος Ι. Σφυρής Συμβουλευτική Επιτροπή: Ι. Δαφαλιάς, Καθηγητής Ε.Μ.Π. Δ.Ι. Μπαρτζώκας, Καθηγητής Ε.Μ.Π. (Επιβλέπων) Δ. Παναγιωτουνάκος, Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, 7. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ.. ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ.. ΤΑΞΙΝΟΜΙΑ ΚΑΤΑ BRAVAIS..3 ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ..4 ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΧΩΡΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ..5 ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΛΕΓΜΑ..6 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ..7 ΔΕΙΚΤΕΣ MILLER. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ. 3. ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ. 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL. 3.. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΣΤΟ ΚΕΝΟ. 3.. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΣΤΗΝ ΎΛΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ, ΤΗΝ ΘΕΡΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ, ΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. 4. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. 4.. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ. 4.. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Η ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΜΙΑ ΣΥΝΘΕΤΗ ΠΛΑΚΑ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ. 4..6. ΕΞΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΕΞΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΡΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. 4.. ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ. 4.. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΕΝΤΑΣΙΑΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Ο ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΟΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΝΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΘΕΡΜΙΚΗ ΕΠΑΦΗ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΙΕΖΟΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΥΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΦΕΡΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΑΙ ΠΙΕΖΟΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΠΙΕΖΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΕΝΑ ΣΥΝΘΕΤΟ ΜΕΣΟ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΡΩΓΜΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΠΙΕΖΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΜΕΣΟ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΕΝΑ ΤΟΥΝΕΛ ΜΕ ΗΛΕΚΤΡΟΔΙΑ ΚΑΙ ΕΝΙΣΧΥΕΤΑΙ ΑΠΟ ΣΚΛΗΡΟ ΕΝΤΑΤΗΡΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΘΡΑΥΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. 5. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 5. ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ A.A. GRIFFITH. 5.3 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΘΡΑΥΣΗΣ ΨΑΘΥΡΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ. 5.4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΘΡΑΥΣΗΣ. 