Transcript

Valera, R. (2012). Anualidades.

En Matemática financiera:conceptos, problemas
y aplicaciones (pp.71-158)(420p.)(5a ed). Piura : Universidad de Piura. (C37991)

Anualidad.es
3.1

Conceptos

3.1 .1

Concepto de Anualidad

Es una serie de pagos periódicos, que se hacen en cantidades iguales, y a
intervalos regulares de tiempo.
Final del periodo
de pago

Inicio del pertodo
de pago

o

R

R

R

R

1

1

1

1

1

2

3

4

S=?

A=?
Periodo o intervalo
de pago

~· . *"''m!!l!r..es}~

Plazo o término de la anualidad

El tiempo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el
último período de pago se llama "término o plazo de la anualidad".
El tiempo que hay entre cada pago sucesivo se llama período o intervalo de
pago, y este plazo, expresado en número de días, meses trimestres etc. ,
debe ser el mismo entre cada período de pago.

3.1.2

Elementos de una Anualidad

Los principales elementos que conforman una anualidad son los siguientes:
71

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

R : Pago Periódico es el importe cobrado o pagado, según sea el

caso, en cada período y que no cambia en el transcurso de la
anualidad.
S:

El Valor Futuro viene a ser la suma de todos los pagos
periódicos ( R ), capitalizados al final del enésimo período.

A:

El Valor Actual viene a ser la suma de todos los pagos
periódicos ( R ), descontados a una tasa de interés o de
actualización.

i : Es la tasa de interés efectiva por período.

n : El número de períodos se obtiene al multiplicar el tiempo en

años por la frecuencia de capitalización de los intereses
(n =N*m ).

3.2

Clasificación de las Anualidades

En términos generales, las anualidades se clasifican en anualidades
eventuales y anualidades ciertas.

e
3.2.1

VITALICIAS

)

e

)

TEMPORALES

)

e
r

e: TEMPORALES

~

e

1
PERPETUAS

)

Anualidades Eventuales o Contingentes

Pertenecen a este grupo aquellas anualidades en las que el comienzo o el
final de la serie de pagos son imprecisos y dependen de algún
acontecimiento previsible pero sin exactitud.

72

Anualidades

Ejemplo: Un contrato hecho por una compañía de seguros de vida, en la
que se obliga a pagar, a partir de una determinada fecha, una cierta cantidad
de dinero a una ersona mientras ésta viva.
Estas anualidades a su vez pueden ser:

•

Vitalicias: Son las anualidades que tienen vigencia mientras dure
la vida del rentista. Podría ser el caso de una pensión por
jubilación.

•

Temporales: Son, en esencia, anualidades vitalicias que terminan
después de un determinado número de pagos, aún cuando el
rentista continúe con vida. Un ejemplo podría ser el seguro que
cubra los estudios universitarios de una persona.

3.2.2

Anualidades Ciertas

Reciben este nombre aquellas anualidades en las que la duración de la serie
de pagos, no depende de alguna eventualidad externa, sino que se estipula
en términos concretos por adelantado. Las anualidades ciertas, de acuerdo a
su duración, se clasifican en perpetuas y temporales.

•

Temporales: Son aquellas que tienen un plazo de duración
determinado. Por ejemplo, un crédito hipotecario a pagar
mensualmente durante veinte años.

•

Perpetuas: Son las que tienen duración ilimitada, quiere decir que
el fm del horizonte temporal no está determinado. Por ejemplo, la
emisión de un tipo de bonos que pagan una renta a perpetuidad.

Las anualidades ciertas y eventuales pueden ser a su vez:

•

Vencidas u Ordinarias: Cuando las rentas se efectúan al final del
período.

•

Anticipadas o Adelantadas: Cuando las rentas se efectúan al
comienzo del período.

7?.

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

3.3

Cálculo del Valor de una Anualidad

Podemos calcular el valor de una anualidad, en cualquiera de los tres casos
siguientes:
•

Al fmal del plazo de la anualidad, entonces el valor hallado es el
monto o valor futuro (S).

·•

Al comienzo del plazo de la anualidad, entonces el valor hallado es
al valor actual (A).

•

En un punto intermedio del plazo de la anualidad.

3.4

Anualidad Vencida u Ordinaria

Se caracteriza porque sus pagos periódicos iguales, se hacen al final de
cada intervalo de pago.

3.4.1

Cálculo del Monto o Valor Futuro (S)

Consiste en hallar la suma de todos los pagos periódicos a una misma tasa
de interés por periodo, y al fmal del plazo de la anualidad. Con un ejemplo
se detallará la forma com.o se obtiene este monto.
Ejemplo: Hallar el monto de una anualidad con pagos periódicos de S/. 100
1~ fmal de cada trimestre, durante un año, al 9% efectivo trimestral.

1

Datos:
R =lOO
i = O. 09 trime¡stral
n=4
S=?

o

74

1

2

3

4

100

100

lOO

lOO

a la que le hallamos su razón geométrica ( r ).a .-'----'--( 1+ i) -1 4 (u * r ). para luego hallar la suma de sus términos. reemplazando en la fórmula general se tiene que: S=R [ (l+ir-11 .(1+ i S- . 75 .o9Y +100(1+0. dentro del corchete.09Y +100(1+0.(r-1) - (l+i)-1 - i Por lo tanto.o9Y +100 S= 457.Anualidades Solución: S=100(1+0. Primer término: a = 1 Últin1o término: u (1 + iY La fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica finita es: f * (1+ i) -1 .31 Deducción de la fórmula: Simbólicamente tenemos: S= R(l +if +R(l +if +R (1 +iY +R Sacando factor común R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que: Y obtenemos una progresión geométrica. l cuando cuatro (4) es el número de períodos y de pagos.

hallar el valor actual o presente de dichos pagos.31 3.09r + 100(1 + 0. la fórmula del monto de una anualidad ordinaria cuyos pagos (R) son pagaderos al final de cada período.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. problemas yaplicaciones Por lo tanto.. sería: En el ejemplo visto tenemos que: s = 1oo[.. A=? o 1 1 1 2 3 4 100 100 100 100 1 2 3 A= 100(1 + O.09r A =323. durante n períodos y a una tasa de interés i . Con los datos del ejemplo anterior.o---'9)_4-_1 J 0.09r + 100(1 + 0.4.o9r + 100(1 + 0..09 S =457.._(1_+o_.97 Deducción de la fórmula: Simbólicamente tenemos: 76 4 .2 Cálculo del Valor Actual (A) Consiste en hallar la suma de los valores actuales de todos los pagos periódicos al comienzo del plazo de la anualidad..

reemplazando en la fórmula general se tiene que: l rJ 4 A=R l. sería: 77 . a la que le hallamos su razón geométrica ( r ).rner término: a= (1 + i)-4 Último término: u= (1 +i)- 1 La fórmula de la suma de los términos de lma progresión geométrica finita (u*r)-a (1+ir1 *(l+iY -(l+i)-4 1-(l+i)-4 S = (r -1) = (1 + -1 l ii Por lo tanto. términos. durante n períodos y a una tasa de interés i. r= para luego hallar la suma de sus ' )1 1+ i 1 Q =(l+i) 2 (1 + i) Pri. La fórmula para calcular el valor actual de una anualidad ordinaria cuyos pagos ( R ) son pagaderos al final de cada período.(1+ i l cuando cuatro (4) es el número de períodos y de pagos. dentro del corchete.Anualidades Sacando factor común R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que: A =R[ (1 +ir 1 +(1 +i)-2 +(1 +ir3 +(1 +i)-4 J y obtenemos una progresión geométrica.

09 S 1 S =323. inclusive el pago en esa fecha: .4.:i Cálculo de una Anualidad en un Punto Intermedio Para una mejor ilustración del cálculo de una anualidad en un punto intermedio usaremos un ejemplo 1 Ejemplo: Se tiene una anualidad ordinaria con pagos trimestrales de S/. pactados a una tasa efectiva trimestral del 7 . Datos: R = 5 000 i =O.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. 5 000 durante dos años. Hallar el valor de la anualidad al final del primer año.5%. problemas y aplicaciones En el ejemplo visto tenemos que: S=lOOrl-(1+0.97 3.09)-4 l 0. 07 5 trimestral n=4*2=8 X =valor buscado al fmal del primer año o 1 5 000 2 5 000 3 5 000 ' 4 5 000 5 6 7 5 000 5 000 5 000 8 5 000 S=? 1 A=? 1 Solución: • 78 Hallar el monto S al final del primer año de los pagos anteriores a la fecha.

(1 +o. ¿Qué monto obtendré si deposito S/.005 A =16 435.Anualidades 5 S= • ooo[ (1+0.075 Hallar el valor actual A al fmal del primer año de los pagos posteriores a la fecha.4.? Datos: Solución: R=500 i=0. si la tasa efectiva mensual es del 0.5 79 . 5 ooo[l-(1+0.91 S=? 2.W es: S + A = 22 3 64 . ¿Qué cantidad de dinero tendré que depositar hoy día en un banco para poder disponer de S/.6 O+ 16 7 46 .075r -1] = 22 364.005 Plazo =3 años n · 3*12=36 A=? A= soo[1. 500 al fmal de cada mes durante cuatro años. si el banco paga una tasa efectiva mensual del 0.63 El valor de la anualidad al fmal del primer año (.oosr"] 0.60 0.oos)" -1J 0.005 mensual Plazo =4 años n=4*12= 48 Solución: s = soo[ (1 +O.5~1.075 4 ] = 16 746. 500 al fmal de cada m_es durante tres años.075r A= • 0.6 3 = 3 9 111.4 Problemas Resueltos de Anualidades Vencidas l..005 S= 27 048.2 3 3.5%? Datos: R=500 i =0.

15 000 al fmal de cada mes durante tres años en un fondo que gana 12% de interés compuesto mensualmente.18r 2 ] A=-------0. La empresa ABC hace un préstamo al banco.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. Una empresa azucarera reserva S/.85 5. 20 000 durante dos años a una tasa efectiva semestral del 18%. y cuánto será el monto 2. O1 6 S=----=-----0. ¿Cuánto deberá ABC al cabo de un año después de haber cancelado los dos primeros pagos? o 3 2 20000 Datos: R=20 000 i =18% semestrnl n=2*2=4 A=? 20000 4 20 000 20 000 Solución: 20 ooo[l-(1+0. 5 =30 8=64{) 153.17 S=C(1+iY n =12 * 2.84 4. problemas y aplicaciones 3. Se cancelará con pagos mensuales vencidos durante dieciocho meses.0lj 0 S= 870 916.17(1+0.01 8=646153. Se solicita un crédito por $ 100 000 al Banco Regional.5 años después de hacer el último depósito? Datos: R=15 000 i =12%/ 12=1 %~nsual n=3*12=36 S=? Solución: Y-1] 15 000 [ (1 +O. ¿Cuál será el valor del fondo al fmal del tercer año. que se cancela mediante pagos semestrales vencidos de S/. 80 .18 A =31 312.

..Anualidades La tasa de interés del mercado es 2.03 n=2x 12=24 12 (1+0. ¿De cuánto será cada pago? Solución: Datos: A= lOO 000 n =18 meses i =2..093443 rJ 24 0.015 rrensual n= 2 x 12 = 24 7 000= R [1-(1 + o.8436% trensual R=? R[1.093443 R =2 177.093443)-4] 7 000 = ..5% efectivo mensual: a) ¿Cuánto pagará semestralmente? b) ¿A cuánto ascenderían estos pagos si es que se acordase pagar mensualmente? Solución: a) Datos: Solución.8436% efectivo mensual..015) =(1+i) 2 i =9... i =0. Terry recibe un crédito de$ 7 000 pagaderos por medio de cuatro pagos semestrales vencidos.o28436r 18 J 1()() 000 = ---=---------=0.= ' .3443% sem. a una tasa del1. para obtener un pago de $ 3 500 al final de cada año durante cuatro años. ¿Qué cantidad de dinero tendré que invertir en una financiera. b) Datos: Solución: i =0.028436 R=7175. si la financiera paga el 9% anual capitalizable mensualmente? 81 .015 rrensual R [t-(1 + 0.= 0..46 7.08 6.093443 R= 349.c1 + o.

0. Valeria desea comprar un equipo de sonido que al contado cuesta SI.871788% trimestral .7891% mensual Para hallar el pago periódico. fecha en que la tasa efectiva trimestral subió al 16%.5% 82 (1 + o.037891 R=530. 3 500 al fmal de seis meses.(1 + 0. Datos: A=2 800 n=6 i =3.o35Y = (1 + iY i= 10....03 7891 )-6] 2 800 = . Cuando Pía cumplió catorce años.093807)-4] A= 0. si se sabe que la tasa de interés permaneció invariable hasta que cumplió veinte años.91 TEA=9.093807 A= 11 244. El vendedor le ofrece que no pague nada de cuota inicial. Si tiene pensado hacer estos depósitos durante ocho años consecutivos.7891% R=? Solución: R[ 1. problemas y aplicaciones Datos: Solución: R=3 500 i =O. su abuela decide depositarle al fmal de cada trimestre la cantidad de S/.5~ó efectivo mensual. 2 800. 550 en una cuenta de ahorros en el Banco América que paga el 3. ¿De cuánto debería ser cada pago periódico? Datos: Solución: C=2 800 S=3 500 n=6 i=? S=C(l+ir 6 3 500 =2 800(1 + i) i =3.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. acordando con el vendedor efectuarlos al fmal de cada período..0075 mensual 2 (1 + 0.47 9. usamos la fórmula del Valor Futuro o la fórmula del Valor Actual. sin embargo ella prefiere hacer pagos mensuales iguales..3807% 8. 09112 = 0. calcular la cantidad que tendrá Pía en su cuenta al cumplir veintitres años.0075Y = (1 +TEA y 3 5oo[1-(1+0. Datos: R=550 n=24 i=3. sino que haga un solo pago de S/.

. +S2 ST = 327 458.95 R=550· n=8· i=l6% ' ' 8 S2 - 5 50 [ ( 1+ o.16) -1 J --=-----· - 0.02 Entonces.05 Por lo tanto: 4 S2 = 1 832.10871788 S1 =55 164.Anualidades Solución: 14 años o 2 1 3 4 5 6 7 i = 10.16 i 2 SI = 327 458.66 7 (1 + O.10871788) S.05 (1 + o.. Pía al cumplir veintitrés años tendrá en su cuenta: ST = s." · · j = 16% n=8 =24 8 9 i = 16% n =4 ~~ R=550 ~ ~s. s.667 Por lo tanto: S.= -1] 0.97 83 .16 S2 =7 832.8718% n . 24 sso[ (1+0.95 + 14 181.02 ST =341 639. =55 164.16) s2 = 14 181.

problemas y aplicaciones 10. tenemos que calcular el monto acumulado hasta el año trece.92. en que Jorge dejó de trabajar: * R=100 i = 0. y si se estima que Jorge vivirá quince años más después de su jubilación.5o/ó mensual.oosY = 24 996. 84 n = 6 * 12 = 72 meses .92 Lo que se acumuló hasta el año veinte será: e= 24 996.FP $ 100 mensuales.73(l+O. durante toda su vida laboral que duró treinta años. Pero durante los años catorce y veintiun no pudo ahorrar los $ 100 al mes ya que no tuvo trabajo.oo5Y -1] = 23 544. Si la tasa es del 0. ¿cuánto deberá recibir mensualmente en su ancianidad durante esos quince años? Solución: Primero.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. los cuales incluyen dos años de inactividad por falta de trabajo. aunque no aportó los $ 100 mensuales durante ese año. el monto acumulado hasta ese año siguió ganando intereses de la siguiente manera: R[(l+i) -1] s13 = i 56 = Ioo[(l+o. 2 s14 =23 544. 73.73 0. Al final de estos treinta años se jubila.005 mensual n = 13 12 =156 meses· ' años o 1 13 3 2 Ahora debemos calcular el monto que se acumuló el año que dejó de trabajar. Jorge ahorró en una A.005 Acumulado hasta el año 14: e= 23 n = 1 *12 = 12 meses 544.

