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MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
7 7.1. 7.17 . .2. 7.27 . .3. 7.37 . .4. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8.
CAMPOS VECTORIALES EN \ n DEFINICIONES PROPIEDADES CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS INTEGRALES DE LÍNEAS TEOREMA DE GREEN INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA INTEGRALES DE SUPERFICIE 7.8.1
INTEGRALES DE SUPERFICIES FUNCIONES ESCALARES. 7.8.2 TEOREMA DE STOKES 7.8.3 INTEGRALES DE FLUJO 7.8.4 TEOREMA DE GAUSS
DE
Objetivos.
Se persigue que el estudiante: • Calcule integrales de línea. Teorema de GREEN. • Aplique el Teorema • Calcule el área de regiones planas empleando integrales de líneas. • Calcule integrales de Superficie. Teorema de Stokes. • Aplique el Teorema • Aplique el teorema teorema de Gauss
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Análisis Vectoria
En el capítulo de f unciones de variables se definió funciones vectoriales JG n m \ , ahora trataremos con funciones generales de la forma F : U \ JG n n de la forma F : U \ \
⊆
⊆
→
→
7.1. CAMPOS VECTORIALES EN "
Sean f 1 , f 2 , , f n las variables x1, x2 ,
"
n
\
funciones escalares de , xn definidas en una JG
región Ω de \ . La función F : U ⊆ \ n → \ n JG tal que F = ( f 1 ( x x , , x ) , f 2 ( x x , , x ) , , f n ( x x , , x ) se llama Campo vectorial sobre Ω . n
1,
JG
Si F : U JG Si F : U
⊆ \ → \ ⊆G\ → \
2
"
1,
n
2
"
n
"
G
2
2
3
3
se lo denota como F =
1,
2
"
n
x , y ) , N ( x, x, y ) ) . ( M ( x,
se lo denota como:
F = ( M ( x, x, y, y , z ) , N ( x, x, y, y , z ) , P ( x, x , y, y , z ) ) Ejemplo JG F : F : U ⊆ \ → \ 2
2
JG y, x 2 tal que F = 2 x + y,
(
−
y 2 )
Algunos ejemplos físicos comunes de campos campos vectoriales son: son: • Campos de velocidades • Campos gravitacionales. gravitacionales. • Campos de fuerzas eléctricas.
⎛⎜ ∂ ⎝∂
⎞⎟ ⎠
Un campo conocido es el Gradiente, ∇ f , de una función escalar f . Si llamamos el vector
∇
=
x
,
∂ , ∂ , operador NABLA, podemos ∂ y ∂ z
obtener la definición del gradiente y otras definiciones más.
7.2 DEFINICIONES JG
Sea f una función escalar y F = ( M , N , P ) un campo vectorial. Se define: 1. El gradiente de f como el vector
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Análisis Vectoria
En el capítulo de f unciones de variables se definió funciones vectoriales JG n m \ , ahora trataremos con funciones generales de la forma F : U \ JG n n de la forma F : U \ \
⊆
⊆
→
→
7.1. CAMPOS VECTORIALES EN "
Sean f 1 , f 2 , , f n las variables x1, x2 ,
"
n
\
funciones escalares de , xn definidas en una JG
región Ω de \ . La función F : U ⊆ \ n → \ n JG tal que F = ( f 1 ( x x , , x ) , f 2 ( x x , , x ) , , f n ( x x , , x ) se llama Campo vectorial sobre Ω . n
1,
JG
Si F : U JG Si F : U
⊆ \ → \ ⊆G\ → \
2
"
1,
n
2
"
n
"
G
2
2
3
3
se lo denota como F =
1,
2
"
n
x , y ) , N ( x, x, y ) ) . ( M ( x,
se lo denota como:
F = ( M ( x, x, y, y , z ) , N ( x, x, y, y , z ) , P ( x, x , y, y , z ) ) Ejemplo JG F : F : U ⊆ \ → \ 2
2
JG y, x 2 tal que F = 2 x + y,
(
−
y 2 )
Algunos ejemplos físicos comunes de campos campos vectoriales son: son: • Campos de velocidades • Campos gravitacionales. gravitacionales. • Campos de fuerzas eléctricas.
⎛⎜ ∂ ⎝∂
⎞⎟ ⎠
Un campo conocido es el Gradiente, ∇ f , de una función escalar f . Si llamamos el vector
∇
=
x
,
∂ , ∂ , operador NABLA, podemos ∂ y ∂ z
obtener la definición del gradiente y otras definiciones más.
7.2 DEFINICIONES JG
Sea f una función escalar y F = ( M , N , P ) un campo vectorial. Se define: 1. El gradiente de f como el vector
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⎞⎟ ⎜⎛ ⎠ ⎝ Divergencia ∇ • ⎛⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟⎞ • ( ⎝∂ ∂ ⎠
∇ f =
⎛⎜ ∂ ⎝∂
x
⎞⎟ ⎠
∂ , ∂ f = ∂ f , ∂ f , ∂ f x ∂ y ∂ z ∂ y ∂ z ∂ JG
,
de F como
2. La
JG
F =
,
x ∂ y z
∂ M
=
M , M , N , N , P )
,
∂ x
+
∂ N
∂ y
+
JG
∂ P ∂ z
3. El rotacional de F como el vector i j k
∇
JG
F =
×
∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ y ∂ z M
N
P
4. El Lapalciano de f como
∇
2
f = ∇ • ∇ f =
=
⎛⎜ ∂ ⎝∂
x
∂ 2 f ∂ x
2
,
⎞⎟ ⎜⎛ ⎠⎝
⎞⎟ ⎠
∂ , ∂ • ∂ f , ∂ f , ∂ f ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z
+
∂ 2 f
∂ y
2
+
∂ 2 f 2
∂ z
7.3 PROPIEDADES G
JG
Sea f una función escalar y sean F y G campos vectoriales. Entonces: JG JG JG JG 1. ∇ • F + G = ∇ • F + ∇ • G
(
)
JG
JG
2. ∇ • f F = f
JG
( ∇ • F JG) + ( ∇ f ) • F JG 3. ∇ × ( f F ) = f ( ∇ × F ) + ( ∇ f ) × F JG JG JG JG JG JG 4. ∇ • ( F × G ) = ( ∇ F ) • G + (∇ × G ) • F G (
)JG
×
5. ∇ × ( ∇ f ) = 0 JG
6.
G
∇ • (∇ × F ) = 0
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7.∇ 7. ∇ ×
(∇ f + ∇
G
JG
F = ∇ × ∇ × F
×
)
Las demostraciones de estas propiedades se la dejamos al lector.
7.4 CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS JG
Un campo vectorial F se dice que es conservativo si existe JG alguna función diferenciable f tal que F = ∇ f . La función JG
f se llama función potencial de F .