5.5 ΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΘΡΑΥΣΗΣ ΤΟΥ D.R. IRWIN ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΝΤΑΣΕΩΣ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ. 5.6 ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟ J-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. 5.7 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΡΑΥΣΗΣ ΠΙΕΖΟΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ. 5.8 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΗΣ ΟΠΗΣ. 5.9 ΣΥΝΘΗΚΗ ΜΗ-ΙΔΑΝΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΠΑΦΗΣ. 5. ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΘΡΑΥΣΗΣ ΕΝΟΣ ΕΝΤΑΤΗΡΑ. 5.. ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ MELAN. 5.. ΕΠΑΦΗ ΕΝΟΣ ΘΡΑΥΣΜΕΝΟΥ ΕΝΤΑΤΗΡΑ ΜΕ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΗΜΙΑΠΕΙΡΗ ΠΛΑΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΗΓΩΝ. 6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 6. ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΑ. 6.3 ΕΠΙΠΕΔΑ ΚΥΜΑΤΑ. 6.4 ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. 6.5 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΠΗΓΩΝ ΤΑΝΥΣΤΗΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΡΟΠΗΣ. 6.6 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΥΠΟΥ «BEACHBALL». 6.7 ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΗΓΜΑΤΩΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 7. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΑ ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. 7.3 ΓΕΝΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ ΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΡΗΓΜΑΤΩΜΕΝΟ ΣΩΜΑ. 7.4 ΤΟ Ο ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΕΝΑ ΡΗΓΜΑΤΩΜΕΝΟ ΣΩΜΑ. 7.5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ.. Π.. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Π.. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΙΔΙΟΜΟΡΦΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ ΤΥΠΟΥ CAUCHY. Π..3 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΑ. Π..4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΤΥΠΟΥ CAUCHY.. Π.. ΌΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΕΙΣΜΩΝ. Π.. ΣΕΙΣΜΙΚΟ ΜΕΓΕΘΟΣ. Π..3 ΈΝΤΑΣΗ ΣΕΙΣΜΩΝ. Ευχαριστίες. Με την ολοκλήρωση της παρούσας διατριβής αισθάνομαι την ανάγκη να ευχαριστήσω όλα τα πρόσωπα που με βοήθησαν στην προσπάθεια μου αυτή. Κατ αρχήν θα πρέπει να ευχαριστήσω την οικογένεια μου για την αγάπη και την υποστηριξή της σε όλα τα στάδια της ζωής μου. Ιδιαίτερως πρέπει να αναφερθώ στον αδερφό μου Δημήτρη, ο οποίος με την κατανόηση, την ψυχική του ηρεμία και τις επιστημονικές του γνώσεις με βοήθησε ενεργά στην παρούσα διατριβή. Ένα μεγάλο ευχαριστώ στα φιλικά μου πρόσωπα για την ψυχολογική υποστήριξη και σε μερικές περιπτώσεις ανοχή. Θα αναφέρω ενδεικτικά την Παναγιώτα Πολυχρονοπούλου, τον Αναστάσιο Πετρόπουλο, τον Αθανάσιο Ηλιόπουλο και τον Κωνσταντίνο Γκιώνη. Όσον αφορά στους ανθρώπους που συνεργάστηκα όλα αυτά τα χρόνια νομίζω ότι θα ήταν καλό (πέρα από το μεγάλο ευχαριστώ που τους χρωστάω) να γράψω δύο λόγια γι αυτούς, με την σειρά που τους γνώρισα. Με την κυρία Ελισσάβετ Δολόγλου γνωρίστηκα κατά την