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Análise de perfis aerodinâmicos Joukowski
David Kliewer
Orientador: Profª. Adriane Prisco Petry
Área de Concentração: Térmica
Resumo:
Este trabalho apresenta o desenvolvimento de um programa computacional que emprega
a metodologia da transformação de Joukowski e a análise de escoamentos potenciais para
transformar um círculo em um aerofólio e calcular os coeficientes de desempenho do perfil.
Variando-se a posição do centro deste círculo em relação à origem do sistema de coordenadas
xy, serão geradas, para cada posição, um aerofólio diferente. Isso permite obter uma infinidade
de geometrias, tanto simétricas quanto não simétricas.
O programa desenvolvido é capaz de representar graficamente qualquer aerofólio
desejado (dentro das possibilidades da transformação) e fornecer dados de seu desempenho
aerodinâmico e uma listagem dos pontos do perfil, que pode então ser usada em outros
programas para comparação de resultados.
Abstract
"Joukowski aerodynamic profiles analysis"
This paper presents the development of a computer program that employs the Joukowski
transformation methodology and potential flow analysis to turn a circle into an airfoil and to
calculate the performance coefficients of the profile. By varying the position of the circles center
to the origin of the xy coordinate system, for each position a different airfoil will be generated.
This allows the design of a large range of geometries, symmetrical as well as cambered.
The program is able to plot any desired airfoil (within the transformations possibilities)
and calculate its aerodynamic performance data and a list of the profiles coordinates that can
then be compared with the results of other programs.
PALAVRAS CHAVE:
Transformação conforme, Joukowski, aerofólios, escoamento potencial, aerodinâmica.

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Índice:
Pág.
1. Introdução

3

2. Análise do Escoamento potencial sobre um cilindro com circulação

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2.1. Escoamento Potencial

4

2.1.2. Circulação

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2.2. O Cilindro

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2.2.1. O Escoamento Potencial sobre um Cilindro

7

2.2.2. Funções de Corrente (ψ) e Potencial de Velocidade (Φ)

7

2.2.3. Função Potencial

9

2.2.4. Velocidades

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3. A transformação de Joukowski

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3.1. Preparação

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3.1.1. Equações da transformação

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3.1.2. Transformação da velocidade

11

3.1.3. Ângulo de ataque e curvatura

12

3.1.4 Determinação da circulação

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3.2. A transformação

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3.3. Equacionamento do programa Joukowski DCS

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4. Resultados

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4.1. Joukowski DCS versus XFOIL

18

4.2. Joukowski DCS versus Manzanares Filho

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4.3. Joukowski DCS versus Pope

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4.4. Coeficiente de Momento à um quarto da corda (Cm1/4)

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5. Conclusões

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Referências Bibliográficas

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Anexo I: Interface visual do programa Joukowski DCS

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1. INTRODUÇÃO

1988). 1998) onde era apresentado um programa simples. A possibilidade de um processo alternativo foi primeiramente vislumbrado em uma revista de aeromodelismo (Aviation Modeller International. a partir da década de 1960. vários autores como (Pope. Esta técnica. ainda é válida em áreas avançadas de pesquisa. em dois de seus capítulos. Por ser um livro antigo. volumes finitos ou método dos painéis. A. empregando elementos finitos. o uso de métodos computacionais tornou a solução desta transformação extremamente simples. Mais tarde.3 Um interesse em aviação e aeromodelismo levou à procura de programas de computador que calculassem o desempenho aerodinâmico de aerofólios. No caso deste trabalho. calcule dados sobre o desempenho aerodinâmico e que gere um arquivo de pontos destes aerofólios para uso em outros programas de análise. 1951). normalmente desenhado no papel. Atualmente. além do cálculo de valores de seu desempenho. possibilitando a programação de um sistema que representa graficamente. 1951) onde. 1951. Kuethe e Schetzer. com o advento dos . é bastante trabalhoso e impreciso. A transformação conforme é um método que emprega variáveis complexas para transformar figuras geométricas em um plano complexo em figuras com totalmente diferente em outro plano. Belotserkovskii. frustrando assim o espírito criativo do aeromodelista mais engajado no projeto aerodinâmico do seu modelo. transforma-se um círculo em um aerofólio. em linguagem BASIC. é comentada a dificuldade e o tempo necessário para a representação gráfica do aerofólio e sua distribuição de pressão. como a solução de problemas de otimização de formas aerodinâmicas (Jameson. a transformação de Joukowski era explicada e analisada. O segundo tipo pode analisar praticamente qualquer aerofólio. 1969) trataram de formular e aperfeiçoar as teorias e equações para obtenção de resultados do desempenho dos aerofólios. que partiam de uma lista dos pontos que descrevem o aerofólio para executar a análise. 1967. Outro problema dos programas de análise numérica é o alto custo de aquisição do software em si e do equipamento computacional necessário para a utilização dos mesmos. a transformação e os aerofólios Joukowski são abordados de duas formas: até a década de 1960. para a representação gráfica dos perfis aerodinâmicos Joukowski. uma busca por literatura sobre aerofólios levou ao livro Basic Wing and Airfoil Theory (Pope. que poderia ser considerada ultrapassada pelos métodos numéricos computacionais hoje disponíveis para uso em mecânica dos fluidos. Nas referências encontradas. mas o processo de obtenção dos pontos de um aerofólio de criação própria. Foram encontrados apenas programas do tipo biblioteca de aerofólios e dados de desempenho e do tipo análise numérica. O primeiro tipo apresenta os dados de desempenho para um grande número (centenas) de aerofólios conhecidos. A transformação de Joukowski é um caso particular de transformação conforme (Pope.