09 Finalmente hallaremos el monto total acumulado hasta el año treinta: * e= 47 178. El tnonto hasta ese momento es el siguiente: n = 1*12 =12 meses C= 44 437.oo5) -1 J=8 640. que es el año veintiuno.92(1 + 0.3 Ahora.oo5i = 80 849. 12 S= 44 437.005 = 14 273.3.oo5yos -1 J S= 0.005) = 35 796.005 s2o =35 796.89 72 1 S= 0.3(1 +0. calcularemos el monto que se acumuló en el segundo año que no trabajó.07 too[ (1 + o. n = 9 12 = 108 meses años 21 22 23 30 24 08 s = 47 178.41+8 640.09.41 oo[(1 + o.89 S20 = 44 437.005) = 47 178.09 (1 + o.98 85 .Anualidades años 15 14 20 16 72 S= 24 996.

(1 + o.06.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.98 El monto que va a percibir mensualmente. Sí las cuotas pendientes de pago son fijas y cada una de ellas asciende a S/. n=15*12=180 meses J R[1-(1+irn A = --=------=l R[ 1. problemas y aplicaciones El monto total acumulado durante los treinta años de su vida laboral es: =80 849. La compañía "ERLI S.06 = --=------=0.A." ha decidido cancelar las doce últimas cuotas mensuales de un préstamo contraído con la Caja Municipal.07 + 14 S30 =95 123. si la TEA con la que fueron calculadas las cuotas es del 18%.005 R=802. pero se sabe que para recalcular la deuda se toma la TEA vigente que es del 15%? b) ¿Le favorece o le perjudica que para recalcular su deuda tomen una TEA menor? a) o A=? 86 1 15 000 2 12 15 000 15 000 . durante los próximos quince años: A= 95 123.70 11. a) ¿Cuánto tendría que cancelar hoy. 15 000.oo5r J 180 95123.06 S30 273.

(1 + o.94. tendría que pagar lo siguiente: ( 1+ o. si para recalcular la deuda se hubiese tomado la TEA del 18% y no la TEA del 15%.5%.(1+ o.Anualidades (1+0.ento? Datos: R=550 n=~ (1 +ir = (1 +TEA j (1+iY 2 =(l+o.usy i = 0.0138888 A= 164 751.0138888 mensual A =15 ooo[ 1.14 b) Si no hubiese variado la TEA. María Lucía compró un departamento por el cual debe hacer un pago periódico n:tensual de $ 550 durante diez años. pactándose una tasa efectiva anual del 11.20 Con lo cual vemos que.18 i =(1 + i i 2 i =0.9112% mensual 87 .Ol1714917r' 2 J 0. 2 259.011714917 mensual A= 15 ooo[1. a) Si al efectuar el trigésimo pago desea liquidar el saldo de su deuda con un pago único ¿Cuánto deberá pagar adicionalmente en esa fecha para liquidar su deuda? b) ¿Cuál será el valor al contado del departam.o 1388 88 r' J 2 0.011714917 A = 167 011. se hubiera ahorrado S/. 12.15j =(l+ij 2 i =0.

Determinar el número de meses que le restan para cancelar su deuda. Luis Perales desea comprar dos camionetas para distribuir gaseosas. Calcular en cuántos meses se pagarán las camionetas. 03 trensual n=? Solución: 6 712.o3rn J 120 000 = -----=------= 0. Sergio García decide comprar una máquina ABSX 30 para complementar su gimnasio.59[1. Datos: A=120 000 R=6 712. En DAEWOO.463694 = (t.009112 A =33 678. el vendedor le ofrece un plan de cuotas. log (0.(Lo3rn 0.32 13.o3r.59 a una tasa efectiva del 3% mensual. acordándose una tasa efectiva anual del 18%.463694)=-n * log (1.13 b) 120 55o[1-c1 + o.18.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. el precio al contado de ambas camionetas es de S/.o09u2r J A=--=---------= 0. Si su deuda está actualmente valorizada en $ 7 817. en la que mensualmente tendría que desembolsar $ 930. problemas y aplicaciones Solución: a) A= 550[1.009112 A=40034.c1 +O.(1 +O. 120 000. 88 .o09mr"' J 0. pero le proponen un crédito con las siguientes condiciones: Sin cuota inicial y cuotas mensuales iguales para pagar al fmal de cada mes por S/.03 3 60016 712.03) n=26meses 14. El Sr.59 = 1.59 i =O. 6 712.

e) Si la TEA al comenzar el segundo año aumt~ntó en 2% ¿A cuánto ascenderán las cuotas restantes? Solución: a) (1 +TEA} = (1 + i } (1+0.01388843rn J 7 817. Juan Ruiz desea saber cuál es el saldo de su deuda luego de amortizar $ 2 000 de ésta.18) =(l+i) 2 2 i =1.18 TFA=18% (l+TEAi =(1+ii 2 (1 + o.(1 +0.01388843) n =9 meses 15.883295) = -n * log (1. Después de averiguar el costo de estos estudios. Juan solamente contaba con $ 6 000 ahorrados.t8Y = (1 + iY 2 i =0.01388843 mensual Solución: 930[1.01388843 0. Juan Ruiz desea realizar sus estudios de Master en Dirección de Empresas.01388843 rn log (0.18 = --=----------=0. luego de efectuar el pago correspondiente a ese período.883295 = (1.3 88843~/o mensual 89 .Anualidades Datos: R=930 A=7 817. se dio con la sorpresa que serían de$ 16 000. por lo que se vio en la necesidad de prestar $ 1O 000 al banco con las siguientes condiciones: Préstamo TEA Plazo Forma de pago $ 10 000 18% 4 años cuotas mensuales a) Hallar a cuánto asciende la cuota de cada pago mensuaL b) Al finalizar el primer año.

01388843 R= 286.(1 +0. su deuda será de: 8 082.01388843 )-4 8 ] 1o 000= --=---------=0.8259 b) 36 286. ¿Cuál es el costo del financiamiento anual? Datos: A =40 000 * 0.03 16.01388843 A=8 082.01388843r ] A=---=--------= 0.61-2 000 = 6 082.05 n = 15 * 12 = 180 i=? 90 .05 cada una durante 15 años.61 Como decide amortizar $ 2 000.0150947 R =221. Para ello.61 =~-------= 0. problemas y aplicaciones R [1-(1 + 0.530947% mensual R [1.8259[1. Un alumno que recién termina la Univ.20i =(1 + ii 2 i =1.ol50947r 36 ] 6 082.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. exigiéndole a cambio cuotas mensuales de $ 360. está planeando comprarse un departamento cuyo precio al contado es de$ 40 000.ersidad. se pone en contacto con el Banco América que le ofrece financiar el 75% del valor del departamento.75 = 30 000 R = 360.61 e) (1 + TEAY = (1 +ij 2 (1 + 0.(1 + o.

-22 800. Manualmente el cálculo hay que hacerlo por el método de prueba y error que consiste en probar aleatoriamente con distintas tasas de interés hasta que encontremos una tasa que satisfaga esta ecuación. resultado que al ser negativo quiere decir que la tasa que estamos buscando es menor al 5%.5% efectivo mensual (TEM).1.5%.6825% 17. resultado que al ser positivo quiere decir que la tasa que estamos buscando es mayor al 0. entonces ya sabemos que la tasa que estamos buscando se encuentra dentro de este rango hasta que finalmente encontramos que una i igual al 1% ( i = 1% ) logra satisfacer esta ecuación. A continuación. hallamos el costo anual del financiamiento (TEA): (1+TEAY = (l+O. a una tasa del 1.Anualidades Solución: 360.otY 2 TEA= 12.05[1-(1 + i)-ISO] 30 000 = ---==----- i La i se puede hallar rápidamente con la ayuda de una calculadora financiera o con una hoja de cálculo. ir J --=-----=-. Al fmalizar el cuarto año luego de haber efectuado el pago correspondiente a dicho mes.19. El primer paso sería igualar la ecuación a cero. La Cía. Ahora probamos con i = 0. y esto es igual a: S/. 12 667.o5[1-(1 + 180 l Probamos con i =5% .30 000 =o 360. se plantea lo siguiente: a) ¿Cuánto tendría que pagar en ese momento para liquidar su deuda? 91 .5%. y esto es igual a S/. San Andrés contrae una deuda con el banco por $ 200 000 pagaderos en diez años mensualmente. haciendo que ésta sea igual a cero.

66 Pagaría: 158 003. ' A 48 i=1% = 3 603.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.o15r J 120 200 000 =~-------=0.704[ 1-(1 +0.704 2 = 3 603 .870 92 ] 120 .015 R =3 603.704. ot5r 72 ] A=----~--------~ 0.(1 +o.704[1-(1+0.015 A48 =158 003.01f'] 0. problemas y aplicaciones b) ¿Cuánto tendría que pagarle al banco en ese momento para que en el futuro sus cuotas de pago mensuales asciendan sólo a $2 500? e) ¿Afecta que al calcular el valor actual de mi deuda considere una tasa efectiva mensual menor.20-109 611.015 A =109 611.c1 + o.66 = 48 391.01 A48 = 184 3 30. por ejemplo del1 %? Solución: a) A=? meses o 2 3 48 R 49 118 50 119 [1.20 b) 2 soo[1.54 e) n=72· R = 3 603.015f' A 48 0.

un mayor valor actual. Solución: a) A=? o 6 23 24 93 . 18. como se ve al comparar los valores actuales calculados con las tasas mensual del 1.870 vs 158 003.5% y del 1%. en este caso del 1%. se plantea al acreedor: a) El deseo de seguir pagando siempre y cuando la deuda pendiente se la refmancien a 3 años. contados a partir de ese momento. podemos observar que se le estaría perjudicando.Anualidades 184 330. por lo tanto. sin embargo. al momento de recalcular las cuotas pendientes de pago. ¿Cuánto sería el pago mensual que tendría que asumir? b) Le afecta que le bajen la tasa de interés al 3%. con el acuerdo de pagarla en 24 meses con una TEM del4%. esta situación parecería favorable al cliente. Hoy día se contrae una deuda por $ 11 000. Luego de efectuado el sexto pago y ante la aparición de problemas financieros. al calcular a cuánto ascendería el valor actual de su deuda en el caso de que las cuotas se recalculen con una tasa menor.201 Aparentemente. Esto ocurre porque las cuotas pactadas fueron calculadas inicialmente con una tasa mayor y al calcularlas con una tasa menor estaríamos castigándolas menos y obteniendo.

32 Como se puede apreciar habría una reducción significativa en las cuotas.. Pelayo desea adquirir una máquina cuyo precio al cash es de $ 100 000.00 c/u. el Sr.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.o3r 36 J 9 133. 24 mensualidades de$ 4 494. problemas y aplicaciones R[ 1-(1 + o. Luego de escuchar al vendedor.. El Sr. Pelayo le plantea una alternativa de pago diferente que se resume en lo siguiente: 94 ..56 c/u.68 (483 ·.04 R=483 b) R [1.04r J 11 000 =.. 19.32).67 c/u. Al solicitar información sobre el fmanciamiento el vendedor le dice lo siguiente: ~ • • • Cuota inicial: $ 15 000 y 3 alternativas de pago: 12 mensualidades de$ 8 037.= 24 0.04 4.08 R R R R R R -+-·--+---1 o 1 3 2 34 35 36 R[lc1 + o..08 =---=------=0.04 R= 721. disminuyendo$ 64.(1 + o. 18 mensualidades de$ 5 669.(1 + o.o4 r J 9 133.08=-----36 0.44 721.418..= .03 R =418. = 9 133.04 4= rJ 18 0.44[ 1.

¿Cuánto pagaría mensualmente en total si el plazo para pagar fuese de 24 meses. 36 mensualidades de$ 766. 24 mensualidades de$ 941.25 c/u.87 c/u. 100 000 A=? ~ o 1 15 000 5000 2 10000 3 16 17 18 R R R R ¿A cuánto ascenderá cada pago R ? 1 100 ooo= 15 ooo+ 5 oooc1 +o.(1 + 0. cuyo precio cash es de $ 20 500 c/u. por lo que las alternativas de pago son las siguientes: Cuota inicial de$ 6 500 y tres formas de pago: • • • 12 mensualidades de$ 1 513. El vendedor se preguntaba a cuánto ascendería ese pago teniendo en cuenta que el costo mensual de financiamiento de esa casa comercial es del2%. Suponer que la Cía.02r + 1o oooc1 +0.45 c/u. c/u. además de la cuota inicial que en total sería de $ 26 000? 95 . a) Si compro cuatro camiones utilizando el crédito de la casa comercial.02-2 20.06 *1.02r 16 ] + ----------------------- 0.02 R = 5 401. El costo mensual del fmanciamiento ofrecido es del 4.02)-2 R[ 1.Anualidades • • • • Cuota inicial: $ 15 000 Al fmalizar el primer mes $ 5 000 Al finalizar el segundo mes $ 1O000 A partir del tercer mes dieciséis pagos iguales.25%. PIQUET desea adquirir cuatro camiones de 3~ Ton.

013888 R=3 449.87 * 4 =3 767.25~/o (1 + 0.74 3._ _ _ _ _ __ : : . si el fmanciamiento se hubiese hecho por el saldo y a través de un Banco que tiene un costo del18% anual? Solución: a) El costo de la casa comercial será el siguiente: Mensual: Anual: 4. 8 000 cada una..18 = ( 1+ i y 2 i =1. problemas y aplicaciones b) Además de pagar la cuota inicial.3888% A =14 000* 5= 70 000 R[ 1. a partir de la fecha. ¿cuánto hubiese tenido que pagar mensualmente por la compra de cinco camiones de ese mismo tipo. .(1 +0.78% Y por la compra de cuatro camiones pagaré lo siguiente: 941. 0.4.0425Y 2 -1= 64. La primera vence al comenzar el noveno mes.48 mensualmente b) Por la compra de cinco camiones pagaría lo siguiente: y (1 + 0. las siguientes vencen con intervalo de un mes.. Lucía tiene en su poder los siguientes docmnentos: • 96 Catorce letras de S/.5 Problemas Propuestos de Anuaiidades Vencidas l.013888r J 70 000 = 24 ---:=.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.

eses ha estado depositando dinero el Sr.ho pagos. pagando una cuota inicial de $ 5 000 y comprometiéndose a pagar $ 200 cada tres meses durante los próximos diez años.18 al fmal de cada mes. ¿Cuánto tendrá que pagar en el vencimiento del décimo tercer pago para ponerse al corriente? Rpta: $ 2 847. y le ofrecen S/.22 Si Suárez omite los primeros diez pagos.169 • Si el Sr.) ® Después de haber hecho m. Suárez compró un auto. ya que S/. Dos meses después de la muerte del Sr. a partir de la fecha. Dulanto viene depositando en el Banco lVIundo cuotas de $ 1 527. El Sr. 148 283. El Sr. Si la tasa de liquidación de estos documentos es del 12. 150 000 por todo el paquete de documentos.20.Anualidades • Además tiene diez letras de S/. 6 000 cada una: La primera vence al fmal del séptimo mes.5%. ¿Debería aceptar la ofetta o no? Rpta: Teóricamente no conviene la oferta. el Sr. Dulanto? Rpta: 20 meses. ¿Cuánto deberá pagar además del pago regular vencido? Rpta: $4 929. con el propósito de que a] final de su rnuerte sea entregado dicho dinero a su hijo. habiéndose pactado una TEA del 15% ¿durante cuántos m. que es el valor actual de esas letras el día de hoy. • ¿Cuál era el valor de contado del auto? Rpta: $ 10 983. ¿Cuánto deberá pagar cuando venza el décimo primer pago para liquidar el total de su deuda? Rpta: $ 7 047. Suárez omitiera los primeros doce pagos. Suárez desea liquidar el saldo existente mediante un pago único en el vencimiento del noveno pago.6825(% anual.36 E. las siguientes vencen con intervalos de dos meses. Se pactó una tasa efectiva trimestral del1.86 3. 97 . 2. Dulanto se le notificó a su hijo que era acreedor de $ 35 000. 150 000 es mayor que S/.