7.4.1 Teorema. JG
Un campJoG veGctorial F es conservativo y si sólo si ∇ × F = 0 . Ejemplo 1 JG
2 Determine si F =( 2 xy, xy , x función potencial.
SOLUCIÓN:
− ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la y
JG
El rotacional de F sería:
i
k
i
∂
∂ x
∂ y
∂ z
M
N
P
∇ × F = JG
j
∂
JG
∂
=
j
∂ ∂ x
∂ ∂ y
2 xy
x 2 y
Por tanto, F si es conservativo. 2
Note que para campos de \ , basta que
k
∂ = 0, 0, 2 x 2 x ∂ z (
−
−
2 x ) = ( 0, 0, 0 )
0
∂ N = ∂ M para ser conservativos. ¿Por qué?. ∂ x ∂ y
⎛∂ ∂ ⎞ ⎜ ∂⎟ ⎝ ⎠
Cuando el campo es conservativo la función potencial existe y además: JG
F = ∇ f =
f f 2 ( , xy, x = 2 xy,
∫ ∫
−
y )
∂ x y
∂ f = 2 xy ⇒ f =
Es decir conocemos las derivadas parciales de la función potencial, entonces:
∂ x
∂ f = x ∂ y
2
−
y
⇒ f =
2 xy dx
⇒
f ( x, x, y ) = x 2 y + g ( y ) + C
−
1
( x 2 y ) dy
⇒
f ( x, x, y ) = x 2 y
Haciendo superposición de soluciones, la función potencial sería:
f ( x, x, y ) = x y 2
230
−
y 2 2
+ C
−
y 2 2
+ h ( x ) + C 2
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Ejemplo 2 JG
Determine si F =( 2 xy, x 2 + z 2 , 2 zy ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la función potencial. SOLUCIÓN:
JG
El rotacional de F sería:
i
j
k
i
j
k
∂ ∂ y
∂ ∂ z
x 2 + z 2
2 zy
∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x
JG
∇ × F =
M
JG
N
P
2 xy
−
−
= ( 2 z 2 z , 0, 2 x 2 x ) = ( 0, 0, 0 )
Por tanto, F si es conservativo. Ahora tenemos: JG
∫∫ ∫
F = ∇ f =
Entonces f =
f =
f =
⎛∂ ⎝ ⎜∂
⎞ ⎠ ∂ ⎟
f ∂ f ∂ f 2 2 ( ) , , = 2 xy, x + z , 2 zy
x ∂ y z 2 xy dx ⇒ f ( x, y, z ) = x 2 y + g ( y, z ) + C 1
( x
2
+ z2 ) dy ⇒ f ( x, y, z ) = x2 y + z 2 y + h ( x, z ) + C 2
( 2 zy ) dz ⇒ f ( x, y, z ) = z 2 y + h ( x, y ) + C 3
Haciendo Superposición de soluciones:
f ( x, y, z )= x 2 y + z 2 y +C
7.5 INTEGRALES DE LÍNEAS En los capítulos 6 y 7 tratamos integrales de funciones escalares sobre regiones de \ 2 o regiones de \ 3 , ahora trataremos integrales de funciones escalares y funciones vectoriales sobre curvas.
7.5.1 Integrales de líneas de funciones escalares. Sea f :U ⊆ \ n 6 \ una función escalar de n variables definida en una región U que contiene una curva suave C de longitud finita, la integral de línea de f sobre C se define como:
∫
∑ n
f ( x , x , , x ) ds = lim
C
1
2
"
n
Δ →0
f ( x , x , , x 1
2
"
n
) Δ s
i
i =1
Supuesto que este límite exista.
231
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7.5.1.1 Teorema. Calculo de una integral de línea como integral definida. Sea f continua en una región que contiene una curva suave definida por C , G r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) a t b , donde
∫ ∫ ∫
≤≤
"
entonces: f ds =
C
G
⎣⎡ f D r ( t )⎦⎤
G
r ´( t ) dt
C
b
f ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ,
=
"
∫
a
Si f = 1 entonces tenemos
∫−
2
2
, xn ( t ) ) [ x1 ´( t ) ] + [ x2´( t ) ] +
"
2
+ [ xn ´( t ) ] dt
ds , la longitud de la curva.
C
Ejemplo. Calcular
( x
2
y + 3 z ) ds donde C : segmento de recta desde el punto
C
( 0, 0, 0 ) al punto (1, 2,1) .
⎪⎧ ⎪
SOLUCIÓN:
x = 0 + t
La ecuación de
C es y = 0 + 2t ; es decir: r ( t ) = ( t , 2t , t ) . z = 0 + t
Entonces:
fds = C
∫
G
G
⎡⎣ f D r ( t ) ⎤⎦ r ´( t ) dt
C
1
=
∫
( t
0
2
−
2t + 3t ) 1 + 2 2 + 12 dt
1
= 6
( t
+ t )dt
2
⎛⎜ ⎟⎞ ⎝ ⎠ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ ⎠ 0
= 6 6
=
232
5 6 6
t 3
3
1
3
+
+
t 2
2
1
2
1
0
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Análisis Vectoria
∫
Ejemplo 2 Calcular xds donde C : es la curva que se presenta en el gráfico: C
y
(1,1) y = x y = x
2
x
( 0, 0 )
∫ ∫ ∫
SOLUCIÓN:
Por la forma de C debemos hacer dos integrales; es decir:
xds = xds + xds
C
C 1
C 2
Para la primera integral C 1 =
donde C 1 : y = x y C 2 : y = x 2 .
⎨⎧
x = t
y = t
1
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1
2
t 12 + 12 dt =
xds =
C 1
2
t
2
⎧ ⎨ ⎩
2
=
2
0
x = t
0
Para la segunda integral C 2 =
y = t 2
0
0
∫∫ ∫ (2 )
12
(1 + 4t ) 2
1 4
2
2
xds =
C 2
t
+
t dt =
1
t
+ t dt =
1 2 3
2 3
1
3
= 8
1 12
−
5
2
1 12
0
Por tanto:
xds = xds + xds =
2
+
1
−
1
5
3
233
MOISES VILLENA
∫∫∫ C
234
C 1
C 2
Análisis Vectoria 2
2
12
12
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Análisis Vectoria
7.5.2 Integrales de línea de Campos vectoriales. JG
Sea F :U ⊆ \ n → \ n un campo vectorial contGinuo definido sobre una curva suave C dada por r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) donde a t b . La
≤≤
"
JG
∫ ∫
integral de línea de F sobre C se define como: JG
G
JG JG
F • d r = F • T ds
C
r ´( t )
JG
Reemplazando
T =
∫
y
C
ds = r ´( t ) dt
∫ ∫ ∫ r ´( t )
JG
b
JG
r ´( t )
JG
F • T ds = F •
C
Entonces:
r ´( t )
a
JG
G
F • d r ==
JG
(⎣ F ( ⎡
C
r ´( t ) dt
( t ) , x ( t ) ,
x 1
"
, x ( t ) )
2
) • ( r ´( t ) )⎦ dt
n
⎤
C
Ejemplo Calcular
JG
G
F • d r
donde
G
(
−
2
F = x, xy, z
y C es la curva definida por
)
G C
r ( t ) = ( cos t , sent , t )
SOLUCIÓN:
desde el punto ( 0, 0, 0 ) hasta el punto (1, 0, 2π ) .