O escoamento irrotacional incompressível permanente bidimensional. 1994. os resultados obtidos com o programa desenvolvido no presente trabalho. o escoamento pode então ser representado por duas funções que descrevem seu comportamento: a função de corrente (ψ) e a função potencial de velocidade . Chow et alli. Hwang. que usa o método dos painéis para analisar qualquer geometria de aerofólio. é uma importante simplificação. Manzanares Filho. Desta forma simplificado.1973): a) Bidimensionalidade: Todas as características e propriedades do escoamento independem de uma das coordenadas espaciais. ou escoamento potencial bidimensional. 1982. os aerofólios Joukowski passaram a ser usados como parâmetros de comparação ou como plataforma de testes para teorias de escoamentos mais complexos (Huang e Chow.1. a partir de agora chamado Joukowski DCS. 1951) e com resultados obtidos por Nelson Manzanares Filho em sua Tese de doutorado (Manzanares. 1985. o aeromodelista tem supervisão direta na criação da geometria do aerofólio. 2. ESCOAMENTO POTENCIAL: Para que se faça possível uma análise matemática de um escoamento. 1994). muitas vezes é necessário ou conveniente fazer simplificações para que as complexas equações que regem os escoamentos possam ser resolvidas analiticamente. com os resultados do (Pope. c) Irrotacionalidade: Isso implica um fluido invíscido cujas partículas movem-se inicialmente sem rotação. 2000). 2000). d) Escoamento permanente: Todas as características e propriedades do escoamento independem do tempo. controlando parâmetros geométricos até chegar ao compromisso adequado entre geometria e desempenho aerodinâmico. são comparados com os resultados obtidos usando o programa XFOIL (Drela. Ao final. se comparada com uma análise mais completa do escoamento. ANÁLISE DO ESCOAMENTO POTENCIAL SOBRE UM CILINDRO COM CIRCULAÇÃO: 2. Ela é uma abordagem que permite obter resultados sem muito esforço.4 métodos computacionais permitindo a análise de geometrias de construção matemática mais complexas. O escoamento potencial analisado difere da realidade nos seguintes aspectos (Shames. Com a programação das equações da transformação no sistema computacional HPVee. b) Incompressibilidade: A densidade e o peso específico são considerados constantes.

Para que seja encontrada esta força sobre o corpo. Cada linha de corrente tem um valor ψ constante. O fato de as funções serem ortogonais entre si (devido à irrotacionalidade do escoamento) não importando a configuração do escoamento.1. A diferença entre duas linhas de corrente quaisquer é o valor da vazão de fluido entre essas linhas. e. obtendo-se então uma força resultante. Quando combinada com o escoamento no qual o corpo está imerso. do aerofólio transformado.5 (Φ).1. relacionada com uma vazão de fluido circulando ao redor de um corpo. será de grande importância mais adiante. enquanto que a função potencial de velocidade está sujeita também a condição de irrotacionalidade. 1998): Antes de discutir a transformação de Joukowski.1 – Representação gráfica de um escoamento potencial paralelo uniforme. As equações destas funções serão abordadas no capítulo 2.2. tangente ao vetor velocidade de uma partícula qualquer que se move com o escoamento. 2. A circulação é a condição fundamental para que se possa determinar a força de sustentação do cilindro. Figura 2.2. é necessário apresentar a base que permite o tratamento analítico direto empregado para o cálculo da sustentação desta família de aerofólios: a circulação representada pela letra Γ. A função de corrente é representada por uma linha (de corrente). é necessário conhecer o valor da circulação. conseqüentemente. pode ser definida como a intensidade da rotação do fluido que atua sobre o corpo. enquanto que a função potencial é representada por uma linha ortogonal ao vetor de velocidade da partícula. Fox. Ela é definida como a integral de linha da velocidade tangencial em uma curva fechada fixa no escoamento: . movendo-se tangencialmente a superfície. A CIRCULAÇÃO (Pope. não importando a configuração do escoamento. Esta vazão permanecerá constante. 1951. A função de corrente está sujeita as condições de bidimensionalidade e incompressibilidade. A circulação. irá modificar o campo de velocidades e de pressões do escoamento ao redor do corpo.