¿Cuál será el pago periódico que Ciro tendría que hacer? Rpta: El pago periódico debería ser de S/. Al fmal del segundo año. el negocio obtiene considerables utilidades por lo cual los socios deciden cancelar el 50% de su deuda en ese momento y el saldo pagarlo en doce cuotas quincenales. Alternativa 2: Una cuota inicial de $ 5 000 y sesenta mensualidades de$ 946.62 c/u. y el resto a pagarlo en cuotas iguales al fmal de cada mes durante doce meses. le proponen tres alternativas de pago.13 c/u. monto que solicitan a un prestamista a pagar en cinco años. Alternativa 3: Una cuota inicial de $ 10 000 y sesenta mensualidades de$ 868.59. 700.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. y las nuevas cuotas ascenderán a 759. 3 000 dentro de seis meses. ya que el costo efectivo anual de su fmanciamiento. Lira decide adquirir un departamento valorizado en$ 50 000. Tres jóvenes deciden emprender un negocio de venta de artesanías para lo cual necesitan un capital inicial de $ 15 000. Lira le conviene la alternativa número dos. Ciro Bazán desea comprar un nuevo motor que cuesta S/.77. El prestamista les asigna cuotas mensuales a una tasa capitalizable mensualmente del 98%. ¿Cuál será la mejor alternativa de crédito para el Sr.77 1 b) ¿En cuántos pagos mensuales de $ 707. 6. Lira? Rpta: Al Sr.4 c/u. 5. problemas y aplicaciones 4. a) ¿Cuánto pagarán los socios al fmal del segundo año y a cuánto ascenderán las nuevas cuotas a pagar? Rpta: Lo que tendrán que pagar es de $ 7 119. El dueño le ofrece que haga un solo pago de S/. Al investigar en la inmobiliaria acerca de las formas de pago.1907 cancelarían el saldo de la deuda a partir del tercer año? Rpta: Sería en 22 pagos mensuales. 98 . 163. 2 000 al contado. Alternativa 1: Sin cuota inicial y sesenta mensualidades de $ 1 142. a pagar en un lapso de cinco años. Pero Ciro le propone pagar una cuota inicial de S/. El Sr. es el menor (10%).

porque el monto de la cuota sería de $797. Un recién egresado de la UDEP empieza a trabajar en una consultoría a partir del 1 de Enero de 2005. 9. sabiendo que la TEA en ahorros es del 2%? Rpta: Lo que debería ahorrar mensualmente es de $ 283.4. a través de cuotas mensuales iguales.6825? Rpta: 25 meses. si se sabe que la tasa efectiva anual que paga la Caja Rural Piura es del12. Ernesto Gallo quisiera saber. 7. amortizando con una parte de su CTS el 35% del importe recibido como préstamo. Sí depositó $ 2 000 en la Caja Rural Piura al fmal de cada mes esperando recibir un monto de $ 56 486.Anualidades e) Si los socios están dispuestos a pagar como máximo cuotas quincenales de$ 750 y el prestamista incrementa su tasa activa a 10% efectivo mensual ¿Aceptaría el incremento propuesto por el banco? Rpta: Probablemente no. Ernesto Gallo encontró una propuesta mejor en el Banco de NY (que recién llegaba a la ciudad) y decidió renunciar. Ernesto Gallo percibe mensualmente un sueldo de $ 7 000. ¿Cuánto tiempo tendrá que estar el dinero en dicha entidad fmanciera. ¿cuánto tendría que pagar mensualmente a partir del siguiente mes y durante el resto del tiempo que le queda hasta cumplir los cinco años inicialmente pact:'ldos? Rpta: Tendría que pagar $ 953. pidió un préstamo al Banco Económico por un monto de$ 70 000. Después de un año y ímedio de recibido el préstamo y después de cancelada la cuota respectiva correspondiente a ese período. la amortización se realizó el n1ismo mes en que el Sr.9. Gallo renunció. 8. ¿Cuánto deberá ahonar mensualmente para poder pagar el otro 50%. y se propone dentro de tres años hacer una maestría a tiempo parcial que tiene un valor de$ 21 000.31 99 . El sectorista del banco le comunicó que su crédito había sido aceptado y que el interés anual que se le cobrarla seria del 18% pagadero en cinco años. Se sabe que el Banco Financiero al comenzar su maestría le puede fmanciar el 50~ó del costo. ganando $ 600 mensualt::.32. Con ocasión de querer viajar.

57 14.5618%. López está viendo la posibilidad de comprarse unos artefactos para implementar su hogar y se ha dado un plazo de doce meses para acumular en su libreta S/. ¿A cuánto ascenderá la nueva cuota a pagar? Rpta: La nueva cuota ascenderá a S/. problemas y aplicaciones 1O. El Sr. Guilletmo desea adquirir un auto del añ. ¿A cuánto ascenderían dichas cuotas si quisiera cancelarlo en treinta y seis mensualidades? Rpta: Los pagos serían de S/. 433.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. el cual paga una tasa anual del 19. 8 000 en el Banco Popular. 8 640. 800. Juan López abre una libreta de ahorros el día de hoy con S/.16 11. 1 100.16 al final de cada 1nes. que consiste en dieciséis pagos tnensuales iguales de$ 299 5 seguidos de veinte pagos de $ 400. 50 000. aceptándose un interés del 20% semestral.075% anuaL Guillermo desea saber cuál será el monto total que habrán pagado tma vez que haya cancelado todos sus pagos. ¿Cuánto tendrá que depositar mensualmente el Sr. Cueto tiene una deuda de S/. Debido a la reciente falta de liquidez. López para que al doceavo mes Hegue a recaudar el monto propuesto? Rpta: Tendrá que depositar S/. La Universidad de Piura piensa adquirir un ómnibus para transpotte del alumnado. para lo cual la empresa comercializadora plantea una TEA del 38%. La . considerando el costo del dinero en el tiempo.23 12. El vendedor le informa que según el plan de pagos deberá cancelar una cuota mensual de $ 915 durante dieciocho meses. el activo podría ser pagado en cuotas trimestrales durante seis años. pactándose una tasa de interés del 3% efectivo 100 .o. Al final del tercer año la Universidad de Piura decide refmanciar a cinco años con cuotas semestrales el monto que aún tiene por pagar. Rpta: El monto total cancelado será de$ 17 838. que tiene un valor de S/. La empresa les propone lm financiamiento de tres años. 12 000. que deberá pagar en doce cuotas iguales de S/. Pilar desea adquirir un televisor. 20 000 y así poder comprar al contado los artefactos posibles. cuyo precio al cash es de $ 14 000. La empresa Velúculos Grau les hace una propuesta de un carro marca Toyota Yaris. con la condición de que el pago se realice al crédito.83 13.empresa trabaja con una tasa de interés del 26.

Al comenzar el tercer mes $ 5 000 A partir del quinto mes. abonándose el pago de la primera al tnes de fnmaclo el contrato.89% compuesta trimestralmente.027 18.1032% Rpta: El pago mensual sería de$ 10 212. 50 000 al realizar el contrato. consistente en pagar quince cuotas de $ 53 mensuales. Martha solicita a banco un préstarr1o de $ 480 para adquirir un equipo de sonido. con intereses al 7% convertible trimestralmente.41 16. ¿Cuál de estas dos opciones le convendrá a Martha? Rpta: Le convendrá un crédito del banco porque le cobra una tasa menor. liD 17. De otro lado. por la que se compromete a pagar lo siguiente: durante los próximos cinco años pagará$ 500 al fmal de cada tres meses. Cierta compañía constructora vende casas en las siguientes condiciones: :• SI. Hallar el impmte de la deuda actuaL Rpta: La deuda actual es de S/. La forma de pago propuesta es de diecisiete cuotas mensuales. Hoy día Marlene contrae una deuda. si se sabe que a partir del décimo tercer mes dejó de pagar. la casa cmnercial le ofreció una alternativa de crédito. seis pagos mensuales iguales. Rpta: Tendrá que pagar$ 5 918. Luego de escuchar al vendedor sobre las alternativas de fmanciarniento que ofrece.Anualidades mensual. El vendedor se preguntaba a cuánto ascendería ese pago. 15. 101 . seguidos de pagos de $ 600 cada tres meses por los siguientes tres años. calculadas con una tasa del 59. Pilar desea saber cuánto tendrá que pagar el décimo octavo mes. o 12 mensualidades de S/. 5 000 cada una. Jaime desea adquirir una máquina cuyo precio al cash es de $ 60 000. a pagar al fmal del primer mes.60. 12 931. Jaime le plantea una alternativa de pago diferente que se resume en lo siguiente: • s • Cuota inicial: $ 1O 000. teniendo en cueniü que la TEA que cobra por el financiamiento esa casa comercial es del 60.

ya que su valor actual seria de $ 12 607. Si la tasa de interés que · aplican es del 6. 10 000 pagadera dentro de dos años pactada al 4% efectivo mensual.5% anual capitalizable mensualmente. ¿A cuánto ascenderían dichas cuotas trimestrales considerando la TEA del 60%? Rpta: S/. otra deuda de S/. 96 pagos mensuales de S/. Sí después de veinticinco meses plantease pagar el 50% de sus tres deudas y el saldo en seis cuotas trimestrales.125 000 al momento de la entrega de las llaves. y si además. Se pide: a) Hallar el valor del inmueble en el momento de entrega de las llaves.15% ¿qué alternativa de compra le convendrá más al cliente? Rpta: La más barata es "b". 5 000 que vence dentro de cuatro años con una tasa del 60% efectivo anual. la tasa con la que le fuesen a liquidar sus deudas fuese del 60% efectivo anual. Rpta: S/. 561 163. Rpta: S/. e) Un solo pago de$ 14 98938 luego de transcurridos noventa y cinco días. La Cía. y uno de $ 1 116. problemas y aplicaciones • • S/.13 102 . 4 800 cada uno. Pedro tiene tres deudas: una de S/. 7 369.94 19.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.94 a los trecientos sesenta días.58 20. Ford ofrece las siguientes alternativas para comprar un automóvil: a) Valor al contado$ 12 920 b) Hacer ocho pagos cada treinta días de $ 1 820 cada uno. a continuación de la fmalización de los primeros doce pagos de S/. Si la tasa efectiva diaria que cobra esta casa comercial es del 0. que está prevista para dentro de un año. 5 000.13 b) Hallar el valor de contado del departamento. 598 746. 8 000 que vence dentro de tres años pactada al 50% capitalizable semestralmente y una tercera deuda de S/.

Anualidades 21.25 b) Si después de haber cumplido con realizar los depósitos hallados en el apartado "a" durante un año. Rpta: $ 751.64 23. Con la fmalidad de disponer de $ 20 000 dentro de dos años. se pide hallar los nuevos depósitos por realizar con la fmalidad de disponer de los $ 20 000 planeados inicialmente. desde que se desembolsó el préstamo. ¿cuánto tendría que pagar en ese momento para cancelar el total de su deuda? Rpta: $ 66 487. Considerando que Pía puede invertir el importe de los alquileres que percibirá a una tasa efectiva mensual del 5% ¿le convendrá la alternativa propuesta? Rpta: No le conviene. Pía recibe como alternativa del usuario la propuesta de efectuarle un pago de $ 19 000 al inicio del contrato.14 e) Si suponemos que no canceló las primeras doce cuotas ¿cuánto deberá pagar cuando venza el décimo tercer pago para liquidar el total de su deuda? Rpta: $ 105 699.5~1> a) Calcular el importe de los depósitos que tendría que efectuar para poder reunir lo planeado. a) Suponga que luego de transcurridos dos años.27 103 . Pía alquila un local comercial durante cinco años por un importe trimestral de $ 3500.56%. la TEA baja al 19. una persona piensa realizar depósitos mensuales iguales en una entidad financiera que paga una tasa una tasa efectiva mensual del 2. Rpta: $ 618.70 b) Con los datos del apartado anterior. usted tuvo problemas económicos que le impidieron pagar las seis cuotas siguientes ¿Cuánto tendría que pagar. vencido la trigésima cuota? Rpta: $ 13 233. durante cinco años. por que el valor actual de los pagos es mayor que $ 19 000 22. Se tiene una deuda de $ 90 000 pagadera mensualmente. para ponerse al corriente con el banco. a una TEA del 16%.

Rpta: $ 219.21 26.86. usted tiene problemas fmancieros que le 104 .1715% mensual). para que a futuro sus cuotas de pago mensuales asciendan sólo a $ 200? Rpta: $2 234. se plantea lo siguiente: ¿Cuánto tendría que pagarle al banco en ese momento. suponiendo que se le conceden dos períodos de gracia. tanto para el pago del principal como para el pago de intereses. a) Calcule el importe mensual a pagar para los meses ordinarios y para los meses extraordinarios de julio y diciembre. Un conocido banco de la localidad vende computadoras en las siguientes condiciones: • Precio Cash $ 943 ó fmanciado en 36 meses a través de cuotas mensuales de $ 39 cada una. Rafael solicita un préstamo de $ 5 000 el 15 de febrero de 201 O. Al fmalizar el segundo año. a pagar mensualmente (plazo fijo)~ en un período de dos años. pactándose una tasa efectiva mensual del 1. Usted contrae una deuda con el banco por$ 40 000 pagaderos en 5 años mensualmente a una tasa efectiva anual (TEA) del12. "sí efectivamente me estuviesen cobrando" dicha tasa de interés mensual? Rpta: R = $ 32. acordándose pagar doble cuota los meses de julio.8242 %. El primer pago se haría en marzo de 20 1O y el último pago se haría en febrero de 2012. luego de haber efectuado el pago correspondiente a dicho mes.6825%. a la mejor tasa del mercado (1. a una tasa efectiva anual del 26.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. problemas y aplicaciones 24.4 b) Calcule el importe mensual a pagar. 27.69 y $ 479.6878%. Suponga que luego de cancelar la cuota correspondiente al vigésimo cuarto mes. para los meses ordinarios y para los meses extraordinarios de julio y diciembre. ¿A cuánto ascendería la cuota mensual a pagar. Mario contrae una deuda con el banco por $ 1O 000 pagaderos mensualmente. y diciembre. durante cinco años.38 25. Rpta: $ 239.2 y $ 438.