∫ ∫ ∫ ∫ 2π
JG
G
F • d r =
C
( x,
−
−
xy, z 2 ) • ( sent , cost ,1) dt
0
2π
=
( cos t ,
−
−
costsent , t 2 ) • ( sent , cos t ,1) dt
0
2π
=
⎛⎜
(
−
−
cos tsent cos 2 tsent + t 2 ) dt
0
2
cos t cos3 t t 3 = + +
⎞⎟
π
2
235
MOISES VILLENA = =
236
⎝ ⎛⎜ ⎝
2 1 2
8π 3
+ 3
3 8π 3 3
1
+
3
⎟⎞⎠ − ⎛⎜⎝
3 1 2
⎠ +
Análisis Vectoria 0
1 3
+0
⎞⎟ ⎠
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Análisis Vectoria
La integral de línea que acabamos de def inir se la puede interpretar JG como el trabajo que tiene que realizar un campo F al desplazar una partícula sobre la curva C , si denotamos al trabajo como W , entonces:
∫
JG
G
W = F • d r C
∫
7.5.2.1 Forma Diferencial JG
⎣
⎦
⎡ F • r ´( t ) ⎤ dt En la integral
C
JG
G
F = ( M , N , P )
Suponga que
JG
entonces tenemos que
∫
r ´(t ) =
Reemplazando:
y que
⎞ ⎟
⎛ ⎜⎡
∫
dx dy dz , ,
C : r (t ) = ( x (t ), y (t ), z (t ) )
⎛⎜ ⎝
⎞⎟⎤⎥ ⎠⎦
dt dt dt ⎡⎣ F • r ´( t )⎦⎤ dt = ⎢ ( M , N , P ) • dx , dy , dz dt dt dt C C ⎣ JG
Entonces:
∫ C
JG
⎣ F • r ´( t ) ⎦ dt =
∫
dt
Mdx + Ndy + Pdz
C
Ejemplo JG
G
G
Calcular F • d r donde
(
F = y, x 2
)
y
−
2 C : y = 4 x x
desde el punto ( 4, 0 )
C
hasta el punto (1, 3 ) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial JG
G
F • d r = C
∫
Mdx + Ndy
C
=
ydx + x 2 dy
C
237
MOISES VILLENA
−
−
2 En este caso y = 4 x x entonces dy =( 4 2 x )dx
Reemplazando:
238
Análisis Vectoria
MOISES VILLENA
∫ ∫ ∫ ∫
Análisis Vectoria
1
ydx + x 2 dy =
C
( 4 x
−
−
x 2 ) dx + x 2 ( 4 2 x ) dx
4
1
( 4 x
=
−
x 2 + 4 x 2
−
2 x 3 ) dx
4
1
( 4 x + 3 x
=
⎛⎜ ⎝
2
4
x 2
3
x = 4 +3 2 3
−
2 x 3 ) dx
− ⎠⎞⎟ 2
x 4 4
1
4
69
=
2
∫
Ejercicios Propuestos 7.1
−
F • dr siendo C la trayectoria C (t ) = (t 1) + 1, cos 5 (πt ),
1. Calcular
C
(
t ∈ [1,2 ] y F ( x, y, z ) = 2 xz 3 + 6 y, 6 x
−
3
−
2 yz , 3 x 2 z 2 y 2
−
cos 8 (πt ) ,
)
2. La fuerza ejercida por una carga eléctrica ubicada en el origen sobre una partícula cargada situada en un punto (x,y,z) , con vector posición r (t ) = ( x(t ), y(t ), z (t ) ) es F (r ) = k
r r
3
,donde k es una constante. Encuentre el trabajo realizado cuando la partícula se mueve a lo largo de una recta de (2,0,0) a (2,1,5).
Veamos ahora que existen campos vectoriales que producen el mismo efecto independientemente de la trayectoria.
7.5.3 Independencia de la Trayectoria Ejemplo JG
G
G
Calcular F • d r donde
(
F = 4 xy, 2 x 2
)
y
C : y = x 2
desde el punto ( 0, 0 )
C
hasta el punto (1,1) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial JG
G
F • d r = C
∫
Mdx + Ndy
C
=
4 xydx + 2 x 2 dy
C
239
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Análisis Vectoria
∫
2
∫ ∫
En este caso y = x entonces dy = 2 xdx Reemplazando:
1
4 xydx + 2 x 2 dy =
C
4 x ( x 2 ) dx + 2 x 2 ( 2 xdx )
0
1
=
8 x 3 dx
0
=
•
∫
8 x 4 4
1
0
=2
∫ ∫ 3
2
Si empleamos la trayectoria y = x entonces dy = 3 x dx
Reemplazando:
1
4 xydx + 2 x 2 dy =
C
4 x ( x3 ) dx + 2 x 2 ( 3 x 2 dx )
0
1
=
10 x 4 dx
0
=
•
∫
10 x 5
1
5
0
=2
∫ ∫
Si empleamos la trayectoria y = x entonces dy = dx
Reemplazando:
1
4 xydx + 2 x 2 dy =
C
4 x ( x ) dx + 2 x 2 ( dx )
0
1
=
6 x 2 dx
0
=
6 x 3 3
1
0
=2
Note que se obtienen los mismos resultados para diferentes trayectorias, JG además observe que el campo F es conservativo debido a que:
∂ N ∂ x ∂ ( 2 x
∂ x
2
=
∂ M ∂ y
) = ∂ ( 4 xy )
4 x = 4 x 240
∂ y
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7.5.3.1 Teorema JG
∫
Si F es continuo en una región abierta conexa, JG
G
F • d r
entonces la integral de línea
C
es JG
independiente del camino si y sólo si F es conservativo. Ejemplo JG
G
F • d r
Calcular
donde
G
(
)
F = y 3 + 1, 3 xy 2 + 1
y
G
−
C : r ( t ) = (1 cos t , sent )
C
desde el punto ( 0, 0 ) hasta el punto ( 2, 0 ) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial G
JG
F • d r = Mdx + Ndy C
=
∫
En este caso
⎨⎧⎩ −
∫
C
( y
3
C
x = 1 cos t y = sent
3
∫
entonces
Reemplazando:
( y
+ 1) dx + ( 3 xy 2 + 1) dy
+ 1) dx + ( 3 xy 2 + 1) dy =
C
⎧⎨ ⎩
dx = sentdt dy = cos tdt
( sen t + 1) ( sentdt ) + (3 (1 3
−
cos t ) sen 2 t + 1) ( cos tdt )
C
Se observa que a integral está difícil de evaluar. JG Ahora veamos si F es conservativo:
∂ N = ∂ M ∂ x ∂ y ∂ ( 3 xy + 1) ∂ ( y 2
∂ x JG
=
3
+ 1)
∂ y
3 y 2 = 3 y 2
Como F si es conservativo, entonces es independiente de la trayectoria:
241
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Análisis Vectoria
−) ⎧⎨ −
y
( x
1
2
+ y 2 = 1
x = 1 cos t y = sent
x
( 2,0 )
( 0,0 )
Mejor empleemos una trayectoria simple: y = 0 entonces dy = 0
∫
Reemplazando:
∫ ∫ 2
( y
3
+ 1) dx + ( 3 xy 2 + 1) dy =
C
( 0 + 1) dx + ( 0 + 1)( 0 )
0
2
=
dx
0
2
= x 0 =2
Sin embargo podemos evaluar la integral de línea de otra manera para campos conservativos.