3 e 3. E. e o ponto (a) para onde se quer move-lo. para deslocar o ponto de estagnação traseiro até o bordo de fuga. V é o vetor velocidade de uma partícula qualquer no escoamento e d s é um comprimento infinitesimal da linha de corrente onde a partícula se move. Figura 2. N. Normalmente são dois) traseiro fique localizado no bordo de fuga. A figura 2. Joukowski foi o primeiro a formular uma explicação para o mecanismo de formação da sustentação. Esta determinação será desenvolvida nos capítulos 3.2a mostra um aerofólio sem circulação com o ponto de estagnação traseiro em sua superfície superior. é necessário que o ponto de estagnação (pontos no contorno do aerofólio em que a velocidade do fluido é zero. Em 1906.4.2 – Translação do ponto de estagnação traseiro devido à aplicação de circulação. O CILINDRO: A transformação de Joukowski propõe um aproveitamento da conhecida solução analítica para um escoamento potencial ao redor de um círculo com circulação ao transformar uma circunferência no plano complexo z em um aerofólio no plano complexo ζ. A figura 2.1. Testes mostram que para um corpo com bordo de fuga afilado. que diz: “Um corpo com bordo de fuga afilado que se move em um fluido deverá criar sobre si mesmo circulação com força suficiente para manter o ponto de estagnação traseiro no bordo de fuga” (Kuethe e Schwtzer. 2. o ponto de estagnação traseiro se move para o bordo de fuga logo que o corpo tenha atingido uma velocidade estável e que estas condições se mantenham. a geometria e a configuração do aerofólio.2c mostra o aerofólio com circulação e o ponto de estagnação no local desejado.6 → → Γ = ∫V d s → (1) → onde Γ é a circulação. conhecida como Condição de Kutta. ao mostrar que a sustentação em um cilindro em um escoamento plano- . O valor da circulação é fixado por esta condição. torna-se necessário determinar uma relação entre o valor da circulação.1.2. Portanto. Num aerofólio. 1959). A figura 2.2b mostra apenas a circulação necessária para realizar a translação. o escoamento.

. cuja magnitude será diferente para cada geometria ou configuração do corpo.2. O ESCOAMENTO POTENCIAL SOBRE UM CILINDRO: A solução para o escoamento potencial sobre um cilindro deriva da sobreposição de um escoamento uniforme sobre um dipolo (uma fonte e um sumidouro de igual intensidade dispostos a uma distância infinitesimal).2. o que é feito a seguir. respectivamente. Aplicando a condição de irrotacionalidade. tem-se a relação entre a Função de Corrente e o Potencial de velocidade: ∂ψ ∂Φ = ∂y ∂x (5) ∂ψ ∂Φ =− ∂x ∂y (6) O uso destas relações permite descrever vários tipos de escoamentos e a sua combinação. As equações (3) a (6) expressam esta relação.7 paralelo era devida à circulação da velocidade em um contorno fechado contendo o cilindro. 1967): Y = ρVΓ (2) Onde Y é a reação no eixo y. 2. gerando maior ou menor sustentação. Esta formulação é conhecida como Teorema de Kutta-Joukowski (Belotserkovskii.V é a velocidade do fluido e Γ é a circulação. para que se chegue à configuração desejada. 1973): u=− v= ∂ψ ∂y ∂ψ ∂x (3) (4) onde u e v são as componentes da velocidade do escoamento nos eixos x e y.1. que é uma das simplificações desta análise. em coordenadas cartesianas (Shames.2. ρ é a densidade do fluido em escoamento. FUNÇÕES DE CORRENTE (ψ) E POTENCIAL DE VELOCIDADE (Φ): A Função de Corrente e o Potencial de Velocidade tem uma relação relativamente simples com o campo de velocidade do escoamento. 2.

θ é o ângulo do raio r.3 – As linhas de corrente sobre um cilindro.r.8 Figura 2. aproximando-as no lado superior e afastando-as no lado inferior do cilindro. Ψ = V . E para um escoamento uniforme. µ é a intensidade do dipolo. Φ=− µ cosθ . cosθ (9) (10) onde V é a velocidade do escoamento no infinito. r é distância da origem até o ponto e π é a razão entre o arco de uma circunferência e seu raio. Combinando as duas funções com as condições de contorno adequadas. 2π r (8) onde Φ é o valor da função potencial de velocidade. as funções para um cilindro de raio “a” em um escoamento uniforme ficam:  a2 Ψ = V  r − r    sinθ  (11)  a2 Φ = −V  r + r    cosθ  (12) onde “a” é o raio do cilindro. . Para o dipolo a funções linhas de corrente e potencial de velocidade ficam. Ψ=− µ sinθ . resultado da soma de um dipolo e um fluxo uniforme.r. Através da sobreposição do escoamento plano vórtice irrotacional chega-se aplicação de circulação (Γ) no cilindro levando a um deslocamento das linhas de corrente sobre o mesmo.sinθ Φ = −V . 2π r (7) onde ψ é o valor de uma linha de corrente.

θ 2π (14) Φ=− Finalmente.4 – Cilindro com circulação em um fluxo uniforme.3. e sabendo que em representação gráfica elas são ortogonais entre si. Esta nova variável complexa é chamada Função Potencial (Pope. Ela é dada por: ω = Φ − iΨ (17) onde ω é a variável complexa função potencial. 1951). ln 2π a (13) Γ . para um cilindro com circulação em um escoamento uniforme temos:  a2 Ψ = V  r − r   r Γ  sinθ + .θ 2π  (15) (16) 2. as funções de linhas de corrente e potencial de velocidade ficam: Ψ=− Γ r .. Para calcular as características aerodinâmicas do aerofólio. Para o cilindro de raio “a” com circulação.2. ln z  2π a  (18) . pode-se unir as duas em uma única variável complexa que também descreve o escoamento e tem as características matemáticas das variáveis complexas que em muitos casos simplificam a análise. FUNÇÃO POTENCIAL: Obtidas as funções de linhas de corrente e potencial de velocidade. ln 2π a   a2 Φ = −V  r + r   Γ  cosθ + . é usada a função potencial com circulação do escoamento sobre o cilindro.9 Figura 2. Esta função é conseguida substituindo as equações (15) e (16) na equação (17):  a 2  iΓ z ω = V  z +  + .