διάρκεια εκπόνησης της πτυχιακής μου εργασίας στο Τμήμα Φυσικής του ΕΚΠΑ. Είχαμε μια άριστη συνεργασία, η οποία οδήγησε και στην συγγραφή των σημειώσεων του μαθήματος «Φυσική της Γης». Πέρα από την συνεχή μετάδοση γνώσεων, την επιστημονική της γνώμη και τις συμβουλές της, μέχρι και την σημερινή ημέρα, οφείλω να την ευχαριστήσω επίσης για την καλοσύνη της, και να αναφερθώ στο εξαιρετικό ήθος και την ευγένεια που την διακρίνει. Ήμουν τυχερός για την γνωριμία μας, μιας και πέρα από την επιστημονική γνώση στον τομέα της Σεισμολογίας και της Φυσικής της Γης, πήρα και πολλά μαθήματα σχετικά με την διδασκαλία, και την αξία της επικοινωνίας μεταξύ δασκάλου και μαθητή. Τον επιβλέποντα μου στην παρούσα διατριβή, τον κ. Δημοσθένη Μπαρτζώκα τον γνώρισα λίγο πριν ξεκινήσω το μεταπτυχιακό μου στον Τομέα Μηχανικής της ΣΕΜΦΕ. Τα τέσσερα χρόνια που μεσολάβησαν μέχρι σήμερα συνεργαστήκαμε στενά στα θέματα που παρουσιάζονται στην διατριβή, με ιδιαίτερη επιτυχία. Το επιστημονικό έργο του κ. Μπαρτζώκα είναι ογκοδέστατο και πρωτοποριακό εκτείνεται δε τόσο στο επίπεδο των επιστημονικών δημοσιεύσεων και μονογραφιών όσο και στο επίπεδο εκπαιδευτικών συγγραμάτων. Πέρα από την αδιαμφισβήτητη επιστημονική και διδακτική του ικανότητα ο κ. Μπαρτζώκας είναι επίσης ένας άνθρωπος με πίστη στα σοσιαλιστικά ιδεώδη, ένας πραγματικός αγωνιστής που παλεύει για ένα καλύτερο αύριο τόσο μέσα στο ΕΜΠ όσο και στο κοινωνικό σύνολο, ένα φωτεινό παράδειγμα Πανεπιστημιακού Δάσκαλου που συνδυάζει αρμονικά την επιστημονική γνώση με την ευρύτερη πνευματική καλλιέργεια, το ήθος και την αξιοπρέπεια. Τα ευχαριστώ θα είναι λίγα για τον άνθρωπο που θεωρώ πνευματικό πατέρα. Με τον κ. Κωνσταντίνο Σιέττο γνωρίστηκαμε μόλις διορίστηκε στον Τομέα Μηχανικής και θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για την βοήθεια του. Ο κ. Σιέττος είναι ένας νέος άνθρωπος με μεγάλο επιστημονικό έργο και πρωτότυπες ιδέες που θα δώσουν μια νέα πνοή στον Τομέα Μηχανικής. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Διευθυντή του Τομέα Μηχανικής κ. Ιωάννη Δαφαλιά, και τον κ. Δημήτρη Παναγιωτουνάκο που σαν μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής με βοήθησαν με τις καίριες παρατηρήσεις τους να ολοκληρώσω την παρούσα εργασία. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους κυρίους Βασίλη Ζήση και Βασίλη Παπανικολάου από τον Τομέα Μαθηματικών για την συμμετοχή τους στην επταμελή εξεταστική επιτροπή και την υποστήριξη που μου παρείχαν. Η διατριβή εκπονήθηκε εξ ολοκλήρου στον Τομέα Μηχανικής, τα μέλη του οποίου θα πρέπει να ευχαριστήσω τόσο για την υποστήριξή τους όσο και για την υποτροφία που μου παρείχαν κατά το πρώτο έτος του διδακτορικού μου. Επίσης θα ευχαριστήσω το Ίδρυμα Περικλή Θεοχάρη (και ιδιαιτέρως τον κ. Νίκο Ανδριανόπουλο) για την ομώνυμη υποτροφία που έλαβα από αυτό κατά τα δύο τελευταία χρόνια. Γιώργος Σφυρής, Αθήνα 7. Κεφάλαιο. Εισαγωγή. Η παρούσα διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε κατά την διάρκεια τριών ετών, από το 4 έως το 7, στον Τομέα Μηχανικής της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μια παρουσίαση βασικών