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泰山学院 科学计算基础与应用系列课程《微分方程数值解》第七章 双曲型方程的有限差分法 教学课题 § 7.1 双曲型方程 讲授 1.5 学时教学目的 掌握双曲型方程组的特征，点的依存域决定域和影响域教学重点 双曲型方程组的特征教学难点 双曲型方程组的特征教学方法 多媒体与传统教学手段相结合 课型 新授课教学过程与内容任何一个高阶微分方程，一般来说，都可以转化为相应的一阶微分方程组。如波动方程 ∂ 2 u∂t 2 = a 2 ∂ 2 u∂x 2 , (7 . 1 . 1) 其中 a 为常数。取 ∂u∂t = v ， ∂u∂t = w ，上式等价于 ∂v∂t = a ∂w∂x , ∂w∂t = a ∂v∂x . 令 u = ( v,w ) T ，则上式可写为 ∂u∂t + ˜ A∂u∂x = 0 , (7 . 1 . 2) 其中 ˜ A = 0 − a − a 0 . 更一般地，考虑含 n 个未知函数 u = ( u 1 ( x,t ) ,...,u n ( x,t )) 和 n 个方程的一阶拟线性偏微分方程组 L i ( u ) = n ∑ j =1 b ij ∂u j ∂t + n ∑ j =1 a ij ∂u j ∂x = c i , i = 1 , 2 ,...,n, (7 . 1 . 3) 其中 b ij = b ij ( x,t,u ), a ij = a ij ( x,t,u ) 及 c ij = c ij ( x,t,u ) 都是已知光滑函数。如果 a ij ， b ij ， c i 仅是 x,t 的函数，则式（ 1.3 ）称为线性方程组。采用矩阵和向量记号 B = ( b ij ) n × n , A = ( a ij ) n × n , C = ( c 1 ,c 2 ,...,c n ) T , 则式（ 7.1.3 ）可写为 L ( u ) = B∂u∂t + A∂u∂x = c. 1 假设矩阵 B 可逆，不失一般性，可以令 B = I （单位矩阵），因此只需考虑下面形式的方程组： ∂u∂t + A∂u∂x = c. (7 . 1 . 4) 从下述分析可以看出，在形式（ 7.1.4 ）的方程组的求解过程中，矩阵 A 的特征值与特征向量有重要地位。 7.1.1 双曲型方程组及其特征 7.1.1 如果在某点 ( x,t,u ) 处矩阵 A 由 n 个互异的实特征值： λ 1 ( x,t,u ) < λ 2 ( x,t,u ) < ...λ n ( x,t,u ) , 则称式（ 7.1.4 ）在点 ( x,t,u ) 处是严格的双曲型方程组。如果在某区域 Ω 上的每一点，方程在（ 7.1.4 ）均是严格的双曲型，则称式（ 7.1.4 ）是 Ω 上的双曲型方程组。 n = 1 是一阶双曲型方程。以下假设一阶拟线性方程组（ 7.1.4 ）为双曲型方程组。由于矩阵 A 有 n 个互异的实特征值，因而存在 n 个线性无关的左特征向量。令行向量 l ( i ) = ( l ( i )1 ,l ( i )2 ,...l ( i ) n ) , i = { 1 , 2 ,...,n } 是矩阵 A 相应于特征值 λ i 的左特征向量，即 l ( i ) A = λ i l ( i ) , i = 1 , 2 ,...,n. 在 x ， t 平面域 Ω 内各点引入 n 个方向 τ i : dxdt = λ i , i = 1 , 2 ,...,n. (7 . 1 . 5) 由式（ 7.1.5 ）确定的方向称为特征方向；由特征方向确定的曲线族称为特征曲线，简称特征。用 l ( i ) 左乘方程（ 7.1.4 ）两端，得 l ( i ) ∂u∂t + l ( i ) ∂u∂x = l ( i ) c, i = 1 , 2 ,...,n. 即 n ∑ j =1 l ( i ) ∂u∂t + λ ( i ) ∂u∂x = n ∑ j =1 l ( i ) c j , i = 1 , 2 ,...,n. (7 . 1 . 6)2 由于式（ 7.1.4 ）的解 u 沿特征方向 τ i 的方向导数是 du j dt τ j = ∂u j ∂t + λ i ∂u j ∂x , i,j = 1 , 2 ,...,n. 因而（ 7.1.6 ）可化为常微分方程组 n ∑ j =1 l ( i ) j l ( i ) ∂u j ∂t τ j = n ∑ j =1 l ( i ) c j , i = 1 , 2 ,...,n. 该方程组称为原方程组的特征关系。上述分析表明，沿每一特征，方程组（ 7.1.4 ）转化为常微分方程组。 例 7.1.1 二阶线性波动方程（ 7.1.1 ）等价于一阶线性方程组（ 7.1.2 ），矩阵 ˜ A 的特征值为 λ 1 = a,λ 2 = − a ，相应的左特征向量分别为 l (1) = (1 , − 1) ,l (2) = (1 , 1) ，特征方向为 dxdt = ± a ，因而特征线是两条直线 x − at = ξ 1 ,x + at = ξ 2 。由此可得特征关系式为 ∂v∂t + a ∂v∂x − ∂w∂t + a ∂w∂x = 0 , ∂v∂t − a ∂v∂x + ∂w∂t − a ∂w∂x = 0 . 例 7.1.2 一维不定长等熵流动问题满足微分方程 ∂ρ∂t + u ∂ρ∂x + ρ ∂u∂t = 0 , ∂u∂t − a 2 ρ∂ρ∂x + u ∂u∂x = 0 . 这里 ρ,u 分别是密度和速度； a = a ( ρ ) 是速度。