Figura 3. resultado da transformação do círculo z. 2. A TRANSFORMAÇÃO DE JOUKOWSKI: A seguir.4. do mapeamento do circulo no plano x. ln é o logaritmo natural e Γ é a circulação. os passos da transformação.2. 3. .10 onde ω é a função potencial do escoamento.1 – Aerofólio ζ. VELOCIDADES: Para o escoamento potencial ao redor de um cilindro com circulação as velocidades radial (qr) e tangencial (qθ) são expressas como:  a2 1 δΨ qr = − . V é a velocidade do escoamento livre.y em aerofólio no plano η. z é a variável complexa do círculo. na superfície do cilindro (r = a) temos que: qr = 0 qθ = 2Vsinθ − (21) Γ 2πa (22) onde qr e qθ são as velocidade radial e tangencial de um ponto no escoamento.ξ. a é o raio do círculo.. π é a razão entre o arco do círculo e seu raio. i é o número imaginário √-1. = −V 1 − 2 r δθ  r qθ =   cosθ   a2  δΨ Γ = V 1 + 2  sinθ − δr 2πr r   (19) (29) Então.

uma certa quantidade de fluido passa entre os pontos arbitrários A e B.1. 3. Resolvendo as equações e separando Reais e Imaginários chega-se as equações:  c2  ξ =  r + 1  cosθ r   (27)  c2  η = 1 − 1  sinθ r   (28) 3. e também um ajuste no posicionamento do círculo para que seja considerada a configuração do escoamento.1. a mesma quantidade passará entre os pontos transformados A’ e B’ no plano ζ. ou seja: qζ = qz A' B ' AB = qz dζ dz (29) . Então as velocidades são inversamente proporcionais à distância entre os dois pontos.11 3.1. EQUAÇÕES DA TRANSFORMAÇÃO: O princípio da transformação é dado pelas equações: c12 z (23) c2 dζ = 1 − 12 dz z (24) z = x + iy (25) ζ = ξ + iη (26) ζ = z+ e onde z e ζ são as variáveis complexas: e c1 é uma constante geométrica proveniente da circunferência no plano z e η e ξ corresponde a x e y no plano ζ. no plano z. é necessário expandir a equação complexa da transformação para a obtenção dos pares coordenados para sua representação gráfica. PREPARAÇÃO: Para que se possa obter as equações de desempenho do aerofólio.1. TRANSFORMAÇÃO DA VELOCIDADE: Se.2.

torna-se claro que para fazer com que o bordo de fuga corresponda a um ponto de estagnação no cilindro. este deverá ser movido para cima antes da transformação para que os pontos de estagnação. é preciso introduzir no processo de obtenção das equações do aerofólio o ângulo de ataque e a curvatura do aerofólio.12 onde qz é a velocidade num dado ponto do plano z e qζ é a velocidade qz transformada no plano ζ. efetua-se a raiz quadrada da soma de seus quadrados (anexo 1). resultando: dζ = dz 2  c12   c2  1 − 2 cos 2θ  +  12 sin 2θ   r  r  2 (30) 3. o ponto de estagnação traseiro não se transformará no bordo de fuga do aerofólio. deslocados para baixo pela circulação. 1951). estejam sobre o eixo x.3. Figura 3. Para a encontrar o valor de |dζ/dz|. que.1. Torna-se então necessário fazer com que o ponto que será transformado no bordo de fuga seja um ponto de estagnação(q = 0). para uso neste trabalho pode ser “traduzida” como: “Circulação suficiente deverá ser desenvolvida para que o escoamento deixe o bordo de fuga suavemente” (Pope. O caminho é indicado pela Condição de Kutta. .Translação do círculo para coincidência dos pontos de estagnação sobre o eixo x’. a velocidade no plano transformado será infinita a não ser que a velocidade original seja zero. separa-se a equação (29) nas suas partes real e imaginária.2 . Sabendo que se dζ/dz (taxa de variação da variável complexa do aerofólio no plano ζ em relação à variável complexa do círculo no plano z) for igual a zero para um ponto do cilindro que será transformado em um ponto do aerofólio. Da equação (29) tem-se que pontos no plano z situados no eixo x estarão no eixo ξ no plano ζ. ÂNGULO DE ATAQUE E CURVATURA: Para de determinar a circulação. Sem este procedimento. Como o bordo de fuga do aerofólio estará situado no eixo ξ.

3 o escoamento se move ao longo do eixo x’. mas em relação aos eixos x e y. induzindo o ângulo de ataque no cilindro antes da transformação.4. 3.1. quando o escoamento era ao longo do eixo x.Circulo z transladado e inclinado. com os pontos de estagnação B e B’ sobre o eixo x’. . Para introduzir o conceito de ângulo de ataque. O circulo z da figura 3. o que resulta no círculo z com raio a nos eixos x’y’. Esta ação faz com que o vetor V do escoamento gire. DETERMINAÇÃO DA CIRCULAÇÃO: A equação potencial do escoamento sobre um cilindro com circulação (equação 18) já é conhecida. Na figura 3.2b.3 . no sentido horário. Nesta nova configuração o escoamento é paralelo ao eixo x’ e a equação (18) está agora no plano z ' = x'+iy ' . deste valor α. é necessário aplicar uma inclinação dos eixos. Figura 3. será transformado em um aerofólio com ângulo de ataque zero. de um ângulo α. Daí.13 Outra condição para o círculo que será transformado é de que seu centro esteja à esquerda da origem (esta condição controla a espessura) para que se obtenha um aerofólio razoável.