στοιχείων την Κρυσταλλογραφίας και Κρυσταλλοφυσικής που αποτελούν αφ ενός μεν καίρια σημεία για την κατανόηση των ιδιοτήτων των κρυστάλλων, την ταξινόμησή τους και την περαιτέρω μελέτη τους αφ ετέρου δε συστατικό στοιχείο της Μηχανικής Συζευγμένων Πεδίων. Θα αναφέρουμε τα κρυσταλλικά συστήματα, την ταξινομία κατά Bravais και τις Κρυσταλλογραφικές Σημειακές αλλά και Χωρικές Ομάδες. Κατόπιν, θα δούμε το αντίστροφο πλέγμα, τα κρυσταλλικά επίπεδα και τους δείκτες Miller. Το τρίτο κεφάλαιο επικεντρώνεται στα βασικά στοιχεία της Ηλεκτροδυναμικής. Ξεκινάμε από μια ιστορική αναδρομή, περνάμε στις εξισώσεις του Maxwell τόσο στο κενό όσο και στην ύλη, κλείνουμε με αναλυτική αναφορά στην Πόλωση και την Μαγνήτιση. Το τέταρτο κεφάλαιο αποτελεί τον κύριο όγκο της διατριβής. Σε αυτό γίνεται χρήση των μεθόδων της Μιγαδικής Ανάλυσης και των Ιδιόμορφων Ολοκληρωτικών Εξισώσεων στην Μηχανική των Συζευγμένων Πεδίων. Ο χωρισμός έχει γίνει σε Γραμμική Ελαστικότητα ( 4.), Θερμοελαστικότητα ( 4.3) και Ηλεκτροελαστικότητα ( 4.3). Κάθε ένα από αυτά τα τμήματα περιέχει την αντίστοιχη θεωρητική θεμελίωση και ακολουθούν οι ανάλογες εφαρμογές που αποτελούν είτε Επιστημονικές Δημοσιεύσεις σε Διεθνή Συνέδρια είτε Επιστημονικές Δημοσιεύσεις σε Διεθνή Περιοδικά με κριτές. Αναλυτικά, στην 4. μετά την θεωρητική ανάλυση ακολουθεί, σαν εφαρμογή, η περίπτωση μιας σύνθετης πλάκας υπό την επίδραση μηχανικής φόρτισης. Παρουσιάζεται και επιλύεται ένα διδιάστατο πρόβλημα μιας άπειρης πλάκας που περιέχει ατέλειες και υφίσταται διαξονικό εφελκυσμό στο άπειρο. Οι ατέλειες είναι τρεις ρωγμές που έχουν όλα τα είδη συνοριακών συνθηκών (δηλαδή γνωστές τάσεις, γνωστές μετατοπίσεις και μεικτού τύπου συνοριακές συνθήκες), μια καμπυλόγραμμη οπή και ένα έγκλεισμα που είναι ημι-αποκολλημένο από την πλάκα. Μετά την επίλυση δίνουμε ενδεικτικές τιμές στα μεγέθη του προβλήματος και συγκρίνουμε με γνωστές λύσεις και δίνουμε τις τιμές μερικών χρήσιμων μεγεθών όπως οι συντελεστές εντάσεως των τάσεων. Στην 4. δίνουμε μερικά βασικά στοιχεία της Θερμοελαστικότητας και σαν εφαρμογή παρουσιάζουμε τον σχηματισμό των Ολοκληροδιαφορικών Εξισώσεων για το Επίπεδο Πρόβλημα ενός Πολλαπλά Συνεκτικού Σώματος στο πλαίσιο της Θερμοελαστικότητας. Μελετάμε ένα γενικό θεωρητικό πρόβλημα με μεγάλο ενδιαφέρον. Ειδικά, βρίσκουμε την γενική μορφή των καταστατικών εξισώσεων για μια πλάκα που υφίσταται διαξονικό εφελκυσμό ενώ δέχεται ροή θερμότητας από το άπειρο. Η ίδια η πλάκα μπορεί να περιέχει πηγές ή/και καταβόθρες θερμότητας σε μεγάλο αλλά πεπερασμένο αριθμό, όπως επίσης και ρωγμές, εγκλείσματα και οπές. Τέλος είναι δυνατόν να έχουμε την ύπαρξη συγκεντρωμένων δυνάμεων ή ροπών στην πλάκα. Οι εξισώσεις που προκύπτουν είναι γενικά δυσεπίλυτες στην γενική περίπτωση είναι όμως δυνατόν να επιλυθούν ενδιαφέρουσες ειδικές περιπτώσεις με μεγαλύτερη ευκολία. Στην 4.3 αφού κάνουμε παρουσίαση μερικών βασικών στοιχείων του Γραμμικού Πιεζοηλεκτρισμού περνάμε σε δύο εφαρμογές. Η πρώτη εφαρμογή αφορά στα Θεμελιώδη Προβλήματα της Ελαστικότητας για ένα Μέσο που περιέχει Ρωγμή. Σε αυτό το τμήμα μελετάμε ένα άπειρο υλικό που αποτελείται