5618 %. el vendedor procede a efectuar su cálculo de la siguiente manera: R =15 000+15 000*0. 120 000. efectivamente.06 31. al fmal del periodo cuarenta. durante diez años. a pagar mensualmente durante un año. Sí mis ingresos sólo me permiten pagarle al banco $ 300 mensuales. teniendo en cuenta que la tasa efectiva mensual que me cobran es del 1. todas ellas junto con las restantes. Usted contrae una deuda con el banco por $ 40 000 pagaderos mensualmente.02*24 = 24 925 El cliente dubitativo se pregunta lo siguiente: a) ¿Cuál es el costo efectivo mensual de este crédito? Rpta: 3. Suponga que usted dejó de pagar las cuotas 36. bajo las siguientes condiciones: cuota inicial de$ 5 000 y el saldo a pagar en 24 mensualidades iguales con un interés mensual del 2%. Se quiere comprar al crédito una camioneta cuyo precio cash es de $ 20 000. a la TEA inicialmente pactada? Rpta: $ 523. 37. 38 y 39 y que desea cancelar.27 29. y deseo endeudarme por un lapso de 2 años.407082% b) ¿A cuánto ascenderían las cuotas mensuales a pagar si. ¿A cuánto ascendería el nuevo pago mensual a pagar. luego de aceptarse el refmanciamiento de la deuda. David Alcázar solicita un crédito por S/.25 %? Rpta: $ 6 187. consistente en pagar su deuda pendiente en seis años. a una tasa efectiva mensual del3%.Anualidades obligan a pedir un refmanciamiento. 105 .72 28. a una tasa efectiva anual del 19. ¿Cuánto es lo máximo que podría pedirle prestado a dicha institución. Al preguntar el cliente a cuánto ascenderían las cuotas mensuales a pagar. me estuviesen cobrando un interés mensual del 2%? Rpta: $793.06 30. ¿Cuánto tendría que pagar en total para liquidar su deuda? Rpta: $ 37 161.

11 377 . 34 100. 13 033.76 e) Sí después del prepago el señor Alcázar desea seguir pagando la misma cuota mensual que venía pagando.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. Rpta: S/. 7 781. y la última cuota mensual a pagar ascendería a S/. 30 000.45.41.76 e) Sí al fmalizar el cuarto mes hubiese cancelado el valor actual de las cuotas cinco. Rpta: Terminaría de pagar aprox.18). y además hubiese acordado con el banco continuar pagando a partir del mes ocho. 54 625. a) Calcular el saldo de su deuda después de realizado el prepago. ¿De qué importe tendrían que ser las cuatro cuotas restantes. para que el banco no afecte a su rentabilidad? Rpta: S/. para que el banco no afecte a su rentabilidad? Rpta: S/. y a cuánto ascendería la última cuota mensual a pagar. 106 . hubiese acordado con el banco continuar pagando a partir del mes ocho. 12 055. en cuántos meses más terminaría de cancelar su crédito.55 b) Calcular la nueva cuota mensual a pagar en los ocho meses restantes. ¿De qué importe tendrían que ser las cuatro cuotas restantes. Rpta: S/. d) Sí después de realizado este prepago de S/. 30 000 adicionales de su crédito. dentro de cinco meses. problemas y aplicaciones Suponga que junto con el pago de la cuarta mensualidad desea prepagar (amortizar) S/. seis y siete (S/.

Anualidades

3.5 Anualidad Ade~antada o Anticipada
Es una anualidad cuyo pago periódico se hace al principio de cada intervalo
de pago.

3.5.1

Cálculo del Monto o Valor Futuro (S )

Ejemplo: Hallar el monto de una anualidad con pagos periódicos de
SI. 100 son pagaderos al principio de cada trimestre durante un año, a una
tasa efectiva trimestral del9%.
Datos:
R =100
i = 0.09 trimestral
n=4
S=?

1

o

1

2

3

100

100

100

100

4

Solución:

s = IOO(l + o.o9y + 1oo (1 + o.o9) + 1oo(1 + o.o9f + 1oo(1 + o.o9y
S= 498.47
Deducción de la fórmula:
Simbólicamente tenemos:
4

S= R(1 +i) + R(l +iY +R(l +i) + R(l+iY
Sacando factor común R e invirtiendo el orden de los factores tenemos
que:
107

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

S=R [(1+i)4+(l+i)3+(l+i)2+(l+i)1]
Y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que le
hallamos su razón geométrica ( r ), para luego hallar la suma de sus
términos.
(1 + i)

r=

Primer término: a=

4

(1 +if

=1+i

.

(1 + i)

Último término: u= (1 +

tY

La fórmula de la sruna de los términos de una progresión geométrica fmita
es:
4

(u* r )-a = (1 + i) * (1 + i)- (1 + i) =~~-~~
(1 + iJ - (1 + i)
S=
(r-1)

(1+i)-1

i

Por lo tanto, reemplazando en la fórmula general se tiene que:

Cuando cuatro es el número de períodos; aumentándose n en 1

(n=4+1=5).
La fórmula del monto de una anualidad adelantada cuyos pagos ( R ) son
pagaderos al inicio de cada período, durante n períodos y a una tasa de
interés i , sería:

S=R

<1 + ir+l -(1 + i) lJ
[

. En el ejemplo visto tenemos que:

108

i

-

Anualidades

S = OO [..;_(1_+_o.0_9~)'*_-_(;:.._1+_O_.0__:.9)]
1
0.09
1

8=498.47

3.5.2

Cálculo del Valor Actual (A)

Con los datos del ejemplo anterior, hallar el valor actual de dicha

anualidad:

100

100

100

100
3

2

1

A= 100+ 100 (1 + O.o9r + 100(1 + 0.09r + 100 (1 + O.o9r
A= 353.13
Deducción de la fórmula:

Para obtener la fórmula del valor actual, seguimos el mismo procedimiento
que seguíamos para hallar el monto de una anualidad.
2

1

A= R + R(1+ir +R(1 +ir +R(l+i)-

3

Sacando factor común R e invirtiendo el orden de los factores tenemos
que:

A=R[1+(1+ir +(1 +ir +Cl +ir
1

2

3
]

Y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que le
hallamos su razón geométrica (r), para luego hallar la smna de sus
términos.

r=

1

(1 +tri

= 1+z.

109

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones
3

Primer término: a= (1 + ir
Último ténnino: u

=1

La fónnula de la suma de los términos de una progresión geométrica fmita
es:
3

3

(I+i)-(l+ir
S- (u*r)-a - l*(l+i)-(1+ir - ....:.-.-___;..---:.._-'-- (r -1) (1 + i) -1
1
Por lo tanto, reemplazando en la fórmula general se tiene que:

A=

R[-(1+_i)_i_(l+_i)_']

Cuando cuatro es el número de períodos; por lo que disminuye n en 1
(n= 4-1 =3).
La fórmula para calcular el valor actual de una anualidad adelantada, cuyos
pagos ( R) son pagaderos al inicio de cada período durante n períodos y a
una tasa de interés i sería:

A=R

(1 + i )- (1 + i r(n-l)J
[

.

l

Tomando como referencia el ejemplo anterior, tenemos que:

A=

100

[<1 + o.o9 )- (1 + o.09 r(4-l)J
0.09

S =353.13

3"5.3

Problemas Resueltos de Anualidades Adelantadas

l. Se solicita un crédito por $ 30 000 al Banco Hispano. Se cancelará
mediante pagos trimestrales adelantados durante cuatro años. La
tasa de interés del mercado es del 25% efectivo anual. ¿A cuánto
ascenderá el pago trimestral?
110

. 73 7126% trimestral Solución: R[(1 + o.<1 +o...o5737126r<l J 6 -l) 30 000 = .3oY =(1+iY i = 2. Luego de haber cancelado seis cuotas al Banco Hispano (ver ejemplo anterior). el cliente solicita que se refmancie su deuda vigente.0..032 n 2 757.. ¿A cuánto ascenderán las nuevas cuotas a pagar en el supuesto que el banco acceda a los requerimientos de su cliente y que le fije una nueva TEA del 30%? Datos: Solución: e= 2 757.02210445)-{ o-t)] 6 20547.1543 111 ..005737126 As = 20 547.13 i = 5.Anualidades 4 Datos: A==30 000 n ==4* 4==16 (1 +TEAi = (1 +i) 4 (1 + o....02210445 R=608..0..130 = ......05737126 R =2 757.(1 + 0.13 R=? 2 (1+o.032[1. de manera que se pague en un lapso de cinco años...o5737126).03 2. mediante cuotas mensuales adelantadas..25i =(1 + i) i = 5...21 0445% mensual R[ (1 + 0.737126% A=? As=? 1 o 1 2 3 5 6 14 7 15 16 ~6 n=5*12=60 TEA=300/o A=20 547...oo5737126r =10 10 J As= 0.c1 + o.02210445)..

Una empresa de confecciones necesita adquirir una nueva máquina para poder incrementar su producción por lo que hará un préstamo de $ 75 000 al Banco Norte que cobra una TEA del 25%.0488) S= + - 0.0488 Solución: 42 1 350[ (1 + 0.o18769r<n-l) log{ 0.74.74 (A los 25 años) 112 J. Un padre decide construir su casa cuando su hijo cumpla 25 años.018769 mensual 5 676. El ahorro será de$ 350 cada seis meses y será depositado en una cuenta que le paga una TEA del lO%.018769)-{n-l)] 75 000 =----=------------=::.018769) n =15 meses 4. 77080 =-(1 + o. ¿Cuánto tendrá disponible su hijo a los 25 años? Datos: TEA= 10% R=350 n = 42 i = 0.018769 -o.74[ {1+0.04S 8 S =70 474. problemas y aplicaciones 3. haciendo el primer depósito el día de su nacimiento y el último depósito lo hará cuando su hijo tenga 20 años y medio. Para ello decide ahorrar en una Caja de Ahorros.0488) 4 (1+0. 0. (1 + 0.10) .018769)-{1+0. ¿En cuántas mensualidades podrá cancelar este crédito? Solución: (1 + o. Si las cuotas mensuales iguales anticipadas son de $ 5 676.77080 )= {-n+ 1)log {1.25Y = {1 + iY 2 i =0.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.

Anualidades 5.79% trimestral 113 . con dos modalidades de pago: a) Una cuota adelantada de $ 135 como cuota inicial y cuatro cuotas trimestrales restantes por la misma cantidad. ofreciendo las siguientes condiciones: • Precio Cash: $ 460. CRASA ha lanzado al mercado una campaña para la venta de lavadoras de marca Moraveco. Solución: a) 460 1------+------+-----l---------11 o 1 2 3 4 135 135 135 135 135 trimestres 135 [ (1 + i) -(1 + i)-(S-l)] 460= . l Se iguala la ecuación a cero y luego. l i = 21. Determinar qué alternativa de crédito es la más barata. se obtiene el valor de i que en este caso es igual a: i = 23. b) Una cuota adelantada de $ 11 O como cuota inicial y seis cuotas trimestrales restantes por la misma cantidad.93% trimestral b) 460 o 1 2 3 4 110 110 110 110 110 + 5 110 11 o[(l + i)-(1 + i)-< 7 350= -l) 1 trimestres 6 110 J . mediante iteraciones sucesivas o usando una calculadora fmanciera.

11iguel se plantea cancelar el total de su deuda a esa fecha. 6.5% efectivo mensual? Datos: R=500 n = 2* 12= 24 i = 1. cargándole una tasa de interés del 8% efectivo mensual. Miguel Ferré adquirió un préstamo por cinco años el cual iría pagándolo poco a poco.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. ha sido beneficiado con una 114 . 1 000 si el pago es al contado. Luego d~ haber cancelado las cuotas correspondientes a tres años. La Universidad del Sur tiene un plan de pagos para todos los alumnos. problemas y aplicaciones Le conviene la alternativa "b". o 2 3 34 35 58 36 59 60 ~ R¡ Solución: 24 500[(1 + 0. Si el padre del alumno "X" ya canceló la primera cuota. el cual se detalla a continuación: e S/.5% mensual A=? .015). El valor de cada una de ellas se calcularán a partir del valor de contado.0 15r< A= 0..2 7.(1 + 0.015 -l) J (1+ o.o15r 1 A=lO 015. ¿Cuánto tendría que pagar en ese momento para poder liquidarla si se tiene en cuenta que las cuotas fueron calculadas con una tasa de interés del 1. • Financiado: cinco cuotas pagaderas al inicio de cada mes. ya que cobra una tasa de interés menor. por medio de pagos de $ 500 al inicio de cada mes. y hoy que le toca cancelar la segunda cuota.

9041 Hallamos el valor actual del total de la pensión al segundo mes: A= 231..= 0.. Si Pedro quisiera pagar todas sus deudas al fmal del quinto mes.025 n1 =5.03.. al comienzo de cada mes.08). R2 =200 i¡ = 0.- Anualidades cierta cantidad de dinero. y por consiguiente quiere pagar todas las cuotas restantes..08 )-{s-l)] 1 000= . las cuales se empezarán a pagar al fmal de este mes. i2 = 0.53 No podrá cancelar el total de su deuda 8. 800.= . También posee en otro banco siete letras con vencimiento cada treinta días de $ 200 cada una.08 ).08 R = 231.9041[ (1 +0..(1 + 0. a una tasa de interés del 2.08)~~~)] 008 A = 829. Pedro tiene que pagar cinco letras. pactándose una tasa del 3% mensual. ¿Podrá cancelar dicha deuda con lo que ha sido beneficiado? Solución: R [ (1 + 0..(1 +0.. ¿Cuánto tendría que desembolsar? Datos: ~ = 500. n2 = 7 115 .5% mensual.. que es de S/. por un importe de $ 500 cada una.

025r 0. propone efectuar doce pagos iguales al comienzo de cada bimestre. Torres pide al banco se le otorgue un período de gracia de cinco meses. Transcurrido este período de tiempo.025 %=4170. El Banco acepta la propuesta del Sr.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.5766% mensual .35% aplicados solamente a los doce pagos restantes. el Sr. Torres por un monto de S/. por el saldo pendiente. Financiera Continental asigna un préstamo al Sr. problemas y aplicaciones íTT i f l SA =? -i 1 o 1 500 3 4 500 2 500 500 500 200 200 200 200 1 t 1 I 5 6 7 200 200 200 JLlJ l Solución: x =soo[ (1+ o.m)" -(1+ o. ¿A cuánto ascenderán dichos pagos? Datos: A= 22 000 n = 3 * 12 = 3 6 m eses TEA=35.37sy =(l+iY 2 i =2.(t + o. 22 000. dada su insolvencia económica. Torres.025)' -1 J 1 0. tanto para el pago del principal como para el pago de los intereses. Luego de efectuado el décimo octavo pago.95 9. pero considerando un aumento de la TEA en un 6.m)t 2oo[(1+0.025 2 J +--~----------~ 0. acordando pagarlo en tres años mediante cuotas mensuales iguales a una TEA del 35.03 2oo[ 1.7% R=? 116 (t+0.7'%.