Para isso.de modo que. ln z '  2π a  (31)  dω a 2  iΓ = −V 1 − 2  − dz '  z '  2πz ' (32) e: Como mencionado anteriormente. omitindo o subscrito. α é o ângulo de ataque e β é o ângulo de curvatura. onde: onde “e” é o número de Euler. o valor de Γ (que é o mesmo para o cilindro e para o aerofólio) deve ser tal que a velocidade seja: dω =0 dz ' (33) z' B = − ae i (α + β ) (34) q = no ponto de estagnação B. simplificando: Esta relação expressa a relação entre a circulação. Então:   dω a2 iΓ = −V 1 − 2 2i (α + β )  − =0 i (α + β ) dz '  a e  2π − ae (35) Γ = 4πaVsin(α + β ) (36) ( ) E. Para um ponto qualquer P localizado no plano x’y’. o ponto no cilindro que virá a ser o bordo de fuga deve ser um ponto de estagnação.14  a 2  iΓ z' ω = −V  z '+  − .do aerofólio para que a Condição de Kutta seja satisfeita. A TRANSFORMAÇÃO: Para transpor as forças e momentos do plano z para o plano ζ. 3.2. . é preciso encontrar dω/dζ ao invés de dω/dz. o ângulo de ataque e a curvatura controlado por β . z P '= r ' e iθ (37) z P ' ' = z p ' e iα (38) z p = z p ' '+ me iδ = z p ' e − iα + me iδ (39) ou mas onde “m” é a distancia entre o centro do círculo e a origem do sistema coordenado e δ é o ângulo entre “m” e o eixo x.

e chamando Y de L (lift). pois escoamento e o eixo x são paralelos.e iα (40) dz ' = e iα dz (41) e agora podemos avaliar dω/dζ através da relação dω dω dz ' dz = . não representam arrasto e sustentação.sin(α + β ) 2 (48) que dá a força de sustentação em N/m de envergadura. Da equação geral da força de sustentação: . temos: Va 2 e − iα iΓ iΓme iδ Ve iα c12 dω = −Ve iα + − − − 2πz dζ πz 2 z2 z2 (43) 2  dω   então. dζ dz ' dz dζ (42) Substituindo z’ da equação (40).15 ( ) z ' = z − me iδ . a força ρVΓ perpendicular ao escoamento e força zero paralelo a ele. em escoamento potencial bidimensional não há força de arrasto. ρ é a massa específica e α é o ângulo entre o escoamento e o eixo x.2π . . Elas representam. quando somadas perpendicular e paralelamente à direção do escoamento. igual a zero. temos: L= 1 ρV 2 4a. O ângulo de ataque influenciará a sustentação através da circulação. multiplicando por eiα e expandindo os termos no denominador pelo teorema binomial. é usado   dζ  2  dω  Γ2 iVΓe iα 2a 2V 2 iVΓe iα me iδ 2V 2 c12 e 2iα   = V 2 e 2iα + − + + − πz z2 πz 2 z2 4π 2 z 2  dζ  (44) A equação geral da força é: 2 X − iY =  dω  dζ 1  dz ρi ∫  2  dζ  dz (45) Substituindo-se as equações (29) e (44). Para o cálculo da forças. Portanto. e separando Reais e Imaginários resultam: X = ρVΓsinα (46) Y = ρVΓ cos α (47) X e Y são forças que estão ao longo dos eixos x e y e portanto. Substituindo a equação (36) na equação (47).

16 L= 1 ρV 2 S . que. que representa graficamente a distribuição da pressão sobre o aerofólio. para os aerofólios gerados pela transformação de Joukowski. se encontra nas proximidades de ¼ da corda.π .a.obtêm-se o coeficiente de sustentação: Cl ≅ 2π .β 2 (54) onde β deve ser dado em radianos.sin 2α 2 (52) Da relação geral do momento.V .4. 2  dω  1  ζ dζ M 0 = − . Re . qζ é a velocidade do escoamento em um ponto qualquer e V é a velocidade do escoamento no infinito.c12 .C m 2 M = (53) e do fato de o interesse está no momento em relação ao Centro de Pressão (ponto em que o vetor resultante das forças sobre o aerofólio intercepta a linha da corda). escrevendo dζ = (dζ/dz)dz e deslocando o momento da origem para o centro do círculo. O coeficiente de pressão. é calculado usando a seguinte expressão:  qζ C p = 1 −  V    2 (55) onde Cp é o coeficiente de pressão.c.∫  2 dζ  c (51) substituindo a equação (44).Cl 2 (49) onde S é a área da asa.sin(α + β ) (50) A partir da equação do Momento em relação a origem. a partir do bordo de ataque.ρ .3. chega-se a seguinte relação: π C m1 / 4 = − . 1 ρV 2 S . obtêm-se o momento em relação ao centro do aerofólio: Mµ = ρ 2 . e Cl é o coeficiente de sustentação. EQUACIONAMENTO DO PROGRAMA JOUKOWSKI DCS: No programa computacional são empregadas as seguintes equações: . 3.