από δύο διαφορετικά υλικά το καθένα από τα οποία καταλαμβάνει ένα ημιεπίπεδο του χώρου. Αρχικά μελετάμε την περίπτωση ύπαρξης φορτίου στο ένα από τα δύο ημιεπίπεδα, κατόπιν την παρουσία ρωγμών σε ένα από τα δύο ημιεπίπεδα και παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα για τους σχετικούς Συντελεστές Εντάσεως των Τάσεων. Ακολούθως μελετάμε την περίπτωση όπου μια ρωγμή διασχίζει το σύνορο των δύο υλικών και μετά την επίλυση προχωράμε σε ανάλογα παραδείγματα. Η δεύτερη εφαρμογή αφορά στην διέγερση διατμητικών κυμάτων σε ένα πιεζοηλεκτρικό μέσο που περιέχει ένα τούνελ με ηλεκτρόδια και ενισχύεται από σκληρό εντατήρα. Εδώ, μελετάμε ξανά μια άπειρη και πιεζοηλεκτρική πλάκα που περιέχει μια οπή με λείο περίγραμμα, πάνω στο οποίο είναι τοποθετημένα μερικά ηλεκτρόδια. Επίσης υπάρχει ένας σκληρός εντατήρας για την ενίσχυση του συστήματος. Εφαρμόζοντας την ψευδοστατική προσέγγιση βρίσκουμε τις καταστατικές εξισώσεις του προβλήματος τις οποίες και επιλύουμε για να βρούμε τόσο την ένταση των δυνάμεων επαφής μεταξύ του εντατήρα (εγκλείσματος) και της πλάκας όσο και την συγκέντρωση των τάσεων στην περιοχή του ανοίγματος. Τέλος, στα παραδείγματα, δίνουμε τιμές στα βασικά μεγέθη και παίρνουμε αποτελέσματα για χρήσιμα μεγέθη, όπως το ολικό σχετικό φορτίο, οι τάσεις επαφής και το πλάτος της μετατόπισης. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποια βασικά στοιχεία της Μηχανικής των Θραύσεων και μια αντίστοιχη εφαρμογή. Μέσα στα όρια της ψαθυρής θραύσης θα μελετήσουμε το πρόβλημα της πιθανής κατάρρευσης ενός άπειρου εντατήρα (stringer) που βρίσκεται στο σύνορο μιας ελαστικής και ημιάπειρης πλάκας. Η πλάκα εντείνεται από ομοιόμορφα κατανεμημένες δυνάμεις και επίσης υφίσταται τάσεις επαφής λόγω των δυνάμεων που επιδρούν πάνω στον εντατήρα (stringer). Θα εξάγουμε την ακριβή λύση του προβλήματος και μέσω αυτής θα μπορέσουμε να αξιολογήσουμε την συνθήκη θραύσης του εντατήρα (stringer) και τους απαραίτητους περιορισμούς για την εξωτερική φόρτιση ώστε η ρωγμή να μην διαδοθεί στο εσωτερικό της πλάκας. Η βάση μας θα είναι το τροποποιημένο πρόβλημα του Melan και με την βοήθεια των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών Fourier, θα βρούμε την λύση και θα εξάγουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες θα σπάσει ο άπειρος σε μήκος εντατήρας (stringer). Ακολούθως θα βρούμε τις αναγκαίες συνθήκες φόρτισης κάτω από τις οποίες η ρωγμή του σπασμένου εντατήρα (stringer) δεν θα διαδοθεί στο εσωτερικό της πλάκας. Το έκτο κεφάλαιο αφορά σε στοιχεία της θεωρίας των Σεισμικών Κυμάτων και των Σεισμικών Πηγών. Θα παρουσιάσουμε τα επίπεδα, σφαιρικά και επιφανειακά κύματα μαζί με την αναπαράσταση των Σεισμικών Πηγών (Μοντέλο του Διπλού Ζεύγους) και τον Τανυστή σεισμικής ροπής. Επίσης θα γίνει αναφορά κα στα διαγράμματα τύπου «beachball» που είναι ιδιαίτερα χρήσιμα για την απεικόνιση της Σεισμικής Πηγής. Στο έβδομο και τελευταίο κεφάλαιο θα μελετήσουμε το πρόβλημα διαμόρφωσης των Καταστατικών Εξισώσεων για το Δυναμικό Πρόβλημα του Ρηγματωμένου Σώματος. Αφού δώσουμε τα βασικά στοιχεία για μεθόδου της Μιγαδικής Ανάλυσης για