7.5.3.2 Teorema Fundamental Sea C una curva suave a trozos situada en una r egión abierta R dada por dada por G r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) donde a t b . Si
≤≤
"
JG
F = ( M , N , P ) es conservativo en R ; y M , N y P
∫ ∫
son continuas en R entonces: JG
G
F • d r =
C
C
G
∇ f
•d r = f final
−
f inicial G
Siendo f una función potencial de F . Es decir:
242
MOISES VILLENA
∫ ∫ ∫ ⎛⎜ ∫⎝ − JG
G
G
F • d r =
∇ f
C
•d r =
C
C
∂ f
=
∂ x
dx +
Análisis Vectoria
⎛⎜ ∂ ⎝∂
∂ f
dy +
∂ f
∂ y
= df
⎞⎟ • ( ⎠
f ∂ f ∂ f , , x ∂ y ∂ z
⎞⎟ ⎠
dx, dy, dz )
dz
∂ z
C C
= f final f inicial
Ejemplo 1 G
En el ejemplo anterior, como F = ( y 3 + 1, 3 xy 2 + 1) es conservativo podemos encontrar su función potencial y aplicar el teorema anterior: Hallando la función potencial. ∂ f = y 3 + 1 ⇒ f = y 3 + 1 x + g ( y ) + C ( ) 1 ∂ x ∂ f = 3 xy 2 + 1 ⇒ f = xy 3 + y + h ( x ) + C 2 ∂ y Entonces: f ( x, y ) = xy 3 + x + y + C
−
G
JG
F • d r = f final f inicial C
= ⎡ 2 ( 03 ) + 2 + 0 + C ⎤
−⎡ (
0 03 ) + 0 + 0 + C ⎤
=2
Ejemplo 2 JG
≤
G
F • d r
Calcular
donde
JG
⎛ ⎝ ⎜
z z F = , , ln xy
x y
⎞ y ⎠ ⎟
G
C : r ( t )=
⎛ ⎝ ⎜
1 2
, t + t + 1, t 2
1 + t
⎞ ⎠ ⎟
C
−1 ≤ t 1 .
SOLUCIÓN: Realizar el cálculo de la integral de lineal convencionalmente puede resultar complicado. Veamos JG si F es conservativo:
JG
∇ × F =
i
j
k
∂
∂
∂
∂ x ∂ y M N
∂ z P
i
=
j
k
∂ ∂
∂
x
=
∂ x ∂ y ∂ z z
z
x
y
⎛ − ⎜ ⎝ xy
1 y , y xy
⎞ − − ⎟ ⎠ 1
(
, 0 0 = 0, 0, 0
)
x
ln xy
243
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria JG
Entonces F es conservativo y por ende independiente de la trayectoria; se podría utilizar una trayectoria simple, por ejemplo el segmento de recta que va desde el punto: G
⎛
−
−
1
r ( 1) =
⎜ ⎜ (− ) ⎝ ⎛
G
1
2
1 + (1)
⎞
2
⎟ ⎠
1
, (1) 2 + (1) + 1,(1) =
⎜ ⎜ ⎝
−
,1, 1
⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎞⎛ ⎞
2
1
r (1) =
⎛∂ ⎜∂ ⎝
−
1
, ( 1) + ( 1) + 1,( 1) =
1+
al punto:
−
⎞⎛
, 3,1
⎟⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎠
2
2
⎞ ⎛ ∂ ⎟ ⎜ ( ⎠) ⎝
⎞ ⎟ ⎠
O mejor aún, se podría utilizar la función potencial, hallémosla: JG
∫ ∫
F = ∇ f = f =
∫
f =
f =
f ∂ f ∂ f z z , , , ´, ln xy = x ∂ y z
x y
dx = z ln x + g y, z + C 1 x z z dy = z ln y + h ( x, z ) + C 2 y
ln xydz = z ln xy + I ( x, y ) + C 3 = z ln x + z ln y + g ( x, y ) + C 3
Por tanto f ( x, y, z ) = z ln xy + C JG
G
⎛ ⎞− ⎛ − ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎡ ⎛ ⎞ ⎢ ⎜ ( ) ⎟ ⎥ − ⎢( − ) ⎜ ( ) ⎟ ⎠ ⎦⎣ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝
F • d r = f
1
, 3,1
f
2
C
1
,1, 1
2
1
= 1ln = ln = ln
3
2 3
3
+ 2ln
⎤
1
+ C
1 ln
1
2
1
+ C ⎥
⎦
2
4
Ejercicios Propuestos 7.2 2
2
1. Dado el campo vectorial F ( x, y, z ) = (2 xyz + sen x )i + x zj + x yk , demostrar que F es un campo conservativo y encontrar su función potencial.
Si la trayectoria es cerrada y si el campo es conservativo y continuo dentro de la región que encierra la curva entonces:
∫
JG
G
v F • d r = 0 C
244
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
∫
Ejem plo Calcular
v
JG
G
F • d r
JG
donde F =
⎜⎛ −
y
2
x + y
2
,
⎟⎞ y
x 2
x + y
2
C : x2 + y2 = 1
C
SOLUCIÓN:
JG
Veamos si F es conservativo. Como es un campo de
2
\ :
245
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
⎛⎜ ⎞⎟ ( ) − ( ) − ⎝ ⎠ ( ) ( )− ( ) − ∂⎛ − ⎞ − ( ⎟⎠ ( ) ( ∂ ⎜⎝
∂ = ∂ x ∂x
∂ N
∂ M = ∂ y
JG
x
x 2 + y 2 y
2 x x 2 + y
=
1 x 2 + y 2
x 2 x
x 2 + y 2
1 x 2 + y 2
=
=
2
y 2 y
x 2 + y 2
2
x 2 + y 2
x 2 + y 2 )
2
x 2 + y 2
=
x 2 + y 2 )
2
Por tanto F si es conservativo. Como la trayectoria es cerrada se podría pensar que el valor de la integral de línea debería ser cero, pero observe que el campo no es continuo en
⎨⎧⎩
de línea.
x = cos t
La curva en forma paramétrica es C :
y = sent
( 0, 0 ) , entonces debemos evaluar la integral G
y en forma vectorial r ( t ) = ( cos t , sent )
La Integral de línea sería: 2π
∫ ∫ ∫ JG
F • d r =
v
C
⎛ − ⎜
JG G
G
F • r ´ dt =
y
v
C
0
∫
∫ ∫
⎞(− ⎟
sent , cos t ) dt
x 2 + y 2 x 2 + y 2
⎝⎛ −
⎠ ⎞ (−
⎝
⎠
sent cos t ,
2π
=
x
,
⎜
sent , cos t ) dt
⎟
( sen t + cos t ) dt 2
1
2
1
0
2π
=
dt
0
2π
=
0
= 2π
Existe otro mecanismo para evaluar integrales de líneas en el caso de caminos cerrados.