sin(α + β ) . cosθ + p (57) y = a.Raio do círculo (a): a = q 2 + (c1 − p) 2 (56) onde p e q são as coordenadas do centro do círculo.Pontos do aerofólio: - XJ = x+ x.(1 + ε ) . dado por ε= m c1 (63) onde m é a distância entre a origem do plano z até o centro do círculo original. Para fins de simplificação dos cálculos.17 - Representação gráfica do aerofólio: .c12 x2 + y2 (60) Coeficiente de sustentação (Cl): Cl = 2. 1+ ε .Ângulo de sustentação zero (αzl): α zl = − β - Curvatura (% c): (65) . 2 (1 + ε 2 ) (64) .c1 .Pontos do círculo: x = a. m é considerado igual à coordenada x do centro do círculo.sin(α + β ) 1+ ε 2 (61) O fator (1+ε)/(1+ε2 ) é introduzido na equação (50) para que a influência que a espessura tem sobre o Cl passe a ser detectada.V . .π . β é dado por: β = tan −1 q c1 − p (62) e ε é o coeficiente de excentricidade do aerofólio.sinθ + q (58) onde θ varia de 0 a 360°. - Força de sustentação (L): L= ρ 2 4.c12 x2 + y2 (59) YJ = y − y. .

Os problemas do XFOIL 1.3.ε . A seguir os resultados de cada comparação. 4. (30).T. foi empregada uma função do software HPVee para reter os valores máximo e mínimo no eixo x e então efetuar a soma. 4.β 2 - (68) Coeficiente de pressão (Cp): Para a representação gráfica do Cp foram agrupadas as equações (22). como uma melhor interface gráfica.18 curvatura = - β π .1.94. o .sin 2θ   r  r  2 (69) RESULTADOS: Os resultados da metodologia computacional apresentada neste trabalho foram comparados com os resultados obtidos utilizando o software XFOIL (Drela. do M..100 2 180 (66) Espessura ( t ) (% c): t = 1. (36) e (53). Ao chegar na versão 6. Joukowski DCS versus XFOIL O software XFOIL foi escrito em 1986 por Mark Drela. ( sinθ '− sin(α + β )) 2 2 c   c  1 − 12 . Uma interface totalmente interativa foi empregada para tornar seu uso mais fácil do que os códigos tipo CFD usuais. .100 - (67) Corda do aerofólio: Apesar de poder ser calculada através dos dados de entrada. e ainda uma equação para o cálculo do ângulo entre a direção do escoamento e o vetor posição dos pontos do círculo (θ’). (29).0 foram sendo resolvidos à medida que apareciam e vários aprimoramentos incluídos.I. 2000) (por ter ampla aceitação entre aeromodelistas). Cp = 1 − 4. -Coeficiente de Momento (Cm1/4): π C m1 / 4 = − . resultados obtidos por Pope (1951) e resultados obtidos por Manzanares Filho )1994). cos 2θ  +  12 . com o objetivo de combinar a velocidade e precisão dos métodos de painéis de alta ordem com o novo método de interação viscoso/invíscido usado no código desenvolvido por Drela e Giles.

a Jouk XFOIL a Jouk XFOIL 0 0.9930 1. q=0. A nomenclatura utilizada para os aerofólios vem dos valores das coordenadas do centro (p.5941 0.0000 0.1 a 4. ser de fácil utilização e por utilizar um método de análise diferente do empregado neste trabalho. Figura 4.7125 0.7132 15 1.8808 8 0.4755 0. curvatura = 0). Tabela 1: Aerofólio Jouk 070074 (c = 0.8315 16 1.6491 1.1649 2 0. 12 e 15% de espessura). aplicou-se três espessuras (aproximadamente 9.0663 1.1190 0.0000 9 1. t = 12.3007 1. Ex. um levemente curvo e um fortemente curvo.2 – Gráfico de Cl x α gerado pelo Joukowski DCS para 3 aerofólios simétricos.007.4759 13 1.8307 0.1 – Gráfico de Cl x α para o aerofólio Jouk 070074.3%. com influência da espessura.7661 7 0.1190 10 1.9496 17 1.: Para p=0. totalizando 9 exemplos.5946 14 1.5350 5 0. Para esta comparação foram criados 3 aerofólios no Joukowski DCS: um simétrico.6 mostram os resultados da comparação do coeficiente de sustentação (Cl) para 3 destes exemplos.7643 1. As tabelas 1 a 3 e figuras 4.6508 6 0.2379 0.2381 11 1.3020 3 0.9950 Figura 4.000 e c1=0.1837 1.3568 0.8789 1.19 programa foi considerado completo.0674 1 0. Este programa foi escolhido como base de comparação por ser largamente difundido entre aeromodelistas. e para cada caso.q)do círculo e do c1.4187 4 0.3570 12 1.5334 1.9487 0.29823m .4172 1.074 chega-se à designação Jouk 070074. .