令 u = ( ρ,u ) T ，则上述方程可写为 ∂u∂t + A∂u∂x = 0 , 其中 ˜ A = u ρ a 2 ρ u . 矩阵 A 的特征值为 λ 1 = u + a,λ 2 = u − a ，相应的左特征向量分别为 l (1) = (1 ,ρ/a ) ,l (2) =(1 , − ρ/a ) ，特征方向为 dxdt = u ± a ，从而可得特征关系式为 ∂ρ∂t + ( u + a ) ∂ρ∂x + ρa ∂u∂t + ( u + a ) ∂u∂x = 0 , ∂ρ∂t + ( u − a ) ∂ρ∂x − ρa ∂u∂t + ( u − a ) ∂u∂x = 0 . 3 7.1.2 依存域、决定域与影响域 考虑一维常系数波动方程初值问题 ∂ 2 u∂t 2 = a 2 ∂ 2 u∂x 2 , −∞ < x < + ∞ , 0 < t < T,u ( x, 0) = ϕ ( x ) , −∞ < x < + ∞ ,u t ( x, 0) = ϕ ( x ) , −∞ < x < + ∞ . (7 . 1 . 7) 由例 7.1.1 知，方程（ 7.1.1 ）有两条特征线 x − at = ξ 1 ,x + at = ξ 2 。沿着特征线求偏导数，得 ∂ 2 u∂t 2 = a 2 ∂ 2 u∂ξ 21 − 2 ∂ 2 u∂ξ 1 ∂ξ 2 + ∂ 2 u∂ξ 22 ,∂ 2 u∂x 2 = ∂ 2 u∂ξ 21 + 2 ∂ 2 u∂ξ 1 ∂ξ 2 + ∂ 2 u∂ξ 22 . 将上两式代入式（ 7.1.1 ），得 ∂ 2 u∂ξ 1 ∂ξ 2 = 0 . 由此可得初值问题（ 7.1.7 ）的通解为 u ( x,t ) = 12[ ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + 12 a ∫ x + atx − at ψ ( ξ ) dξ, (7 . 1 . 8) 这是 D’Alembert 公式。由式（ 7.1.8 ）可以看出，初值问题（ 7.1.7 ）的解 u ( x,t ) 在任意一点 ( x 0 ,t 0 ) 的值仅依赖于初始函数 ϕ ( x ), ψ ( x ) 在 x 轴上的区间 [ x 0 − at 0 ,x 0 + at 0 ] 上的值，而与此区间外的初值无关，故称此区间为点 ( x 0 ,t 0 ) 的依存域。这个区域是由过该点的两条特征线 x − at = x 0 − at 0 ,x + at = x 0 + at 0 在 x 轴上的交点所形成。此外，可看出，对于有这两条特征线与 x 轴所围成的三角形域，解在其上的值也由初值在依存域 [ x 0 − at 0 ,x 0 + at 0 ] 上的值确定，故称三角形域为该区间的决定域。过点 ( x 0 , 0) 也有两条特征线 x − at = x 0 ,x + at = x 0 ，它们也围成三角形域。由公式（ 7.1.8 ）可以看出，解在此区域上的任何一点的值，都受初值在该点取值的影响，故称此三角形域为改点的影响域。 4 教学课题 § 7.2 一阶线性双曲型方程的差分格式 讲授 1.5 学时教学目的 掌握微分方程及其解、通解的概念。教学重点 微分方程的解及通解的概念教学难点 通解教学方法 多媒体与传统教学手段相结合 课型 新授课教学过程与内容首先考虑线性对流方程的初值问题 ∂u∂t + a ∂u∂x = 0 , ( x,t ) ∈ Ω ,u ( x, 0) = ϕ ( x ) , −∞ < x < + ∞ , (7 . 2 . 1) 的差分方法，其中 Ω = { ( x,t ) |−∞ < x < + ∞ ,t > 0 } ； a 为给定常数。用差分方法求解微分方程 (7.2.1) 与第六章中求解抛物型方程的过程完全类似。首先用两组平行于 x 轴和 t 轴的直线构成的网格覆盖求解区域 Ω ，网格边长在 x 方向为 △ x = h ，在 t 方向为 △ t = τ ，网比 r = aτ/h 。下面论述式 (7.2.1) 的一些常用差分格式。 7.2.1 常用差分格式 1.Courant-Isaacson-Rees 格式沿用前一章的记号，对式 (7.2.1) 中的方程作差分逼近。分别用向后、向前和中心差商代替空间偏导数，可得下列三种简单的差分格式： u k +1 j − u k j τ + au k j − u k j − 1 h = 0 , (7 . 2 . 2) u k +1 j − u k j τ + au k j +1 − u k j h = 0 , (7 . 2 . 3) u k +1 j − u k j τ + au k j +1 − u k j − 1 2 h = 0 , (7 . 2 . 4) 分别称为左偏心差分格式、右偏心差分格式和中心差分格式。借助于 Taylor 展开式，可得前两个格式的截断误差为 O ( τ + h ) ，第三个格式的截断误差为 O ( τ + h 2 ) 。下面我们利用 Fourier 方法来讨论上述的三种格式的稳定性。上述格式可分别写成 u k +1 j = ru k j − 1 + (1 − r ) u k j , u k +1 j = (1 + r ) u k j − ru k j +1 , u k +1 j = u k j + r 2( u k j − 1 − u k j +1 ) . 令 u k j = v km exp ( iαx j ) （其中 i = √ − 1 ， α 为任意实参数， x j = jh ），将其分别代入上述三个 5