7.6 TEOREMA DE GREEN 246
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
JG
Sea F = ( M , N ) un campo vectorial de \ 2 . Sea R una región simplemente conexa con frontera C suave a trozos orientada en sentido ∂ N , ∂ M son continuas en antihorario. Si M , N , ∂ x ∂ y una región abierta que contiene a R , entonces: JG G ∂ N ∂ M dA F • d r = Mdx + Ndy = > > ∂ x ∂ y C C R
∫ ∫
∫∫
⎛⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠
247
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
∫
Ejemplo 1 Calcular
>
JG
G
G
F • d r donde F = ( y 3 , x3 + 3 xy 2 )
y
C :
es el camino desde ( 0, 0 )
C
a (1,1) sobre y = x 2 y desde (1,1) a ( 0, 0 ) sobre y = x . SOLUCIÓN: La evaluaremos primero empleando una integral de línea y luego por el Teorema de Green para comparar procedimientos y comprobar resultados.
y
(1,1) y = x
y = x
2
x
( 0, 0 )
∫
PRIMER MÉTODO: Por integral de línea:
> C
JG
G
F • d r =
∫
>
Mdx + Ndy =
C
Hay 2 trayectorias: C 1 : y = x2 entonces dy = 2 xdx
>
∫ ∫ ∫
y 3 dx + ( x 3 + 3 xy 2 ) dy
C
1
y 3 dx + ( x 3 + 3 xy 2 ) dy =
C 1
( x ) 2
3
(
dx + x 3 + 3 x ( x 2 )
0
1
=
( x
6
+ 2 x 4 + 6 x 6 )dx
0
1
=
( 7 x
6
+ 2 x 4 )dx
0
=7 =
248
x7
7 5
7
+2
x5 5
1
0
2
) ( 2 xdx )
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
∫
C 2 : y = x entonces dy =dx
∫ ∫ ∫ 0
y 3 dx + ( x 3 + 3 xy 2 ) dy =
C 2
(
( x )
3
( x
+ x 3 + 3 x 3 )dx
dx + x 3 + 3 x ( x )
2
) ( xdx )
1
0
=
3
1 0
=
( 5 x )dx 3
1
x 4 =5 4
−
0
1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ =
5
4
Por lo tanto:
>
JG
JG
G
JG
G
F • d r = F • d r +
C
G
F • d r =
C 1
7 5
−
5 3 = 4 20
C 2
⎜⎛⎜ ⎝
SEGUNDO METODO: Empleando el TEOREMA DE GREEN
>
JG
⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ ⎞⎟⎠
G
F • d r =
C
N
M
x
y
dA =
R
R
∂ ( x 3 + 3 xy 2 )
∂ x
−
∂ ( y 3 )
∂ y
⎟⎞⎟ ⎠
dA
La región R es:
y
(1,1) y = x
R
y = x
( 0, 0 )
2
x
249
MOISES VILLENA
∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ⎛⎜ ∂ − ∂ ⎟⎞ ⎝ ∂⎠ N
M
∂ x
y
1
Análisis Vectoria
x
( 3 x
dA =
R
2
+ 3 y 2
−
3 y 2 ) dydx
x 2
0
1
x
=
( 3 x ) dydx 2
x3
0
1
3 x 2 y
=
x x 2
dx
0
−
1
3 x 2 ( x x 2 ) dx
=
0
1
(3 x
=
0
3
−
3 x 4 ) dx
−
x4 x5 3 3 = 4 5 3 3 = 4 5 3 = 20
−
∫
Ejemplo 2 Calcular
>
G
JG
F • d r
donde
G
−
(
F = arc senx + y 2 , cos y x 2
)
y
C :
es el camino
C
que se describe en la gráfica: y
2
2
2
2
x + y = 4
2
x + y = 1 1
−
2
−
1
SOLUCIÓN: Aquí es mejor por GREEN, ¿Porqué?
250
1
2
x
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫
MOISES VILLENA
JG
G
F • d r =
> C
R
Análisis Vectoria
⎜⎛⎝∂∂ − ∂∂ ⎞⎟⎠ ⎛ ( − )− ( ⎝⎜ (− − ) N
M
x
y
dA
∂ arc senx + y 2 )
∂ cos y x 2
=
∂ y
∂ x
R
=
⎞⎟ ⎠⎟
dA
2 x 2 y dA
R
Pasando a Polares:
(
− −
π
−
2
( r cos θ + rsenθ ) rdrd θ
2 x 2 y )dA = 2
R
0
−
π
−
π
1
2
( cos θ + senθ ) r 2 drd θ
= 2
0
1
( cos θ + senθ )
= 2
⎛ − ⎜ ⎛ − ⎝⎝ −
0
− ⎞( θ − ⎟ ⎞ − ⎠ ⎡⎠ − ( − )⎤
23
= 2
13
sen
8 1 = 2 3 3 1
=
r 3
2
θ
d 1
cos θ ) 3
π
0
1
28 3
3
3
7.7 INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA.
−
Con integrales de líneas también podemos calcular el área de regiones
∫∫ ∫∫
∫ ∫−
planas. En la formula de Green, si tomamos M =
R
⎛⎜ ∂ − ∂ ⎞⎟ ⎝ ∂⎠ ⎛ ⎞⎞ − ⎜ − ⎟⎟ N
M
∂ x
y
1
1
dA =
dA =
⎜ ⎝ ⎠ 2
2
2
1 2
y N =
1
x 2
entonces
> Mdx + Ndy C
>
1
2
1 ydx + xdy
2 251
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
⎝
∫∫ ∫ R
dA =
R
252
1
>
C
⎠
−
C
xdy ydx
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
7.7.1 Teorema Sea R una región plana limitada por una curva cerrada simple a trozos C . El área de R viene dada por: 1 A = xdy ydx > 2 C
∫
−
Ejemplo 1 Emplear una integral de línea para calcular el área de la región limitada por
⎧⎨ ⎩SOLUCIÓN:−
y = 2 x + 1 y = 4 x 2
Haciendo un dibujo de la región y
4
−
C 2 : y = 4 x 2
(1,3)
3 R
−3
1
x
C 1 : y = 2 x + 1
(
− −) 3, 5
−
5
La curva C que encierra R está compuesta por dos trayectorias diferentes, calcularemos la integral de línea por cada trayectoria, y luego sumaremos los resultados. Primero: C 1 : y =2 x + 1 entonces dy =2dx Reemplazando y evaluando:
253
MOISES VILLENA
1 2
Análisis Vectoria
∫ ∫ −
1
1
xdy ydx =
2
C 1
x ( 2dx )
−(
2 x + 1) dx
−
3
1
=
1
( 2 x
2
− −)
2 x 1 dx
−
3
−
1
1
=
2
dx
−
− −
3
1 1 x 2 −3 = 2
=
−
−
Segundo: C 2 : y = 4 x 2 entonces dy = 2 xdx Reemplazando y evaluando:
1
2
−
∫ ∫ −
3
−
1
xdy ydx =
x ( 2 xdx )
−( −
4 x 2 ) dx
2
C 2
1
=
−
1
3
2
(
−
2 x 2 + x 2
−)
4 dx
1
−
− −) − ⎛ ⎞ − ⎝⎜ ⎠⎟ 3
=
1
(
2
x 2
4 dx
1
= =
1 x 3 2
3
3
+ 4 x
1
38 3
Finalmente, sumando:
A = −2 +
38 3
=
32
3
Ejemplo 2 Hallar el área de la elipse con ecuación
x 2
SOLUCIÓN: Las ecuaciones paramétrica de la elipse son: C :
Entonces
254
⎧⎨ − ⎩
dx = asent dt dy = b cos t dt
+
a2
⎧⎨ ⎩
y
2
b2
=1
x = a cos t y = bsent
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria Reemplazando en la formula anterior y luego evaluando, resulta:
255
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
A =
1
2
∫ ∫ π
−
2
xdy ydx =
>
−
1
( a cos t )( b cos tdt ) ( bsent )(
−
asentdt )
2
0
C
2π
=
1
ab cos 2 tdt + absen 2 tdt
2 0 2π
=
1
ab ( cos 2 t + sen 2 t ) dt
2 0 2π
=
1
∫
abdt
2 0
π
2
=
1 2
ab
dt
0
=
1
2π
ab t 0
2 = π ab
∫
Ejercicios Propuestos 7.3
−
3
3
3. Calcular x dy y dx C
donde C es el círculo unitario centrad o en el origen.