6983 1.6005 2.1415 1.2436 11 2. a Jouk XFOIL a Jouk XFOIL 0 0.7229 1.3 – Gráfico de Cl x α para o aerofólio Jouk 070074.6759 9 1.3791 2.29815m.6240 2.1933 5 1.3%.7349 1 0.6189 17 2.3%).5023 16 2.8303 16 2.9653 3 1.4902 2.8133 1.4029 2. Figura 4.29823m.0060 9 2.5970 14 2.7949 10 1.4797 13 2.1165 1.2912 2.7382 7 1.3%.2587 1.4 – Gráfico de Cl x α gerado pelo Joukowski DCS para 3 aerofólios curvos.2672 2.6700 0.1547 2.5138 2.4917 1.1502 13 2.9461 17 2. t = 12.7101 2. curvaruta = 7.9063 0.8189 2.8483 8 1.9575 .3854 15 2.0415 2.2680 14 2.9268 2.4187 7 1.0321 12 2.8504 2 0.3064 6 1. t = 12.6411 Figura 4.9990 1.5828 1. Tabela 3: Aerofólio Jouk 071274 (c = 0. a Jouk XFOIL a Jouk XFOIL 0 0.8377 1.6075 1.0241 1.3618 12 2.9136 11 1.4669 1.0613 1 1.3505 1.9%).9520 1.20 Tabela 2: Aerofólio Jouk 070874 (c = 0.6273 6 1.0657 2. curvatura = 4.2337 1.5156 5 1.9277 1.7883 0.3754 1.0796 4 1.1788 2.1759 2 1.1250 10 2.2898 3 1. com influência da espessura.5303 8 1.4031 4 1.7139 15 2.

1994). 4.6 – Gráfico de Cl x α gerado pelo Joukowski DCS para 3 aerofólios bem curvos. para analisar os componentes aerodinâmicos de máquinas de fluxo axial. Em sua tese de doutorado (Manzanares Filho.1. Joukowski DCS versus Manzanares Filho (1994).21 Figura 4. apesar da variação da espessura.3 e 4.2. Figura 4. o autor apresenta um método numérico (painéis). A comparação das figuras 4. Também foi comprovada a importância da incorporação do coeficiente de excentricidade (ε) na equação (50).5 – Gráfico de Cl x α para o aerofólio Jouk 071274. Os . pois sem ele as 3 curvas ficariam sobrepostas. 4. com influência da espessura.5 demonstra que o programa Joukowski DCS calcula valores de Cl com erro menor que 1% em relação programa comparado.. N.

5908 1.9206 - Jouk 1. Figura 4. visando conseguir resultados mais precisos.4447 1. beta=12° Cl Cl Cl a 0 1 4 5 10 MZNR 0.7 mostra as curvas do Cp para um aerofólio simétrico com corda igual a 3.2820 - MZNR 1. e as curvas para o mesmo aerofólio conseguidas pelo Joukowski DCS. foram refeitos no Joukowski DCS.1770 MZNR 0. a=0. . obtendo-se os seguintes resultados comparativos na tabela 4: Tabela 4 – Resultados da tese de Manzanares Filho e do Joukowski DCS.3.1759 Jouk 0.5902 1. m=0.9078 - Observa-se que na tabela 4 que a diferença entre os resultados fica em menos de 1%.048 metros e 11% de espessura.4561 1.7 – Curvas do Cp desenhadas por Pope (a) e com o Joukowski DCS (b).. A. m=0.2991 - Jouk 0. utilizando escoamento viscoso. Joukowski DCS X Pope.02. com ângulo de ataque de 4°. beta=6° a=0.25. beta=0 a=0.09.02.02. 4. resolvidos analiticamente.8156 1.8363 1.22 exemplos de perfis Joukowski apresentados na tese.155. apesar de a metodologia do Manzanares considerar o escoamento viscoso. Nesta comparação verificou-se a semelhança entre as curvas do coeficiente de pressão apresentadas em exemplos do livro Basic Wing and Airfoil Theory (Pope. 1951). m=0. A figura 4.

Simétrico Curvo Bem curvo 070074 070874 071274 0 -0. Isto se deve ao fato de o Cl não ser calculado através do Cp.472 para a curva (b).170 -0. CONCLUSÕES: O programa computacional desenvolvido. um curvo e um bem curvo.231 -0.158 a –0. cuja proposta é uma ferramenta confiável (se comparado com outras ferramentas computacionais de aplicação similar). Por isso o Cm1/4 só coincide quando o ângulo de ataque é zero. 4.a. 5. Esta formulação foi utilizada pois em (Pope.3% de espessura com o ângulo de ataque variando de 0 a 17°.4.007 Observa-se que para o programa Joukowski DCS o Cm1/4 independe do ângulo de ataque. quando na verdade o c. Tabela 5 – Resultados do Cm1/4 pelo Joukowski DSC e pelo XFOIL. .23 No gráfico gerado pelo Joukowski DCS destaca-se o fato de que o Cp se reduz a zero no bordo de fuga do aerofólio (100% c).ponto em que o vetor resultante das forças sobre o aerofólio intercepta a corda) dos aerofólios Joukowski se localiza à ¼ da corda. requerendo um mínimo de esforço para obter diferentes geometrias de aerofólios. atinge o objetivo do autor. a partir do bordo de ataque.155 -0.470 para a curva (a) e 0. Coeficiente de Momento à um quarto da corda (Cm1/4): A tabela 5 mostra os resultados do Cm1/4 para um aerofólio simétrico. fazendo com que equação (57) se iguale a zero neste ponto. de fácil utilização. Isto se deve ao fato de que de que no aerofólio gerado e plotado matematicamente. seus . o Cl. valendo 0.253 Jouk XFOIL 0 a –0. Apesar da diferença na forma das curvas. mas a partir da equação geral das forças (47) e da relação geral da forca de sustentação (51). cuja descrição de funcionamento é o corpo deste trabalho. as linhas superior e inferior do bordo de fuga são tangentes ao escoamento. o Cl é afetado.a.5% desta posição. que deriva diretamente da relação entre as áreas das superfícies superior e inferior. Isso vem de sua formulação – equação (68) – relacionando-o apenas com β. todos com 12. condição que é detectada pelo programa XFOIL. 1951) se considerou que o centro aerodinâmico (c.232 a –0. varia de ± 2.