25 = ___:::..025766) S= 15 303. _____ 0.025766f 22 000 = ___:: .0.-.08 S ::=95 038.o6024 1r(l -l)] 15 303.08 Solución: 15 ooo[ (I +O. durante cinco años.42 (Deuda al décimo octavo mes) Deuda al vigésimo tercer mes: S= 13 475.060247 R =: 1 723. Si el fondo gana el 8% efectivo anualmente.. ¿Cuál será el monto acumulado al término del quinto año? Datos: R =15 000 n=5 i = 0.os)] S = ..93 117 .060247 ).c1 + o.045 A= 945._ _ _ _ _ _ _ _ __ 0..o8f+l . Café Perales reserva $ 15 000 al principio de cada año.045[1.o25766r" J 0.420 5 = ( 1+ i y i= 6. R=945.0247% bimestral Por lo tanto: 2 R[ c1 + o...(1 + 0.(1+0..93 bimestral 1O.c1 +O.Anualidades Solución: 36 R[ 1. para crear un fondo para una futura expansión.025766 A =13 47 5.025766 ] --=::.25 Calculamos la i bimestral: y ( 1+ o .42(1 +0.

5. Si la tasa efectiva anual es del 15%.84 2. o si no se desea esta forma de pago. pagándose una cuota inicial de $ 150. 1O 500 el mes entrante.86 que es mayor a los SI. 10 028. Una agencia de viajes. el cual al contado cuesta$ 800. ¿Cuál es el capital inicial que deberá colocar? Rpta: El capital que se deberá colocar es de S/. propone realizar diez pagos mensuales al inicio de cada mes. recibiendo $ 4 469 al principio de cada año. pero aparece un comprador del inmueble y le ofrece darle S/.5% efectivo mensual. deseando facilitar el pago. El Señor Corcuera necesita tener en liD futuro una entrada mensual con el fin de cubrir los estudios universitarios de su hijo. al comienzo de cada mes durante seís años. la cual se invinió para ganar una tasa efectiva trimestral del 2%. 600 al mes. Juan dejó una herencia a su hijo. ¿Cuánto fue lo que Juan le dejó a su hijo de herencia? Rpta: Juan le dejó$ 36 000. 205 durante cinco años por una propiedad en usufructo. Se vende un inmueble valorizado en $ 500 000.1 O a fmales del tercer mes. mediante cuarenta y 118 . incluyendo la cuota correspondiente a dicho período? Rpta: Para liquidar su deuda tendrá que cancelar$ 525. 3.4 Problemas Propuestos de Anualidades Adelantadas l. 1O 424.5. Para esto decide colocar un determinado capital en un banco con el objeto que dentro de cinco años. ¿Aceptaría la cantidad y cederle el usufructo del bien por los cinco años? El costo de oportunidad del dinero es del 9% anual. Un arrendador esperaba recibir el primer día de cada mes una renta de S/. Rpta: Sí le conviene aceptar la oferta porque la cantidad ofrecida tiene un valor actual de S/. Sí gasta dicho monto anual la herencia sólo durará doce años. El comprador acuerda pagar el saldo con un interés del 1.86 que es el valor actual de la renta esperada en cinco años. pueda retirar S/. 14 624.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.38 4. Se desea realizar un viaje a Huaraz.000. propone no pagar nada ahora y realizar un único pago de $ 926. problemas y aplicaciones 3. Sabiendo que el cliente aceptó esta última alternativa de pago y que posteriormente desea cancelar el saldo de su deuda al fmal del cuarto mes. ¿Cuánto tendría que cancelar para liquidar su deuda.

78. 6. ¿A cuánto ascenderá el pago total? Rpta: El pago total será de$ 2 791. se ve en la necesidad de pedir un fmanciamiento al Banco Español. Hallar el pago mensual. Tome como referencia que la Caja Rural paga una TEA del 12. además. Si al momento de cancelar la 28° cuota. calculadas con una TEA del 11. Sandro Navarro desea adquirir una casa de playa valorizada en $ 40 000. quien le presenta la siguiente modalidad de pago: préstamo por $ 32 000 a pagar en un plazo de cinco años. además de ser buen alumno. al inicio de cada mes. Rpta: Necesitaría ahorrar mensualmente $ 67 . a futuro. estudiar su maestría en administración de empresas en la UDEP y sabe que para ello. Inicial de $ 15 000 y 96 cuotas mensuales adelantadas de $ 400 cada una con una TEA del 9o/o. Por contar sólo con el20% del valor de la casa. a) ¿A cuánto ascenderá cada cuota que tiene que cancelar? Rpta: La cuota ascenderá a $ 688. Rpta: $ 12 110. de rrmnera que cuando termine su carrera tenga ahorrada la tercera parte de lo que ahora cuesta el Master($ 21 000). 27°. La Sra.45 b) Pasados dos años. Koky Rojo se está preparando para dar la Prueba PAE. 26°. Koky quiere saber cuánto necesitaría ahorrar mensualmente. Sandro decide cancelarla conjuntamente con las cuotas atrasadas. a través de cuotas adelantadas mensuales. a partir del 1 de enero de 2005. El desearía. debe contar con recursos económicos. Chávez quiere adquirir un departamento y le ofrecen dos alternativas de fmanciamiento: • o Inicial de $ 1O 000 y 120 cuotas de $ 4 00 mensuales.24.66 8.Anualidades ocho pagos mensuales iguales cada uno. que de:cidirá su ingreso directo a la Universidad de Piura (UDEP). 7. debido a problemas económicos. El primero con vencimiento dentro de un año. Koky desearía cubrir una parte del costo a través de sus ahorros. que Koky termina su carrera dentro de cinco años y que el 1 de enero de 2005 tenía ahorrado sólo $ 800. con una TEA del 9%. ¿Cuál alternativa le conviene más? 119 .6825%. Sandro no puede cancelar las cuotas 25°.5%.

Emilia le pregunta al vendedor en cuánto tiempo cancelaría todos sus artefactos. si pagase cuotas mensuales adelantadas de S/. está pensando en casarse. 9. 150 o Cocina: Doce cuotas mensuales adelantadas cada una. 250 cada una. una refrigeradora y un televisor.39 e) Seguro constituido por una cuota de $ 1 846. b) Seguro con pago a plazos durante veinticuatro meses.8242<}~ . Por curiosidad. El vendedor les hace siguiente pro forma de pago: de S/. o Televisor: Ocho cuotas mensuales adelantadas de S/. 10. Miano desea obtener un seguro confiable para su fábrica. durante quince años? Suponer que el 120 . utilizada por Financiera GENIOS. es del 4%. pagada por anticipado durante treinta y seis meses. 237. a una TEA del 26 . • Refrigeradora: Diez cuotas mensuales adelantadas SI. Emilia. Rp~a : Le conviene la alternativa 6'c" ~ ya que su valor &crual es menor. cuyo costo anual es de$ 50 000. a una tasa nominal del 24% capitalizable mensualmente y eon una cuota constante pagada por adelantado de$ 2695. al inicio de cada mes. El gerente fmanciero tiene en su poder tres propuestas que tendrá que analizar: a) Seguro pagado al contado. El Sr.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. 11. Suponga que su padre tiene cuarenta años y que suele depositar sus ahorros en el Banco Caribeño que paga el 6% de interés capitalizable mensualmente. 100 cada una. 500 al fmal de cada mes hasta que alcance la edad de cincuenta y cinco años. Sí su padre decidiese depositar S/. por lo que desea comprar al crédito~ y de una sola vez. problemas y aplicaciones Rpta: Le conviene la primera alternativa. ¿Qué cantidades iguales podría retirar mensualmente su padre.61 Rpta: En 30 meses. de La tasa de interés mensual.26. una cocina.

40 mensuales a partir de la fecha. 13. a una tasa del 1.22 e) Al término del año doce. ¿Cuánto debe cancelar al siguiente período para continuar sus pagos normales? Rpta: Debe cancelar$ 910. Al finalizar el tercer año y después de haber efectuado el trigésimo sexto pago. La empresa "Zurita. Rpta: R = 1 258. durante veinte años.03 12. ¿Por cuánto tiempo más tendrá que pagar hasta cancelar el saldo total de su deuda? Rpta: 36 meses. comprometiéndose a efectuar pagos mensuales de $ 300 por adelantado. decide pagar el 50% de la deuda pendiente y cancelar $ 297. Maria Lucía hipoteca su casa por un valor de $ 25 000.1 b) ¿Cuánto tendría que pagarle al banco en ese momento para que en el futuro sus cuotas de pago mensuales asciendan sólo a $ 2500 y que éstas se paguen al final de cada mes? Rpta: $26 220. antes de cancelar la cuota correspondiente a ese período. a) ¿Cuál es la TEA que cobra el Banco? Rpta: TEA= 14.08 121 . pagaderos en cinco años mensualmente y por adelantado." contrae una deuda con el banco por$ 150 000. se plantea lo siguiente: a) ¿Cuánto tendría que pagar en ese momento para liquidar su deuda? Rpta: $ 76 296.5% efectiva mensual.Anualidades primer retiro lo hace seis meses después de haber realizado el último depósito.4 7% b) Al término del sexto año se omitió el pago de las dos cuotas siguientes.

67 c/u Veinticuatro mensualidades de$ 4 494. 15. a partir de la fecha. El vendedor se preguntaba a cuánto ascendería ese pago teniendo en cuenta que el costo mensual del fmanciamiento de esa casa comercial era del2%. Campos le plantea una alternativa de pago diferente que se resume en lo siguiente: e e Q) 0 Cuota inicial de $ 15 000 Al fmalizar el segundo mes $ 5 000 Al finalizar el cuarto mes $ 1O000 A partir del final del quinto mes. a partir de la fecha. Rpta: $ 11 202. ocho pagos adelantados iguales bimestrales. 100 000 por todo el paquete de documentos ¿Debe aceptar la oferta o no? Rpta: No debe aceptar la oferta. Campos desea adquirir una máquina cuyo precio al cash es de $ 100 000. Al solicitar información sobre el fmanciamiento el vendedor le plantea lo siguiente: Cuota inicial de $ 15 000 y tres alternativas de pago: • • • Doce mensualidades de$ 8 037. La primera vence al comenzar el octavo mes.56 c/u.00 c/u Luego de escuchar al vendedor. El Sr. Si la tasa de liquidación de estos documentos es del 2% mensual. el Sr. y le ofrecen S/. las siguientes vencen con intervalo de dos meses Además tiene ocho letras de S/.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. 9 000 cada una: la primera vence al final del sexto mes. las siguientes vencen con intervalos de tres meses. 7 000 cada una.44 122 . Dieciocho mensualidades de$ 5 669. Perico tiene en su poder los siguientes documentos: e e Diez letras de S/. problemas y aplicaciones 14.

6.Anualidades 3.. Entonces remplazando en (2): A(l+i)=R+A Simplificando: A+Ai=R+A A= ~ í 123 .6 Anualidades Perpetuas Una perpetuidad se define como una anualidad cuyo pago se inicia en una fecha fija y continúa para siempre.1 Anualidades Perpetuas Constantes Se tiene un pago periódico R al fmal de cada período con una tasa efectiva i por período: A=? R R R ¡ t t t o 1 R t 3 2 4 El valor actual vendría dado por: R A= (l+iY + R (1+iY + R (1+iY +··· (1) Multiplicando ( 1) por (1 +i) : A(l+i)=R+ R + (l+iY R +· ·· (l+if (2) Pero. 3... A= R (1 + i + R + R y (1+ i y (1+ i y + .

5%.6667 i= 12% A=? De aquí podemos deducir que una renta uniforme perpetua vencida es el flujo de efectivo que genera en un período de tiempo a una tasa de interés sobre una cantidad A donde el número de períodos capitalizados es indeterminado. de la que se espera que se pague eternamente unos dividendos ( R) de S/.08 R =80000 124 J . 0.57. ¿Cuánto recibirá anualmente la familia por intereses? Solución: R=A*i R =1000000 *0. Datos: A= 496 284.o75Y =(1+iY 2 i = 0.006045 R=3 000 Ejemplo: Un padre de familia al fallecer dejó en un baneo una cuenta de $ 1 000 000. problemas y aplicaciones Ejemplo: Calcular el valor teórico de una acción.12 A =1. Solución: Datos: R =0. Si la tasa de interés que se pacto con el banco fue de 8%. y cuyo costo de capital ( i ) es del 12%.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.20 A=020 0. si se sabe que la TEA que paga dicha institución de crédito es del 7.57 (1+o.6045% mensual TEA= 7. Ejemplo: Calcular el importe mensual que se percibirá indefinidamente por un depósito a plazo fijo de$ 496 284.20 por acción.57 * 0.5% R =? Solución: R=A*i R =496 284.

2 Anualidades Perpetuas con Crecimiento Se tiene una perpetuidad con crecimiento constante g.6.Anualidades 3. (l+iY Entonces. por lo que esquemáticamente se ilustra de la siguiente manera: A=? • 1 00 o 1 2 4 3 El valor actual es: A= 1 R + . A= R 1 + (l+iY R (1 + g) . (l+iY 2 + R (1 + g) +·· . El flujo se produce al flnal de cada período y la tasa efectiva por período es i . reemplazado en (4): A(~)= R +A l+g (l+g) Agrupando términos y luego simplificando: 125 . (l+ii R (1 + g) (1+i) 2 + R (1 + g) (1+i) 2 3 +··· (3) 1 Multiplicando (3) por ( + i ) tenemos que: l+g (4) Pero.

OO 3 108. ¿A cuánto ascenderá el valor actual de los flujos proyectados si se sabe que la tasa de interés anual es del 12%? Rpta: 897. si se sabe que a partir del año doce los flujos crecerán con una tasa anual del2%? Rpta: 1 125..MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.00 6 120.98 Ejemplo: Se tienen los siguientes flujos de caja proyectados: Año flujo 1 100.. .00 2 102.61 b) Tomando como referencia los flujos proporcionados en el apartado "a".00 Si la tasa de interés anual es del11 %: a) ¿Cuál será el valor actual de los flujos proyectados. problemas y aplicaciones Acl:.00 S 112.. si se sabe que a partir del año seis se tiene una perpetuidad? Rpta: 1 040..22 Ejemplo: ¿A cuánto ascenderá el valor actual de un flujo de $ 15 000 después de un año y una serie de flujos perpetuos $ 1O 000 a partir del 126 . )-A= (l:g) A[(::.(l:g) A(1 +i-1-g )= 1+ g R (1+ g) A(i -g)=R A=_B__ l-g Ejemplo: Se tienen los siguientes flujos de caja proyectados: Año flujo 1 100. .12 S 106. fecha a partir de la cual los flujos crecerán a una tasa anual del 1%.00 .00 2 10S.121 A partir del año cuatro los flujos permanecerán constantes hasta el año doce.04 4 106...)-1].12 10~.. 110.00 4 110. calcule el valor actual de los flujos proyectados.00 3 104. 00 120..121 .

36 3.36+250000 A =263636. ¿a cuánto asciende la donación? R C=R+1 e =soooo + 50000 0.06) A =13636.Anualidades segundo año si el costo de oportunidad es de 10% y la tasa de crecimiento de las perpetuidades es 6%? Solución: 1 A =15oooct+o. l También se puede hallar A . a la que se le adiciona la renta producida en el momento cero.tr + 10000 (0. para el cálculo de la renta uniforme que al mismo tiempo es perpetua y anticipada.1-0. Si la TEA es 15%.3 Anualidad Perpetua Constante Adelantada El valor actual de una perpetuidad cuyos pagos uniformes se efectúan por adelantado. o sea: R A=R+-. lo haremos a partir de: Ejemplo: Una universidad recibió de una organización $ 50 000 para la construcción de un nuevo edificio y además recibirá cada fin de año de forma permanente el rnismo monto.15 e =383333. de la siguiente manera: R i A=-· donded=d' l+i Entonces.3 127 . es igual al valor actual de una perpetuidad vencida.6.

