Transcript
Высшее профессиональное образование Г. Л. Бродецкий Д.А.Гусев ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЛОГИСТИКЕ *** ПРОЦЕДУРЫ ОПТИМИЗАЦИИ УЧЕБНИК Москва Издательский центр «Академия» 0 Р е ц е н з е н т ы: В.И. Сергеев - д.э.н., профессор, президент Международного центра логистики НИУ-ВШЭ, президент Национальной логистической ассоциации России, член президиума ELA В.В. Дыбская - д.э.н., профессор, зав. кафедрой логистики НИУ-ВШЭ, директор Международного центра логистики НИУ-ВШЭ Бродецкий Г. Л., Гусев Д.А. Экономико-математические методы и модели в логистике. Процедуры оптимизации: учебное пособие / Г.Л.Бродецкий., Д.А.Гусев М.: Издательский центр «Академия», 0 г. Представлены разделы дисциплины «Экономико-математические методы и модели в логистике», относящиеся к процедурам оптимизации цепей поставок на основе методов математической теории управления запасами, методов и моделей теории графов, методов решения транспортной задачи, методов оптимизации потоков в сетях, оптимизации сетевых графиков проектов. Даются основы метода имитационного моделирования. Для студентов специальности «Логистика и управление цепями поставок». Пособие может быть полезно для широкого круга предпринимателей, желающих более эффективно организовать свой бизнес. ПРЕДИСЛОВИЕ В этом учебнике представлены основные разделы, которые относятся к классическим или традиционно используемым методам и моделям оптимизации логистических систем и цепей поставок. Представленные материалы соотносятся с различными разделами экономико-математических методов, используемых на практике для указанных целей при исследовании систем логистики. Это, в частности, - методы математической теории управления запасами, методы и модели теории графов, методы решения транспортной задачи, методы оптимизации потоков в сетях, оптимизации сетевых графиков проектов и метод имитационного моделирования (метод Монте-Карло). В формате каждого представленного в книге метода или подхода к оптимизации систем логистики иллюстрируются возможности их реализации в среде MS Ecel. Соответствующие материалы излагаются в рамках дисциплины «Экономико-математические методы и модели в исследованиях логистики», читаемой автором / авторами в ГУ-ВШЭ и в Международном центре логистики ГУ-ВШЭ. В пособие включены четырнадцать глав, которые представлены пятью разделами. Они отражают отмеченные выше направления в экономикоматематических методах исследования логистических систем. Авторы старались представить соответствующие материалы достаточно кратко, но не в ущерб их пониманию. Сделан сознательный акцент на простоту и доступность представления отдельных положений используемого математического аппарата и возможностей его интерпретации. Ссылки на литературу (как и в первом томе книги) даются по фамилии первого автора. В каждой главе приведены решения задач из области соответствующих экономических и логистических приложений. Главы -, относящиеся к методам управления запасами, написаны Г.Л.Бродецким совместно с Е.В.Токаревой. Главы 5-6, относящиеся к задачам 3 оптимизации на сетях и графах для моделей логистики, подготовлены Г.Л.Бродецким. Глава, относящаяся к формату процедур оптимизации сетевых графиков написана Г.Л.Бродецким совместно с Д.А.Гусевым, а глава, относящаяся к модификации таких процедур, Г.Л.Бродецким совместно с С.А.Ермоловым. Главы 7-0, 3 и 5, относящиеся к иллюстрации процедур оптимизации в среде MS Ecel, написаны Д.А.Гусевым. Стремление лучше организовать бизнес, сделать его более эффективным и рентабельным, требует от менеджера, практикующего в области логистики, в частности, умения и навыков использования соответствующих инструментов для экономического анализа и оптимизации моделей логистических систем и цепей поставок. Такой анализ позволит оптимизировать различные важные для приложений показатели эффективности работы системы. В условиях высокой неопределенности рыночной экономики особенно важно уметь оптимизировать показатели эффективности работы цепи поставок или логистической системы в той или иной сфере бизнеса. Поэтому умение представить анализируемые процессы для системы/подсистемы логистики, например, моделью системы управления запасами или сетевой моделью, или моделью сетевых графиков и т.д., и выбрать лучшие варианты решений при анализе логистических процессов в таких моделях, чтобы обеспечить наибольшую рентабельность бизнеса, сегодня реально востребовано практикой. Поэтому авторы надеются, что данное пособие будет полезно не только студентам, аспирантам и преподавателям экономических вузов, но и широкому кругу практикующих менеджеров, занимающихся проблемами логистики. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.. 5 Раздел I. Математические методы управления запасами. 7 Глава. Простейшая модель управления запасами и ее модификация 7.. Атрибуты систем управления запасами Традиционная модель управления запасами: формула Харриса-Уилсона Особенности модели управления запасами в условиях неопределенности с учетом процессов естественной убыли продукции Экономичный размер заказа с учетом специфики модели: сравнение с традиционными рекомендациями Иллюстрации и примеры.. 