−
−
−
(
2 2 4. Sea F ( x, y) = xe y , x 2 ye y + 1 x 2 + y 2
∫
contorno del cuadrado determinado por: x 5. Evaluar la integral
x 2 ydx
−
≤
a
;
)
y
, calcular el trabajo de F en el
≤
a
y 2 xdy ; donde C es la curva que consta del arco
C
∫(
4 y = x 3 de (0,0) a (2,2) y del segmento de recta que va de (2,2) a (0,0) 6. Verificar el teorema de Green en la integral
∫
)
2 x 2 + y 2 dx + ( x + y )2 dy , siendo C el
C
contorno del triángulo con vértices en l os puntos (1,1),(2,2), (1,3). 2
7. Hallar xydx + 2 x dy donde C consta de los segmentos de recta que van desde (0,2) a (C 2
2,0) y de allí a (2,0) y luego la parte d e la circunferencia x + y
2
= 4 para x>0 y y>0.
8. Una partícula empieza en el punto (-2,0), se mueve a lo largo del eje x hacia (2,0) y luego a lo
∫
(
3
esta partícula por el campo de fuerzas F ( x, y) = x, x + 3 xy 9.
Calcular:
2
2
⎡ ⎣
⎜⎛
2
x + y dx + y ⎢ xy + ln x + x + y 2
circunferencia x + y
2
2
2
⎞⎟⎤⎥ ⎦
). dy
,
donde
C
es
la
= a2
10. Utilizando una integral de línea calcular el área de la región encerrada por la curva
256
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria 2
2
2
x 3 + y 3 = a 3 11.
−
Empleando una integral de línea, encuentre el área de la región R limitada por las 2
gráficas y = x + 2 ; y = x ; x = −2 ; x = 2 .
257
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
7.8 INTEGRALES DE SUPERFICIE 7.8.1 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE FUNCIONES ESCALARES. En el capítulo de integrales Dobles se estableció la manera de calcular área de una superficie, ahora se trata de calcular el efecto de una función escalar sobre una superficie. Es decir, evaluar integrales del t ipo:
∫∫ ∫∫
f ( x, y, z ) dS
S
Ejemplo. Calcular
( xyz ) dS donde
S : porción
del plano x + y + z = 3 en el primer
S
octante.
SOLUCIÓN: Primero hacemos un dibujo de la superficie:
z
3
−−
S : z = 3 x y
3
3
∫∫ ∫∫ x
Proyectamos la superficie en el plano xy , por tanto:
( xyz ) dS =
S
R
La región de integración sería:
258
( xyz )
1 + z x 2 + z y 2 dydx
y
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
y
−
3
y = 3 x
x 3
∫∫
∫∫ ∫∫ ∫
Haciendo las sustituciones correspondientes y evaluando la integral doble:
−
3
( xyz )
1 + z 2 + z 2 dydx =
R
3 x
( xy ( 3
0
3 − x
= 3
y
−
2
−
2
x y ) ) 1 + ( 1) + ( 1) dydx
0
3
x
−−
0
0
3
⎡
= 3
( 3 xy
(3 x
−
− −
x
x 2 y xy 2 )dydx
2
)
−
y2
x
y 3 ⎤
−
3 x
dx
⎣
⎦0
⎢
2
⎥
3
0 3 2
− ( − )
= 3
x 3 x
∫
3
(3
(3
x )
−
x )
⎤
−
x
⎢⎣
2
dx
3
⎢
⎥⎦
⎥
−
3
x N ( 3 x ) dx 0
= 3
⎛−⎞ 1
3
1
259
MOISES VILLENA
⎝ ⎠ 2
3
⎡
3
(3
∫
Análisis Vectoria u
0
−
6 3
=
⎢ ⎢ ⎢⎣
x )
4
−
−
⎤ ( 3 x ) dx ⎥ −4 ⎥⎦ 0
− ⎡ ( − ) ( − − 4
3 x
4
3
4
3
3 x )
5
⎤
x
⎢ 6
⎢⎣
3 ⎡ 35
=
,
dv
x
=
_
, _
20
−4
⎥ ⎥ 0
⎤
⎢ ⎥
81 3 = 6 ⎣ 20 ⎦ 40
Las integrales de funciones escalares sobre superficies parametrizas serían de la forma:
∫∫ R´
260
G
G
f ( x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v ) ) r u × r v dudv
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
∫∫(
Ejercicios propuestos 7.4 1.
Evaluar
2
2
)
(
)
x + y dS , siendo S la superficie del cono z 2 = 3 x 2 + y 2 entre z=0 y
S
z=3 2.
Considere la superficie S = S 1
∪ S 2 , siendo S
∫∫
2
entre z=1 y z=2, S 2 la superficie semiesférica x + y
F = ( z , x, y ) , evaluar la integral
2
la superficie del cilindro x + y
1
2
−
2
2
≥
=4
+ ( z 2 ) = 4, z 2 . Si
(∇ × F ) • ndS
S
Las integrales de superficies nos permitirán evaluar integrales de funciones vectoriales sobre curvas que encierran superficies, para lo cual tenemos una generalización del teorema de GREEN.
7.8.2 TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie orientada con vector unitario N cuyo contorno es una curva JG
cerrada simple C , suave a trozos. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta R que contiene a S y a C , entonces:
∫ ∫∫ JG
G
> F • d r = C
JG
( ∇ × F ) • N dS
S
Ejemplo. Comprobar el Teorema de Stokes paraboloide z = 5 SOLUCIÓN:
− − x
2
y
2
para
G
(
F = 2 z , x, y
2
),
S : superficie
del
y C : traza de S en el plano z =1 .
Identificando S y C : z 2
2
S : x + y + z = 5 JJJG
N =
∇ S ∇ S
2 2 C : x + y = 4
z = 1 y
261
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
x
262
MOISES VILLENA
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Análisis Vectoria
POR INTEGRAL DE LÍNEA.