¿Es conveniente tomar el seguro si la tasa de interés es de 9% efectiva anual? Rpta: No le conviene tomar el seguro. ¿Qué alternativa recomendaría? Rpta: Le recomendaría la primera alternativa. para lo cual el banco le asegura una TEA preferencial de 15%. b) Retirar el dinero en cuotas mensuales después de quince años de aporte. la compañía de seguros ofrece pagarte $ 5 000 en el año trece y de abi en adelante $ 100 mensuales de por vida.4 Ejercicios Propuestos de Anualidades Perpetuas l.5% mensual? Datos: 12 TEA=(1+0. A partir del siguiente mes se propone ahorrar el 10% de su sueldo en una cuenta bancaria que le paga una TEA del 12%. Una madre de familia gana actualmente S/. problemas y aplicaciones Ejemplo: ¿Cuál debería ser el precio de venta de un terreno por el cual S"el recibe un alquiler anual adelantado de$ 35 000. 400 mensuales que se incrementarán en 0. 2.1% cada mes y de por vida.56% 35000 0.015) -1 R =$35000 i = l.1956 C= 213936. en el cual el banco se compromete a pagarle S/. 3 500. 128 . y desea ahorrar desde ahora para poder afrontar gastos cuando sus hijos ingresen a la universidad. 5 mensual TEA= 19. si el costo de oportunidad es de 1. Una compañía de seguros vende una póliza de seguros con las siguientes características: cobro de una prima constante de $ 80 mensuales durante doce años. y el banco le ofrece las siguientes alternativas de pago: a) Retirar todo el dinero en el año quince.6 C=35000 + 3.6.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. a cambio.

usted puede elegir uno de los siguientes premios: a) b) e) d) e) $ 100 000 ahora. d) Cobrar un millón de soles después de tres años.6. 30 000 para recibir al fmal de cada año S/. estos tienen como característica especial de que. Si la TEA es del 8. 129 .75% ¿Qué alternativa le recomendaría? Rpta: Le recomendaría la primera alternativa. 5. 8 500? Rpta: Una TEA de 24. Álvarez. mediante la cual se le entregarán el día de hoy $ 100 000 y al final de cada mes recibirá $ 30 OO.Anualidades 3. Considerando una tasa de interés de 1. $ 12 000 anuales a perpetuidad. El Sr. Determinar el monto total de la herencia que recibió el Sr. 60 000. b) Cobrar mensualmente y de manera perpetua cuotas de S/. a veces. 6. Como ganador de un concurso de cereales para desayuno. 4. $ 180 000 dentro de cinco años. $ 7 600 el próximo año. La empresa que le vendió la lotería le ofrece las siguientes alternativas de pago: a) Quince cuotas mensuales de S/. y aumentar después los pagos en un 5% anual durante toda la vida. $ 19 000 durante cada uno de los próximos diez años. y en breve tendrá que decidir cómo va a cobrar el dinero ganado. Álvarez recibió una herencia de su hermano.25% 3. ¿Cuál es la tasa de interés que se debe exigir a una inversión de S/. 130 000. Juan Pablo acaba de ganarse la lotería. 5 000. Si el tipo de interés es de 12% anual ¿Cuál es el premio más valioso? Rpta: El premio más valioso es del apartado "e".5% mensual. Rpta: El importe de la herencia es de$ 2 100 000. tales como bonos y acciones.5 Aplicaciones de Anualidades Perpetuas enAcciiones y Bonos Generalmente cuando se transan diferentes activos fmancieros. e) Solamente cobrar ocho cuotas anuales de S/.

Utilizando la fonnula de Gordon & Shapiro. A veces. = Div1 + Div2 (1 + i) (1+ i + Div 3 + Div4 y (1+ i y (1+ i y-+··· Donde se deduce que esta sumatoria que tiende al infinito se puede simplificar a la siguiente expresión: R = Div1 o ..r . problemas y aplicaciones los flujos se consideran perpetuos. i : Tasa de interés que sirve para actualizar los pagos de dividendos futuros. Si consideramos que el dividendo que paga la empresa en cada período es constante. entonces tenemos: n rr'A r 0 =r . . por lo que es necesario la aplicación de las formulas de anualidades perpetuas que hemos deducido anteriormente: Acciones: Una acción es un instrumento de renta variable y de mayor riesgo en comparación con otros activos fmancieros. conociendo el precio y el dividendo que se paga en el período 1 es: 130 . Div2 : Dividendo que paga la empresa en el periodo 2.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. Div 1 : Dividendo que paga la empresa en el periodo l.11 - Div1 + Div 2 (1+i) (1+iY o + Div 3 (1+iY + Div 4 (1+iY + ··· Donde Po : Precio de la acción. ya que la empresa tiene una vida útil ilimitada. Las acciones suelen defmir el pago de un dividendo como retribución al capital invertido por los accionistas de la empresa. l De esta ecuación se podría deducir la rentabilidad esperada de una acción. se puede encontrar el precio tentativo de una acción teniendo en cuenta los pagos de dividendos futuros que realizará la empresa para los siguientes años: n _ rrA _ r. este dividendo se considera perpetuo.

131 . donde éste va creciendo de acuerdo a una tasa de referencia que se asume y que viene dada por la variable g . donde se debe cumplir que i > g Si se desea conocer la rentabilidad esperada de la acción que paga un dividendo que crece a tasas constantes dadas por g. tenemos: . si se compara el precio de la acción obtenido por la fónnula de Gordon & Shapiro con el precio que se lista en una Bolsa de Valores ( Pm ) podemos decir si la aceión esta subvaluada o sobrevaluada. Si Po < Pm se dice que la acción se encuentra sobrevaluada por lo que es recomendable vender para aprovechar la oportunidad que me está brindando el mercado. lo que es recomendable cmnprar la acción ya que se espera que aumenten por los fluj os de dividendos que ofrece pagar a futuro. Div 1=--1 Fa ~ Muchas empresas generalmente no pagan dividendos constantes sino que establecen un dividendo diferenciado.n se dice que la acción se encuentra subvaluada. Div1 1=--+g Po Esta valorización de acciones nos permite tomar decisiones de inversión en un mercado de capitales.. Por ejemplo. vea:mos: Si ~ > P. ya que su verdadero precio es menor de acuerdo al flujo de dividendos que se esperan obtener. entonces nuestra derivación de la fórmula quedará expresada de la siguiente manera: De acuerdo a la derivación anterior se conoce que esta sumatoria se simplifica a la siguiente expresión: Po =Div • 1 z-g .Anualidades .

5 Div1 = Div 0 (1 + g )= 1.03)= 1. Ejemplo: La empresa Backus está pagando actualmente un dividendo de S/. -l Ejemplo: Se tiene la siguiente información bursátil de los diferentes activos financieros que posee en cartera un inversionista: ___ j 1 132 .5 y consideran que es un precio justo.08-0.05=0.5 (1 + 0.545 Fa = Divt = i.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.1414 52.g 1. cuando su verdadero precio es de S/.03 Lo que debería hacer el inversionista es comprar la acción ya que se encuentra subvaluada y tiene la oportunidad de comprarla a S/.545 = 30.90 1 Ejemplo: Los nuevos accionistas de la empresa Ferreyros esperan que el dividendo que se pat.TUe el siguiente año sea de S/.5 Los accionistas esperan obtener tma rentabilidad anual de 14. Si hoy la tasa de interés es del 8% anual y se está cotizando en la bolsa de valores a un precio de S/. 52. 25 ¿Qué decisión debería tomar el inversionista? Solución: Div 0 = 1.5 y espera que crezca de manera perpetua a una tasa del3% anual. y que éste crezca de manera perpetua a tasas del 5% anuaL Ellos han pagado por la acción S/. 30. ¿Cuál es la rentabilidad anual esperada por los nuevos accionistas de Ferreyros? Solución: i = Div 1 + g = Po 48 · +0. pm : Precio de mercado de la acción que se lista en una bolsa de valores. 1.14%. problemas y aplicaciones Donde Po= Precio de la acción obtenido aplicando la fórmula de Gordon & Shapiro.90 0. 25.8. 4.

La acción de UNIVERSAL TEXTIL se encuentra subvaluada porque su precio es mayor al precio que se negocia en bolsa lo cual debe mantenerla en cartera hasta encontrar una oportunidad de ganancia adicional.. tenemos que encontrar los dividendos que se cancelarían en el año 1 aplicando la siguiente fórmula: Div1 =Div0 *(1 + g) Entonces. calculando los dividendos para cada acción y el precio de la acción de acuerdo a la formula de Gordon y Shapiro que es..- VOL CAN EDEGEL TEXTIL PIURA BUENAVENTURA UNIVERSAL TEXTIL -- Precio Teónco ...82%...8 0.86 14..._ _ _ _ _ _ o o 2% lo/o 14.6 12.5 3.. 133 .. ¿Qué acciones le recomendaría vender al inversionista? Solución: Como los dividendos que se están cancelando se están desembolsando en el año cero...8 0.. po 1 = Div tendríamos los • 1-g siguientes resultados: -.848 2% .. .Anualidades Acciones ------------------- VOL CAN EDEGEL TEXTIL PlURA BUENAVENTURA UNIVER'iAL TEXTIL Precio Bolsa - - - - --- 50. .38 2.2 2.98 1.5 3..· _ _ _ _ !.. por lo tanto la acción está sobrevaluada y debe aprovechar la oportunidad que le da el mercado para venderlas y obtener una ganancia adicional. EDEGEL.8 18..79 18.672 4..5 - Div0 G 3. Acciones ·Div1 ·g 3...6 4. TEXTIL PIURA y BUENAVENTURA ya que el precio teórico es menor al precio que se negocia en bolsa. De los resultados obtenidos se recomienda al inversionista vender las siguientes acciones: VOLCAN..5 0.77 Para el cálculo del precio teórico se ha tomado la tasa de mercado anual (TEA) que es de 26.8 4. Y los dividendos se cancelan una vez al año.·.8 2% - o o 2% 1% Si hoy la tasa de mercado es de 2% efectiva mensual.57 0..

semestrales y anuales. pero hay otro tipo de bonos que se emiten con un vencimiento perpetuo..MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. y a este tipo de bonos es que nos vamos a referir en este capítulo. estos pagos son los intereses que cobra el tenedor del bono por haber adquirido este instrumento de fmanciación. también es conocido como el YTM (yield to maturity). . y al mismo tiempo es una deuda que adquiere la empresa emisora del bono. El bono es tm instrumento de fmanciación. • Cupón: es el interés recibido por el tenedor del bono. la tasa de cupón puede ser efectiva o nominal. ya que tiene que pagar intereses (tasa de cupón) y el principal de la deuda (valor facial).. trimestrales. • Tasa de mercado (i ): es la tasa de interés que sirve para actualizar los flujos futuros que devenga el bono. problemas y aplicaciones Bonos: Un bono es un instrumento de renta fija que se caracteriza por realizar pagos cada cierto periodo al tenedor del bono. además para efectos de facilitar la negociación con los inversionistas extranjeros. Características de los bonos perpetuos: 134 . es decir que pagan el cupón de manera perpetua al tenedor del bono. • Vencimiento: se consideran bonos perpetuos. e Tasa de cupón (a ): es la tasa de interés que se tiene que capitalizar al periodo de pago del cupón para definir el interés que recibirá el tenedor del bono. todavía no existen en nuestra economía. Los bonos perpetuos. siempre se expresa en términos efectivos. generahnente de largo plazo. tales como las de EE. Valor facial o Valor non1inal (VN ): es el valor de referencia del bono para calcular los intereses que se va a cancelar. pero se emiten y se negocian en economías desarrolladas. La mayoría de bonos tienen un vencimiento defmido. esta tasa puede ser efectiva o nominal. La tasa de interés que paga el bono se denomina tasa cupón y generalmente se cancela en periodos mensuales.UU.

si el pago de los intereses es semestral.. es necesario definir el periodo de tenencia del bono que es aquel periodo expresado en días. En base a este periodo de tenencia se calcula el rendimiento corriente de la transacción (RCYTM) aplicando la siguiente fórmula: 360 J RCYTM = (Ingresos r -1 Egresos Donde: T : Es el periodo de tenencia del bono. Ingresos : Total de ingresos recibidos por la transacción del bono que incluye el precio de venta más los cupones cobrados. l para d cálculo de los cupones se tiene que tomar en cuenta la tasa de cupón. meses o años desde que compra el bono hasta que lo vende. Muchas veces el inversionista desea saber cuál ha sido su rentabilidad anualizada de la negociación de un bono. Si la tasa de cupón es efectiva: Cupón= [ (1 +a i'm -1J*VN Si la tasa de cupón es nominal: Cupón= !!. es decir: • • • • m= 12 m= 4 m =2 m =1 si el pago de los intereses es mensual. o (1 + i) (1 + iY (1 + i) 3 (1 + i) 4 p =VA= Cupón o . llevados a la fecha de venta. si el pago de los intereses es trimestral. Para ello.... *VN m Donde m es el periodo de capitalización.Anualidades La valorización de un bono perpetuo se realiza de la siguiente manera: E = VA = Cupón + Cupón + Cupón + Cupón + . 135 . el periodo de pago y el tipo de interés que se paga es decir si es nominal o efectiva. si el pago de los intereses es anual.

el precio de venta sería: 136 .MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. Datos: VN= US$ 10 000 nominal anual Período de pago = trimestral i =10% efectiva anual a=9 Solución: 0 09 Cupón. problemas y aplicaciones Egresos : Es el precio de compra del bono. Si hoy la tasa de mercado es de 10% efectiva anual ¿A qué precio se estará negociando el bono? Sí después de un año desea vender el bono cuando la tasa de mercado es de 8% efectiva anual ¿A qué precio lo vendería? Encuentre la ganancia o pérdida de la transacción. capitalizada al periodo de pago del cupón. Para calcular los cupones cobrados llevado a la fecha de venta se tiene que aplicar la siguiente fórmula: . Si después de un año lo desea vender cuando la ·tasa de mercado es de 8% efectiva anual. precio de compra del bono.IO(' -1J 0.024113689 =9330. [(1 Cupones cobrados = Cupon * +i y ~ -1] Donde: P : Es el número de cupones cobrados. Ejemplo: Se ha emitido un bono perpetuo con un valor nominal de US$ 1O 000 que paga una tasa de cupón del 9% nominal anual con pagos trimestrales.· *10 000 = US$ 225 4 Convertimos la tasa de mercado anual a tasa trimestral: i =[ (1 +O.80. im : Es la tasa de interés de mercado al momento de la compra.024113689 = 225 Po= 0.

09.019426546 225 = 11582. Fecha de emisión: Hoy Tasa de cupón: 12.24o/ó. b) Si después de dieciocho meses de haberlo comprado desea vender ej bono y espera que la tasa de mercado sea del 10. Valor facial: S/.Anualidades i= [ (1 +O. precio de venta del bono. 0.80= 3 15129 Si se desea conocer la rentabilidad de la transacción se tiene que aplicar la siguiente fórmula: Rentabilidad = mgresos . Emisor: Telefónica del Perú.77%. 5 000 a) Si un inversionista desea comprar bonos ¿Cuál es el precio del bono. si la tasa de mercado es de 11 .egresos *100 egresos En este caso la rentabilidad es de 33.5% efectiva anual? . Po= os/< -1J=0. Tipo: Bono corporativo. Ejemplo: Si tenemos la siguiente información de un instrumento emitido por una Empresa local. cuál será su RCYTM? 137 .egresos Ingresos= precio de venta+ cobro de los cupones Egresos = precio de compra Ganancia o pérdida= 11 582.09 + 225 * 4-9 330.88% efectiva anual pagadero trimestralmente.019426546 Encontrando la ganancia o pérdida de la transacción tenemos: Ganancia o pérdida = ingresos . Periodo de Veto: Perpetuo.