6 Глава. Учет временной стоимости денег в моделях управления запасами Особенности модели управления запасами с учетом принципа временной стоимости денег и процессов естественной убыли продукции Экономичный размер заказа с учетом специфики продукции Сравнение с классической моделью Харриса-Уилсона... Иллюстрация процедур оптимизации с учетом временной стоимости денег.. Глава 3. Модель оптимального управления запасами в условиях неопределенности с учетом процессов естественной убыли Атрибуты оптимизационной модели Формализация оптимизационной модели управления запасами в условиях неопределенности Иллюстрация процедур оптимизации запасов в условиях неопределенности Глава. Методы решения задач оптимизации запасов в среде MS Ecel Оптимизация запасов с учетом процессов естественной убыли продукции Процедуры оптимизации с учетом процентных ставок. 0 Раздел II. Оптимизационные задачи на сетях и графах в исследованиях логистики. Глава 5. Экстремальные задачи на графах. 5.. Основные понятия и определения теории графов. 5.. Эйлеровы и гамильтоновы циклы Алгоритмы построения покрывающих деревьев Алгоритмы поиска кратчайшего пути в графе... 5 Глава 6. Экстремальные задачи на сетях Основные понятия и определения в формате потоковых алгоритмов оптимизации Алгоритм поиска увеличивающей поток цепи Алгоритмы определения максимального потока в сети Метод развертки графа во времени Алгоритмы определения потока минимальной стоимости в сети 6 Глава 7. Оптимизационные задачи логистики на графах и сетях в среде MS Ecel Процедуры поиска кратчайшего пути в графе Процедуры поиска максимального потока в сети.. 73 Раздел III. Модели задач транспортного типа 77 Глава 8. Транспортная задача как задача линейного программирования Постановка транспортной задачи и ее модификации Методы нахождения начального опорного плана транспортной задачи Метод потенциалов для нахождения оптимального плана транспортной задачи.. 87 Глава 9. Задача о назначениях. 93 5 9.. Постановка задачи о назначениях и простейшие методы ее решения Венгерский метод решения задачи о назначениях. 95 Глава 0. Процедуры решения транспортных задач в среде MS Ecel Сбалансированная транспортная задача Формат задачи о назначениях Раздел IV. Методы и модели оптимизации на сетевых графиках 0 Глава. Оптимизационные задачи на сетевых графиках Сетевые графики и процедуры их формализации 0.. Ранние сроки наступления событий и алгоритмы их нахождения Алгоритм нахождения критического времени и критического пути 08.. Поздние сроки наступления событий и алгоритмы их нахождения Полные и свободные резервы времени и алгоритмы их нахождения... Глава. Специальные методы оптимизации решений на сетевых графиках.. Процедуры формализации потоков работ в векторном представлении... Процедуры формализации «векторов связи» Атрибуты задач оптимизации на основе векторного представления.. Модель оптимизации сопутствующих «накладных» издержек для этапов работ проекта.. 6 Глава 3. Методы оптимизации на сетевых графиках в среде MS Ecel Процедуры построения критического пути Процедуры определения показателей сетевого графика 3 Раздел V. Метод имитационного моделирования в приложениях логистики Глава. Общая схема и процедуры метода Монте-Карло Атрибуты метода Монте-Карло Моделирование дискретных распределений вероятности Моделирование непрерывных случайных величин... Специальные моделирующие формулы для непрерывных случайных величин.5. Конструирование случайных величин в рамках метода Моте-Карло 5.6. Процедуры нахождения оптимальных решений на основе метода Монте-Карло 9 Глава 5. Процедуры имитационного моделирования в среде MS Ecel Моделирование непрерывных случайных величин Определение экстремумов.. 53 Библиографический список... 6 Раздел. Математические методы управления запасами * Глава. Простейшая модель управления запасами и ее модификации.. Атрибуты систем управления запасами Необходимость повышения эффективности цепей поставок и различных логистических систем привела, в свое время, к созданию специальных научных направлений. Например, как отмечалось в первом томе, - теории массового обслуживания. Наряду с развитием этой теории пристальное внимание уделялось и продолжает уделяться другим близким научным направлениям. В этом разделе речь пойдет о специальном классе моделей, которые непосредственно при анализе систем массового обслуживания не рассматриваются, но при этом существенно влияют на показатели эффективности логистических систем такого типа. Это модели, которые относят к теории управления запасами. Их специфика обусловлена следующим. Если процесс обслуживания (в формате конкретной модели системы массового обслуживания) предполагает расход некоторого продукта или товара, то в рамках самой такой модели обычно неявно предполагается, что соответствующий продукт или товар всегда имеется в достаточном количестве. В реальных ситуациях на практике требуется учитывать следующие дополнительные особенности: решать вопросы организации запаса и его пополнения для соответствующего продукта/товара. В частности, решение указанных вопросов включает: выбор моментов подачи заказов на пополнение запаса; выбор объема партии заказа для пополнения запаса и т.