τα δισδιάστατα Δυναμικά Προβλήματα θα περάσουμε στην κατάστρωση των Καταστατικών Εξισώσεων τόσο για το Πρώτο όσο και για το Δεύτερο Θεμελιώδες πρόβλημα. Τα δυναμικά προβλήματα παρουσιάζουν ιδιαίτερο στη Μηχανική των Σεισμών και η επίλυση των παραπάνω Καταστατικών Εξισώσεων έχει ιδιαίτερο επιστημονικό ενδιαφέρον. Το πρώτο παράρτημα έχει αρκετά στοιχεία για τις Μεθόδους της Αριθμητικής Ανάλυσης που χρησιμοποιήθηκαν στις Εφαρμογές, ενώ το δεύτερο παράρτημα έχει στοιχεία για τα όργανα μέτρησης των σεισμών, τα σεισμικά μεγέθη και την σεισμική ένταση. Η διατριβή ολοκληρώνεται με την παρουσίαση της βιβλιογραφίας που χρησιμοποιήθηκε. ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Στοιχεία Κρυσταλλογραφίας. Σχήμα στο εξώφυλλο και τα σχήματα των πινάκων από την Wikipedia. Κρύσταλλο ονομάζουμε το στερεό εκείνο σώμα στο οποίο τα άτομα, τα μόρια ή τα ιόντα που το αποτελούν έχουν συγκεκριμένη και επαναλαμβανόμενη διάταξη η οποία επαναλαμβάνεται και στις τρεις διαστάσεις. Γενικά, η διαδικασία δημιουργίας των κρυστάλλων βασίζεται στην στερεοποίηση κάποιου υγρού. Η ιδανική διαδικασία θα οδηγήσει στην δημιουργία ενός κρυστάλλου όπου όλα τα άτομα θα ανήκουν στην ίδια, σχετικά απλή, διάταξη και ο κρύσταλλος σε αυτή την περίπτωση θα λέγεται μονοκρύσταλλος. Η συνηθισμένη διαδικασία στερεοποίησης οδηγεί στην δημιουργία ενός στερεού που έχει περισσότερες από μια διατάξεις των δομικών στοιχείων. Το σώμα λέγεται τότε πολυκρυσταλλικό και οι περισσότεροι κρύσταλλοι που σχηματίζονται φυσικά έχουν αυτή την μορφή. Η κρυσταλλική δομή είναι μια μοναδική διάταξη των δομικών στοιχείων του κρυστάλλου. Μπορεί να περιγραφεί με χρήση της βάσης που είναι μια ομάδα δομικών στοιχείων με δεδομένη διάταξη και του κρυσταλλικού πλέγματος πάνω στο οποίο επαναλαμβάνεται η βάση. Μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε τους κρυστάλλους βάση την συμμετρία που διαθέτουν. Συμμετρία είναι η ιδιότητα του κρυστάλλου να διατηρεί την διάταξη των δομικών του στοιχείων ύστερα από κάποιες μεταβολές όπως για παράδειγμα η περιστροφή. Η ανεύρεση όλων των συμμετριών των κρυστάλλων οδηγεί στην κατηγοριοποίησή τους.. Κρυσταλλικά Συστήματα. Τα κρυσταλλικά συστήματα είναι μια μέθοδος κατηγοριοποίησης των κρυστάλλων σύμφωνα με το σύστημα των αξόνων που χρησιμοποιείται για να περιγραφεί το πλέγμα τους. Κάθε κρυσταλλικό σύστημα αποτελείται από τρεις άξονες με μοναδική διάταξη και τελικά υπάρχουν εφτά (7) κρυσταλλικά συστήματα. Τα εφτά κρυσταλλικά συστήματα είναι με σειρά μειούμενης συμμετρίας: κυβικό, εξαγωνικό, τετραγωνικό, ρομβοεδρικό, ορθο- ρομβικό, μονοκλινικό και τρικλινές. Θα πρέπει να σημειώσουμε πάντως ότι πολλοί κρυσταλλογράφοι δεν θεωρούν το εξαγωνικό σύστημα κάτι ξεχωριστό, αλλά ότι αποτελεί μια ειδική περίπτωση του τριγωνικού.. Ταξινομία κατά Bravais. Αν εκτός από τα κρυσταλλικά συστήματα λάβουμε υπ όψη μας και την βασική επαναλαμβανόμενη μονάδα καταλήγουμε στην ταξινομία κατά Bravais. Όλοι οι γνωστοί μέχρι σήμερα κρύσταλλοι μπορούν να συμπεριληφθούν στις 4 ομάδες που ορίζει αυτή η ταξινομία. Αυτή η ταξινομία δίνει ένα άπειρο κρυσταλλικό πλέγμα που προκύπτει από