76 Luego tenemos que convertir la tasa de mercado anual a trimestral: ¡ =[ (1 +O.027587273 Con esta información. problemas y aplicaciones Solución: Primero tenemos que calcular el cupón que paga la empresa: Cupón= [ (1+0.027587273 Como existe una nueva tasa de mercado al momento de la venta.1024Y~ -1] =0. (1 + 0.7 6 * [ 0.1288)'~ -1]* 5 000= 153.02467184 Entonces el precio del bono al momento de la venta es: R = o 153 76 · =623223 0.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.027587273 ) Cupones cobrados= 153. uso(< -1] = o.027587273 Aplicando la fórmula del RCYTM tenemos 138 6 -1] = 9 88.58 . se debe capitalizar esta nueva tasa de mercado a trimestral: i =[o +0. ya podemos calcular el precio de compra del bono: p = o 153 76 • =5573.61 0.02467184 Para el cálculo del RCYTM nos falta calcular el valor de los cupones cobrados a la fecha de venta: El inversionista desde que compró el bono hasta que lo vendió. cobró 6 cupones por los 18 meses de tenencia del bono.

0696)v.034214677 Con esta infor. cuál sería su RCYTM? Solución: Primero tenemos que calcular el cupón que paga el Banco: Cupón=[(1+0.58)118 -1=0.IVI nos falta calcular el valor de los cupones cobrado a la fecha de venta: El inversionista desde que compró el bono hasta que lo vendió cobro cuatro cupones por los dos años de tenencia del bono.1884 5 573.96% efectiva anual.84%.61 La rentabilidad corriente anualizada del inversionista es de 18.95 0. -1}10 000=273.0555)'V. Para encontrar el precio de venta tenemos primero que encontrar la tasa de mercado capitalizada semestralmente.5% de su valor facial entonces el inversionista habrá pagado por cada bono 8 850 nuevos soles.75 Como el problema ya nos está dando el precio de compra que es el 88. 10 000 y paga una tasa de cupón del 5.mación ya podemos calcular el precio de venta del bono: p o = __l-73 · 7~-. -1 ]=0. pero nos hace falta la tasa 139 .5% de su valor facial y con un vencimiento perpetuo.55% efectiva anual pagadero semestralmente.23+988.Anualidades 12/ RCYTM=(6 232. El valor facial del bono es de S/. Si después de dos años de haberlo comprado lo desease vender cuando la tasa de interés de mercado fuese del 6. o sea: i= [ (1 +0.034214677 Para el cáleulo del RCYT.=8000. Ejemplo: Hace un año el Banco de Crédito emitió un bono subordinado al 88.

030932203 que es la tasa que utilizaremos para llevar los cupones cobrados a la fecha de venta. problemas y aplicaciones de interés de mercado a la cual se negociaron los bonos en el momento de la compra la cual la podemos hallar de la siguiente manera: Donde la tasa de mercado semestral al momento de la compra fue de 0.86 Aplicando la fórmula del RCYTM tenemos: RCYTM =( 8 000 95 1146 86 · + · 8 850 J V 2 -1=0. La empresa Calixto se disculpó ante sus accionistas. ¿Cuánto debería pagar por una acción Calixto. Los inversionistas prevén que el dividendo anual se incrementará un 6% cada año y para siempre. Cupones cobrados =273. A partir de entonces. por no haber pagado un dividendo. en su informe corporativo más reciente.67%.75 * [ (1 +0. si la tasa de descuento es del 12%? Rpta: 25 140 ..6 2. el próximo año. La tasa de interés aplicable es del 11% ¿Cuál sería el precio de la acción el día de hoy? Rpta: 63.030932203 =1146.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. Backus está a punto de pagar un dividendo de tres soles por acción.016686316 La rentabilidad corriente anualizada del inversionista es de 1. 3.6 Ejercic~os Propuestos de Anualidades Perpetuas con Acciones y Bonos l. el dividendo se incrementaría 4% cada año de manera perpetua.6.030932203) -1] 0. El informe indicaba que la gerencia pagaría un dividendo de dos soles.

¿Cuál es la tasa anual de rentabilidad que espera este accionista? Rpta: 14% 5.188.5 4. ¿Cuál ha sido la ganancia o pérdida de la transacción? Rpta: ~ =4 816. considerando su valoración de los riesgos de la empresa. Se espera que Telefónica pague un dividendo de 5. También se espera que este dividendo crezca a una tasa anual del 8% y de manera perpetua.12% nominal anual pagadero trimestralmente Periodo de vencimiento: indeterminado Valor facial: US$ 5 500 Tasa de mercado (TEA): 9.5 soles por acción el próximo año. si la tasa de descuento apropiada es del12%? Rpta: 137. Encuentre el precio de venta. Si hoy lo desea vender y la tasa de mercado es de 7% efectiva anual. Este capital pagará un dividendo de dos soles por acción el próximo año. Suponga que un inversionista acaba de pagar cincuenta soles por acción del capital de la empresa Casa Grande.79 hace nueve meses y este bono tiene un valor facial de $ 1O 000 que paga una tasa de cupón del 5. El accionista piensa que pagó el precio adecuado. Se espera que este dividendo crezca con una tasa anual de 10% para el futuro inmediato. ~ =3 885.6% ¿A qué precio he comprado el bono? Si después de tres años lo deseo vender cuando la TEA de mercado sea del 12%.96% efectiva anual con una periodicidad mensual. Si tenemos la siguiente información de un instrumento emitido por una Empresa local: Emisor: Backus Tipo: Bono Corporativo Fecha de emisión: Hoy Tasa de cupón: 8. Un inversionista ha comprado un bono perpetuo en$ 9 859. ¿Qué precio esperaría que tenga la acción de Telefónica.36. Ganancia =408.Anualidades 3. 141 . ¿Ha sido beneficiosa la transacción para el inversionista? Rpta: No ha sido beneficiosa la negociación.628 6.

Hoy se está negociando un bono perpetuo con las siguientes características: Valor facial: US$ 5000 Tasa de cupón: 6. Rpta: 1 088.3896 8.3% anual.25.67% 142 . Encontrar el precio a la cual se está negociando un bono perpetuo que paga una tasa de cupón del 12% efectiva anual con pagos semestrales y tiene un valor facial de $ 1 000 si la tasa de mercado es de 11% efectiva anual. RCYTM=10.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.89% nominal anual Periodo de pago: anual Si actualmente las tasas de mercado ascienden a 8% anual ¿Cuál es el precio que debe pagar un inversionista por adquirir los bonos? Si después de tres años de haber comprado el bono. desea venderlos y la tasa de mercado es de 7. Rpta: ~ =4 306. problemas y aplicaciones 7. encuentre la rentabilidad de la transacción.

El uso de factores pennite hallar de una manera más rápida las variables del monto ( s ).2 w:atior~S financ~eros J\~naf. 3. se asume que R. y. Factor a utilizar para hallar el monto o valor futuro (S ). (S): 3. y del pago periódico ( R ).7. valor actual (A ). Factor a utilizar para hallar el valor actual o presente ( C ).Anualidades 3. conociendo el monto o valor futuro. conociendo el valor actual o presente ( C): 2. 3.dk~ades • t]Ue $9 orbt~e~en a par[ij¡r «JJ~e ~a fórmu~a de Vencidas Cálculo de Factores a partir del Monto o Valor Futuro de una Anualidad Vencida. A continuación se presenta un resumen que muestra distintos factores financieros que pueden ser utilizados en función de la fórmula que se utiliza y de la variable que se quiera hallar.7.7 Factores financieros Los factores fmancieros suelen ser de suma utilidad y de aplicación en la solución de los diversos problemas fmancieros referidos al monto compuesto. evidentemente para hallar dichos factores debemos de conocer previamente las variables i y n . en todos los casos. conociendo el pago periódico (R ): 143 . S o A asumen el valor de l. Factor a utilizar para hallar el monto o valor futuro (S ).1 factores F~nancieros que se obtienen a partir de Monto Compuesto ~a fórmula del l . anualidades vencidas y a las anualidades adelantadas.

Factor a utilizar para hallar el pago periódico ( R ).7. problemas yaplicaciones 4. conociendo el monto o valor futuro (S ): [V +:Y • -t] Cálculo de Factores a partir del Valor Actual o Presente de una Anualidad Vencida. Factor a utilizar para hallar el monto o valor futuro (S).MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. Factor a utilizar para hallar el valor actual o presente (A ). 5. conociendo el pago periódico ( R ) : 144 . conociendo el pago periódico ( R ): 6. conociendo el valor actual o presente (A ): 3. 7. Factor a utilizar para hallar el pago periódico (R ).3 • Factores Financieros que se Anualidades Adelantadas obt~enen a partir de la fórmul~l de Cálculo de Factores a partir del Monto o Valor Futuro de una Anualidad Adelantada.

conociendo el pago periódico ( R ): 10. Factor a utilizar para hallar el pago periódico ( R ). Factor a utilizar para hallar el valor actual o presente (A ). conociendo el monto o valor futuro ( S): • Cálculo de Factores a partir del Valor Actual de una Anualidad Adelantada 9. Factor a utilizar para hallar el pago periódico ( R ). conociendo el valor actual o presente ( A ) : 145 .Anualidades 8.

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. se calcularía de la siguiente manera: R =A *Factor18 R =10 000* 0. se pide que elabore lo siguiente: a) Una tabla de factores que nos permitan calcular el pago periódico mensual que tendría que efectuar cada cliente por los distintos montos solicitados.7.86 146 . necesitarnos hallar una tasa efectiva mensual equivalente a la TEA del 21 %. o1601187r J Luego.7.06438609 · 18 1. 10 000. Por ejemplo. Dado que los pagos periódicos ( R ) serán mensuales.1 Casos Prácticos para la Aplicación de Factores Financieros CASO 1: Préstamo Bancario El Banco Pacífico desea implementar un programa de créditos al sector informal con la finalidad de atender a este importante sector de la economía. a pagar en los próximos dieciochos meses. problemas y aplicaciones 3. la Gerencia aprueba como plan piloto inicial un programa de fmanciamiento con un plazo hasta por 18 meses. Factor(n = 18 )= l 0 01601187 =0.01601187 mensual Y como conocemos el valor actual (A ) . Si la TEA que se quiere cobrar por el financiamiento es del 21 %. utilizamos el factor definido en (6) para hallar el pago periódico. Para ello. (1 + 0.21 i =(1 + i) 12 i =0.064386092= 643. la cuota mensual.4 3. Considere una columna adicional que muestre a cuánto ascendería el pago periódico en el hipotético caso que se pida un préstamo por S/. aquí vemos manualmente como se calcularía el factor para alguien que desea pagar el préstamo en dieciocho meses. ·.4.(1 +o.

Siguiendo el mismo procedirniento del apartado "a" encontramos lo siguiente: 147 . suponiendo que dicho préstamo se pueda cancelar hasta en dieciocho meses.74 1 201.16 998.092258858 0.87 2 097.31 1521.099873946 0.344064433 0.59 858.01601187 mensual Y como conocemos el valor actual (A ) . necesitamos hallar una tasa efectiva mensual equivalente a la TEA del 21 %. (t +0.95 1090.512040695 0.Anualidades A continuación se muestra una tabla de factores que nos permitirá calcular el pago periódico mensual que tendría que efectuar cada cliente.86 3 b) Resuelva el apartado "a" considerando que los pagos periódicos se harán por adelantado.52 1341.01 755.41 3 440. 10 000.74 922.109016277 0. en el hipotético caso que se pida un préstamo por SI.09 1761.176130547 0. Dado que los pagos periódicos ( R ) serán n1ensuales.21y = (1 + iY 2 i = 0. 2 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.209708851 0.19 803.085818572 0.23 18 0.152152095 0.260086897 0.134173548 0.075522554 5120.064386092 643.64 2 600.080301341 0.120194936 0. utilb:amos el factor defmido en (10) para hallar el pago periódico que se hará por adelantado.

::~_. 148 ..itf"· 4~ l~/ ·/:.71 A continuación se muestra una tabla de factores que nos permitirá calcular el pago periódico mensual que tendría que efectuar cada cliente.19 66S. es un cliente del Banco y que solicitó un préstamo por S/.09829998 0.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.20640394 0.~~r:.~r -~~ ~ P.11830072 0.gy.5S 1497. y que luego de haber efectuado 6 pagos tuvo problemas de liquidez que le impidieron pagar las cuotas 7 y 8..:.o160 1187r(l8-l) = 0. en el hipotético caso que se pida un préstamo por S/.r>_~:-u· .33864214 0. 1O 000.59 1183.~: ~ \ t~~~~ f~.OJ!~pª~· ~a ~ ami} ~1~{~ ~ ~?tr..93 633..!%r-·. problemas y aplicaciones 0.00 S 039.S0397117 0.'u~~t~~~ Sj.1r-Nij'.54 1320. f' ~~-.g.10729823 0.36 743.01 1072.42 2 SS9.~~t~~FifA~~~~~.~L~t'44~~i~--~f2:'~'*'\·:~v:.¡.1~~~.. -rlf~lr}").L~"t4i~~t~-2~fff~~~3ff~t't~. / !.. ~:( ••..q{á~ ~-'! }.08446611 0..r·~~*I·¡¡Á'+/. Ft:·. 1O 000 a pagar al final de cada mes durante 18 n1eses. Valencia.06337140 10 000.6Cl''l>It..01601187 ] Factor ( n =18) = [ (1 + o..~w..{.14975425 0.07903583 0.07021940 0..~f~.~:.04 1 733.~ ~~~11!~-~~.{J)/2..-...'ii\t.07433235 0.. J«.98 983.(fQ · ···~ r~· 4~ tt:.32 702.88 2 064.09080490 0.00 908.0S 844.66 790.o1601187) -(1 + o.25S9880S 0. Si el Sr.¡ 'f¿tJ:if. 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 O.·T~l'#~~:f~:~~ ~ .06659277 0.06337140 R =A *Facto~ 8 R= 10 000*0. suponiendo que dicho préstamo se pueda cancelar hasta en dieciocho meses.0633714= 633.r. .~~ ~~.71 e) Suponga que el Sr..¡.71 3 386."f§t.1733S481 0. ·f\á'>'.. Valencia quisiera ponerse al corriente con el Banco y cancelar las cuotas atrasadas junto con la novena cuota ¿Cuánto tendría que pagar? Asuma que no hay gastos adicionales por concepto de mora.~(~~~:r~:~rffv~JWf1B.1320S904 0.