д. Модели задач оптимизации процессов указанного типа в цепях поставок относят к моделям управления запасами. Проблема оптимизации запасов в звеньях цепей поставок является общеизвестной и достаточно актуальной в настоящее время. Актуальность этой проблемы, несмотря на длительную историю развития данного направления в логистике, обусловлена, в основном, следующими факторами: - в случае некорректного определения оптимального уровня заказа и оптимального уровня запасов, содержащихся на складе, возникает либо дефицит товара, либо иммобилизация дополнительных денежных средств в запасах, что в настоящее время недопустимо; - применение специальных моделей управления запасами (рассмотренных в различных литературных источниках) весьма затруднительно в реальной практической деятельности. Формат моделей управления запасами обусловливается, в частности, необходимостью учета многих факторов. Среди таких факторов, прежде всего, подчеркнем следующие: характер спроса (в общем случае спрос является случайным); характер промежутков времени доставки запасов (они также в общем случае - случайные величины); особенности стратегии пополнения запасов (с учетом объемов приращения запасов и моментов подачи заказов на такое пополнение); особенности критерия оптимизации системы управления запасами (минимизация суммарных годовых затрат; максимизация интенсивности потока доходов и т.д.); требования учета временной стоимости денег в рамках таких моделей (учет временной структуры действующих на рынке процентных ставок); специфика дополнительных атрибутов, которые требуется учитывать в формате оптимизационной модели управления запасами (например, необходимость принятия решений в условиях неопределенности). Случайный характер спроса при оптимизации моделей управления запасами, формат которых исключает дефицит, потребовал в рамках теоретического подхода ввести понятие страхового запаса (это - запас, который создается специально для того, чтобы расходовать его именно на промежутках времени возникновения дефицита). Наличие указанного страхового запаса позволяет при оптимизации систем управления запасами использовать единые подходы для представления процесса, характеризующего изменение уровня запаса в системе. Оптимальный размер страхового запаса определяется на основе статистических методов (с использованием доверительных интервалов для размера страхового запаса при заданном допустимом доверительном уровне возникновения дефицита). В реальных системах номенклатура товаров при управлении запасами может насчитывать сотни и тысячи наименований соответствующих товаров. Поэтому при оптимизации запасов, с одной стороны, требуется учитывать экономические атрибуты, связанные с целесообразностью реализации расчетов по той или иной группе товаров. Для этого предусматривается так называемый АВС анализ (вся номенклатура разбивается на группы А, В и С по их эффективности для рассматриваемого бизнеса). С другой стороны, указанная особенность требует построения многономенклатурных оптимизационных моделей управления запасами. Кроме того, целесообразность тех или иных методик расчетов при оптимизации запасов зависит и от наличия достоверной статистической информации, на основе которой могут быть реализованы соответствующие расчеты. Это обусловливает необходимость так называемого XYZ анализа при оптимизации запасов. Оптимизационные модели для задач * Совместно с Е.В.Токаревой 7 управления запасами также должны учитывать: и специфику формализации функций затрат на поставки; и специфику формализации функций издержек хранения; и возможные ограничения, обусловливаемые спецификой товара; и возможные скидки; и т.д. Указанные атрибуты моделирования систем управления запасами сегодня хорошо представлены в отечественной литературе (см. библиографический список в конце книги, например, [Лукинский В.С., 007], [Стерлигова А.Н., 007], [Бродецкий, 007], [Шрайбфедер Дж., 006] и др.). Из-за ограниченности объема данной книги эти вопросы здесь не рассматриваются. Специфика задач управления запасами будет представлена в этом разделе специальными однономенклатурными моделями. Они проиллюстрируют возможности менеджера при моделировании таких систем: с учетом процессов естественной убыли продукции; с дополнительным учетом временной стоимости денег для таких моделей; с учетом необходимости оптимизации запасов в условиях неопределенности относительно значений ряда параметров модели. Представим соответствующие атрибуты, связанные с анализом простейшей однопродуктовой модели управления запасами с постоянным спросом. Формат такой модели предполагает следующее: спрос на продукцию является постоянным; наличие дефицита продукции недопустимо; известны все параметры модели. В частности, известно годовое потребление по анализируемой номенклатуре, известны издержки