μετατοπίσεις και μόνο του βασικού κελιού. Ένας ισοδύναμος ορισμός των πλεγμάτων Bravais είναι [Ashcroft Ν.W., Mermin N.D., 975]: Ένα πλέγμα κατά Bravais είναι μια άπειρη διάταξη διακριτών σημείων, καλά καθορισμένων και προσανατολισμένων, που φαίνεται το ίδιο, ανεξάρτητα από ποιό σημείο του το παρατηρούμε. Τα πλέγματα είναι:. Θεμελιώδες (P). Όλα τα σημεία του πλέγματος είναι πάνω στις γωνίες της κυψελίδας.. Χωροκεντρομένο (Ι). Εκτός από τα παραπάνω σημεία υπάρχει και ένα ακόμη στο κέντρο της κυψελίδας. 3. Εδροκεντρωμένο (F). Εκτός από τα σημεία του (Ρ) υπάρχει και ένα ακόμη σημείο στο κέντρο κάθε έδρας. 4. Βασηκεντρομένο (A, B, C). Εκτός από τα σημεία του (Ρ) υπάρχει και ένα ακόμη σημείο στο κέντρο μιας έδρας. Οι συνδυασμοί που προκύπτουν με τα κρυσταλλικά συστήματα είναι συνολικά 4 (6x7). Στην πραγματικότητα όμως πολλοί από τους συνδιασμούς είσαι ισοδύναμοι οπότε καταλήγουμε στους δεκατέσσερις (4) που παρουσιάζονται στον Πίνακα. σε σχέση με τα κρυσταλλικά συστήματα. ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΑΞΙΝΟΜΙΑ BRAVAIS ΤΡΙΚΛΙΝΕΣ ΜΟΝΟΚΛΙΝΕΣ ΟΡΘΟΡΟΜΒΙΚΟ ΡΟΜΒΟΕΔΡΙΚΟ (ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ) ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ ΕΞΑΓΩΝΙΚΟ ΚΥΒΙΚΟ Πίνακας.. Η ταξινομία Bravais σε σχέση με τα κρυσταλλικά συστήματα. .3 Κρυσταλλογραφικές Σημειακές Ομάδες. Στην κρυσταλλογραφία μια κρυσταλλογραφική σημειακή ομάδα είναι ένα σετ από συμμετρικές διαδικασίες, όπως η περιστροφή και ο κατοπτρισμός κατά τα οποία ένα σημείο του κρυστάλλου μένει ακίνητο και τα υπόλοιπα σημεία μεταφέρονται σε θέσεις όπου προϋπήρχαν ίδια ακριβώς δομικά στοιχεία. Η τελική μορφή του κρυστάλλου μετά από την εκτέλεση αυτών των διαδικασιών θα είναι η ίδια με την αρχική. Στην ταξινομία των κρυστάλλων κάθε κρυσταλλογραφική σημειακή ομάδα αντιστοιχεί σε ένα κρυσταλλικό σύστημα. Στις τρεις διαστάσεις ο αριθμός των ομάδων αυτών είναι άπειρος αλλά για την περίπτωση της κρυσταλλογραφίας, όπου υπάρχουν περιορισμοί οι ομάδες περιορίζονται σε 3. Στον Πίνακα. φαίνονται αναλυτικά αυτές οι ομάδες ανά κρυσταλλικό σύστημα. ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ ΤΡΙΚΛΙΝΕΣ ΜΟΝΟΚΛΙΝΕΣ m /m ΟΡΘΟΡΟΜΒΙΚΟ mm mmm ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ 4 4 4/m 4 4mm 4m 4/mmm ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ m 3m ΕΞΑΓΩΝΙΚΟ 6 6 6/m 6 6mm 6m 6/mmm ΚΥΒΙΚΟ 3 m m mm 3 Πίνακας.. Οι κρυσταλλογραφικές σημειακές ομάδες ταξινομημένες με βάση το κρυσταλλικό σύστημα που ανήκουν. Συμβολισμοί. H ονοματολογία των ομάδων μπορεί να βρεθεί από την IUCr, την Διεθνή Ένωση Κρυσταλλογραφίας [International tables of crystallography]. Στην βιβλιογραφία γενικά απαντώνται δύο βασικοί συμβολισμοί των ομάδων που είναι:. Schonflies. Αποτελεί ονοματολογία των ομάδων με μορφή ενός γράμματος με δείκτη γράμμα ή αριθμό που συμβολίζουν τις αντίστοιχες συμμετρίες. Ο συμβολισμός αυτός δεν χρησιμοποιείται πλέον πάρα πολύ.. Hermann Mauguin. Πολλές φορές αναφέρεται και σαν διεθνής συμβολισμός, αποτελείται και αυτός από γράμματα και αριθμούς που αντιστοιχούν σε διάφορες συμμετρίες. Είναι ο πιο διαδεδομένος συμβολισμός επί της παρο