>
JG
G
F • d r =
> Mdx + Ndy + Pdz
C
C
>
=
⎧⎪ ⎪
2 zdx + xdy + y 2 dz
C
x = 2 cos t
⎧⎪ − ⎪
dx = 2 sent dt
En este caso C : y = 2 sent entonces
dy = 2 cos t dt
dz = 0
z = 0
Reemplazando y evaluando:
2π
>
−
2 ( 0 ) [ 2 sentdt ] + ( 2 cos t ) [ 2 cos tdt ] + ( 2 sent )
2 zdx + xdy + y 2 dz =
C
2
(0)
0
2π
4 cos 2 tdt
=
0
2π
(1 + cos 2t )
=4
⎛ ⎝
2
0
= 2 t +
⎞ ⎠
∫ ∫∫
π
2
sen2t 2
dt
0
= 4π
APLICANDO EL TEOREMA DE STOKES. POR INTEGRAL DE SUPERFICIE.
>
JG
G
F • d r =
C
(
JG ∇ × F
) • N dS
S
Calculando el rotacional, el vector normal a la superficie y el diferencial de superficie:
i
j
k
2 z
x
y 2
∂ ∂ ∂ = 2 y, 2,1 ) ∂ x ∂ y ∂ z (
JG
∇ × F =
JJG
N =
∫
dS =
∇S ∇S
(
JG
( 2 x )
∫∫ ∫∫
( 2 x )
Reemplazando:
( 2 x, 2 y,1)
= 2
S
R
=
2
+ ( 2 y ) + 1 2
+ ( 2 y ) + 1 dydx
∇ × F • N dS =
)
2
( 2 y, 2,1) •
( 2 x, 2 y,1) ( 2 x )
2
2
+ ( 2 y ) + 1
( 2 x )
2
2
+ ( 2 y ) + 1 dydx
( 4 xy + 4 y + 1) dydx
R
En este caso la región de integración es el círculo centrado en el origen de radio 2, pasando a coordenadas cilíndricas:
263
MOISES VILLENA
∫∫
∫∫ ∫ ∫ π
2
2
( 4 xy + 4 y + 1) dydx =
R
0
( 4 ( r cos θ )( rsenθ ) + 4rsenθ + 1) rdrd θ
0
2π
=
Análisis Vectoria
⎡ r 4 r 3 4 sen θ + 2 sen2 θ ⎢ 4 3
⎣
+
r 2 ⎤ 2
0
2π
=
⎥
⎦0
d θ
⎡ 24 23 2 2 ⎤ 2 sen2 θ 4 sen θ + + ⎥ d θ ⎢ 4 3 2⎦ ⎣
⎛− ⎢⎣ ⎜⎝ 0
=
2
⎡8
θ
cos 2 2
⎟⎠⎞
+
32 3
−
⎤ ( cos θ ) + 2θ ⎥ ⎦0
2π
= 4π
∫∫
Ejercicios propuestos 7.5 1.
Calcular
(rotF ) • ndS , donde F ( x, y, z ) = y 2 i + xyj + xzk
y S es la superficie
S
semiesférica x 2.
2
+ y 2 + z 2 = 1 con z >0
−
−
−
Comprobar el teorema de Stokes si F ( x, y, z ) = ( y z )i + ( z x ) j + ( x y )k calculando la circulación a lo largo de la curva de intersección de x
2
+ y 2 = 1 con
x + z = 1 . 3.
Calcule
el
trabajo
(
x
2
) (
F ( x, y, z ) = x + z i + y
efectuado y
2
) (
por z
2
el
)
campo
fuerza
+ x j + z + y k ;cuando una partícula se mueve
bajo su influencia alrededor del borde de la porción de la esfera x
∫−
de
2
+ y 2 + z 2 = 4 que se
encuentra en el primer octante, en dirección opuesta a la de las manecillas del reloj cuando se observa desde arriba. 4.
( y
Calcular
−
−
z )dx + ( z x )dy + ( x y )dz . Donde C es la curva de intersección entre
C
las superficies x 5.
2
+ y 2 = 1 ; x + z = 1 .
(
2
∫ ∫ ∫− ∫( −
realizará F al mover una partícula a través de los puntos: 6.
)
Dado el campo de fuerzas F ( x, y, z ) = 2 x + 2 y,2 x,3 z . Encontrar el trabajo que
⎜⎛ ⎝
⎟⎞ ⎜⎛ ⎠ ⎝
(0,0,0) → (1,2,0 ) → (1,2,5)
⎞⎟ ⎠
x Evaluar F dr , siendo F = arctg = i + ln x 2 + y 2 j + k y
•
C
y
C: el triángulo
con vértices (0,0,0), (1,1,1), (0,0,2). 7.
Evaluar
( y + z )dx + ( x + z )dy + ( x + y )dz
C
≥
donde C es la frontera de la superficie
x 2 + y 2 + z 2 = 1 ; z 0 8.
Calcular
−
y 3 dx + x 3 dy z 3 dz ;donde C es la intersección del cilindro x 2 + y 2 = 1 ,
C
y el plano x+y+z=1, y la orientación de C corresponde al movimiento en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 9.
) (
−
intersección de la superficie del cubo 0 x
a;
Calcular
C
x + y + z =
264
) (
−
)
y 2 z 2 dx + z 2 x 2 dy + x 2 y 2 dz ; donde C es la curva de
3 2
a
≤ ≤
≤ ≤
0 y
a;
≤≤
0 z a ; y el plano
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
7.8.3 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE CAMPOS VECTORIALES. INTEGRALES DE FLUJO JG Se trata ahora de determinar el efecto de funciones vectoriales F atravesando una superficie S , para esto se empleará integrales de superficie de la forma: JG JJG
∫∫
F • N dS
S
Este tipo de integrales son llamadas integrales de Flujo.
Ejemplo.
x + y + z = 3 JJJG
JG
G
F • N dS
Calcular
para F = ( 2 z , x, y 2 ) y S : porción del plano
S
en el primer octante. SOLUCIÓN: z
G
3
F JJJG N
S : x + y + z = 3
3
y
3 x
∫∫ ∫∫ ∫∫
El flujo a través del plano estaría dado por: JG JJJG
F • N dS =
S
(1,1,1) dS ( 2 z , x, y ) • 2
3
S
( 2 z + x + y )
=
2
3
dS
S
265
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria Proyectando la superficie en el plano xy , la región de integración sería:
y
−
3
y = 3 x
x 3
∫
Reemplazando y evaluando:
∫∫ ∫∫ ∫ 3
( 2 z + x + y ) dS = 2
3
S
−
3 x
0
3
=
0
3
=
(2 (3
−
x ) + x + y 2 )
1 + 1 + 1 dydx
3
0
3 − x
(6
−
x + y 2 ) dydx
0
⎡ (6
−
x ) y +
y3 ⎤
−
3 x
dx
⎣
⎦0
⎢
3
⎥
0 3 3
⎡ =
266
∫
(6 ⎢⎣
(3
−
x )
⎤
− )( −
x 3 x ) +
dx
3
⎥⎦
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
⎢ (3
⎥
−
x )
3
⎤
⎥ dx
3
⎥⎦
0 3
−
⎡
⎢18
=
⎢⎣
x
0
2
2
−
⎡
9 x + x 2 +
+
x
3
3
− −
(3
x )
4
12
+
⎤3 ⎥ ⎥0
= ⎢18 x 9
⎢⎣
−
⎡
2
= ⎢18 ( 3) 9
⎢⎣
= 24
−
81 2
+
( 3) 2
27 3
+
+
( 3) 3
3
+
− ) ⎤⎥ − ⎢⎡− − ⎥⎦ ⎣
(3
3
12
4
34 ⎤
⎥
12 ⎦
81 12
Si la superficie es cerrada tenemos otra opción para evaluar la integral de flujo.