хранения на единицу продукции, известны накладные расходы на каждую поставку (это издержки, которые не зависят от размера заказа). Кроме того, если не оговорено противное, то принимается, что издержки поставок, которые зависят от размера заказа, при формализации модели учитываются соответственно в стоимости единицы продукции. Оптимизируются: значение размера q заказа при поставках; длительность Т интервала времени между поставками (она связана с размером заказа q равенством Т= q/d ). Традиционное графическое представление модели дает рис... Рис... Изменение уровня запасов при различных стратегиях: (а) и (б). Рис.. иллюстрирует следующее. Если заказы реализуются партиями больших размеров (ситуация (б)), то они будут подаваться реже. Соответственно, ожидаемые годовые накладные издержки / потери на поставку будут меньшими, чем в ситуации (а), когда заказы подаются партиями меньших размеров. Однако, надо обратить внимание на то, что при этом затраты на хранение в ситуации (б) будут большими (т.к. в среднем, количество хранимой продукции в течение года увеличится). Снижение годовых накладных издержек на поставку, как видим, приводит к увеличению годовых затрат на хранение продукции и наоборот. Таким образом, при управлении запасами в цепях поставок надо уметь определять: оптимальное значение q* объема заказа; оптимальное значение длительности так называемого интервала повторного заказа (это - промежуток времени Т* между моментами подачи очередных заказов) или длительности промежутка времени между соседними моментами поставок товара. Соответствующие алгоритмы оптимизации будут представлены в этом разделе в формате моделей систем управления запасами с указанными выше особенностями... Традиционная модель управления запасами: формула Харриса-Уилсона. При оптимизации моделей управления запасами одним из наиболее простых и наглядных инструментов является формула Харриса Уилсона. Ее называют формулой экономичного размера заказа (Economic Order 8 Quantity EOQ). Формат такой формулы накладывает отмеченные выше требования к модели управления запасами. Предполагается, что известны параметры модели, а спрос считается постоянным. С моделью указанного типа соотносят следующие параметры: D - годовое потребление продукции; C - затраты на хранение единицы продукции за год; h C 0 - накладные расходы на каждую поставку; q - размер заказа; C П - себестоимость единицы продукции; C - цена реализации единицы продукции; S C - общие годовые затраты; Г Pr - общая годовая прибыль (до уплаты налогов). В традиционной EOQ модели управления запасами определение экономичного размера заказа основано на минимизации общих годовых затрат. Указанные затраты рассматриваются как функция от размера заказа q и определяются следующим соотношением: D q C Г CГ ( q) C0 Ch C П D. (.) q Здесь D - C0 - затраты на «размещение заказа»; поскольку D представляет годовое потребление продукции, q а восполнение запасов осуществляется партиями по q единиц, то среднее количество поставок за год составит D ; умножив эту величину на накладные расходы на одну поставку C 0, как раз и получаем приведенное q выражение. q - C h - средние годовые затраты на хранение запасов по анализируемой номенклатуре; если поставки товара осуществляются партиями по q единиц, то средний годовой уровень запасов составит q/; учитывая тариф C h на хранение единицы продукции за год, легко видеть, что выражение для средних годовых затрат на хранение, как раз, имеет представленный вид (предполагается, что оплачиваются только занятые места на складе). - C П D - годовые издержки, обусловленные стоимостью товара. Оптимальный размер заказа q* в данной модели будет соответствовать минимуму совокупных (суммарных) годовых издержек в точке, где производная соответствующей функции по оптимизируемому параметру в области q 0 будет равна нулю: C Г ( q) 0. (.) q Решение последнего уравнения дает известную формулу Харриса-Уилсона или формулу экономичного (оптимального) размера заказа (Economic Order Quantity): q * ( ХаррисУилсон) C0 D. (.3) C В практической деятельности специалистам, работающим в области управления запасами, приходится сталкиваться с ситуациями, которые обусловливают неопределенность ряда параметров модели. К ним могут относиться, например, такие параметры как величина спроса D, значение себестоимости единицы продукции C П, значения цены реализации продукции C S и многие другие. Неопределенность конкретных параметров для модели управления запасами может быть вызвана также различными логистическими факторами (к ним относятся несоблюдение или срыв сроков поставок, возможность потери товара, выход из строя оборудования и т.п.). При этом нельзя не учитывать также особенности самого товара (ограниченный срок годности, естественная убыль и т.д.). Соответственно, в случае отсутствия достоверной статистической информации задача управления запасами должна рассматриваться как задача оптимизации в условиях неопределенности. Такая модель сегодня востребована менеджерами и будет представлена в главе 3. Здесь же, исп