É interessante notar que uma tentativa de simplificar as equações aplicadas no programa. e somente para aerofólios extremamente curvos. cujos resultados indicavam que a espessura tinha influência direta. e um arquivo com a lista dos pontos do perfil. 1951. Trabalhos futuros poderão aprimorar estes cálculos no programa.Cálculo do Cl: O objetivo de verificar se os resultados da presente metodologia se aproximavam dos resultados de outros autores (Pope. através da eliminação do coeficiente de excentricidade. Utilizando a equação (50). que pode ser usado para uma análise mais detalhada em outro programa de análise ou em um programa de desenho. como elementos finitos e volumes finitos. não existe esta preocupação. A marca de 1% só é alcançada pelos aerofólios fortemente curvos. antes com erro de cerca de 8%. variando o intervalo de varredura de θ nas equações (27) e (28). vindo a tender a +∞ e -∞ para o superfície superior e inferior respectivamente. como visto no item 4.24 coeficientes de desempenho. de pouca aplicação prática. Comparativamente com outros métodos utilizados para a análise de perfis aerodinâmicos. a aplicação à qual este programa está voltado (aeromodelismo). o que não era verificado no XFOIL. O arquivo de pontos do aerofólio pode ter a quantidade de pontos que o usuário achar necessária.3.Cálculo e representação gráfica do Cp: Este objetivo foi parcialmente alcançado. Drela.Representação gráfica do aerofólio: o programa possibilita a geração de uma grande variedade de geometrias espessuras e tamanhos. 1994. o fator tempo de computação torna-se . Embora a distribuição da pressão sobre a superfície do aerofólio seja de suma importância para a escolha da resistência e espessura do material que irá cobrir a asa e parte da estrutura interna da mesma. q e c1. . Manzanares. foi alcançado. que se julgou ser apenas um atalho para facilitar os cálculos em décadas passadas. Este objetivo foi plenamente alcançado. resultou numa divergência dos resultados à medida que aumentava o ângulo de ataque. A diferença entre os resultados do Joukowski DCS e do XFOIL chegou a no máximo 1%. observou-se que a espessura não influenciava no resultado do Cl. . apesar de que na prática é quase impossível construir uma asa que tenha suas superfícies superior e inferior paralelas no bordo de fuga. em termos de representação matemática. na equação (61) os resultados do presente programa passaram a detectar a influência da espessura. sua representação gráfica. quando aplicado aos aerofólios simétricos. além de aproximar seus resultados aos resultados do XFOIL. 2000). Após a re-incorporação do coeficiente de excentricidade. . Para aerofólios curvos o equacionamento utilizado apresenta divergência da curva no bordo de fuga. através da manipulação dos dados de entrada p. agora com menos de 1%.

C. “Aerodynamic Design Via Control Theory”.. São Paulo.. Shames. “Introdução à Mecânica dos Fluidos”. “Trapping of a free vortex by Joukowski Airfoils”. Inc. volume 20. Alan. “Aviation Modeller International”. M.. AIAA Journal. J. Mark.. Youngren. AIAA Journal.. Model Activity Press. Chow. http://raphael. 1982. Amsterdam. No 5. Pope. “A boundary node method for airfoils based on de Dirichlet condition”. et alli. 1994. Elsevier. Harold.94 User Guide”. Huang. Sergei M. New York. W.. “Mecânica dos Fluidos volume 2 – Análise de Escoamentos”. S.mit. “Foundations of Aerodynamics” John Wiley & Sons. permitindo sucessivas tentativas e erros até que se encontre a combinação geometria/desempenho. Jameson.edu/xfoil/. Fox. McGraw-Hill. “Basic Wing and Airfoil Theory”. Os resultados são visualizados quase que instantaneamente. 1951. 2001.. 1988. “The Theory of Thin Wings in Subsonic Flow” Plenum Press. MIT. Hwang. volume 23. 1998... Editora Edgard Blücher Ltda. Belotserkovskii. McDonald.. M. Livros Técnicos e Científicos Ltda. A.. “XFOIL 6. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. june 1998. Nelson. “Unsteady Flow About a Joukowski Airfoil in the Presence of Moving Vortices”. 2000. Drela. D. ITA. volume 190. 1985. 1959. Alan T. Robert T. New York. No 3. Irwing H. Schetzer. Chow.25 um dos grandes atrativos deste programa. NASA CR-181749. New York. São José dos Campos. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. A. . Kuethe.. Rio de Janeiro. C. 1973. “Análise do Escoamento em Máquinas de Fluxo Axiais – Tese de Doutorado”. Manzanares Filho. 1967.

26 ANEXO I: Interface visual do programa Joukowski DCS .