01601187 Entonces. 10 000. también se podría resolver utilizando la fórmula del monto de una anualidad vencida. corresponde un pago periódico de S/. S/.04829161=1962. dado que ya conocemos de antemano el pago periódico ( R ).86[( +0. observando la tabla elaborada en el apartado "a" vemos que para un préstamo de S/.abla completa.86 En segundo lugar. 643.0 0. quedaría de la siguiente manera: 149 .04829161 Factor(n=3)=l 0.86*3. o sea: 6 y. La t. en el hipotético caso que se haya retrasado en el pago de hasta dieciocho cuotas. que se pagará en 18 meses. el Sr.Anualidades En primer lugar.67 1601187 1 S=643.1]=1962. 1 9t~2. Valencia tendrá que pagar. tendremos que utilizar el factor definido en (3) para hallar el monto total a pagar.67 como se demuestra. para ponerse al corriente con el Banco. al tener que cancelar tres cuotas. r(1 + o. al finalizar el noveno mes.01601187 S= R * Factor3 S= 634.o 1601187f -1] =3.67 Como se ve a continuación.

~ -: \t ·:·f 2.-:..~ .f~.71 *3..1627030912 643. :.23 11636.0482919900 4. problemas y aplicaciones . que se pagará en 18 meses..73 Como vemos también podría resolverse mediante una ecuación de valor que se explica en el gráfico o con la fórmula del monto de una anualidad vencida.._..33 12 466. 150 .::~ .~ ~:\!VfO:~~~ ~-paga~ .71 En segundo lugar.803705501 18..96 3 324. ~~ ~Hi~.86 129.01 10 819. d) Resuelva el apartado "e" considerando que los pagos periódicos se harían por adelantado.. :/·:.672167117 10 015.~~·:. córresponde un pago periódico de S/. "~.~ . para ponerse al corriente con el Banco. la tabla quedaría de la siguiente manera: 1+0. L w~~·~·Ñ~oe~~ ·(~~·~::..~ Y~~.-~!:--~~::::-. :~.04829161 0.- ~:~":. En primer lugar..'w~" 1-.c~9r!p~rá:nallaf s:.554646523 16. .06 14 15 15...03 1962. ~~~~'!yf4{..t·: .0971008450 5.0160118700 3..01601187 ) 3 -1 ] Factor (n = 3) = [ ( = 3...¡!i·~'i:g:}. tendremos que utilizar nuevamente el factor definido en (3) para hallar el monto total a pagar. ~.~-J~~\r.<-¿.01601187 S= R* Factor3 S =633. ~" ~~ 1 2 3 4 S 1.·~:~~ ~ -~". 1O 000..04829161 =1 931. 633. ·~·. 16 17 18 .-Y. dado que ya conocemos de antemano los pagos periódicos ( R) que se harán por adelantado y se desea conocer el monto a pagar al comienzo del noveno mes.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. .98 . observando la Tabla elaborada en el apartado "b" vemos que para un préstamo de S/.67 2 637.072764249 19.51 13 309.362143000 20..~ ~~~ 1! -.:>J:.··.0000000000 2. Entonces...i~~--~Jtr.

1931. .¡..~':.-~w". .r!i..$t~q~:!.. 1O 000 y que se había acordado pagar en 18 meses? En prixner lugar.. quedaría de la siguiente manera: 'lif.09710085 5. el Sr.-:.-.~~--·~ ~·· . ~ . ""~~ái·.:halrar.68 11452.01601187 3.07 9857.. ~ Rg 1 S= 633..j( 'l'·'•t.36214300 20.98 13100.37 3271.73 2596.:-.~... .16270309 6. 1 'l<.·""'.Anualidades S=? 9 R.tr-:~~'· .rnol euofár{"~·s~ n·]"'~~~ {!Cr'i.¡....:JE:i"')..14 10648......16 _j .-:?"'·"· • ~ '4( .07276425 19. corresponde un pago periódico de S/.:~...89 12269.73 tal como se demuestra. . ...".7 S= 1 931..~~·t" .71 1277. ·~~'r·*-'f."i·"'-t·~.!·cl0~ii.. .01601187) +633.. • .J.75 14..~N.<"..24536762 633._ •¡''<el' ·~t•¡•.~~--.80370550 18.~ 1...: .S ·:[lC. que se pagará en 18 meses.. ::..(~~"" *~.-J<~·N"'1:f' · 1 ' e·11!(~!!!!:'""··~-=i'"''~'jli¡~".. "'"' .'.' ..32527213 15. 1O 000.~. ~..~"'·'' '""'¡····~···••'" r.....~.:A' ~m:-~- ~ ~... 13 14 f--15 16 f---· 17 •'--~8 . al tener que cancelar tres cuotas.4:'.86 151 ._¡.01601187f + 633. .. 643.66 3957.... • ~ ~'~' '>'í-:>-" ~- . e) Si el Sr.. Valencia se encontrase en condiciones de pagar el saldo de su deuda.~· MontO a ~ga. ··~~~ ·-:..:t<... teniendo en cuenta que el préstamo solicitado fue por S/. ..•.....fi?~· K:fa:~~-::~:. 1 2 3 4 S 6 ...'faCfói! gara.á\~'t~'.:... ... w.....~..ii:.00000000 2.P ' ...::. t·~\'·~· -~"' '. "'. f"('. ::_.04829199 4.r. ..:.t'í-J:.::. La tabla completa..'*"·r. "'"""''' .. n. 16..r"·· .. luego de haber cancelado las 10 primeras cuotas ¿cuánto tendría que pagarle al Banco.":'A!.. ... ~·..... .57 1931.:~J>·~ t~/'f:W. Valencia tendrá que pagar.71(1 +0. . observando la Tabla elaborada en el apartado "a" vemos que para tm préstamo de S/.. :--.55464652 .(i.~ ..l{ ~. en el hipotético caso que se haya retrasado en el pago de hasta dieciocho cuotas.·...71 {1 +0. al comenzar el noveno mes.67216712 - 9078.. ..." . . _. S/.73 Entonces. -.¡..

01601187f 8 A=4 798.01601187 =7.71 Al quedar pendientes de pago un total de ocho cuotas.86 * 7.86(1 +0. La tabla completa. quedaría de la siguiente manera: 152 . A=? 9 10 11 16 1 17 18 A =643.45303303 =4 798.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. problemas y aplicaciones En segundo lugar.71 Como vemos también podría resolverse mediante una ecuación de valor que se explica en el gráfico o con la fórmula del valor actual de una anualidad vencida.86(1 +0. en el hipotético caso que se quiera adelantar el pago de hasta dieciocho cuotas. 4 798o71 tal como se demuestra.45303303 S = R *Factor8 S= 634. el Sr. Valencia tendrá que pagar.(1 +0. tendremos que utilizar el factor definido en (5) para hallar el valor actual de la deuda.01601187f +··· +643. Factor(n =8)= 1.01601187)~] [ 0. dado que ya conocemos de antemano el pago periódico ( R ) y la tasa de interés pactada. al final del décimo mes. S/. si se desea cancelar la deuda en fonna anticipada al Banco.

.·. r~..' ...5313045095 9024.~.gam aat·' -. )•If ~ .7685159572 5.24 9999.~iY~'""'¡·~L~ ·--~.. ac~6.···"" ..._ <·• ~.-.9064323544 3....•.~ . s....~·~. .34 2475.. • .06 Como vemos también podría resolverse mediante una ecuación de valor que se explica en el gráfico o con la fórmula del valor actual de una anualidad vencida..l\ " " ••• . ... ~.. '. corresponde un pago periódico de S/. •• •:( .q~Yl'.~. actual·de..~~ . f) Resuelva el apartado "e" considerando que los pagos periódicos se harían por adelantado. si se desea cancelar la deuda en forma anticipada al banco.8448688148 4.4.-' ~ . ... ~~ :-:~~1~::~ti.4530338960 633.. P.¡¡·~· ~'¡.6776068543 6..¡.. De esta manera hallaremos el valor actual de la deuda al comienzo del período diez.:::.44 1871.5723709058 7..&. ' .¡~~\ 3i\'iiP...!e·>ri~4'~~:i~. .. tendremos que utilizar nuevamente el factor definido en (5) para hallar el valor actual de la deuda./·:: ·. 1-(1 + o.~.~.. .0166450125 14. .... "'.Q · · ~ .. . 1 2 3 4 S 6 7 8 0..01601187 8 ] = 7..Anualidades m-=---"''"""''"''"' .o160 1187r Factor(n =8)= [ 0. 10 000. i_¡.· .M~~).¿1""'"'~ . 'ta ..~~:!-<~.·: ~ .::~·:·x'+'~·~\ .7799897382 15. ·..-.J:.-. 633. .L: ~:.~t<'".45303303 A = R * Facto:rg A =633.-. ."('" ~.99 .:.. - ¡'i--p.71 16 17 18 14..9842404696 1.··ft·-~.¡ ----~·c.~~:.56 3070.·). 153 ... .~~kj ~!.. . que se pagará en 18 meses. !' ·~ "~'· "\.. 1J §l..9529697715 2._.. ~~ Ef '~·f<)·'·'"'··-'~" ft'í tt'''t:'~"~ · · .71 * 7. ~ .~~. e' a o. ¡.J'.v..:l>: ..-..':k~r.26 3655.. •.-J·~.·.)<v~ .: .·:}:·~· ·'·••'· ..58 4231. "I.o•JI.N° (f ~-'· ..69 4798.: .71 En segundo lugar..E::: ...•·!·N/áiOR ·:'+l'P No ·ae.45303303 = 4 723.76 9516.• "'•""~""'''"" <:Jr. observando la tabla elaborada en el apartado (b) vemos que para un préstamo de S/.. . endlentes..• "-"· ·'·•·-""' \>''""-~"'· 1 '... dado que ya conocemos de antemano el pago periódico (R) y la tasa de interés pactada. <. ·.J. •••. ... ''"J-.... ·~~~...71 1257.· e·cuo s ~:euotaS:~ni . . \'.e ~o.. -~·-· segun "' . .~:1~zr: !.:::_~~. .b..1ª"~aeuda . : ..{...~:--:~~. '"'{-'/'-'1 .t ..::~~".-•. •••• <•ie' "~"'-:.~Hi. En primer lugar.·...·:·.~..cn.

al comienzo del décimo mes.49 9366.53 3021.016011s7r 8 A=4 723.23 9842. 4723. La tabla completa. problemas y aplicaciones A=? 9 10 11 16 17 18 A= 633.86 3597.71(1 +0.98 4723.84 2436. tal como se demuestra. el Sr.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.4530338960 1237.0166450125 14.06.9064323544 3.8448688148 4.34 .7685159572 5.62 1841.01601187 rl +··· + 633.9529697715 2.71(1 +0.5313045095 8882.06 16 17 18 14. S/.5723709058 7.6776068543 6. en el hipotético caso que se quiera adelantar el pago de hasta dieciocho cuotas.96 4164.7799897382 15. quedaría de la siguiente manera: 154 2 3 4 S 6 7 8 1.06 Al quedar pendientes de pago ocho cuotas. Valencia tendrá que pagar.

92 523.40. empleado de una prestigiosa empresa. la tabla quedada de la siguiente manera: 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 0.05 467. Conociendo la tasa efectiva mensual y el valor futuro deseado. percibiendo por estos depósitos tm interés mensual del 1.1046098234 0. dado que ya conocemos de antemano el monto o valor futuro (S) deseado.0842938442 0. Entonces.4962779156 0.1605252146 0.22 970.3283829602 4447860 0. deciden aportar una cantidad fija al final de cada mes por un plazo de 12 meses.78 592. suponiendo que los pagos periódicos se efectúan por adelantado. 383. Para ello.17 421. Conociendo la tasa efectiva mensual y el valor futuro deseado.7.1185840246 0.1365561645 0.39 1641. 5 000 cada uno para ser utilizados durante sus vacaciones. Uri Escalante. vemos que por ejemplo si alguien quiere pagar su pandero en doce meses tendria que efectuar un pago mensual de SI. utilizaremos el factor defmido en (8) para hallar el pago periódico. con la fmalidad de reunir S/. 155 .91 1222. 5 000 requeridos.40 Al observar la tabla. elabore una tabla de factores. decide juntarse con un grupo de compañeros de trabajo.47 383.5% que es lo que paga una conocida institución de crédito a plazo fijo.1940893231 0.0934341779 0. utilizaremos el factor definido en (4) para hallar el pago periódico.0766799929 2481. b) Con la misma información del caso.Anualidades 3.45 80 682.4. a) Elabore una tabla que muestre el pago periódico que habría de realizar en función del número de cuotas en que desee pagar su pandero hasta que se hayan acumulado los S/.2 CASO 2: Pandero laboral El Sr.

1168315513 0.73 Al observar la tabla. vemos que por ejemplo si alguien quiere pagar su pandero en doce meses tendría que efectuar un pago mensual por adelantado de S/.16 956.0920533772 0. Entonces.73 156 .1030638654 0.69 584.27 415. problemas y aplicaciones dado que ya conocemos de antemano el monto o valor futuro deseado.4889437592 0.32 460.11 790.76 672. 377.1912210080 0.16 515.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos.24 377.2408323015 0.3235300101 0.0830481223 0.1345380931 0.1581529208 0.0755467910 1204. la tabla quedaría de la siguiente manera: 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 0.

13 879.90 4454. Conociendo la tasa efectiva mensual y el valor actual del vehículo. Al no contar con el dinero requerido decide optar por una alternativa de fmanciamiento (pandero) que consiste en depositar una cantidad fija al fmal de cada mes por un plazo hasta de 24 meses.4. a) Elabore una tabla que muestre el pago periódico que habría de realizar en función del número de cuotas en que desee pagar su pandero.26 744.00 6 584.07595253 0. Masías desea comprar un auto cuyo valor de contado es de$ 12 600.93 2 022.06981388 0.38 0. si el Sr.16050635 12 978.05904742 957. la tabla quedaría de la siguiente manera: 1 2 3 4 S 6 7 17 18 19 20 21 22 23 24 1.07270870 0.03000000 0. cobrándosele por este financiamiento un interés mensual del3%. utilizaremos el factor defmido en (6) para hallar el pago periódico.00 916. 157 .00 Al observar la tabla vemos que.13 Hay que anotar que en este tipo de panderos se suele pagar de manera adicional una Cuota de inscripción al momento de formar el grupo.48 3 389.3 CASO 3: Pandero para la Adquisición de un Vehículo El Sr. Entonces.06487178 0.Anualidades 3.06721571 0.65 846.35353036 0.74 2 751.52261084 0.06274739 0.92 817.38 790.27 2 325.06081390 0.62 766. Masías quiere pagar su pandero en dieciocho meses tendría que efectuar un pago mensual de$ 916.7. por ejemplo. y una Cuota de adjudicación al momento de hacerse acreedor del vehículo.26902705 0.

13 889. Entonces.45 158 .94 722. elabore una tabla de factores.05732759 929.34323336 0. utilizaremos el factor definido en (lO) para hallar el pago periódico.33 1 "1 ¿ Al observar la tabla vemos que.25 793.13 17 18 19 20 21 22 23 24 0. la tabla quedaría de la siguiente manera: 3 4 S 1. Conociendo la tasa efectiva mensual y el precio cash del vehículo.00 6 393.10 4 324. si el Sr. tendría que efectuar un pago mensual por adelantado de$ 889.74 3 291. suponiendo que los pagos periódicos se efectúan por adelantado.MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos. por ejemplo. Masías quiere pagar su pandero en dieciocho meses.59 743.06525797 0.07059097 0.26119131 0.06091980 0.21199473 12 600.07374032 0.05904262 0.00000000 0.45 854.03 822.58 767. problemas y aplicaciones b) Con la misma información del caso.06778047 0.50738916 0.06298231 0.01 2 671.