267
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
7.8.4 TEOREMA DE GAUSS Sea Q una región sólida limitada por una superficie S orientada
JG
por un vector normal unitario dirigido al exterior de Q . Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q , entonces:
∫∫
JG JJG
w F • N dS = S
∫∫
JG
( ∇ • F ) dV
Q
Es decir, que en lugar de emplear una integral de superficie para calcular el flujo a través de una superficie cerrada se puede emplear una integral de volumen.
Ejemplo 1 G
Comprobar el teorema de Gauss para F = ( 2 x, 2 y, z ) y Q el sólido limitado por
≥
las superficies z 2 = x 2 + y 2 y x 2 + y 2 + z 2 = 8 ; z 0 SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo
z 2
2
2
S 2 : x + y + z = 8 = 8
ρ
φ
2
S 1 : x + y =
π
2
−
2
z = 0
4
y 2
2
x + y = 4
x
PRIMER MÉTODO: POR INTEGRAL DE SUPERFICIE. Como hay dos superficies que definen el sólido, calculamos el flujo por cada una y Luego los sumamos.
Primero, el flujo por el cono: JG
268
JJG
F • N
dS =
MOISES VILLENA
( 2 x, 2 y, z )
( 2 x, 2 y, z ) •
−
2
4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 S 1
Análisis Vectoria d S
S 1
269
MOISES VILLENA
∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
Análisis Vectoria
Proyectamos la superficie en el plano xy
(2 ,2 , x
( 2 x, 2 y,
)
y z
−
2 z )
•
dS =
+ 4 z 2
2
2
x
( 2 x, 2 y,
)
S 1
=
−
2 z )
4 x2 + 4 y 2 + 4 z 2 2 z
•
y z
dA
+ 4 y + 4 z 2
R
4 x + 4 y
∫
(2 ,2 ,
( 4 x
2
+ 4 y 2
−
4 x
2
2
dA
2 z 2 )
2 z
R
Pasando a coordenadas cilíndricas:
( 4 x
2
−
+ 4 y 2
2 z 2 )
2 z
π
2
2
2
dA =
R
0
=
2r
θ
rdrd
2
0
θ
r 2 drd
0
r 3
=
2r 2 )
0
π
2
=
−
( 4r
3
2
θ
2π 0
0
16 3
π
Segundo, el flujo por la esfera JJG
JG
∫∫
F • N dS = S 2
( 2 x, 2 y, 2 z )
( 2 x, 2 y, z ) • S 2
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2
dS
Proyectamos la superficie en el plano xy
( 2 x
)•
,2 ,
( 2 x, 2 y,
2 z )
4 y + 4 z
4 x
y z
−
2
+
2
2
(2
=
dS
S 1
)•
,2 , x
y z
( 2 x, 2 y, 2 z )
4 x2 + 4 y 2 + 4 z 2
4 x + 4 y + 4 z
2 z
2
2
R
=
∫∫
( 4 x
2
+ 4 y 2 + 2 z 2 ) dA 2 z
R
Pasando a coordenadas cilíndricas:
π
2
( 4 x 2 + 4 y 2 + 2 z 2 )dA = 2 z
R
=
2
0
0
π
2
−
2r 2 + 16 2
0
(8
⎡
⎢
= 0
(8
2
2
r 2 )
2
0
2
( 4r + 2 (8 − r ) ) rdrd θ
2
0
π
2
−
2
r
)
3
r
⎢⎣ (8
−
2
r
)
θ
rdrd
−
+ 8 ( 8 r 2 )
−
1 2
La primera integral es por sustitución trigonométrica y la segunda por sustitución. El resultado es: JG JJG 176 160
∫∫
F • N dS =
270
dA
2
⎛
⎝
2
− ⎞π ⎠
⎤
r ⎥ drd
⎥⎦
θ
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria
⎜
3
3
⎟
S 2
Sumando los dos flujos
271
MOISES VILLENA
∫∫
w
Análisis Vectoria JJJG
JG
JG JJG
F • N dS =
S
= =
∫∫
JG JJG
F • N dS +
⎛⎜ ⎝
− ⎞⎠⎟π −)
S 1
160
160 3
176
2
3
π
F • N dS
3
(
S 2
+
16 3
π
2 1π
SEGUNDO MÉTODO: APLICANDO EL TEOREMA DE GAUSS
w
JJJG
JG
JG
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫
F • N dS =
S
( ∇ • F ) dV
Q
( 2 + 2 + 1) dV
=
Q
=5
dV
Q
Lo mejor será pasarlo a coordenadas esféricas: π 2π 8 4
5
dV = 5
Q
=5
0
0
ρ3
8
− φ) θ ( )⎛ − ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ ( ) ⎛⎜ − ⎞⎟( ) ⎝ ⎠ ( −)
=
1
16 2 3
3
4
π
2
0
0
3
3
160
π
cos
0
8
=5
0
(
3
=5
φ
ρ 2 sen d ρ d φ d θ
1
2
2
2
2
2π
2π
2 1 π
Ejemplo 2 Sea Q la región limitada por el cilindro x 2 + y 2 = 4 , el plano x + z =6 y el plano JG xy . Hallar el flujo de F = ( x 2 + senz , xy + cos z , xz + e y ) a través de la superficie que limita a Q . SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo:
272
MOISES VILLENA
Análisis Vectoria z
x + z = 6 x 2 + y 2 = 4
y
∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ x
Aquí es mejor aplicar el teorema de Gauss.
w
JJJG
JG
JG
F • N dS =
S
( ∇ • F ) dV
Q
( 2 x + x + x ) dV
=
Q
=
4 xdV
Q
Pasando a coordenadas cilíndricas: 2π
2
6−r cosθ
Q
0
2π
θ
r cosθ dzrdrd
4 xdV = 4
0
0
2
θ
θ
6−r cos
r 2 cos z 0
=4
0
0
2π
2
r 2 cos
=4
0
0
2π
2
θ (6
( 6r cosθ 2
=4
0
2π
=4
=4
−
r cos θ )drd θ
r 3 cos 2 θ )drd θ
0
⎛ ⎝⎜
r 3
6 cosθ
0
2π
−
drd θ
(16cos θ
−
4
cos
2
θ r
3
4
−
4cos2 θ ) d
⎛⎜ ⎜ − ⎜⎝ ⎛⎜ − ⎛⎜ ⎝ ⎝ (− ( ))
= 4 16 senθ
4
2 θ+
θ
d 0
⎞ ⎟ θ⎟ ⎠⎟
θ d
1 + cos 2 2
0
= 4 16 senθ
2
θ
2π
0
=4
⎞ ⎠⎟
θ
sen2
⎞⎞⎟⎟
2π
−
= 16π
2 2π
273
⎠⎠
MOISES VILLENA 2
0
274
Análisis Vectoria
